3 TRABAJO Y ENERGIA. BERNARDO ARENAS GAVIRIA Universidad de Antioquia Instituto de Física

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1 3 TRJ Y ENERGI ERNRD RENS GVIRI Universidad de ntioquia Instituto de ísica 2010

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3 Índice general 3. Trabajo y energía Introducción Ipulso (I) Trabajo (W) Casos particulares de la ecuación (3.5) Interpretación geoétrica de la ecuación (3.5) Trabajo de una fuerza en coponentes rectangulares Trabajo realizado por la fuerza resultante Potencia Energía cinética( E k ) Casos particulares del teorea del trabajo y la energía uerzas conservativas y energía potencial Trabajo realizado por una fuerza constante Trabajo realizado por la fuerza gravitacional Trabajo realizado por la fuerza elástica de un resorte Conservación de la energía para una partícula uerzas no conservativas Derivada direccional y energía potencial Moviiento rectilíneo bajo fuerzas conservativas Curvas de energía potencial Colisiones Moviiento bajo fuerzas centrales conservativas

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5 Capítulo 3 Trabajo y energía bjetivos En esta unidad se busca Identificar y definir las cantidades físicas relacionadas con la dináica de una partícula, epleando los conceptos de trabajo y energía. nalizar, desde un punto de vista diferente, la dináica de una partícula. plicar los conceptos de trabajo y energía a situaciones físicas particulares. CNCEPTS SICS En esta unidad de trabajo y energía, se definirán los siguientes conceptos que son básicos en el estudio de la dináica de una partícula: trabajo (W), potencia(p), energía cinética (E k ), Teorea del trabajo y la energía (W = E k ), energía potencial(e p ), fuerza conservativa y no conservativa, sistea conservativo y no conservativo, conservación de la energía ecánica ( E = 0), derivada direccional y energía potencial, curvas de energía potencial y colisiones Introducción El problea fundaental de la dináica de una partícula, es poder predecir su posición en función del tiepo t, sabiendo con cuáles partículas interactúa, adeás de conocer las condiciones iniciales a las que está soetida. De acuerdo con las dos unidades anteriores, el procediiento que se debe llevar a cabo es el siguiente: se deterina la fuerza neta, que actúa sobre la partícula de asa y ediante la segunda ley de Newton para asa constante = a, se encuentra la aceleración de la partícula. Luego, utilizando la definición de aceleración a = dv/dt, se obtiene la velocidad de la partícula en función del tiepo v(t). inalente, por edio de la definición de velocidad v = dr/dt, se resuelve el problea fundaental de la dináica al poder deterinar la posición del cuerpo en función del tiepo r(t). En esta unidad se trata la dináica de una partícula desde otro punto de vista, que peritirá de nuevo resolver copletaente el problea de la dináica de una partícula. Necesariaente, para definir los nuevos conceptos, se debe partir de las leyes de Newton ya que son el soporte de la dináica de una partícula. Por otro lado, se observa que la notación de estas cantidades físicas, ecepto el vector ipulso, corresponde a cantidades escalares, lo que generalente evita el uso de cantidades vectoriales en los procediientos ateáticos. En síntesis, para su estudio se dispone de los conceptos cineáticos y dináicos descritos y analizados en las dos unidades anteriores. Igual que en la cineática y en la dináica sólo se considera el oviiento de traslación de los cuerpos, o sea, que estos se pueden seguir tratando bajo el odelo de partícula. Igual que en la unidad anterior, cuando se analiza el coportaiento dináico de un cuerpo, se llevan a cabo los isos pasos, esto es:

6 2 CPÍTUL 3. TRJ Y ENERGÍ Definir el sistea, que generalente está forado por varios cuerpos. Elegir, del sistea, el cuerpo al cual se le va a analizar el oviiento, es decir, el cuerpo o partícula de interés. Deliitar el edio abiente o alrededores, forado por el resto del sistea, o sea, por los cuerpos cercanos que interactúan con el cuerpo de interés. En principio, en cuanto a la fora funcional de la fuerza, ateáticaente, se pueden considerar dos casos 1. Que la fuerza sea función del tiepo, es decir, (t). por definición, el ipulso no depende eplícitaente de la asa ni de la velocidad inicial v o de la partícula, ya que sólo iporta el cabio en su oento lineal. De acuerdo con la ecuación 3.1, se tienen dos foras de conseguir el iso valor en el ipulso de una partícula 1. Que una fuerza grande actúe sobre la partícula durante un tiepo pequeño, ya que esto puede ocasionar un cabio grande en el oento lineal. Esta situación se presenta, por ejeplo, cuando en un partido de béisbol el bateador golpea la pelota, pues en este caso, se le aplica una fuerza uy grande a la pelota durante un intervalo de tiepo uy pequeño. 2. Que la fuerza sea función de la posición, esto es (r). Coo se verá ás adelante, la fora funcional de la fuerza con la posición es la de ayor interés, ya que este es tipo de fuerzas que generalente se presentan en la naturaleza Ipulso (I) Para el caso en el cual la fuerza depende del tiepo (t), la segunda ley de Newton = dp/dt, se puede escribir en la fora p p o dp = t t o dt, donde al integrar y evaluar, se obtiene p = p p o = t t o (t)dt I, (3.1) donde la integral de la ecuación (3.1) define la cantidad física denoinada ipulso I. Por lo tanto, el ipulso es igual al cabio en el oento lineal de la partícula. Esto hace que las diensiones y unidades de ipulso sean las isas de oento lineal. De este odo, 2. Igualente, que una fuerza pequeña actúe durante un tiepo grande, de esta fora, se puede ocasionar un cabio en el oento lineal igual al anterior. Por ejeplo, la fuerza gravitacional actuando sobre la pelota de béisbol durante un intervalo de tiepo grande. Una situación particular se obtiene cuando la fuerza es constante, en este caso, la ecuación (3.1) se transfora en I = (t t o ) = p p o = p. Coo el objetivo de la dináica es poder deterinar la posición de una partícula en función del tiepo, se reeplaza la definición de oento lineal, p = v, en la ecuación (3.1), para obtener v v o = I, o sea, v v o = I/. hora, utilizando la definición de velocidad es posible llegar a r(t) = r o + v o (t t o ) + 1 Idt. (3.2) t o Mediante la ecuación (3.2) se resuelve el problea copletaente si se conoce la fora funcional de la fuerza con el tiepo (t). t

7 3.3. TRJ (W) 3 Coo en la naturaleza generalente las fuerzas se conocen en función de la posición, (r) ó (,y,z), para resolver la ecuación (3.1) se hace necesario conocer la fora coo varía el vector posición con el tiepo r(t), pero esto es lo que se busca desde el coienzo, es decir, hay que resolver el problea de interés antes de poder resolver la ecuación (3.2). Por esta razón, es necesario definir otros conceptos que sí periten cuplir con el objetivo propuesto, tal coo ocurre con el trabajo realizado por una fuerza y la energía total de una partícula Trabajo (W) Se considera una partícula de asa sobre la que actúa una fuerza (r). Si en un tiepo dt la partícula sufre un desplazaiento dr debido a la acción de la fuerza, el trabajo realizado por ella durante tal desplazaiento, se define por De acuerdo con la ecuación (3.4), se concluye que la coponente de la fuerza noral a la trayectoria seguida por la partícula, no realiza trabajo. sí, en general, las fuerzas perpendiculares al desplazaiento de una partícula no realizan trabajo. Esta situación se presenta siepre con la noral (N) y con el peso (W) en el caso de un cuerpo que se ueve sobre una superficie horizontal; igualente, ocurre con la fuerza centrípeta cuando un cuerpo se ueve sobre una trayectoria circular. Generalente, interesa deterinar el trabajo total realizado por la fuerza, cuando la partícula se ueve desde un punto hasta un punto de su trayectoria, coo en el caso ostrado en la figura 3.2. Coo el trabajo total corresponde a la sua de los trabajos infinitesiales entre los dos puntos considerados, la suatoria se transfora en una integral por lo que las ecuaciones (3.3) y (3.4) adquieren la fora dw dr. (3.3) Si se toa dr = ds, ediante la definición de producto escalar, la ecuación (3.3) adquiere la fora dw = cosθds. De la figura 3.1, se observa que T = cosθ es la coponente de la fuerza a lo largo de la tangente a la trayectoria seguida por la partícula. De este odo, dw = T ds. (3.4) W = = dr T ds. (3.5) T T dr N N igura 3.2: Trabajo realizado por entre y Casos particulares de la ecuación (3.5) igura 3.1: Trabajo realizado por en un dt. 1. Una partícula con oviiento rectilíneo, está soetida a la acción de una fuerza constante que fora un ángulo θ con la

8 4 CPÍTUL 3. TRJ Y ENERGÍ trayectoria, coo se ilustra en la figura 3.3. En este caso, ediante la ecuación (3.5), se encuentra que el trabajo realizado por la fuerza entre las posiciones y está dado por W = cosθ( ). Moviiento igura 3.3: Trabajo realizado por no paralela al desplazaiento. 2. Cuando la partícula tiene oviiento rectilíneo, pero la fuerza constante es paralela al desplazaiento, el trabajo realizado por ella entre las posiciones y de la figura 3.4 es Interpretación geoétrica de la ecuación (3.5) Cuando se conoce la gráfica de la fora coo varía la coponente tangencial de la fuerza con el desplazaiento de la partícula, es posible interpretar la ecuación (3.5) de la siguiente anera. Si esta coponente de la fuerza varía en la fora ostrada en la figura 3.5, el área del pequeño rectángulo, d = T ds, es igual al trabajo infinitesial realizado por la fuerza correspondiente durante el desplazaiento ds. hora, el área total bajo la curva entre las posiciones y, es igual a la sua de las áreas de todos los pequeños rectángulos dibujados entre dichos puntos; pero coo las áreas son infinitesiales, la sua se transfora en una integral y así el área total corresponde a la integral dada por la ecuación (3.5). En conclusión, el trabajo total realizado por la fuerza entre las posiciones y es igual al área total bajo la curva. T W = ( ). Moviiento igura 3.4: Trabajo realizado por paralela al desplazaiento. Diensiones y unidades fuerza Teniendo en cuenta la definición de trabajo, dada por la ecuación (3.3), se tiene que sus diensiones son [W] = ML 2 T 2. De este odo, la unidad en el sistea internacional de unidades es kg 2 s 2, en el sistea gaussiano de unidades g c 2 s 2 y en el sistea inglés lb p. Es costubre designar estas unidades con los siguientes nobres: 1 J 1 kgcdot 2 s 2 en el sistea SI, 1 ergio 1 g c 2 s 2 en el sistea gaussiano. Por consiguiente, la relación entre estas unidades es 1 J 10 7 ergios. T ds igura 3.5: Variación de T en función de S. El análisis anterior, se puede epresar ateáticaente en la fora rea bajo la curva = W = = dr T ds Trabajo de una fuerza en coponentes rectangulares En tres diensiones y en coponentes rectangulares, la fuerza que actúa sobre una partícula S

9 3.3. TRJ (W) 5 se epresa en la fora = i + y j + z k; en fora siilar, el vector desplazaiento está dado por dr = di + dyj + dzk. sí, al efectuar el producto escalar entre estos dos vectores, se encuentra que el trabajo total realizado por la fuerza entre los puntos y es dado por W = ( d + y dy + z dz). (3.6) Si la fuerza y el vector desplazaiento dr se encuentran, por ejeplo, en el plano y, la ecuación (3.6) se transfora en W = ( d + y dy) Trabajo realizado por la fuerza resultante Si en la ecuación (3.5), la fuerza corresponde a la fuerza resultante o neta de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula, esto es si = i = , el trabajo neto o total realizado sobre la partícula por la fuerza resultante, para llevarla desde la posición hasta la posición de la figura 3.6, se obtiene ediante la epresión Ejeplo 3.1. Un pequeño cuerpo de asa, que parte del punto de la figura, desliza sobre la trayectoria circular de radio R. Suponer que la agnitud de la fuerza de fricción k es constante, con valor un décio del peso del cuerpo. a) Deterine el trabajo neto realizado sobre el pequeño cuerpo, cuando pasa por el punto. b) Si = 500 g, R = 20 c, para β = 45 o, 90 o, 135 o, 180 o, hallar el valor de la cantidad obtenida en el nueral anterior. C R D Solución Coo consecuencia de la ecuación (3.5), el trabajo realizado por una fuerza está dada por W = = cosθds T ds, pero en una trayectoria circular y para un desplazaiento angular infinitesial ds = Rdθ, se tiene igura 3.6: Trabajo realizado por la resultante. W = = ( 1 dr + 2 dr + 3 dr + ) dr. Por consiguiente, el trabajo realizado por la fuerza resultante es igual a la sua de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas que actúan sobre la partícula. W = R cosθdθ = R T dθ. (1) a) De acuerdo con el diagraa de cuerpo libre del pequeño cuerpo, de las tres fuerzas que actúan, sólo realizan trabajo el peso y la fuerza de fricción dináica. Para la posición genérica de la figura anterior, luego de integrar y evaluar, se encuentra que W g = grsenβ, (2) W k = 1 grβ. (3) 10

10 6 CPÍTUL 3. TRJ Y ENERGÍ k N h g Por consiguiente, el trabajo total es W = gr(senβ β 10 ). b) Reeplazando valores, con = 500 g 0.5 kg y R = 20 c 0.2 se tiene β( o ) W(J) De acuerdo con los resultados obtenidos, cuando β = 45 o, el trabajo es positivo lo que indica que es ayor el trabajo realizado por el peso, que el realizado por la fuerza de fricción dináica, igual que para 90 o y 135 o. En cabio, para β = 180 o, el trabajo neto realizado por el peso es nulo a diferencia del trabajo realizado por la fuerza de fricción que es diferente de cero y negativo. Ejeplo 3.2. Un bloque de asa, asciende sobre la superficie del plano inclinado de la figura, debido a la acción de la fuerza. El coeficiente de fricción entre las superficies en contacto es µ y la agnitud de la fuerza aplicada es 2g. Cuando el bloque ha ascendido una altura h, deterine a) El trabajo realizado por la fuerza resultante. b) El trabajo neto realizado sobre el bloque, considerando por separado cada una de las fuerzas. c) El valor del trabajo total si = 500 g, h = 0.5 y µ = 0.3, para diferentes valores del ángulo θ. Solución a) De acuerdo con el diagraa de cuerpo libre ostrado en la siguiente figura, la coponente de la fuerza neta paralela al desplazaiento del bloque, es constante y está dada por = g(2 senθ µcosθ), donde se ha toado el sentido de oviiento coo positivo. sí, el trabajo realizado sobre el bloque al desplazarse la distancia h/senθ es W = gh(2cscθ 1 µcotθ). k N g b) El trabajo realizado por cada fuerza es W = 2ghcscθ, W N = 0, ya que es una fuerza perpendicular al desplazaiento. W g = gh, W k = µghcotθ. Se observa que la única fuerza que realiza trabajo positivo es la fuerza aplicada, ya que esta actúa en el sentido del desplazaiento. Suando los trabajos anteriores, se encuentra que el trabajo neto, total o resultante, realizado por las fuerzas que actúan sobre el bloque está dado por W = gh(2cscθ 1 µcotθ), que es idéntico al obtenido en el nueral anterior. h

11 3.4. PTENCI 7 c) Reeplazando valores se obtiene la siguiente tabla θ( o ) W(J) De acuerdo con estos resultados, se tiene que el trabajo neto disinuye a edida que la inclinación del plano se increenta. Por qué? Ejercicio 3.1. Halle el valor de θ, para el cual el trabajo realizado sobre el bloque del ejeplo 3.2 es ínio Potencia Coo se observa en la definición dada por la ecuación (3.3), el trabajo es una cantidad escalar que no depende del tiepo. Por esta razón en la práctica y particularente en la industria, no interesa el trabajo total que pueda realizar una áquina sino la rapidez con la cual esta hace trabajo. La potencia es una cantidad escalar que tiene en cuenta este hecho y se define coo la rapidez con la cual se realiza trabajo. Mateáticaente, la potencia edia en un intervalo de tiepo t, se define por P W t, vector velocidad, en la fora P = dr dt = v. Diensiones y unidades de potencia De acuerdo con su definición, las diensiones de potencia son [P] = ML 2 T 3. Es costubre eplear, en este caso, la unidad del sistea internacional de unidades kg 2 s 3. Se define el vatio ediante la relación 1 w 1 kg 2 s 3. Por coodidad, se eplean el kilovatio (Kw) y el egavatio (Mw), dados por 1 Kw 10 3 w y 1 Mw 10 6 w, respectivaente. tra unidad que no es de ucho uso en la ciencia, aunque sí lo es en los casos prácticos, es el caballo vapor (hp), que se relaciona con la unidad SI ediante la epresión 1 hp 746 w. Mediante la definición de potencia es posible obtener otra unidad de trabajo, que es bastante epleada en el caso de las hidroeléctricas, a esta unidad se le conoce coo el Kilovatio-hora y su relación con la unidad SI es 1 Kw h J. La liquidación de energía facturada por las Epresas Públicas, se hace de acuerdo con el núero de Kilovatios-hora consuidos por es. Ejeplo 3.3. Coo se indica en la figura, un bloque de asa M asciende con velocidad constante v por una colina que fora un ángulo θ con la horizontal. El bloque está unido a un otor ediante una cuerda que pasa por una polea y el coeficiente de fricción entre las superficies en contacto es µ. Deterine, en función del ángulo θ, la potencia desarrollada por el otor. y la potencia instantánea en un instante de tiepo t, está dada por P dw dt. (3.7) En el caso particular que la potencia sea constante, la potencia edia es igual a la potencia instantánea. Mediante las ecuaciones (3.3) y (3.7), la potencia instantánea se puede epresar en función del M Solución Diagraa de cuerpo libre para el bloque Coo el bloque se encuentra en equilibrio dináico, la fuerza ejercida por el

12 8 CPÍTUL 3. TRJ Y ENERGÍ N k Mg M otor tiene agnitud = Mg(senθ + µcosθ). De esta fora, la potencia desarrollada por el otor es P = Mgv(senθ + µcosθ). En la siguiente tabla, se uestran los valores del térino entre paréntesis, para diferentes valores del ángulo θ y del coeficiente de fricción µ. θ( o ) µ De la tabla anterior se pueden obtener dos conclusiones a) Se observa que para un valor dado de µ, la potencia auenta hasta un valor áio, a partir del cual decrece hasta un valor que tiende a la unidad. b) dicionalente, para un valor dado del ángulo θ, la potencia auenta continuaente con el auento en el coeficiente de fricción Ejercicio 3.2. Coo se indica en la figura, un bloque de asa M asciende con velocidad constante v por una colina que fora un ángulo θ con la horizontal. El bloque está unido a un otor ediante una cuerda que pasa por una polea y las superficies en contacto son lisas. Deterine, en función del ángulo θ, la potencia desarrollada por el otor. Copare el resultado con el obtenido en el ejeplo Energía cinética( E k ) Se considera el oviiento de un cuerpo de asa, sobre el que actúa una fuerza neta. Escribiendo la segunda ley de Newton en la fora = dv dt, y reeplazando en la ecuación (3.5), se encuentra que el trabajo realizado sobre la partícula por la fuerza neta, entre la posición y la posición de la figura 3.7, es dado por y v W = dv dt dr v = v dv. (3.8) v igura 3.7: Moviiento de entre y soetida a. Luego de resolver y evaluar la segunda integral de la ecuación (3.8), se obtiene W = 1 2 v2 1 2 v2. (3.9) La cantidad escalar 1 2 v2, que depende de la agnitud de la velocidad, as no de su dirección, se define coo la energía cinética E k de la v

13 3.5. ENERGÍ CINÉTIC( E K ) 9 partícula, es decir v = Constante E k 1 2 v2 = 1 2 v v = p2 2, (3.10) donde se ha utilizado la definición de oento lineal. Teniendo en cuenta las ecuaciones (3.9) y (3.10), el trabajo realizado sobre la partícula por la fuerza neta, independienteente del tipo de fuerza, está dado por igura 3.8: Cuerpo con oviiento rectilíneo unifore. R v W = E k E k = E k. (3.11) De la ecuación (3.11), se puede concluir que la variación de la energía cinética de una partícula siepre es igual al trabajo realizado por la fuerza neta que actúa sobre ella durante el oviiento. Coo la energía cinética es una cantidad física que depende de la velocidad, entonces debe depender del sistea de referencia ya que la velocidad depende de él. Igualente, al ser la energía cinética una función de la agnitud de la velocidad, es una energía que se le asocia a la partícula coo consecuencia de su oviiento. Las ecuaciones (3.9) y (3.11), epresan lo que en física se conoce coo el teorea del trabajo y la energía Casos particulares del teorea del trabajo y la energía 1. Si la velocidad de una partícula peranece constante en agnitud y dirección, coo en la figura 3.8, el cabio en la energía cinética es nulo, es decir, E k = 0. Por consiguiente, el trabajo realizado sobre la partícula es nulo y posee un oviiento rectilíneo unifore. 2. Si la velocidad de la partícula peranece constante en agnitud as no en dirección, coo en la figura 3.9, en fora siilar, se tiene que el cabio en la energía cinética es nulo, E k = 0. Por tanto, de nuevo el trabajo realizado sobre la partícula es nulo y posee un oviiento circular unifore. igura 3.9: Cuerpo con oviiento circular unifore. 3. Cuando un cuerpo, coo en la figura 3.10, tiene oviiento rectilíneo uniforeente acelerado, tal coo ocurre cuando en un auto se aplica el acelerador, la velocidad auenta, o sea, que la energía cinética auenta y el trabajo es positivo. Este caso tabién se presenta cuando un cuerpo desciende por una plano inclinado liso, debido a la coponente del peso paralela al desplazaiento. Moviiento igura 3.10: Cuerpo con oviiento rectilíneo uniforeente acelerado. 4. Cuando el cuerpo, coo se ilustra en la figura 3.11, tiene oviiento rectilíneo uniforeente desacelerado, situación que se presenta cuando en un auto se aplican los frenos, la velocidad disinuye, o sea, que la energía cinética disinuye y el trabajo realizado es negativo. Igual cosa ocurre cuando un cuerpo asciende por un plano inclinado liso, ya que la coponente del peso se opone al desplazaiento de

14 10 CPÍTUL 3. TRJ Y ENERGÍ la partícula. tra fuerza que siepre realiza trabajo negativo, es la fuerza de fricción dináica que actúa sobre un cuerpo en oviiento. Moviiento igura 3.11: Cuerpo con oviiento rectilíneo uniforeente desacelerado. En síntesis: Cuando la energía cinética de una partícula auenta o disinuye, es porque sobre ella actúa una fuerza neta que realiza trabajo; si su energía cinética peranece constante, la fuerza neta es cero y la partícula se encuentra en equilibrio. Diensiones y unidades de energía cinética De acuerdo con las ecuaciones (3.9) y (3.11), las diensiones y unidades de la energía cinética son las isas de trabajo. En ecánica cuántica y particularente física nuclear, se encuentra que las unidades definidas anteriorente para trabajo y energía son uy grandes, por ello, a nivel icroscópico se utiliza otra unidad ás pequeña de energía llaada electronvoltio (ev) y cuya relación con la unidad SI es 1 ev J. Un últiplo de esta unidad bastante utilizado es el MeV, cuya relación es 1 MeV 10 6 ev. Ejeplo 3.4. Un bloque de asa, se suelta desde la parte ás alta del plano inclinado de la figura. El coeficiente de fricción entre las superficies en contacto es µ. Deterine a) La velocidad del bloque, en el instante que llega a la base del plano inclinado. b) El ángulo ínio a partir del cual tiene significado físico la velocidad. Solución Diagraa de cuerpo libre para el bloque a) Por el teorea del trabajo y la energía, se tiene W = 1 2 v2, (1) N g k h donde el trabajo total realizado sobre el bloque, cuando se ueve entre las posiciones y, es W = gh(1 µcotθ). (2) Reeplazando la ecuación (2) en la ecuación (1), se obtiene para la velocidad del bloque en el punto v = 2gh(1 µcotθ). (3) En la tabla siguiente, se indica la fora coo varía el térino entre paréntesis de la ecuación (3), donde N significa que la velocidad no tiene significado físico. θ( o ) µ 0.2 N N N N N N N N N N N N Se observa que para velocidades con significado físico, si el ángulo es fijo enor es la velocidad del bloque a edida que auenta el coeficiente de fricción, es decir, entre ás ásperas sean las superficies. hora, para un coeficiente de fricción fijo, a ayor ángulo ayor es la velocidad del bloque en el punto b) Para que la velocidad tenga significado físico, de acuerdo con la ecuación (3), se debe satisfacer la condición h tanθ µ. (4)

15 3.6. UERZS CNSERVTIVS Y ENERGÍ PTENCIL 11 sí, el ángulo ínio a partir del cual la velocidad tiene significado físico, se obtiene al toar la igualdad en la ecuación (4), esto es θ ín = tan 1 µ. (5) En la tabla siguiente, se uestran los valores de θ ín correspondiente a los valores del coeficiente de fricción considerados en la tabla anterior. µ θ ín ( o ) Se concluye entonces que entre ás ásperas sean las superficies en contacto, ayor es el ángulo a partir del cual el bloque inicia el oviiento. Ejercicio 3.3. Un bloque de asa, se suelta desde la parte ás alta del plano inclinado de la figura. Suponiendo que las superficies en contacto son lisas, deterine a) La velocidad del bloque, en el instante que llega a la base del plano inclinado. b) El ángulo ínio a partir del cual tiene significado físico la velocidad. Copare los resultados con los del ejeplo uerzas conservativas y energía potencial En esta sección se define un tipo uy iportante de fuerzas que se presentan en la naturaleza, coo son las fuerzas conservativas. dicionalente, se encuentra una relación h ateática entre fuerza conservativa y la energía potencial Trabajo realizado por una fuerza constante Coo se ilustra en la figura 3.12, se considera una partícula de asa soetida a la acción de una fuerza constante en agnitud y dirección. Una condición se debe iponer sobre esta fuerza y es que no puede ser una fuerza de fricción (ás adelante se da la razón de esta restricción y r igura 3.12: Trabajo realizado por una fuerza constante. Para este caso la ecuación (3.5) se transfora en (b) (a) r W = (c) dr = r r. (3.12) La ecuación (3.12), indica que el trabajo realizado por una fuerza constante es independiente de la trayectoria seguida por la partícula, ya que sólo depende de las posiciones inicial y final. De este resultado se puede concluir que para las diferentes trayectorias ostradas en la figura 3.12, el trabajo realizado por la fuerza constante es el iso, es decir, W (a) = W (b) = W (c) Trabajo realizado por la fuerza gravitacional unque este es un ejeplo de fuerza constante, para alturas cercanas a la superficie de la tierra, el trabajo realizado por ella es de gran

16 12 CPÍTUL 3. TRJ Y ENERGÍ iportancia en uchas situaciones físicas. Para el caso ostrado en la figura 3.13, las coponentes rectangulares del peso g y de los vectores posición r y r, están dadas por g = gj, r = i + y j y r = i + y j. Reeplazando estas epresiones y efectuando los respectivos productos escalares, la ecuación (3.12) se transfora en y el vector desplazaiento en la ecuación (3.5), obteniéndose luego de integrar y evaluar, la epresión W = 1 2 k2 1 2 k2 = ( 1 2 k2 ). (3.14) W = gy gy = (gy). (3.13) y y y j y - y i g igura 3.13: Trabajo realizado por el peso. La ecuación (3.13) uestra, en este caso y coo es de esperar, que el trabajo realizado por el peso de la partícula es independiente de la trayectoria seguida por ella, pues depende sólo de las posiciones inicial y final, en otras palabras, depende de la diferencia de alturas entre las posiciones y Trabajo realizado por la fuerza elástica de un resorte Este es un ejeplo de fuerza variable que tabién posee gran iportancia en la física. Se considera el sistea de la figura 3.14, que consiste en un cuerpo de asa adherido a un resorte de constante elástica k y que puede overse sobre una superficie horizontal lisa. En esta situación, las coponentes rectangulares de la fuerza variable y del vector desplazaiento dr, están dadas por = ki y dr = di. Para deterinar el trabajo realizado por la fuerza elástica del resorte, al llevar el cuerpo de la posición a la posición, se reeplazan la fuerza igura 3.14: Trabajo realizado por la fuerza elástica de un resorte. unque la fuerza es variable, el resultado obtenido en la ecuación (3.14) indica que de nuevo el trabajo realizado por la fuerza no depende de la trayectoria sino de las posiciones inicial y final. Los dos casos anteriores, trabajo de la fuerza gravitacional y trabajo de la fuerza elástica, son dos ejeplos de un grupo de fuerzas que se presentan en la naturaleza y que se llaan fuerzas conservativas. De fora general y ateáticaente, se define una fuerza conservativa (r) = (,y,z) de anera que el trabajo realizado por ella se puede epresar coo la diferencia de los valores inicial y final de una cantidad escalar E p (,y,z), llaada energía potencial, es decir, la fuerza (r) = (,y,z), es conservativa si cuple la condición W = dr E p (, y, z) E p (, y, z) = E p (, y, z). (3.15) En conclusión, la ecuación (3.15) sólo es válida si la fuerza considerada es conservativa; adeás, uestra que la cantidad E p (,y,z) es función de las coordenadas, y, z.

17 3.6. UERZS CNSERVTIVS Y ENERGÍ PTENCIL 13 l coparar las ecuaciones (3.13) y (3.14) con la ecuación (3.15), se observa que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional y el trabajo realizado por la fuerza elástica de un resorte satisfacen la definición de fuerza conservativa. Por consiguiente, se puede asignar una función de energía potencial a un sistea cuerpo-tierra y a un sistea asa-resorte. De este odo, la energía potencial gravitacional asociada al sistea cuerpo-tierra queda definida por E p (y) gy, y la energía potencial elástica asociada al sistea asa-resorte por E p () 1 2 k2. Teniendo en cuenta estas dos definiciones, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional se puede epresar en la fora Para un sistea cuerpo-tierra, el nivel cero de energía potencial gravitacional coincide con el origen de coordenadas, ya que en este caso la dependencia es lineal con la coordenada vertical. Para el caso de un sistea asa-resorte, el nivel cero de energía potencial elástica se toa en la posición donde la fuerza elástica se hace cero, es decir, en la posición donde el resorte no ha sufrido estiraiento alguno. Cuando se trata de un sistea satélite-tierra, la función de energía potencial asociada al sistea es inversaente proporcional a la distancia r entre el satélite y la tierra, esto es, tiene la fora funcional E p 1/r. Es por ello que el nivel cero de energía potencial para este sistea se toa en el infinito, ya que allí la energía potencial se hace cero. (1) W = E p (y) E p (y) gy gy = E p, (2) y el trabajo realizado por la fuerza elástica en la fora W = E p () E p () = 1 2 k2 1 2 k2 = E p (). Se presenta una diferencia cuando el trabajo de una fuerza se epresa en función de la energía cinética y en función de la energía potencial. En el prier caso la epresión a utilizar es W = E k, y es válida independienteente de la fuerza que actúe sobre la partícula; en el segundo caso la epresión es W = E p, de validez únicaente si la fuerza que actúa sobre la partícula es conservativa. En sisteas donde se deba eplear el concepto de energía potencial, priero se debe definir lo que se conoce coo el nivel cero de energía potencial, que corresponde a una posición arbitraria, dependiendo de la fuerza conservativa que se esté considerando y de la situación física particular. igura 3.15: Trabajo realizado en una trayectoria cerrada. Debido a las características de las fuerzas conservativas, se tiene otra fora de saber si una fuerza es conservativa o no. Para ello se considera una partícula, que soetida a la fuerza, se desplaza de la posición a la posición por la trayectoria (1) y luego de la posición a la posición por la trayectoria (2) de la figura En fora ateática, si la fuerza que actúa sobre la partícula es conservativa, se debe cuplir la condición W = = dr + dr dr = 0. (3.16) donde la integral, con un círculo en el centro, significa que se integra a través de la trayectoria cerrada.

18 14 CPÍTUL 3. TRJ Y ENERGÍ La ecuación (3.16) perite saber si una fuerza dada es conservativa o no, es decir, es otra definición de fuerza conservativa. En el caso de la fuerza de fricción, se encuentra que el trabajo realizado por ella es diferente de cero ya que depende de la trayectoria; esta es la razón por la cual no se incluye dentro del grupo de fuerzas conservativas Conservación de la energía para una partícula Sobre la partícula de la figura 3.16, de asa, siultáneaente actúan varias fuerzas. De este odo, su resultante realiza un trabajo W entre los puntos y de la trayectoria, dado por W = E k, (3.17) con E k = E k E k. hora, si todas fuerzas son conservativas, su resultante es conservativa y el trabajo realizado por ella es donde E p = E p E p. W = E p, (3.18) E = E. Coo en la situación que se está analizando los puntos y son arbitrarios, se tiene que la energía total de una partícula peranece constante si todas las fuerzas a las que está soetida son conservativas. Mateáticaente, para fuerzas conservativas E = 1 2 v2 + E p (,y,z) = Constante. (3.19) La ecuación (3.19) perite definir una fuerza conservativa, coo aquella que perite conservación de la energía, de ahí su nobre. Casos particulares de la ecuación (3.19): 1. Para un cuerpo en caída libre, sistea cuerpo-tierra de la figura 3.18, la energía total se conserva por ser la fuerza gravitacional conservativa. Mateáticaente, se epresa en la fora E = 1 2 v2 + gy = Constante. En este caso, cuando el cuerpo desciende la energía potencial se transfora en energía cinética, y cuando asciende la energía cinética se transfora en energía potencial. sea, ientras el cuerpo se ueve verticalente hay una transforación de un tipo de energía en otro. y igura 3.16: uerza conservativa actuando sobre. y Coo las ecuaciones (3.17) y (3.18) se refieren al trabajo realizado por la isa fuerza, se satisface la igualdad E k + E p = E k + E p, donde se define la energía ecánica total, o sipleente energía total, en la fora E E k + E p = 1 2 v2 + E p (,y,z). v Tierra igura 3.17: Sistea cuerpo-tierra. E p = 0 2. Para el sistea asa-resorte de la figura 3.18, con oviiento sobre una superficie

19 3.7. CNSERVCIÓN DE L ENERGÍ PR UN PRTÍCUL 15 lisa, la energía total tabién se conserva ya que la fuerza elástica de un resorte es conservativa. Mateáticaente, k E = 1 2 v k2 = Constante. E p = 0 igura 3.18: Sistea asa-resorte. En esta situación, el cuerpo adquiere un oviiento que se repite a intervalos iguales de tiepo o de vaivén, tal que la energía peranece constante, o sea, que durante el oviiento de la partícula se tiene una transforación de energía cinética a potencial y viceversa. Ejeplo 3.5. Mediante el pequeño bloque de asa, un resorte de constante k sufre una deforación d, coo se uestra en la figura. Una vez que el bloque es dejado en libertad, se ueve sobre la superficie horizontal hasta el punto, a partir del cual asciende por un plano inclinado. El bloque no está adherido al resorte y las superficies son lisas. a)halle la rapidez del bloque cuando pasa por el punto. b) Encuentre el desplazaiento áio del bloque sobre el plano inclinado. c) Halle el valor de las cantidades obtenidas en los nuerales anteriores si k = 100N 1, = 5g, d = 2c y θ = 35 o. k d v E pg = 0 Solución a) En el trayecto horizontal actúan, la noral que no realiza trabajo, el peso que tapoco realiza trabajo y la fuerza elástica del resorte que es conservativa y actúa hasta el punto. sí, el sistea es conservativo, esto es, se conserva la energía del sistea cuando se ueve sobre la superficie horizontal. Mateáticaente 1 2 v2 = 1 2 kd2. De este odo, cuando pasa por el punto tiene una rapidez v = k d. Por lo tanto, entre ayor sea la deforación inicial del resorte la rapidez en es ayor, ya que eiste una proporcionalidad directa entre la velocidad y la deforación. b) Entre y sólo la coponente del peso g sen θ realiza un trabajo negativo sobre el bloque, ya que se opone a su desplazaiento. Moviiento N g E p =0 Coo el sistea sigue siendo conservativo, con v = 0 gssenθ = 1 2 kd2, donde S es el áio desplazaiento del bloque sobre el plano inclinado; así S = kd 2 2gsenθ. De este resultado se tiene que para una deforación fija del resorte, a ayor ángulo de inclinación enor es el desplazaiento del bloque sobre el plano inclinado. hora, para un ángulo de inclinación fijo, entre ayor sea la deforación inicial del resorte ayor es el desplaza-iento del bloque sobre el plano inclinado. c) Reeplazando los valores dados, se encuentra que la rapidez cuando pasa por el punto y el áio desplazaiento sobre el plano inclinado son, respectivaente v = 2.8 s 1, S = 0.7,

20 16 CPÍTUL 3. TRJ Y ENERGÍ Pregunta Entre qué puntos la velocidad del bloque es la isa que en? Por qué? Ejercicio 3.3. Coprobar que las diensiones y unidades de las cantidades obtenidas en el ejeplo 3.5, son correctas. Ejercicio 3.4. Un pequeño bloque de asa se suelta sobre un plano inclinado liso, desde una altura h respecto a su base. Luego de llegar a la base del plano inclinado, el bloque desliza sobre un superficie horizontal lisa hasta que se encuentra con un resorte de constante elástica k. a) Halle la rapidez del bloque cuando pasa por el punto. b) Encuentre la áia deforación del resorte. c) Deterine el valor de las cantidades obtenidas en los nuerales anteriores si k = 100 N 1, = 5 g, h = 5 c y θ = 35 o. k 3.8. uerzas no conservativas h E pg = 0 Se considera una partícula soetida a la acción de varias fuerzas siultáneaente aplicadas. Si al evaluar el trabajo realizado por estas fuerzas en una trayectoria cerrada, se encuentra que es diferente de cero, se tiene que al enos hay una fuerza que no perite que la energía se conserve, es decir, la energía ecánica se disipa y de anera no recuperable. las fuerzas de este tipo se les conoce coo fuerzas no conservativas. La eperiencia uestra que cuando se lanza un cuerpo sobre una superficie horizontal rugosa, el cuerpo pierde toda su energía ecánica que se transfora en calor y hace que las superficies en contacto se calienten. Por ello, la fuerza de fricción es una fuerza no conservativa. En general, si sobre una partícula actúan siultáneaente fuerzas conservativas y no conservativas se tiene que el trabajo total, realizado por todas las fuerzas, es dado por W T = W c + W nc, donde W c es el trabajo realizado por las fuerzas conservativas y W nc el efectuado por las fuerzas no conservativas. deás, coo siepre es válido que el trabajo total, realizado por todas las fuerzas, está dado por W T = E k, y para el caso de las fuerzas conservativas está dado por W c = E p, se tiene que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas se puede epresar en la fora W nc = E k + E p = E E = E. (3.20) Cuando se deterina el trabajo realizado por la fuerza de fricción, este es negativo, o sea, la energía total disinuye. sí, la ecuación (3.20) da la pérdida de energía total, debida a las fuerzas no conservativas. En cualquier caso, donde se presenten fuerzas no conservativas, representa una transforación de energía. En el caso de la fuerza de fricción, la energía ecánica se transfora en energía calórica. Este tea se tratará en la unidad de Terodináica. Ejeplo 3.6. Una partícula de asa se suelta desde el punto del carril ostrado en la figura. nalizar el coportaiento energético de la partícula ientras se encuentra en oviiento sobre el carril, cuando a) No se considera la fricción. b) Se presenta fricción entre las superficies en contacto. C E p = 0 Solución a) Entre y las fuerzas que actúan son el peso y la noral. La noral no realiza trabajo por ser perpendicular al desplazaiento y el peso, que es una fuerza conservativa, realiza trabajo. De este odo, entre

21 3.9. DERIVD DIRECCINL Y ENERGÍ PTENCIL 17 y el sistea es conservativo, es decir, la energía total de la partícula se conserva. De acuerdo con esto, ientras la partícula desciende la energía potencial gravitacional se transfora en energía cinética. partir del punto, ni la noral ni el peso realizan trabajo, o sea que el sistea sigue siendo conservativo, de tal fora que el cuerpo se ueve con velocidad constante para garantizar que la energía total se conserve en esta parte de la trayectoria. b) Cuando se presenta fricción entre las superficies en contacto, el sistea ya no es conservativo en ninguno de los traos de la figura. En este caso, ientras desciende entre y, disinuye la energía potencial transforándose parte de ella en energía cinética y el resto disipándose en fora de calor, lo que conlleva a una disinución de la energía total. Igualente, a partir de, donde sólo se tiene energía cinética, la energía continúa disipándose en calor hasta que la partícula alcanza un estado de reposo. En síntesis, toda la energía ecánica que tenía la partícula inicialente, se disipa copletaente en calor. Ejeplo 3.7. Mediante el pequeño bloque de asa, un resorte de constante k sufre una deforación d, coo se uestra en la figura. Una vez que el bloque es dejado en libertad, se ueve sobre la superficie horizontal hasta el punto, a partir del cual asciende por un plano inclinado. El bloque no está adherido al resorte, suponga que el coeficiente de fricción entre las superficies en contacto es µ y que la distancia es 2d. a)halle la rapidez del bloque cuando pasa por el punto. b) Encuentre el desplazaiento áio del bloque sobre el plano inclinado. c) Halle el valor de las cantidades obtenidas en los nuerales anteriores si k = 100N 1, = 5g, d = 2c y θ = 35 o y µ = 0.4. a) En el trayecto horizontal, a diferencia del ejeplo 3.5, el sistea no es conservativo ya que se presenta fricción sobre el bloque y la no conservación de la energía eige que para este caso 3µgd = 1 2 v2 1 2 kd2, de donde se encuentra que la rapidez en el punto es v = k d2 6µgd. l coparar este resultado con el obtenido en el ejeplo 3.5, se tiene el térino adicional 6µgd, que reduce la rapidez coo consecuencia de la fricción que actúa sobre el bloque. deás, se presenta una restricción respecto a la rapidez, y es que sólo son posibles agnitudes de velocidad reales si se cuple la condición kd 6µg. b) En el trayecto, el sistea sigue siendo no conservativo, lo que perite encontrar que el áio desplazaiento sobre el plano inclinado es S = kd 2 6µgd 2g(senθ + µcosθ), donde aparece el iso térino adicional debido a la fricción. En este caso, el desplazaiento tiene significado físico si el térino del nuerador es positivo. c) Reeplazando valores se tiene que la rapidez y el áio desplazaiento, respectivaente, están dados por v = 2.7 s 1, S = Derivada direccional y energía potencial k Solución d E pg = 0 En esta sección se deterina otra relación iportante entre una fuerza conservativa y su energía potencial asociada. Para ello se considera la fuerza conservativa que actúa sobre la partícula, de la figura 3.16.

22 18 CPÍTUL 3. TRJ Y ENERGÍ dr (Conservativa) igura 3.19: La fuerza conservativa y dr foran un ángulo θ. Teniendo en cuenta la definición de trabajo dada por la ecuación (3.4) y la definición de fuerza conservativa dada por la ecuación (3.15), el trabajo realizado por la fuerza conservativa en un intervalo de tiepo dt se puede epresar en la fora dw = cos θds = de p. hora, a partir de la figura 3.19, se obtiene T = cos θ = de p ds. De este odo, cuando se conoce la fora funcional de la energía potencial con la coordenada S, esto es, E p (S), es posible deterinar la coponente de la fuerza en la dirección del desplazaiento, correspondiente a esta coordenada. Esto es, la coponente de la fuerza en una dirección deterinada, es igual a enos la derivada de la energía potencial con respecto a la coordenada en esa dirección; por ello a esta derivada se le conoce coo derivada direccional de la energía potencial E p (S). En este punto se debe hacer una distinción en lo referente a la derivada, ya que la energía potencial asociada a una fuerza conservativa puede ser función de una, dos ó tres coordenadas, dependiendo que el oviiento ocurra en una, dos ó tres diensiones, es decir, depende del sistea que se esté analizando. sí, ientras en el oviiento de caída libre la energía potencial depende sólo de la coordenada vertical, en el caso del oviiento de la tierra alrededor del sol depende de dos coordenadas, y en general, para oviiento en tres diensiones puede depender de tres coordenadas, tales coo, y, z. En el caso siple de oviiento en una diensión, donde E p = E p (), es posible obtener la fuerza conservativa que actúa sobre la partícula paralelaente al eje, ediante la epresión = de p(), d donde se eplea el concepto ateático de derivada total, al utilizar el operador diferencial d / d. En dos diensiones, por ejeplo para oviiento en el plano y, la energía potencial asociada a la respectiva fuerza conservativa puede ser de la fora E p = E p (,y), donde siultáneaente aparecen las variables, y. sí, ediante el concepto de derivada direccional es posible deterinar las coponentes de la fuerza en las direcciones y y. Para ello se eplea el concepto de derivada parcial, que perite derivar la función respecto a una de las variables y toar la otra variable coo si fuera una constante. En este caso se utiliza el síbolo en lugar de la letra d para una diensión. De este odo, las coponentes rectangulares de la fuerza conservativa están dadas por = E(,y) y = E(,y) y con y = Constante, con = Constante. unque se ha tratado la fora funcional de la energía potencial en coordenadas rectangulares, lo anterior tabién es válido para el caso de coordenadas polares, coo se uestra posteriorente. Cuando se trata el oviiento de una partícula en tres diensiones, la energía potencial en coordenadas rectangulares tiene la fora funcional E p = E p (,y,z). Por consiguiente, al generalizar se tiene que las coponentes rectangulares de la fuerza conservativa correspon-

23 3.9. DERIVD DIRECCINL Y ENERGÍ PTENCIL 19 diente están dadas por = E p(,y,z), con y y z constantes, y = E p(,y,z), con y z constantes, y z = E p(,y,z), con y y constantes, z donde de nuevo se ha epleado el concepto de derivada parcial. diferencia del caso de dos diensiones, cuando se deriva respecto a una variable se toan las otras dos variables coo si fueran constantes. Continuando con el concepto de derivada direccional, al tener en cuenta las relaciones anteriores, la fuerza conservativa en coponentes rectangulares se epresa en la fora = E p(,y,z) i E p(,y,z) y j E p(,y,z) k, z o equivalenteente ( = i + y j + ) z k E p (,y,z), donde se define el operador nabla coo sea, i + y j + z k. = grad E p = E p. sí, la fuerza es igual a enos el gradiente de la energía potencial. En general, al aplicar el operador nabla a un escalar se obtiene un vector, y a la operación correspondiente se le conoce coo gradiente. Por otro lado, este resultado es de validez general independiente del sistea de coordenadas que se esté epleando, solo que la fora del operador es diferente para cada sistea. Casos particulares 1. En el caso gravitacional, coo se uestra en la figura 3.20, la energía potencial gravitacional está dada por E p (y) = gy, entonces y = de p(y) dy = g, que corresponde al negativo de la agnitud del peso de la partícula, donde el signo enos indica que esta fuerza apunta en sentido vertical hacia abajo, coo es de esperarse. y g Moviiento Tierra igura 3.20: uerza gravitacional. Coo ocurre en el caso general, la fuerza gravitacional es perpendicular a las superficies donde la energía potencial es constante y que se conocen coo superficies equipotenciales o de igual potencial. En la figura 3.20, la superficie de la tierra es una superficie equipotencial, igual que las superficies paralelas a la superficie terrestre, y la fuerza es perpendicular a dichas superficies. 2. Para un sistea asa-resorte, la función de energía potencial asociada a la partícula de la figura 3.21, está dada por E p () = 1 2 k2, entonces la fuerza elástica correspondiente está dada por = de p() d = k, que no es as que la ley de Hooke. k igura 3.21: uerza elástica de un resorte. 3. En el caso de oviiento en un plano, epleando las coordenadas polares r y θ, si se conoce la energía potencial E p (r,θ), de acuerdo con la figura 3.22 se tiene - En la dirección radial la coponente de la fuerza es r y el desplazaiento respectivo

24 20 CPÍTUL 3. TRJ Y ENERGÍ r igura 3.22: uerza radial y transversal. ds = dr, entonces, r r = E p(r,θ). r - hora, en la dirección transversal la coponente de la fuerza es θ y el desplazaiento correspondiente es ds = rdθ, así, en esta dirección la coponente de la fuerza se obtiene ediante la epresión θ = 1 r E p (r,θ). θ En sistea tales coo, tierra-luna, sol-tierra, o el odelo de ohr para el átoo de hidrógeno, la energía potencial asociada sólo depende de la distancia de separación r entre los cuerpos interactuantes, o sea, es independiente de la coordenada θ. De este odo, la coponente transversal es cero, y la fuerza al tener únicaente coponente radial, es tal que su línea de acción pasa por un punto fijo correspondiente al centro de fuerza. En los casos que se presenta esta situación, se dice que la fuerza es central. sí, para una fuerza central la energía potencial sólo depende de la distancia de la partícula al centro de fuerza, lo que perite afirar que las fuerzas centrales son conservativas. Para fuerzas no centrales se tiene una coponente en la dirección transversal y la agnitud del vector r está dada por hora, coo r = θ r = E p(r,θ). θ r = dl dt, se tiene que al depender la energía potencial de la coordenada θ el oento angular varía con el tiepo ientras la partícula se encuentra en oviiento. Por lo tanto, siepre que la energía potencial depende de θ, el producto r es diferente de cero, lo que genera un cabio en el vector oento angular en dirección perpendicular al plano del ángulo θ Moviiento rectilíneo bajo fuerzas conservativas Cuando sólo actúan fuerzas conservativas sobre una partícula, ediante consideraciones de energía, es posible resolver copletaente el problea de la dináica, es decir, se puede deterinar la posición de la partícula en función del tiepo. Coo ejeplo, se considera una partícula de asa que se ueve sobre una trayectoria coincidente con el eje, debido a la acción de una fuerza conservativa. Esto perite asociarle una función de energía potencial de la fora E p (). Coo el sistea es conservativo, la ley de conservación de la energía eige que E = 1 2 v2 + E p () = Constante. (3.21) Partiendo de la ecuación (3.21) se puede encontrar la posición de la partícula en función del tiepo, siepre y cuando se conozca la fora funcional de la energía potencial con la posición. hora, si se cuplen las condiciones ipuestas, se despeja la velocidad de la ecuación (3.21), obteniéndose la epresión d dt = 2 {E E P()}, (3.22) donde se ha epleado la definición de velocidad. inalente, partiendo de la ecuación (3.22), separando variables e integrando, se llega a la epresión 2 o d = t, (3.23) 1/2 {E E p ()}

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