CONCEPTOS BÁSICOS DEL CÁLCULO ESTRUCTURAL

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1 CONCETOS ÁSICOS DEL CÁLCULO ESTRUCTURL rof. Carlos Naarro Departamento de ecánica de edios Continuos Teoría de Estructuras

2 ODELO DEL TERIL ientras no digamos los contrario, supondremos que el material del que está realiada la estructura muestra un comportamiento elástico-lineal hasta rotura ODELO DE DEFORCIÓN ientras no digamos los contrario, supondremos que consideramos la hipótesis de pequeñas deformaciones

3 RINCIIO DE SUEROSICION q q

4 ENERGÍ INTERN, ELÁSTIC O DE DEFORCIÓN Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresiamente, desde cero hasta su alor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realiado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido, por tanto: U W

5 Trabajo eterno energía de deformación La maoría de los métodos energéticos en el cálculo de estructuras se basan en el rincipio de la conseración de la energía, que establece que el trabajo realiado por las fueras eteriores que actúan sobre un sistema estructural, W e, coincide con la energía de deformación que almacena dicho sistema, U i. W e U i Trabajo de una fuera eterior L F δ F δ U i F δ Energía interna dw e Fd W e Fd 0 Cuando la fuera F se incrementa desde cero hasta un alor final F, la elongación de la arra resulta ser : W e 0 ( ) d δ U e ( ) δ 0 δ

6 El trabajo realiado por las cargas eteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplaamientos de sus puntos de aplicación (en las dirección de las mismas, por supuesto). F i i r i W n i F i d i d i Si entre las cargas aplicadas eistiera algún momento, bastaría con tener en cuenta que: - donde se dijera fuera se debería decir momento - donde se dijera desplaamiento se debería decir giro - donde se epresara trabajo (WFd, en el caso de fueras) se debería escribir W.

7 EJELOS: W/.d d W/.

8 F α F F F d d W U r F d r F d Las reacciones en el empotramiento (fueras momento) no producen Trabajo, pues la sección sobre la que actúan no sufre moimientos!

9 DEFORCIÓN DE UN REND OR ESFUERZO XIL N G N du σ du ε E N E

10 Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a esfuero ail? N G N du σ du ε E N E du N du N E

11 L HIÓTESIS DE NVIER (FLEXIÓN) Una cara de cualquier rebanada, que era plana antes de deformarse la piea, sigue permaneciendo plana una e que la piea se ha deformado.

12 DEFORCIÓN DE UN REND OR OENTO FLECTOR C σ Μ h σ C Ι h G Canto h Hipótesis de Naier σ Μ h σ Ι SECCION LZDO LTERL σ σ C G I CG I ( compresión) ( tracción) d G CD CG σ G ε ' E σ CG CD ε C CC ' E d

13 Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a momento flector? d du d

14 G DEFORCIÓN DE UN REND OR ESFUERZO CORTNTE Q γ du du G γ E τ ( ν) El área a cortante Ω c depende de la geometría de la sección, en general, se puede escribir como: Ω c Ω/k. ara el caso de una sección rectangular k6/5 (para el caso de una sección circular, por ejemplo, k0/9) m Q Ω c τ G m du γ Q GΩ c

15 Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a esfuero cortante? du G Q γ du γ Q GΩ c du Q du Q GΩ c

16 DEFORCIÓN DE UN REND OR OENTO TORSOR ωd G d ω GK

17 Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a momento torsor? ωd G d ω GK du d GK

18 GK d du G Q du Q du c Ω d du E N du N du En resumen: il Flector Cortante Torsor

19 Qué energía interna se almacena en una piea cargada en la que aparecen todos los tipos de esfueros en todas las secciones de la piea? s GK ) s ( G ) s ( Q ) s ( E ) s ( N U c Ω La ariable s del integrando indica que los esfueros pueden ariar a lo largo de la piea en función del alor de dicha ariables

20 odríamos calcular a los desplaamientos en algún elemento estructural simple que se encuentre cargado? Supongamos que nos piden los desplaamientos (horiontal ertical) del etremo de la ménsula de la figura sometida a la carga inclinada que se indica: L La carga anterior puede descomponerse en sus dos componentes: F 45º F F F F

21 F L F F Le de ailes Le de cortantes Le de flectores L- V dv w 0 L F E d F W L E 0 L F GΩc d F GΩ c L d d F ( L ) ( L ) d ( ) d ( L ) ( L ) F 3 L L 0 ( L ) F d 3

22 Qué cuantía tienen esos desplaamientos? Supongamos una iga en ménsula de sección cuadrada de 0 cm de hormigón (E0 Ga ν0,) de longitud 4 m. Supongamos F0 kn. 0,04 m I, m 4 Ω c /,0,0333 Desplaamiento según el eje de la iga Flecha debida a cortante Flecha debida a fleión ,07 0 m , m , ,33 0 0, m 0, , w 5 Los desplaamientos debidos a fleión son mucho más grandes que los debidos a los esfueros ail cortante!

23 Cómo podríamos calcular el giro de la sección? F F L 45º F F L Le de ailes Le de cortantes Le de flectores L- V dv W No gira! No gira! d d 0 L 0 L ( ) d F L

24 EL TEORE DE CSTIGLINO U F j d i

25 LICCIÓN DEL TEORE DE CSTIGLINO ESTRUCTURS RETICULDS

26 roblema de la aplicación del Teorema de Castigliano: Este teorema sólo proporciona desplaamientos giros en aquellas secciones de la piea en las que actúa una fuera o un momento, respectiamente. Es decir, si en una sección deseamos determinar el giro que eperimenta no podemos aplicar (como hemos hecho antes) este teorema. ara solentar esta dificultad, podemos proceder cómo se indica a continuación:

27 Obtener el giro en la sección aplicando el Teorema de Castigliano Estado auiliar (ficticio) de cargas que se propone (además del a eistente):

28 .L [ ] L d ) L ( U 0 L L L U 3 3 L L U Si 0 L (Los momentos flectores los consideraremos positios si producen un giro en las rebanadas que inducan un giro horario en )

29 Cómo amos a utiliar el teorema de Castigliano a lo largo de este curso s GK ) s ( G ) s ( Q ) s ( E ) s ( N U T c Ω ) s ( GK ) s ( ) s Q( G ) s Q( ) s ( ) s ( ) s N ( E ) s N ( U T T c Ω torsor por unidad de carga en la dirección sentido de momento Variación del esfuero cortante por unidad de carga en la dirección sentido de Variación del flector por unidad de carga en la dirección sentido de momento Variación del por unidad de carga en la dirección sentido de esfuero ail Variación del ) s ( ) s Q( ) s ( ) s N ( T

30 Es práctica habitual, en el cálculo manual de igas estructuras reticuladas, despreciar los efectos en los moimientos de una piea causados por los esfueros ail cortante. or otra parte, si la estructura es plana, las cargas a las que se e sometida están contenidas en el plano de la estructura, no aparecen momentos torsores en la misma. or todo esto, la epresión del Teorema de Castigliano que utiliaremos será la que se deria del ejemplo siguiente:

31 Estado 0 (estado real) Estado I (estado auiliar) Veamos cómo aplicar esto último al problema que acabamos de analiar.l d ) ( GK ) ( ) ( Q G ) ( Q ) ( ) ( ) ( N E ) ( N I T T I c I I Ω En el sentido del momento auiliar unidad [ ][ ] L L d L 0 ) (

32 FÓRULS DE NVIER-RESSE

33 Desplaamiento inducido por los giros de las rebanadas Desplaamiento inducido por los propios de las rebanadas Desplaamiento sólido rígido Suma de giros de las rebanadas Giro sólido rígido FÓRULS DE NVIER-RESSE X Y Z X Y Z X Y Z r d du r u u d r r r r r r r r r r

34 IEZ LN CON CRGS EN SU LNO Q 0 Q Q u 0 u u w Y Z Esfueros desplaamientos en ejes locales: Giros desplaamientos en ejes globales: Criterios de signos: Giros omentos ( ) ( ) ( ) ( ) Ω Ω Ω Ω c c Y Y dy G Q dz E N Y Y w w Z Z dz G Q dy E N Z Z

35

36 Z Y Z Y (Y -Y ) (Z -Z )? ( ) ( ) ( ) ( ) Ω Ω Ω Ω c c Y Y dy G Q dz E N Y Y w w Z Z dz G Q dy E N Z Z Z Y V V W W

37 ( ) ( ) ( ) ( ) Ω Ω Ω Ω c c Y Y dy G Q dz E N Y Y w w Z Z dz G Q dy E N Z Z Z Y N N α α E N Ω d E N E N Ω Ω cosα d E N E N Ω Ω senα largamiento por ail

38 Z Y Q Q α α G Q Ω c d G Q G Q c Ω c Ω α sen d G Q G Q c Ω c Ω cosα ( ) ( ) ( ) ( ) Ω Ω Ω Ω c c Y Y dy G Q dz E N Y Y w w Z Z dz G Q dy E N Z Z

39 ( ) ( ) ( ) ( ) Ω Ω Ω Ω c c Y Y dy G Q dz E N Y Y w w Z Z dz G Q dy E N Z Z Z Y Z Z Y Y ( ) Z Z ( ) Y Y

40 IEZ RECT CON CRGS EN SU LNO d d 0 0 w w ( ) ( ) d d N d EΩ Q GΩ c d

41 Ejemplo: Determinar la flecha en Le de cortantes.l Le de flectores w w Cortante GΩ c L GΩ d c L GΩ c ( L ) ( l ) 3 L 3 ( L ) 3 3 d l 0 Fleión

42 ero, qué sucede en la práctica? h cor tan te L GΩ c c cor tan te fleión ( ν) fleión 3 L 3 L 3 3E ch GΩ c 3 h 0,6 3 L GΩ L E ch L c L 3, ( ν) Si hacemos, por ejemplo, L/h 50, ν0,, el cociente anterior resulta ser 0, La flecha debida al cortante es despreciable (0,03%) frente a la de fleión.

43 En Resistencia de ateriales en Cálculo de Estructuras se suele despreciar la contribución a los desplaamientos giros debidos a los esfueros ail cortante. Esto, de ninguna manera, quiere decir que dichos esfueros sean nulos en la piea.

44 iea recta con cargas en su plano despreciando las deformaciones inducidas por esfuero cortante esfuero ail ( ) ( ) w w d d ( ) ( ) Ω Ω c d E N w w d d G Q d

45 EJELO: q Flecha giro en? l Le de momentos flectores: ql / lq( l) d d 0 ( L ) q ( L ) d q.(l-) / 3 ql 6 3 d q L 8 4

46 Otras aplicaciones en problemas isostáticos: Determinar giros en igas apoadas l L /L /l /L /l Sentidos positios: 3 l l l. l 3 () L ( ) ( ) L L d L L L d L L 6 l 6 () ( L) L d d en sentido horario 0 giros omentos flectores L

47 ) ( ) ( ) / ( ) ( antihorario por producido antihorario l por producido antihorario antihorario l antihorario l l l o antihorari 3 ) ( 6 ) (

48 LICCIÓN ROLES HIERESTÁTICOS l R estado I ( l ) d estado I l estado II 0 estado II 3 Rl 3 l 3 Rl 3 0 R 3 l

49 ECUCIONES DE NVIER-RESSE R UN IEZ RECT CON CRGS EN SU LNO DESRECINDO L CONTRIUCION LOS OVIIENTOS DE LOS ESFUERZOS CORTNTES Y XILES w w d ( ) ( ) d

50 TEORES DE OHR

51 RIER TEORE DE OHR Directri sin deformar d ( ) ( ) d w w Le de momentos flectores d El ángulo girado por la directri entre dos secciones de una piea prismática recta de sección constante es igual al área del diagrama de momentos flectores entre ambas secciones diidido por el producto Directri deformada -

52 EJELO DE LICCIÓN DEL RIER TEORE DE OHR Giro en?.l 0 L ( L) L (horario)

53 SEGUNDO TEORE DE OHR ( ) ( ) d Directri deformada Directri sin d - deformar.( - ) La distancia, en dirección perpendicular a la directri sin deformar, entre un punto de la directri deformada a la recta tangente a la directri deformada en otro () es igual al momento estático del área de momentos flectores entre las secciones respecto del eje perpendicular a la directri sin deformar que pasa por el punto, diidido por el producto

54 EJELO DE LICCIÓN DEL SEGUNDO TEORE DE OHR q Flecha en? L ql /. G 3/4(L) 3 l.q l / l ql 8

55 EL DIUJO DE L DEFORD ESTI 0 kn C D m m m 5 kn m Le de flectores 5 kn m C D C D

56 OTRO EJELO: 7,68 m 37,3 kn.m C 3,84 m 8,5 kn.m D 7,5 kn.m 63,9 kn.m 94,9 kn.m

57 oimientos en barras prismáticas: Teoremas de ohr (Cont.) Generaliación al caso de puntos angulosos en la directri. rimer teorema C C 3 E D Sentidos positios (por ejemplo): E 4 omentos flectores giros 3 4 ( ) ( ) C ( ) CD ( ) DE

58 Ejemplo de aplicación: determinar el giro eperimentado por la sección (positio si horario) L L L h C ( L)L ( L)h L L h

59 oimientos en barras prismáticas: Teoremas de ohr (Cont.) Generaliación al caso de puntos angulosos en la directri. Segundo teorema Caso a): el eje δ no corta a la directri C h δ α h dδ Α dδ (h d).cosα D dδ f h.cos α α α E δ dδ fd f f ds δ f fd f f f G C G fg f

60 Ejemplo de aplicación: determinar los desplaamientos en la sección L L L G G u h G G C L L ( h ) [ ( ) ( )] dist. G, dist. G, L L L h L 3 3 h Lh u dist.( G,u) Lh

61 oimientos en barras prismáticas: Teoremas de ohr (Cont.) Generaliación al caso de puntos angulosos en la directri. Segundo teorema Caso b): el eje δ corta a la directri C δ D E

62 C δ δ D Sentidos positios (por ejemplo): -- E omentos flectores giros

63 Ejemplo de aplicación: determinar el desplaamiento según la dirección δ de la sección C L L L C L L L E E - - L δ δ L L 3 L L L L L L 3 L L L 3 L 3L 3

64 TEORE DE RECIROCIDD DE XWELL-ETTI En un sólido elástico el trabajo realiado por un sistema de cargas I al aplicar otro sistema de cargas II, es idéntico al trabajo realiado por el sistema de cargas II al aplicar el sistema de cargas I Ejemplo Sobre la ménsula que se obsera en la figura pueden actuar, separadamente, los sistemas de cargas distintos que se recogen en la figura. Suponiendo constante el producto, determinar el alor de la flecha en C correspondiente al sistema de cargas. C C L/ L/ L/ L/ SISTE SISTE sistema C sistema C L sistema ( horario) sistema C L 8

65 RCOS: IEZS DE DIRECTRIZ CURV R.cos R sen cos R cos π/ - R.cos

66 Lees de esfueros Rcos Rcos R R Q sen omentos flectores N cos R R Esfueros cortantes Esfueros ailes

67 Desplaamientos horiontal ertical de la sección (despreciando los moimientos inducidos por esfueros ail cortante): Rcos u R Le de momentos flectores Desplaamiento ertical Utiliando Naier-resse: Utiliando Castigliano: ( ) d( R cos ) ( R cos ) d debido al giro d de una rebanada genérica: R cos U π 0 π 0 ( Rcos) Rd π R cos 0 π 0 R cos ( Rd) U π 0 R cos Rd

68 Desplaamiento horiontal u Rcos R(-sen) u R(-sen) R Le de flectores Estado 0 Le de flectores Estado I Utiliando Naier-resse: Utiliando Castigliano: debido al giro d de una rebanada genérica: ( u ) d d R( sen ) R( sen ) R cos ( sen ) r u π 0 R cos ( sen ) r u π 0 I 0 π Rcos R( 0 sen )

69 Giro de la sección ( ) Rcos u R Le de flectores Estado 0 Le de flectores Estado I Utiliando Naier-resse: Utiliando Castigliano: π π π d R cos π 0 π 0 0 ( Rcos) I

70 Tratamiento de las cargas térmicas Deformación de una rebanada d/ T d/ c E F E F C C T D D largamiento o acortamiento: T T EE' FF α Giro: α d c ( T T ) arras de directri recta 00ºC C 00ºC 0ºC 80ºC 45º D ccanto

71 Tratamiento de las cargas térmicas (Cont.) arras de directri curilínea sometidas a una ariación uniforme de temperatura ( T) ( T) δ δ δ U U ( α T )cos α T cos α T L El moimiento en una dirección definida por un ector, del etremo de una barra curilínea en ménsula se obtiene multiplicando el coeficiente de dilatación por el incremento de temperatura por la proección de la directri de la iga en la dirección u.

72 LICCIÓN DEL TEORE DE CSTIGLINO ESTRUCTURS RTICULDS

73 ROLE ROUESTO Determinar, para la estructura articulada de la figura, los desplaamientos horiontal ertical que sufre el nudo 3. NOT: Considérese que E00 Ga.00 mm 35 kn kn

74 35 kn kn ESTDO 0

75 Resolemos la estructura, obteniéndose los siguientes esfueros ailes: Información sobre los elementos Num Nudo inicial Nudo final Longitud [cm] Área [cm ] Esfuero ail N 0 [N] Tensión aial σ [N/mm ] Notas 565,7, ,0 Compresión 3 400,0, ,5 Tracción ,0, ,0 Tracción ,0, , Compresión ,0, ,5 Tracción ma 565,7, ,0 min 300,0, ,0

76 Desplaamiento horiontal del nudo ESTDO I kn En este estado, sólo la barra trabaja, haciéndolo a un efuero ail de tracción de alor N I kn. Los ailes en el resto de barras es nulo. r u 0 I Li N i N i 4 0, E 00 0 ( kn / m ) 00 0 ( m ) i i i m

77 Desplaamiento ertical del nudo ESTDO II kn

78 Resolemos la estructura para el caso de carga II, obteniéndose los siguientes esfueros ailes: Información sobre los elementos Num Nudo inicial Nudo final Longitud [cm] rea [cm ] Esfuer o ail N II [N] Tensión aial σ [N/mm ] Notas 565,7, ,5 Compresión 3 400,0, ,4 Tracción ,0, ,8 Tracción ,0, ,6 Compresión ,0, ,4 Tracción ma 565,7, ,8 min 300,0, ,6 0 II Li Ni Ni 6 E 00 0 ( kn / m ) 00 0 i i i ( m 84 4 ( 35) ( 0,74) 5 0,49 3) 0,003346m 6 (( 79,96) ( 0,606) 5,657 0,49 4 )

79 Estructura deformada: 5 Estructura sin deformar deformada 4 3 [m] Estructura deformada arras a compresión arras a tracción [m]

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