EJEMPLO 1. Solución: Definimos las variables originales como: = número de conejos. x = número de pollos.

Transcripción

1 EJEMPLO. En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como complemento en su economía, de forma que no se superen en conjunto las 8 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su almacén sólo puede albergar un máimo de kilogramos de pienso. Si se supone que un conejo necesita kilogramos de pienso al mes y un pollo kilogramos al mes, que las horas mensuales de cuidados requeridos por un conejo son y por un pollo son y que los beneficios que reportaría su venta ascienden a 5 y pesetas por cabeza respectivamente, hallar el número de animales que deben criarse para que el beneficio sea máimo. Solución: Definimos las variables originales como: número de conejos. número de pollos. La función a maimizar, beneficio obtenido, será: (, ) 5 f + Las restricciones lineales del problema se formulas como: + (para la disponibilidad del pienso) + 8 (para la disponibilidad de horas) Finalmente, tenemos las restricciones de no negatividad de las variables:,

2 El planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera: f + ma (, ) 5 s.a.: + + 8, El siguiente paso consistirá en pasar a la forma estándar, esto es, introducimos variables de holgura en las dos restricciones verdaderas, obteniendo, una vez realizadas las simplificaciones oportunas: ma 5 + s.a.: ,,, 8 La solución factible básica inicial es:,, 8 Así, obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: 8 5 Continuamos con las siguientes iteraciones: 5 / / / -/ 5-5

3 Obtenemos, por tanto, la solución óptima cuyo valor es: conejos, 6 pollos, Z 8 pesetas. Este problema puede ser resuelto también gráficamente: D C A 5 + y B + y + y 8 Ahora, calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función objetivo: A (,), B (5,), C (,6), D (,9) f (A), f(b) 5, f(c) 8, f(d) 7 Por tanto, obtenemos la misma solución: conejos y 6 pollos, con un beneficio máimo de 8 pesetas.

4 EJEMPLO. En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero se vende a 5 pesetas y contiene 5 gramos de polvorones, gramos de mantecados y 8 gramos de roscos de vino. El segundo surtido se vende a 56 pesetas y contiene gramos de polvorones, gramos de mantecados y gramos de roscos de vino. Se dispone de un total de kilogramos de polvorones, kilogramos de mantecados y kilogramos de roscos de vino. La empresa de embalajes sólo le puede suministrar cajas. Cuántos surtidos de cada tipo convendría fabricar para que el beneficio sea máimo?. Solución: Definimos las variables originales como: número de surtidos del tipo. número de surtidos del tipo. La función a maimizar, beneficio obtenido, será: (, ) 5 56 f + Las restricciones lineales del problema se formulan como: 5 + (para la disponibilidad de los polvorones) + (para la disponibilidad de los mantecados) 8 + (para la disponibilidad de los roscos) + (para la disponibilidad de las cajas) Finalmente, por su definición, tenemos las restricciones de no negatividad de las variables:,

5 El planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera: f, s.a.: ma ( ), Observamos que la restricción de la disponibilidad de cajas implica la restricción de la disponibilidad de los mantecados, por lo que esta última puede ser eliminada del problema. Teniendo en cuenta esta circunstancia, y simplificando en el resto de las restricciones, obtenemos la forma estándar: ma s.a.: ,,,, 5 La solución factible básica inicial es:,,, 5 Así, obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: / /

6 Continuamos con las siguientes iteraciones: / / / -/ 5 / -/ / / Obtenemos, por tanto, la solución óptima cuyo valor es: 8 surtidos tipo, surtidos tipo, Z 58 pesetas. Notamos que al igual que ocurría para el ejemplo, este problema puede ser resuelto también gráficamente, donde idenficamos las variables por comodidad como e y (número de surtidos del tipo y del tipo respectivamente). El método de resolución gráfica quedará de la siguiente manera: 6

7 D C A y B + y 5 + y 8 + y Ahora, calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función objetivo. Notamos que el punto de corte de las tres rectas de las restriciones tomadas dos a dos, es el mismo punto C: A (,), B (,), C (8,), D (,) f (A), f(b) 5, f(c) 58, f(d) 56 Por tanto, obtenemos la misma solución: 8 surtidos del tipo y del tipo, con un beneficio máimo de 58 pesetas. EJEMPLO. Cierto fabricante produce sillas y mesas para las que requiere la utilización de dos secciones de producción: la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere hora de trabajo en la sección de montaje y de horas en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una mesa precisa de horas en la sección de montaje y de hora en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento, mientras que la de pintura sólo 8 horas. El beneficio produciendo mesas es doble que el de sillas. Cuál ha de ser la producción diaria de mesas y sillas para que el beneficio sea máimo?. 7

8 Solución: Definimos las variables originales como: número de sillas. número de mesas. La función a maimizar, beneficio obtenido, será: (, ) f + Las restricciones lineales del problema se formulan como: (disponibilidad de horas en la sección de montaje) 8 (disponibilidad de horas en la sección de pintura) Finalmente, tenemos las restricciones de no negatividad de las variables:, El planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera: ma f (, ) + s.a.: + 9 +, 8 Obtenemos la forma estándar al introducir las correspondientes variables de holgura: ma + s.a.: ,,, 8 8

9 La solución factible básica inicial es:, 9, 8 Así, obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: 9 8 Continuamos con las siguientes iteraciones: / / 5 5/ -/ / -/ /5 -/5 -/5 /5 -/5 -/5 Obtenemos, por tanto, la solución óptima cuyo valor es: sillas, mesas, Z 7 veces el valor de venta de una silla. Notamos que de nuevo este problema puede ser resuelto aplicando el método gráfico, donde idenficamos las variables por comodidad como e y (número de sillas y de mesas respectivamente). Asi pues, obtenemos: 9

10 D A C B + y 9 + y + y 8 Ahora, calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función objetivo: A (,), B (,), C (,), D (,) f (A), f(b), f(c) 7, f(d) 6 Por tanto, obtenemos la misma solución: sillas y mesas, con un beneficio máimo de 7 veces el valor de una silla. EJEMPLO. En una fábrica se elaboran tres tipos de herramientas A, B y C. En la fábrica trabajan obreros durante 8 horas diarias y un revisor, para comprobar las herramientas una vez construidas, que trabaja hora diaria. Para la construcción de A se emplean horas diarias de mano de obra y precisa de 6 minutos de revisión, para la construcción de B se emplean igualmente horas de mano de obra y minutos para su revisión, y para C es necesaria hora diaria de mano de obra y minutos de revisión. Por problemas de producción en la fábrica no se pueden fabricar más de herramientas diarias y el precio de cada herramienta A, B y C es de, y pesetas respectivamente. allar cuántas unidades se deben elaborar cada día de cada una de ellas para obtener un beneficio máimo.

11 Solución: Definimos las variables originales como: número de unidades diarias del tipo A. número de unidades diarias del tipo B. número de unidades diarias del tipo C. La función a maimizar, beneficio obtenido, será: (,, ) + f + Las restricciones lineales del problema se formulan como: (disponibilidad de tiempo de mano de obra) 6 (disponibilidad de tiempo de revisión) (restricción de número de herramientas) Finalmente, por su definición, tenemos las restricciones de no negatividad de las variables:,, El planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera:,, s.a.: + + ma f ( ) ,, 6 Obtenemos la forma estándar al introducir las correspondientes variables de holgura:

12 ma + + s.a.: ,,,, 5, 6 6 La solución factible básica inicial es:,, 6, 5 6 Así, obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: Continuamos con las siguientes iteraciones: 8 / / / -/ 5 - / -/ 6 6 / -/ / -/ 6 -/ / - -5/ - 5 6

13 Obtenemos, por tanto, la solución óptima cuyo valor es: 6 herramientas A, herramientas B, 6 herramientas C, Z 6 pesetas de beneficio máimo. EJEMPLO 5. Un dentista emplea a tres asistentes. En los dos sillones de su consulta se realizan trabajos de endodoncia y estomatología general. Un servicio de endodoncia requiere.75 horas de sillón,.5 de trabajo de un asistente y.5 horas de trabajo del dentista. Un servicio de estomatología general requiere, respectivamente,.75 horas, hora y.5 horas. Por cada servicio de endodoncia se obtiene un beneficio de 5 pesetas y por cada servicio de estomatología general pesetas. Si tanto el dentista como sus asistentes trabajan 8 horas diarias, cómo debe distribuirse el trabajo, entre endodoncias y sesiones de estomatología general, para que el beneficio diario sea máimo?. Solución: Definimos las variables originales como: número de endodoncias. número de sesiones de estomatología general. La función a maimizar, beneficio obtenido, será: (, ) 5 f + Las restricciones lineales del problema se formulan como: (disponibilidad de tiempo de sillón) (disponibilidad de tiempo de asistentes) 8 (disponibilidad de tiempo del dentista)

14 Finalmente, por su definición, tenemos las restricciones de no negatividad de las variables:, El planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera:, 5 s.a.: ma f ( ) , 8 Simplificando la función objetivo entre, obtenemos la forma estándar al introducir las correspondientes variables de holgura: ma 5 + s.a.: ,,,, 5 8 La solución factible básica inicial es:, 6,, 8 5 Así, obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: 6 / / / 5 8 / / 5 5

15 Continuamos con las siguientes iteraciones: / -/ 6 / / 5 / -/6 5 / -/ -/8 -/ 8 - -/ Obtenemos, por tanto, la solución óptima cuyo valor es: 8 endodoncias, sesiones de estomatología general, Z 88pesetas de beneficio máimo. Este problema puede ser resuelto aplicando el método gráfico: D C A 5 + y B.5 + y.5 +.5y y 6 5

16 Ahora, calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función objetivo: A (,), B (6,), C (8,), D (,6) f (A), f(b) 8, f(c) 88, f(d) 6 Por tanto, obtenemos la misma solución: 8 endodoncias y sesiones de estomatología general, con un beneficio máimo de 88 pesetas. 6