1. Breve resumen de optimización sin restricciones en varias variables.
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- Óscar Río Cruz
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1 MATEMÁTICAS EMPRESARIALES G.A.D.E. CURSO 202/203 Práctica 2: Aplicaciones a la Optimización. En esta práctica se introducen las herramientas que nos ofrece el programa Mathematica para optimizar funciones de una o más variables.. Breve resumen de optimización sin restricciones en varias variables. Pretendemos resolver el problema de calcular puntos críticos de una función f y clasificarlos. Paso : Cálculo de puntos críticos. Los puntos críticos de la función son aquellos puntos que anulan su vector gradiente. Paso 2: Estudiar la matriz hessiana evaluada en los puntos críticos: Criterio : Determinantes o menores principales. Criterio 2: Autovalores o valores propios. Se recuerda que si la matriz hessiana evaluada en un punto crítico está asociada a una forma cuadrática definida positiva, entonces éste será un mínimo local y si es definida negativa, un máximo local. En el caso de que sea indefinida, será un punto de silla (no nos interesa en la optimización). 2. Cálculo de puntos críticos y clasificación. Para el cálculo de puntos críticos de una función, emplearemos la sentencia Solve derivada 0, derivada2 0,..., variable, variable2,... donde derivada, derivada2,... corresponden a las derivadas parciales de orden uno respecto de la primera, segunda,... variables. Ejercicio Calcula y clasifica los puntos críticos de la función g x, y, z x 2 y 2 z 2. Paso: Se define la función: g x, y, z : x^2 y ^2 z ^2 Solve x g x, y, z 0, y g x, y, z 0, z g x, y, z 0, x, y, z Se obtiene el punto crítico (0,0,).
2 2 Practica2.nb Se obtiene el punto crítico (0,0,). Paso 3: Para la clasificación del punto crítico, debemos construir en primer lugar la matriz Hessiana: hessiana x, y, z x,x g x, y, z x,y g x, y, z x,z g x, y, z y,x g x, y, z y,y g x, y, z y,z g x, y, z z,x g z, y, z z,y g x, y, z z,z g x, y, z Paso : Se evalúa la matriz Hessiana en el punto crítico obtenido. Con el comando Eigenvalues determinamos sus valores propios y por tanto su carácter. hessiana 0, 0, Eigenvalues hessiana 0, 0, el valor del mínimo, evaluamos la función en el punto crítico: g 0, 0, Ejercicio 2 Optimiza la función f x, y x 2 y x y 2 Paso: Se define la función: f x, y : x^2 x y y ^2 Solve x f x, y 0, y f x, y 0, x, y Se obtiene el punto crítico (0,0). Paso 3: Para la clasificación del punto crítico, debemos construir en primer lugar la matriz Hessiana: hessiana x, y x,x f x, y x,y f x, y y,x f x, y y,y f x, y Paso : Se evalúa la matriz Hessiana en el punto crítico obtenido. Con el comando Eigenvalues determinamos sus valores propios y su carácter. hessiana 0, 0 Eigenvalues hessiana 0, 0 el valor del mínimo, evaluamos la función en el punto crítico: f 0, 0
3 Practica2.nb 3 Luego tenemos un mínimo local en (0,0) con valor f 0, 0 0. Para visualizar dicho mínimo podemos recurrir al comando Plot3D estudiado en la práctica anterior: Plot3D f x, y, x, 2, 2, y, 2, 2 Ejercicio 3 Calcula y clasifica los puntos críticos de la función h x, y, z x 2 y 2 z 2 x y. Paso: Se define la función: h x, y, z : x ^2 y 2 ^ z^2 x y Solve x h x, y, z 0, y h x, y, z 0, z h x, y, z 0, x, y, z Se obtienen los puntos críticos 0, 2, 0,, 8 2, 0 y, 8 2, 0. Paso 3: Para la clasificación de los puntos críticos, debemos construir en primer lugar la matriz Hessiana: hessiana x, y, z x,x h x, y, z x,y h x, y, z x,z h x, y, z y,x h x, y, z y,y h x, y, z y,z h x, y, z z,x h z, y, z z,y h x, y, z z,z h x, y, z Paso : Se evalúa la matriz Hessiana en los puntos críticos obtenidos. Con el comando Eigenvalues determinados sus valores propios y su carácter. Tomemos el punto crítico (0, 2, 0): hessiana 0, 2, 0 Eigenvalues hessiana 0, 2, 0 Hay valores propios positivos y negativos, luego la matriz es indefinida, y el punto crítico es un punto de silla. NOTA : Se ha usado el comando N[%] para calcular el valor numérico de la expresión justamente anterior. Consideremos a continuación el punto crítico, 8 2, 0 : hessiana, 8 2, 0 Eigenvalues hessiana, 8 2, 0 el valor del mínimo, evaluamos la función en el punto crítico :
4 Practica2.nb h, 8 2, 0 Consideremos a continuación el punto crítico, 8 2, 0 : hessiana, 8 2, 0 Eigenvalues hessiana, 8 2, 0 el valor del mínimo, evaluamos la función en el punto crítico : h, 8 2, 0 Luego tenemos dos mínimos locales y un punto de silla. 3. Optimización con restricciones de desigualdad e igualdad usando WolframAlpha.com La versión 3.0 de Mathematica no tiene una forma directa de resolver problemas de optimización con restricciones de desigualdad o de igualdad. Así que vamos a usar la página web para resolver estos problemas. Tenemos el problema de optimización con restricciones de desigualdad: Opt. x 3 y 3 x s.a. 2 x 2 y 2 7 x 0, y 0 optimize x^3 y ^3 x, 2 x^2 y ^2 7, x 0, y 0 Tenemos el problema de optimización con restricciones de igualdad: Opt. x 3 y 3 x s.a. 2 x 2 y 2 7 optimize x^3 y ^3 x, 2 x^2 y ^2 7 Incluso podemos resolver, claro está, un problema de optimización sin restricciones: Opt. x 2 y 2 x
5 Practica2.nb 5 optimize x^2 y ^2 x
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