Algunas aplicaciones de la Teoría de Lie a la Economía y las Finanzas

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1 REVISTA DE MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA A ECONOMÍA Y A EMPRESA 6. Págins Diciembe de 00. ISSN: 6-56X. D.: SE UR: hp:// Alguns plicciones de l Teoí de ie l Economí y ls Finnzs Henández Fenández Isbel Depmeno de Geomeí y Topologí Univesidd de Sevill Coeo elecónico: ishefe@lum.us.es Meos Cones Consuelo Depmeno de Geomeí y Topologí Univesidd de Sevill Coeo elecónico: conmcon@gmil.com Núñez Vldés Jun Depmeno de Geomeí y Topologí Univesidd de Sevill Coeo elecónico: jnvldes@us.es Tenoio Villlón Ángel F. Depmeno de Economí Méodos Cuniivos e Hisoi Económic Univesidd Pblo de Olvide Coeo elecónico: fenoio@upo.es RESUMEN En ese ículo los uoes peenden mos y eplic cómo l Teoí de ie se puede plic l esolución de lgunos poblems elivos l Economí y ls Finnzs. Concemene se eliz un nálisis de dos de esos poblems y se discuen no sus specos memáicos como el cecmieno hecho desde l Teoí de ie p su esolución. Igulmene se indicn los vnces más ecienes eisenes en es líne de invesigción mencionndo mbién lgunos poblems bieos que pueden se dos en fuuos bjos. Plbs clve: Memáic Finncie; Memáic Económic; pogeso écnico; opciones con be móvil; gupos de ie; álgebs de ie. Clsificción JE: C0; C60; C65; G; O0. 000MSC: 9B; 9B; 7B99; 7B45; 7B0. Aículo ecibido el 7 de noviembe de 00 y cepdo el 9 de diciembe de

2 Some Applicions of ie Theoy o Economics nd Finnce ABSTRACT This ppe shows nd eplins wo poblems in Economics nd Finnce boh del wih ie Theoy ppoch. So mhemicl specs fo hese ppoches e pu fowd nd discussed in sevel economic poblems which hve been peviously consideed in he lieue. Besides some dvnces on his opic e lso shown menioning some open poblems fo fuue esech. eywods: Finncil Mhemics; Mhemicl Economics; echnicl pogess; moving bie opions; ie goups; ie lgebs. JE clssificion: C0; C60; C65; G; O0. 000MSC: 9B; 9B; 7B99; 7B45; 7B0. 75

3 . INTRODUCCIÓN Es bien conocido el uso que puede hcese de l Teoí de ie en l esolución de poblems elivos divesos cmpos cieníficos odos ellos disinos de ls Memáics. Hbiulmene dichs plicciones se enmcn en ls ciencis écnics y epeimenles fundmenlmene Físic e Ingenieí. No obsne l Teoí de ie es plicble ámbios disinos de los écnicos o de los epeimenles siendo les plicciones uns gndes desconocids p los invesigdoes en genel. Con el pesene ículo se peende d conoce lguns plicciones de l Teoí de ie l Economí y más concemene ls Finnzs fcilindo l invesigdo novel l posibilidd de incopose es pomeedo líne de invesigción. En l lieu cul nos efeimos myoiimene ículos de pincipios del s.xxi eise l endenci esudi l elción ene l Teoí de ie y divesos poblems económicos y finncieos. Dich endenci esá popocionndo uns hemiens de esudio ineesnes que esán bsds en ls popieddes de ls álgebs y los gupos de ie. Teniendo ese hecho en cuen nos ineesí hce un beve ecoido hisóico pevio po lgunos de los poblems y ópicos más significivos emplendo l Teoí de ie. Poseiomene nlizemos con más delle lgunos de esos bjos y concepos. En pime lug queemos enfiz el bjo de o y Hui quienes esudion l vloción de deivdos finncieos y más concemene de deivdos mulicivos inoduciendo divess écnics bsds en ls álgebs de ie. Pevimene o y Hui b y empleon l Teoí de ie p esudi ecuciones en deivds pciles con coeficienes dependienes del iempo modelos CEV sigls en inglés de elsicidd consne de vinz y opciones con be. Independienemene y emplendo igulmene ls álgebs de ie Bjök y ndén 00 hicieon un esudio p divesos modelos de s de ineés modelos inoducidos pevimene po el popio Bjök 00. Poseiomene Polidoo 00 elizó un esudio sobe un poblem finncieo coespondiene l om de decisiones bjo iesgo po pe de los genes en el mco de l eoí de ls funciones de uilidd. P su esudio empleó un ipo especil de gupos de ie: los denomindos nilpoenes. O ineesnísim plicción de l Teoí de ie l Economí es l inoducid po Bsov 004. Ese descibió lgunos méodos bsdos en ls popieddes de los gupos de ie p esolve el poblem de sceening mulidimensionl. Tmbién queemos esl el esudio elizdo po Gsp 006 quien obuvo un modelo genel p l esucu de los pecios plzos bsándose en l meodologí dd po Bjök y plicndo ls álgebs de ie. De hecho El mieno del poblem económico-finncieo esudido po Polidoo 00 fue nlizdo cíicmene en Henández e l

4 Bjök esudió cómo ls álgebs de ie podín emplese en el mieno de poblems efeenes voliliddes consnes y oos concepos deivdos de ess. Tmbién deben eseñse ls pociones de So l plicción de l Teoí de ie en el esudio de los pogesos écnicos y los efecos escls. De hecho So llegó inoduci un nuevo concepo denomindo holoeicidd p pode deemin cuándo los efecos escl podín difeencise po compleo de los efecos poducidos po los pogesos écnicos. Es más mbién uvo que defini un nuevo ipo de pogesos écnicos los denomindos de ipo ie consisenes en posee mbién un esucu de gupo de ie unipméico. P un esudio cíico del bjo de So no en elción los concepos como ls écnics empleds ecomendmos l leco consul Fedini y Tenoio 006. En dich efeenci mbién se indicbn lguns incoecciones o mbigüeddes comeids po So y se mosbn lgunos de los poblems ún bieos en elción con l invinci económic y en los que puede plicse l Teoí de ie. P ve un nálisis de divess plicciones de los gupos y álgebs de ie oos poblems económicos y finncieos dos en l lieu eciene ecomendmos el bjo de Henández e l. 00. El pesene ículo pesigue comple ese úlimo esudio cido y nliz cíicmene os dos plicciones de l Teoí de ie ls Finnzs. Ts l lecu de ese ículo espemos que l Teoí de ie pued se vis como un ecuso meodológico más p l invesigción en Economí y Finnzs en nues opinión summene ineesne y muy innovdo pese l desconocimieno de su plicbilidd. Finlmene epondemos lgunos vnces y línes fuus de invesigción en l plicción de l Teoí de ie l Economí y ls Finnzs.. AGUNAS NOCIONES ECONÓMICAS Y FINANCIERAS En l pesene sección ecodemos y eplicemos los éminos económicos y finncieos que pecen lo lgo del pesene eo p fcili el seguimieno del mismo l leco poco hbiudo ellos. Se denomin deivdo finncieo culquie poduco finncieo cuyo vlo esá bsdo en el pecio que posee un deemindo civo. Consisen en opeciones hipoéics cuy liquidción se eliz medine l difeenci eisene ene el pecio de mecdo del civo y el pecio pcdo en l opeción hipoéic. En vis de su definición el posible cálogo de deivdos finncieos no esá delimido y que culquie opeción finncie podí d lug un deivdo finncieo. En lguns efeencis pece con l denominción de insumeno deivdo. El civo del que depende el vlo del deivdo finncieo se denomin civo subycene. 77

5 En su oigen los deivdos finncieos enín como función elimin o educi ls consecuencis dvess poducids po cmbios desfvobles en el civo sobe el que se define el deivdo es deci elimin el iesgo en ls opeciones finncies. Hoy en dí no solo ienen ese uso sino que mbién se emplen como un poduco finncieo bsdo en l especulción con los pecios del civo. Eisen mbién los denomindos deivdos finncieos mulicivos consisenes en poducos finncieos cuyo vlo se bs en el pecio que poseen vios civos y no solmene uno como ocuí en el cso neio. En el pesene ículo emos concemene con uno de los más conocidos deivdos finncieos: ls denominds opciones. Se denomin opción l deecho comp o vende un civo en el fuuo un pecio pcdo. Debe enese en cuen que l comp un opción el compdo pg un pim po disfu del deecho dquiido miens que el vendedo cob dich pim. Po no se eliz un nscción en el insne de l conción de l opción 4. Debe enese en cuen que mbién pueden considese opciones mulicivos en ls que el deecho de comp o ven no se limi un único civo sino vios. Eisen dos ipos de opciones esánd: ls opciones de esilo meicno y ls de esilo euopeo. s pimes son quells en ls que puedes ejece u deecho de comp-ven en culquie momeno neio l fech de vencimieno del cono; miens que en ls segunds solo puedes ejece dicho deecho en l fech de vencimieno. Culquie oo ipo de opción se denomin eóic. Un cso picul de opciones eóics son ls opciones con bes. Se denomin opción con be 5 od opción cuy cncelción o civción depende del vlo lcnzdo dune un peíodo de iempo deemindo po el pecio del civo subycene. Ese vlo seá independiene del vlo del civo en l fech de vencimieno de l opción. Es deci l civción o cncelción de l opción depende de que el pecio del civo lcnce unos deemindos vloes umbles de hí l denominción de opciones con be. Son vios los ipos de opciones con bes eisenes dependiendo de los umbles que le pongmos l vlo del civo. Seguidmene indicmos los pinciples ipos y subipos de opciones con be:. Opciones con be de end knock-in: l opción ps civse y se esánd si el pecio del civo subycene lcnz el vlo fijdo en l be dune el peíodo coddo. 4 Eise oo deivdo finncieo denomindo fuuo en el que solo se eliz un compomiso de compven de un civo peo no se eliz ningun nscción en el momeno de su conción. 5 Tmbién se ls denomin opción ipo be. 7

6 . Opciones bjo y de end down-in: l be se fij po debjo del pecio inicil del civo civándose l opción cundo el pecio lleg se infeio l be. b. Opciones ib y de end up-in: l be se fij po encim del pecio inicil del civo civándose l opción cundo el pecio es supeio l be.. Opciones con be de slid knock-ou: l opción dej de eisi o epi sin vlo cundo se lcnz el vlo fijdo en l be p el pecio del civo.. Opciones bjo y de slid down-ou: l be se fij po debjo del pecio inicil del civo epindo l opción cundo el pecio lleg se infeio l be. b. Opciones ib y de slid up-ou: l be se fij po encim del pecio inicil del civo epindo l opción cundo el pecio lleg se supeio l be. Teniendo en cuen lo neio ls opciones con be pueden conse de l modo que l be se doble es deci que se ib y bjo l vez e incluso puede esblecese un be móvil que vy jusándose dune od l vid de l opción hs lcnz l fech de vencimieno. Culquie poduco finncieo incluids ls opciones pesen l poblemáic de l fijción de pecios. En l fijción de pecios l empes debe conside no ls necesiddes del mecdo hci el poduco ofedo como el poceso poducivo con sus coses y objeivos de enbilidd. Es deci cundo se fijn los pecios l empes busc obene el máimo beneficio posible p lo que debe busc el equilibio ene elegi un pecio compeiivo más fácil de vende y un pecio que pemi unos mágenes más mplios. Fecuenemene se busc eliz el myo númeo de vens posibles p que los ingesos sen popidos peo es obvio que no deben esblecese los pecios de los poducos sin ene en cuen el cose y que ese es un do objeivo e impone del que suele dispone el empesio miens que los dos coespondienes l demnd no son siempe n fáciles de conoce o deemin y demás es fcilidd depende del poduco concemene de su elsicidd. No obsne los poducos finncieos no siguen ecmene el mismo poceso que los poducos o sevicios de empess no finncies y pesenn cceísics picules. Así po ejemplo en los poducos de en fij el pecio se mc po subs públic miens que en los poducos de en vible el pecio lo mc el mecdo. A l ho de deemin los pecios de un poduco finncieo en nueso cso de ls opciones suele considese el modelo CEV. Ese modelo inoducido po Co

7 eiende el de Blck-Scholes p l fijción de pecios e inoduce l posibilidd de conside un volilidd esocásic. En el modelo CEV se supone que el pecio S del civo sigue el siguiene poceso de difusión 6 en función del iempo : ds μ S d σ S β / dz donde μ es el pámeo que indic l s de cecimieno 7 σ es el pámeo de volilidd β es el pámeo que deemin l elsicidd de l función de volilidd locl y Z es un poceso de Wiene 9. Debe enese en cuen que el pámeo β suele elegise en el inevlo [0 poque es en les csos en los que se puede segu lgun significción económic. Más concemene en dicho escenio l volilidd umená medid que el pecio del civo decezc u y Hsu 005. En el cso β esímos ne un movimieno Bownino esánd y más concemene ne el modelo Blck-Scholes. Al epone el modelo CEV hemos nombdo el émino volilidd. Ese es un émino peeneciene l ámbio de los pocesos esocásicos siendo usdo en Finnzs p medi el iesgo de un deivdo finncieo en un deemindo peíodo de iempo. Más concemene l volilidd mide l desvición esánd que pesenn los cmbios de vlo de un deemindo deivdo finncieo en un hoizone empol específico. volilidd suele medise omndo como peiodo empol un ño compleo; en cso de conside un peíodo de iempo disino un ño esmos ne un volilidd genelizd. o usul es conside un modelo con volilidd consne dune od l vid del deivdo considedo. En consecuenci no influií ninguno de los cmbios eisenes en el pecio del civo. Es po ese moivo que se considen pocesos en los que l volilidd no es consne sino que ell mism es un poceso esocásico. Es opción pemie modeliz más coec y enblemene los deivdos finncieos. A coninución psmos ls nociones de efeco escl y de cmbio écnico en un economí dd. Considemos un economí en l que y epesenn el cpil y l mno de ob especivmene. Dich economí se epesen medine un función de 6 Un poceso de difusión es culquie solución de un ecución difeencil esocásic; es deci un poceso de Mkov que depende coninumene del iempo y con cminos pciles coninuos. 7 Se denomin coeficiene de endenci del poceso de difusión l poduco μ S. β / Se denomin coeficiene de difusión del poceso l poduco σ S. 9 Un poceso de Wiene es un poceso esocásico dependiendo coninumene del iempo. El ejemplo más conocido de poceso de Wiene es el movimieno Bownino. P un eplicción de los pocesos de Wiene y su funcionmieno ecomendmos ss y Sheve

8 poducción neoclásic 0 Y f que se coninumene difeencible y globlmene qusi-cóncv. función de poducción neio no siempe se mniene consne sino que sufe modificciones lo lgo del iempo. Dichs modificciones pueden debese bien viciones en el cpil bien mejos en l invesigción. os concepos empledos en Economí p epesen esos cmbios son el de cmbio écnico y el más esicivo de pogeso écnico. Po cmbio écnico enendemos culquie cmbio en l función de poducción que le l elción ene consumos y poducciones. El cmbio écnico se denomin pogeso écnico si l poducción umen p culquie consumo con especo l obenido nes del cmbio. Al inoducise un cmbio écnico en un economí l función de poducción f se supone que no ví peo sí lo hcen los niveles de poducción. Po no l función de poducción s el cmbio écnico psí epesse como Y f donde es el pámeo de pogeso écnico e Y es l poducción p el cpil y l mno de ob s el pogeso écnico. P deno un pogeso écnico con pámeo suele emplese l noción: T : R R Y f. En cso de que no hy lug confusión con especo l pámeo el pogeso écnico puede denose eclusivmene po T. El pogeso écnico puede definise mbién como l vición de l economí en ls necesiddes del cpil y de l mno de ob s dicho pogeso. P ello se emple el concepo de funciones y ψ de pogeso écnico de y que combinn los dos fcoes medine el pámeo de pogeso écnico : T : ψ. s vibles y se denominn cpil efecivo y mno de ob efeciv especivmene. s funciones y ψ deben suponese nlíics y eles especo de ls es 0 Un función de poducción Y f se dice neoclásic si es homogéne de gdo endimieno escl consne y disminuye suvemene especo de los fcoes individules. Recuédese que Y f se dice que disminuye suvemene especo un fco individul si l umen uno de los fcoes de l poducción pemneciendo los demás consnes ls gnncis globles dececen elivmene pi de un cieo puno. Se f :R R un función difeencible l menos hs oden y se Dom f. función f es qusi-cóncv en si y solo si l miz hessin de f en Hf es semidefinid negiv.

9 vibles i.e. y. Además ls funciones y ψ son independienes especo de ls vibles y ; es deci se veific l siguiene condición: 0. ψ ψ Al sisfcese l condición neio puede plicse el Teoem de l Función Implíci l función vecoil ψ T fomd po ls dos funciones de pogeso écnico menos l función vecoil consne consisene en. De ese modo podemos despej ls vibles y en función de ls vibles y pudiendo conoce ls necesiddes de cpil y mno de ob s el pogeso écnico. Se l función de poducción f y el pogeso écnico T definido po ψ. Se dice que f es un función holoéic bjo el pogeso écnico T si el efeco ol del pogeso écnico T sobe f puede se epesendo po un función F esicmene monóon. Es condición puede epesse como: Y F f g f f f Y ψ. P el esudio de l holoeicidd de un función de poducción es conveniene que el pogeso écnico considedo sisfg ls es popieddes de un gupo de ie unipméico:. Popiedd G: T T T siendo: : T ψ : T ψ : T ψ. Popiedd G: T T siendo: : T ψ. Popiedd G: T 0 0 : 0 ψ Teoem de l Función Implíci: Sen m m n f R R : un función coninumene difeencible definid como y f y y un puno m n b R l que 0 b f. Si l miz j i j i b y f iene deeminne no nulo enonces eisen un enono U de oo V de b y un únic función V U g : l que g y.

10 Culquie pogeso écnico T que sisfg ls popieddes G G se denomin pogeso écnico de ipo ie. Suponiendo que el pámeo epesen el ño en el que ocue el pogeso écnico el cpil efecivo y l mno de ob efeciv coesponden especivmene l cpil y mno de ob eisenes en ese ño. En consecuenci ls popieddes G G se pueden inepe como siguen: Popiedd G: si el cpil y l mno de ob disponibles en los ños y se epesn con ls funciones y ψ dependienes de los vloes del cpil y l mno de ob del ño pevio el cpil y l mno de ob eisenes en culquie momeno pueden obenese medine sums del ipo. De ese modo conocid l vición del cpil y de l mno de ob en el pime ño i.e. se obiene l de culquie ño n considendo n n i. Popiedd G: el cpil y l mno de ob en el momeno inicil se obienen pi de ls funciones de pogeso écnico y emplendo el pámeo. Popiedd G: el cpil y l mno de ob iniciles son igules los efecivos si no iene lug el pogeso écnico. Debe enese en cuen que no es ningún poblem el supone ess es hipóesis en los pogesos écnicos. So 9 obsevó que ods ls funciones de pogeso écnico uilizds en Economí veificbn ls es popieddes neioes con lo que les hipóesis no son esicivs vése Fedini y Tenoio 006 p un delld eplicción de l plicción hech po So sobe los gupos unipméicos l Economí y su fundmención eóic. De hecho puede demosse que odos los ipos de pogeso écnico neiomene considedos peenecen los denomindos pogesos écnicos de ipo poyecivo. Esos úlimos pogesos écnicos son quellos que se obienen medine l inegción de un nsfomción infiniesiml socid un gupo de ie poyecivo. En un economí los efecos escl conllevn que los incemenos debidos l doción en l mno de ob y en el cpil de l economí llevn ss de cecimieno de l poducividd más l o más bjs. Pueden considese es ipos de efecos de escl:. Rendimienos escl consnes: el incemeno de mno de ob y cpil conllev un incemeno popocionl de l poducividd.. Rendimienos escl cecienes: el incemeno de mno de ob y cpil conllev un incemeno de l poducividd supeio l popocionl.

11 . Rendimienos escl dececienes: el incemeno de mno de ob y cpil conllev un incemeno infeio de l poducividd. Finlizmos l pesene sección de pelimines eplicndo en qué consisen los poblems de sceening. En un gn númeo de empess los nceles no suelen se popocionles ls cniddes compds; es deci los nceles suelen epesense de mne no linel. fijción no linel de pecios se bs en l eisenci de infomción pivd po pe de los consumidoes; unque es infomción pivd podí cpuse en pincipio sumiendo un númeo finio de ipos o un coninuo -dimensionl de ipos. No obsne p especific el pgo suele se conveniene conside un función de vis cceísics i.e. vibles. Además cd uno de los difeenes clienes puede evlu de mne difeene cd un de ess cceísics. Po no el ipo de los clienes con sus evluciones p cd un de ls cceísics no puede deeminse po no medine un cceísic de dimensión. Es siución es l que hce plnese los poblems de sceening mulidimensionl fomulción genel de ese ipo de poblems se debe Amsong 996 y Wilson 99. Esos consideon un monopolio que poducí n bienes con un función de coses conve. s pefeencis de un consumido sobe los bienes poducidos se pmeizbn medine un veco m-dimensionl. os ipos de consumidoes eisenes se disibuyen siguiendo un función de densidd coninumene difeencible definid sobe un m conjuno conveo y codo de R siendo l función de densidd eensible po coninuidd l clusu de su dominio. Al monopolis le inees mimiz sus beneficios medine l elección de un ncel que es un función del conjuno de pquees de bienes l ec el. De ese modo el ncel deemin cuáno pgá un consumido po un picul pquee de bienes. fomulción dd po Amsong consideb m pefeencis y n bienes obeniéndose un solución p lgunos csos especiles. P ello supuso que ls pefeencis de los consumidoes venín deemind po un función de uilidd que v umenndo en odos sus gumenos y que es coninu conve y homogéne de gdo. Poseiomene el popio Amsong y oos uoes hn coninudo el esudio de l deeminción de los nceles en el ámbio del poblem de sceening.. APICACIONES EMPÍRICAS DE PROGRESOS TÉCNICOS DE TIPO IE Como se h indicdo pevimene So 90 9 inodujo el concepo de holoeicidd p pode disingui los efecos escl de los coespondienes l pogeso écnico. Es disinción de efecos fue un poblem bsne impone y mplimene discuido en l lieu económic sugido en 96 ne l discusión ene Solow 96 y Sigle 96. Fue So quien deeminó ls condiciones bjo ls cules mbos efecos son disinguibles po 4

12 sepdo. Tles condiciones fueon ls que So modelizó en l definición de holoeicidd y de función de poducción holoéic bjo un pogeso écnico de ipo ie. P más delles sobe odo el plnemieno de So y l bse memáic subycene dichos concepos ecomendmos l evisión hech po Fedini y Tenoio 006. En sus bjos So definió y ó ls funciones de pogeso écnico de ipo poyecivo. Ese ipo de pogesos écnicos le pemií bj con odos los ipos uilizdos hbiulmene en l lieu económic. Peo dejó sin cl lo que psb con oos csos especiles de pogesos écnicos poyecivos y cómo podín incopose esos un modelo dicionl sobe el compomieno del poduco. Michell 97 buscó idenific quellos csos especiles de pogesos écnicos poyecivos inoducidos po So que fuesen gupos unipméicos de nsfomciones y que demás pudiesen incopose los modelos esánd de poducción p medi cuál e el pogeso écnico no bsobido como un efeco escl en l función de poducción. Michell bsó su bjo en un modelo económico de poducción con dos inpus y eniendo como esuldo l poducción de un único bien. Epesó esos fcoes como un veco el de coodends no negivs y supuso que el pogeso écnico e eógeno. Es úlim suposición conllevb que los efecos del cmbio écnico no fecín l epesión memáic de l función de poducción y que el poceso de poducción se poducií s culquie leción en l poducividd po pe de los fcoes poducivos. Si T es el pogeso écnico considedo ese viene deemindo po sus funciones de pogeso écnico y que epesenn l nsfomción de los fcoes nominles y i.e. los vloes eisenes nes del cmbio écnico en los fcoes efecivos y especivmene. Po no Michell epesó memáicmene el pogeso écnico T como sigue: [ ; ; ] ; R eniendo en cuen que... es un veco el -dimensionl que egis los cmbios que conecen bjo l cción de dicho pogeso. Pecismene el veco suele denominse veco de pámeos del pogeso écnico siendo es l nomenclu que us el popio Michell. P defini el pogeso écnico que le inees uiliz Michell es necesio que ls funciones de pogeso écnico sisfgn ls popieddes de un gupo de ie mulipméico de nsfomciones en ese cso -pméico. Dichs popieddes son ls siguienes: noción de funciones del pogeso écnico fue eplicd mplimene en l Sección del pesene ículo unque solo se consideb un pámeo de pogeso écnico y no un veco de pámeos. 5

13 Popiedd elemeno unidd: si no hy cmbios debidos l pogeso écnico los fcoes efecivos s el pogeso écnico deben coincidi con los fcoes nominles. Memáicmene implic l eisenci del veco R y que ls funciones de pogeso écnico sisfgn l siguiene popiedd: 0 ; R 0 Popiedd opeción composición: el cálculo de los fcoes efecivos s dos pogesos écnicos sucesivos puede elizse clculndo los fcoes efecivos s un único pogeso écnico cuyo veco de pámeos de pogeso écnico es un epesión funcionl de los vecoes de pámeos coespondienes los pogesos écnicos de pid. Memáicmene ddos dos vecoes R de pámeos de pogeso écnico los fcoes efecivos obenidos s plic consecuivmene los dos pogesos écnicos vendín ddos po l plicción de un único pogeso écnico deemindo po un veco de pámeos R ; es deci medine l epesión siguiene: ; y ; [ ; ; ] ; R donde R es un veco que depende únic y eclusivmene de los pámeos y de i.e. f con f : R R R. Popiedd elemeno inveso: p cd veco de pámeos del pogeso écnico R eise un segundo veco de pámeos R l que los pogesos écnicos genedos po y se compensn ecípocmene uno con el oo; es deci: [ ; ; ] [ ; ; ] R R Debe enese en cuen que l eisenci del veco 0 en l Popiedd y l definición de l función f de l Popiedd implic que f 0. Como y se comenó en l Sección l lieu suele conside pogesos écnicos veificndo ls es popieddes neioes y eigiendo que i.e. lo que se denomin memáicmene un gupo unipméico. Po no el pogeso écnico pesen un único pámeo que epesen el insne en que conece dicho pogeso. En conceo Michell esudi ls funciones de pogeso écnico denominds de ipo poyecivo ls cules fueon inoducids y definids po So 9 y con l epesión siguiene: 6

14 7 ep ; ; ep ; donde R i p i y es el único pámeo de pogeso écnico. P plicciones empíics de ese modelo ineesí que l función de pogeso écnico ; sisficiese ls popieddes de gupo unipméico y de ese modo plic los esuldos de So p difeenci los efecos escl de los efecos debidos l pogeso écnico. Desfoundmene l Popiedd efeene l composición de pogesos écnicos no es sisfech po l epesión de l función de pogeso écnico ; dd en. Pese es coniedd Michell plneó un fom de esquiv el incumplimieno de l Popiedd de gupo unipméico. Supuso que en l ecución se cmbib i po un función i i p... i. De ese modo se psb ene un gupo - pméico en los que los ocho pámeos de pogeso écnico fombn un veco. Aunque podín usse ls écnics de Eisenh 9 p colps el númeo de pámeos de pogeso écnico y obene gupos unipméicos ; ] ; [ ψ Michell bogó po uiliz écnics que lleven pmeizciones iviles en que pemin veific l Popiedd de gupo unipméico. Es po ello que busc l siguiene solución: consideó qué psí si... en consnes biis pioi no nuls y se imponí que lguns de dichs consnes i fuesen igules 0. En pime lug Michell supuso que solo un consne no se nul con lo que quedn ocho posibles csos sisfciendo ls popieddes de gupo: 0 / / 9 / / ep ep segund opción consisí en pemii que dos de ls consnes no se nulen. Son once los csos dicionles que se obienen:

15 ] /[ ] /[ 0 / ep / 9 / / / / 7 / / ep 6 ep ep 5 4 ep ep Finlmene Michell concluí su ículo con l siguiene fimción: culquie invesigción empíic sobe ls fuenes del pogeso écnico debí busc l idenificción de quellos ipos de pogeso écnico que no pueden se bsobidos po l función de poducción medine efecos escl. El lisdo de Michell incluye un mplio númeo de modelos de pogeso de ipo ie i.e. veificndo ls popieddes de gupo unipméico muchos de los cules no hn sido empledos ún en esudios empíicos elivos l Economí. En culquie cso dicho lisdo no es ehusivo y ceemos que seí de ineés obene un lisdo compleo que pemiiese deemin odos los modelos válidos p mienos empíicos. 4. TEORÍA DE IE Y FIJACIÓN DE PRECIOS PARA OPCIONES CON BARRERA MÓVI Y CON PARÁMETROS TEMPORAES A pincipios del pesene siglo o y Hui pesenon un meodologí bsd en ls álgebs de ie que pemií fij el pecio de difeene deivdos finncieos con pámeos dependienes del iempo. pesene sección mues el siguiene pso en l invesigción de dichos uoes plicndo l meodologí neio l poblem de l fijción de pecios de ls opciones con be móvil o y Hui 006. meodologí neiomene indicd plicb como fundmención eóic el Teoem de Wei-Nomn Wei y Nomn 96 y que nunc se hbí plicdo l cmpo de ls Finnzs. o y Hui jusn y plicn ese modelo bsdo en ls álgebs de ie l poblem de l evlución de ls opciones con be móvil y con pámeos dependienes del iempo. P eliz dich evlución supusieon que el vlo del civo subycene sigue el siguiene poceso de difusión CEV puede se conveniene ecod quí lo viso en l Sección : 0 / < β σ μ β dz S d S ds

16 β / donde μ es l medi del pecio de ls cciones en el insne σ S es l vinz insnáne de dicho pecio dz es un poceso de Wiene y β es el fco de elsicidd. Piendo de l ecución l vinz insnáne del cmbio pocenul en el pecio se define como σ / S β siendo demás un función inves diec del pecio de ls cciones. o y Hui uson sus méodos pevios bsdos en álgebs de ie y deivon los núcleos nlíicos de ls fómuls de fijción de pecios p ls opciones con be móvil y pámeos dependienes del iempo: no ls de ipo up-nd-ou como ls de ipo down-ndou. De hecho emplendo el pincipio del máimo p ecuciones pbólics en deivds pciles ddo po Fiedmn 964 l poimción y meodologí popues po o y Hui podí plicse p d muy esicmene ls cos supeioes e infeioes de los pecios ecos de ls opciones CEV con bes fijs. Poseiomene De Sncis 007 pesenó un evisión sobe los bjos elivos l fijción de pecios de deivdos finncieos con pámeos dependienes del iempo. En dich evisión se eplicb cómo se fijín los pecios emplendo no l ecución de Blck-Scholes como el modelo CEV 4. En ls conclusiones de su ículo De Sncis indic que ls soluciones obenids po o y Hui peenecen un subespcio de funciones invines bjo l cción del gupo de ie que esá socido de mne nul l álgeb de ie que usn o y Hui p esolve l ecución. Tmbién comen l eisenci de divesos esuldos que pemiiín descibi lgebicmene dichos subespcios de funciones con lo que l ecución en deivds pciles de pid podí educise un conjuno de ecuciones lgebics 5. Cenándonos en ls epesiones y cálculos memáicos o y Hui 006 pieon de l ecución difeencil de opedo linel de pime oden: du H U ; U 0 d donde H y U en opedoes lineles dependienes del iempo en un espcio de Bnch o uno de dimensión fini. El Teoem de Wei-Nomn deemin l epesión que ienen ls soluciones de l ecución en un enono del insne inicil 0. Dicho Teoem solo eigí como hipóesis que el opedo H pudiese escibise como combinción linel de los elemenos de un bse de un álgeb de ie de dimensión fini; es deci que pudiese escibise como sigue: H N n n n 4 4 P ese úlimo modelo De Sncis epie odos los cálculos pevimene elizdos po o y Hui No obsne no se eplicin ni se comenn cuáles son los esuldos los que se hce efeenci ni se conce cómo se psí de l ecución en deivds pciles l sisem de ecuciones lgebics. 9

17 siendo n funciones escles dependienes del iempo y n los elemenos en un bse de un álgeb de ie esoluble N-dimensionl o genedoes del álgeb de ie simple el desplegd de dimensión. Bjo es hipóesis el Teoem de Wei-Nomn fim que el opedo U de l epesión es epesble en un enono de 0 de l siguiene fom: U N n ep[ g n n ] 5 siendo g n funciones escles dependienes de l vible y deemin poseioi. o y Hui dn un ejemplo en el que clculn dichs funciones g n lo cul hcen susiuyendo l ecución 5 en l y compndo dicho esuldo con l epesión émino émino. De ese modo se obiene el siguiene conjuno de ecuciones difeenciles: N dgn η nm d m m g 0 0 n 6 donde η nm son funciones no lineles de ls g n. El pocedimieno neio les pemií o y Hui educi l ecución difeencil l conjuno de ecuciones difeenciles no lineles ddo en 6 cuy esolución es más sencill. Si se plic odo lo neio ls opciones CEV euopes esándes con pámeos dependienes del iempo se escibií l siguiene ecución en deivds pciles: P S τ τ σ τ S β P S τ P S τ [ τ d τ ] S τ P S τ S S 7 p 0 β <. En es ecución 6 P es el vlo de l opción S es el pecio del civo subycene τ es el iempo l vencimieno σ es l volilidd es l s de ineés libe de iesgo y d son los dividendos genedos. ecución 7 puede eescibise como sigue medine el cmbio de vibles β S : u ~ σ τ τ u ~ 4 β ~ σ τ μ τ 4 β u 4 β ~ σ τ β ~ μ τ u τ H τ u τ 6 ecución 7 es inoducid en Co 975 y en Co y Ross

18 siendo ~ σ τ β σ τ ~ μ τ β [ τ d τ ] y u τ P S τ. Es nuev fom de epes l ecución 7 les pemiió o y Hui d o fómul p el opedo H τ medine los genedoes de un álgeb de ie. epesión l que hcemos efeenci p H es l siguiene: H τ τ τ τ b 0 τ 9 donde 4 β 4 β β β 0 β ~ ~ τ σ τ τ μ τ 4 β 0 ~ τ b τ μ τ τ β 0 Como se indicó nes l epesión 9 buscb escibi el opedo H como un combinción de los genedoes de un álgeb de ie. Pues bien dichos genedoes son los opedoes 0 y que pecen en l ecución 0. De hecho los es opedoes neioes genen el álgeb de ie simple su cuy ley viene dd po los siguienes cochees no nulos: [ ] [ ]. 0 0 ± ± ± Hciendo uso de ls ecuciones y 9 o y Hui definieon el opedo de evolución U τ 0 como sigue: u τ ep τ 0 dτ b τ U τ 0 u 0 Con lo que susiuyendo l epesión neio en obuvieon l ecución siguiene p el opedo de evolución: U τ 0 H I τ U τ 0 U 00 τ siendo: τ τ τ τ H I 0. 9

19 Debido que el álgeb de ie su es simple y desplegd de dimensión l hipóesis del Teoem de Wei-Nomn 7 se sisfce y el opedo de evolución U τ 0 puede se epesdo medine l siguiene fómul eplíci: [ c τ ] ep[ c τ ] ep[ c τ ]. 4 U τ 0 ep 0 Como se indicó neiomene los coeficienes c τ p l epesión del opedo U τ 0 ddos po el Teoem de Wei-Nomn se clculín susiuyendo l ecución 4 en l y compndo el esuldo obenido con l epesión. De ese modo o y Hui dieon un fómul ec y eplíci p el opedo U τ 0 y en consecuenci p l solución u τ p l ecución de fijción de los pecios. epesión neiomene obenid p fij los pecios de ls opciones les pemiió d ls coespondienes fómuls p ls opciones con be móvil. Debe enese en cuen que p ello uvieon que ñdi los cálculos un función uili que ecogiese l infomción de l be. El esuldo finl fue el que mosmos coninución: u~ τ ep ep τ [ γ ] u τ ep dτ b τ ep[ γ ] γc i [ c τ ] c τ {[ c τ ln γc τ ] } ep u~ τ γ ep ep γc En conceo o y Hui uson odos los cálculos neioes con el fin de clcul ls opciones con be móvil no de ipo up-nd-ou como ls de ipo down-nd-ou. Obvimene ls epesiones obenids equeín se escis como funciones eponenciles e inegles en ls que inevienen inegles de Fouie-Bessel funciones de Bessel e incluso l nsfomd de Webe. De ese modo o y Hui obuvieon ls fomuls de fijción de pecio p ls opciones con be móvil usndo écnics bsds en l plicción de ls álgebs de ie y deno del modelo CEV. Igulmene bieon un líne de bjo que pemie eliz compciones eficienes de fijciones de pecios suminisndo hemiens con ls que pecis l gesión de iesgos en deivdos equiivos con be. De hecho les hemiens solo equeiín conside l s de ineés l volilidd y los dividendos en el modelo de vloción de l opción CEV. τ 7 Recuédese que l hipóesis del Teoem de Nomn-Wei pece en l epesión 4 y que se coesponde l epesión p l ecución difeencil coespondiene l poblem de ls opciones CEV euopes. 9

20 5. CONCUSIONES Queemos conclui el pesene ículo enfizndo ls muchs posibiliddes que pesen l plicción de l Teoí de ie l ámbio de l Economí y ls Finnzs. Aunque en ess págins solo se muesn eplícimene dos posibles usos de es Teoí son muchs más ls efeencis eisenes ls cules pemien vislumb oos muchos ems que podín bodse desde l pespeciv de l Teoí de ie. AGRADECIMIENTOS os uoes quisiémos gdece los evisoes y los edioes ods ls sugeencis y comenios elizdos los cules hn esuldo summene vliosos p mejo l clidd del pesene ículo. REFERENCIAS BIBIOGRÁFICAS M. Amsong 996: Mulipoduc Nonline Picing. Economeic 64 pp S. Bsov 004: ie goups of pil diffeenil equions nd hei pplicion o he mulidimensionl sceening poblems. Economeic Sociey 004 Auslsin Meeings 44. T. Bjök 00: A geomeic view of inees e heoy. En: E. Jouni J. Cvinic nd M. Musuel eds.: Opion picing Inees Res nd Risk Mngemen Cmbidge Univesiy Pess pp T. Bjök 004: On he Geomey of Inees Re Models. En: R.A. Cmon E.C. Çinl I. Ekelnd E. Jouini J. A. Scheinkmn nd N. Touzi eds.: Pis-Pinceon ecues on Mhemicl Finnce 00 Spinge-Velg pp. 6. T. Bjök nd C. ndén 00: On he consucion of finie dimensionl elizions fo nonline fowd e models. Fin. Soch. 6 pp. 0. J. Co 975: Noes on Opion Picing I: Consn Elsiciy of Vince Diffusions. Woking Ppe Snfod Univesiy. J.C. Co nd S.A. Ross 976: The Vluion of Opions fo Alenive Sochsic Pocesses. Jounl of Finncil Economics pp A. De Sncis 007: ie Theoy o Vlue Finncil Deivives wih Time Dependen Pmees. In. Mh. Foum :0 pp P. Eisenh 9: Coninuous goups of nsfomions Pinceon Univesiy Pess. E.M. Fedini y Á.F. Tenoio 006: Pogeso écnico: un poimción desde l Teoí de Gupos de Tnsfomciones de ie. Revis de Méodos Cuniivos p l Economí y l Empes pp A. Fiedmn 964: Pil Diffeenil Equions of Pbolic Type Penice-Hll. 9

21 R.M. Gsp 006: Finie Dimensionl Mkovin Relizions fo Fowd Pice Tem Sucue Models. En: A.N. Shiyev M.R. Gossinho P.E. Olivei nd M.. Esquível eds.: Sochsic Finnce Spinge pp I. Henández C. Meos J. Núñez nd Á.F. Tenoio 00: ie Theoy: Applicions o Poblems in Mhemicl Finnce nd Economics. Applied Mhemics nd Compuion. To ppe. I. ss nd S. Sheve 997: Bownin Moion nd Sochsic Clculus Spinge-Velg. C.F. o C.H. Hui nd P.H. Yuen 000: Consn elsiciy of vince opion picing model wih ime-dependen pmees. In. J. Theo. Appl. Fin. :4 pp C.F. o C.H. Hui nd P.H. Yuen 000b: Opion isk mesuemen wih ime-dependen pmees. In. J. Theo. Appl. Fin. : pp C.F. o nd C.H. Hui 00: Vluion of finncil deivives wih ime-dependen pmees. Quniive Finnce pp C.F. o nd C.H. ui 00: Picing muli-sse finncil deivives wih ime-dependen pmees-ie lgebic ppoch. In. J. Mh. Mh. Sci. :7 pp C.F. o nd C.H. ui 006: ie lgebic ppoch fo picing moving bie opions wih ime-dependen pmees J. Mh. Ann. Appl. : pp R. u nd Y.-H. Hsu 005: Vluion of Sndd Opions unde he Consn Elsiciy of Vince Model In. J. Bus. Econ. 4: pp T.M. Michell 97: Towd empiicl pplicions of ie-goup echnicl pogess funcions Economics ees 5 pp. 6. S. Polidoo 00: A Nonline PDE in Mhemicl Finnce. En: F. Bezzi A. Buff S. Coso nd A. Muli eds.: Numeicl Mhemics nd Advnced Applicion Spinge pp R. So 90: The impc of echnicl chnge on he holoheiciy of poducion funcions. Economic Sudies 47 pp R. So 9: Theoy of echnicl chnge nd economic invince. Applicion of ie goups Acdemic Pess. R. So nd R.V. Rmchndn 99: Symmey nd Economic Invince: n inoducion luwe. R.M. Solow 96: Commen on Sigle. En: Oupu Inpu nd Poduciviy Mesuemen Pinceon Univesiy Pess pp G.J. Sigle 96: Economic poblems in mesuing chnges in poduciviy. En: Oupu Inpu nd Poduciviy Mesuemen Pinceon Univesiy Pess pp J. Wei nd E. Nomn 96: ie lgebic soluion of line diffeenil equions. Jounl of Mhemicl Physics 4 pp R. Wilson 99: Non ine Picing Ofod Univesiy Pess. 94