VALUACIÓN DE ACTIVOS E INVERSIONES

Transcripción

1 VALUACIÓN DE ACTIVOS E INVERSIONES Alejandro Diosdado Rodríguez Administración de Riesgos Financieros Ernst & Young (México) alejandro.diosdado@mx.ey.com

2 Temario 1. Entorno de la Inversiones 2. Valuación de Activos No Financieros 3. Valuación de Activos Financieros (Bonos) 4. Estructura Intertemporal de Tasas de Interés 5. Instrumentos Financieros Derivados Page 2

3 El Entorno de las Inversiones Conjunto de Activos Financieros Conjunto de Activos Reales Tierras Inmuebles Equipos Tecnología Otros Préstamos Bonos Acciones Usados para crear bienes y servicios (Tangibles e Intangibles) Rendimientos Variables Lado Activo del Balance Page 3 Derechos generados para reclamar activos reales. Rendimientos Fijos y Variables Lado Activo y Pasivo del Balance

4 Activos Valuación, Rendimiento y Riesgo Tanto los activos reales, como los activos financieros que soportan dichos activos reales, representan cierto riesgo para la empresa y para los inversionistas. Dependiendo el tipo de inversionista, existen diversos niveles de aceptación de riesgo y rendimiento requerido (desde aversión absoluta hasta indiferencia completa al mismo). Page 4

5 Valuación de un Activo Proceso que relaciona el riesgo y el rendimiento de un activo para determinar su valor razonable. Influyen en el valor del activo tres factores principales: Flujos de efectivo Momento en que ocurren los flujos Rendimiento requerido (en función del riesgo) Page 5

6 Modelo Básico de Valuación El valor de cualquier activo es el valor presente de todos los flujos de efectivo futuros que se espera proporcione durante el periodo de tiempo relevante. Es decir, el valor del activo se determina al descontar los flujos de efectivo esperados usando un rendimiento requerido acorde con el riesgo del activo. FEn FE1 FE2 Po... 2 (1 k ) (1 k ) (1 k ) n Page 6

7 Valuación de Activos No Financieros

8 Ejemplo Valuación de Real Estate (1) Método de Flujos de efectivo descontados después de impuestos. Este método liga el valor de una propiedad a la tasa de impuesto marginal de un inversionista Un inversionista está considerando comprar un edificio de oficinas, y como parte de su análisis, debe calcular la Utilidad Neta de Operación (NOI por sus siglas en inglés). La información disponible del edificio es la siguiente: Ingresos Brutos potenciales por Renta Tasa estimada de pérdidas por vacancy & collection Seguro Impuestos Mantenimiento y mejoras $250,000 5% $10,000 $8,000 $22,000 NOI = $250,000 (250,000 * 0.05) - $10,000 - $8,000 - $22,000 = $197,500 Page 8

9 Ejemplo Valuación de Real Estate (2) Valor del Inmueble (Perpetuidad) Una vez calculado el NOI, y asumiendo una tasa de incremento en las rentas (market rate) de 10%, podemos calcular el valor del Bien Raíz como una perpetuidad: Valor del Inmueble: NOI / market rate Valor del Inmueble: $197,500 / 0.10 = $1 975,000 Page 9

10 Ejemplo Valuación de Real Estate (3) Cálculo de los flujos de efectivo después de Impuestos, Valor Presente Neto (NPV) y rendimiento. Continuando con el ejemplo anterior, podemos asumir que un inversionista adquiere el inmueble en $1,850,000, otorgando un 20% en efectivo y el resto con un préstamo hipotecario a 30 años a una tasa anual de 10%. La inversión inicial por el inmueble es de $370,000 ($1 850,000 * 20%) El primer pago anual del préstamo son de $156,997 ($148,000 por intereses + 8,997 por pago a capital) La tasa impositiva del inversionista es del 28% La depreciación anual estimada es de $45,000 Page 10

11 Ejemplo Valuación de Real Estate (4) Cálculo de los utilidad neta después de impuestos Como primer punto, debemos calcular el Ingreso Neto después de Impuestos: Utilidad Neta Operativa (NOI) - Depreciación - Intereses = Utilidad Neta Antes de Impuestos - Impuestos (NI * Tasa impositiva) = Utilidad Neta después de Impuestos (UNDI) $ 197,500 - $ 45,000 - $ 148,000 = $ 4,500 - $ 1,260 =$ 3,240 El objetivo de este método, es conocer el flujo de efectivo real que tendría un inversionista en el futuro. Sin embargo, la UNDI contiene elementos que no son flujos de efectivo como la depreciación y a su vez también falta por considerar el pago que realiza como abono a capital del préstamo hipotecario. Page 11

12 Ejemplo Valuación de Real Estate (5) Flujo de Efectivo (Free Cash Flow) Utilidad Neta después de Impuestos + Depreciación - Pago de Capital = Flujo de Efectivo después de Impuestos: $ 3,240 + $ 45,000 - $ 8,997 $ 39,243 Bajo esta metodología, es posible conocer para los años subsecuentes, los flujos futuros de efectivo necesarios para calcular tanto el Valor Presente Neto de una Inversión (VPN) y la tasa interna de rendimiento del proyecto (TIR) Page 12

13 Ejemplo Valuación de Real Estate (6) Cálculo del Valor Presente Neto Supongamos que el inversionista planea vender el edificio dentro de tres años en $1 950,000. Dentro de 3 años, el saldo remanente del préstamo hipotecario es de $1,450,000. Asumiendo que el costo de capital es de 10% y los flujos de efectivo después de impuestos son los siguientes: Año 1 Año2 Año 3 Utilidad Neta Operativa (NOI) - Depreciación - Intereses = Utilidad Antes de Impuestos - Impuestos (NI * Tasa impositiva) Utilidad Neta Después de Impuestos Depreciación Pago de Capital FCF $197,500 -$45,000 -$148,000 $4,500 -$1,260 $3,240 $45,000 $8,997 $39,243 $197,500 -$45,000 -$147,100 $5,400 -$1,512 $3,888 $45,000 $9,897 $38,991 Utilidad x Venta Total Año 3 Page 13 $197,500 -$45,000 -$146,111 $6,389 -$1,789 $4,600 $45,000 $10,887 $38,714 $500,000 $538,714

14 Ejemplo Valuación de Real Estate (7) Cálculo del Valor Presente Neto (VPN) y TIR: El Valor Presente de los flujos de efectivo es: $39, , , 721 $ 472, EL VPN es el valor presente de los flujos menos la Inversión Inicial: $472,649 $370,000 $102,649 Al presentar un VPN positivo, el proyecto de inversión es viable y puede ser aceptado. Page 14

15 Ejemplo Valuación de Real Estate (8) Cálculo de la TIR: Resumiendo, los flujos de efectivo de la inversión son los siguientes: Año 0 - $370,000 CF0 Año 1 $ 39,243 CF1 Año 2 $ 38,991 CF3 Año 3 $538,721 CF3 TIR 20.18% Page 15

16 Resumen de Variables y supuestos de la Valuación Determinación del NOI (Renta, Tasa de desocupación, seguro, impuestos y mantenimiento). Tasa de Crecimiento de las Rentas. Tasa de Préstamo Hipotecario. Depreciación Anual. Costo de Capital. Valor del Inmueble a la fecha de venta. Page 16

17 Valuación de Activos Financieros

18 Activos Financieros Permiten la transferencia de fondos de los individuos con superávit hacia quienes demandan recursos para invertir en Activos Reales. Existen 3 clases de activos financieros: Page 18 Renta Fija (Fixed Income): el rendimiento de estos activos está parcialmente relacionado con la evolución económica del emisor (Bonos, Préstamos). Renta Variable: el retorno depende totalmente de la performance del emisor (Acciones). Derivados: su rendimiento depende de la evolución del precio de otro activo (Forwards, Swaps, Opciones).

19 Bonos: Componentes Valor Nominal (Par Value, Face Value) Tipo de Cupón Cupón cero Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral) Cupón variable (mensual, trimestral, semestral) Tiempo al vencimiento (Maturity) Opciones Adheridas (Call, Put) Page 19

20 Riesgos en un Bono Riesgo de tasa de interés: interés El precio de un bono típico cambiará en dirección contraria a cambios en la tasa de interés. Si el inversionista tiene que vender el bono antes de la fecha de vencimiento, un incremento en las tasas de interés significa la realización de una pérdida de capital. Riesgo de reinversión: Una disminución de la tasas de interés a las que se planea reinvertir el flujo de dinero (cash flow) que recibe el inversionista provocará una pérdida de ingresos. Riesgo de llamada: El flujo de dinero de un bono llamable no se conoce con certeza. Como el emisor llamará cuando las tasas caen, el inversionista está expuesto al riesgo de reinversión. Page 20

21 Riesgos en un Bono Riesgo de crédito: Riesgo de que el emisor no pueda pagar el principal y los intereses, ya sea parcialmente o en su totalidad (riesgo de default). También se consideran las pérdidas potenciales debido a la disminución de la calidad crediticia del emisor (riesgo de migración). Riesgo de inflación: Disminución del poder de compra de los flujos de efectivo de debido a la inflación. Riesgo de tipo de cambio: Cuando el bono se encuentra en una moneda diferente a la de curso legal y los flujos dependen del tipo de cambio. Riesgo de liquidez: Tiene que ver con la facilidad a la cual la emisión puede ser vendida lo más cerca posible de su precio. Page 21

22 Valuación de un Bono Valuación de Flujos de Dinero El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente de todos los flujos esperados futuros, por lo que necesitamos estimar: los flujos esperados la tasa de rendimiento (yield) apropiada Para un bono no llamable, la estimación de flujos es Pago de cupones periódicos hasta la fecha de madurez El par value al vencimiento. Page 22

23 Valuación de un Bono (Flujos) Valor Futuro $C1 $C2 $Ci $C N 0 t1 t2 ti tn=t Valor Presente Si la tasa de interés se mantiene constante (Tasa Fija) hasta la madurez T: N N VP Ci e i 1 N VF Ci e i 1 r ti Ci ti (1 R ) i 1 r ( T ti ) N Ci (1 R )( T ti ) i 1 r es la tasa compuesta continua, y R la tasa simple efectiva. Page 23

24 Valuación de un Bono (Anualidad) 0 $C $C $C 1 2 i $C+ $VN N Precio C 1 VN P 1 N y 1 y 1 y N N M m Y y m R = tasa cupón (anual) Y = rendimiento actual (anual) m = frecuencia anual de pagos R C VN m Precio de un bono cupón-cero: Page 24 P VN 1 y N

25 Valuación de Bonos Tasa Revisable Tasas Forward Si la tasas de interés NO se mantienen constante (Tasa Revisable) hasta la madurez T: N VP Ci e i 1 ri ti N Ci ti i 1 (1 Ri ) N N i 1 i 1 VF Ci e fi ( T ti ) Ci (1 Fi )( T ti )? R1,, RN son conocidas hoy, pero F1,, FN no lo son (tasas forward). Page 25

26 Relación Precio Yield Precio El precio cambia en dirección contraria a cambios en la yield requerida. Cuando la tasa cupón es igual a la yield requerida, el precio del bono será igual al par value. VN Tasa Cupón Page 26 Yield

27 Bono a Premio y Bono a Descuento Bono a premio VN Bono a la par Bono a descuento Madurez Pull to par: par: Según se acerca el momento de la madurez, el precio del bono converge a su valor nominal. Page 27

28 Yield To Maturity El yield (o rendimiento) de cualquier inversión es la tasa de interés que igualará el valor presente de los flujos al precio o costo de la inversión. N N Ci P Cie ti i 1 i 1 (1 y) r ti P = precio de mercado y = yield compuesto simple r = yield compuesto continuo el yield calculado con esta relación es la TIR (tasa interna de retorno) Rendimiento al vencimiento (yield to maturity o YTM) Page 28

29 Yield curve Curva de tasas de rendimientos (yield curve): Grafica la relación entre el rendimiento a la madurez (TIR) de bonos de la misma calidad crediticia, pero con diferente madurez. yield corto plazo mediano plazo largo plazo Madurez Para construirla se suelen utilizar los precios de bonos de gobierno onthe-run (los más recientemente emitidos), pues se asume que estos carecen de riesgo de default. Page 29

30 Yield de un Portafolio El yield de un portafolio NO es simplemente su promedio o promedio ponderado de las YTM de los instrumentos que lo conforman. Se debe calcular determinando los flujos de efectivo del portafolio y la tasa que igualará el valor presente de dichos flujos al valor de mercado del portafolio. Page 30

31 Volatilidad en el Precio de los Bonos Algunas de las medidas más utilizadas: a) D*: Duración b) PVBP: Price Value of a Basis Point = Dollar Value of an 01 c) Conv: Convexidad Page 31

32 Duración YTM D D 1 m * 1 n VN C / Y 1 n n 1 1 Y 1 Y 1 * D P m C 1 VN P 1 n Y 1 Y 1 Y n YTM R n M m Y C VN m m C Y2 Page 32

33 Duración y PVBP La duración es solamente una aproximación lineal. Asume que la relación precio-rendimiento es lineal. D* P PVBP YV PVBP 100 YV D* P Precio $115 Error $100 $85 D*$ $70 $55 $40 5.0% 6.0% 7.0% 8.0% Precio Correcto Page % 10.0% Precio con D 11.0% 12.0% Rendimiento (Y)

34 Teorema de Inmunización Teorema de Inmunización: Diseño de un portafolio que genere los fondos suficientes para satisfacer una obligación (pasivo) en un horizonte determinado, independientemente de cómo las tasas de interés cambian desde el presente hasta el horizonte. Si el horizonte de inversión H es exactamente igual a la duración del portafolio D, entonces el retorno total de la inversión V no cambia, aún si el yield r cambia en Δr: V ( r r, D ) V ( r, D ) Esto se debe a que el Riesgo de Reinversión y el Riesgo de Tasas se cancelan exactamente para un Horizonte igual a la Duración. Un portafolio con horizonte H=D estará inmunizado, su rendimiento total será el yield de hoy r, y: Page 34

35 Teorema de Inmunización $1,200,000 $1,000,000 $800,000 $600,000 $400,000 $200,000 $ % % % 5 6 D=H Cuando las tasas bajan, la pérdida por reinversión de cupones es compensada con un mayor precio del bono. Cuando las tasas suben, la pérdida por valor del bono, se compensa por la reinversión de cupones. Page 35

36 Convexidad C 1 VN P 1 Y 1 Y n 1 Y n 1 n VN C / Y 1 n n 1 1 Y 1 Y D* P n n 1 VN C / Y 2C 1 2Cn 1 n 2 Y 3 1 Y n Y 2 1 Y n 1 1 Y Conv. P C Y2 Page 36

37 Convexidad Se define como el grado de curvatura de la relación preciorendimiento, alrededor de cierto nivel de tasas de interés. $ $ $ $ $50.00 $ % 2.0% 4.0% P correcto Page % 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 18.0% 20.0% Nuevo Precio por D* Nuevo Precio por D*+C

38 Aproximación Numérica de la Duración y Convexidad YTM actual y0 Precio o valor para un yield y P( y ) Denotamos: y P0 P( y0 ) Calculamos: Cambio de yield Precio actual P P( y0 y ) Precio para una disminución de P P( y0 y ) yield Precio para un aumento de yield P P D 2 P0 y * Aproximamos: Page 38 P P 2 P0 Conv P0 ( y ) 2

39 Duración y Convexidad de un Portafolio La Duración de un portafolio con n activos será: n DP w1d1 w2 D2... wn Dn wi Di i 1 La Convexidad de un portafolio con n activos será: n Conv P w1conv1 w2conv 2... wn Conv n wi Conv i i 1 w se refiere a la proporción del activo n con respecto al total del portafolio Pi wi P Page 39 Por tanto: w1 w2... wn 1

40 Estructura Intertemporal de Tasas de Interés

41 Bonos del Gobierno El Gobierno de México emite los siguientes bonos: Cupón cero: cero CETES: Cupón fijo: fijo BONOS-M: Certificados de la Tesorería de la Federación (cupón cero) madurez de 7 días a un año (han habido hasta 728 días) Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal con Tasa de Interés Fija madurez de 3 a 5 años (cupón semestral) Cupón Flotante: Flotante BREMS Bondes Bonos IPAB Udibonos Page 41

42 Insumos para la construcción de curvas cero Page 42

43 Problemas de valorar usando la Yield Curve Ejemplo: Se tiene una bono cupón cero A, con tasa 7% y que vence en 6 meses, y un bono con cupón semestral B, con tasa cupón 8% a la par, y que vence en 1 año. Cómo valorar un bono con cupón semestral C, con tasa cupón 10.08%, y que vence en 1 año? Cetes (A) Valor Nominal Cupón YTM Frecuencia DXV Precio # Títulos B C % ???? ???? 1.00 Si se asume que el YTM de C es también 8%, estaríamos subestimando el valor real del bono. Page 43

44 Problemas de valorar usando la Yield Curve Si descomponemos el bono B, obtenemos dos bonos cupón cero (strips): Strip D : madura en 6 meses, y paga un valor nominal de $4 Strip E : madura en un año, y paga un valor nominal de $104 Cuáles deberían ser los yield de los strip D y E? El Strip D no es más que 0.04 unidades del Bono A, por lo que debería tener el mismo yield de 7%. Para evitar que exista arbitraje, el yield Y del Strip E debería satisfacer: precio de Bono B =$100 Page 44 $4 $ Y 2 1 2

45 Problemas de valorar usando la Yield Curve El yield del Strip E será entonces Y =8.0201%, y la forma correcta de valorar el Bono C (tasa cupón 10.8%), será: $5.04 $ $ precio de Bono C = Lo que equivale aun YTM de %, en vez de 8% La forma correcta de valorar un bono (o flujo de dinero en general) será descontando con las tasas de rendimiento de bonos cupón cero. Page 45

46 Curva Cero Tasa Spot o Tasa Cero (spot rate) Es el rendimiento (yield) de un bono cupón cero de gobierno a una madurez dada. Curva Spot o Curva Cero (spot rate curve, zero curve) Grafica la relación entre el rendimiento y la madurez de bonos cupón cero de gobierno. Como no existen en el mercado bonos cupón cero emitidos por el gobierno a cualquier madurez dada, es necesario derivar los puntos de la Curva Cero a partir de los instrumentos cotizados, y de consideraciones teóricas. La curva obtenida de esta manera se denomina Curva Cero Teórica (theoretical spot rate curve) y es la representación gráfica de la Estructura Intertemporal de Tasas de Interés (term structure of interest rate). Este proceso se logra, mediante un proceso de Bootstrapping Page 46

47 Curva cero futura (Tasa Forward Implícita) Ejemplo: Supongamos que un inversionista con horizonte de inversión de 1 año tiene dos alternativas: A1: comprar un bono cupón cero a un año A2: comprar un bono cupón cero a seis meses, y dentro de seis meses reinvertir las ganancias en otro bono cupón cero a seis meses. y1= 5.50% y0.5= 5.25% 0 Hoy meses E(f)=???% 1 año Para qué tasa esperada f dentro de 6 meses ambas alternativas serían equivalentes? 2 f Page 47 f 5.75%

48 Instrumentos Financieros Derivados

49 Probabilidad Tradicional (Valor Esperado) Sea M un activo que paga según el resultado del lanzamiento de una moneda: p = 0.5 $2 p = 0.5 $0 M: $m =? Cuál debería ser el precio correcto $m del activo M en el mercado? Page 49

50 Probabilidad Tradicional (Valor Esperado) S es un activo con precio $2 hoy, y posibles valores de $1 o $5 mañana. D es un contrato que paga $2 si sube el valor de S, y $0 si baja: si S=$5 $2 p = 0.5 (p = 0.5) $5 D: $d S: $2 $0 si S=$1 $1 p = 0.5 (p = 0.5) M y D tienen los mismos posibles valores, con iguales probabilidades: p = 0.5 M: p = 0.5 $2 p = 0.5 $0 D: $d =? $1 p = 0.5 $2 $0 Cuál debería ser el precio correcto $d del contrato D en el mismo mercado que el ejemplo anterior? Page 50

51 Probabilidad Neutral al Riesgo Si $d = $m = $1 entonces: Vendo dos unidades del contrato D, compro una unidad de S: # Títulos Vendo 2 unidades de D -2 Compro una Unidad de S 1 Riqueza Inicial -D2 $2 +S -$2 $0 D Paga Valor de S Riqueza Final Escenario 1 S=$5, p=0.5 -$4 $5 $1 Escenario 2 S=$1, p=0.5 $0 $1 $1 p=1 A diferencia de M, el valor futuro de D depende del valor de otro activo S. Se dice que D es un derivado derivado, con subyacente S. Solo se puede evitar la oportunidad de hacer dinero sin riesgo (arbitraje arbitraje) si $d = $1.50 y este valor no depende de p, sino de q (probabilidad neutral al riesgo) Page 51

52 Instrumentos Financieros Derivados Instrumento Derivado se refiere a un título cuyos flujos futuros dependen funcionalmente de del valor de otro título o variable de mercado (subyacente subyacente). El subyacente (underlying variable) puede ser un activo: acción, índice accionario, bono, commodity (oro, plata, petróleo), etc. o una variable de mercado: tasa de interés, tipo de cambio, índice de inflación, etc. Se pueden utilizar con varios fines: Page 52 cobertura de cierto riesgo, especulación (apostar a cierto comportamiento futuro del mercado), Derivado Implícito

53 Clasificación de Instrumentos Financieros Derivados Los tipos de instrumentos derivados básicos son: Forwards Forwards: obligación de comprar/vender en el futuro a un precio prefijado Futuros Futuros: como el Forward, pero estandarizado y con marca-mercado Opciones Opciones: derecho de comprar/vender en el futuro a un precio prefijado Swaps Swaps: Page 53 intercambio de dos flujos de dinero en el futuro

54 Determinación de Precios Forward bajo la probabilidad neutral al riesgo (libre de arbitraje) S 0 Ft e rt Precio Forward sobre subyacentes que no generan ingresos F S0e rt S0e rt Fe ret Precio Forward sobre divisas F S0e( r re )T yt(t2) yt(t1) t T1 1 yt (T2 ) T2 t Page 54 T2 ft(t1,t2) 1 yt (T1 ) T1 t 1 f t (T1, T2 ) T2 T1 Precio Forward sobre tasas de interés

55 Precio del Swap Como para cualquier otro instrumento financiero, el cálculo del precio se basa en el principio de no arbitraje: VPfijo VPflotante Si no se cumple con la condición de no arbitraje, una parte tendrá que compensar a la otra con un pago por adelantado igual a la diferencia de los valores presentes. Vswap VPfijo VPflotante Por lo general el precio del swap se fijará de acuerdo a las tasas de mercado vigentes en el momento. Page 55

56 Contratos de Opciones Opción es un contrato que le da al tenedor (posición larga) el derecho, pero no la obligación, de realizar una compra (Opción Opción call) call o una venta (Opción Opción put) put en un momento futuro. Por este derecho, el tenedor de la opción paga un precio o prima (option option premium). premium Terminología: Ejercicio Ejercicio: acto de invocar el derecho de compra (call) o venta (put) Precio de ejercicio (strike price): precio prefijado al que el comprador de la opción tiene derecho a comprar (call) o vender (put) el subyacente Fecha de expiración: expiración en la que vence el contrato Prima Prima: valor de mercado del contrato Page 56

57 Option Payoffs Max { ST K, 0} -Max { ST K, 0} = Min { K ST, 0} Page 57 Max { K ST, 0} -Max {K ST, 0} = Min {ST K, 0}

58 Clasificación de Opciones Por sus condiciones de Fecha de Ejercicio, pueden clasificarse en: Opciones Europeas: Aquellas que solo se pueden ejercer en la fecha del contrato Fecha de Ejercicio Opciones Americanas: Opciones que permiten el ejercicio anticipado, de manera espontánea. Opciones Bermudas: Opciones que permiten el ejercicio anticipado en fechas específicas. Page 58

59 Clasificación de Opciones Por sus condiciones de Payoff, pueden clasificarse en: No dependientes de la trayectoria del precio del subyacente: Aquellas cuyo valor y ejercicio dependen exclusivamente del precio o nivel del subyacente al final de la trayectoria (incluyen todas las de tipo Europeo). Regularmente existen fórmulas analíticas cerradas para determinar su valor. Dependientes de la trayectoria: Su valor depende no sólo del valor del subyacente al vencimiento del contrato si no de uno o más valores de éste durante la vida del contrato. Regularmente requieren de un modelo o aproximación numérica (árbol binomial o simulación) para determinar su valor. Page 59

60 Ejemplos de Opciones NO DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA Plain Vanilla (call, put, swaption) Exóticas Barrera Europea Binomial (cash K or nothing) Chooser DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA Americana, bermuda Exóticas Barrera Americana Lookback Asiática Page 60

61 Opción de Compra (Call) D e lta 25 Payoff ($) 20 cu cd su sd 15 Slope = 5 K R un = S u - S d -15 Stock Price ($) Page 61 R is e = C u - C d

62 Métodos Numércos (Árbol Binomial) u u d u d S3= u 3S0 d u S3= u2 ds0 S2= u2 S0 S1= us0 S0 u S2= ud S0 S1= ds0 d u d S2= d2 S0 d 0 Page 62 1 S3= ud2 S0 2 S3= d3 S0 3

63 Árbol Binomial de Precios de un Activo P(H)=1/3 P(T)=2/3 u=1.2 d=0.7 Núm. de trayectorias Prob. por trayectoria Probabilidad total: P(S3=x) x= (1/3)3=1/27 1/27 x= (1/3)2(2/3)=2/27 6/27 x= (1/3)(2/3)2=4/27 12/27 1 (2/3)3=8/27 8/27 S3 S2 H S1 S0 S2 T S1 S2 x=1.71 TOTAL Page 63 8 P(Ω)=1

64 Modelo de Cox-Ross Rubinstein El modelo de Cox-Ross Rubinstein, toma como base el modelo binomial para simular precios de un activo y lo adapta para valorar opciones de tipo Europeo y Americano. El principal reto del modelo consiste en: Determinar, a partir de la volatilidad ( ) y la tasa libre de riesgos (r): u = Monto fijo al cual crece s d = Monto fijo al cual decrece s p = Probabilidad de que ocurra u 1-p = Probabilidad de que ocurra d Page 64

65 Ejemplo PUT Europeo S = 50 T=2yr t = 0.40 K = 52, r = 5% σ = 30% u e t r t d p u d Page t d 1 u e e Node Time:

66 Ejemplo PUT Americano S = 50 T=2yr t = 0.40 K = 52, r = 5% σ = 30% u e d 1 u e e r t d p u d Page t t Node Time:

67 Alternativas Analíticas al Modelo Binomial Para opciones Europeas y Opciones Exóticas NO dependientes de la trayectoria del subyacente: Para opciones Americanas (dependiente de la trayectoria) Black Scholes para valorar opciones europeas y otras soluciones analíticas a la EDE de Black-Merton-Scholes Barone-Adesi and Whaley Approximation Opciones Dependientes de la trayectoria distintas a las Opciones Americanas: Page 67 Simulación MonteCarlo

68 Modelo de Black Scholes Ecuación Diferencial Estocástica de Black-Merton-Scholes df df 2 S 2 d 2 F rs rf 2 ds dt 2 ds ds Sdt SdW Para resolver esta ecuación, es necesario una establecer una condición de frontera, por ejemplo, en el caso de un CALL Europeo: F ( s, T ) MAX [ S (T ) K,0] Page 68

69 Modelo de Black Scholes Para una Opción call: payoff max( ST K,0) c S0 N d1 Ke rt N d 2 1 N (d ) 2 d e Para una Opción put: payoff max( K ST,0) p Ke rt N d 2 S0 N d1 donde: 2 S0 ln r T 2 K d1 T Page 69 2 S0 ln r T 2 K d2 d1 T T x2 2 dx

70 Modelo de Black Para una Opción call: payoff max(vt K,0) c z (0, T ) F0 N d1 KN d 2 Para una Opción put: payoff max( K VT,0) p z (0, T ) KN d 2 F0 N d1 donde: F0 ln T K 2 d1 T 2 Page 70 F0 ln T K 2 d2 d1 T T 2

71 Interpretación Gráfica de Black Scholes Delta N (d1) R un = -15 S t o c k P ric e ( $ ) Page 71 x 60 70

72 Supuestos del modelo de Black Scholes Los supuestos del modelo son: Page 72 No existen oportunidades de arbitraje en el mercado Los precios futuros del subyacente siguen una distribución lognormal El intercambio (compra/venta) del subyacente se puede llevar a cabo de manera continua (trading continuo). No hay costos de transacción La tasa instantánea libre de riesgo se mantiene constante a lo largo de la vida de la opción. La volatilidad es conocida y se mantiene constante a lo largo de la vida de la opción.

73 Simulación MonteCarlo El método Monte Carlo permite encontrar soluciones aproximadas de problemas matemáticos que involucran variables aleatorias dependientes del tiempo. Requiere de un procedimiento para calcular realizaciones o trayectorias de variables aleatorias, dependientes del tiempo mediante ensayos independientes. Por ejemplo un Movimiento Browniano Geométrico. ds t rs t dt S t dw t Donde r es una tasa de interés constante, s es la volatilidad instantánea y dw t ~ N (0, dt ) Page 73

74 Movimiento Browniano Geométrico Asumiendo un Movimiento Browniano Gemétrico ds t rs t dt S t dwt A partir de cálculo estocástico se obtiene la ecuación para simular precios de un activo: 1 2 d (ln S t ) r dt dwt d (ln S t ) r dt dwt 2 S t t 1 2 ˆ S t exp t 2 ˆ r Page 74 t

75 Simulación Montecarlo Simulación Montecarlo Trayectoria del Subyacente (MXP/USD) Strike Price=K Días simulados (dt) Útil para valuar opciones dependientes de la trayectoria (asiáticas y barreras americanas) Page 75

76 Problemas del Movimiento Browniano Geométrico Es siempre positivo Su media crece exponencialmente Apropiado para precios de acciones, divisas y algunos commodities, pero no apropiado para simular la evolución de tasas de interés. Page 76

77 Alternativas al Movimiento Browniano Geométrico Otros Modelos Estocásticos: Vasicek Cox-Ingersoll-Ross Modelo de Dothan Modelos Multifactoriales Black-Derman-Toy (BDT) Todos estos modelos cumplen con propiedades de equilibrio y no arbitraje. Page 77

78 Bibliografía Hull, John (2005). Options, Futures and other Derivatives 6ª. Ed. Prentice-Hall. Fabozzi, Frank (2007). Bond Markets: Analysis and Strategies 6ª. Ed. Prentice-Hall. Sundaresan, Suresh (2002). Fixed Income Markets and their Derivatives 2ª. Ed. South-Western Collage Pub. Venegas Francisco (2007). Riesgos Financieros y Económicos. 1ª Ed. Thomson Page 78

79 Hacia la Implementación del Nuevo Régimen de Solvencia Gracias por su atención! Alejandro Diosdado Rodríguez Administración de Riesgos Financieros Ernst & Young (México)