MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

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1 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicas Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González Montesinos

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3 Índice 1. Monomios 1 2. El anillo de los polinomios Polinomios Suma y diferencia de polinomios Producto de polinomios. Propiedades El anillo de los polinomios División de polinomios División de polinomios Regla de Ruffini Divisibilidad de polinomios Teorema de Ruffini. Regla general de divisibilidad de polinomios Divisibilidad del binomio x n a n Divisibilidad del binomio x n + a n Descomposición factorial de polinomios Sacar factor común Doble extracción de factor común Trinomio cuadrado perfecto de un binomio. Diferencia de cuadrados Descomposición de un polinomio conocidos sus ceros Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Fracciones algebraicas El cuerpo de las fracciones algebraicas Ejercicios propuestos 20

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5 Tema Monomios Llamaremos monomio a toda expresión literal en la que estén involucradas exclusivamente las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplo 1.1 Son monomios las expresiones 3ax, 2x 2 y, 3 2 a x, 5xy2 3x 3 z. No son monomios las expresiones 7a 2x, 3a 5b, 6x2 2y 3 3a + b. Todo monomio está formado por un factor numérico, llamado coeficiente, y un factor literal con sus exponentes respectivos. Ejemplo 1.2 { 1) 3ax 2 y 4 3 coeficiente, ax 2 y 4 parte literal. 2) 1 1 coeficiente, 2 mp5 2 mp 5 parte literal. Llamaremos grado de un monomio a la suma de todos los exponentes de sus letras. Así, por ejemplo, el grado del monomio 5x 5 m 4 z es = 10; el grado del monomio 3m 2 n 5 z 7 es = 14. Se dirá que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. De este modo, son semejantes los monomios 3a 5 b, 2ba 5 y 3 4 a5 b; no son semejantes los monomios 6a 5 b 2, 6a 2 b 5, 3 2 ab6. Dos monomios semejantes que tienen el mismo coeficiente son iguales, mientras que si tienen coeficientes opuestos se llaman opuestos. Las operaciones que se pueden realizar con los monomios son las siguientes: Suma y diferencia de monomios. La suma o la diferencia de dos o más monomios semejantes es otro monomio semejante a los primeros, cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los monomios dados. Ejemplo 1.3 1) 7ax 5 b 2 2ax 5 b 2 + 3ax 5 b 2 = ( )ax 5 b 2 = 8ax 5 b 2. 2) 3xy 4 ( 6)xy 4 = [ 3 ( 6)] xy 4 = 3xy 4. Si los monomios no son semejantes la suma o la diferencia se deja indicada.

6 2 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Ejemplo 1.4 1) La suma de los monomios 3xy 5 m 3, 1 3 x2 yz 3 y 4x 3 z 3 m está representada por la expresión algebraica 3xy 5 m x2 yz 3 + 4x 3 z 3 m. 2) La diferencia de los monomios 6xy 5 m 2 y 2x 2 ym 3 viene dada por la expresión algebraica 6xy 5 m 2 ( 2x 2 ym 3 ) = 6xy 5 m 2 + 2x 2 ym 3. Producto y potencia de monomios. El producto de monomios o un monomio elevado a una potencia es otro monomio. En el primer caso, el resultado es un monomio que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, y como parte literal las distintas letras con exponente igual a la suma de los exponentes con que figuran en los monomios. En el segundo caso, para elevar un monomio a una potencia, es suficiente elevar el coeficiente a dicha potencia y multiplicar los exponentes de cada letra por el exponente de la potencia a la que se desea elevar. Ejemplo 1.5 1) El producto de los monomios 3ax 2 y 3 z 5, 2x 3 z y 1 3 az4 ym viene dada por ( ) 1 (3ax 2 y 3 z 5 )( 2x 3 z) 3 az4 ym = 3 ( 2) 1 3 a2 x 5 y 4 z 10 m = 2a 2 x 5 y 4 z 10 m. 2) ( 2xy 5 )( 6x 2 z) = 12x 3 y 5 z. ( 3) 2 ) 3 3 ax2 y 4 = 8 27 a3 x 6 y 12. 4) ( 3mx 5 y 3 ) 2 = 9m 2 x 10 y 6. División de monomios. Para dividir dos monomios basta con escribirlos en forma de fracción, de tal manera que el monomio dividendo sea el numerador y el monomio divisor el denominador. A continuación, se dividen los coeficientes entre sí y se restan los exponentes de las respectivas letras. Ejemplo 1.6 1) ( 35 ) xy5 m 2 : (2xy 3 m) = 3 10 y2 m; 2) (3x 2 yz 3 ) : ( 2x 3 y) = 3 2 x 1 z 3 ; ( ) ( ) 4 2 3) 3 mn2 z : 9 xm3 = 6m 2 n 2 zx 1. Obsérvese que en los dos primeros ejemplos se han obtenido como resultado monomios enteros, mientras que en el tercero, el monomio resultante es fraccionario. Cuando el cociente es un monomio entero, diremos que el monomio dividendo es divisible por el monomio divisor, o también que el primero es múltiplo del segundo. En la práctica, para que un monomio sea múltiplo de otro, se requiere que el primero tenga todas las letras del segundo con grado igual o superior, no siendo necesario que el coeficiente del primer monomio sea múltiplo del coeficiente del segundo.

7 Tema 2 3 Ejemplo 1.7 1) 6m 4 y 5 z 3 es múltiplo de 3my 4 z 2 ; 2) 7m 3 yz 4 es múltiplo de 5m 2 z 3 ; 3) 5max 4 es divisor de 8m 2 x 7 a 5 t 2. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de monomios. El máximo común divisor de varios monomios es el monomio de mayor grado que puede dividir a la vez a todos los monomios dados. Así, el m.c.d. de varios monomios es otro monomio cuya parte literal está formada por todas las letras comunes con el menor exponente. Si los coeficientes son números enteros, tomaremos su m.c.d. como coeficiente; por el contrario, si todos los coeficientes no son enteros, tomaremos el 1 como coeficiente del m.c.d. Ejemplo 1.8 1) m.c.d.(30x 3 y 4 t 2,15x 2 y 5, 20x 4 y 6 m 3 ) = 5x 2 y 4 ; ( ) 3 2) m.c.d. 4 x4 t 6 z,12x 3 y 4 t,8x 2 yzt 3 = x 2 t. 3) m.c.d.(8xy 4, 12x 2 y 5 t,16x 3 m 2 ta 2,36m 2 t) = 4. El mínimo común múltiplo de varios monomios es otro monomio, cuya parte literal está formada por todas las letras, comunes y no comunes a los monomios dados, con el mayor exponente. Por coeficiente se toma el m.c.m. de los coeficientes de los monomios, si éstos son números enteros; en caso contrario, se tomará el 1 como m.c.m. Ejemplo 1.9 1) m.c.m.(8x 5 y 2, 12xy 3 z 2,20x 2 y 5 z 6 ) = 120x 5 y 5 z 6 ; 2) m.c.m. (3ab 4, 73 ) ma2,5m 3 z 2 a, 6t 3 m 4 = a 2 b 4 m 4 z 2 t El anillo de los polinomios 2.1. Polinomios La suma de varios monomios que no sean semejantes no se puede efectuar y da lugar a un polinomio. Cada uno de los términos que lo componen se denomina término del polinomio. Un monomio se puede considerar como un caso particular de polinomio con un único término. Cuando todos los monomios son enteros, el polinomio se llama entero. Cuando hablemos de polinomios, nos referiremos siempre a los polinomios enteros. Los polinomios fraccionarios se estudiarán más adelante. Ejemplo 2.1 1) 3 4 xy2 + 2mx 5 5m 2 y es un polinomio entero; 2) 3xy2 5m xty z + 5xy x + y 3x2 y 3 z es un polinomio fraccionario. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos. Si todos los términos tienen el mismo grado, el polinomio se llamará homogéneo.

8 4 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Ejemplo 2.2 1) 3x 4 ym x3 y 6 + 3y 4 m es de grado 9; 2) 3 4 x2 y 5 a + 2a 3 b x5 y 3 es de grado Suma y diferencia de polinomios Para sumar dos o más polinomios se escriben, uno a continuación de otro, todos los términos de los polinomios y se suman los términos semejantes. Esta última operación se denomina reducción de términos semejantes. Ejemplo 2.3 1) (3ax 5 2a 3 x) + (3a 2 x 2 + ax 5 ) + (3a 3 x a 2 x 2 ) = 3ax 5 2a 3 x + 3a 2 x 2 + ax 5 + 3a 3 x a 2 x 2 = 4ax 5 + a 3 x + 2a 2 x 2. 2) (3a 2 14 ) ( 3 ab + 2 b2 2ab + 1 ) 3 a2 + (4ab b 2 ) = 3a ab b2 2ab a2 + 4ab b 2 = 10 3 a ab b2. Las operaciones entre polinomios representan operaciones entre números relativos y, por tanto, se mantendrán las propiedades de las operaciones con dichos números: es asociativa, es conmutativa, La suma posee elemento neutro (polinomio nulo), cada polinomio tiene su simétrico (polinomio opuesto) Ejemplo 2.4 Propiedad asociativa: (3ax 2 2a 2 x) + [ (ax 2 x 3 ) + (2a 3 ax 2 ) ] = (3ax 2 2a 2 x) + (ax 2 x 3 + 2a 3 ax 2 ) = = 3ax 2 2a 2 x + ax 2 x 3 + 2a 3 ax 2 = 2ax 2 a 2 x x 3 + 2a 3, [ (3ax 2 2a 2 x) + (ax 2 x 3 ) ] + (2a 3 ax 2 ) = (3ax 2 2a 2 x + ax 2 x 3 ) + (2a 3 ax 2 ) = = 3ax 2 2a 2 x + ax 2 x 3 + 2a 3 ax 2 = 2ax 2 a 2 x x 3 + 2a 3. Propiedad conmutativa: ( ) 1 3 ax2 2a x + (5a 2 x 3ax 2 ) = 1 3 ax2 2a x + 5a 2 x 3ax 2 = 8 3 ax2 + 3a 2 x, ( ) 1 (5a 2 x 3ax 2 ) + 3 ax2 2a x = 5a 2 x 3ax ax2 2a x = 8 3 ax2 + 3a 2 x. Elemento neutro: (3a 2 x 5 2ax + 3x 4 ) + (0a 2 x 5 + 0ax + 0x 4 ) = (3a 2 x 5 2ax + 3x 4 ) + 0 = = 3a 2 x 5 2ax + 3x 4.

9 Tema 2 5 Elemento opuesto: (5mn 2 + 3ax 2 2nm 2 ) + ( 5mn 2 3ax 2 + 2nm 2 ) = = 5mn 2 + 3ax 2 2nm 2 5mn 2 3ax 2 + 2nm 2 = 0. Resumiendo, podemos decir que en el conjunto P de los polinomios, la suma es una ley de composición interna (operación), que posee las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico; luego el par (P,+) es un grupo abeliano o conmutativo. La diferencia de dos polinomios es igual a la suma del primero con el opuesto del segundo. Ejemplo 2.5 (3a 2 m 2am 2 5am) (5am 2 + 7a 2 m) = 3a 2 m 2am 2 5am 5am 2 7a 2 m = = 4a 2 m 7am 2 5am. En la práctica y como se ha podido observar en los ejemplos anteriores, para sumar o restar polinomios, se quitan los paréntesis, teniendo presente que si delante hay un signo +, los signos que figuran en el paréntesis no varían, y si delante tenemos el signo, se cambian todos los signos de los términos que figuran dentro del paréntesis Producto de polinomios. Propiedades Como un polinomio es la suma de varios términos, podemos aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y enunciar la siguiente regla: Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica por el monomio cada uno de los términos del polinomio. Con esto hemos reducido el problema al producto de monomios, que ya sabemos realizar. Ejemplo 2.6 ( 3 4 ax2 2a 2 x + 2 ) 3 ax 3a 2 m = 9 4 a3 x 2 m 6a 4 xm + 2a 3 xm. Extendiendo la propiedad distributiva al producto de dos sumas, podemos decir que para multiplicar dos polinomios, basta multiplicar cada término de uno de los polinomios por cada uno de los términos del otro, y después, reducir los términos semejantes. Ejemplo 2.7 1) 2) (3m 2 + 2mn n 2 )(2m 3n) = (3m 2 + 2mn n 2 )(2m) + (3m 2 + 2mn n 2 )( 3n) = = (6m 3 + 4m 2 n 2mn 2 ) + ( 9m 2 n 6mn 2 + 3n 3 ) = 6m 3 5m 2 n 8mn 2 + 3n 3. (4x 2 3x + 2)(5x 2 3x 2) = = (4x 2 3x + 2)(5x 2 ) + (4x 2 3x + 2)( 3x) + (4x 2 3x + 2)( 2) = = (20x 4 15x x 2 ) + ( 12x 3 + 9x 2 6x) + ( 8x 2 + 6x 4) = = 20x 4 27x x 2 4.

10 6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas El producto de polinomios, al igual que la suma, tiene las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva respecto de la suma. Propiedad asociativa: (3x + 2y)[(2x 3y)(3x y)] = (3x + 2y)(6x 2 9xy 2xy + 3y 2 ) = = (3x + 2y)(6x 2 11xy + 3y 2 ) = 18x x 2 y 33x 2 y 22xy 2 + 9xy 2 + 6y 3 = Propiedad conmutativa: = 18x 3 21x 2 y 13xy 2 + 6y 3, [(3x + 2y)(2x 3y)] (3x y) = (6x 2 + 4xy 9xy 6y 2 )(3x y) = = (6x 2 5xy 6y 2 )(3x y) = 18x 3 15x 2 y 18xy 2 6x 2 y + 5xy 2 + 6y 3 = = 18x 3 21x 2 y 13xy 2 + 6y 3. (2xy 3x 2 )(2x + 5y) = 4x 2 y 6x xy 2 15x 2 y = 11x 2 y 6x xy 2, (2x + 5y)(2xy 3x 2 ) = 4x 2 y + 10xy 2 6x 3 15x 2 y = 11x 2 y 6x xy 2. Propiedad distributiva respecto de la suma: 3x 2 [(2x 3) + (3x 5)] = 3x 2 (2x 3 + 3x 5) = 3x 2 (5x 8) = 15x 3 24x 2. Aplicando la propiedad distributiva se tiene que 3x 2 [(2x 3) + (3x 5)] = 3x 2 (2x 3) + 3x 2 (3x 5) = = 6x 3 9x 2 + 9x 3 15x 5 = 15x 3 24x 2. Elemento neutro: El elemento neutro del producto es el 1, considerándolo como el monomio de grado cero y coeficiente uno. En efecto, multiplicando por 1 cualquier polinomio, éste no varía. Elemento simétrico: Como el grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los factores, dado un polinomio de grado mayor que cero, no existirá ningún polinomio que multiplicado por el primero nos dé 1. Así, ningún polinomio que no se reduzca a un número tiene elemento simétrico para la multiplicación El anillo de los polinomios En el conjunto P de todos los polinomios enteros hemos definido dos operaciones fundamentales: la suma y la multiplicación. Estas operaciones tienen las siguientes propiedades: La suma La multiplicación es asociativa, es conmutativa, posee elemento neutro (polinomio nulo), cada polinomio tiene su simétrico (polinomio opuesto) es conmutativa, es asociativa, posee elemento neutro (el 1), es distributiva respecto de la suma. Un conjunto dotado de dos operaciones con estas propiedades tiene estructura de anillo abeliano unitario.

11 Tema División de polinomios 3.1. División de polinomios Así como la suma de varios monomios no se podía realizar más que en el caso de monomios semejantes, y nos veíamos obligados a dejar la suma indicada, obteniendo un polinomio, también la división de polinomios sólo es posible cuando el dividendo es múltiplo del divisor. En caso contrario, indicamos la división, obteniéndose una fracción algebraica. Ejemplo 3.1 El cociente (3x 2 y 2axy 3 3y 4 ) : (5xb 2 z 3z 2 ) da lugar a la fracción algebraica 3x 2 y 2axy 3 3y 4 5xb 2 z 3z 2. De la división de dos monomios resulta otro monomio entero si el dividendo contiene todas las letras del divisor con un grado igual o mayor. Del mismo modo, para que la división de un polinomio entero por un monomio dé otro polinomio entero, es necesario que todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio divisor; en este caso diremos que el el dividendo es divisible por el divisor. El cociente es el resultado de dividir cada término del polinomio por el monomio. Ejemplo 3.2 (3x 4 yz 2 4ax 2 y 3 7x 3 y 2 z + 2x 2 y) : 2x 2 y = 3 2 x2 z 2 2ay 2 7 xyz Cuando en Z no es posible la división entre dos números a y b, expresamos el resultado mediante un cociente c y un resto r, de forma que a = bc + r, con r < b. Al número c se le llama cociente entero y a r, resto de la división. Análogamente, dadas dos expresiones algebraicas A(x) y B(x) en una misma variable, en general, el cociente A(x) no es un polinomio entero, es decir, A(x) no es divisible por B(x). Se trata de buscar B(x) dos polinomios enteros, C(x) y R(x), tales que A(x) = B(x)C(x) + R(x), con la condición de que el grado de R(x) sea menor que el de B(x). A los dos polinomios C(x) y R(x) se les denomina, respectivamente, cociente entero y resto de la división. A continuación se proporciona una regla para la división de dos polinomios. Ésta consta de divisiones y multiplicaciones; en el ejemplo que se expone a continuación, indicaremos las primeras con (*) y las segundas con (**). Ejemplo 3.3 Para realizar la división ( 5x 3x 2 + 2x 3 5) : (x 2), se disponen los dos polinomios en orden decreciente: 2x 3 3x 2 5x 5 x 2 ( ) Se divide el primer término, 2x 3, por el primer término del divisor, x; el cociente así obtenido, 2x 2, es el primer término del cociente buscado. 2x 3 3x 2 5x 5 x 2 2x 2

12 8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas ( ) Se multiplica el cociente parcial, 2x 2, por el divisor, x 2, y se resta el resultado del dividendo. Para esto es suficiente poner los términos del producto parcial, con los signos cambiados, debajo de los términos semejantes del dividendo, y efectuar la suma algebraica: 2x 3 3x 2 5x 5 x 2 2x 3 +4x 2 2x 2 x 2 5x 5 ( ) Se divide el primer término del nuevo dividendo, x 2, por el primer término del divisor: 2x 3 3x 2 5x 5 x 2 2x 3 +4x 2 2x 2 + x x 2 5x 5 ( ) Se multiplica el cociente obtenido, x, por el divisor, x 2, y se resta del nuevo dividendo: ( ) Se divide el término 3x por x, obteniendo 3. 2x 3 3x 2 5x 5 x 2 2x 3 +4x 2 2x 2 + x x 2 5x 5 x 2 +2x 3x 5 ( ) Se multiplica 3 por el divisor, x 2, y se le resta de 3x 5: 2x 3 3x 2 5x 5 x 2 2x 3 +4x 2 2x 2 + x 3 x 2 5x 5 x 2 +2x 3x 5 +3x 6 11 Ya no se puede continuar pues el resto obtenido, 11, es de grado inferior al grado del divisor. Ejemplo 3.4 1) (x 2x x 4 ) : (2x 2 1). 3x 4 2x 3 +x 3 2x 2 1 3x x2 3 2 x2 x x x2 +x 3 +2x 3 x x x Se obtiene así el cociente 3 2 x2 x y de resto

13 Tema 2 9 2) (4x a 2 x 3 + a 5 12ax 4 + a 4 x 2a 3 x 2 ) : (2x 2 + a 2 3ax). 4x 5 12ax 4 +11a 2 x 3 2a 3 x 2 +a 4 x +a 5 2x 2 3ax + a 2 4x 5 +6ax 4 2a 2 x 3 2x 3 3ax a3 6ax 4 +9a 2 x 3 2a 3 x 2 +a 4 x +a 5 +6ax 4 9a 2 x 3 +3a 3 x 2 a 3 x 2 +a 4 x +a 5 a 3 x a4 x 1 2 a5 5 2 a4 x a5 En este caso el cociente viene dado por 2x 3 3ax y el resto por 5 2 a4 x a Regla de Ruffini Cuando tenemos que dividir un polinomio A(x) por un binomio de la forma x a, la operación se puede hacer de otra forma más sencilla, como puede observarse el siguiente ejemplo: Ejemplo 3.5 Para dividir el polinomio (4x 4 5x 3 + 3x 5 x x) por el binonio x 2, primeramente se ordena el polinomio en orden decreciente: 3x 5 + 4x 4 5x 3 x 2 13x 63. Después se escriben sólo los coeficientes del polinomio con su signo, y se separa el término independiente. El término independiente del divisor x 2 se pone a la izquierda con el signo cambiado: El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; se coloca debajo del primer coeficiente del dividendo: Este coeficiente se multiplica por el término independiente del binomio y el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente del dividendo, sumándose con éste: Este proceso se va repitiendo hasta llegar al último coeficiente del polinomio: Los números obtenidos, salvo el último, son precisamente los coeficientes del cociente, y el último es el resto; tenemos pues que el cociente viene dado por C(x) = 3x x x x + 45.

14 10 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Cuando el divisor es un binomio de la forma x + a, también se aplica la regla de Ruffini escribiendo x + a = x ( a). Ejemplo 3.6 Dividir el polinomio A(x) = 16x 2 y 3 + y 4 x + 7x 5 20y 2 x 3 8yx 4 y 5 por el binomio x 2y. a) Ordenamos el polinomio según las potencias decrecientes de x: A(x) = 7x 5 8yx 4 20y 2 x x 2 y 3 + y 4 x y 5. b) Realizamos la división con la precaución de colocar los coeficientes del polinomio A(x) tanto numéricos como literales: 7 8y 20y 2 16y 3 y 4 y 5 2y 14y 12y 2 16y 3 0 2y 5 7 6y 8y 2 0 y 4 y 5 Tenemos pues que C(x) = 7x 4 + 6yx 3 8y 2 x 2 + y 4 y R = y Divisibilidad de polinomios 4.1. Teorema de Ruffini. Regla general de divisibilidad de polinomios Cuando tenemos un polinomio P(x) y un binomio x a, podemos hallar el resto de la división P(x) : (x a) sin realizar la operación, lo cual será muy útil para determinar si la división es exacta o no. El resto de dicha división es un polinomio en x, de grado inferior al divisor, y como x a es de primer grado, el resto R será de grado cero, es decir, será un término independiente de x. Luego si C(x) es el cociente de la división, por la definición de esta operación tendremos que P(x) = (x a)c(x) + R. El segundo miembro de esta igualdad es una transformación del primer miembro y las dos expresiones algebraicas son idénticamente iguales y, por tanto, la igualdad será cierta para cualquier valor de la variable x. En particular, si hacemos x = a, se obtiene En consecuencia, P(a) = (a a)c(a) + R = R. Teorema 4.1 (de Ruffini) El resto de la división P(x) : (x a) es el valor numérico del polinomio P(x) para x = a. Ejemplo 4.1 1) Para calcular el resto de la división (x 4 3x + 2x 2 5) : (x 2), sustituimos en el polinomio dividendo x por 2, obteniendo: luego R = P(2) = 13. P(2) = = = 13, 2) Es divisible el polinomio P(x) = 3x 3 + x 4 6x + 2 por el binomio x 1? P(1) = = = 0. Como R = P(1) = 0, el resto de la división es nulo y P(x) es divisible por x 1.

15 Tema ) El resto de la división (x 4 + 4x + 5 3x 3 ) : (x + 2) = (x 4 + 4x + 5 3x 3 ) : [x ( 2)] viene dado por P( 2) = ( 2) 4 + 4( 2) + 5 3( 2) 3 = = 37. 4) Es exacta la división (x 4 6x 4 + 3x 3 ) : (x + 2)? Sí, pues R = P( 2) = ( 2) 4 6( 2) 4 + 3( 2) 3 = = 0. De la regla de Ruffini se deducen dos consecuencias: Si el polinomio P(x) es divisible por x a, el resto de la división es nulo; luego P(a) = 0. Recíprocamente; si el polinomio P(x) es tal que P(a) = 0, el resto de la división P(x) : (x a) es nulo y, por lo tanto, P(x) es divisible por x a. El valor a para el que P(a) = 0 recibe el nombre de cero del polinomio P(x). Podremos concluir con esta importante regla general de divisibilidad: La condición necesaria y suficiente para que un polinomio P(x) sea divisible por x a es que a sea un cero del polinomio. Ejemplo 4.2 Sin realizar la división, se puede comprobar que el polinomio P(x) = x 4 3x + x 3 + 3x 5 es divisible por (x + 1), ya que esto es, x = 1 es un cero de P(x). P( 1) = ( 1) 4 3( 1) + ( 1) 3 + 3( 1) 5 = = 0, 4.2. Divisibilidad del binomio x n a n La diferencia de dos potencias de igual exponente es siempre divisible por la diferencia de sus bases, es decir, x n a n es siempre divisible por x a. En efecto, según la regla general de divisibilidad de los polinomios, para ver si x n a n es divisible por x a, basta hacer x = a y observar que el resto es nulo: P(x) = x n a n, R = P(a) = a n a n = 0, luego la división siempre es exacta y, además, x n a n = (x a)c(x), donde C(x) puede calcularse aplicando la regla de Ruffini: a n a a a 2 a 3 a 4 a n 1 a n 1 a a 2 a 3 a 4 a n 1 0 Como el cociente es un polinomio decreciente en x y de grado n 1, tendremos que Ejemplo 4.3 C(x) = x n 1 + ax n 2 + a 2 x n 3 + a 3 x n a n 2 x + a n 1. x 3 y 3 = (x y)(x 2 + xy + y 2 ), x 5 y 5 = (x y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 ), 8 x 3 = (2 3 x 3 ) = (2 x)(4 + 2x + x 2 ).

16 12 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas La diferencia x n a n de dos potencias de igual exponente es divisible por la suma x + a de sus bases si n es un número par. Procediendo de forma totalmente análoga a la anterior, se tiene que { P(x) = x n a n, P( a) = ( a) n a n a n a n = 0 si n es par, = a n a n = 2a n si n es impar. De aquí se deduce que a es un cero del polinomio P(x) únicamente cuando n es par, así que sólo en ese caso P(x) es divisible por x + a y, además, Aplicando la regla de Ruffini se llega a que Ejemplo 4.4 x n a n = (x + a)c(x). C(x) = x n 1 ax n 2 + a 2 x n 3 a 3 x n a n 2 x a n 1. x 4 y 4 = (x + y)(x 3 x 2 y + xy 2 y 3 ), 4.3. Divisibilidad del binomio x n + a n x 6 64 = (x + 2)(x 5 x x x x ). La suma de dos potencias de igual exponente x n + a n nunca es divisible por la diferencia de sus bases x a. Así es; si P(x) = x n + a n, haciendo uso del criterio general de divisibilidad, se tiene que P(a) = a n + a n = 2a n 0. La suma de dos potencias de igual exponente x n + a n es divisible por x + a sólo cuando n es impar. Efectivamente; si hacemos P(x) = x n + a n, entonces { P( a) = ( a) n + a n a n + a n = 2a n si n es par, = a n + a n = 0 si n es impar. Sólo cuando n es impar, a es un cero de P(x) y, por tanto, sólo en este caso P(x) es divisible por x + a, siendo x n + a n = (x + a)c(x). El cociente C(x) puede calcularse aplicando la regla de Ruffini: a n a a a 2 a 3 a 4 a 5 a n 2 a n 1 a n 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a n 2 a n 1 0 de modo que C(x) = x n 1 ax n 2 + a 2 x n 3 a 3 x n 4 a n 2 x + a n 1. Ejemplo 4.5 (x 5 + 1) : (x + 1) =x 4 x 3 + x 2 x + 1, 128x =(2x) = =(2x + 3) [ (2x) 6 (2x) (2x) (2x) (2x) (2x) ] = =(2x 3)(64x 6 96x x 4 216x x 2 486x + 729).

17 Tema Descomposición factorial de polinomios Descomponer un polinomio en factores significa transformar el polinomio en producto de monomios u otros polinomios de grado inferior. Esta operación suele presentar muchas dificultades y, con frecuencia, no es posible. Por esto, nos limitaremos a los casos más sencillos, que se reducirán a considerar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, y a los productos notables Sacar factor común La descomposición factorial de polinomios tiene en Álgebra las mismas aplicaciones que en Aritmética la descomposición en factores primos: hallar el máximo común divisor (m.c.d.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios polinomios y, por consiguiente, la simplificación de fracciones, la reducción al mínimo denominador común, resolución de ecuaciones, etc. La primera operación de descomposición, que siempre tiene que preceder a cualquier otra, consiste en sacar factor común uno o varios factores que aparecen en todos los términos. El polinomio dado es igual al producto de esos factores por el polinomio que resulte de dividir cada término por el factor común. Se podría considerar esta operación como la inversa de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. En efecto, si aplicamos la propiedad distributiva al producto, se verifica m(3x + 3y 5x 2 ) = 3mx + 3my 5mx 2. El polinomio del segundo miembro contiene en todos los términos la letra m, que podrá sacarse factor común: Propiedad distributiva m(3x + 3y 5x 2 ) = 3mx + 3my 5mx 2 Sacar factor común En general, se saca factor común el m.c.d. de los términos del polinomio. Ejemplo 5.1 1) Los términos del polinomio 4a 2 b 5ab 2 + 7ab contienen todos el factor ab, con lo que 4a 2 b 5ab 2 + 7ab = ab(4a 5b + 7). 2) Todos los términos del polinomio 5x 4 yz 2 15ax 3 yz +25x 3 z 3 b contienen el factor 5x 3 z, pudiéndose escribir 5x 4 yz 2 15ax 3 yz + 25x 3 z 3 b = 5x 3 z(xyz 3ay + 5z 2 b). 3) (a + b) 2 3(a + b)a + 5(a + b)(a b) = (a + b)(a + b 3a + 5a 5b) = (a + b)(3a 4b). 4) a 2 b b = b(a 2 1) Doble extracción de factor común Puede suceder que algunos términos de un polinomio presenten un factor común, mientras que los restantes ofrezcan otro factor común distinto. Al sacar factor común de los primeros y de los segundos por separado, con frecuencia se puede transformar todo el polinomio en factores.

18 14 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Ejemplo 5.2 1) am bm + an bn = m(a b) + n(a b) = (a b)(m + n). En los dos primeros se ha sacado factor común m y el los otros dos, n. Los dos términos que han resultado, contienen el factor común a b. Mediante una segunda extracción de factor común el polinomio se ha convertido en un producto. Esta doble extracción de factor común se puede considerar como la operación inversa del producto de dos polinomios. 2) 3x 2 2xy 6mx + 4my = x(3x 2y) 2m(3x 2y) = (3x 2y)(x 2m). 3) 3xma + 3xna mya nya+3xmb+3xnb myb nyb = 3ax(m + n) ya(m + n)+ 3xb(m + n) yb(m+n) = (m+n)(3ax ya+3xb yb) = (m+n)[a(3x y) + b(3x y)] = (m+n)(3x y)(a+b) Trinomio cuadrado perfecto de un binomio. Diferencia de cuadrados Los productos notables son ya conocidos: (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2. Un problema que deseamos abordar ahora es cómo reconocer si un trinomio es un cuadrado perfecto de un binomio. Para ello observamos que en el trinomio de la igualdad anterior, tenemos dos monomios que son cuadrados perfectos, a 2 y b 2, mientras que el tercer término, 2ab, es doble producto de las bases de esos cuadrados perfectos. Cada vez que se cumplen estos requisitos, el trinomio es el desarrollo de la suma o diferencia de dos monomios, según que el doble producto sea positivo o negativo. Ejemplo 5.3 1) 2) 25a a + 4 (5a) 2 2 5a a 2 es el cuadrado de 5a; 4 es el cuadrado de 2; y 20a es el doble de 5a 2. Como el duplo lleva el signo positivo, se trata del cuadrado de una suma: 25a a + 4 = (5a + 2) 2. x 2 ( x ) 2 3xy + 9y 2 = 4 2 3y ( x ) 2 2 x 3y (3y)2 2 2 Es más, leyendo en sentido inverso la igualdad (a + b)(a b) = a 2 b 2 obtenemos Ejemplo 5.4 1) x 2 9 = (x + 3)(x 3); 2) 16x 2 y 4 25 = (4xy 2 + 5)(4xy 2 5); a 2 b 2 = (a + b)(a b). 3) (x y) 2 z 2 = [(x y) + z][(x y) z] = (x y + z)(x y z).

19 Tema Descomposición de un polinomio conocidos sus ceros Tratemos ahora la descomposición de un polinomio cualquiera conocidos sus ceros. De este modo, si P(x) es un polinomio de grado n y a es un cero de P(x), sabemos que P(x) es divisible por x a; hallando C(x) por la regla de Ruffini tendremos que P(x) = (x a)c(x), donde C(x) es un polinomio de grado n 1. Esta descomposición ya se ha estudiado anteriormente. Ahora bien, si P(x) es un polinomio de grado n y a 1,a 2,...,a n son n ceros de P(x), entonces éste se puede descomponer de la siguiente forma: P(x) = A(x a 1 )(x a 2 ) (x a n ), donde A es el coeficiente del término de grado n de P(x), llamado coeficiente líder de P(x) Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Estudiemos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos polinomios: (A) Un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio D(x) si, descompuestos en factores primos, todos los factores de D(x) están en P(x) con exponentes mayores o iguales. Ejemplo 5.5 Es divisible P(x) = 8x 4 y 3 32x 3 y 4 + 4x 3 y 3 por D(x) = 4x 4 y 2 16xy 3 + 2xy 2? 8x 4 y 3 32x 3 y 4 + 4x 3 y 3 4x 4 y 2 16xy 3 + 2xy 2 = 4x3 y 3 (2x 8y + 1) 2xy 2 (2x 8y + 1) = 2x2 y. Sí es divisible y el cociente es C(x) = 2x 2 y. (B) El m.c.d. (m.c.m.) de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado (menor grado) que sea divisor (divisible por) los polinomios dados. Descompuestos los polinomios dados en factores primos, podemos hallar el m.c.d. y el m.c.m. como sigue: El m.c.d. de dos o varios polinomios descompuestos en factores primos es igual al polinomio producto de todos los factores comunes con el menor exponente. El m.c.m. de dos o varios polinomios descompuestos en factores primos es igual al polinomio producto de todos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Ejemplo 5.6 Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los polinomios P(x) = 2x 4 y 4x 3 y 2 + 2x 2 y 3 y Q(x) = x 3 y 2 xy 4. Descomponiendo los polinomios resulta: P(x) =2x 2 y(x 2 2xy + y 2 ) = 2x 2 y(x y) 2, Q(x) =xy 2 (x y)(x + y), de manera que m.c.d. (P(x),Q(x)) = xy(x y) y m.c.d. (P(x),Q(x)) = 2x 2 y 2 (x y) 2 (x + y).

20 16 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas 6. Fracciones algebraicas Las fracciones algebraicas son expresiones literales que representan al cociente inexacto de dos monomios o polinomios. Cuando el numerador es múltiplo del denominador, diremos que la fracción es impropia. Ejemplo 6.1 Las expresiones 3x 2y 4x y, x 3x 2 2, 5x 10y x 2y, son todas fracciones algebraicas; sin embargo, la tercera es una fracción impropia pues 5x 10y x 2y = 5(x 2y) x 2y El valor numérico de una fracción, para determinados valores de sus letras, es el número que resulta de sustituir las letras por sus valores respectivos y realizar las operaciones indicadas. = 5. x 3x 2 Ejemplo 6.2 El valor numérico de x 2x 2 + 3a 2a 6x para { x = 1, a = 2, es ( 2) 2( 2) 6 1 = = 7 10 = Puede ocurrir que la fracción algebraica no tenga sentido para determinados valores de sus letras; esto sucede cuando para dichos valores se anula el denominador. Así, la expresión anterior no tiene sentido para los valores x = 1 y a = 3, porque tendríamos = A veces sucede que los valores dados a las letras anulan, a la vez, el numerador y el denominador; diremos que para dichos valores la fracción es indeterminada. x + 1 Ejemplo 6.3 La fracción x 2 es indeterminada para x = 1 ya que, hallando el valor numérico + 2x + 1 correspondiente, se obtiene: = 8 0. ( 1) + 1 ( 1) 2 + 2( 1) + 1 = = 0 0. Dos fracciones son equivalentes si toman los mismos valores numéricos para todos los valores atribuidos a sus letras que no anulan el denominador. 3x a Ejemplo 6.4 4x 2 + a y 9x 2 a 2 12x 2 son equivalentes. Para comprobarlo es suficiente 6x + 7xa 2a + a2 dar a x y a a dos valores y ver que los correspondientes valores numéricos coinciden. Como las letras representan números, se pueden extender a las fracciones algebraicas las propiedades de las fracciones aritméticas. Otra definición de equivalencia que coincide con la primera es la siguiente: Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto del numerador de la segunda por el denominador de la primera. Así, si m, n, p y q representan polinomios algebraicos, podremos escribir m n p q mq = np.

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