Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

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1 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene un triángulo rectángulo. Esto permite definir ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente, como sigue: AA cteto opuesto sen Ô = = OA hipotenus OA cteto contiguo cos Ô = = OA hipotenus AA cteto opuesto tg Ô = = OA cteto contiguo El ángulo O puede medirse en grdos o en rdines. El grdo es un medid sexgesiml: un ángulo completo (un vuelt complet) mide 60º. El rdin es un medid longitudinl, numéric rel: un rdin es un ángulo que brc un rco de longitud igul l rdio con el que h sido trzdo. L relción entre mbs uniddes es 60º = rdines L circunferenci complet brc rdines (tiene un longitud de rdios). Un ángulo un rco que se h trzdo con rdio 1 mide 1 rdin cundo su longitud es 1. Ls clculdors disponen de ls tecls DEG y RAD, pr grdos y rdines, respectivmente. Utilizndo ls definiciones, pr el triángulo djunto, se tiene: sen  = = 0,6; cos  = = 0,8; tg  = = 0,7 Utilizndo l clculdor (tecls sin, cos y tn) se tiene: Modo DEG: sen 0º = 0; sen 0º = 0,0; sen 0º = 0,; cos 0º = 1; cos 0º = 0,997; cos 60º = 0,; tg 0º = 0; tg 0º = 0,960; tg 0º = 0,77; tn 90º = Error Modo RAD: sen 0 = 0; sen 0, = 0,1987; sen 1 = 0,81; cos 0 = 1; cos 0, = 0,9801; cos 1 = 0,0; tg 0 = 0; tg 0, = 0,07; tg 0, = 0,8; tg (/) = Error Nots: 1. Cundo se use l clculdor debe comprobrse en qué modo (DEG o RAD) está.. Ls breviturs sen, cos y tg, pr seno coseno y tngente, respectivmente, pueden sustituirse por sin, cos y tn. Relciones fundmentles entre ls rzones trigonométrics de un ángulo Como consecuenci de ls definiciones, se cumplen: sen α 1 sen α + cos α = 1; tg α = ; 1+ tg α = cosα cos α Por tnto, conociendo un culquier de ls rzones trigonométrics se pueden determinr ls demás.

2 Not: Significdo de lguns cuestiones de notción: sen α = (sen α) = (sen α) (sen α) ; cos α = (cosα ) ; tg α = (tgα) sen α = sen(α ) = sen(α α) OJO: sen α = sen α = sen α + sen α sen (α ) = sen (α) = sen α = sen ( α + α) Aplicción de ls relciones nteriores pr determinr ls restntes rzones trigonométrics prtir de un de ells. Si se sbe que sen α = 0,8 0,8 + cos α = 1 cos α = 0,6 cos α = ±0,6. 0,8 El vlor de tg α = = ± 1,... ± 0,6 1 1 Si tg α = 1 + = cos 1 α = cos α = cos α ± Como sen α = cos α tg α senα = ± Not: El doble signo de los resultdos está relciondo con l periodicidd y con l simetrí de ls funciones trigonométrics. A continución se mtiz este hecho.. Rzones trigonométrics de un ángulo culquier Pr definir ls rzones trigonométrics de un ángulo culquier suele recurrirse un circunferenci centrd en el origen. El vértice de cd ángulo se sitú en el centro, siendo uno de sus ldos el eje positivo OX; los ángulos se considern positivos si se miden en sentido inverso l movimiento de ls mnecills de un reloj, y negtivos en el mismo sentido de dicho movimiento. Se cumple que 60º α = α. y sen α = si r = 1, sen α = y; r x cos α = si r = 1, r El seno de un ángulo es positivo cundo mide entre 0º y 180º (primero y segundo cudrnte); es negtivo cundo está en los cudrntes tercero y curto. Además: sen α = sen (180º α) = sen (180º + α) = sen (60º α) = sen ( α) Y en rdines: sen α = sen ( α) = sen ( + α) = sen ( α) = sen α

3 Como puede comprobrse con l clculdor: sen 0º = sen 10º = 0, sen º = sen 17º = 0,907 sen 190º = sen 0º = 0,176 sen 0º = sen 10º = 0,7660 sen 1 = sen ( 1) = 0,811 sen = sen ( ) = 0,768 El coseno de un ángulo es positivo cundo su vlor está entre 0º y 90º o entre 70º y 60º (primero y curto cudrnte); es negtivo cundo está en los cudrntes segundo y tercero.. Además: cos α = cos (60º α) = cos (180º α) = cos (180º + α) Y en rdines: cos α = cos α = cos α = cos + α ( ) ( ) ( ) Como en el cso del seno, puede comprobrse con l clculdor que: cos 0º = cos ( 0º) = cos 0º = 0,997 cos 10º = cos 0º = 0,7660 cos 0, = cos ( 0,) = cos ( 0,) =0,8776 cos ( 1) = cos ( 1) = 0,0 Rzones trigonométrics de ángulos que miden más de 60 o Pr clculr ls rzones trigonométrics de un ángulo myor que 60 o se reduce su equivlente en el primer giro: son equivlente los ángulos α y 60º + α, o en rdines + α y α. En generl, son equivlente α y k 60º + α, o bien k + α y α, siendo k un número entero, y se cumple que: sen (k 60º + α) = sen α; cos (k 60º + α) = cos α; tg (k 60º + α) = tg α; Esto signific que el vlor de ls rzones trigonométrics se repite cd vuelt, cd 60º, cd rdines. Observción: Con l tngente de un ángulo se puede precisr lgo más, y que se cumple que tg (k 180º + α) = tg α. Esto es, el vlor de l tngente se repite cd 180º. En consecuenci, el seno y el coseno son rzones periódics de periodo ; l tngente es periódic de periodo. sen 90º = sen 0º = 0,; sen 800º = sen ( 60º + 80º) = sen 80º = 0,8660 cos 100º = cos ( 60º + 10º) = cos 10º = 0, tn 90º = tn ( 60º + 0º) = tn 0º = tg 0º = 0,891. Rzones trigonométrics inverss: sin 1, cos 1 y tn 1 Ls rzones trigonométrics inverss permiten hllr un ángulo del que se conoce su seno, su coseno o su tngente. Esto es, determinn un ángulo cuyo seno, coseno o tngente es igul un número ddo. L form clásic de referirse ells es rco seno, rco coseno y rco tngente. Se definen como sigue: Arco seno (sin 1 ) En grdos: Pr un número y comprendido entre 1 y 1: rcsin y = α sin α = y. En rdines: Si x es un número que represent un vlor en rdines, ddo otro número y comprendido entre 1 y 1: rcsin y = x sin x = y.

4 Ejemplo: rcsin 0, = 0º y que sin 0º = 0, el vlor de rcsin 0, se obtiene con l clculdor: tecl sin 1 (que suele ctivrse pulsndo SHIFT sin 0..) Pero tmbién rcsin 0, = 10º, pues igulmente, sin 10º = 0,. Así pues, hy dos ángulos, en el primer giro, cuyo seno vle 0,. Y dos ángulos más en los sucesivos giros. Por tnto, los ángulos α que cumplen que su seno es 0,, que es lo que 0º + k 60º signific rcsin 0, = α, son: α = 10º + k 60º + k Ls soluciones en rdines serín: rcsin 0, = x 6 x = + k 6 Arco coseno (cos 1 ) Pr un número y comprendido entre 1 y 1: rccos y = α cos α = y. En rdines: Si x es un número que represent un vlor en rdines, ddo otro número y comprendido entre 1 y 1: rccos y = x cos x = y. Ejemplo: rccos ( 0,) = 10º y que cos 10º = 0, el vlor de rccos ( 0,) se obtiene con l clculdor: tecl cos 1 (que suele ctivrse pulsndo SHIFT cos ( 0.).) Pero tmbién rccos ( 0,) = 0º, pues igulmente, cos 0º = 0,. 10º + k 60º En generl, rccos ( 0,) = α α = 0º + k 60º + k Ls soluciones en rdines serín: rccos ( 0,) = x x = + k Arco tngente (tn 1 ) Pr un número y comprendido entre y + : rctn y = α tn α = y En rdines: Si x es un número que represent un vlor en rdines, ddo otro número y: rctn y = x tn x = y. Ejemplo: rctn 1, = 6,1º y que tn 6,1º = 1, el vlor de rctn 1, se obtiene con l clculdor: tecl tn 1 (que suele ctivrse pulsndo SHIFT tn 1..) Pero tmbién rctn 1, = 6,1º = 6,1º + 180º, pues igulmente, tn 6,1º = 1,. En generl: rctn 1, = α α = 6,1 + k 180º. Ls soluciones en rdines serín: rctn 1, = x x = 0, k. Observción finl: El vlor del ángulo elegido dependerá de l situción, de los dtos conocidos. Si se sbe que sen α = 0,8 y que α está en el primer cudrnte, entonces α =,1º; pero si α está en el segundo cudrnte, entonces α = 16,87. Si se sbe que cos α = 0, y que α está en el primer cudrnte, entonces α = 66,º; pero si α está en el curto cudrnte, entonces α = 66, = 9,8º.

5 Si tn α = y α está en el segundo cudrnte, entonces α = 116,7º; pero si α está en el curto cudrnte, entonces α = 6,7º = 96,7º. Aplicción: resolución de ecuciones trigonométrics elementles Ls ecuciones trigonométrics más elementles y comunes son de l form: sen x = b; cos x = b; tg x = b Tods ells pueden resolverse directmente con l clculdor, con yud de ls funciones sin 1, cos 1 y tn 1. Sus soluciones son: rcsin b sen x = b x = rcsin b x = rccos b cos x = b x = rccos b x = rctn b tg x = b x = rctn b x = Ejemplos de ecuciones sen x = b: Con l clculdor en el modo DEG: sen x = 1 x = rcsin( 1) = 90º = 70º x = 70º + k 60º. sen x = 1 x = rcsin 1 = 90º + k 60º x = º + k 180º. sen (x + º) = 0, x + º = rcsin( 0,) x + º = 0º = 0º x = 18º. OJO: Un ERROR frecuente es: sen x = 1 sen x = 1... MUY MAL En cmbio, ESTÁ BIEN lo siguiente: sen x = 1 sen x = 1... Ejemplos de ecuciones cos x = b: Con l clculdor en el modo RAD: cos x = 0 x = rccos 0 x = 1,7... = x = + k. cos x = 0 x = rccos 0 x = 1,7... = + k x = + k. 6 k cos x = 1 x = rccos ( 1) x = + k x = +. x x x x cos = 0, = rccos 0, = 1,07... = = + k x = + k. OJO: Un ERROR frecuente es: cos x = 1 cos x = 1... MUY MAL. x O tmbién: cos = 0, cos x = 1 MUY MAL: Ejemplos de ecuciones tg x = b: Con l clculdor en el modo RAD: tg x = 1 x = rctn 1 x = 0,78... = + k

6 6 tg x = x = rctg x = + k tg x = x = rctg x = 1,8 + k x = 0,669 + k. OJO: Un ERROR frecuente es: tg x = tg x =... MUY MAL.. Alguns fórmuls trigonométrics Ls rzones trigonométrics de ángulos no siguen un funcionmiento linel. Esto es, no trnsformn sums en sums. Esto signific que, por ejemplo: sen (α + β) sen α + sen β; cos (α) cos α; o tg (α β) tg α tg β. Por tnto, cundo se necesrio plicr el seno, el coseno o l tngente sums o rests de dos ángulos existen un serie de fórmuls que hbrí que tener en cuent. Alguns de ests fórmuls son: senos cosenos tngentes sin ( α + β) = sinαcosβ + cosα. sinβ cos( α + β) = cos αcosβ sinα. sin β tn α + tnβ tn ( α + β) = 1 tn α tnβ sin( α β) = sinαcosβ cosαsinβ cos( α + β) = cos αcos β + sinα. sin β sin α = sinαcosα cos α = cos α sin α tn α tnβ tn ( α β) = 1+ tn α tnβ tn α tn α = 1 tn α α 1 cosα α 1+ cosα α 1 cos α sin = ± cos = ± tn = ± 1 + cos α Observción: Ests fórmuls no es necesrio memorizrls; bst con sber que existen, y que l hor de plicr ls rzones trigonométrics sums o rests de ángulos hy que tenerls en cuent. 6. Aplicción de l trigonometrí pr l determinción de distncis inccesibles Ls rzones trigonométrics se pueden utilizr pr determinr l longitud de los ldos de un triángulo rectángulo, prtir de otros elementos, ángulos o ldos, conocidos de ese triángulo. Así, pueden servir pr conocer l ltur de un torre, l nchur de un río o l pendiente medi de un montículo, ejemplos que pueden generr esquems en form de triángulo rectángulo. Un mp topográfico puede verse como un triángulo rectángulo. L distnci entre los puntos A y B del mp es L torre puede considerrse un cteto de un triángulo rectángulo, l ltur CB; el otro cteto puede ser un L nchur de un río puede medirse considerndo el triángulo rectángulo de vértices A, B y C, siendo A y

7 7 l distnci entre ls proyecciones de A y B sobre un plno (el que determin l curv de nivel que ps por A): serí el cteto AC, l bse, de un triángulo rectángulo; l ltur, el otro cteto, es l diferenci de ls curvs de nivel. En este cso, l bse mide cm 000 = 7000 cm = 70 m. El triángulo sí obtenido es el siguiente. segmento CA, que prte del pie de l torre y que mide lo que se desee, supóngse que 0 m. Desde es distnci se mide el ángulo de elevción hst el punto más lto de l torre. Si se supone que ese ángulo mide 6º se construye el siguiente triángulo rectángulo. B dos puntos enfrentdos, uno de cd orill y determinndo un cteto perpendiculr l cuce. El vértice C se obtiene trsldándose por l orill, pongmos 0 m, desde A, en dirección perpendiculr AB. Desde el punto C se mide el ángulo formdo por los ldos CA y CB, cuy medid supondremos que es 0º. El triángulo obtenido es el siguiente. Los problems nteriores pueden resolverse plicndo ls técnics de resolución de triángulos rectángulos. Resolver un triángulo es determinr sus elementos desconocidos (ángulos o ldos) prtir de otros conocidos. Un triángulo rectángulo puede resolverse conociendo: (1) dos ldos; () uno de sus ángulos gudos y un ldo. Nturlmente, l decir que el triángulo es rectángulo se sben dos coss más: qué tiene un ángulo de 90º, C = 90º que sus ldos verificn el teorem de Pitágors: c = + b. En los siguientes ejemplos resolvemos lgunos csos. Sbiendo que A = 0º y Sbiendo que A = 0º y Sbiendo que = 8 cm y b = 10 cm, hllr, c y B. c = 1 cm, hllr, b y B. c = 1 cm, hllr b, A y B. B = 90 A = 90 0 = 0º 10 cos 0 = c c = = = 1,0 cos 0 0,766 tg 0 = = 10 tg 0 10 = 10 0,89 = 8,9 cm B = 90 A = 90 0 = 70º b cos 0 = b = 1 cos 0 1 = 1 0,9 = 1,1 cm sen 0 = = 1 sen 0 1 = 1 0, =,1 cm b = 1 8 = 80 = 8,9 8 sen A = = 0, A = rcsen 0,666 = 1,81º B = 90 1,81 = 8,19º

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