METNUMINF - Métodos Numéricos e Informática

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1 Unidad responsable: Unidad que imparte: Curso: Titulación: Créditos ECTS: ETSECCPB - Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona MA III - Departamento de Matemática Aplicada III GRADO EN INGENIERÍA DE OBRAS PÚBLICAS (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria) 7,5 Idiomas docencia: Catalán, Castellano, Inglés Profesorado Responsable: Otros: ESTHER SALA LARDIES ESTHER SALA LARDIES, ARCADI SANMARTÍN CARRILLO, MARCEL SAURINA EUDALDO Competencias de la titulación a las cuales contribuye la asignatura Específicas: Conocimiento y comprensión del funcionamiento de los ecosistemas y los factores ambientales Conocimientos básicos sobre el uso y programación de los ordenadores, sistemas operativos, bases de datos y programas informáticos con aplicación en ingeniería Transversales: 592. COMUNICACIÓN EFICAZ ORAL Y ESCRITA - Nivel 2: Utilizar estrategias para preparar y llevar a cabo las presentaciones orales y redactar textos y documentos con un contenido coherente, una estructura y un estilo adecuados y un buen nivel ortográfico y gramatical TRABAJO EN EQUIPO - Nivel 1: Participar en el trabajo en equipo y colaborar, una vez identificados los objetivos y las responsabilidades colectivas e individuales, y decidir conjuntamente la estrategia que se debe seguir USO SOLVENTE DE LOS RECURSOS DE INFORMACIÓN - Nivel 3: Planificar y utilizar la información necesaria para un trabajo académico (por ejemplo, para el trabajo de fin de grado) a partir de una reflexión crítica sobre los recursos de información utilizados APRENDIZAJE AUTÓNOMO - Nivel 3: Aplicar los conocimientos alcanzados en la realización de una tarea en función de la pertinencia y la importancia, decidiendo la manera de llevarla a cabo y el tiempo que es necesario dedicarle y seleccionando las fuentes de información más adecuadas TERCERA LENGUA: Conocer una tercera lengua, que será preferentemente inglés, con un nivel adecuado de forma oral y por escrito y en consonancia con las necesidades que tendrán las tituladas y los titulados en cada enseñanza. Metodologías docentes El curso consiste en: quince semanas de docencia presencial, un trabajo de curso a realizar y auto-aprendizaje. Además de las 5 horas por semana en el aula, se dedicarán 7.5 horas cada la semana, de media, al trabajo personal (autoaprendizaje). Al menos tres de las cinco horas de clase semanales se dedican a trabajar en pequeños grupos (laboratorio de computación, la solución de problemas y de las evaluaciones, etc). En algunas sesiones se realizarán entregas presenciales, que se tendrán en cuenta en la evaluación de la asignatura. Las fechas de estas entregas se anunciarán en el calendario del curso. 1 / 14

2 Objetivos de aprendizaje de la asignatura Conceptos básicos sobre uso y programación de ordenadores y conocimientos para programar modelos numéricos en problemas de ingeniería. 1. Capacidad para utilizar herramientas informáticas estándar para resolver problemas básicos (ej.: mediciones). 2. Capacidad para utilizar un programa de análisis numérico para realizar un análisis de sensibilidad de un problema en el que se resuelva una ecuación diferencial ordinaria. 3. Capacidad para resolver un problema en ingeniería mediante una técnica numérica. Conocimientos sobre ordenadores y programas para el análisis numérico matemático. Conocimientos sobre números, algoritmos y análisis de errores. Conocimientos para la determinación de ceros de funciones. Conocimientos para la solución de sistemas de ecuaciones mediante métodos directos y mediante métodos iterativos básicos. Conocimientos sobre la solución de sistemas no lineales de ecuaciones. Aproximación e interpolación. Conocimientos para la integración numérica mediante cuadraturas. Conocimientos para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos sobre uso y programación de ordenadores y conocimientos para utilitzarr modelos numéricos en problemas de ingeniería. Capacidad para interpretar los resultados proporcionados por los modelos en el contexto de la ingeniería. Al finalizar el curso, el alumno habrá adquirido la capacidad de: 1. Utilizar herramientas informáticas estándar para resolver problemas básicos (ej.: medidas). 2. Sistematizar y codificar una tarea repetitiva más o menos compleja en un programa de ordenador. 3. Aproximar con el método más adecuado datos empíricos o de diseño. 4. Identificar y resolver problemas de ingeniería como problemas de integración, ceros de funciones o ecuaciones diferenciales ordinarias. Conocimientos sobre ordenadores y programas para el análisis numérica matemática. Conocimientos sobre números, algoritmos y análisis de errores. Conocimientos para la determinación de ceros de funciones. Conocimientos para la solución de sistemas de ecuaciones. Aproximación e interpolación. Conocimientos para la integración numérica mediante cuadraturas. Conocimientos para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Horas totales de dedicación del estudiantado Dedicación total: 187h 30m Grupo grande/teoría: 18h 30m 9.87% Grupo mediano/prácticas: 14h 7.47% Grupo pequeño/laboratorio: 42h 30m 22.67% Actividades dirigidas: 7h 30m 4.00% Aprendizaje autónomo: 105h 56.00% 2 / 14

3 Contenidos 3 / 14

4 Introducción a la programación Dedicación: 36h Grupo grande/teoría: 4h Grupo mediano/prácticas: 3h Grupo pequeño/laboratorio: 8h Aprendizaje autónomo: 21h Introducción a la programación como herramienta para resolver problemas a lo largo del curso y como herramienta para aumentar la productividad y la tecnificación en el resto de la carrera académica y profesional. Concretamente, se da una visión general de las capacidades de Excel y del lenguaje de programación Visual Basic for Applications (VBA), así como una cierta habilidad en su uso. Este lenguaje de programación tiene la ventaja de estar instalado en cualquier ordenador con el sistema operativo Windows y el programa Excel, en versiones relativamente recientes. Nos aproximamos al entorno Excel a nivel de usuario. Aprenderemos qué es controlable a través de la interfaz y para qué sirven los controles básicos, cómo se definen las funciones, la construcción de gráficos y, lo que es más interesante, qué son las macros y para qué nos podrán servir a lo largo del curso. VBA: Variables y flujo de información Trabajo dirigido: variables y flujo de información en VBA Condicional y bucles Trabajo dirigido: condicional y bucles Ejemplos de programación 4 / 14

5 * Conocer el entorno de trabajo de Excel y VBA * Mostrar, mediante ejemplos, algunas de las posibilidades que ofrece el programa. * Utilizar una hoja de cálculo como espacio de almacenamiento de datos. * Asignar fórmulas a través de las celdas. * Crear vectores mecánicamente mediante arrastre y cálculo. * Dibujar la gráfica de una función y entender la diferencia entre un gráfico de líneas y uno de dispersión. * Entender qué significa llamar a una función y utilizar correctamente los parámetros de entrada y salida. * Entender qué es una macro y el potencial uso que se le puede dar. * Entender qué es un lenguaje de programación como VBA. * Saber en qué se diferencian un subprocedimiento y una función y cuando hay que llamar uno u otro. * Entender el carácter secuencial de un programa de VBA. * Conocer los diferentes tipos de variables que se pueden utilizar y entender cómo se declaran y se inicializan. * Ser capaz de crear subprocedimientos y funciones. * Saber cuando llamar a funciones o a subprocedimientos. * Crear una función y poder llamarla tanto desde una celda de la hoja de cálculo como desde un subprocedimiento. * Ser capaz de utilizar variables y saber asignarles valor. * Escribir y leer de la hoja de cálculo. Entender para qué sirven y cómo funcionan algunas sentencias de control de flujo: condicional (if) y bucles (for, while). * Manejar y saber cuándo es útil el condicional. * Comprender en qué consiste un bucle y sus posibilidades en programación. * Utilizar un bucle tipo For y un bucle tipo While. * Programar un sumatorio y sus variantes. * Comprender las posibilidades de enlazar bucles y condicionales. * Repasar los conceptos de programación tratados en las sesiones anteriores. * Ser capaz de codificar algoritmos sencillos. * Ser capaz de reconocer y corregir los errores de programación más habituales. 5 / 14

6 Errores Dedicación: 7h 11m Grupo grande/teoría: 2h Grupo pequeño/laboratorio: 1h Aprendizaje autónomo: 4h 11m Este tema es de carácter teórico, pero con implicaciones prácticas en el buen uso de los algoritmos numéricos y la interpretación de sus resultados. Sistemas de numeración: almacenamiento de números en el ordenador. Origen del error: error inherente, de truncamiento, de redondeo, total. Error absoluto y error relativo. Dígitos significativos. Propagación de errores en las operaciones aritméticas elementales. Cota del error. Expemples * Entender que los cálculos numéricos realizados en un ordenador siempre proporcionan resultados aproximados, sujetos a un error. * Entender las fuentes de los errores y su propagación en las operaciones básicas. * Entender el concepto de cota del error como herramienta para controlar los errores y mantenerlos pequeños. * Entender como un ordenador digital almacena los números, y las consecuencias y limitaciones que esto provoca. * Ser capaz de identificar operaciones desfavorables desde el punto de vista de la propagación y amplificación de los errores. Mediante ejemplos ilustrativos, * Entender que los cálculos numéricos están sujetos a errores. * Identificar operaciones que propagan mucho los errores. * Ser capaz de proponer órdenes de precisión razonables en los resultados. 6 / 14

7 Ceros de funciones Dedicación: 16h 48m Grupo grande/teoría: 2h Grupo mediano/prácticas: 2h Grupo pequeño/laboratorio: 3h Aprendizaje autónomo: 9h 48m Se trata de resolver numéricamente un problema fundamental (encontrar raíces de ecuaciones algebraicas), que en muchos casos de interés no es posible o práctico resolverlo analíticamente. El tema permite introducir conceptos generales en métodos numéricos, como son el de algoritmo iterativo o tolerancia numérica. Arquitectura de un algoritmo iterativo. Método de la bisección. Método de Newton. Método de la secante. Convergencia de los métodos iterativos. Trabajo dirigido: ceros de funciones Problemas de ceros de funciones * Entender el problema matemático (obtener ceros de funciones) y la relación con algunos problemas prácticos. * Entender la arquitectura de un algoritmo iterativo genérico. * Entender los criterios de convergencia y tener los elementos de juicio para escoger tolerancias numéricas adecuadas. * Entender el fundamento teórico y la implementación de los tres métodos consignados en el programa (bisección, Newton y secante). * Entender el concepto de orden de convergencia y saber obtenerlo numéricamente. * Implementar los método iterativos para encontrar ceros de funciones en VBA. * Experimentar con los métodos para entender qué problemas pueden presentar. * Obtener gráficas de convergencia. * Ser capaz de utilizar los algoritmos iterativos descritos en el curso para resolver ecuaciones sencillas. * Ser capaz de calcular el error de las aproximaciones obtenidas y decidir cuándo un resultado es bastante bueno. 7 / 14

8 Integración numérica Dedicación: 16h 48m Grupo grande/teoría: 2h Grupo mediano/prácticas: 2h Grupo pequeño/laboratorio: 3h Aprendizaje autónomo: 9h 48m Cálculo de áreas: aproximación por rectángulos. Método del trapecio compuesto. Método de Simpson compuesto. Convergencia de las cuadraturas numéricas. Extensión a varias dimensiones. Trabajo dirigido: integración numérica Problemas de integración numérica * Entender el problema matemático y la relación con algunos problemas prácticos. * Entender el fundamento teórico y la implementación de los tres métodos consignados en el programa (aproximaciones rectangulares, trapecio compuesto y Simpson compuesto). * Entender el concepto de orden de convergencia y saber obtenerlo numéricamente. * Implementación en VBA de los métodos del trapecio compuesto y de Simpson compuesto. * Obtención experimental de las gráficas de convergencia, y verificación de las fórmulas de estimación del error. * Ser capaz de utilizar cuadraturas compuestas para aproximar numéricamente el valor de una integral definida. * Saber estimar el error de una aproximación y ser capaz de decidir qué discretización se necesita para asegurar una cierta precisión. Sistemas de ecuaciones lineales Dedicación: 9h 36m Grupo grande/teoría: 2h Grupo pequeño/laboratorio: 2h Aprendizaje autónomo: 5h 36m * Sistemas con solución inmediata: matriz diagonal, matriz triangular. * Métodos directos. Gauss. Trabajo dirigido: matrices y sistemas de ecuaciones lineales * Entender el problema matemático y la relación con algunos problemas prácticos. * Entender qué características de los métodos de resolución de sistemas son interesantes desde un punto de vista numérico. * Entender el funcionamiento del método de Gauss. * Declarar un contenedor estático o dinámico. En particular, un contenedor numérico como vector de una dimensión o matriz de dimensión dos. * Leer y escribir vectores y matrices en una hoja de cálculo de Excel utilizando contenedores. * Asignar valores a los coeficientes de una matriz o vector. * Utilizar subprocedimientos y funciones que trabajen con matrices y vectores. * Realizar operaciones de tipo matriz por vector con contenedores. * Utilizar los contenedores en la resolución de sistemas lineales. 8 / 14

9 Evaluación # 1 Dedicación: 7h 11m Grupo grande/teoría: 1h Grupo pequeño/laboratorio: 2h Aprendizaje autónomo: 4h 11m Resolución de la evaluación # 1 Evaluación # 2 Dedicación: 7h 11m Grupo mediano/prácticas: 1h Grupo pequeño/laboratorio: 2h Aprendizaje autónomo: 4h 11m Resolución de evaluación 9 / 14

10 Aproximación funcional Dedicación: 31h 12m Grupo grande/teoría: 3h 30m Grupo mediano/prácticas: 4h 30m Grupo pequeño/laboratorio: 5h Aprendizaje autónomo: 18h 12m Interpolación Trabajo dirigido: interpolación polinómica Problemas de interpolación Mínimos cuadrados Trabajo dirigido: mínimos cuadrados Problemas de mínimos cuadrados Splines Trabajo dirigido: splines Problemas de splines Presentación del trabajo dirigido de aproximación funcional 10 / 14

11 * Entender el concepto de interpolación * Ser capaz de calcular el polinomio que interpola ciertas datos * Entender el criterio de interpolación. * Saber construir el polinomio interpolador que pasa por unos puntos dados. * Programación en VBA: - Repasar cómo se trabaja con matrices y vectores - Repasar cómo se asignan valores a los coeficientes de una matriz o vector. - Incidir en la programación y llamada a subprocedimientos y, en particular, recordad como se resuelven sistemas de ecuaciones. * Ser capaz de calcular el polinomio que interpola ciertas datos * Entender las propiedades del polinomio interpolador (pasa por los puntos) y qué problemas puede tener esta aproximación. * Entender el criterio de aproximación por mínimos cuadrados. * Ser capaz de plantear problemas de mínimos cuadrados, tanto lineales como no lineales. * Saber resolver problemas de mínimos cuadrados lineales y, en particular, ser capaz de calcular el polinomio que aproxima unos datos por mínimos cuadrados. * Escribir un programa de VBA que permita calcular el polinomio que aproxima ciertas datos mediante el criterio de mínimos cuadrados. * Aprender a utilizar algunas herramientas de Excel que permiten hacer ajustes por mínimos cuadrados: - "línea de tendencia" en un gráfico de dispersión. - "Solver", que permite resolver problemas no lineales * Ser capaz de calcular el polinomio que aproxima unos datos según el criterio de mínimos cuadrados. * Ser capaz de plantear y resolver problemas de mínimos cuadrados lineales. * Saber linealizar algunas expresiones sencillas para poder llevar a cabo un ajuste de parámetros por mínimos cuadrados lineales. * Entender la definición de spline * Entender cómo se elige el tipo de spline (grado del polinomio y suavidad de la aproximación). * Ser capaz de decidir cuantos datos se necesitan para calcular un spline (por ejemplo, lineal C0 y cúbico C1). * Saber aproximar derivadas a partir de los valores de una función en unos puntos. * Entender la definición de spline * Entender la formulación de los splines C1 cúbicos y saber programar * Programación en VBA: - Repasar cómo se trabaja con vectores y matrices - Incidir en la programación y llamada de subprocediments * Ser capaz de calcular el spline lineal C0 que interpola unos datos. * Ser capaz de calcular el spline cúbico C1 que interpola unos datos. * Ser capaz de aproximar el valor de la derivada de una función utilizando el valor de la función en algunos puntos. * Ser capaz de comprobar la continuidad de un spline. * Entender cuándo y por qué es necesario aproximar funciones * Entender diferentes criterios de aproximación funcional (interpolación y mínimos cuadrados) y saber decidir cuándo es conveniente utilizar uno u otro. 11 / 14

12 Modelización con EDOs Dedicación: 19h 12m Grupo grande/teoría: 1h 30m Grupo mediano/prácticas: 1h 30m Grupo pequeño/laboratorio: 5h Aprendizaje autónomo: 11h 12m * Planteamiento de problemas de valor inicial mediante EDOs de primer orden. * EDOs de orden superior: reducción a un sistema de EDOs de primer orden. * Problemas de valor inicial y problemas de contorno. * Resolución de problemas de valor inicial mediante el método de Euler, el método de Euler modificado y el método de Heun. * Convergencia de los métodos de resolución de EDOs. Trabajo dirigido: resolución de EDOs Problemas: resolución de EDOs * Entender el problema matemático (que es un problema de valor inicial) y la relación con algunos problemas prácticos. * Entender cómo se aproxima numéricamente la solución de un problema de valor inicial. * Entender el fundamento teórico y la implementación de los tres métodos consignados en el programa (Euler, Euler modificado, Heun). * Saber resolver EDOs de primer orden mediante los métodos consignados en el programa. * Entender cómo se mide el error en la resolución de una EDO. * Entender el concepto de orden de convergencia y saber obtenerlo numéricamente. * Entender la diferencia entre un problema de valor inicial y un problema de contorno, y saber qué técnicas numéricas se utilizan para resolverlos. * Entender e implementar los métodos de resolución de EDOs: Euler, Euler modificado y Heun. * Entender el concepto de orden de convergencia y ser capaz de obtenerlo numéricamente. * Ser capaz de emplear los métodos descritos en el programa (Euler, Euler modificado y Heun) para resolver numéricamente problemas de valor inicial. * Ser capaz de, dado el error de una aproximación, decidir qué discretización se debe utilizar para garantizar una cierta precisión. 12 / 14

13 Modelización Dedicación: 16h 48m Grupo mediano/prácticas: 3h Grupo pequeño/laboratorio: 4h Aprendizaje autónomo: 9h 48m Trabajo que presenta un problema de diseño en ingeniería que se puede codificar como un problema de ceros de funciones, integración, EDOs o aproximación. Engloba todos los aspectos vistos hasta el momento, incluída la programación. Trabajo dirigido de modelización * Identificar y resolver un problema de ingeniería como problema numérico. * Elegir y aplicar las diferentes técnicas numéricas vistas durante el curso. Evaluación #3 Dedicación: 7h 11m Grupo pequeño/laboratorio: 3h Aprendizaje autónomo: 4h 11m Trabajo de curso Dedicación: 4h 48m Grupo pequeño/laboratorio: 2h Aprendizaje autónomo: 2h 48m 13 / 14

14 Sistema de calificación 1 - Los contenidos de todas las evaluaciones estarán de acuerdo con toda la materia impartida desde el inicio del curso. 2 - Para poder ser evaluado, se deben entregar los trabajos y ejercicios propuestos en las fechas indicadas. 3 - La calificación final de la asignatura se obtiene a partir de las calificaciones de las diferentes pruebas, como el máximo entre N1 = PI ^ (3/5) * PG ^ (2/5) y N2 = 0.3 * EP * EF donde * PI es la media ponderada de las pruebas individuales: una prueba de programación (EP) y dos exámenes convencionales (E1 y E2). Esta nota se obtiene como PI = 0.3*EP + 0.3*E *E2. * PG es la media ponderada de las pruebas comunes: los ejercicios realizados en clase (EX) y un trabajo de curso (TC). La nota se obtiene como PG = 0.25*EX *TC. - En la calificación del trabajo de curso se tendrá en cuenta la resolución del problema propuesto, la redacción del informe y, quizás, la presentación oral de los resultados. - EX es la media aritmética de los ejercicios realizados en clase, incluyendo problemas y prácticas. * EF es un examen final, que puede coincidir, al menos en parte, con el examen E2. Criterios de calificación y de admisión a la reevaluación: Los alumnos suspensos en evaluación ordinaria que se hayan presentado regularmente a las pruebas de evaluación de la asignatura tendrán opción a realizar una prueba de reevaluación en el periodo fijado en el calendario académico. La calificación máxima en el caso de presentarse al examen de reevaluación será de cinco. En el caso de ausencias justificadas durante el periodo de evaluación ordinaria que hayan impedido realizar exámenes de parte de los contenidos de una asignatura, y con aprobación previa del Jefe de Estudios de la titulación, el alumno podrá recuperar en el examen de reevaluación tanto aquella parte de la asignatura que no ha sido previamente evaluada como aquella que haya sido suspendida. La limitación en la calificación máxima no se aplicará a las partes evaluadas por primera vez. Normas de realización de las actividades Si no se realiza alguna de las actividades de laboratorio o de evaluación continua en el periodo programado, se considerará como puntuación cero. Algunas actividades evaluables se hacen en grupo y, por lo tanto, se permite consultar con otros estudiantes. No obstante, no se permite copiar resultados ni plagiar partes del código o del informe. Los casos de copia serán sancionados. Los estudiantes deben asistir a los exámenes provistos de una calculadora sencilla. Durante los exámenes no se permite el uso de teléfonos móviles, ordenadores, tablets ni ningún otro dispositivo electrónico. Por otra parte, es posible que en algún examen o parte de él se permita el uso de libros y apuntes. Bibliografía Básica: Chapra, S.C.; Canale, R.P. Métodos numéricos para ingenieros. 6a ed. México: McGraw Hill, ISBN John Walkenbach. Excel 2010: programación con VBA. Madrid: Anaya Multimedia, ISBN / 14