"El concepto de límite en la Educación Secundaria"

Transcripción

1 1 "El concepto de límite en la Educación Secundaria" Blázquez, S. y Ortega, T. (2000): El concepto de límite en la educación secundaria. En El futuro del cálculo infinitesimal. Grupo Editorial Iberoamérica. S.A. de C.V. ISBN: México. Blázquez, Sonsoles y Ortega, Tomás. Dpto. de Análisis Matemático y Didáctica de la Matemática. Facultad de Educación. Universidad de Valladolid. RESUMEN El concepto de límite es sin duda uno de los conceptos matemáticos que trae consigo mayor cantidad de dificultades de aprendizaje, dificultades inherentes al propio concepto. El nuevo sistema educativo español ha modificado los contenidos relativos a funciones y límites, proponiendo una metodología más activa. Este artículo presenta una muestra de la investigación que los autores están desarrollando alrededor de las dificultades de aprendizaje asociadas al concepto de límite, tratando de proponer una secuencia metodológica adaptada al nuevo currículo, que tenga en cuenta dichas dificultades. En primer lugar se presentan algunas investigaciones anteriores, que situan el trabajo en un marco teórico; a continuación se hace un pequeño estudio de la situación del concepto de límite en el currículo del nuevo sistema educativo español, junto con la propuesta de una definición alternativa y la secuencia didáctica que la desarrolla; finalmente, se describe un sistema de categorías que se ha construido para desentrañar las dificultades de aprendizaje que surgen de la puesta en práctica de dicha secuencia. INTRODUCCI-N La importancia del estudio de las dificultades del concepto de límite se justifica por varias razones. Por una parte, este es uno de los conceptos más importantes del Análisis, ya que es necesario para introducir otros (continuidad, derivada, integral) y, por lo tanto, su estudio se hace necesario. Por otra parte, para los alumnos es un concepto árido, poco atractivo, demasiado abstracto, que olvidan totalmente con demasiada facilidad y, en suma, es uno de los más difíciles de enseñar y aprender. Todas estas razones nos han llevado a investigar las dificultades de enseñanza y aprendizaje, y a desarrollar una metodología apropiada. SITUACI-N ACTUAL DE LAS INVESTIGACIONES

2 2 Merece la pena destacar: la teoría de las imagenes conceptuales y la de los obstáculos epistemológicos. Los creadores de la primera teoría son David Tall y Shlomo Vinner, que definen la "imagen conceptual" como la estructura cognitiva asociada a un concepto, y que a su vez incluye imágenes mentales, propiedades y procesos asociados. La lista de palabras utilizadas para especificar el concepto, que puede ser formal o personal, se denomina definición conceptual. La imagen conceptual de un individuo no es siempre coherente, cuando parte de esta imagen o definición conceptual entra en conflicto con otras partes, o con la definición formal del concepto, se producen factores de conflicto cognitivo. En un artículo publicado en 1981 (Tall y Vinner, 1981) estos autores señalan alguna de las imágenes conceptuales de los alumnos en torno al concepto de límite, que producen conflicto cognitivo. Destacan la imagen que los alumnos tienen del concepto de límite como proceso dinámico, cuando x se aproxima hacia "a", provocando que f(x) se aproxime al límite sin alcanzarlo. En el estudio que llevan a cabo observan que esta imagen entra en conflicto con la definición formal del límite, puesto que prevalece sobre ésta y que los intentos de definición formal, en su mayoría, son incorrectos. Guy Brousseau también ha estudiado las dificultades desde otro punto de vista, el de la teoría de obstáculos epistemológicos. Para Brousseau (1983) el conocimiento se produce cuando se supera un obstáculo. Estos son en sí un conocimiento, que funciona bien dentro de un campo determinado pero no dentro de otros, donde es falso y da lugar a errores. Estos errores son persistentes, se relacionan entre sí, y son difíciles de erradicar. Es necesario promover interacciones del alumno con una situación problemática que desestabilice sus concepciones para superar el obstáculo que provoca dichos errores. Brousseau distingue tres tipos de obstáculos según su origen: obstáculos de origen ontogénico (provienen de limitaciones del propio sujeto), obstáculos de origen didáctico (dependen del planteamiento educativo) y, finalmente, obstáculos de origen epistemológico (propios del concepto, de su génesis). Varios autores han investigado en la línea de los obstáculos epistemológicos, pero cabe destacar dos que lo han hecho además aplicando esta teoría al estudio del concepto de límite. Entre ellos, Bernard Cornu parte, en su tesis doctoral (Cornu, 1983), de una lista de obstáculos epistemológicos (fundamentados en el desarrollo histórico del concepto) y de las concepciones de los alumnos sobre el concepto de límite, para construir una secuencia didáctica. Esta secuencia está basada en la realización de ciertas tareas que plantean situaciones abiertas y que favorecen las produccciones orales (grabadas en magnetofón) y escritas de los alumnos. Así, diseña y desarrolla tres actividades de aproximación (geométrica, analítica y numérica) que pretenden plantear la necesidad de abordar el concepto límite, y otra más, que basada en las anteriores, lo introduce en sus aspectos geométrico y numérico. Otra autora destacada que ha trabajado en el estudio de los obstáculos epistemológicos relativos al concepto de límite es Anna Sierpinska. En el primer artículo relativo al tema (Sierpinska, 1985), propone una lista de obstáculos basandose en las dificultades que aparecen en la génesis histórica del concepto y en un estudio de casos -realizado con cuatro alumnos- donde pretende contrastar dichas dificultades. En un artículo posterior

3 3 (Sierpinska, 1987), presenta una serie de sesiones con estudiantes de humanidades en las que pretende desarrollar el concepto mediante situaciones didácticas, que favorezcan la superación de los obstáculos por parte de los alumnos. Los obstáculos que propone en este artículo son los mismos que en el anterior pero reorganizados en función de una dualidad existente entre los mismos. La misma autora se plantea en un artículo relativamente reciente (Sierpinska, 1990) el significado del concepto de comprensión (para ella la comprensión es un acto, inmerso en un proceso de interpretación y trae consigo un nuevo método de conocimiento) y da una lista de actos de comprensión que permiten hacer un estudio epistemológico de conceptos matemáticos. En segundo lugar, aplica el método anterior para hacer una clasificación de los actos de conocimiento y los correspondientes obstáculos que se deben superar para comprender el concepto de límite de una sucesión. Así, conjuga un nuevo método de análisis epistemológico con el concepto de obstáculo epistemológico. En la linea de los obstáculos epistemológicos, pero enfocados no a la detección de estos sino a la ingenieria didáctica se halla un trabajo de Robinet (1983) en el que, después de estudiar la génesis histórica del concepto y su lugar en los manuales franceses, propone una didáctica basada en un estudio gráfico de funciones elementales, que son familiares a los alumnos -la parábola e hipérbola entre otras- para ir, poco a poco, generalizando el concepto. SITUACI-N DEL CONCEPTO EN EL CURRÛCULO En el currículo anterior a la L.O.G.S.E. el concepto de límite se introduce después del estudio del concepto de función y de algunas funciones elementales (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) y precede al estudio de la continuidad, derivada e integral. La definición que se da en todos los textos es: " El número "L" es el límite de la función f(x) cuando x tiende al número "a" si para todo e >0 existe d >0 tal que si 0< x - a < d, entonces f(x) - L < e". El currículo actual opta por una orientación mucho más intuitiva. Textualmente se lee "(...) Análisis del dominio, crecimiento y decrecimiento, valores extremos y tendencia de funciones y gráficas. Idea gráfica de continuidad (...)" (MACS I); "(...) Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de las tendencias de una función. Ramas infinitas (...)" (MACS II); "(...) Tratamiento intuitivo y gráfico de ramas infinitas, continuidad, derivabilidad y área bajo una curva (...)" (Matemáticas I); "(...) Introducción a los conceptos de límite y derivada de una función en un punto (...)" (Matemáticas II). En el currículo de la etapa L.O.G.S.E. : Ley Orgánica 1/1990, de 3 de Octubre, de Ordenación General del Sistema Educativo. Real Decreto 1178/1992 de 2 de Octubre, de Enseñanzas Mínimas del Bachillerato. Se especifican los contenidos de matemáticasen Bachillerato. Estas se organizan en cuatro asignaturas, dos de orientación científica y tecnológica, Matemáticas I y II, y dos de orientación humanística, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (MACS) I y II.

4 4 educativa anterior (Educación Secundaria Obligatoria) aparece el estudio de tendencias funcionales y en los textos aparece, vagamente, una idea ingénua de límite. Apenas hay textos de Bachillerato, y no sabemos qué tratamiento darán al tópico de límite funcional. Nosotros pensamos que se puede trabajar con una definición que, sin estar exenta de rigor matemático, no tenga el formalismo de la notación, que tantos quebraderos de cabeza ocasiona al alumnado, y proponemos la siguiente: Sea "f" una función y "a" un número real, el número "L" es el límite de la función "f" en el punto "a", y se escribe límxæaf(x)=l, si cuando "x" se acerca al número "a", sus imágenes f(x) se acercan a "L" más que cualquier otro número. Esta definición no abusa del formalismo y, además, evita la imprecisión, tan frecuente, del "tanto como se quiera", para referirse al control de la aproximación. Por otra parte, implica un conocimiento mayor de los conceptos de aproximación y error, que se trabajan poco en Secundaria, pero que adquieren mayor protagonismo en el nuevo Bachillerato. INVESTIGACI-N SOBRE DIFICULTADES EDUCATIVAS En nuestro estudio sobre el concepto de límite hemos diseñado una secuencia didáctica orientada a que los alumnos estén suficientemente preparados para abordar su aprendizaje. La metodología se basa en la exposición por parte del profesor de los conceptos principales, apoyado por una guía de trabajo que también posee el alumno. Se complementa con tareas de trabajo en casa, que son comentadas en clase después de que el profesor las corrija y detecte los errores. Se recogen en cinta de audio las sesiones y, posteriormente, se añalizan, complementando así las producciones escritas. En concreto se ha trabajado con un grupo de 21 de Bachillerato de Ciencias Sociales (17-18 años) y con un grupo de 41 de E.S.O. (15-16 años). A ambos grupos se les pasó un test inicial con el fin de investigar las imágenes conceptuales que ellos tenían de los procesos infinitos, de la aproximación y de las funciones. El trabajo se ha centrado básicamente en el grupo de 21 de Bachillerato. Como primera aproximación al concepto de límite se hizo un estudio básico de sucesiones y tendencias de sucesiones (no se llega a definir límite secuencial), incluyendo además trabajos sobre aritmética de límites. Se trabaja aquí con una idea de límite que será coherente con nuestra definición de límite funcional. Después, se repasa el concepto de función - insistiendo en los distintos sistemas de representación funcional- y se hace una revisión de las funciones elementales. Después de hacer un estudio de las propiedades globales de las funciones se introducen los conceptos de tendencia infinita y de asíntota. La comprensión de ideas como la de tendencias de sucesiones, tendencias infinitas de funciones y asíntotas es fundamental antes de introducir el concepto de límite. En el nivel de 41 de E.S.O. se han introducido las sucesiones, después de la aproximación numérica, de forma gráfica y numérica a partir de patrones y tablas. En este nivel se introducen también las tendencias, relacionando directamente sucesiones y aproximación numérica.

5 5 El límite se define después de plantear un par de situaciones reales que justifican su necesidad. Se trabaja la definición dada en la sección anterior de forma numérica y gráfica y el cálculo sencillo de límites (unificando también la notación para los límites en el infinito y los límites infinitos). Para el cálculo de límites es básico el trabajo previo con tendencias de sucesiones. Después de la exposición en clase de los conceptos clave diseñamos una serie de tareas para que los alumnos las trabajen en casa de forma individual. Las respuestas de estos y los comentarios de clase sirven para elaborar un sistema de categorías que nos permite evaluar el grado de comprensión que han adquirido los alumnos después de la secuencia. Nosotros consideramos que el alumno domina el concepto de límite si entiende el aspecto explicativoconceptual, el gráfico y numérico, y algunas propiedades en las que aparece el concepto -el teorema de caracterización, el teorema de unicidad y el teorema del encaje-. Se diseñaron tareas para valorar cada uno de estos aspectos, comenzando por las ideas más intuitivas. Las categorías de comprensión matemática que surgen a partir de esta tareas, junto con los distintos niveles de respuesta, se relacionan a continuación. SRG: Situación relativa de las gráficas de dos funciones f y g. Se trata de analizar si los alumnos son capaces de pasar del lenguaje algebraico al gráfico y recíprocamente. Se consideran cinco niveles de respuesta: 1. Ha estudiado en qué zonas una función es menor que la otra. 2. Señala las opciones correctas. 3. En la respuesta influye la limitación gráfica (se plantean el problema de la prolongación). 4. No saben relacionar la situación gráfica con la desigualdad funcional. 5. No hacen nada. IGIL: Idea gráfica ingénua de límite funcional. Se trata de ver si los alumnos tienen una idea ingénua de límite al representar funciones con límite y al señalar la existencia o no de límite de la función encajada. Consideramos cuatro niveles de respuesta: 1. Indica el valor del límite correctamente y lo justifica. 2. Indica el valor del límite y sigue razonamientos erróneos intuitivos o no justifica. 3. No entienden la idea grafica de límite. 4. No hacen nada. UL: Unicidad del límite. Se divide en las siguientes subcategorías: ULF: Dos funciones distintas pueden tener el mismo límite en el mismo punto. Se pide a los alumnos que escriban, de forma algebraica, dos funciones que tengan el mismo límite en Una función encajada entre dos que tienen el mismo límite en un punto también tiene límite en dicho punto y coincide con el de ambas.

6 un punto fijado. Se consideran cuatro niveles de respuesta en esta categoría: 1. Escriben las funciones y el límite correctamente. 2. Sólo escriben las funciones correctamente. 3. Escriben las funciones incorrectamente y nada más. 6 ULP: Una función puede tener el mismo límite en puntos diferentes. En este caso los alumnos deben buscar la ecuación de una función y dos puntos en los que dicha función tenga un límite fijado de antemano. Son seis los niveles de respuesta obtenidos: 1. Escriben una función y los puntos correctamente. 2. Consideran una función y uno de los puntos ý. 3. Escriben dos funciones distintas con el mismo límite en puntos diferentes. 4. Consideran distintos p + y p- (siendo p distinto de cero). 5. Escriben dos funciones distintas con el mismo límite en el mismo punto. 6. No contestan. ULFL: Dos funciones pueden tener distinto límite en el mismo punto. Los alumnos deben buscar, también de forma algebraica, dos funciones que en un punto fijado tengan distinto límite. Se consideran seis niveles diferentes de respuesta: 1. Escriben correctamente las funciones y los límites. 2. Cometen errores de cálculo en los límites. 3. Consideran límites infinitos. 4. Escriben una sola función de dos formas distintas. 5. Definen mal la función. 6. No contestan. EL: Existencia de límite. Parece que la idea de que una función no tenga limite es mucho más difícil de entender para los alumnos que el propio concepto de límite. Esta categoría se divide en las siguientes subcategorías: ELA: Existencia de límite algebraico. Se trata de ver si los alumnos son capaces de comprender la no existencia de límite poniendo un ejemplo algebraico. En esta subcategoría surgen cinco niveles de respuesta: 1. Responden correctamente. 2. Consideran una indeterminación como no existencia. 3. Escriben una función con límite. 4. Escriben mal la función. 5. No responden.

7 7 ELG: Existencia de límite gráfico. Se trata de conocer el nivel de aceptación de la no existencia de límite a través de un ejemplo gráfico. A la vista de las respuestas se consideran los siguientes niveles: 1. Intentan manejar límites laterales finitos sin éxito. 2. Intentan manejar tendencias infinitas. 3. No dibujan la función en un entorno del punto. 4. Dibujan funciones con límite. 5. No dibujan nada. EUL: Existencia y unicidad de límite. Se pretende determinar en qué grado los alumnos comprenden que el límite, en caso de existir, debe ser único. Se les plantea si una misma función puede tener más de un límite en un punto. Surgen seis niveles de respuesta: 1. Responden negativamente y lo explican correctamente. 2. Razonan negativamente y confunden el límite con la imagen de la función en el punto. 3. Mezclan las dos posibilidades y hacen justificaciones erróneas. 4. Responden afirmativamente porque confunden límite y límite lateral. 5. Responden afirmativamente porque consideran dos funciones o dos puntos. 6. No responden. SLF: Signo del límite y de la función. Se trata de precisar hasta que punto los alumnos son capaces de ver que el signo de la función viene determinado por el signo del límite. Se interroga sobre el signo de valores de una función que tiene un límite fijado -positivo- en un punto fijado -negativo-. Surgen únicamente tres niveles de respuesta: 1. Identifican el signo de la función con el del límite. 2. Identifican el signo de la función con el del punto. 3. No hay identificación o no responden. SFL: Signo de la función y del límite. Se valora hasta qué grado los alumnos entienden que el signo del límite viene determinado por el signo de la función -se proponen valores negativos de la función-. Aparecen cuatro niveles de respuesta: 1. Contemplan las posibilidades de límite cero o del mismo signo que la función. 2. Identifican el signo del límite con el de la función y lo justifican. 3. Identifican el signo del límite con el de la función y no lo justifican. En principio pensabamos que esta categoría sería una subcategoría de las anteriores -sentido ascendente- o al revés. Las respuestas de los alumnos nos ha indicado que debe ser considerada totalmente independiente.

8 VSLC: Variación del signo y límite cero. Se trata de determinar hasta que punto los alumnos comprenden que la variación del signo implica que, si existe, el límite es cero. Son cuatro los niveles de respuesta que aparecen: 1. Responden que es cero y lo justican correctamente. 2. Responden que es cero y lo justifican incorrectamente o no lo justifican. 3. Responden que puede ser cualquier valor y no lo justifican. 8 LCVS: Límite cero y variación del signo. Se contrasta el grado de comprensión de los alumnos sobre el hecho de que un límite igual a cero supone bien la variación en el signo de la función o bien signo constante. Surgen cuatro niveles de respuesta: 1. Razonan que depende de la función y caben todas las posibilidades. 2. Responden que las imágenes pueden ser positivas y negativas y lo justifican. 3. Responden que las imágenes pueden ser positivas y negativas y no lo justifican. ITLN: Identificación de la tendencia lateral numérica. Se analiza la idea que tienen los alumnos de límite como aproximación numérica, cuando x tiende a un número por la derecha o por la izquierda. Surgen cuatro niveles de respuesta: 1. Observan los valores adecuados de x y sugieren el límite correctamente. 2. Observan los valores adecuados de x pero se equivocan con la aproximación de las imágenes. 3. Hacen interpretaciones erróneas de tablas numéricas. ATLN: Análisis de la tendencia lateral numérica. Se trata de ver qué dificultades tienen los alumnos para analizar la tendencia lateral de una función en forma algebraica, después de sugerir un estudio numérico. Aparecen seis niveles de respuesta: 1. Contruyen la tabla correctamente y proponen los valores correctos de los límites. 2. Contruyen una tabla con valores mal calculados pero proponen el límite adecuado a dicha tabla. 3. No construyen la tabla o la construyen con pocos valores. 4. Propone como límite el valor de la función en un punto cercano. 5. Interpretan mal la expresión algebraica de la función o toman como límite dicha expresión. 6. No contestan. DLLG: Discriminación de los límites laterales de forma gráfica. Además de mostrar la idea gráfica de la tendencia lateral se comprueba hasta que punto los alumnos son capaces de diferenciar los límites laterales. Consideramos cuatro niveles de respuesta: 1. Representan correctamente funciones con límites laterales distintos. 2. No definen la función en un entorno del punto o lo representan con flechas, como si fuera

9 9 imposible. 3. Asocian límite con frontera y lo relacionan con los valores de la función en los extremos del entorno. 4. Dibujan sólo los límites o no dibujan nada. CLLG: Caracterización del límite a través de los límites laterales de forma gráfica. Se trata de ver en que grado los alumnos vinculan la existencia del límite a la de los límites laterales presentados de forma gráfica. Aparecen cuatro niveles de respuesta diferentes: 1. Identifican correctamente los límites laterales y el límite. 2. Dan valores diferentes al límite y a los límites laterales e idetifican límite con imagen. 3. Identifican tender en una dirección con moverse en el eje X en esa dirección. INPL: Idea numérica precisa de límite de una función en un punto. En esta categoría se trata de conocer el grado de comprensión que los alumnos tienen de la idea de límite como aproximación numérica, controlando el error de la aproximación. Aparecen siete niveles: 1. Dan todos los pasos correctamente para obtener el límite y el entorno pedido y lo justifican. 2. Dan todos los pasos correctamente y lo justifican de forma imprecisa. 3. Dan todos los pasos correctamente pero la justificación es errónea. 4. No saben representar un entorno del punto. 5. Buscan las imágenes que aproximan mejor, en lugar de sus contraimágenes. 6. No trabajan bien con aproximaciones y errores. 7. No contestan. IGPL: Idea gráfica precisa de límite de una función en un punto. Se trata de determinar el grado de comprensión de la idea gráfica de límite. La anchura de una banda, paralela al eje X y centrada en el límite, funciona como el error de aproximación. Deben representar el entorno del punto en el que la función se incluye en la banda. Surgen cuatro niveles de respuesta: 1. Representan correctamente el entorno. 2. Señalan la parte de la función incluida en la banda. 3. Indican la existencia pero no lo representan, confundiendo la banda con el entorno. IGPNL: Idea gráfica precisa de no existencia límite de una función en un punto. Se trata de contrastar las dificultades que aparecen en la idea gráfica de límite a través de una función que tiene un límite lateral finito y otro infinito. Se pide lo mismo que en IGPL y surgen tres niveles de respuesta: 1. Señalan la no existencia y lo justifican correctamente. 2. Señalan la no existencia pero no lo justifican o lo justifican incorrectamente. 3. No contestan.

10 10 INPNL: Idea numérica precisa de no existencia límite de una función en un punto. Se pretende lo mismo que en la categoría anterior pero de forma numérica, a través de la tabla de una función con límites laterales distintos. Se consideran los mismos niveles de respuesta. NRL: Necesidad real de límite de una función en un punto. Se pretende evaluar el nivel de aceptación por parte de los alumnos de la necesidad del concepto de límite, proponiendo que construyan una situación real (así se ha introducido). Salen seis niveles de respuesta. 1. Proponen una situación real extraida de sus conocimientos en otras asignaturas. 2. Proponen variaciones de las situaciones introducidas en clase. 3. Buscan situaciones relacionadas directamente con la velocidad. 4. Ponen ejemplos de situaciones discretas. 5. Plantean situaciones que necesitan el estudio de tendencias infinitas. 6. Plantean situaciones ingénuas en las que el límite aparece como frontera. DL: Definición de límite de una función en un punto. Se trata de contrastar la comprensión del concepto de límite dado a través de la definición que los alumnos dan del mismo. Aparecen siete niveles diferentes de respuesta: 1. Definen el límite con la precisión expuesta en clase. 2. Dan una idea dinámica ajena a la idea del mayor acercamiento. 3. Dan una idea imprecisa de aproximación. 4. Se olvidan de la dependencia entre las variables y se fijan solo en la tendencia de las imágenes. 5. Mezclan el concepto, los límites infinitos y el cálculo de límites. 6. Dan una idea de límite como extremo o como frontera. 7. No contestan. IGL: Ilustración gráfica de límite de una función en un punto. Se trata de comprobar si los alumnos son capaces de explicar su idea de límite de forma gráfica. Surgen siete niveles de respuesta: 1. Representan una función con límite y lo ilustran bien. 2. Representan una función con límite pero no lo ilustran correctamente. 3. Se limitan a dibujar la gráfica de una función con límite. 4. Representan funciones con asíntotas. 5. Identifican el límite con un mínimo. 6. Identifican el límite con el valor de la función en el punto. 7. No contestan. INL: Ilustración numérica de límite de una función en un punto. Esta categoría sirve para contrastar la capacidad de los alumnos para explicar la idea de límite de forma

11 numérica. Aparecen ocho niveles diferentes de respuesta: 1. Lo ilustran correctamente por medio de una tabla bien construida. 2. Construyen una tabla "desordenada" en la cual es difícil estudiar la tendencia. 3. Construyen mal la tabla (no responde a la ecuación elegida) pero la interpretan bien. 4. Interpretan por separado las tendencias de x y de f(x). 5. Construyen bien la tabla a partir de una ecuación, pero la interpretan mal. 6. Ilustran tendencias infinitas. 7. Se fijan únicamente en la tendencia de la x. 8. No contestan. 11 CONJETURAS Aunque seguimos desarrollando nuestro esquema de trabajo para comprender el proceso de aprendizaje del concepto de límite, las investigaciones realizadas nos permiten señalar las siguientes dificultades: 1. Relacionan mal los distintos sistemas de representación funcional. 2. Les cuesta interpretar desigualdades. 3. Asocian "todas" las gráficas con funciones conocidas. 4. No entienden la idea gráfica de límite. 5. Errores de cálculo algebraico sencillo. 6. Consideran que son puntos distintos p + y p-. 7. Definen mal las funciones. 8. La idea de que una función no tenga limite es más difícil de entender que propio concepto. 9. Confunden límites finitos e infinitos. 10. Interpretan indeterminaciones como no existencia de límite. 11. Confunden límite con límite lateral. 12. No identifican el signo de la función en un entorno con el del límite y recíprocamente. 13. Creen que si el límite es cero, la función toma distintos signos en un entorno. 14. Interpretación errónea de tablas numéricas. 15. Proponen como límite el valor de la función en un punto "cercano". 16. Asocian límite con frontera y lo relacionan con los extremos de la función. 17. Identifican tender en una dirección con moverse en el eje X en esa dirección. 18. Les cuesta trabajar con entornos y con aproximaciones. 19. No entienden la dependencia funcional entre las variables. 20. No encuentran situaciones relacionadas con el concepto. REFERENCIAS Brousseau, G Les obstacles epistemologiques et les problemes en mathematiques. Recherches en

12 12 Didactique des Mathématiques, 4(2): Cornu, B Apprentissage de la notion de limite: conceptions et obstacles. Grenoble: Université I de Grenoble. (Thèse de 3ème cycle, Mathématiques). Robinet, J Un experience d2ingenierie didactique sur la notion de limite de fonction. Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(3): Sierpinska, A Obstacles epistemologiques relatifs a la notion de limite. Recherches en Didactique des Mathématiques, 6(1): Sierpinska, A Humanities students and epistemological obstacles related to limits. Educational Studies in Math. 18: Sierpinska, A Some remarks on understanding in mathematics. For the Learning of Mathematics, 10(3): Tall, D. y Vinner, S Concept image and concept definition in Mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Math. 12:

13 13 REFERENCIAS DE LOS AUTORES: Tomás Ortega del Rincón Catedrático de Escuela Universitaria. Facultad de Educación. C/ Geólogo Fco. Hernández Pacheco, s/n. Valladolid Tfno: (983) Ext Correo electrónico: Sonsoles Blázquez Martín Profesora de Enseñanza Secundaria en el I.E.S. de Peñaranda de Bracamonte. Crta. Madrid s/n Peñaranda de Bracamonte (Salamanca). Tfno: (923) Tfno personal: (908)