METODO DEL ESPACIO DE ESTADO

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1 Fcltd de Ingenierí Bioingenierí Control de Proceo METODO DEL ESPACIO DE ESTADO ESTADO: El etdo de n item dinámico e el conjnto má eqeño de vrile denomind vrile de etdo tl qe el conocimiento de e vrile en t t, conjntmente con el conocimiento de l entrd r t t, determinn comletmente el comortmiento del item en clqier tiemo t t. VARIABLES DE ESTADO: L vrile de etdo de n item dinámico on l vrile qe contityen el conjnto má eqeño de vrile qe determinn el etdo del menciondo item dinámico. Se reqieren l meno n vrile,,, n r decriir comletmente el comortmiento dinámico del item de orden n. Et on l n vrile de etdo. Conocid et vrile n vrile en el intnte de tiemo inicil y l evolcione de l entrd r tiemo t t, el etdo ftro del item qed comletmente determindo. E imortnte clrr qe l vrile de etdo eden er medile o no, qe rereenten mgnitde fíic o olo mtemátic. Pero deen er l mínim n eqivlente lo n elemento de lmcenmiento de energí hlndo de item dinámico fíico r n item de orden n. ESPACIO DE ESTADO: El ecio de n-dimenione cyo eje coordendo coniten en el eje, el eje,, el eje n, e denomin Ecio de Etdo. Clqier etdo e ede rereentr or n nto en el ecio de etdo. ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO: Pr l rereentción del modelo dinámico de item en el ecio de etdo e n tre tio de vrile. L vrile de entrd, l vrile de lid l vrile de etdo. L ventj del o en rereentción en ecio etdo e qe éte ede en modeldo rereentr item tnto contino como dicreto, linele o no linele vrile o invrinte en el tiemo y generlmente do en notción mtricil. Se rá en ete cro olo r item linele coeficiente contnte invrile en el tiemo, qe en el cmo temorl, e ede erer or el igiente item de eccione: n n m m n n m m n n n nn n n n nm m qe rereentd en form de notción mtricil e: A B iendo el vector derivd en el tiemo de l vrile de etdo de dimenión n or no Colmn Gí de Ecio de Etdo / 9

2 Fcltd de Ingenierí Bioingenierí Control de Proceo el vector de entrd tmién denomindo de control de dimenión A l mtri de etdo de dimenione n or n cdrd B l mtri de entrd de dimenione m or n y c c c n n d d m m y c c c n n d d m m y r c r c r c r n n d r d r m m ered en notción vectoril: y C D iendo y el vector de lid de dimenión r or no colmn C l mtri de Slid de dimenión r or n D l mtri de trnmiión direct de dimenión r or m D U B dt C Y A Si e conider r cd r entrd_lid e tendrá n fnción de trferenci, l qe e eden otener i e lic Trnformd de Llce y coniderndo condicione inicile nl. SX A X B U recordr qe X y or tnto [ I S - A ] X B U y or tnto X [ I S - A ] - B U y l lid Y C [ I S - A ] - B U D U { C [ I S - A ] - B U D } U G U Siendo G l Mtri Fnción de Trnferenci Recordr qe l mtri inver de [IS - A ] e igl l mtri djnt dividid el determinnte qe e n olinomio de grdo n, iendo ríce lo tovlore de l mtri y ve lo olo de l Fnción de Trnferenci. Se recerd qe e otiene l mim fnción de trnferenci no deendiendo del jego de vrile de etdo qe e definió or tnto eden eitir infinito jego de etdo r l mim F ét olo deende del item fíico. Gí de Ecio de Etdo / 9

3 Fcltd de Ingenierí Bioingenierí Control de Proceo Ejemlo: Se n item genérico de er Orden r n ol entrd y n lid del tio: y y y y tiene como Fnción de trnferenci F Y / U revimente dividiendo or mo miemro r deejr l r derivd, e otiene: Y / F U / / / Pr oder encontrr l rereentción en ecio de etdo, eto e el item de eccione de rimer orden de grdo n e de hcer: L lid l etdo ; y l y l y or lo tnto e ede rmr el igiente item de eccione de rimer orden: - / - / - / / or tnto e eden rereentr en notción mtricil lo vlore de A, B, C y D A B C D - - ; ; ; ve i e rereent or digrm de fljo coniderndo nodo de entrd, nodo de lid y nodo comne lo etdo y derivd. Tomndo l notción temorl ero rereentndo l integrción en el cmo trnformdo e otiene el igiente digrm de fljo : / / / / Y - / - / - / Co Se n item genérico de er Orden con n entrd y n lid del tio: y y y y tiene como Fnción de trnferenci F Y / U Y F U Gí de Ecio de Etdo / 9

4 Fcltd de Ingenierí Bioingenierí Control de Proceo r oder licr l regl de MASON e divide mo miemro or qedndo: F / / / / / Anlindo olo el denomindor e encentrn lo qe e deen tocr or tnto rereentción rcil oniendo qe e tocn todo en e: / / / / Y - / - / - / El nálii del nmerdor indic tre cmino qe deen r or n, do y tre integrdore, iendo reectivo determinnte djnto de vlor nitrio, lo qe eqivle l gráfico : / / / / / / Y - / - / - / Del gráfico e derende qe l ereión en Ecio de Etdo e: ; y X A X B U ; Y C X D U Si e cmin lo vlore de l vrile de etdo definiendo otro conjnto, eto e n vector T, de tl form qe l mtri T e invertile y de orden n or n, i e reeml en : Gí de Ecio de Etdo 4 / 9

5 Fcltd de Ingenierí Bioingenierí Control de Proceo A B y y C D como T y T or tnto T -, T A T B or tnto mltilicndo or T - : T - A T T - B y l lid erá y C T D r el co rticlr en qe, y e tiene qe T e digonl ecndri nitri cy inver e idéntic T T or lo qe el digrm de fljo dee qedr: Co / / / / / / Y - / - / - / ; y Co c Pr otr configrción en l qe todo lo lo e tocn en del digrm de fljo e rereent: / / / / / / Y - / - / - / Gí de Ecio de Etdo 5 / 9

6 Fcltd de Ingenierí Bioingenierí Control de Proceo L rereentción en Ecio de Etdo : ; y A B ; y C D Co d En l igiente configrción, todo lo lo e tocn en ero lo cmino de entrd vn directo lo nodo de derivd iendo l lid el etdo.. β β β / / / Y - / - / - / / / / β β β ; y A B ; y C D Ténge en cent qe hor l Fnción de Trferenci erá: Y F U β / β / / β / / / / / reordenndo e otiene : Y β β β F U Gí de Ecio de Etdo 6 / 9

7 Fcltd de Ingenierí Bioingenierí Control de Proceo or tnto: β β β lo qe eqivle β β β / / * * * * / * * / / * / Co e Se ede hcer l igiente ditrición mnteniendo l nión de lo lo en con n entrd únic nitri y lo cmino qe e nen l lid, como e indic en el igiente digrm de fljo: β β / / / β Y - / - / - / / / / β β β ; y β β β qedndo l igiente Fnción de trnferenci: Y F U β / β / / β / / / / / β β β Siendo lo vlore de β identico l co nterior en fnción de Gí de Ecio de Etdo 7 / 9

8 Fcltd de Ingenierí Bioingenierí Control de Proceo Co f L igiente roet reonde l enión de l Fnción de Trnferenci en Frccione rcile item decoldo Y α α α F U / / α / / α / α / y ; y [α α α ] Co g Ereión de olo y cero cndo eiten olo múltile en ete co do. Y α α α F U / α / / α / α / y Gí de Ecio de Etdo 8 / 9

9 Fcltd de Ingenierí Bioingenierí Control de Proceo Gí de Ecio de Etdo 9 / 9 / / ; y [α α α ] Co h Enión en frccione rcile donde eite n r de olo comlejo conjgdo: U Y F α ω ζω α α / / / ζω ω ; y [α α α ] X X X α -ζω -ω Co i Ereión en fnción de cero y olo: U Y F / ; y [ - ] α X α

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