AUTOMATAS Y LENGUAJES

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1 AUTOMATAS Y LENGUAJES Un enfoque de diseño a b a b b... q q 6 7 q 5 q 0 q 1 q 2 q q 3 4 Ramón Brena Tec de Monterrey Verano 2003

2 ii Prefacio En años recientes se ha visto la aparición de un buen número de textos en el tema de Lenguajes Formales y Autómatas (Ver al final referencias [10], [7], [23], [8], [3], [21], etc.). Por una parte, esto indica la importancia y riqueza que el tema tiene; por otra, ante tal variedad de oferta todo nuevo libro en el área requiere una justificación que indique su aporte con respecto a lo existente. Este texto se sitúa en una generación de textos que tratan de poner el estudio de los lenguajes formales y autómatas al alcance de estudiantes que no necesariamente son avezados matemáticos buscando establecer nuevos teoremas, sino que buscan una iniciación a estos temas, que además les sirva como un ejercicio en el arte de formalizar, en particular en nociones relacionadas con la computación. Entre estos textos accesibles, encontramos, por ejemplo, a [23]. Estos nuevos textos han reemplazado en muchas universidades a los clásicos [6] y aún [10] -que ya era más accesible-, y han permitido que la teoría de la computación se estudie a nivel profesional en carreras relacionadas con computación y matemáticas. El presente libro es resultado de una experiencia de impartir el curso de Teoría de la Computación por más de 10 semestres en el ITESM, 1 en Monterrey, México. Durante este lapso, aunque ciertamente se fue enriqueciendo el contenido técnico, el principal refinamiento consistió en ir detectando cuidadosamente las dificultades principales a las que se enfrentaban los estudiantes, para poder estructurar y presentar el material de forma que aquellos estuvieran en condiciones de comprenderlo de manera eficiente. Aquí el énfasis no está tanto en hacer el curso más fácil para los estudiantes, sino en asegurarse de que éstos cuenten con los elementos para que ellos mismos reconstruyan estos contenidos dentro de su cabeza; no se trata, pues, simplemente de vaciar información en la cabeza del estudiante. La teoría educativa que sustenta esta forma de trabajo esta basada en el aprendizaje por reestructuración [18]. El texto está presentado de manera tal que es posible para el alumno estudiar el material antes de cubrir el tema en clase; de hecho esta es la forma en que se utiliza en el ITESM, contrariamente a muchas clases tradicionales, en las que el alumno se presenta a la exposición del profesor y ya luego estudia el texto. En el ITESM la clase no se utiliza principalmente para exposición del profesor, sino que se hacen ejercicios, problemas en equipo, miniexámenes semanales, etc. Esta situación exige del texto que sea comprensible sin tener ninguna noción del tema adquirida previamente, por lo que tuvimos que incluir explicaciones claras que permitan al alumno reconstruir en su mente la idea intuitiva, y -sobre todo- ejemplos. A lo largo del texto, cada una de las nociones presentadas es seguida inmediatamente por un ejemplo ilustrativo. Este texto es aplicable tanto al nivel de maestría en computación o equivalente, como a clases de nivel profesional (licenciaturas, ingenierías). De hecho en el ITESM se aplica en ambos niveles. La diferencia fundamental entre el enfoque del curso de nivel profesional y el 1 Abreviatura de Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.

3 iii de maestría estriba en que el curso de nivel ingeniero enfatiza los aspectos de saber hacer, (por ejemplo, saber comparar dos autómatas deterministas), mientras que el curso de nivel maestría enfatiza el saber justificar (por ejemplo, probar por inducción que una gramática es correcta). El material cuyo nivel es propiamente de maestría es identificado por medio de una barra vertical al margen, como en el presente párrafo. Esto incluye también las secciones de ejercicios. En breve, los puntos que caracterizan a este libro, y que en cierta medida lo hacen particular, son: La presentación didáctica ha sido -en nuestra opinión- más pulida que en la mayoría de textos en Teoría de la Computación. Por ejemplo, primero se presentan las nociones de manera intuitiva, y solamente después se procede a su formalización. Es aplicable tanto al nivel de maestría como en carreras de ingeniería en computación, mostrando en forma explícita y gráfica qué secciones están destinadas a cada nivel. Siendo un libro más orientado a estudiantes de ingeniería que de matemáticas, se enfatizan los temas que tienen comúnmente aplicación en su campo profesional, como los autómatas finitos. Esta es la razón por la que se cubren con mucho más detalle estos temas que otros de interés más teórico, como la calculabilidad en máquinas de Turing. Sabemos de alumnos que han conseguido un buen empleo no universitario gracias a su conocimiento de autómatas finitos. Por la misma razón del punto anterior, ciertos temas que tradicionalmente se exponen con una motivación matemática, como las propiedades de los Lenguajes Regulares, en este texto se presentan en el contexto de métodos de diseño, lo que es consistente con nuestro enfoque ingenieril. Es este aspecto lo que justifica el subtítulo un enfoque de diseño de este texto. Ofrecemos metodologías para resolver ciertas clases de problemas, tales como el diseño de expresiones regulares y gramáticas, que no son presentadas en otros libros de teoría de autómatas, o lo hacen de forma mucho más escueta. Inclusive algunos temas, tales como las propiedades de cerradura de los lenguajes regulares a la unión de conjuntos, se presentan aquí como una herramienta de solución de problemas de diseño, y no simplemente por el interés matemático del tema. Presentamos errores frecuentes de los estudiantes de esta materia, permitiendo de este modo que el lector se beneficie de una extensa experiencia directa en la enseñanza de la materia. Los algoritmos no se presentan en forma de pseudocódigo, es decir, usando estructuras de control de lenguajes imperativos (p.ej. while, for, etc.), sino que damos una

4 iv interpretación intuitiva de los resultados intermedios obtenidos por los algoritmos. Pensamos que este enfoque brinda una mejor comprensión de los algoritmos, pues es más fácil recordar ideas que lineas de código. El texto está en español en el original! (es decir, no se trata de una traducción de un texto en inglés). Las traducciones son muchas veces desventajosas respecto al original. El libro, en tanto que libro electrónico, es un archivo estándar de tipo PDF, con hiperligas que permiten localizar rápidamente figuras, citas, páginas del texto, etc. El libro es gratuito! En efecto, no se distribuye con fines de lucro. Esto no pretende atentar contra la industria editorial, sino apoyar el aprendizaje del área de autómatas y lenguajes en América Latina, región que no está sobrada de recursos como para querer engrosar los flujos de capital hacia los grandes centros editoriales del mundo. La estructura de este texto es la siguiente: después de una breve revisión de las nociones preliminares de matemáticas, en los primeros capítulos (2-3) veremos la clase más simple de lenguajes, los Lenguajes Regulares, junto con las máquinas abstractas que les corresponden los Autómatas Finitos, y al mismo tiempo introduciremos una metodología de análisis de las máquinas abstractas y de los lenguajes, metodología que volveremos a utilizar en las siguientes secciones del curso, para otros tipos de lenguajes y de máquinas. En los capítulos 4 y 5 veremos los Lenguajes Libres de Contexto y los Autómatas de Pila. Finalmente, a partir del capítulo 6 estudiaremos el tipo de máquinas más poderoso, las Máquinas de Turing, que son en cierta forma el límite teórico de lo que es posible de hacer con máquinas procesadoras de información. Típicamente, en un curso de nivel profesional se inicia con el capítulo de preliminares, y se continúa con los capítulos 2-3. Se enfatizan los capítulos 4 y 5, así como la teoría de los compiladores. A continuación se cubren los aspectos básicos de las Máquinas de Turing (inicio de capítulo 6). En el curso de maestría, la revisión de preliminares casi se omite, y se cubren los capítulos 2-3, sólo que en un nivel de profundidad mayor que en el caso del nivel profesional. 2 Luego se procede a estudiar los Autómatas de Pila, las Máquinas de Turing y la Tesis de Church (capítulos 4, 5 y 6), con énfasis en las pruebas. Agradezco la colaboración del Dr. José Luis Aguirre en la corrección de los errores en versiones previas, así como en sugerencias para mejorar la exposición de ciertos temas. También agradezco al Comité del Fondo de Apoyo a Proyectos en Didáctica su apoyo financiero. Finalmente doy las gracias a muchos alumnos que ayudaron a depurar el escrito mientras sirvió como apuntes de la materia. 2 Recordar que el material de nivel maestría está indicado con una barra vertical en el margen.

5 Índice general 1. Preliminares Conjuntos Operaciones Operaciones con conjuntos Equivalencias de conjuntos Relaciones y funciones Conjuntos infinitos Manejo lógico de enunciados Tablas de verdad Pruebas por inducción Lenguajes Alfabeto, cadena de caracteres Lenguajes, operaciones con lenguajes La jerarquía de Chomsky Ejercicios I Lenguajes regulares y sus máquinas Autómatas finitos 25 v

6 vi ÍNDICE GENERAL 2.1. Modelado de sistemas discretos Estados finales Máquinas de estados finitos Funcionamiento de los autómatas finitos Definición formal de autómatas finitos Métodos de diseño de AFDs Diseño por conjuntos de estados Diseño de AFD por complemento Equivalencia de autómatas finitos Simplificación de Autómatas finitos Tabla de estados distinguibles Simplificación por clases de equivalencia Autómatas finitos con salida Máquinas de Moore Máquinas de Mealy Equivalencia de las máquinas de Moore y Mealy Cálculo de funciones en AF Autómatas finitos no deterministas Representación formal de los AFN Diseño de AFN Equivalencia de AFD Y AFN Más diseño de AFN: Intersección de lenguajes Ejercicios Expresiones Regulares y Gramáticas Regulares 79

7 ÍNDICE GENERAL vii 3.1. Lenguajes Regulares Definición formal de Lenguajes Regulares Expresiones regulares Significado de las ER Metodología de diseño de las ER Equivalencias de Expresiones Regulares Límites de las representaciones textuales Equivalencia de expresiones regulares y autómatas finitos Conversión de ER a AF Conversión de AF a ER Gramáticas regulares Gramáticas formales Gramáticas regulares Autómatas finitos y gramáticas regulares Limitaciones de los lenguajes regulares El teorema de bombeo Ejercicios II Lenguajes libres de contexto y sus máquinas Gramáticas y lenguajes libres de contexto Gramáticas y la jerarquía de Chomsky Lenguajes y gramáticas libres de contexto (LLC y GLC) Formalización de las GLC Diseño de GLC

8 viii ÍNDICE GENERAL Adaptación de GLC GLC para unión de lenguajes Mezcla de gramáticas GLC para la concatenación de lenguajes Arboles de derivación Ambigüedad en GLC Derivaciones izquierda y derecha Pruebas de corrección y completez Gramáticas libres y sensitivas al contexto Transformación de las GLC y Formas Normales Eliminación de reglas A ε Eliminación de reglas A B Eliminación de reglas inaccesibles Formas Normales Limitaciones de los LLC Teorema de bombeo para los LLC Propiedades de decidibilidad de los LLC Ejercicios Autómatas de Pila Funcionamiento de los Autómatas de Pila (informal) Diseño de AP Combinación modular de AP Formalización de los AP Relación entre AF y AP

9 ÍNDICE GENERAL ix 5.5. Relación entre AP y LLC Compiladores LL Principio de previsión Compiladores LR(0) Ejercicios III Máquinas de Turing y sus lenguajes Máquinas de Turing Funcionamiento de la máquina de Turing Formalización de la MT Configuración Relación entre configuraciones Configuración colgada Cálculos en MT Palabra aceptada MT para cálculos de funciones Problemas de decisión Relación entre aceptar y decidir Tesis de Church Comparación de las MT con otras máquinas Máquinas de Post Formalización de las MP Equivalencia entre MP y MT Límites de las MT

10 ÍNDICE GENERAL El problema del paro de MT MT en la jerarquía de Chomsky Ejercicios

11 2 ÍNDICE GENERAL

12 Capítulo 1 Preliminares En esta parte repasaremos brevemente algunas nociones y notaciones que serán necesarias para comprender adecuadamente el resto del material de este libro. Debe, sin embargo, quedar claro que este repaso queda fuera del área de autómatas y lenguajes formales. Por otra parte, no es nuestra intención hacer una introducción para un lector que no tenga ninguna base en matemática, especialmente en teoría de conjuntos, sino que únicamente haremos un repaso, ayudando al lector a detectar sus puntos débiles, además de recordar nociones que pueden no estar frescas. Un objetivo adicional del presente capítulo es uniformizar la notación, que varía bastante de libro a libro. Para los lectores que requieran una introducción más exhaustiva a la teoría de conjuntos y temas afines, recomendamos textos como [19] Conjuntos El fundamento más importante para el estudio de los lenguajes y autómatas es la Teoría de Conjuntos. En efecto, siempre que hablemos de formalizar una noción, estaremos diciendo en realidad expresar en términos de la Teoría de Conjuntos. Es por esto que en este capítulo presentamos los conceptos más básicos de dicha Teoría de Conjuntos. La idea de un conjunto como una colección de individuos u objetos no es, para un verdadero matemático, suficientemente precisa, y se parece a la noción de clase; sin embargo, para nuestros propósitos es suficiente. Un conjunto que vamos a utilizar con frecuencia es el de los números naturales, {1, 2, 3,...}, denotado por N. Los conjuntos pueden expresarse de dos maneras básicamente: En extensión, lo cual quiere decir que citamos explícitamente cada uno de sus elementos, 3

13 4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES como en el conjunto {1, 3, 5} que contiene exactamente los números 1, 3 y 5. En intención, dando una descripción precisa de los elementos que forman parte del conjunto, en vez de citarlos explícitamente. Por ejemplo, el conjunto del punto anterior puede ser visto como {i N impar(i), i < 6}, donde se supone que los números impares cumplen la condición impar(i). Representamos a los conjuntos con letras mayúsculas, como en A = {2, 4}. Los conjuntos pueden contener conjuntos como elementos, como en B = {{a}, {b, c}}. El conjunto sin elementos (vacío) se representa por o bien por {}. La notación a B significa que a es elemento o está contenido en el conjunto B; por ejemplo, {2, 3} {1, {2, 3}, 4}. Para indicar que a no está en B se escribe a B. El tamaño de un conjunto es el número de elementos que contiene, y se representa como A para un conjunto A. Por ejemplo, el tamaño de {a, b, c} es 3, y el tamaño de es cero. Por ejemplo, el tamaño de {{a}, {b, c}} es 2 y no 3, pues tiene 2 elementos, siendo el primero {a} y el segundo {b, c}. La definición de tamaño parece muy clara, pero hay conjuntos que no tienen un número determinado de elementos; estos se llaman infinitos y serán discutidos más adelante. Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y sólo si tienen los mismos elementos, esto es, x A ssi x B. 1 Por ejemplo, {1, {2, 3}} = {{3, 2}, 1}; vemos que en los conjuntos el orden de los elementos es irrelevante. Se supone que en los conjuntos no hay repeticiones de elementos, y que cada elemento del conjunto es distinto de todos los otros elementos. Sin embargo, si decimos, por ejemplo, i A, j A, no estamos suponiendo que i sea distinto de j, pues tanto i como j son elementos cualquiera de A. Si necesitamos que sean distintos, hay que indicarlo explícitamente, como en la expresión i, j A, i j. La notación A B significa que el conjunto A está contenido en el conjunto B, o más técnicamente, que A es subconjunto de B. Por ejemplo, el conjunto {a, c} es subconjunto de {a, b, c}, indicado como {a, c} {a, b, c}. En otras palabras, A B cuando siempre que x A, tenemos también x B. Obsérvese que de acuerdo con esta definición, A A para cualquier conjunto A: todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Un caso extremo es el conjunto vacío, que es subconjunto de cualquier conjunto. Para indicar que un subconjunto contiene menos elementos que otro, es decir, que es un subconjunto propio de éste, se escribe A B. Por ejemplo, {a, c} {a, b, c}. Claramente, A = B ssi A B y B A. Obsérverse también que si A B, entonces A B, y si A B, entonces A < B. Las relaciones de inclusión entre conjuntos se acostumbran representar gráficamente mediante los llamados diagramas de Venn, que denotan mediante áreas cerradas (por ejemplo 1 A ssi B se lee A si y sólo sib, y significa que A implica B y también B implica A.

14 1.1. CONJUNTOS 5 C A B Figura 1.1: Diagrama de Venn elipses) los conjuntos. Por ejemplo, en la figura 1.1 se ilustra la situación donde un conjunto A es subconjunto de B, y B es subconjunto de C. En los diagramas de Venn es fácil visualizar relaciones que de otra forma pueden parecer complejas; por ejemplo, si un conjunto A es subconjunto de B y éste es subconjunto de C, se espera que A C, como se aprecia intuitivamente en la figura 1.1, pues el área de A está obviamente contenida dentro de la de C Operaciones Llamamos operaciones a formas estándar de combinar o transformar objetos matemáticos. Por ejemplo, una operación habitual es la suma, que en la expresión combina los objetos 3 y 7 dando como resultado el objeto 10. El 3 y el 7, que son los objetos que se combinan, son los operandos, el + es la operación, y el 10 es el resultado. Una operación es binaria cuando tiene dos operandos. Es unaria si tiene un sólo operando, como en la operación de la raíz cuadrada. Una operación es conmutativa si x y = y x, como es el caso de la suma o la multiplicación de números. Se dice que es asociativa si x (y z) = (x y) z; por ejemplo, la suma es asociativa, pero no la resta, pues podemos ver que 8 (4 3) (8 4) Operaciones con conjuntos Sean A y B conjuntos. Se definen las siguientes operaciones con los conjuntos: Unión de conjuntos, denotada por A B, que contiene los elementos del conjunto A y también los del conjunto B, es decir, A B = {x x A o x B}. Por ejemplo, {1, 2, 3} {3, 4} = {1, 2, 3, 4}. La unión de conjuntos es conmutativa, lo cual se comprende fácilmente visualizando las áreas correspondientes en el diagrama de Venn de la figura También es asociativa. 2 En seguida se presenta una prueba matemática de esta propiedad.

15 6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Intersección de conjuntos, escrita A B, que contiene los elementos que pertenecen simultáneamente al conjunto A y al conjunto B, es decir, A B = {x x A y x B}. Por ejemplo, {1, 2, 3} {3, 4} = {3}. En un diagrama de Venn la intersección de dos elipses se ilustra por el área que ambas comparten, como es el área sombreada de la figura 1.2. La intersección es conmutativa y asociativa. Diferencia de conjuntos, A B, que contiene los elementos de A que no están en B, esto es, A B = {x x A y x B}. Por ejemplo, {1, 2, 3} {3, 4} = {1, 2}. La resta o diferencia de conjuntos no siempre le quita elementos al primer conjunto; por ejemplo {1, 2, 3} {4, 5} = {1, 2, 3}. La diferencia de conjuntos no es ni asociativa ni conmutativa, lo cual se puede probar fácilmente con un ejemplo (ver sección de ejercicios). Complemento de un conjunto, es un caso particular de la diferencia, cuando el primer conjunto es considerado como el universo que contiene todos los elementos posibles. Sea U un universo, entonces el complemento del conjunto A, denotada por A c contiene los elementos del universo que no están en A. Por ejemplo, si el universo son los números naturales {1, 2, 3,...}, complemento de los números pares son los números nones: {2, 4, 6,...} c = {1, 3, 5,...}. Claramente A A c = U, para todo conjunto A; además, A A c =. Potencia de un conjunto A, denotada como 2 A, contiene como elementos a todos los subconjuntos de A, esto es, 2 A = {x x A}. En otras palabras, 2 A es un conjunto de conjuntos. Por ejemplo, 2 {1,2,3} = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Recuérdese que el conjunto vacío siempre forma parte de todo conjunto potencia. La notación 2 A recuerda que el tamaño del conjunto potencia de A es 2 elevado a la potencia del tamaño de A, esto es, 2 A = 2 A. Producto Cartesiano de dos conjuntos, A B, es el conjunto de pares ordenados (a, b) tales que a A y b B. Por ejemplo, {1, 2} {3, 4, 5} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} El tamaño de un producto cartesiano A B es A multiplicado por B, como se puede verificar en el ejemplo anterior. El producto cartesiano no es conmutativo, pues no es lo mismo un par (a, b) que uno (b, a), ni asociativo, pues no es lo mismo (a, (b, c)) que ((a, b), c). Con ayuda de diagramas de Venn es fácil comprender las operaciones de conjuntos. Por ejemplo, usando la figura 1.2 es fácil verificar una relación tan compleja como A B = (A c B c ) c, identificando las dos maneras de obtener el área sombreada de la figura, siguiendo ya sea el lado izquierdo o derecho de la ecuación. A un elemento (a, b, c) de un producto cartesiano A B C se le llama tripleta, y similarmente a un elemento (a, b, c, d) de un producto cartesiano A B C D se le llama cuádruplo, a un elemento (a, b, c, d, e) de un producto cartesiano A B C D E se le llama quíntuplo, etc.

16 1.1. CONJUNTOS 7 A B Figura 1.2: Intersección de dos conjuntos Ahora probaremos la conmutatividad de la unión de conjuntos. Esto es, queremos probar que A B = B A para conjuntos cualesquiera A y B. La igualdad A B = B A puede descomponerse en A B B A y B A A B, por definiciones que hemos visto antes. Entonces vamos a probar una de ellas, por ejemplo A B B A, siendo la otra parte enteramente similar. Hemos visto que A B B A es equivalente a decir que si un elemento x es parte de A B, entonces x también debe ser parte de B A. En consecuencia, lo que tenemos que probar es lo siguiente: suponiendo que x (A B), debemos llegar a concluir que x (B A). Vamos a hacer esta prueba enseguida. Como x (A B), entonces, de acuerdo con la definición de unión, x A o bien x B (o ambos a la vez). Si x A, entonces seguramente x A B, pues A B contiene todos los elementos de A. Similarmente, si x B tendremos x A B. Es decir, en los dos casos podemos concluir que x A B, que era lo que necesitábamos para nuestra prueba Equivalencias de conjuntos La igualdad A B = B A es una de las llamadas equivalencias de conjuntos, que son muy útiles para reemplazar una expresión con operaciones de conjuntos por otra equivalente pero más conveniente por ejemplo más simple. En la lista siguiente presentamos algunas de las equivalencias de más frecuente uso: Leyes conmutativas A B = B A, A B = B A, para los conjuntos A y B. Leyes distributivas A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). Leyes de De Morgan (A B) C = A C B C, (A B) C = A C B C. Doble complemento (A C ) C = A. Ejemplo.- La intersección de conjuntos puede expresarse usando la unión y el complemento, de la manera siguiente: A B = ((A B) C ) C = (A C B C ) C.

17 8 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Las equivalencias de conjuntos pueden verificarse fácilmente usando los diagramas de Venn, de la forma que hemos comentado antes, esto es, compaginando el área asociada a cada uno de los lados de la ecuación Relaciones y funciones Las nociones de relaciones y funciones pueden derivarse directamente del producto cartesiano de conjuntos. En efecto, se llama relación a todo subconjunto de un producto cartesiano; por ejemplo la relación contiene los pares de números naturales tales que el primer componente es menor o igual al segundo, esto es, = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3),...}. Esta definición matemática de relación no parece tener mucho que ver con la idea intuitiva de que una cosa tiene relación con otra, pero en realidad ambas nociones sí corresponden. Por ejemplo, estamos familiarizados con la familia vista como una relación entre personas. Consideremos más específicamente la relación x es padre de y. Dado un conjunto de personas, por ejemplo P = {Leonor, Elías, Arturo, Marta}, el producto cartesiano P P es {(Leonor, Leonor), (Leonor, Elías), (Leonor, Arturo), (Leonor, Marta), (Elias, Leonor), (Elías, Elías), (Elías, Arturo), (Elías, Marta), (Arturo, Leonor), (Arturo, Elías), (Arturo, Arturo), (Arturo, Marta), (Marta, Leonor), (Marta, Elías), (Marta, Arturo), (Marta, Marta)}. Un subconjunto de este producto cartesiano es, por ejemplo, {(Leonor, Arturo), (Leonor, Marta), (Elías, Arturo), (Elías, Marta)}, cuyos pares (x, y) corresponden, en la familia del autor, a relaciones x es padre de y, pues Leonor y Elías son padres de Arturo y Marta. Desde luego, en el ejemplo anterior de las relaciones familiares no cualquier subconjunto del producto cartesiano podría ser candidato a corresponder a la relación x es padre de y. Por ejemplo, el par (Elías, Elías) sería inaceptable, pues nadie puede ser padre de sí mismo, ni siquiera en las liberales familias modernas. Cabría preguntarnos qué características debería tener una relación para ser aceptable como x es padre de y. A continuación discutimos algunas características que las relaciones pueden tener o no, y que nos permitirían contestar a esta pregunta (ver sección de ejercicios). Se llama inverso de una relación R, denotado por R 1, a aquella en donde se invierte el orden de los pares ordenados, esto es: R 1 = {(y, x) (x, y) R} Por ejemplo, el inverso de la relación {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} es {(2, 1), (3, 2), (3, 1)}. Se dice que una relación binaria en D D es reflexiva cuando contiene todos los pares de la forma (x, x), para x D. Por ejemplo, si D = {1, 2, 3}, la relación en {1, 2, 3} {1, 2, 3} con los elementos {(2, 2), (2, 3), (3, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3)} es reflexiva, pero {(2, 2), (2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3)} no lo es.

18 1.1. CONJUNTOS 9 Una relación es simétrica si y solo si siempre que contiene un par (x, y) también contiene (y, x). Por ejemplo, {(2, 2), (1, 2), (1, 1), (2, 1)} es simétrica, pero {(2, 2), (2, 3), (3, 3), (1, 2), (1, 1)} no lo es. Una relación es transitiva cuando siempre que contiene los pares (x, y) y (y, z) también contiene (x, z). Por ejemplo, la relación {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3)} es transitiva, pero {(2, 3), (1, 2), (1, 1)} no lo es. Llamamos cerradura reflexiva de una relación R, la menor extensión de R, es decir, R, tal que R es reflexiva, aunque inicialmente R no lo haya sido. En otras palabras, a R se le agregan los pares ordenados que sean necesarios hasta que se vuelva reflexiva. Por ejemplo, la cerradura reflexiva de R 1 = {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3)} es {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}. Decimos que la cerradura reflexiva es la menor extensión de la relación original porque no deben añadirse más pares ordenados que los estrictamente necesarios para volverla reflexiva. Por ejemplo, la relacion {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3), (3,1)}, aunque cumple con ser una extensión de R 1 y tambien con ser reflexiva, no es la cerradura reflexiva de R 1, porque tiene el par (3, 1) que no era indispensable agregar. Similarmente definimos la cerradura simétrica de una relación, añadiendo los pares estrictamente necesarios para que se vuelva simétrica. Por ejemplo, la cerradura simétrica de {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3)} es {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3), (3, 2), (2, 1), (3, 1)}. La cerradura transitiva también se define de una manera enteramente similar. Por ejemplo, la cerradura transitiva de la relación {(1, 2), (3, 1), (2, 1)} es {(1, 2), (3, 1), (2, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 2)}. Se pueden tener también combinaciones de varias cerraduras, como la cerradura reflexiva y transitiva, que en el caso de {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3)} sería {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}. Un caso particular de las relaciones son las funciones, que son relaciones en que no hay dos pares ordenados que tengan el mismo primer componente. Es decir, los pares ordenados asocian a cada primer componente un único segundo componente. Por ejemplo, la relación {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} no es una función, pero {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} sí lo es. Tomando como ejemplo las familias, la relación de hermanos no es una función, pero la relación de cada quien con su padre sí lo es (cada quien tiene a lo más un padre). La notación habitual para las funciones es f(a) = b, en vez de (a, b) f, para una función f, pero en realidad ambas notaciones son equivalentes. Muchas veces consideramos que las funciones obtienen una salida a partir de una entrada. Así, si f(1) = 2, se considera que a partir de la entrada 1 se obtiene la salida 2. Esta manera de conceptualizar las funciones no se contrapone a la idea de funciones como relaciones especiales (esto es, conjuntos de pares ordenados), sino que más bien en ciertas situaciones es más útil tomar uno u otro punto de vista.

19 10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Escribimos f : A B para indicar que si (a, b) f entonces a A y b B; decimos que A es el dominio de la función y B es el codominio. Una función f : A B puede verse como un mapeo que relaciona cada elemento del dominio A con un elemento del codominio B. Por ejemplo, la función cuadrado : N N relaciona cada número natural con su cuadrado, es decir, cuadrado = {(1, 1), (2, 4), (3, 9),...}. Se dice que una función es total cuando está definida para todos los elementos del dominio, como en el ejemplo de la función cuadrado, mientras que una función es parcial cuando no está definida para todos los elementos del dominio, como sería el caso de la función de resta en los naturales: resta : N N N, pues por ejemplo, resta(3, 5) no tiene un resultado en los naturales, y por lo tanto el par (3, 5) no forma parte del dominio de la función. Una función es inyectiva, también llamada uno a uno, cuando para cada elemento del codominio hay un único elemento del dominio. Esto es, no se presenta el caso de que dos pares como (x, z) y (y, z) tengan el mismo segundo elemento. Por ejemplo, la función {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} no es inyectiva, pero {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} sí lo es. Siguiendo el ejemplo de las familias, la función que asocia a cada persona con su padre no es inyectiva, pues varios hermanos comparten un mismo padre. Una función es sobreyectiva si cada elemento del codominio aparece en algún par ordenado. Por ejemplo, la función cuadrado que presentamos antes no es sobreyectiva, pues hay muchos números, como el 7, que no son el cuadrado de ningún otro. Si una función f es a la vez sobreyectiva e inyectiva, entonces su inverso f 1 es también una función (total). A las funciones que cumplen con ambas propiedades se les llama biyectivas. Una secuencia es una sucesión ordenada de elementos, como 1, 3, 5, 7, 9, que es la secuencia de números naturales impares menores que 10, ordenados de menor a mayor. La diferencia entre un conjunto y una secuencia es que en una secuencia el orden sí importa y en un conjunto no. Así, 1, 2, 3 2, 3, 1. Además, en una secuencia sí es relevante la repetición de los elementos, por lo que 1, 2, 3 1, 2, 2, Conjuntos infinitos Además de los conjuntos finitos esto es, con un número de elementos determinado también puede haber conjuntos infinitos, cuyo tamaño no puede expresarse con un número; un ejemplo es el conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3,...}. Aún a estos conjuntos pueden aplicarse todas las operaciones antes descritas. Sin embargo, la comparación de tamaños de conjuntos infinitos no es tan simple como en el caso de los conjuntos finitos, pues no se puede expresar su tamaño como un número. En estos casos se aplica lo que se conoce como el principio del palomar, que sirve para

20 1.1. CONJUNTOS 11 comprobar si dos conjuntos tienen o no el mismo tamaño. Supóngase que se quiere comprobar si en un palomar la cantidad de palomas con que se cuenta es mayor, menor o igual a la cantidad de lugares disponibles en el palomar. Una manera simple de verificarlo es asignar a cada una de las palomas un sitio disponible, y si es posible hacerlo para todas las palomas, se sabe que no hay más palomas que lugares. Similarmente se puede ver si no hay más lugares que palomas. Así verificamos que el conjunto de palomas tiene el mismo tamaño que el de lugares disponibles. Esta idea tan sencilla puede aplicarse para comparar el tamaño de conjuntos infinitos. Así se puede verificar, por ejemplo, que el conjunto de los pares tiene el mismo tamaño que el de los naturales, un resultado difícil de aceptar intuitivamente. En efecto, sean N y P los naturales y los pares, respectivamente. Es fácil ver que P N, pero es mucho menos evidente que N P, cosa que vamos a mostrar usando el principio del palomar. A cada número natural le debemos poder asignar un número par distinto; esto se puede hacer de muchas maneras, pero una muy simple consiste en asignar a cada número el doble de sí mismo; por ejemplo, al 7 le asignamos el par 14, etc. Como esto se puede hacer para todos los números, y no va a haber dos números que compartan el mismo par, concluimos que no hay más números naturales que pares. Definición.- Un conjunto infinito es contable, también llamado enumerable, cuando sus elementos pueden ponerse en una fila, o dicho de una manera más técnica, cuando sus elementos pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales. En otras palabras, los conjuntos contables infinitos tienen el mismo tamaño que el conjunto de los números naturales. Adicionalmente los conjuntos finitos también son contables. Otro ejemplo de conjunto infinito contable es el conjunto de pares de números, esto es, N N = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 1),...} (La prueba de que es contable se deja como ejercicio, ver sección de ejercicios). Aunque resulte sorprendente, hay conjuntos infinitos más grandes que los conjuntos infinitos contables, en el sentido de que no van a alcanzar los elementos del conjunto contable para asignar uno a cada elemento del conjunto grande. A estos conjuntos se les llama incontables. Un ejemplo de conjunto incontable es 2 N, esto es, el conjunto potencia de los naturales; el llamado Teorema de Kantor establece este hecho. La prueba del Teorema de Kantor es muy simple y se basa en empezar suponiendo que 2 N sí es contable, y se llega a una contradicción, concluyendo entonces que 2 N en realidad es incontable. En efecto, si 2 N es contable, sus elementos pueden ser puestos en una sucesión como sigue: 2 N = {S 1, S 2, S 3,...} Supóngase ahora el conjunto D = {n N n / S n }, que está formado por aquellos números

21 12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES n que no aparecen en el conjunto S n que les corresponde. Como por hipótesis todos los subconjuntos de los naturales fueron puestos en la sucesión S 1, S 2,..., tenemos que el conjunto D, que está formado de naturales debe hallarse en dicha sucesión, es decir, debe ser igual a S k para una cierta k. Ahora nos preguntamos si k aparece o no en el conjunto D: Si la respuesta es afirmativa, entonces, por la definición de D, tenemos que k / S k, lo que es una contradicción; Si la respuesta es negativa, entonces, por la definición de D, k S k, lo que también es una contradicción. Concluimos que 2 N es incontable. Aún dentro de los conjuntos incontables hay unos conjuntos más grandes que otros. En efecto, se sabe que para todo conjunto infinito A, se tiene que A < 2 A, por lo que hay toda una jerarquía de infinitos : N < 2 N < 2 2N < Manejo lógico de enunciados En el proceso de solución de problemas, un aspecto clave es comprender cabalmente el enunciado, lo cual en ocasiones no es sencillo, ya sea por la complejidad de aquel, o bien porque la forma poco rigurosa en que manejamos el lenguaje cotidiano puede provocar errores de interpretación. Más aún, en muchas situaciones es necesario transformar el enunciado en otro equivalente, de forma que la solución al problema planteado sea más sencilla. Por ejemplo, consideremos el conjunto de números naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algún cero (0). Algunos de estos números son el 2307, el 400, así como el 1023 y el 175. Hay que comprender, por ejemplo, porqué el 175 corresponde al enunciado. La idea es que un número cumple la condición cuando, ya sea contiene algún cero, como el 1023, el 2307 o el 400, o bien ni es par ni termina en 7, como en el caso del 175. Razonamientos lógicos como el anterior pueden sistematizarse haciendo uso de símbolos que representan afirmaciones, que se llaman proposiciones en el llamado Cálculo proposicional, que es una rama de las matemáticas. 3 En el ejemplo presentado arriba es crucial comprender el significado lógico de la llamada implicación: Si A es cierto, entonces también B es cierto. Esto se representa matemáticamente 3 No estudiaremos aquí el cálculo proposicional, limitándonos a revisar los aspectos realmente indispensables para manejar el material de este texto. El lector interesado en estudiar el cálculo proposicional puede consultar textos como [19].

22 1.2. MANEJO LÓGICO DE ENUNCIADOS 13 usando el símbolo, como en A B. La implicación A B es cierta siempre que B es cierto independientemente de si A es cierto o no, y también cuando A es falso, como era el caso del número 175 en el ejemplo presentado. La implicación no es manejada rigurosamente en el lenguaje cotidiano. Por ejemplo, si un papá dice a su niño: Irás al cine si haces tu tarea, en realidad no está dando información sobre qué pasará en caso de que el niño no haga la tarea, aún cuando ambos interlocutores sobreentienden que en ese caso el niño no irá al cine. Representando ir al cine con el símbolo C y hacer la tarea con T, la frase se representaría con la fórmula T C. Si quisiera el papá dar información para atender el caso en que no se hace la tarea, tendría que decir algo como Sólo si haces tu tarea irás al cine, representado por la implicación C T, aunque en este caso se deja abierta la posibilidad de que el niño no vaya al cine aunque haya hecho su tarea... Si el papá quisiera considerar todos los casos posibles, tendría que decir algo como irás al cine si y sólo si haces tu tarea. Resumiendo, algunas formas en que se expresa frecuentemente la implicación A B son las siguientes: Si A entonces B B si A B cuando A B siempre y cuando A A sólo si B Otras frases tales como Vamos a Yucatán o a Oaxaca o El clima es cálido y seco también se pueden representar con símbolos matemáticos, mediante la llamada disyunción ( ), para las frases unidas con o, o bien con la conjunción ( ), para las frases unidas con y. Por ejemplo, si ir a Yucatán se representa con Y e ir a Oaxaca con O, la primera frase se representaría como Y O. Similarmente se pueden representar frases más complejas, como Si vamos a Yucatán el clima será cálido pero no seco, mientras que si vamos a Oaxaca será cálido y seco, con la fórmula (Y (C S)) (O (C S)), donde el símbolo representa la negación de lo que sigue a su derecha. Otro símbolo lógico de utilidad es la llamada doble implicación, denotado por, que significa que sus dos argumentos son equivalentes lógicamente. Así, A B quiere decir que A es cierto exactamente en los mismos casos en que B es cierto. La implicación, la negación, la conjunción, etc., son llamados genéricamente conectivos lógicos.

23 14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Tablas de verdad Una herramiente útil para comprender y utilizar los conectivos lógicos son las llamadas tablas de verdad, que tienen en los renglones cada caso posible de valores cierto o falso de las proposiciones elementales, y en las columnas a la derecha aparece el valor correspondiente de la proposición compuesta. Por ejemplo, en la siguiente tabla de verdad se define el comportamiento de los conectivos lógicos de conjunción, disyunción, negación e implicación: A B A B A B A A B En esta tabla de verdad el valor cierto se representa con 1 y el falso con 0. Podemos ver ahi que, por ejemplo, el conectivo de disyunción da cierto en todos los casos menos cuando los dos argumentos son falsos. Por cierto, esto contradice la manera en que a veces se maneja la disyunción en el lenguaje cotidiano; por ejemplo, cuando se dice O pagas lo que debes o no te vuelvo a prestar, se sobreentiende que ambas cosas no pueden ser ciertas a la vez. Sin embargo, viendo la tabla de verdad en la columna del A B, vemos que tiene el valor cierto cuando tanto A como B son ciertos. Es importante entender que los valores que aparecen en la tabla de verdad presentada arriba son definiciones, que por lo mismo no tienen que probarse. Desde luego que no son valores arbitrarios, sino que pretenden precisar el significado que tienen intuitivamente la disyunción, la conjunción, la negación y la implicación. En esa tabla de verdad también podemos ver que la implicación es simplemente un conectivo que tiene valor cierto en todos los casos menos cuando A es cierto y B falso. Esto es congruente con la interpretación que dimos de la implicación párrafos antes. Como en el caso de los conjuntos, en las fórmulas con proposiciones también hay equivalencias muy útiles, que nos permiten modificar enunciados, pero teniendo la garantía de que el enunciado modificado es equivalente al original. Vamos a considerar las siguientes equivalencias: Conmutatividad A B = B A, A B = B A. Distributividad A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). Implicación A B = ( A) B. Leyes de De Morgan (A B) = A B, (A B) = A B. Doble negación ( A) = A.

24 1.3. PRUEBAS POR INDUCCIÓN 15 Doble implicación A B = (A B) (B A) Ejemplo.- El conjunto de números naturales tales que, si son pares o terminan en 7, entonces contienen algún cero (0), que presentamos antes, puede ser expresado de una forma más simple usando las equivalencias. Sea P que el número es par, T que termina en 7, C que contiene algún cero. Entonces el enunciado original es: (P T ) C Usando la equivalencia de la implicación, esta fórmula es equivalente a: ( (P T )) C Aplicando una equivalencia de De Morgan, queda como: ( P T ) C Esto es, ya sea que el número contiene algún cero (proposición C), o bien ni es par ( P ) ni termina en 7 ( T ). Las equivalencias de conectivos lógicos se pueden probar haciendo las tablas de verdad para las dos fórmulas que se supone que son equivalentes. Por ejemplo, probamos la equivalencia de la implicación con la siguiente tabla de verdad, en la que se puede observar que los valores de A B y de ( A) B son los mismos: A B A ( A) B A B Pruebas por inducción Una forma de prueba que utilizaremos repetidamente en este texto es la prueba por inducción. Sirve para probar que una cierta propiedad es válida para todos los elementos de un conjunto infinito contable. Hacemos notar que el material indicado como nivel profesional no incluye pruebas por inducción a lo largo del libro. Esto es debido al enfoque predominantemente ingenieril que se da al material de profesional, dejando las pruebas por inducción para los estudiantes de posgrado. Supongamos que se quiere probar que una propiedad P es cierta para todos los elementos de un conjunto infinito contable (C).

25 16 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Inicialmente se prueba que es cierta para el primer elemento de (C), sea c 0, esto es, se verifica P(c 0 ). Este paso se llama base de la inducción. Después se supone que la propiedad P es cierta para algún elemento c i de (C), y con base en esta suposición, llamada hipótesis de inducción, se prueba que P también es cierta para el siguiente elemento, c i+1. Con base en los dos pasos anteriores se concluye que la propiedad P es cierta para todos los elementos del conjunto (C). Esta conclusión no es gratuita. En efecto, supongamos un elemento de (C), por ejemplo c 45. Para probar que satisface la propiedad, ya sabemos que se cumple para c 0, y como tenemos que se cumple para el siguiente elemento, entonces también se cumple para c 1, y como también se cumple para el siguiente elemento, se cumplirá para c 2, y así sucesivamente, hasta llegar a c 45. Lo mismo se puede hacer con cualquier otro elemento de (C). Como un ejemplo simple de la aplicación de la inducción matemática, supongamos que queremos probar que todo número natural es menor que el doble de sí mismo, esto es, n < 2n, n N. Lo hacemos en dos pasos: (base) Primero comprobamos que para el caso del 1 se cumple, pues 1 < 2. (inducción) Ahora, suponiendo que para un número i la propiedad se cumple, esto es, i < 2i, debemos comprobar que también se cumple para el siguiente número, esto es, i+1 < 2(i+1). En efecto, si i < 2i, entonces i+1 < 2i+1, pero 2i+1 < 2i+2 = 2(i+1), por lo que i + 1 < 2(i + 1), como debíamos probar. Las pruebas por inducción no siempre son, como en los ejemplos que vimos en esta sección, para probar propiedades de los números naturales. En nuestro caso, utilizaremos pruebas por inducción para probar, por ejemplo, la corrección de gramáticas. Por otra parte, existen muchas variantes de la inducción, como tener varias bases. No entraremos aquí en detalles de esto, postergando su estudio para las secciones donde se le utiliza directamente Lenguajes Uno de los conceptos más importantes de este texto es el de Lenguaje. Para llegar a este concepto es necesario definir antes otras nociones más elementales. Para todas las definiciones utilizaremos extensivamente la teoría elemental de conjuntos.

26 1.4. LENGUAJES Alfabeto, cadena de caracteres La noción más primitiva es la de símbolo, que es simplemente una representación distinguible de cualquier información. Los símbolos pueden ser cualesquiera, como w, 9, #, etc., pero nosotros vamos a utilizar las letras a,b,c, etc. Un símbolo es una entidad indivisible. Un alfabeto es un conjunto no vacío de símbolos. Así, el alfabeto del idioma español, E = {a, b, c,..., z}, es sólo uno de tantos alfabetos posibles. En general utilizaremos la notación Σ para representar un alfabeto. Con los símbolos de un alfabeto es posible formar secuencias o cadenas de caracteres, tales como mxzxptlk, balks, r, etc. 4 Las cadenas de caracteres son llamadas también palabras. Un caso particular de cadena es la palabra vacía, ε, la cual no tiene ninguna letra. La longitud de una palabra es la cantidad de letras que contiene, contando las repeticiones; se denota por w para una palabra w. Por ejemplo, perro es 5. Cuando escribimos varias palabras o caracteres uno a continuación de otro, se supone que forman una sola palabra (se concatenan). La notación usada para denotar la concatenación de dos cadenas α y β es αβ. Por ejemplo, si w = abra y v = cada, entonces wvbra es la palabra abracadabra. La concatenación de palabras es asociativa, esto es, (xy)z = x(yz), pero no conmutativa en el caso general. La longitud de una concatenación cumple la propiedad: uv = u + v. 5 Una palabra v es subcadena de otra w cuando existen cadenas x, y - posiblemente vacíastales que xvy = w. Por ejemplo, bora es subcadena de víbora, y ε es subcadena de toda palabra. El conjunto de todas las palabras que se pueden formar con un alfabeto Σ es denotado convencionalmente por Σ. 6 Por ejemplo, si Σ = {a, b}, Σ = {ε, a, aa, aaa, aaaa,..., b, bb,..., ab, aba, abb,...}. El conjunto Σ es infinito, pero enumerable Lenguajes, operaciones con lenguajes Un lenguaje es simplemente un conjunto de palabras. Así, {abracadabra} es un lenguaje (de una sola palabra), {ali, baba, y, sus, cuarenta, ladrones} es otro, Σ es otro, etc. Puesto 4 Las secuencias fueron definidas en la sección de preliminares. Formalmente, la palabra casa es la secuencia de letras c, a, s, a. 5 La prueba de estas propiedades requiere de una definición formal de las secuencias de caracteres, lo que nos desviaría demasiado de nuestros temas. 6 Luego veremos una operación llamada Cerradura de Kleene, que se parece a la notación Σ, aunque hay pequeñas diferencias técnicas. 7 Ver sección de ejercicios.