Secuencias Cifrantes de Números Metálicos a partir de Fracciones Contínuas Sequences Cifrantes of Metallic Numbers to leave of Continuous Fractions

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1 Computació y Sistemas Vol. 7 Núm. 4 pp , CIC-IPN, ISSN , Impreso e México Secuecias Cifrates de Números Metálicos a partir de Fraccioes Cotíuas Sequeces Cifrates of Metallic Numbers to leave of Cotiuous Fractios Resume F.J. Romero y R. Vázquez CECyT Cuauhtémoc Istituto Politécico Nacioal roifxav@hotmail.com Depto. de Igeiería Eléctrica Uiversidad Autóoma Metropolitaa Artículo recibido e Diciembre, 003; aceptado e Febrero, 004 E este artículo se preseta el aálisis de secuecias biarias geeradas a partir de la represetació e fraccioes cotiuas de alguos úmeros irracioales algebraicos (Razó dorada, Número de plata, Número de broce). Este aálisis se hace usado la fució de auto-correlació y de la trasformada de fourier. Posibles aplicacioes de estas secuecias sería e cifrados de flujo, sistemas de espectro disperso ó bie, e cajas de difusió o permutació. φ. Razó dorada σ. Número de plata δ. Número de broce FCIS. Fracció cotiua ifiita simple. FCS. Fracció cotiua Simple Abstract I this article the aalysis of biary sequeces is preseted geerated startig from the represetatio i cotiuous fractios of some algebraic irratioal umbers (golde Reaso, silver Number, brass Number). This aalysis is made usig the auto-correlatio fuctio ad of the oe trasformed of fourier. Possible applicatios of these sequeces would be i stream cipher, systems of dispersed spectrum or well, i diffusio boxes or exchage. φ. Golde Reaso σ. Silver Number δ. Brass Number FCIS. Ifiita Simple Cotiuos Fractio. FCS Simple Cotiuos Fractio. Itroducció Los algoritmos empleados e seguridad iformática comúmete utiliza secuecias biarias que ivolucra úmeros aleatorios. Por ejemplo, los esquemas de auteticació recíproca de geeració de claves de sesió o los de geeració de claves para algoritmos de cifrado. Si embargo, e este artículo se emplea secuecias biarias obteidas a partir de la represetació e fraccioes cotiuas de alguos úmeros irracioales metálicos. Estos úmeros tiee u úmero ifiito de cifras decimales, lo que llega a costituir ua secuecia o periódica de úmeros decimales. U úmero irracioal es u úmero real o racioal, y alguos de ellos so algebraicos, por ser raíz de ua ecuació poliomial de coeficietes eteros. Los que o cumple co esta propiedad se llama trascedetales (Gray R. 994) (Romero I, 00). Así e este articulo, las secuecias biarias está geeradas a partir de alguos úmeros irracioales algebraicos, que se evalúa para su potecial uso e sistemas de protecció de iformació. Alguas aplicacioes de estas secuecias sería e cifrados de flujo, sistemas de espectro disperso ó bie, e cajas de difusió o permutació. Para lograr esto se ecesita u estudio probabilistico de las secuecias geeradas, que demuestre que estas secuecias irracioales cumple co los 7

2 Secuecias Cifrates de Números Metálicos a partir de Fraccioes Cotíuas criterios de aleatoriedad descritos por los tres postulados de Golomb (Golomb S. W., 967), y la prueba uiversal de Maurer (Ueli M. Maurer, 99 ), ivestigacioes publicadas e artículos que muestra los resultados obteidos (Romero I, 00). Cualquier úmero irracioal puede escribirse como ua FCIS. Cosecuetemete, si α es ua FCIS etoces α es u irracioal. Las fraccioes cotiuas tiee alguas coexioes iteresates co el problema del Jigsaw como se describe e la literatura (Kimberlig C., 983), que a partir de ua figura geométrica (rectágulo) se geera u cojuto de rectágulos girates que produce u espiral logarítmico. Esta espiral coverge ua y otra vez, y e las logitudes de sus líeas que geera los rectágulos se ecuetra la razó dorada siedo está el pricipal úmero metálico aquí descrito. De igual forma, tiee coexió co uo de los más viejos algoritmos de los matemáticos griegos de 300 a. C. Algoritmo de Euclid para calcular el máximo comú divisor de dos úmeros como se describe e el trabajo mecioado (Harold Daveport, 999). E geeral, ua fracció cotiua simple puede expresarse de la forma siguiete: α = a o + a + a + a 3 + a () Dode los úmeros a 0, a, a, a 3, a 4,..., so eteros. Usualmete este tipo de fraccioes cotiuas puede escribirse e lista como: α = P a 0, a, a, a,...] = () q [ 4 El primer coeficiete puede ser ulo, caso e que el úmero real está compredido etre 0 y, pero el resto de los coeficietes so eteros positivos. La sucesió de coeficietes es fiita si y solo si α es u úmero racioal (es decir, u úmero de la forma p/q, co q diferete de cero, y co p y q úmeros aturales si factor comú). Si es u úmero irracioal, el desarrollo es ifiito y si tomamos u úmero fiito de térmios como e (), obteemos ua sucesió de aproximacioes racioales al úmero que tiede a cuado k El matemático fracés Joseph Louis Lagrage (736-83) probó que u úmero es irracioal algebraico si y solo si su descomposició e fraccioes cotiuas es periódica, (Log C. ad Jorda, 967).. Fraccioes Cotiuas de los Números Irracioales A cotiuació se describe el método que permite obteer la represetació e fraccioes cotiuas de los úmeros irracioales algebraicos, (φ, σ, δ, ) tomado e cueta que tres de estos úmeros irracioales perteece a la familia de los úmeros metálicos ecotrados a partir de la siguiete ecuació:. Secuecia dorada (φ) x x = 0 (3) EL úmero de oro ha sido ampliamete utilizado e ua gra catidad de culturas atiguas como base de proporcioes, e el diseño de sus costruccioes, es el primer miembro de la familia de úmeros metálicos y es simplemete la relació que existe etre dos úmeros de Fiboacci cosecutivos. La Stewart, et al, ha llamado a φ "el úmero más racioal de los 73

3 F.J. Romero y R. Vázquez irracioales" debido a esto, ua forma para ecotrar φ como fracció cotiua es primero cosiderar las solucioes a la ecuació (3), dode =, así etoces se tiee Reestructurado esta ecuació se tiee que, x x = 0 (4) x = x + (5) Y dividiedo ambos lados por x (cuado x o tiede a cero) se tiee x = + /x que cotiee ua fracció cotiua directamete para la raíz (positiva), Este es el valor de x que al que se llama φ, siedo etoces, = + (6) φ φ Al resolver tambié la ecuació (4) por la formula geeral se obtiee las raíces siguietes + 5 φ = ~ (7) 5 φ = ~ (8) Comprobado que la raíz positiva es el úmero de oro. Aplicado, así mismo la ecuació (6), se tiee que, φ = + (9) + φ De esta forma, si esta aplicació se hace iterativamete, se obtiee su represetació e fraccioes cotiuas. φ = + (0) E forma de lista se tiee la siguiete FCIS φ=[,,,,,...] P = () q φ Se puede tambié ecotrar e muchas dimesioes de ua variable geométrica, pero e lugar de represetarlo como úmero irracioal, se puede expresar de la maera siguiete. Dado u segmeto de líea, se puede dividir e dos segmetos A y B de logitud cualquiera, de ua maera tal que la logitud del segmeto etero esté a la logitud del segmeto A, mietras que la logitud del segmeto A está a la logitud del segmeto B. Si se calcula esta relació de trasformació, se obtiee ua aproximació de la razó de oro.. Número de Plata (σ). Este úmero ha sido parte de umerosas ivestigacioes físicas, al tratar de sistematizar el comportamieto de sistemas diámicos o lieales, aalizado la trasició de la periodicidad a la cuasi-periodicidad, tambié se recurre, e particular, a esté úmero para describir y explicar el sistema romao de proporcioes como se describe e la literatura (Kappraff J. 996). 74

4 Secuecias Cifrates de Números Metálicos a partir de Fraccioes Cotíuas Ua forma para ecotrar σ como fracció cotiua es primero cosiderar las solucioes a la ecuació (3), dode =, así etoces se tiee x x = 0 () Reestructurado esta ecuació se tiee que, x = x + (3) y dividiedo ambos lados por x (cuado x o tiede a cero) se tiee x = + /x que cotiee ua fracció cotiua directamete para la raíz (positiva). Este es el valor de x que al que se llama Número de Plata, siedo etoces, σ + σ = (4) Al resolver tambié la ecuació () por la formula geeral se obtiee las raíces siguietes σ =+ ~ (5) σ = ~ (6) Comprobado que la raíz positiva es el úmero de plata. Aplicado, así mismo la ecuació (3), se tiee que, σ + + σ = (7) De esta forma, si esta aplicació se hace iterativamete, se obtiee su represetació e fraccioes cotiuas. σ = + (8) y e forma de lista se tiee lo siguiete FCIS σ=[,,,,,...] P = (9) q.3 Número de Broce (δ). Al igual que los úmeros metálicos ateriores sus pricipales aplicacioes se ha dado e el diseño de costruccioes y esto covierte a los úmeros metálicos e istrumetos ivalorables para la búsqueda de relacioes viables cuatitativas etre la Matemática y el Arte. Por lo cual aálogamete, resolviedo la ecuació (3), para ua = 3, se tiee el úmero de broce que se deota como sigue a cotiuació: δ = 3 + (0) Y δ 75

5 F.J. Romero y R. Vázquez 3+ 3 δ = () De esta forma, si esta aplicació de la ecuació (8) se hace iterativamete, se obtiee su represetació e fraccioes cotiuas. δ = 3 + () Y e forma de lista se tiee la siguiete FCIS.4 Raíz cuadrada. δ=[3,3,3,3,3,...] P = (3) q La represetació e fraccioes cotiuas del úmero irracioal, se puede obteer como sigue: = + (4) x Usamos /x, siedo x >. Aquí se requiere ecotrar x. Así que se reestructura esta ecuació para ecotrar el valor de x, por lo que, = (5) x x = (6) Ahora bie, multiplicado el térmio de la derecha por + tato e el umerador como e el deomiador, se tiee que: + x = = + (7) Sustituyedo la ecuació (3) e (6), se tiee x = + = + + = + (8) x x Ahora bie sustituyedo + /x e aquellos lugares dode aparece x, se tiee la fracció cotiua para x. Ahora se puede expresar como ua fracció cotiua como se muestra eseguida: = + (9)

6 Secuecias Cifrates de Números Metálicos a partir de Fraccioes Cotíuas Por lo que se refiere a la fracció cotiua de teemos: = [ ;,,,,,...] (30) 3. Geeració de Secuecias Biarias A partir de la fracció cotiua obteida e forma simple o e forma de lista, se empieza a geerar el úmero irracioal co 33 dígitos a partir de la siguiete ecuació. a /( a + /( a + /( a + /( a )))) (3) Existe otros métodos que se usa para calcular las fraccioes cotiuas de u úmero irracioal como se describe e la literatura (Loretze Lisa, ad Waadelad Haako, 99). Partiedo del método ates descrito de fraccioes cotiuas se obtiee secuecias de los úmeros irracioales (φ, σ, δ, ) Para el aálisis que se describe e este artículo se geeró ua FCS de 00 coeficietes, por ejemplo para la razó dorada (φ ), como se muestra a cotiuació, φ = {0,,,,,,,,...,,,, } (3) φ = A cotiuació se geera u vector decimal de la razó dorada co 33 dígitos, si cosiderar la parte etera. φ = [6,, 8, 0, 3, 3, 9, 8, 8, 7, 4, 9, 8, 9, 4, 8, 4, 8,, 0, 4, 5, 8, 6, 8, 3, 4, 3, 6, 5, 6, 3, 8,,, 7, 7,, 0, 3,,, 7, 4, 3, 9, 6, 3, 7, 9, 5, 6, 8, 5, 7, 5, 3, 5, 9,, 8, 5,, 0, 8, 8,, 9, 0,, 9, 8, 6, 9, 8, 8, 7, 5,,, 9, 8, 7, 6,, 7,, 5, 6,, 5,, 9, 9, 6, 3,, 8, 4,, 8, 8,, 9,, 9, 0,, 9, 8, 7, 0, 9, 8, 3, 0, 3, 6, 4, 5, 5, 8, 9,, 0, 0, 7,, 4, 9, 4, 4, 3,,, 8, 3,, 6, 8, 5, 9,, 7, 3, 4,, 9, 8, 8,, 9, 7, 9,, 0, 7,, 5, 9, 7,, 3, 6, 5,, 0,, 9, 7, 4, 3, 0, 8, 6, 5, 7, 9, 9, 0, 7, 8, 9,,, 3,, 8, 8, 9, 7, 0, 7, 0,, 0, 5, 9, 5, 8,, 8, 4, 3, 7,, 9, 6, 3, 0, 4, 4,, 4, 9, 3, 4, 9, 0, 6,, 7, 9, 8,, 7, 3, 5, 7, 7, 6, 0, ] Posteriormete se covirtió este úmero decimal a su represetació biara, para teer ua secuecia biaria de 0 y. Tomado esta secuecia biaria se covierte a u vector de 0 s y s. Por ejemplo, el úmero irracioal φ. φ =[, 0, 0,,,,, 0, 0, 0,,, 0,,,, 0,,,,, 0, 0,,, 0,,,, 0, 0,, 0,,,,,,,, 0,, 0, 0,, 0,, 0, 0,,,,,, 0, 0, 0, 0, 0,, 0,, 0,,,,,, 0, 0,,,, 0, 0,,,, 0, 0,,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, 0,,,, 0, 0,,,, 0,,, 0,,,, 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0,,, 0,, 0, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0,,, 0,, 0, 0, 0,,, 0,, 0, 0, 0,,, 0, 0,, 0,, 0,, 0,,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, 0, 0,,, 0,,,, 0,, 0,, 0,, 0,,, 0,,, 0, 0,,, 0,,, 0,,,,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,, 0,, 0, 0,, 0, 0,, 0,,,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,, 0,,, 0, 0,, 0,, 0,, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,, 0,,,,,, 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, 0, 0,,,,,, 0, 0,,,,, 0, 0, 0,, 0,, 0, 0,,, 0, 0,,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0, 0, 0, 0,,,,,,, 0, 0, 0, 0,, 0,, 0, 0, 0,, 0,, 0, 0, 0,,,, 0,, 0, 0, 0,,,, 0, 0,, 0,, 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,, 0, 0, 0, 0,, 0,,, 0,, 0, 0, 0, 0, 0,,, 0,, 0,,,, 0,,, 0, 0, 0,, 0,,,, 0,, 0, 0,, 0, 0, 0,, 0,, 0, 0, 0,,,,, 0, 0, 0, 0, 0,,,,, 0, 0, 0, 0, 0,,,,, 0, 0,,, ] Geerado u vector de 774 caracteres, el cual se aalizó y se ecuetra reportado e el apartado siguiete. 77

7 F.J. Romero y R. Vázquez 4. Herramietas de Aálisis 4. Fució de auto-correlació. U bue criterio para seleccioar ua serie de sucesioes para aplicarla a u cifrado de flujo se basa e la miimizació del valor absoluto de la correlació periódica etre señales, cocepto que se ecuetra dispoible e la literatura (Simo M. K., 985). P max =max { P A,P c } (3) Dode P A y P c so la máxima salida de fase periódica de la auto-correlació y la correlació respectivamete, y P max es el límite mas bajo que puede expresarse para ua sucesió ideal compredido de u sucesioes distitas de logitud L por la desigualdad siguiete: u P max L (4) Lu Por otra parte se tiee que la secuecia de auto-correlació de ua señal x(), como se describe e la literatura (Ala V., 994), esta defiida como: r ( L) = x( ) x( ) xx Cuado se trata de señales causales de logitud fiita N, la secuecia de auto-correlació se defie como: = (5) r xx ( L) = N k x = i ( ) x( ) (6) Dode i=l, k=0 para L=>0 y i=0, k=l para L<0 E las aplicacioes prácticas presetadas, la correlació se puede usar para idetificar la periodicidad de ua secuecia, a partir de muestras de la señal, la cual se puede geerar imersa e ruido. Cuado ua secuecia es periódica su autocorrelació exhibe la misma periodicidad y cotiee picos relativamete grades e L= 0,,, Probabilidad De Ocurrecia Esta probabilidad se obtuvo aproximádola co la frecuecia relativa, e la ocurrecia de uos y ceros. Dado Los resultados obteidos se muestra e la tabla. Número irracioal Probabilidad de Probabilidad de uos ceros φ σ δ Tabla. Probabilidad de ocurrecia 78

8 Secuecias Cifrates de Números Metálicos a partir de Fraccioes Cotíuas 4.3 Trasformada de Fourier La FFT se defie como ua operació sobre u vector de N putos Cuyo resultado es otro vector [] = { x[],..., x[ N ] x (7) 0 } [] k = { X [] 0,..., X [ ],..., X [ N ] } X (8) Tambié de N putos, defiida como: Dode N = = 0 k [ ] x[ ] W para K = 0,,,..., N X k N (9) W N = e j π / N (30) La operació aterior puede iterpretarse como la trasformació de ua secuecia x[], de N putos, co muestras e el domiio del tiempo, e otra secuecia X[k], así mismo de N putos, co muestras e el domiio de la frecuecia, como se muestra e las graficas de las figuras e la secció de resultados. 5. Resultados Los miembros de la familia metálica, está estrechamete relacioados co el comportamieto periódico e la diámica olieal, siedo por ello de gra ayuda e la búsqueda de secuecias cifrates para sistemas de protecció de iformació. Las sucesioes basadas e los miembros de esta familia posee propiedades que se muestra e las gráficas -8, obteidas de las secuecias biarias de los úmeros irracioales (φ, σ, δ, ). E las cuales se observa su FFT (espectro de frecuecia), su auto-correlació y su probabilidad de ocurrecia. La figura Muestra la FFT de la secuecia obteida a partir del úmero irracioal φ se observa la distribució uiforme e el espectro co ua magitud de 5, co 774 muestras. La figura muestra la gráfica de auto-correlació, co ua magitud máxima fudametal e la muestra 774, y u desvaecimieto hacia sus lóbulos laterales, se observa la similitud que existe etre los segmetos de las muestras de la misma fució. Fig. FFT de la Secuecia φ 79

9 F.J. Romero y R. Vázquez Fig. Auto-correlació de la Secuecia φ La figura 3 Muestra la FFT de la secuecia obteida a partir del úmero irracioal σ (úmero de plata). Observado la variació de máximos y míimos de amplitud a lo largo de las 774 muestras y la distribució uiforme alrededor de la magitud 5. La Figura 4, muestra la gráfica de auto-correlació, e la cual se preseta la muestra 774 co magitud máxima y ua similitud de la secuecia e sus lóbulos laterales debajo de la magitud 0, observado la similitud que existe etre las muestras de la misma fució. Fig. 3 FFT de la Secuecia σ Fig. 4 Auto-correlació de la Secuecia σ 80

10 Secuecias Cifrates de Números Metálicos a partir de Fraccioes Cotíuas La figura 5. Muestra la FFT de la secuecia obteida a partir del úmero irracioal δ, se observa que el espectro esta e u marge aproximado de magitud 5 co ua distribució uiforme, presetado valores máximos y míimos e el espectro. La Figura 6, muestra la gráfica de auto-correlació, e la cual se preseta la muestra 774 co magitud máxima, y la similitud de la secuecia etre los lóbulos laterales debajo de la magitud 5. Fig. 5 FFT de la Secuecia δ Fig. 6 Auto-correlació de la Secuecia δ La figura 7 Muestra la FFT de la secuecia obteida a partir del úmero irracioal, se observa que el espectro esta e u marge aproximado de magitud 5 co ua distribució uiforme presetado ua variació de máximos y míimos de amplitud a lo largo de las 774 muestras. La Figura 8, muestra la gráfica de auto-correlació, e la cual se preseta ua muestra fudametal máxima cercaa a la magitud 400 y ua similitud etre los lóbulos laterales debajo de la magitud 0. Fig. 7. FFT de la Secuecia 8

11 F.J. Romero y R. Vázquez Gráficas de la probabilidad de ocurrecia Fig. 8 Auto-correlació de la Secuecia E la figura 9 se observa la probabilidad de ocurrecia de las secuecias biarias, observado como la secuecia de la razó dorada () es muy similar al úmero de broce(3), así como la secuecia del úmero de plata () es muy similar al úmero irracioal Sqrt[] (4). Esto se debe la relació que existe etre las secuecias biarias, otado como a partir de la muestra y hasta la muestra 0 se ota la variació de probabilidad de ocurrecia, por tal motivo se toma este rago para graficar ya que después de la muestra 5 las secuecias biarias so similares y o preseta cambios. Fig.9 Probabilidad de Ocurrecia 6. Coclusioes Al obteer las secuecias biarias por medio de fraccioes cotiuas, se piesa e su aplicació de estas, a sistemas de protecció de iformació, como por ejemplo, e esquemas de flujo o comuicació para espectro disperso. Se observa dos requerimietos que toda secuecia cifrate que debe satisfacer para su correcta aplicació al cifrado e flujo, su periodo y su facilidad de implatació. Todas las solucioes positivas de la ecuació (3) so miembros de la familia de úmeros metálicos recietemete itroducida por la aurora, como se puede aprecias e la literatura (Vera. W. de Spiadel, 998), siedo el úmero de oro el que posee ua descomposició e fraccioes cotiuas más letamete covergete, pues los deomiadores que va a pareciedo a medida que se calcula ua ueva aproximació so los más pequeños posibles. Es difícil evaluar si ua secuecia biaria es suficietemete segura para su utilizació e criptografía, ya que o existe u criterio geeral y uificado que lo certifique. La complejidad computacioal de u algoritmo se mide por dos variables 8

12 Secuecias Cifrates de Números Metálicos a partir de Fraccioes Cotíuas comúmete, el tiempo y el espacio o requerimietos de memoria, ambos expresados e fució del tamaño de la etrada (Lucea López, 00). Esto es u aálisis que se ha realizado utilizado algoritmos probabilísticos como: los Postulados de Golomb (Romero Ibarra, 00), o la Prueba Uiversal de Maurer (Romero Ibarra 00), utilizado los úmeros irracioales descritos. Referecias. Ala V. ad Ala S. Willsky, Señales y Sistemas, Primera Edició, Pretice Hall Ic., 994 pp 6, 55.. Gray R. Georg Cator ad Trascedetal Number : Amer Math Mothly, p. 0, 89-83, Harold Daveport The Higher Arithmetic by Harold Daveport, Cambridge Uiversity Press, (7th editio) 999, 4. Kappraff J. Architecture ad Mathematics Ed. Kim Williams, Kimberlig C, A visual Euclidea algorithm i Mathematics Teacher, vol 76 (983) pages Log C. T. ad Jorda J. H., A Limited Arithmetic o Simple Cotiued Fractios, Fiboacci Quarterly, Vol 5, 967, pp 3-8; 7. Loretze Lisa, ad Waadelad Haako, Cotiued Fractios With Applicatios, North-Hollad (99), pp Lucea López M. Criptografía y Seguridad e Computadoras, 3er edició, versió. juio del Romero Ibarra y Vázquez Media, Evaluació y aálisis de secuecias cifrates irracioales usado la prueba uiversal de Maurer, IPN, SEPI ESIME CULHUACAN. Artículo presetado e el cogreso CITEL 00, 5-9 de oviembre, La Habaa Cuba. 0. Romero Ibarra y Vázquez Media, Aálisis de secuecias cifrates geeradas a partir de úmeros irracioales, utilizado los Postulados de Golomb, IPN, SEPI ESIME CULHUACAN. Artículo presetado e el cogreso IEEE ROC&C de octubre, Acapulco.. Romero Ibarra y Vázquez Media, Secuecias cifrates geeradas a partir de úmeros irracioales trascedetales, IPN, SEPI ESIME CULHUACAN. Artículo presetado e el cogreso ELECTRO 00, -5 de octubre, Chihuahua.. Simo M. K. et al., Spread Spectrum Commuicatios, vol. Rockville, MD: Computer Sciece Press, Ueli M. Maurer. A Uiversal Statiscal Test for Radom Geerators, Joural of Cryptology. Vol. 5, No., p , Vera W. de Spiadel, From the Golde Mea to Chaos, Nueva Libreria,

13 F.J. Romero y R. Vázquez Fracisco Javier Romero Ibarra. Nacido e México D.F. Estudios de bachillerato e CECyT Cuauhtémoc y educació superior e ESIME uidad Culhuacá, obteiedo el titulo de Ig. e Comuicacioes y Electróica, Estudio de Posgrado e ESIME Culhuacá, obteiedo el titulo de M. e C. de Igeiería e Microelectróica, co ivestigació e Cifrado de Flujo. Catedrático de la CECyT Cuauhtémoc del Istituto Politécico Nacioal y de la Uiversidad Tecológica de México (UNITEC). Rubé Vázquez Media. He received the Electroic Egieerig degree from the Uiversidad Autóoma Metropolitaa (UAM) i 988. He is Master i Sciece by the Ivestigatio Ceter of Advaced Studies of the Natioal Polytechic Istitute of Mexico (CINVESTAV-IPN). He is curretly workig toward the Ph. D. degree at UAM. From 990 to 993 he was with the Electrical Egieerig Departmet UAM-Iztapalapa ad sice 997, he is with the graduate departmet of the Electrical Egieerig School of the IPN. From 993 to 997 he was i Merkatel, S.A. de C.V. 84