Conceptos Básicos de Teoría de Conjuntos

Transcripción

1 Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos Ysela Ochoa apia Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 1/19

2 Veremos ahora algunos ejercicios de aplicación a la vida real. Ejemplo 1 En una encuesta a los estudiantes de razonamiento matemático, acerca de sus preferencias en el uso de las redes sociales se obtuvieron los siguientes resultados: 55 prefieren facebook 60 prefieren twitter 0 usan ambos 10 no prefieren ninguno de los dos. Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos /19

3 sa el diagrama de Venn para responder las siguientes preguntas. 1 Cuántos estudiantes prefieren únicamente facebook? Cuántos estudiantes prefieren únicamente twitter? 3 Cuántos estudiantes usan al menos uno de los dos? 4 Cuántos estudiantes fueron encuestados? Solución: Paso 1 Reconocer quienes y cuántos son los conjuntos La encuesta es acerca de las preferencias de uso de las redes sociales, las cuales lo conforman facebook y twitter; por lo que tenemos dos conjuntos. Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 3/19

4 Sean los conjuntos: F = el conjunto de estudiantes que prefieren facebook. = el conjunto de estudiantes que prefieren twitter. Además tenemos el conjunto: F = en conjunto de estudiantes que prefieren ambos. Paso Identificar la cardinalidad de los conjuntos De los datos del problema tenemos: card(f ) = 55 card( ) = 60 card(f ) = 0. Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 4/19

5 Paso 3 bicar los números cardinales en el diagrama de Venn. Estrategia: Empieza siempre por las intersecciones de todos los conjuntos. Así card(f ) = 0 F 0 Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 5/19

6 Para el conjunto F : como dentro del círculo de F tenemos 0 elementos y el card(f ) = 55, Cuánto le falta a 0 para llegar a 55?. bica la respuesta como indica la gráfica. F 35 0 Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 6/19

7 Para el conjunto : repite el proceso anterior, Cuánto le falta a 0 para llegar a 60?. bica la respuesta como indica la gráfica. F Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 7/19

8 Finalmente ubicamos el dato que nos falta 10 no prefieren ninguno F Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 8/19

9 Ahora estamos preparados para responder las preguntas. 1 Cuántos estudiantes prefieren únicamente facebook? Respuesta: 35 Cuántos estudiantes prefieren únicamente twitter? Respuesta: 40 3 Cuántos estudiantes usan al menos uno de los dos? Respuesta: = 95 4 Cuántos estudiantes fueron encuestados? Respuesta: 105 F Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 9/19

10 Ejemplo Recientemente los estudiantes del colegio están empleando el uso de tecnología para complementar su aprendizaje. Se realizó una encuesta sobre el tipo de aparato tecnológico que prefieren, los resultados fueron los siguientes : 60 prefieren laptop, 5 prefieren tablet, 10 prefieren smartphone, prefieren los tres aparatos, 10 prefieren laptop y tablet, 4 prefieren tablet y smartphone, 4 ninguno, 70 no prefieren smartphone. Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 10/19

11 Preguntas: 1 Cuántos estudiantes prefieren únicamente laptop? Cuántos estudiantes prefieren únicamente smartphone? 3 Cuántos estudiantes prefieren laptop y smartphone? 4 Cuántos estudiantes prefieren al menos un aparato? 5 Cuántos estudiantes prefieren a lo más un aparato? 6 Cuántos estudiantes fueron encuestados? Solución: Paso 1 Reconocer quienes y cuántos son los conjuntos La encuesta es acerca de las preferencias de uso de aparatos tecnológicos, los cuales son laptop, tablet y smartphone; por lo que tenemos tres conjuntos. Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 11/19

12 Sean los conjuntos: L = el conjunto de estudiantes que prefieren laptop. = el conjunto de estudiantes que prefieren tablet. S = el conjunto de estudiantes que prefieren smartphone. Paso Identificar la cardinalidad de los conjuntos De los datos del problema tenemos: card(l) = 60 card( ) = 5 card(s) = 10 card(l S) = card(l ) = 10 card( S) = 4 card(l S) = 4 card(s) = 70 Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 1/19

13 Paso 3 bicar los números cardinales en el diagrama de Venn. Estrategia: Intersección de tres card(l S) = Intersecciones de dos card(l ) = 10. enemos elementos, entonces nos hace falta 8 elementos para completar los 10. L 8 S Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 13/19

14 L card( S) = 4. enemos elementos, entonces nos hace falta elementos para completar los 4. De L S no tenemos información. 8 S Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 14/19

15 Llamemos x al espacio que falta en la intersección L S: L x 8 S Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 15/19

16 Si card( ) = 5, entonces el espacio que falta debe ser 13. Si card(l) = 60, entonces el espacio que falta es 60 (8 + + x) = 50 x Si card(s) = 10, entonces el espacio que falta es 10 ( + + x) = 6 x card(l S) = 4 L 50 x x 8 6 x 4 S 13 Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 16/19

17 L Como nos falta usar card(s) = 70, tenemos: 70 = 4 + (50 x) resolviendo x = 5 50 x x x 4 S Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 17/19

18 Finalmente tenemos: L S Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 18/19

19 1 Cuántos estudiantes prefieren únicamente laptop? Respuesta: 45 Cuántos estudiantes prefieren únicamente smartphone? Respuesta: 1 3 Cuántos estudiantes prefieren laptop y smartphone? Respuesta: 5 + = 7 4 Cuántos estudiantes prefieren al menos un aparato? Respuesta: =76 5 Cuántos estudiantes prefieren a lo más un aparato? Respuesta: =63 6 Cuántos estudiantes fueron encuestados? Respuesta: 80 Ysela Ochoa apia Conceptos Básicos de eoría de Conjuntos 19/19