Matemáticas Discretas TC1003

Transcripción

1 Matemáticas Discretas TC1003 en FOL Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM en FOL Matemáticas Discretas - p. 1/23

2 En esta lectura veremos principalmente cómo se construyen argumentos válidos en Lógica de Primer Orden. Como en Cálculo Proposicional, seguiremos el método de Deducción Natural utilizando equivalencias y reglas de inferencia. Las equivalencias y reglas de inferencias vistas anteriormente seguirán siendo válidas y a ellas sumaremos algunas otras. Cuando no es posible construir un argumento válido para un conjunto de premisas y una conclusión, puede ocurrir que la conclusión no se deduzca de las hipótesis, para probar esto una alternativa aunque poco viable es la de construir una interpretación donde las hipótesis y la conclusión formen un argumento inválido. El concepto de interpretación se incluye en esta sección. 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 2/23

3 Universal Regla de Inferencia Universal x D, P(x) Q(x) P(a) para una a particular Q(a) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 3/23

4 Ejemplo Considere el siguiente razonamiento: 1. Para todo número entero, si su cuadrado es par entonces el número es par. 2. k es un número entero cuyo cuadrado es par. 3. k es par. 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 4/23

5 Ejemplo Considere el siguiente razonamiento: 1. Para todo triángulo con longitudes de lados a, b y c, si c 2 = a 2 + b 2 entonces triángulo es rectángulo con hipotenusa c. 2. El triángulo DEF cumple d 2 = e 2 + f El triángulo DEF es rectángulo con hipotenusa d. 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 5/23

6 Universal Regla de Inferencia Universal x D, P(x) Q(x) Q(a) para una a particular P(a) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 6/23

7 Ejemplo Considere el siguiente razonamiento: 1. Todos los humanos son mortales. 2. Zeus no es mortal. 3. Zeus no es humano. 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 7/23

8 Ejemplo Considere el siguiente razonamiento: 1. Todas las personas normales tienen miedo a la muerte. 2. Rambo no tiene miedo a la muerte. 3. Rambo no es una persona normal. 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 8/23

9 Ejemplo Para el siguiente razonamiento indique su descripción: 1. Ningún coche bueno es barato. 2. Turtle Shell no es un coche barato. 3. Por lo tanto, Turtle Shell es un buen coche. A Razonamiento inválido: error de la recíproca. B C D Razonamiento inválido: error de la inversa. Razonamiento válido por modus tollens universal. Razonamiento válido por modus ponens universal. 1. coche, Bueno(coche) Barato(coche) 2. Barato(TurtleShell) 3. Bueno(TurtleShell) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 9/23

10 Ejemplo Para el siguiente razonamiento indique su descripción: 1. Ningún estudiante dedicada reprueba Discretas. 2. Rosana no reprobó Discretas. 3. Por lo tanto, Rosana es una estudiante dedicada. A Razonamiento válido por modus tollens universal. B Razonamiento inválido: error de la inversa. C Razonamiento inválido: error de la recíproca. D Razonamiento válido por modus ponens universal. 1. estudiante, Dedicada(estudiante) Reprueba(estudiante) 2. Reprobo(Rosana) 3. Dedicada(Rosana) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 10/23

11 Ejemplo Para el siguiente razonamiento indique su descripción: 1. Si una serie i=1 a i converge entonces el término i-ésimo a i tiende a La serie i=1 b i no converge. 3. Por lo tanto, su término i-ésimo b i no tiende a cero. A B C D Razonamiento inválido: error de la recíproca. Razonamiento válido por modus tollens universal. Razonamiento inválido: error de la inversa. Razonamiento válido por modus ponens universal. 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 11/23

12 Universal Regla de Inferencia de Universal x D, P(x) P(a) para cualquier a en el dominio D 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 12/23

13 Existencial Regla de Inferencia de Existencial P(a) para un a en el dominio D x D, P(x) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 13/23

14 Regla de Inferencia de Universal P(t) para t cualquiera en el dominio D x D, P(x) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 14/23

15 Para la interpretación: D={a, b, c} R P Q a F T T b T F T c T F T Indique cuáles de las siguientes FBFs son válidas: 1. ( x, R(x)) ( x, P(x)) ( x, (R(x) P(x))) 2. ( x, P(x)) ( x, P(x)) ( x, (R(x) P(x))) 3. ( x, Q(x)) ( x, Q(x)) 4. ( x, (R(x) P(x))) ( x, R(x)) ( x, P(x)) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 15/23

16 Válidos en FOL Definición Un argumento válido en FOL es un argumento que es válido para cualquier interpretación posible. 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 16/23

17 Ejemplo En el siguiente argumento válido indique en orden las opciones que lo completan: P 1 : x, (P(x) Q(x) R(x)) P 2 : Q(a) P 3 : R(a) C: P(a) 1. Q(a) R(a) Q(a) R(a) 4. De Morgan en 3 5. hipótesis 1 6. P(a).... modus tollens universal con 5 y en FOL Matemáticas Discretas - p. 17/23

18 0 Ejemplo Elabore un argumento donde se demuestre que la conclusión se deduce de la hipótesis: H 1 : S (a) H 2 : x ((S (x) R(x)) Q(x)) H 3 : x (S (x) R(x)) C: Q(a) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 18/23

19 1 Elabore un argumento donde se demuestre que la conclusión se deduce de la hipótesis: H 1 : Q(a) H 2 : x (S (x) Q(x)) H 3 : S (a) R(a) C: R(a) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 19/23

20 de una Consideremos la afirmación: x D, (P(x) Q(x)) Su contrapositiva es x D, ( Q(x) P(x)) Su recíproca es x D, (Q(x) P(x)) Su inversa es x D, ( P(x) Q(x)) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 20/23

21 Implicación y Como en Cálculo Proposicional: La implicación y su contrapositiva son lógicamente equivalentes: Si una es verdadera la otra también. 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 21/23

22 Ojo con los textos x, r(x) es una condición suficiente para s(x) significa: x, r(x) s(x) x, r(x) es una condición necesaria para s(x) significa: x, s(x) r(x) x, r(x) sólo si s(x) significa: x, s(x) r(x) 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 22/23

23 Temas Vistos Universal Universal Deducción Natural en Lógica de Predicados Concepto de Interpretación 0 1 en FOL Matemáticas Discretas - p. 23/23