Matemáticas Financieras en Mercados Incompletos Sesión 4: Valoración de Derivados Mercados Incompletos

Transcripción

1 Matemáticas Aplicadas Módulo II Matemáticas Financieras en Sesión 4: Valoración de Derivados Diego Jara Introducción al Modelos Financieros para Valoración de Derivados en el Sector Eléctrico con Aplicaciones al Caso Colombiano Febrero 2012

2 VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Ejemplos y Motivación Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad Desarrollo Teórico Esquemas de Valoración de derivados en mercados incompletos

3 VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Ejemplos y Motivación Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad Desarrollo Teórico Esquemas de Valoración de derivados en mercados incompletos

4 Preámbulo Teórico Una advertencia para cualquier creador de mercados en derivados y administradores de sus riesgos: Enthusiasm for methods of hedging and valuation of derivatives in complete markets, and for associated methods of computation, seems often to obscure the fact that these techniques do not provide a general theory of valuation and that they are liable to give at best only imprecise results when applied beyond their proper domain. Foldes (2000)

5 Preámbulo Teórico Recordemos el modelo binomial de un periodo: El precio de un derivado se obtiene Encontrando valor esperado* del precio final Descontando ese promedio a valor presente El valor esperado se encuentra con q* = (e rt -e dt ) / (e ut -e dt ) q* probabilidad de neutralidad al riesgo Nota: q* es una probabilidad (entre 0 y 1) si y solo si d r u (en otras palabras, la probabilidad existe si y solo si no hay arbitraje) En este modelo había dos ecuaciones y dos incógnitas; en general hay solución hay forma de replicar cualquier derivado Ecuaciones: igualdad de valores en el estado de arriba (1) y abajo (2) Incógnitas: número de bonos y número de acciones

6 Un Periodo Recordemos el ejemplo de la opción call: Precio Acción: S(0) = 80; Strike: K = 100; Expiración: T = 1 Tasás cero cupón compuestas continuamente: r = 10% 80 S(T) 90% C E (t=t) 20 C E 90% 10% 10% t=0 t=t t=0 t=t Solución por replicación: x número de acciones, y número de T-bonos Replicación: ( arriba ) 120x + 100y = 20 ( abajo ) 60x + 100y = 0 x = 0.333, y = -0.2 Valor inicial portafolio: 80x + 100e -rt y = C E =

7 Un Periodo Solución alternativa: encontrar la probabilidad q* que hace de e -rt S una martingala: 80 S(T) q* q* t=0 t=t Usando esta probabilidad para valorar, E*[S(T)] = q*120 + (1-q*)60 =e rt S(0) q* = 47.35% C E = e -rt (q*20 + (1-q*)0))= 8.57

8 Un Periodo Ampliemos el modelo para usar tres estados: S(T) Tomemos la misma opción call : Strike: K = 100 Expiración: T = 1 Tasás cero cupón compuestas continuamente: r = 10% Mantengamos la idea que funcionó antes: replicar el pago final?? CE

9 Un Periodo x: número de acciones y: número de T-bonos (cero cupón, con principal i 100, madurez T) en el portafolio Se quiere ( arriba ) 120x + 100y = 20 ( centro ) 90x + 100y = 0 ( abajo ) 60x + 100y = 0 No hay solución: no existe portafolio que replique el derivado La intención es buscar alternativas at as de valoración ac (aunque se mantenga la intención de tratar de replicar lo mejor que se pueda) Nota: se debe tener claro para qué se quiere valoración. Si es para crear un mercado para un cliente, el proceso puede ser distinto de lo que se usaría para administrar el riesgo, o marcar los libros

10 Un Periodo Por ejemplo, se podría intentar superreplicación: armar portafolios 1.5 que tengan flujos de caja mayores o iguales que los del derivado 1 Sigamos con el ejemplo anterior; primero supongamos que nos piden un precio de venta del derivado 0.5 x: número de acciones 0 y: número de T-bonos (cero cupón, con principal 100, madurez T) Se quiere minimizar el valor inicial del portafolio (80x + 100e -rt -0.5 y) sujeto a obtener por lo menos la plata necesaria para cubrir el derivado en cada estado: ( arriba ) 120x + 100y 20 ( centro ) 90x + 100y 0 ( abajo ) 60x + 100y 0 y Supercobertura de una posición corta en el derivado "arriba" "centro" "abajo" Solución: x = 0.333, y = -0.2 Valor Inicial Portafolio = 8.57 Coincide con solución en el ejemplo binomial original -1 x

11 Un Periodo Pero si piden un precio de 1 compra, el análisis cambia 0.8 totalmente Se quiere minimizar el valor 0.2 inicial del portafolio (80x + 100e -rt 0 y) sujeto a obtener -0.2 por lo menos la plata -0.4 necesaria para cubrir el "arriba" -0.6 "centro" derivado en cada estado: "abajo" -0.8 y Supercobertura de una posición larga en el derivado ( arriba ) 120x + 100y x ( centro ) 90x + 100y 0 ( abajo ) 60x + 100y 0 Solución: x = 0.0, y = 0.0 Valor Inicial Portafolio = 0

12 Un Periodo Solución : Precio de compra máximo es $0 Precio de venta mínimo es $8.57 Estos son precios de no arbitraje: si se compra el derivado máximo en $0, o se vende mínimo en $8.57, entonces se tiene perfectamente cubierto cada flujo de caja del derivado, y en algunos casos se superreplica estrictamente (se gana plata) Pero no es práctico pensar en no pagar más de $0 por un derivado que nunca pierde, y a veces gana 0?? CE

13 Un Periodo Solución dual: encontrar probabilidades que hacen de e -rt S una martingala p1 + p2+ p3 = 1 p1 > 0, p2 > 0, p3 > 0 120p1 + 90p2 + 60p3 = 80e rt 80 S(T) p1 p2 p3 Hay muchas soluciones: cualquier conjunto {p1,p2,p3) que cumpla p1 (0, 47.35%) p2 = 94.71% 2p1 p3 = 5.29% + p1 No hay solución única. Idea: definir precios de compra y venta según este conjunto de probabilidades C E Compra = inf p1 E p1 [e -rt V(T)] = 0 (se da con p1 0%) C E Venta = sup p1 E p1 [e -rt V(T)] = 8.57 (se da con p %) Resultados coinciden con superreplicación

14 Un Periodo Solución diferente: minimizar el error de cobertura 80 S(T) p1 p2 p p1 > 0, p2 > 0, p3 > 0 dados p1 + p2+ p3 = 1 Resolver min x y Solución ( ): Para p1=p2=p3,?? E 2 S ( T ) x 100y C ( ) ], [ T 2 p1( p2 p3) x 2 3[(12 p1 5 p2 4) (2 p1 p2 2) ] p 1 y 15(2 p1 p2 2) x x = 0.333, y = (muy cercano al modelo binomial inicial) V 0 = 5.55 (sin distinguir si se compra o se vende!) arriba y abajo : déficit por $3.33; centro : superávit por $6.67 CE p1 p2 p

15 Un Periodo Otra solución diferente: maximizar la utilidad del inversionistai i aunque esto parece volver al esquema económico de valoración: se requiere fundamentalmente la probabilidad física y la estructura de la función de utilidad, d ninguna de las cuales se obtiene directamente del mercado Ejemplo: u(x) = 1-e -x tomemos =0.1, que corresponde a indiferencia entre una lotería de $0 o $10 con 50% c/u, o $3.8 con certeza p1 = p2 = p3 También se necesita una riqueza inicial (con la cual se busca cubrir el derivado min c max [ u ( S ( T ) x B ( T ) y D ( T x, y Problema a resolver: S x B 0 0 y c ))] u (0)

16 Un Periodo Solución cuando se vende el derivado: C E = $3.63, con lo cual se construye el portafolio x = 0.47 y = Si hubiéramos comprado el lderivado, d C E = -$3.47, con lo cual se construye el portafolio x = y = Sensibilidad a parámetros: Tomando p1=0.5,,p2=p3=0.25: p C E Venta = $2.63 C E Compra = -$5.66 Precios cruzados! Tomando = 1 (indiferencia entre la lotería y $0.69), se llegaría a C E Venta = $6.20 C E Compra = -$0.46 p

17 Un Periodo Otra solución diferente: completar el mercado En general no se puede, pero hay ocasiones en que el mercado lo permite Idea: incluir otro instrumento que sea transable en el mercado Volvemos al ejemplo de nuestra acción en el modelo trinomial; queremos valorar una opción específica (call, strike 100) Supongamos que otra opción call (Strike 80) es transable y vale $ CE REPLICACION x: número de acciones,,y y: número de T-bonos, z: número de opciones_80 Se quiere ( arriba ) 120x + 100y + 40z = 20 ( centro ) 90x + 100y + 10z= 0 ( abajo ) 60x + 100y + 0z = 0 Solución: x=-0.333, y=0.2, z=1 Valor V l Opcion_100 = $3.66

18 VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Ejemplos y Motivación Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad Desarrollo Teórico Esquemas de Valoración de derivados en mercados incompletos

19 Fuentes de Incompletitud Recordemos la definición: Un mercado es incompleto si existen derivados d cuyos flujos de caja no pueden ser replicados con los productos transables en el mercado Transable: se puede compar y vender (ymantener posiciones por periodos de tiempo) y no existen restricciones para comprar y vender el producto La causa más fuerte de incompletitud es una situación en las que hay más fuentes de incertidumbre que fuentes de cobertura Este es el caso del ejemplo que acabamos de ver Tres estados del mundo ( fuentes de incertidumbre ) Dos fuentes de cobertura (acción y bono) Este es el caso en mercados de catástrofes, clima, variables económicas, etc. Este es el caso del mercado de electricidad (el subyacente no es transable y no puede usarse como fuente de cobertura)

20 Fuentes de Incompletitud Mercado de electricidad: existe un mercado Spot de electricidad, pero la electricidad no puede considerarse un activo transable Para efectos prácticos, no es posible tomar y mantener una posición larga en electricidad Spot Sí existen pilas para almacenar energía, pero a nivel financiero no es factible pensar en usar esto como una fuente de administración de riesgo En este sentido, no es distinto a otros mercados de commodities, donde almacenar un producto no es operativo para las entidades financieras Es aún menos posible tomar y mantener una posición corta en electricidad Spot Sin embargo, ante un mercado desarrollado de derivados, es posible tomar y mantener posiciones cortas y largas en electricidad Esto será un punto importante al tratar de valorar derivados Esto es lo que se usa en el mercado de petróleo, por ejemplo: se pueden mantener posiciones en el primer contrato de futuros, como si representara una posición en el subyacente spot Sin embargo, en Colombia (y en cierta medida, en el mundo) hasta ahora se está desarrollando este mercado

21 Fuentes de Incompletitud Saltos en el subyacente; en estos modelos (procesos de Levy), existen infinitas transformaciones de probabilidad que hacen que el precio descontado sea una martingala Se puede pensar en una estrategia de replicación, donde se exigiría tener acciones cuando la acción salta, la imposibilidad ibilid d de rebalanceo continuo vuelven incompleto el mercado Una situación similar se da en modelos con volatilidad estocástica

22 Fuentes de Incompletitud Fricciones de mercado 1: costos de transacción a veces se dice que el mercado es imperfecto (en vez de incompleto) Volvamos al ejemplo original en el modelo binomial S C E 20 C E 0 t=0 t=t t=0 t=t Supongamos que hay un costo fijo de $0.1 por cada transacción que se haga Una posición larga en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo precio inicial es $8.75 Una posición corta en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo precio inicial es -$8.39 Esta falta de unicidad en el precio es un consecuencia de la asimetría en la replicación; el problema se exacerba en múltiples periodos La replicación a los dos lados exige tener (o estar corto) acciones

23 Fuentes de Incompletitud Fricciones de mercado 2: restricciones de inversión a veces se dice que el mercado es imperfecto (en vez de incompleto) Por ejemplo, es razonable imponer restricciones para vender en corto el activo subyacente Esto traería asimetrías que evitarían llegar a un precio único Volvamos al ejemplo y supongamos que vender en corto la acción exige un encaje del 20% del valor inicial (encaje que genera 0% de rendimiento) i Una posición larga en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo precio inicial es $8.57 (caso original, que no requiere posiciones cortas) Una posición corta en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo precio inicial es -$8.06 (en este caso se requiere una posición corta en acciones, que tiene un costo de oportunidad) La replicación a los dos lados exige tener (o estar corto) acciones

24 VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Ejemplos y Motivación Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad Desarrollo Teórico Esquemas de Valoración de derivados en mercados incompletos

25 Preámbulo Teórico Marco Teórico, caso general Recordemos: el Valor de no arbitraje de un derivado consiste en: o o o o o Valor presente (descontado) del pago final Valor esperado de este valor presente El valor esperado se debe hacer bajo una medida d de probabilidad b d muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgo Bajo esta probabilidad, el valor esperado del retorno de (todos) los activos modelados es igual a la tasa libre de riesgo Esta fórmula es un teorema; hay una plataforma matemática detrás que permite llegar a esto Concepto usado: el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos básicos que repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio replicante) siempre existe? Es única?

26 Preámbulo Teórico Marco Teórico PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Existe una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitraje SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Existe una única probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos básicos)

27 Preámbulo Teórico Marco Teórico Versión alternativa del SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: T S( t) S1( t),, S ( t), t [0, T ] Modelo de Precios de N Activos n Primer activo: cuenta bancaria que crece a una tasa r Evolución de precios: σ dsn 1( t) n1( s) dt nm( s) dwm 1( t), S(0) S0 W es un movimiento Browniano bajo una probabilidad física P El mercado definido es completo si y solo si existe un único proceso adaptado m1 tal que σ ( t ) ( t ) ( t ) r ( t ) S ( t ) Esto no ocurre, por ejemplo, si hay más movimientos Brownianos que acciones (m>n)

28 Preámbulo Teórico Marco Teórico σ Si es único, tomamos el tal que ( t ) ( t ) ( t ) r ( t ) S ( t y cambiamos la medida física a una de valoración Q, donde: Ŵ = W + dt es un Movimiento Browniano. El proceso de la acción es ds ( t ) r ( t ) S ( t ) dt σ ( t ) dwˆ ( t ), S(0) Contrapartida: en un mercado incompleto existe más de un proceso tal que σ ( t ) ( t ) ( t ) r ( t ) S ( t ) Problema: cuál de todos usar para hacer el cambio de medida? S 0 )

29 Desarrollo Teórico Tomemos un proceso de una variable observable (por ejemplo, el precio Spot de la electricidad): id d) ds(t) = (t)s(t) dt + σ(t)s(t) dw(t) Adicionamos, como siempre, un bono : dp(t) = r(t)p(t) dt Se consideran dos derivados definidos sobre S que en el tiempo T pagan según funciones bien definidas Llamamos i el precio de estos derivados (i=1,2) i = i i( (t, S(t)) Observación: los derivados son instrumentos transables, pero el subyacente no

30 Desarrollo Teórico Lema de Itô: d = ( 2 2 t +S(t) S +½ S(t) SS )dt + S(t) S dw(t) = dt + dw(t) Recordemos en el caso de mercados completos: Replicación: Construimos un portafolio +1 unidad del derivado (hasta T, sin rebalancear) - S unidades de la acción (se debe rebalancear continuamente) Delta Evolución del valor del portafolio: V=(t) - S S(t) dv = - S ds + d Esta fórmula garantiza que no entra ni sale plata =( t +½ 2 S(t) 2 SS )dt Según la observación crucial, se debe tener t + ½ 2 S(t) () 2 SS = rv = r -r S S, o t + r S S+ ½ 2 S(t) 2 SS = r, (T, S(T)) = (S(T)) Ecuación de Black y Scholes No aparece en esta expresión

31 Desarrollo Teórico En el caso de mercados incompletos no se puede generar ese portafolio replicante (no se puede tomar la posición en el subyacente) pero usamos la misma estrategia: construimos un portafolio +1 unidad del derivado 1 (hasta T, sin rebalancear) - 1S / 2S unidades del derivado 2 (se debe rebalancear continuamente) [ignoramos casos en que el denominador es 0] Escribimos d i = i i dt + i i dw(t), i = ( it +S(t) is +½ 2 S(t) 2 iss ) / i i = S(t) is / i Evolución del valor del portafolio: V= 1-1S / 2S 2 dv = d 1 1S / 2S d 2 Esta fórmula garantiza que no entra ni sale plata = ( S/ 2S ) dt Según la observación crucial (un portafolio sin dw debe crecer a una tasa r) se debe tener S / 2S = rv = r( 1-1S / 2S 2 ), o [ 1 r] / 1 = [ 2 r] / 2 =, una invariante i entre derivados d

32 Desarrollo Teórico Es decir, para evitar arbitraje todos los derivados transables deben compartir el mismo precio de riesgo de mercado: [ r] / Con podemos valorar todos los derivados. Cómo? cambiamos la medida física a una de valoración Q, donde: Ŵ = W + dt es un movimiento i Browniano Luego d = r dt + S(t) S dŵ(t) y así G(t,x) = e -rt (t,x) es una martingala Los derivados d se valoran con la fórmula E Q [e -rt (S(T))] Problema: no se observa (ni se conoce) Solo se puede esperar derivar de procesos de estimación histórica (tíi (típicamente t es bastante t poco preciso este método), étd) o de observaciones en mercados de derivados líquidos Por ejemplo, si se observa el precio de un derivado, es teóricamente posible despejar, y de ahí poder valorar todos los demás derivados

33 Desarrollo Teórico Nota: ds = ( - σ)s dt + σsdŵ(t) Si se conoce, la ecuación de valoración de un derivado debe satisfacer [-] 2 2 t + S S + ½ S SS = r, (T, S(T)) = (S(T)) Aún si se conoce, tenemos que lidiar con : en contraste con el caso de mercados completos, aquí aparece en la función de valoración (ecuación BS) En el extremo, si tuviéramos uno de los derivados como un futuro con Strike 0, tendríamos [ r]/ =, y la cantidad dd- podría dí ser reemplazada arriba por r, eliminando la necesidad de conocer y (la medida de valoración quedaría unívocamente determinada, y de hecho h se podría arrancar por la medida de valoración

34 VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Ejemplos y Motivación Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad Desarrollo Teórico Esquemas de Valoración de derivados en mercados incompletos

35 Esquemas de valoración Hay varias posibilidades Ninguna es claramente superior a las demás No hay respuesta correcta ni única, ni la transparencia que se tenía en mercados completos Ajustar metodología al mercado analizado 1. Calibración del precio de riesgo de mercado 2. Superreplicación 3. Maximización de utilidad ldd esperada de la riqueza final 4. Minimización de una medida del error de replicación 5. Cálculo de máximo riesgo aceptable ( Risk Measure Pricing ) Nota: del esquema de valoración se desprende la estrategia de gestión de riesgo

36 Esquemas de valoración Calibración del precio de riesgo de mercado Ventajas: Se determina de forma única la medida de valoración Se reduce el mercado al caso completo Se valoran derivados no observables de forma consistente y libre de arbitraje Desventajas: Necesidad idd de observación dl del precio dl del riesgo (b (observación de derivados líquidos, por ejemplo) Posible inconsistencia entre precios observados necesidad de establecer una forma parámetrica para minimizar un error de calibración Necesidad de establecer el drift para procesos observables pero no transables reto estadístico de proyección a futuro

37 Esquemas de valoración Superreplicación Ventajas: Muy sencillo computacionalmente Se cubre totalmente el riesgo Desventajas: No sirve de mucho: amplitud de bid-ask lo hace impráctico Ejemplo: o Variable observable pero no transable X = W o Tasas de interés r 0 o Derivado: paga $1 si X(T) > 0 y $0 en caso contrario o Intuición: precio debería ser alrededor de $0.50 o Para cualquier proceso, Ŵ = W + dt es un MB bajo una prob Q, que es una medida equivalente de martingala o Valoración en esta medida: d V Q 0Q = E Q [(X(T))] = P Q [Ŵ Ŵ dt] = N(- dt) o Superreplicación: Precio de compra = inf Q V Q 0 = 0 Precio de venta= sup Q V Q 0 = 1. No dice mucho; en cada caso la administración iit ió dl del riesgo es tiil trivial

38 Esquemas de valoración Maximización de Utilidad Esperada Ventajas: Clara justificación económica Consistencia con teoría de selección de portafolios Desventajas: entajas Inputs no son dados por el mercado; notoriamente: Preferencias Distribución de variables (es decir, la medida física ) Endowment inicial esto aparece en realidad como un output en la valoración Necesidad de determinar una forma para la función de utilidad y de calibrarla En general, se debe resolver numéricamente mediante simulaciones Unfortunately, the maximization is notoriously sensitive to these inputs, whose formulation is suspect at the outset. This shortcoming renders the methodology potentially useless (Carr et al. 2001)

39 Esquemas de valoración Maximización de Utilidad Esperada Seguimos con el ejemplo anterior: Variable observable X = W Ahora X se puede transar, pero solo en t=0 y t=t Tasas de interés r 0 Derivado: (X) = $1 si X(T) > 0 y $0 en caso contrario (usemos T=1) Endowment $v Portafolio inicial: +1 unidad del derivado, unidades de X, y lo que esté en plata, invertirlo en el bono Función de utilidad para una riqueza w: u(w) = -(w-2) 2 Problema1: maximizar E[u(w)] = E[-(v+X+(X)-2) 2 ] Solución: = (independiente de y v) Utilidad esperada con ese : E[u(w)] = -(v 2-3v-1.66) Problema 2: encontrar el v mínimo que hace que esto sea preferible a no hacer nada u(0) = - 4 Solución: v = (independiente de!) Luego yo no compraría el derivado si tuviera que pagar más de $0.477 Para vender el derivado, d se debería recibir al menos $0.692

40 Esquemas de valoración Minimización de una medida del error de replicación Ventajas: Cercano a la intuición de gestión de tracking error Sencillo de formular matemáticamente Desventajas: Inputs no son dados por el mercado; notoriamente: Medida del error (aunque hay consenso en usar error cuadrático promedio) Distribución de variables (es decir, la medida física ) Necesidad de determinar una forma para la función de utilidad y de calibrarla En el ejemplo anterior, la solución sería: v = -0.5 (es decir, el valor del derivado debe ser $0.5, independiente de punto de vista de compra o venta) = (es el delta para cubrir el derivado) (Error cuadrático promedio) mínimo: $0.301

41 Esquemas de valoración Cálculo de máximo riesgo aceptable Optimo entre un conjunto de medidas de valoración aceptables (entre las medidas equivalentes de martingala) Es una superreplicación en un conjunto reducido de medidas Descripción Precios derivado = (inf QD E Q [e - rdt (S)], sup Q DE Q [e - rdt (S)]) D es un conjunto de medidas equivalentes de martingala Si se toma D como todo el conjunto, se vuelve a superreplicación Miremos un ejemplo de formulación ( Risk-Measure Pii Pricing de Xu) Medida coherente de riesgo (ADEH) es una función : {Variables Aleatorias ( pérdidas )} Indica cuánta plata debe adicionarse al portafolio para que sea admisible Cumple o Subaditividad: (X+Y) (X) + ( Y) o Homogeneidad: (X) = (X) ( 0) o Monotonicidad: X Y (X) ( Y) o Invarianza: (X+ ) = (X) +

42 Esquemas de valoración Cálculo de máximo riesgo aceptable Para un trader con medida de riesgo, pasivo inicial L, a quien se le da un capital x para administrar una posición nueva (un derivado), se define x (L) = inf WY(x) (L-W), donde Y(x) es el conjunto de posibles riquezas finales, si se comienza con x: t Y ( x) X X t x ds, 0 Generalmente solo se toman estrategias que no generan pérdidas estrategia autofinanciada ilimitadas Valoración de un derivado H se basa en no aumentar el riesgo del portafolio del trader: Precio de compra: sup{x: -x (L-H) (L)} } Precio de venta: inf {x: x (L+H) (L)} Si se tiene una función de utilidad, se puede definir una medida de riesgo para hacer los dos esquemas equivalentes: (L) ) = -E[U(-L)]

43 Esquemas de valoración Cálculo de máximo riesgo aceptable Ventajas: Toma el concepto de superreplicación, sin ser tan drástico (por lo que puede ser útil) Intuitivamente razonable Desventajas: Se debe determinar el conjunto de medidas aceptables esto suele ser arbitrario Alternativamente se debe determinar una medida de riesgo coherente para la administración del portafolio Optimización puede requerir análisis numérico

44 Opciones FIN