SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1

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1 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA.- Calcular los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f ( ) D(f) (Por ser polinómica) ; Posibles máimos o mínimos 6 () (+) Mínimo (, f()) (, -) (-) (-) Máimo (-, f(-) ) (-, ) b) f ( ) 9 D(f) (Por ser polinómica) ; ó Posibles máimos o mínimos. () 6 (+) Mínimo (, f()) (, ) - 8 () - 6 (-) Máimo (, f()) (, ).- Calcular las asíntotas de las funciones siguientes: a) f ) a ) A.V. : (Posibles asíntota verticales) 8 Indeterminado ; es asíntota vertical - ; es asíntota vertical ( a) A.H.: A.H. Posiciones de la curva respecto a la asíntota horizontal: 8 8 ( ) La curva se aproima por encima de la asíntota horizontal. Punto de corte de la curva la asíntota horizontal: 8-8 no ha P. de corte b) a) A.O.: m + n m No ha A.O. ( es A.H.) f ( ) 8 b ) A.V.: + 8 ( + ) ó - (Posibles A.V.) indet no es A.V

2 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA ; 8 Indeterminado 8 Es asíntota vertical b ) A.H.: No ha A.H. 8 b ) A.O.: m + n m 8,5 8 n,5 - - A.O. 8 8 Punto de corte de la curva la asíntota oblicua: D(f) no ha P. de corte c) f ( ) c) A.V. : - (Posible asíntota vertical) Indeterminado ; Es asíntota vertical c ) A.H.: No ha A.H. c ) A.O.: m + n m n + A.O. Punto de corte de la curva la asíntota oblicua: + - no ha P. de corte +.- Representar gráficamente las siguientes funciones: b) f ( ).- Dominio: D(f) R

3 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA.- Simetría: f(-) (-) (-) + f ( ) Eje Y f() Simétrica respecto al.- Puntos de corte con los ejes: a) Con el Eje X: f ( ) (Cambio t) t t + no ha solución no ha puntos de corte con el eje X. b) Con el Eje Y: f() + P(, )..- Asíntotas: a) A.V: D(f) R No ha A.V. b) A.H.: c) A.O.: m + n no ha A.H. m no ha A.O. 5.- Intervalos de Crecimiento de Decrecimiento. Máimos mínimos. ; ( ) ; - ó Posibles máimos ó mínimos. Int. Crec.:(-,)(,+); Int. Decrec.: (-,-)(,) Máimo: (,f())(, ); Mínimos: (-,f(-)) (-, ) (,f()) (, ) 6.- Intervalos de Concavidad conveidad. Puntos de Infleión: ; Int. Concav.: (-,- 58)( 58,+) ; Int. Conve.: (- 58, 58), P.I. : (- 58,f(- 58)) (- 58, ) ; ( 58,f( 58)) ( 58, ),,58 Posibles P.I. 7.- Regiones: no ha solución f() es positiva en (-, +) f()^-*^

4 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA b) f ( ).- Dominio: D(f) R {}.- Simetría: f(-) - f() Es simétrica respecto al Origen.- Puntos de corte con los ejes: a) Con el Eje X: + No ha P. de corte b) Con el Eje Y: f ( ) No ha P. de corte.- Asíntotas: a) A.V: Posible A.V.; Indeterminado ; Es asíntota vertical b) A.H.: No ha A.H. c) A.O.: m + n; m n A.O. 5.- Intervalos de Crecimiento de Decrecimiento. Máimos mínimos. - Int. Crec.: (-,-)(,+), Máimo: (-,f(-))(-, -); ; Posibles Máimos ó Mínimos. Int. Decrec.:(-,)-{}, Mínimo:(,f())(,) 6.- Intervalos de Concavidad conveidad. Puntos de Infleión: No ha solución no ha P.I. Int. Concav.: (,+) ; Int. Conve.: (-,) 7.- Regiones: No Ha soluc. f() es positiva en (,+) es negativa en (-. ) f()(*^+)/ f()*

5 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 5 c) f ( ).- Dominio: + - no ha solución D(f) R.- Simetría: f(-) f ( ) Es simétrica respecto al Origen.- Puntos de corte con los ejes: a) Con el Eje X: P(,) b) Con el Eje Y: f() / P(,.- Asíntotas: a) A.V: + No ha asíntota vertical b) A.H.: A.H. c) A.O.: m + n; m No ha A.O. 5.- Intervalos de Crecimiento de Decrecimiento. Máimos mínimos ; 6 Posibles Máimos ó Mínimos Int. Crec.: (-, ); Int. Decrec.: (-, -) (,+) Máimo: (, f()) (, ); Mínimo: (-, f(-)) (-, -) 6.- Intervalos de Concavidad conveidad. Puntos de Infleión: ;,6 Posibles P.I. Int. Concav.: (-,6, ) (,6,+) Int. Conve.: (-, - 6) (,,6) ; 96 8 ( ) f( ) /( ^ + ) P.I.: (, f()) (, ) (-,6, f(-,6)) (-,6, -,87) (,6, f(,6)) (,6,,87) 7.- Regiones: f() es positiva en (,+) es negativa en (-. )

6 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 6 d) f ( ).- Dominio: ( ) D(f) R {}.- Simetría: f(-) f() - f() No es simétrica respecto al eje Y ni es simétrica respecto al Origen..- Puntos de corte con los ejes: a) Con el Eje X: - P(,) b) Con el Eje Y: f() /(-) P(,).- Asíntotas: a) A.V: Posible A.V.; Indeterminado b) A.H.: ; Es asíntota vertical No ha A.H. c) A.O.: m + n; m n - A.O. 5.- Intervalos de Crecimiento de Decrecimiento. Máimos mínimos. (- + ) ó Posibles Máimos ó Mínimos Int. Crec.: (, ) Int. Decrec.: (-, ) (, +); Maimo: (, f()) (, -6 75) Mínimo: no tiene 6.- Intervalos de Concavidad conveidad. Puntos de Infleión: Posible P.I. Int. Concav.: (-, ); Int. Conve.: (, ) (, +); P.I. (,f()) (,) 7.- Regiones: f() es positiva en (-. ) es negativa en (,) (,+) 6 ; ; f()-^/(-)^ f()

7 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 f ( ).- Dominio: D(f) R {}.- Simetría: f(-) f ( ) Es simétrica respecto al Origen.- Puntos de corte con los ejes: a) Con el Eje X: P(, ). b) Con el Eje Y: f() P(, )..- Asíntotas: a) A.V: Posibles A.V.; Indeterminado ; es asíntota vertical - ; es asíntota vertical b) A.H.: es A.H. c) A.O.: no ha a que eiste A.H. 5.- Intervalos de Crecimiento de Decrecimiento. Máimos mínimos. ; - no ha ni Máimos ni Mínimos Int. Crec.:no ha; Int. Decrec.: R {} Intervalos de Concavidad conveidad. Puntos de Infleión: ( + 6) posible P.I. f()/(^-) Int. Concav.: (-,) (,+); Int. Conve.: (-, -) (,) P.I. (, f()) (, ) 7.- Regiones: f() es positiva en (-,) (,+) es negativa en (-.-) (,)

8 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 8 f) f ( ).- Dominio: + - No tiene solución D(f) R.- Simetría: f(-) f ( ) Es simétrica respecto al Eje Y.- Puntos de corte con los ejes: a) Con el Eje X: P(, ). b) Con el Eje Y: f() P(, )..- Asíntotas: a) A.V: no ha A.V. a que D(f) R b) A.H.: es A.H. c) A.O.: no ha a que eiste A.H. 5.- Intervalos de Crecimiento de Decrecimiento. Máimos mínimos. ; Posible Máimo ó Mínimo Int. Crec.: (,+); Int. Decrec.: (-, ); Mínimo: (,f()) (,); Máimo: no tiene 6.- Intervalos de Concavidad conveidad. Puntos de Infleión: 58 Posibles P.I. Int. Concav.: (- 58, 58) Int. Conve.: (-,- 58)( 58,+) 6 6 ; -6 + f()^/(^+) f() P.I. : (- 58,f(- 58)) (- 58, 5) ; ( 58,f( 58)) ( 58, 5), Regiones: no ha sol. f() es positiva en siempre. - -

9 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 9.- Hallar los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, concavidad conveidad, máimos, mínimos puntos de infleión, de las siguientes funciones: a) f ( ) e D(f) e e - + ( ) e - (-) e - ( + ) e - ( ); e - ( ) e - > Posible má. ó mín Intervalo de crecimiento: ( -, ) Máimo: (, ) Intervalo de decrecimiento: (, +) e - (-) ( ) + e - (-) e - ( 5); e - ( 5) 5 5 Posible P.I e - > - + Intervalo de concavidad: (5,+) P.I.:(5, ) Intervalo de conveidad: ( -, 5) b) Ln f ( ) D(f) (,+) Ln Ln Ln ; - Ln Ln e Ln e e e Posible má. ó mín. e Intervalo de crecimiento: (, e) Máimo (e, /e) Intervalo de decrecimiento: (e,+) ln ln Ln Ln Ln - + Ln Ln 5 e Ln e 5 8 Posible P.I Intervalo de concavidad: ( 8,+) P.I.: ( 8, ) Intervalo de conveidad: (, 8) c) f ( ) Ln9 9 > ; 9 no no - D(f) (-, ) ; 9 - Posible máimo ó mínimo 9

10 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA Intervalo de crecimiento: (-, ) Máimo (, ) Intervalo de decrecimiento: (, ) no ha P.I. - Intervalo de conveidad: (-, ) d) f() + sen en [,] ; D(f) R D(f)/[, ] [, ] + cos ; + cos cos - Posibles Má. ó mín. Intervalo de crecimiento: [, ] + + Intervalo de decrecimiento: no tiene f() toma el valor máimo, en el intervalo [,], en el punto el valor mínimo en el punto : Máimo: (,); Mínimo: (,) - sen - sen, ó posibles P.I. - + Intervalo de concavidad: (, ) P.I. (, ) Intervalo de conveidad: (, ) 5.- Determinar a, b, c para que la curva a b c, Pasa por el punto (, ) tenga por puntos críticos dicho punto. Si + a + b + c 6 + a + b a) Pasa por (, ) f() + a + b + c a + b + c - () c) Punto crítico en f () f () 6 + a + b a + b - 6 () d) Punto crítico en f () f () + a + b a + b - () Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones () ( ): a b 6 a b 6 a - 8 a - 9 a b a b Sustituendo el valor de a en la ecuación () : b - 6 b Sustituendo los valores de a b en la ecuación () : c - c - Solución: a 9; b ; c -

11 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 6.- Determinar a, b, c para que la curva a b c, tenga un punto de infleión en la recta tangente a la gráfica de f() en ese punto sea. + a + b 6 + a a) Punto de infleión en f () 6 + a a - b) En la tangente es f () m + a + b 6 + b b 5 c ) En la tangente es - Pasa por el punto (, -) f() - + a + b + c c - c -. Solución: a - ; b 5; c Sabiendo que la derivada de una función f() tiene la siguiente gráfica: a) Intervalos de crecimiento decrecimiento etremos relativos de f(). Los puntos -, son posibles máimos ó mínimos, a que f (-) f () f (). Como el dominio de la función es R, tenemos: Intervalos de Crecimiento: (-, - ) (,) Intervalos de Crecimiento: (-, ) (, + ) Máimos: en - ; Mínimo en b) Qué ocurre a la función en en?. Razonar la respuesta. Los puntos son posibles P.I. de f() a que al ser máimos ó mínimos de f () f () f (). - + Decrec. Crec. Decrec. son Puntos de Infleión a que (-) (+) (-) cambia la curvatura en dichos puntos

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