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1 1. Encontrar el dominio de la función racional. h(x) x 2 3x 1 (x 2 4)(x x + 24) Para encontrar el dominio de una función racional debemos encontrar los valores de la variable que hacen cero el denominador. (x 2 4)(x x + 24) 0 ( x 2 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 8 ) 0, entonces tenemos que x 8 o x 3 o x 2 o x 2 Y Domf (, 8) ( 8, 3) ( 3, 2) ( 2, 2) (2, + ) 2. Encontrar los interceptos con x y y de la función racional. r(x) x2 3x 18 x 2 3 Para encontrar el intercepto con y, sustituimos x 0 en la función original: r(0) 02 3(0) El intercepto con y es (0, 6) Para encontrar el intercepto con x, sustituimos y r(x) 0 en la función original: 0 x2 3x 18 x 2 3 La expresión es cero cuando el numerador es cero. x 2 3x 18 0, factorizando (x 6)(x + 3) 0 entonces tenemos que x 6 o x 3 Los interceptos con x son ( 3, 0) y (6, 0). 3. Encontrar las asíntotas de la función racional. x2 3x 18 x 3 3 Para encontrar las asíontotas verticales necesitamos factorizar y simplificar la expresión racional. x 2 3x 18 x 3 3 (x 6)(x + 3) (x 3 3)(x x + 3 6) 1

2 El denominador es cero cuando x entonces tenemos una asíntota vertical en x 3 3. Como el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador la función tiene una asíntota horizontal en y Encontrar las asíntotas de la función racional. (x2 1)(9x 2 + 1) 16x 4 1 Para encontrar las asíontotas verticales necesitamos factorizar y simplificar la expresión racional. (x2 1)(9x 2 + 1) 16x 4 1 (x + 1)(x 1)(9x2 + 1) (4x 2 + 1)(4x 2 1) (x + 1)(x 1)(9x2 + 1) (4x 2 + 1)(2x + 1)(2x 1) El denominador es cero cuando 2x o 2x 1 0 entonces tenemos asíntotas verticales en x 1/2 y x 1/2. Para encontrar posibles asíntotas horizontales u oblícuas debemos expandir el numerador y el denominador. (x2 1)(9x 2 + 1) 16x 4 1 9x4 8x x 4 1 Como los grados del numerador y el denominador son iguales, la función tiene una asíntota horizontal en el cociente de los coeficientes principales del numerador y el denominador, en este caso y 9/16 5. Encontrar las asíntotas de la función racional. (x2 1)(x + 3)(x + 5) x 3 1 Para encontrar las asíontotas verticales necesitamos factorizar y simplificar la expresión racional. (x2 1)(x + 3)(x + 5) x (x 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) (x + 1)() (x 1)(x + 3)(x + 5) 2

3 Como el denominador, despueés de simplificar, no se hace cero para ningn valor de x la función no tiene asíntotas verticales. Para encontrar posibles asíntotas horizontales u oblícuas debemos expandir el numerador y el denominador. (x 1)(x + 3)(x + 5) (x2 + 2x 3)(x + 5) x3 + 7x 2 + 7x 15 Como el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador la función tiene una asíntota oblícua, para encontrarla hacemos división larga de la expresión x + 8 ) x 3 + 7x 2 + 7x 15 x 3 + x 2 x 8x 2 + 6x 15 8x 2 + 8x 8 Entonces la función la podemos reescribir como: x x 23 14x 23 De esta manera cuando x + tenemos que f(x) x + 8. Y la asíntota oblícua es y x + 8 x Haga un bosquejo de la grfica de (x 3)(x + 4). Para encontrar el dominio igualamos el denominador a cero: (x 3)(x + 4) 0, entonces x 4 o x 3 entonces Domf (, 4) ( 4, 3) (3, ) Como la expresión ya está factorizada y simplificada, las asíntotas verticales están en los puntos donde el denominador es cero. AV: x 4 y x 3 3

4 Como el grado del denominador es mayor que el grado del numerador la función tiene una asíntota horizontal en y 0. El intercepto con y lo encontramos al sustituir x 0, f(0) (0 3)(0 + 4) 1 12 Por lo tanto el intercepto con y es (0, 1/12) Los interceptos con x los encontramos sustituyendo y 0 y la expresión es cero cuando el numerador es cero. x entonces x 1 y hay un intercepto con x en ( 1, 0) Tabla de variación de signos: Factor x x x EXP Bosquejo de la gráfica 4

5 7. Haga un bosquejo de la grfica de 12(x2 + 13x + 42) (2x 3)(3x + 8). Para encontrar el dominio igualamos el denominador a cero: (2x 3)(3x + 8) 0, entonces x 8/3 o x 3/2 entonces Domf (, 8/3) ( 8/3, 3/2) (3/2, ) Para encontrar asíntotas factorizamos y simplificamos la expresión. 12(x x + 42) (2x 3)(3x + 8) (x + 6)(x + 7) (2x 3)(3x + 8) Una vez que la expresión ya está factorizada y simplificada, las asíntotas verticales están en los puntos donde el denominador es cero. AV: x 8/3 y x 3/2 Como el grado del denominador es igual al grado del numerador la función tiene una asíntota horizontal en el cociente de los coeficientes principales del numerador y el denominador. 12(x x + 42) (2x 3)(3x + 8) 12x x x 2 + 7x 24 Por lo tanto la asíntota horizontal está en y 12/6 2. El intercepto con y lo encontramos al sustituir x 0, El intercepto con y es (0, 21) f(0) 12( (0) + 42) (2(0) 3)(3(0) + 8) (12)(42) ( 3)(8) 21 Los interceptos con x los encontramos sustituyendo y 0 y la expresión es cero cuando el numerador es cero. 12(x + 6)(x + 7) 0 entonces x 7 y x 6 hay dos interceptos con x: en ( 7, 0) y en ( 6, 0) Tabla de variación de signos: Factor /3 3/2 x x x x EXP

6 Bosquejo de la gráfica 8. Haga un bosquejo de la grfica de x4 + 2x x(x 2 4). Para encontrar el dominio factorizamos el denominador y lo igualamos la cero: x(x 2 4) x(x 2)(x + 2) 0, entonces x 2 o x 0 o x 2 entonces Domf (, 2) ( 2, 0) (0, 2) (2, ) Para encontrar asíntotas factorizamos y simplificamos la expresión. x 4 + 2x x(x 2 4) (x 2 + 1) 2 x ( x 2 ) ( x + 2 ) Una vez que la expresión ya está factorizada y simplificada, las asíntotas verticales están en los puntos donde el denominador es cero. AV: x 2 y x 0 y y 2 Como el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador la función tiene una asíntota oblícua. La división larga de los polinomios es: Entonces podemos escribir la función como x4 + 2x x(x 2 4) x + 6x2 + 1 x 3 4x De esta manera cuando x + tenemos que f(x) x. Y la asíntota oblícua es y x 6

7 La función no tiene intercepto con y pues x 0 no está dentro del dominio de f. Los interceptos con x los encontramos sustituyendo y 0 y la expresión es cero cuando el numerador es cero. Pero, x 4 + 2x (x 2 + 1) 2 > 0 para toda x por lo tanto la función no tiene interceptos con x Tabla de variación de signos: Factor (x 2 + 1) x x x EXP Bosquejo de la gráfica 9. Construya la ecuación de una función racional con asíntotas verticales en x 3 y en x 2, y con asíntota horizontal en y 1. Para cumplir la condición de las asíntotas verticales necesitamos que el denominador de la función sea cero en x 3 y en x 2. Una función que cumple con es condición es: 1 (x + 3)(x 2) Además para que la función tenga una asíntota horizontal en y 1 el grado del numerador debe ser igual al grado del denominador y el cociente de sus coeficientes principales debe ser 1. Al expandir el denominador tenemos que (x+3)(x 2) x 2 +x 6 por lo tanto es un polinomio de grado 2 y coeficiente principal 1. Necesitamos entonces en 7

8 el numerador un polinomio de grado 2 y coeficiente principal 1. Una función que cumple esto es: x 2 (x + 3)(x 2) 10. Construya la ecuación de una función racional con dos asíntotas verticales en x 5 y en x 5, con una asíntota horizontal en y 0, con intercepto con el eje y en (0, 5) y dos interceptos con el eje x en ( 1, 0) y (1, 0). Para cumplir la condición de las asíntotas verticales necesitamos que el denominador de la función sea cero en x 5 y en x 5. Una función que cumple con es condición es: 1 (x + 5)(x 5) Para que la función tenga interceptos con el eje x en ( 1, 0) y (1, 0) los factores x + 1 y x 1 deben aparecer en el denominador. (x + 1)(x 1) (x + 5)(x 5) Ahora, para que la función tenga una asíntota horizontal en y 0 el grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador. Hasta ahora los grados del numerador y del denominador son iguales, para aumentar el grado del denominador sin agregar otra asíntota vertical podemos subir el exponente de alguno de los factores de él. (x + 1)(x 1) (x + 5)(x 5) 2 Para cumplir con la condición de intercepto con y en (0, 5) la función al ser evaluada en x 0 debe dar como resultado 5. Con la construcción hasta ahora tenemos que: (0 + 1)(0 1) f(0) (0 + 5)(0 5) Por lo tanto si queremos que nuestra función cumpla con f(0) 5 debemos multiplicar f por una constante k tal que k f(0) 5, esto es k 5/f(0) 5/( 1/125) 625 Por lo tanto la función que cumple con todos los requisitos es: 625(x + 1)(x 1) (x + 5)(x 5) 2 8

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