Funciones 1. Ejercicios básicos sobre funciones. José de Jesús Angel Angel.

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1 Funciones Ejercicios básicos sobre funciones José de Jesús Angel Angel MathCon c

2 Contenido. Introducción. Ejercicios

3 Introducción Los aspectos básicos a estudiar sobre funciones son:. Obtención del dominio natural.. Obtención de la imagen de conjuntos.. Obtención de la imagen inversa de conjuntos.. Verificar si la función es inyectiva.. Verificar si la función es sobre.. Obtención de la función inversa.

4 Ejercicios Observación: se suele llamar dominio natural de una función, al conjunto de números reales donde la regla de correspondencia esta definida en los reales. Se suele llamar contradominio natural, a la imagen del dominio natural, también llamado rango o recorrido. Ejercicio Estudiar la función: y = x + La función y = x +. El dominio natural de la función es el conjunto de los números reales R, ya que x + siempre da un número real y.. El rango, o imagen del dominio natural son todos los reales, ya que para todo real y R existe un x tal que f(x) = y = x +. y x

5 . Ejercicios y x Intersección con los ejes. Si x = 0, entonces y =, entonces la gráfica de la recta se intersecta (interseca, según RAE, Real Academia Española) con el eje y en (0, ).. Si 0 = x +, entonces x =, y la gráfica intersecta al eje x en (, 0). El punto donde la gráfica de la función intersecta al eje x se le llama raíz de la función. 7 y x Imagen e imagen inversa:. La imagen del intervalo [, ] es el intervalo [, 7].. La imagen inversa del intervalo [, 7] es el intervalo [, ]. 7 Inyectividad La función y = x+, es inyectiva (en R) si puntos x x tienen imagenes diferentes, ó si imagenes iguales provienen de puntos x s iguales. En nuestro caso, si y = y, entonces x + = x +, o sea x = x, y así x = x. Por lo tanto la función es inyectiva. Sobreyectividad La función es sobre si y 0 R existe x 0 tal que f(x 0 ) = y 0, en nuestro caso, dado y 0 entonces x 0 = (y 0 )/.

6 . Ejercicios x y Función inversa. Como la función es biyectiva en todo R, entonces existe la función inversa en todo R.. La función inversa se obtiene despejando a x de la ecuación y = x +, donde x = y. Ejercicio Estudiar la función: y = x + La función y = x +. El dominio natural de la función son los números reales R, ya que x + siempre da un número real y.. El rango, o imagen del dominio natural en este caso es el intervalo [, ) y x

7 . Ejercicios y x Intersección con los ejes. Si x = 0, entonces y =, entonces la gráfica de la recta se intersecta (interseca, según RAE) con el eje y en (0, ).. Si 0 = x +, pero no existe un número real que cumpla esta condición por lo tanto, como se observa en la figura, la gráfica no intersecta al eje x. La función no tiene raíces reales. Imagen e imagen inversa:. La imagen del intervalo [, ] es el intervalo [, ].. En este caso la imagen inversa del intervalo [, ] es [, ] [, ]. 7 y x 7 Inyectividad La función y = x +, no es inyectiva, ya que existen al menos dos puntos x x que tienen imagenes iguales, por ejemplo x =, x = ambos tienen como imagen al. Sobreyectividad La función no es sobre ya que para y = 0 no existe un x 0 tal que f(x 0 ) = 0. Es decir la ecuación 0 = x + no tiene soluciones reales. Función inversa Como la función no es biyectiva en todo R, entonces no existe la función inversa en todo R.

8 . Ejercicios 7 7 x y 7 Función inversa. Si consideramos a la función sólo con dominio [0, ), entonces la función si es inyectiva, y por lo tanto tiene inversa.. La función inversa de y = x +, es x = y.

9 . Ejercicios 8 Ejercicio Estudiar la función: y = e x La función e x. El dominio de la función e x es el conjunto de todos los números reales.. La imagen del dominio natural, o el rango de la función e x es el intervalo (0, ). y e x y e x Intersección con ejes, imagen e imagen inversa. La función y = e x no se intersecta con el eje x, pero si se intersecta con el eje y en (0, e).. La imagen del intervalo [, ] es el intervalo [e, e ] = [,78, 7,890].. La imagen inversa del intervalo [e, e ], es el intervalo [, ]. La función inversa de e x. La función y = e x es biyectiva como e x : R R +... La función inversa de y = e x, se llama función logaritmo, x = ln(y), con gráfica a la derecha.

10 . Ejercicios 9 Ejercicio Estudiar la función: y = x y x La función x. El dominio natural de la función es R {0}. x. El rango de la función es también R {0}. x Imagen y imagen inversa. La imagen del intervalo [, ] es el intervalo [/, ].. La imagen inversa del intervalo [/, ] es el intervalo [, ]. y x Función inversa La función es biyectiva en R {0}, donde la función inversa es x = y.

11 . Ejercicios 0 Ejercicio Estudiar la función: y = x y x Dominio. El dominio de f(x) = y = x, es el conjunto de números reales x s, tales que x 0, es decir donde existe una raíz cuadrada real.. Resolviendo la desigualdad, x 0 x, es decir x, entonces el dominio es x ó escrito como intervalo [, ]. y x Rango. La imagen del dominio(rango) es el conjunto de y s tales x con f(x) = y, en este caso f(x) = f( x), y si x, entonces 0 y. 8 7 Imagenes inversas. f () = {x D f(x) f(x) = }, = x, por lo tanto x = ±, f () = {, }.. f () = {x D f(x) f(x) = }, = x, por lo tanto x = 0, f () = {0}.. f () = {x D f(x) f(x) = 7}, 7 = x, f (7) =. Ejercicio Estudiar la función: y = 7 x 0

12 . Ejercicios Dominio de la función. El dominio (natural) de la función es el conjunto de números reales, tales que x 0 0, es decir R {}.. La imagen del dominio es el conjunto de y s tales que 7 y = recorriendo x R {}. Dado y, x 0 entonces x = 7 +, se puede calcular excepto para y y = 0, por lo tanto el rango es R {0}. 8 y x f f 0 0 f 7 Imagenes inversas. f 7 (7), 7 =, por lo tanto x = x 0 =,.. f 7 7 (), =, por lo tanto x = x 0 = 8,.. f 7 ( ), = x 0, por lo tanto x = =,.

13 . Ejercicios Ejercicio 7 Estudiar la función: y = { (x ) + si x > 0 (x + ) si x 0 Dominio de la función. El dominio (natural) de la función es el conjunto { de números reales, tales que: (x ) + si x > 0 y = (x + ) si x 0 es real, pero es el caso donde el dominio es todo R. y x y x Imagenes inversas f (/) La imagen inversa de /, es el conjunto {x D f(x) f(x) = /} Si x > 0 a) / = (x ) +, entonces, x = ± +. b) x = +,707. c) x = + 0,99. Si x 0 a) / = (x + ), entonces, x = ±. b) solo la parte negativa x =,. Si x R, entonces f (/) = { +, +, }

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