Introducción a las funciones de varias variables. Alfredo Bautista Santa-Cruz

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1 Introducción a las funciones de varias variables Alfredo Bautista Santa-Cruz Curso 209/2010

2 Capítulo 1 Análisis de funciones de varias variables Introducción Son conocidos los problemas que dependen de una única variable, por ejemplo: AreaAdeuncuadrádodeladol: A(l)=l 2 Funcióndeingresosdeunaempresaqueúnicamenteproducexunidadesdeunbienalprecio pfijo: I(x)=p x Pero, a veces, es necesario utilizar más variables para describir un problema. Así, necesitamos definir funciones que dependan de más de una variable: Eláreadeunrectángulocuyabaseesbycuyaalturaesh: A(b,h)=b h Los ingresos de una empresa que produce x 1 e x 2 unidades de dos bienes distintos, cuyos respectivospreciossonp 1 yp 2 : I(x 1,x 2 )=p 1 x 1 +p 2 x 2 La función de producción de Cobb-Douglas, que describe las unidades producidas en función dexunidadesdetrabajoey unidadesdecapital,dondec yasondos constantesfijastales que0<a<1: 1 a f(x,y)=c x a y En resumen, en un problema en el que interviene más de una característica(variable) independiente, es necesario definir funciones que dependen de más de una variable ElconjuntoR n LlamemosRalconjuntodenúmerosreales.Elconjuntodeparesdevalores(x 1,x 2 )conx 1,x 2 realeslollamaremosr 2,esdecir,eselproductocartesiano R 2 =R R={(x 1,x 2 ):x 1 R,x 2 R} 1

3 En general,elconjunto den-uplas (x 1,...,x n ) con x 1,...,x 2 reales lo llamaremos R n, es decir, el producto cartesiano R n =R... R={(x 1,...,x n ):x 1 R,...,x n R} 1.3. Funciones de varias variables Definición1 (Funcióndevariasvariables)SeaDunsubconjuntodeR n.siacada(x 1,...,x n ) D le corresponde un único número real f(x 1,...,x n ) sedicequef esunafuncióndelasvariablesx 1,...,x n. Ejemplo 2 Las funciones definidas anteriormente A(b,h)=b h son funciones de dos variables. I(x 1,x 2 )=p 1 x 1 +p 2 x 2 1 a f(x,y)=c x a y Definición 3 (Dominio y recorrido) El conjunto D de la definición anterior se llama dominio de f,yelconjuntodevaloresf(x 1,...,x n )correspondienteadichodominiosellamarecorridodef. Ejemplo4 f(x,y)=x 2 +y 2 Lafunciónf estádefinidaparatodo(x,y) R 2 yportantoeldominiodef esd=r 2. Comof puedealcanzarcualquiervalornonegativo,elrecorridoesr={z R:z 0}. f(x,y)=logxy Paraquelafunciónf estédefinidaesnecesarioque xy>0 entonces { x>0 y>0 asíeldominiodef seráelsiguienteconjunto obien { x<0 y<0 yelrecorridoesr=r. 2

4 Observación5 Sif yg sonfuncionesdenvariables,esdecir, f :R n R y g:r n R entonces las siguiente operaciones nos dan lugar a nuevas funciones de n variables: Suma y diferencia: (f±g)(x 1,...,x n )=f(x 1,...,x n )±g(x 1,...,x n ) Producto: (fg)(x 1,...,x n )=f(x 1,...,x n )g(x 1,...,x n ) Cociente: Sig(x 1,...,x n ) 0entonces ( ) f (x 1,...,x n )= f(x 1,...,x n ) g g(x 1,...,x n ) 1.4. Representación gráfica de una función de varias variables. Definición6 (Gráficaografo)Lagráficade unafunciónde nvariablesx 1,...,x n esel conjunto depuntos(x 1,...,x n,z) R n+1 quesatisfacen con(x 1,...,x n )eneldominiodef. z=f(x 1,...,x n ) La interpretación geométrica de la gráfica es la siguiente: Paran=1.Lagráficadeunafunciónf:R Rlageneranlospuntos(x,y)talesquey=f(x) ysepuederepresentarcomounacurvaenr 2 : Para n = 2. La gráfica de una función f : R 2 R la generan los puntos (x,y,z) tales que z=f(x,y)ysepuederepresentarcomounasuperficieenr 3 : 3

5 Para n 3. La gráfica de una función f : R n R la generan los puntos (x 1,...,x n,z) tales que z = f(x 1,...,x n ) y no es posible representarlo de forma completa sobre un papel ya que necesitaríamos ser capaces de representar conjuntos sobre, al menos, cuatro ejes coordenados, es decirenr 4. Nos tendremos que conformar con representaciones parciales Conjuntos de nivel Losconjuntosdeniveldeunafunciónf describenlospuntos(x 1,...,x n )deldominioquetienen elmismovalordef. Elconjuntodenivelkdelafunciónf:R n Rsedefinecomo: U k ={(x 1,...,x n ) R n :f(x 1,...,x n )=k} Elvalordekdebeestarenelrecorridodelafunción,yaqueenotrocaso,elconjuntodenivelk, U k,seráunconjuntovacío. Sin=2alosconjuntosdenivellosllamaremoscurvasde nivel. Sin=3alosconjuntosdenivellosllamaremossuperficiesde nivel. Ejemplo7 Ejemplo 8 f(x,y)=x 2 +y 2. Buscaremoslascurvasdenivel0,1,2,3,4,...def. Sif(x,y)=0entoncesx 2 +y 2 =0y,portanto,x=y=0. Sif(x,y)=k entoncesx 2 +y 2 =k queesunacircunferenciaderadio k. Larelaciónconlagráficaeslasiguiente: 4

6 f(x,y,z)=x. Buscaremoslassuperficiesdenivel0,1,2y3def. Sif(x,y,z)=k entoncesx=k queesunplanovertical. Algunos ejemplos cotidianos de curvas de nivel son: 1. Isobaras: Describen las curvas sobre la superficie que tienen la misma presión atmosférica. 2. Mapas topográficos: Describen las curvas sobre la superficie terrestre que están a la misma altitud sobre el nivel del mar. 5

7 1.6. Límites Vamos a tratar el concepto de límite de forma intuitiva. Para una función f de una variable, decimos que lím x a f(x)=l siexistenloslímitesporladerechayporlaizquierdadex=a,yademáscoincidenconelvalorde L. Paraunafunciónf dedosvariables,decimosque lím f(x,y)=l (x,y) (a,b) siexistenloslímitesportodosloscaminosposibleshaciaelpunto(a,b),yademáscoincidencon elvalordel. 6

8 Ejemplo9 f(x,y)= { x+y si (x,y) (1,1) 0 si (x,y)=(1,1) Existe el límite. { x+y six y f(x,y)= 0 six=y lím (x,y) (1,1) f(x,y)=2 lím (x,y) (1,1) f(x,y)? Si nos acercamos por la recta y =x obtenemos como límite el valor 0. Si nos acercamos por otrarecta,porejemplo,y=1,obtenemoselvalor2.comoestoslímitesnocoinciden,entonces no existe el límite. La generalización del límite para funciones de n variables es inmediata: Definición10 Paraunafunciónf denvariables,decimosque lím (x 1,...,x n) (a 1,...,a n) f(x 1,...,x n )=L siexistenloslímitesportodosloscaminosposibleshaciaelpunto(a 1,...,a n ),yademáscoinciden conelvalordel. Observación 11 (Propiedades) Seanf ygfuncionestalesque lím f(x,y)=f y lím g(x,y)=gentonces: (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) 1. lím (f±g)(x,y)= lím (f(x,y)±g(x,y))=f±g (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) 2. lím (f g)(x,y)= lím (x,y) (a,b) 3. SiG 0, lím (x,y) (a,b) 4. lím ( f g lím (x,y) (a,b) ef(x,y) (x,y) (a,b) =e f(x,y) (f(x,y) g(x,y))=f G (x,y) (a,b) ) ( ) f(x,y) (x,y)= lím = F (x,y) (a,b) g(x,y) G 5. lím logf(x,y)=log lím f(x,y) (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) Ejercicio 12 Utilizar las propiedades anteriores para calcular 1.7. Continuidad lím (x,y,z) (0,0,0) e x+y+z x 2 +y 2 +z 2 +1 Definición13 Unafunciónf:R n Rescontinuaenelpunto(a 1,...,a n )si lím f(x 1,...,x n )=f(a 1,...,a n ) (x 1,...,x n) (a 1,...,a n) Diremossimplementequef escontinuasiloesparatodopuntodesudominio.intuitivamente,f es continuaen(a 1,...,a n )sisugráficanotienesaltos,agujeros,asíntotas,... 7

9 Ejemplo 14 Son funciones continuas { x+y si (x,y) (1,1) f(x,y)= 0 si (x,y)=(1,1) en(1,1)? f(x,y)= f(x,y,z)= { x+y six y 0 six=y en(1,1)? e x+y+z x 2 +y 2 +z 2 +1 en(0,0,0)? Observación15 (Propiedades)Sif :R n Ryg:R n Rsonfuncionescontinuasen(a 1,...,a n ), yh:r Resunafuncióncontinuaenf(a 1,...,a n ),entonces f+g escontinuaen(a 1,...,a n ). f g escontinuaen(a 1,...,a n ). Sig(a 1,...,a n ) 0entonces f g escontinua(a 1,...,a n ). Lacomposiciónh f escontinuaen(a 1,...,a n ). Observación 16 Las funciones polinómicas, racionales cuyo denominador no se anula y composiciones de estas con exponenciales, logaritmos, etc. son continuas. Ejemplo17 Escontinuaf(x,y)= ex+y+z x 2 +1 cos(xy) xy Ejemplos de resumen en(0,0)? Ejemplo 18 Dibujaremos y describiremos analíticamente los dominios D de las siguientes funciones: 1. f(x,y)=log ( xy+x 2). Tenemos que D= { (x,y) R 2 :xy+x 2 >0 } = = { (x,y) R 2 :x>0,y+x>0 } { (x,y) R 2 :x<0,y+x<0 } Asíeldominioeselconjunto 8

10 2. f(x,y)=e x y. Tenemos que Asíeldominioes D= { (x,y) R 2 :y 0 } 3. f(x,y,z)=2x+7y xy+8. Tenemos que D=R 3 yaquef estádefinidaparatodopunto(x,y,z). Ejemplo 19 Dibujaremos algunos conjuntos de nivel 1. f(x,y)=xy. Tenemos que U k = { (x,y) R 2 :xy=k } Así,lascurvasdenivelverificany=k x 1 paracadak. 2. f(x,y)=x+y. Tenemos que U k = { (x,y) R 2 :x+y=k } Así,lascurvasdenivelverificany=k xparacadak. 9

11 Ejemplo 20 Estudiaremos la continuidad de algunas funciones 1. f(x,y)= { x 2 y 2 si (x,y) (0,0) 0 si (x,y)=(0,0) x 2 +y 2 Paratodo(x,y) (0,0)tenemosquef esunafunciónracionalcuyodenominadornoseanula, porloquef escontinuaencualquierpunto(x,y) (0,0). Quépasaen(0,0)? Nos aproximaremos por dos caminos distintos, y Así larecta x=0 larecta y=0 lím f(x,y)= lím x 2 y 2 (x,y) (0,0);x=0 (x,y) (0,0);x=0x 2 +y 2 =lím 0 2 y 2 y y 2 = 1 lím f(x,y)= lím x 2 y 2 (x,y) (0,0);y=0 (x,y) (0,0);y=0x 2 +y 2 = lím x x 0x =1 y como estos dos límites son distintos, entonces no existe yportantonopuedesercontinuaen(0,0). lím f(x,y) (x,y) (0,0) (Esposiblecalcularellímiteportodaslasrectasy=λxalavez: lím f(x,y)= lím x 2 λ 2 x 2 (x,y) (0,0);y=λx (x,y) (0,0);y=λxx 2 +λ 2 x =lím x 2( 1 λ 2) 2 x 0x 2( 1+λ 2) =1 λ2 1+λ 2 ycomodependedelapendienteλ,entoncesf noescontinuaen(0,0). { xy si (x,y) (1,1) 2. f(x,y)= 2 si (x,y)=(1,1) Paralospuntos(x,y) (1,1)lafunciónf esunpolinomioenlasvariablesxey,yportanto f escontinuaparaestospuntos.enelpunto(x,y)=(1,1)lafunciónf tienelímite ycomo lím f(x,y)= lím xy=1 (x,y) (1,1) (x,y) (1,1) f(1,1)=2 10

12 entonces lím (x,y) (1,1) f(x,y)=1 2=f(1,1) yporlotantof noescontinuaen(1,1). 3. f(x,y)=e x2 +y 2 +x 2 y+6 Como h(x) = e x g 1 (x,y) = x 2 +y 2 g 2 (x,y) = x 2 y g 3 (x,y) = 6 soncontinuasentodopuntodesusdominiosy f =(h g 1 )+g 2 +g 3 entoncesporlaspropiedadesanteriores,lafunciónf escontinuaentodosudominior 2. 11

13 Capítulo 2 Derivabilidad y diferenciabilidad Derivadas parciales Podemos preguntarnos cómo varía la función si variamos una sola variable independiente manteniendoconstanteslasdemás,obiencómovaríalafunciónsinosmovemosenunadirección. Para responder a estas preguntas necesitamos extender el concepto de derivada a funciones de varias variables. La extensión que construiremos hace que para funciones de varias variable no exista una única derivada, sino varias. Definición21 (Derivadasparciales):Seaf:R 2 Runafuncióndedosvariables.Diremosquela derivadaparcialdef conrespectodexenelpunto(x,y)eslafunción siempre que exista el límite. f x (x,y)= lím h 0 f(x+h,y) f(x,y) h Definición22 De igual manera podemos definir la derivada parcial de f con respecto de y en el punto(x,y)comolafunción siempre que exista el límite. f y (x,y)= lím h 0 f(x,y+h) f(x,y) h Notación23 f x = f x f y = f y Definición24 (Derivadasparciales-paranvariables):Seaf :R n Runafunciónenlasvariables (x 1,...,x n ).Diremosque laderivadaparcial def conrespectode x k enel punto(x 1,...,x n )esla función f xk (x 1,...,x n )= f f(x 1,...,x (x 1,...,x n )= lím k +h,...,x n ) f(x 1,...,x n ) x k h 0 h siempre que exista el límite. 12

14 Interpretación geométrica para n = 2. Laderivadaparcialf x enelpunto(x 0,y 0 )representalatangente(pendiente)delacurva h(x)=f(x,y 0 ) enelpuntox 0. Esdecir,escomosicortáramoslasuperficiez=f(x,y)(ennegro)conelplanoy=y 0 (enverde) ylapendientedelarectatangenteenx 0 (enazul)delacurvaintersección(enrojo)esladerivada parcialdef respectodexen(x 0,y 0 ). Lainterpretacióngeométricadelaf y esanáloga,intercambiandoelpapeldexey. Observe el dibujo 13

15 Ejemplo 25 Utilizando la definición vamos a calcular las derivadas parciales de f(x,y)=3x+x 2 y 2 +2 En efecto, yporotrolado f 3(x+h)+(x+h) 2 y x x 2 y 2 2 (x,y)= lím = x h 0 h = lím h 0 3h+2xhy 2 +h 2 y 2 h = lím h 0 3+2xy 2 +hy 2 =3+2xy 2 f 3x+x 2 (y+h) x x 2 y 2 2 (x,y)= lím = y h 0 h = lím h 0 2hx 2 y+x 2 h 2 h = lím h 0 2x 2 y+x 2 h=2x 2 y Observación 26 Estas derivadas parciales obedecen las mismas reglas de derivación habituales que las funciones de una variable, considerando la variable respecto a la que queremos derivar como la única variable de la función, y las demás variables como si fueran constantes. Ejemplo 27 Utilizando estas reglas de dervación vamos a calcular las derivadas parciales de: f(x,y)=(2x+y) 3 Tenemos que yademás f(x,y,z)=e xy cos(yz) 4 f x (x,y)= 3(2x+y) 4 2= 6(2x+y) 4 f y (x,y)= 3(2x+y) 4 1= 3(2x+y) f x (x,y,z)=e xy cos(yz) y f y (x,y,z)=xe xy cos(yz) e xy sen(yz) z f z (x,y,z)= e xy sen(yz) y 2.2. Derivadas de orden superior Unavezquehemoscalculadoalgunaderivadaparcialdez=f(x,y),estoes, f f x (x,y)o y (x,y) podemos volver a calcular las derivadas parciales de estas funciones(siempre que existan). De esta maneraapartirde f(x,y) calculamos las derivadas primeras de f, f x (x,y) f y (x,y) y a partir de estas, calculando sus derivadas parciales obtenemos las derivadas parciales de orden 2 o derivadas parciales segundas de f, ( f x) ( ) f y x (x,y) x (x,y) ( f x) ( ) f y y (x,y) y (x,y) 14

16 Notación 28 Para simplificar la notación llamaremos Engeneral,laderivadadeordenm f xi x j...x k (x 1,...,x n )= x) f xx (x,y)= 2 f x (x,y)= ( f 2 x (x,y) f xy (x,y)= 2 f ( f y x (x,y)= x) y (x,y) ( ) f yx (x,y)= 2 f x y (x,y)= f y x (x,y) f yy (x,y)= 2 f y 2 (x,y)= ( f y ) y (x,y) m f (x 1,...,x n )= x k... x j x i Ejemplo29 Vamosacalcularlasderivadasparcialesdeorden2de Ya calculamos anteriormente que Porlotanto f x (x,y)= 6(2x+y) 4 f(x,y)=(2x+y) 3 ( ) m 1 f x k... x j x k (x 1,...,x n ) f y (x,y)= 3(2x+y) 4 5 f xx (x,y) = 24(2x+y) 5 2=48(2x+y) f xy (x,y) = 24(2x+y) 5 5 f yx (x,y) = 12(2x+y) 5 2=24(2x+y) f yy (x,y) = 12(2x+y) 5 Observación 30 Esunacasualidadquef xy (x,y)=f yx (x,y)=24(2x+y) 5? Teorema 31 (Schwarz)Seaf :R 2 Runafuncióntalque f x, f y, 2 f y x existenenunentornodel punto(a,b)ylafunción 2 f y x escontinuaen(a,b),entoncesexiste 2 f x y yseverificaque 2 f y x (a,b)= 2 f x y (a,b) Observación 32 El teorema de Schwarz es válido para cualquier número de variables y para cualquier orden de la derivada parcial, siempre que se verifiquen las hipótesis, ya que estas son derivadas parciales segundas de otra derivada parcial. Así podemos tener f xyzx =f xxyz =f yzxx =f xzxy = Observación 33 El teorema se debe a Karl Hermann Amandus Schwarz( ) 15

17 2.3. Gradiente Definición34 (Gradiente) Sea z = f(x 1,...,x n ) una función tal que existe f x i para todo i = 1,...,n.Sellamagradientedef en(x 1,...,x n )alvector ( f f(x 1,...,x n )= (x 1,...,x n ),..., f ) (x 1,...,x n ) x 1 x n 2.4. Hessiano Definición35 (Hessianoomatrizhessiana)Seaz=f(x 1,...,x n )unafuncióntalquetienetodas sus derivadas parciales hasta el orden 2 continuas. Entonces se dice que la matriz hessiana o hessianodef en x=(x 1,...,x n )eslamatriz Hf( x)= 2 f x 2 1 ( x) 2 f x 1 x 2 ( x). 2 f x 1 x n ( x) 2 f 2 f x 2 x 1 ( x) x n x 1 ( x) 2 f ( x) 2 f x 2 x 2 n x 2 ( x) f x 2 x n ( x) 2 f ( x) x 2 n Observación 36 Según la definición de hessiano, como las derivadas parciales hasta el orden 2 son continuas, entonces podemos aplicar el teorema de Schwarz y así tenemos que y por tanto la matriz hessiana es simétrica. 2 f ( x)= 2 f ( x) x i x j x j x i Observación 37 Esta matriz lleva el nombre del matemático alemán Ludwig Otto Hesse ( ). 16

18 Ejemplo38 Seaf(x,y)=x 2 sen(2y),vamosacalcular f ( 1, π 2) yhf ( 1, π 2 ). Primero calculamos las derivadas parciales primeras porloque f x (x,y) = 2xsen(2y) f y (x,y) = 2x 2 cos(2y) f(x,y)= ( 2xsen(2y),2x 2 cos(2y) ) Podemos ahora calcular las derivadas parciales segundas f xx (x,y) = 2sen(2y) f yx (x,y) = 4xcos(2y) f xy (x,y)=4xcos(2y) f yy (x,y)= 4x 2 sen(2y) porloque Hf(x,y)= Ysustituyendoenelpunto ( 1, π 2) tenemosque f ( 2sen(2y) 4xcos(2y) 4xcos(2y) 4x 2 sen(2y) ( 1, π ) ( ( = 2 1sen 2 π ) (,2 1 2 cos 2 π )) =(0, 2) ) yademás ( Hf 1, π ) ( ( ) 2sen 2 π = 2 4 1cos ( 2 π ) cos ( 2 π 2) sen ( 2 π ) 2 ) = ( ) 2.5. Derivadas direccionales Hemosvistoqueladerivadaparcialf x midelavariacióndef cuandonosmovemosporlarecta y=cte.paramedirlavariacióndefenotradireccióncualquieranecesitamoselconceptodederivada direccional. 17

19 Observación39 Cómo construir un vector de módulo 1 en la misma dirección que uno dado? Consideremosunvectorv=(x,y)encuyadirecciónsequieramedircómovaríalafunciónf. Construimos el vector u= v v donde v = x 2 +y 2 eselmódulodev.asíelvectorutienelongitudiguala1yaque u = v v = 1 v v =1 Cualquiervectorutalque u =1lellamaremosunitario. Definición40 (Derivada direccional) Sea z = f(x,y) y sea u = (u 1,u 2 ) un vector unitario. La derivadadireccionaldef enladireccióndeuenelpunto(x,y)sedefinecomo siempre que exista este límite. D u f(x,y)=lím t 0 f(x+tu 1,y+tu 2 ) f(x,y) t Definición41 (Derivadadireccional-nvariables)Seaz=f(x 1,...,x n )yseau=(u 1,...,u n )un vectorunitario.laderivadadireccionaldef enladireccióndeuenelpunto(x 1,...,x n )sedefine como f(x 1 +tu 1,...,x n +tu n ) f(x 1,...,x n ) D u f(x 1,...,x n )=lím t 0 t siempre que exista este límite. Ejemplo42 Calcularladerivadadef(x,y)=e x+y enladireccióndelvectoru=(2,1)enelpunto (x,y)=(0,0). Existeladerivadadireccionaldef encualquierpunto(x,y)yencualquierdirección u? Comoelmódulodelvectorues u = = 5 1 ( ) entoncesunoesunitario.construimoselvectorū= u u = 5 2 1, 5 queesunitario.porlotanto ( f 0+t 2 5,0+t 1 5 ) f(0,0) Dūf(0,0)=lím = t 0 t 18

20 ( e t 2 +t e t 3 =lím =lím t 0 t t 0 =lím t 0 5 ) ( ) 3 5 e t = L Hopital = t = 3 5 Para contestar la segunda pregunta, supongamos que u=(u 1,u 2 ) es cualquier vector unitario. Entonces f(x+tu 1,y+tu 2 ) f(x,y) e (x+tu1+y+tu2) e x+y D u f(x,y)=lím =lím = t 0 t t 0 t e x+y =lím t 0 ( e t(u 1 +u 2 ) 1 ) t =e x+y lím t 0 =e x+y lím t 0 (u 1 +u 2 )e t(u1+u2) 1 ( e t(u 1 +u 2 ) 1 ) queexisteparatodopunto(x,y)ytodadirecciónu=(u 1,u 2 ). t =e x+y (u 1 +u 2 ) 2.6. Relación entre continuidad y derivabilidad = L Hopital = Entendiendo por derivabilidad la existencia de derivadas parciales, veamos que no hay ninguna relación entre ésta y la continuidad. Ejemplo 43 Función continua no derivable en un punto. Seaf(x,y)= x + y,queescontinuaen(0,0)yaque lím (x,y) (0,0) x + y =0,perosetieneque { f f(0+h,0) f(0,0) h +1 sih>0 (0,0)= lím = lím x h 0 h h 0 h = 1 sih<0 porloquenoexisteellímiteyportantonoexisteladerivadaparcial f x enelpunto(0,0).deigual modosedemuestraquenoexiste f y (0,0). f continua f derivable Lagráficadef es: 19

21 Ejemplo 44 Función { derivable y no continua en un punto. 1 sixy=0 Seaf(x,y)= 0 sixy 0 quenoescontinuaen(0,0),pero f f(0+h,0) f(0,0) 1 1 (0,0)= lím = lím =0 x h 0 h h 0 h f f(0,0+h) f(0,0) 1 1 (0,0)= lím = lím =0 y h 0 h h 0 h comoamboslímitesexisten,entoncesexisten f f x (0,0)y y (0,0). f derivable f continua Lagráficadef es: Ejercicio45 Demostrar { aproximando por las parábolas x = λy 2 que no es continua en (0,0) la xy 2 funciónf(x,y)= x 2 +y si (x,y) (0,0) 2 Paraquédireccionesv=(v 1,v 2 )unitariasexistela 0 si (x,y)=(0,0) derivadadireccionaldef en(0,0)? Ejercicio46 Paralasfuncionesf(x,y)=xe x y yh(x,y,z)=xe z +ycos(x+z),calcular f, h, Hf,Hh,h xyz,h yxz,h yzx,h xzy,h xzy,h zxy yh zyx Diferenciabilidad Diferencial de una función de una variable Enelcasodeunafuncióndeuna variable,sepuededefinirladiferencialdef enelpuntox 0 df x0 (x)=f (x 0 )(x x 0 ) oequivalentemente,sillamamos x=(x x 0 )entonces df x0 (x)=f (x 0 ) x Ladiferencialdf x0,segúnestadefinición,existesiysólosiexisteladerivadaf (x 0 ),porloquepara las funciones de una variable el concepto de derivabilidad coincide con la diferenciabilidad. Derivabilidad = Diferenciabilidad 20

22 Estafunciónaproximalacantidad y=f(x) f(x 0 )cuandoxex 0 estánpróximos: Ejemplo47 Si f(x)=x 2 +logx,vamosaaproximar el valordef(1 01)mediantela diferencial. Nosapoyamosenelpuntox=1queestácercanoax=1 01.Poresocalculamos [ df (1) (x)=f (1)(x 1)= 2x+ 1 ] (x 1)=3(x 1) x x=1 yentonces De esta manera, como entonces df (1) ( 1 01 ) =3 ( ) =0 03 df (1) ( 1 01 ) y=f ( 1 01 ) f(1) f ( 1 01 ) f(1)+df (1) ( 1 01 ) =1+0 03= Diferencial de una función de varias variables Vamos a construir el mismo concepto para funciones de dos variables z = f(x,y) en el punto (x 0,y 0 ). Incrementamosx 0 hastaelvalorx 0 + x,considerandof comounafuncióndeunavariable,así por lo que una aproximación será (x 0,y 0 ) (x 0 + x,y 0 ) f =f(x 0 + x,y 0 ) f(x 0,y 0 ) f x (x 0,y 0 )(x x 0 ) Sihacemoslomismoincrementandoy 0 hastaelvalory 0 + y, (x 0,y 0 ) (x 0,y 0 + y) entonces f =f(x 0,y 0 + y) f(x 0,y 0 ) f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) 21

23 Lasumadeestosdosincrementospuedeserunabuenaaproximaciónde f =f(x 0 + x,y 0 + y) f(x 0,y 0 ),porloquedefinimosladiferencialdef en(x 0,y 0 )como df (x0,y 0 )(x,y)= f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+ f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) Elvalorde f =f(x 0 + x,y 0 + y) f(x 0,y 0 )sepuedeaproximarmediantelafuncióndf (x0,y 0 )(x,y). Lageneralizacióndeladiferencialparafuncionesdenvariablesesanáloga.Si x 0 = ( x 0 ) 1,...,x0 n esunpuntoparticularysi x=(x 1,...,x n )eselvectordevariables,sedefineladiferencialdef en x 0 como df x0 ( x)= f ( x 0 ) ( x 1 x 0 ) f ( x 0 ) ( x n x 0 ) n x 1 x n es decir x 1 x 0 1 df x0 ( x)= f( x 0 ). x n x 0 n Ejemplo48 Calcular la diferencial de f(x,y) = 1 xy = 1 (2 01)(2 01). Lasderivadasparcialesdef son f 1 (x,y)= x x 2 y en(2, 2), entonces yportanto f 1 (2,2)= x 8 en el punto (2,2) y aproximar el valor de yademás f y 1 (x,y)= xy2, quesoncontinuas f 1 (2,2)= y 8 df (2,2) (x,y)= f x (2,2)(x 2)+ f y (2,2)(y 2)= = 1 8 (x 2)+ 1 1 (y 2)= 8 8 (x+y 4) 1 Para aproximar el valor de (2 01)(2 01) =f(2 01,2 01)utilizamosladiferencialdef en(2,2),así df (2,2) ( 2 01,2 01 ) f ( 2 01,2 01 ) f(2,2) 22

24 yportanto f ( 2 01,2 01 ) ( df (2,2) 2 01,2 01 ) +f(2,2)= = 1 ( ) = = Elvalorrealesf(2 01,2 01)=0, Definición49 (Diferenciabilidad)Unafunciónz=f(x,y)esdiferenciableen(x 0,y 0 )si puede expresarse de la forma z=f(x 0 + x,y 0 + y) f(x 0,y 0 ) z= f x (x 0,y 0 ) x+ f y (x 0,y 0 ) y+ε 1 x+ε 2 y donde ε 1,ε 2 0 cuando ( x, y) (0,0). Es decir, f es diferenciable si podemos aproximarla medianteladiferencialdf (x0,y 0 )(x,y). Observación 50 (Condición necesaria de diferenciabilidad) Por la definición anterior, una función diferenciablef sepuedeaproximarmedianteladiferencialdf x0 ( x),porloqueentoncesdebeexistir df x0 ( x)= f( x 0 ) ( x x 0 ) entonces es necesario que exista f( x 0 ), es decir, para que f sea diferenciable en x 0 es necesario queexistantodassusderivadasparciales f x 1,..., f x n enelpunto x 0. Teorema 51 (Condiciónsuficientedediferenciabilidad)Sif:R 2 Resunafuncióntalque f f y soncontinuasen(x 0,y 0 )entoncesf esdiferenciableen(x 0,y 0 ). Teorema 52 Sif esunafuncióndiferenciableen(x 0,y 0 )entoncesf escontinuaen(x 0,y 0 ). Hayquerecordarquenobastaconlaexistenciadelasderivadasparcialesenunpunto,yaque vimos que { 1 sixy=0 f(x,y)= 0 sixy 0 teníaderivadasparcialesen(0,0)perof noescontinuaen(0,0).alnosercontinua,porelteorema anterior, f no puede ser diferenciable en(0, 0). x y Las implicaciones válidas son las siguientes: Derivabilidad Diferenciabilidad 23

25 2.8. Relación entre derivadas parciales y derivada direccional Sif :R 2 Resunafuncióndiferenciableyū=(u 1,u 2 ) R 2 esunvectorunitario,entoncesse puede simplificar el cálculo de la derivada direccional como Dūf(x,y)= lím h 0 f(x+hu 1,y+hu 2 ) f(x,y) h Dūf(x,y)= f x (x,y) u 1+ f y (x,y) u 2 La generalización para n variables es inmediata, si f : R n R es una función diferenciable y ū=(u 1,...,u n ) R n entoncessepuedeescribir Dūf(x 1,...,x n )= f(x 1,...,x n ) ū donde el símbolo denota el producto escalar. Con la fórmula anterior, si calculamos las derivadas direccionales en la dirección de los vectores ū=(1,0)y v=(0,1)obtenemosque Dūf(x,y)= f(x,y) ū= f x (x,y) 1+ f y (x,y) 0= f x (x,y) D v f(x,y)= f(x,y) v= f x (x,y) 0+ f y (x,y) 1= f y (x,y) por lo que las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales. Ejemplo53 Calcularla derivada de f(x,y)=3x 2 2y 2 enla dirección de ū=(1,1) enel punto (1,0). Como ū = = 2 1 entonces el vector ū no es unitario. Construimos v = ū ( ) ū = 2 1 1, 2 que es unitario. Por la definición ( f 1+h 1 2,0+h 1 2 ) f(1,0) D v f(1,0)= lím = h 0 h ) 2 2 ( ) 3 (1+h h = lím = h 0 h 3+ 6h = lím 2 + 3h2 2 h2 3 6 = lím 2 + 3h h 0 h h 0 2 h= 6 2 De otra forma, como f es un polinomio, entonces es diferenciable y entonces como f(x,y) = (6x, 4y)setieneque ) 1 D v f(1,0)= f(1,0) ( 2, 1 2 = ) 1 =(6,0) ( 2, 1 2 = =

26 2.9. Propiedades de las funciones diferenciables Seaf unafuncióndiferenciableen x=(x 1,...,x n ) R n : 1. Si f( x)=(0,...,0)entoncesdūf( x)=0paratodoū R n. 2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por la dirección de f( x), y el valor máximodedūf( x)es f( x). 3. Ladireccióndemáximodecrecimientodef vienedadaporladirecciónde f( x),yelvalor mínimodedūf( x)es f( x). Laspropiedades2y3sonconsecuenciadelafórmula Dūf( x)= f( x) ū= f( x) ū cosθ Observación54 Elvector f ( x)noapuntahaciaelmáximodelafunciónf,sinoenladirección enlaquef crecemásrápidamente. Teorema 55 Sif esdiferenciableen(x 0,y 0 )yademás f(x 0,y 0 ) (0,0)entonces f(x 0,y 0 )es perpendicularalacurvadenivelquepasapor(x 0,y 0 ). Teorema 56 (generalización) Si f es diferenciable en (x 1,...,x n ) y además f(x 1,...,x n ) (0,...,0)entonces f(x 1,...,x n )esperpendicularalconjuntodenivelquepasapor(x 1,...,x n ). Ejemplo57 Siunastronautaestásobrelasuperficiedelalunaenelpunto(1,1),ylatemperatura sobre la superficie viene dada por 1 f(x,y)= 4x 2 +y 2 +1 Hacia dónde debe dirigirse para que su traje espacial se enfrie más rápidamente? 25

27 Comoladireccióndemáximocrecimientodelatemperaturavienedadaporladirecciónde f, entoncesnosestánpidiendoladirecciónde f(1,1).así ( ) 8x 2y f(x,y)= (4x 2 +y 2 +1) 2, (4x 2 +y 2 +1) 2 yentonces f(1,1)= ( ) ( ) , 2 = 36 9, 1 18 Por lo tanto el astronauta debe moverse en la dirección ( 2 f(1,1)= 9, 1 ) Plano tangente a una superficie En el caso de una función f de una variable, es posible construir la recta tangente a la curva y=f(x) Asílaecuacióndelarectatangenteserá y=f(a)+f (a)(x a) También podemos construir el plano tangente en un punto a una superficie. Las superficies pueden venir dadas como: 1. SuperficiedeniveldeunafunciónF(x,y,z),así es una superficie. 2. Gráficadeunafunciónf(x,y),así F(x,y,z)=c z=f(x,y) representa una superficie. Para estel segundo caso, si llamamos F(x,y,z)=f(x,y) z entonceslasuperficiedefinidaporz=f(x,y)delpunto2esequivalentealasuperficiedenivel F(x,y,z)=0. 26

28 DadalasuperficiedenivelF(x,y,z)=cconF diferenciable,vamos acalcularlaecuacióndel planotangenteaf(x,y,z)=cenelpunto(x 0,y 0,z 0 )delasuperficie. Esimportantecomprobarque(x 0,y 0,z 0 )pertenecealasuperficie.sea(x,y,z)unpuntodelplano tangente buscado, entonces el vector (x x 0,y y 0,z z 0 ) también pertenecealplanotangente.por otro lado, como F(x 0,y 0,z 0 )es perpendicular ala superficiedenivelf(x,y,z)=cenelpunto(x 0,y 0,z 0 ),entoncestambiénseráperpendicularalplano tangenteen(x 0,y 0,z 0 ). Portantosetienequeverificarque F(x 0,y 0,z 0 ) (x x 0,y y 0,z z 0 )=0 Esto es F x (x 0,y 0,z 0 )(x x 0 )+F y (x 0,y 0,z 0 )(y y 0 )+F z (x 0,y 0,z 0 )(z z 0 )=0 que es la ecuación del plano tangente. EnelcasoqueF(x,y,z)=f(x,y) z,entonceslaecuaciónqueda f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) (z f(x 0,y 0 ))=0 Observación 58 Comparando la ecuación del plano tangente (z f(x 0,y 0 ))=f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) con la expresión de la diferencial df (x0,y 0 )(x,y)=f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) vemos que la aproximación de f(x,y) f(x 0,y 0 ) mediante la diferencial es equivalente a aproximarlo mediante el plano tangente. Ejemplo 59 Calcular el plano tangente a las superficies: 27

29 ( 1. x 2 +y 2 +z 2 =1enelpunto 0, 2 2, ) 2 2. Lasuperficievienedadacomolasuperficiedenivel1de ComoseverificaqueF Además se tiene que ( 0, 2 2, 2 2 F(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 ) =1entonceselpunto F x (x,y,z)=2x = F x (0, ( F y (x,y,z)=2y = F y 0, 2 ( ) 0, 2 2, 2 2 pertenece a la superficie. 2 2, 2 2 2, 2 2 F z (x,y,z)=2z = F z (0, 2 2, 2 2 ) =0 ) = 2 ) = 2 Por lo tanto, sustituyendo esos valores obtenemos que la ecuación del plano tangente queda 0 (x 0)+ ( ) 2 2 y + ( ) 2 2 z =0 2 2 esdecir 2y+ 2z=2 2. z=e x+y2 enelpunto(2,2). Lasuperficievienedadacomofunciónde2variablesz=f(x,y)donde f(x,y)=e x+y2 Tenemosquecalcularelvalordef(2,2)=e 2+22 =e 6.Ademássetieneque f x (x,y)=e x+y2 = f x (2,2)=e 6 f y (x,y)=2ye x+y2 = f y (2,2)=4e 6 Por lo tanto, sustituyendo esos valores obtenemos que la ecuación del plano tangente queda e 6 (x 2)+4e 6 (y 2) ( z e 6) =0 es decir e 6 (x+4y) z=9e 6 28

30 Capítulo 3 Diferenciabilidad: aplicaciones Regladelacadena Dadaunafunciónf(x,y),avecessetienequelasvariables xey dependendeotras variables, porejemplo,x(t)ey(s,t,r).deestamanerapodemosestarinteresadosencalcularlavariaciónde f segúnvaríans,t,or,esdecir,queremosderivarf respectodes,tor. En general, dada una función f de varias variables, es posible que tales variables dependan de otras, y estas segundas de unas terceras, y así sucesivamente. Para poder calcular las derivadas de f respecto de las últimas variables de las que depende, necesitamos una regla para poder hacerlo en general, independientemente de las variables y de su número. Estareglaserálaregladelacadena. Estudiaremos las fórmulas que proporciona la regla de la cadena para algunos casos particulares, pero buscando entender su funcionamiento. Teorema 60 Seaz=f(x,y)unafuncióndiferenciable.Si x=x(t) y=y(t) son,asuvez,funcionesderivablesdet,entoncesf esunafunciónderivablerespectodetcon df f (t)= (x(t),y(t)) dx dt x dt (t)+ f (x(t),y(t)) dy y dt (t) Para recordar esta fórmula dibujamos el siguente diagrama: Cada barra del diagrama representa la derivada de la función de su izquierda respecto de la variable de su derecha. Así el diagrama representa las siguientes derivadas: 29

31 Haydoscaminosporlosquesellegaalavariablet.Paraencontrarlafórmulahayquemultiplicar lasderivadasqueencontremosporcadacaminoysumartodosloscaminosquelleganalavariablet. Primer camino: así obtenemos el producto de las derivadas Segundo camino: así obtenemos el producto de las derivadas Lasumadeestosproductosnosdanlafórmula o con la notación anterior z x t z x (x(t),y(t)) dx dt (t) z y t z (x(t),y(t)) dy y dt (t) dz z (t)= (x(t),y(t)) dx dt x dt (t)+ z(x(t),y(t)) dy y dt (t) df f (t)= (x(t),y(t)) dx dt x dt (t)+ f (x(t),y(t)) dy y dt (t) Ejemplo 61 Considere la función f(x,y)=x 2 y y 2 { x=e t y sean las funciones,sepidecalcularladerivadadef respectodet. y=cost df f (t)= dt (x(t),y(t)) dx x dt (t)+ f (x(t),y(t)) dy y dt (t)= =(2x(t)y(t)) (e t) + ( ) x(t) 2 2y(t) ( sent)= = ( 2e t cost ) (e t) + ( e 2t 2cost ) ( sent)= =e 2t (2cost sent)+2costsent 30

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