Teoría de Credibilidad

Transcripción

1 Teoría de Credibilidad Enrique de Alba INEGI CASA CONAC Noviembre 2010

2 CREDIBILITY THEORY: THE CORNERSTONE OF ACTUARIAL SCIENCE James C. Hickman and Linda Heacox (1999) North American Actuarial Journal, Volume 3, Number 2, pp. 1-8

3 The statistical methods, developed by the mathematicians and available in the standard textbooks on statistical procedures, deal with the evaluation of the indications of a group of observations, but under the tacit or implicit assumption that no knowledge existed prior to the making of those particular observations. The credibility procedures, used in the revisions of casualty rates, have been developed by casualty actuaries to give consistent weightings to additional knowledge in its combination with already existing knowledge. Bailey, 1950

4 WHITNEY, A.W El plan proponía la revisión periódica de las primas de grupo: Nueva Prima = Z* Experiencia + (1-Z)*Prima Anterior donde 0 Z 1. Z es el factor de credibilidad Z = n/(n+k), Con k > 0 y n es una medida de la exposición.

5 MOWBRAY, A How Extensive a Payroll is Necessary to Give Dependable Pure Premium? Proceedings of the Casualty Actuarial Society 1: WHITNEY, A.W The Theory of Experience Rating, Proceedings of the Casualty Actuarial Society 4, nos. 9, 10: KEFFER, R An Experience Rating Formula, Transactions of the Actuarial Society of America 30: BAILEY, A.L A Generalized Theory of Credibility, Proceedings of the Casualty Actuarial Society 32, no. 62: BAILEY, A.L. 1950a. Credibility Procedures: LaPlace s Generalization of Bayes Rule and the Combination of Collateral Knowledge with Observed Data, Proceedings of the Casualty Actuarial Society 37, no. 67:7 23. HEWITT, C.C Discussion of A Bayesian View of Credibility, Proceedings of the Casualty Actuarial Society 52: BUHLMANN, H Experience Rating and Credibility, The ASTIN Bulletin 4, Part III: HERZOG, T.N Introduction to Credibility Theory. Winsted, Conn: Actex Publications. VENTER, G.G Credibility, in Foundations of Casualty Actuarial Science. New York: Casualty Actuarial Society BUHLMANN, H. AND GISLER, A A Course in Credibility Theory and its Applications. Universitext, Springer-Verlag.

6 Teorema de Bayes X = 1 { X,..., } X n Variables aleatorias de Previa de θ: f (θ ) f ( x ) i θ f ( θ x x ) n n i 1 = n= ( x θ ) f ( θ ) 1,..., dθ f ( x ) ( ) i θ f θ i = 1 f i

7 Distribuciones iniciales conjugadas: a) Tienen la propiedad de "cerradura", b) Existen para las verosimilitudes que pertenecen a la familia exponencial general c) La media posterior es de la forma. d) El problema con el análisis conjugado es fijar los valores de los hiperparámetros.

8 ( ) Se necesita f x n+1 θ pero se desconoce θ Predictiva f ( x x x ) n+ 1 ( x θ ) f ( θ ) f i dθ i = 1,..., n = = f n n 1 1,..., f dθ n i = 1 ( x θ ) f ( θ ) i ( x θ ) f ( θ x x ) dθ n

9 En la Teoría de Credibilidad se trata de aprovechar la estructura Bayesiana : f ( θ x) L( θ x) f ( θ ) Información Información Muestral * Información final (Verosimilitud) Inicial (posterior) (a priori)

10 La información inicial f(θ) puede ser - Subjetiva - Experiencia - Información anterior - Experiencia global - Información de Tablas La función L(θ x) = f (x θ) de puede usar para modelar - siniestralidad - montos de reclamaciones - números de reclamaciones - supervivencia - frecuencia de enfermedades - mortalidad - etc.

11 Credibilidad Información Información Inicial Muestral - Tablas -Experiencia - Experiencia Colectiva Individual - Experiencia Portafolio

12 Dada la historia de una asegurado, o grupo de asegurados, se quiere obtener la distribución de f ( x n+ θ 1 ). De ahí se obtiene la prima de riesgo. Se supone que dado θ, las X i son independientes. Como no se conoce θ se utiliza f ( x y entonces la n+ 1 x) prima de riesgo para el año n+1 será E ( x x) = f ( x x) dx n+ 1 n+ 1 n+ 1

13 Se puede demostrar que donde E( x n ) (1 )μ 1 x = ZX + Z + μ = E(θ ) es la media a-priori del parámetro de riesgo y. n X = Xi / n i = 1

14 Si f ( x i θ,v) es Normal con media θ y varianza v y f (θ ) es Normal con media μ y varianza v 0 Z = n/(n + ν/a). Según la complejidad del modelo puede ser una media ponderada. Hay que obtener valores para a y v X a = Var[E(X j θ)] v = E[Var[X j θ)]

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16 Modelo de Bühlmann

17 Modelo de Bühlmann-Straub

18 Enfoque Bayesiano-empírico