INTRODUCCIÓN A LA FOTOGRAMETRÍA

Transcripción

1 E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos Cátedra de Topografía INTRODUCCIÓN A LA FOTOGRAMETRÍA Profesor: José Antonio Sánchez Sobrino Curso 26-27

2 INTRODUCCIÓN A LA FOTOGRAMETRÍA 1. INTRODUCCIÓN. Actualmente, cualquier cartografía, así como los levantamientos topográficos de una cierta magnitud, son realizados con técnicas de fotogrametría, a partir de fotografías aéreas. Si bien el concepto está implícitamente ligado a la producción de cartografía, comprende un ámbito de aplicación más amplio y se puede dividir en numerosas ramas que abarcan desde la Fotointerpretación hasta la Teledetección. Según Boneval, la fotogrametría se define como la técnica cuyo objeto es estudiar y definir con precisión la forma, dimensiones y posición en el espacio de un objeto cualquiera, utilizando esencialmente medidas hechas sobre una o varias fotografías de ese objeto. Una definición más actualizada que nos da la Sociedad Americana de Fotogrametría y Teledetección (ASPRS) es el arte, ciencia y tecnología para la obtención de medidas fiables de objetos físicos y su entorno, a través de grabación, medida e interpretación de imágenes y patrones de energía electromagnética radiante y otros fenómenos. Esta última definición es más amplia, abarcando técnicas modernas, y eliminando casi las diferencias existentes entre la Fotogrametría y la Teledetección. En cualquier caso podemos decir que la Fotogrametría es la ciencia que nos permite, a partir de fotografías ya sea aéreas o terrestres, obtener las medidas del objeto fotografiado. La Fotogrametría va ligada a los avances de la ciencia. El inicio empieza con el descubrimiento de la fotografía en el año 1839 por parte de Arago, perfeccionada por Niepce y Daguerre. Posteriormente, en el año 185, Laussedat aprovecha la fotografía para realizar planos topográficos, diseñando y haciendo construir el primer fototeodolito, dando a esta técnica el nombre de metrofotografía. En 1859 el arquitecto alemán Meydenbauer utiliza intersecciones a partir de fotografías para el levantamiento de edificios. A esta técnica la denominó fotogrametría, proviniendo de aquí el nombre. En 191 Pulfrich inventa el estereocomparador, resolviendo la identificación de puntos homólogos mediante la utilización de la visión estereoscópica. A raíz de este descubrimiento Von Orel construye el primer aparato de restitución, que permitía el trazado de curvas de nivel continuas. Todos los desarrollos realizados anteriormente fueron aplicados a la fotogrametría terrestre, pero con la aparición de los aviones, en 199 se realizan las primeras fotografías aéreas desde avión (se había hecho anteriormente desde globos aerostáticos), produciéndose su desarrollo a partir de 192. La fotogrametría aérea es más compleja que la terrestre, ya que no se sabe ni la posición ni orientación de la cámara en el momento del disparo. El primero en resolver el problema de las orientaciones de la cámara fue Von Gruber en 1924, produciéndose el desarrollo de la fotogrametría analógica. 1

3 Con el desarrollo de los ordenadores, hacia 196, se produce el inicio de la fotogrametría analítica, apareciendo el restituidor analítico, creado por el Finlandés Helava, cuyo punto álgido se alcanza en 198. La diferencia fundamental entre un restituidor analógico y uno analítico, es que en el analógico los procesos de orientación se realizaban mediante métodos ópticos y mecánicos, mientras que en los analíticos se hacen mediante procesos en un ordenador. En la transición entre ambos restituidores aparecieron unos que se denominaron semianalíticos, que eran aparatos analógicos a los que se les añadieron unos sensores que captaban las coordenadas terreno, y eran enviadas a un sistema CAD que permitía dibujar y almacenar datos. Finalmente, en los años 9 aparecen los primeros restituidores digitales con el desarrollo de la informática y las posibilidades de rapidez de proceso para la orientación en tiempo real de imágenes digitales. El desarrollo de la fotogrametría digital se debe fundamentalmente al desarrollo de los ordenadores, discos duros de gran almacenamiento, tarjetas gráficas que manejan imágenes grandes, compresión y tratamiento de imágenes digitales, etc. La etapa actual en la que nos encontramos es una toma fotográfica convencional sobre película y un tratamiento posterior sobre imagen digital procedente del escaneado de la convencional (fotogrametría digital, pero no en el proceso de toma). Se empiezan a usar cámaras digitales aerotransportadas, multiespectrales y combinación de sensores de teledetección con técnicas de fotogrametría digital para cartografía, si bien su uso actualmente (27) no está generalizado. El futuro cartográfico de la fotogrametría es el uso de cámaras digitales aerotransportadas y la fotografía desde satélite (actualmente existen satélites que comercializan imágenes con resoluciones de hasta,6 m por píxel). 2. INTRODUCCIÓN AL PROBLEMA FUNDAMENTAL DE LA FOTOGRAMETRÍA. La recontrucción geométrica de un objeto a partir de una fotografía aérea se plantea inicialmente como un problema geométrico de reconstrucción de rayos homólogos (que van a un mismo punto) desde dos puntos de vista diferentes. Fig. 1. Problema fundamental de la fotogrametría. Dado un haz de rayos perspectivos Γ y un conjunto de semirrectas SA, SB, SC... desde un punto de vista S, la reconstrucción de los puntos A, B, C... del objeto Σ sólo se puede llevar a cabo geométricamente conociendo las distancias a estos puntos. Lógicamente, no es el caso de la fotogrametría, ya que no se pueden medir esas distancias, sólo se dispone de imágenes. En este 2

4 caso sólo se puede realizar mediante la intersección de rayos homólogos desde otro punto de vista (en nuestro caso, dos fotogramas). Este proceso se realiza en fotogrametría en cuatro pasos bien diferenciados: 1. La determinación del haz perspectivo por sus datos internos, conocer la forma del haz. En el caso de una fotografía, saber la distancia focal y otros parámetros: Orientación Interna. 2. Determinación de la posición relativa de un haz respecto a otro, de tal forma que las intersecciones de puntos homólogos en la fotografía determinen los puntos del objeto: Orientación Relativa. 3. Colocación y escalado de todo el conjunto rígido en un sistema de coordenadas terreno: Orientación Absoluta. 4. Determinación e identificación de pares de rayos homólogos y los puntos del objeto o terreno: Restitución. Estos cuatro pasos constituyen el método general de la Fotogrametría. Se incidirá más detalladamente sobre estas fases y de una forma más concreta y aplicada en el presente tema. 3. LA CÁMARA FOTOGRAMÉTRICA. Un objetivo fotográfico es un sistema óptico centrado, formado por una serie de lentes o dioptrios con sus centros alineados. Sin embargo, no existe objetivo fotográfico ideal, no transforma un haz cónico de rayos que entran en el sistema en otro de salida en sentido estricto. Por esto se dice que el sistema no es estigmático, la imagen de un punto formada sobre el plano focal o plano imagen se formará en una zona de estigmatismo aproximado. En general, cualquier deformación en la imagen del punto objeto se denomina aberración. Se puede comprender por tanto que en una fotografía donde la finalidad fundamental es medir objetos, el objetivo es el elemento más importante de las cámaras fotogramétricas y el cual tiene que estar perfectamente corregido de imperfecciones. Asímismo, las lentes que forman el conjunto óptico han de estar perfectamente alineadas para formar lo que se denomina sistema óptico centrado, el cual forma una imagen perfecta en el plano focal (imagen nítida y geométricamente correcta). Se denomina distancia focal f a la distancia en un sistema óptico entre el centro de proyección y el plano imagen o focal (donde se coloca el negativo). La variación de esta distancia nos da la escala de una fotografía, así como el campo de imagen que se va a fotografiar. 3

5 Fig. 2. Distancia focal y plano focal Se denomina centro de proyección al punto O (centro del objetivo) y punto principal al punto intersección del plano focal con el eje principal. El campo de imagen se mide como el ángulo bajo el cual se ve nítida la imagen en cada distancia focal. Un ejemplo de la denominación de los objetivos en función de la variación de estos elementos podría ser: Distancia focal Objetivo Campo de imagen 88 mm Supergranangular 12º 152 mm Granangular 9º 2 mm Normal 8º 3 mm Angulo pequeño 6º En fotogrametría aérea se suele usar un objetivo granangular. Este ángulo se define como el que contiene una semidiagonal del fotograma desde el centro de proyección, de tal forma que para una fotografía estándar en fotogrametría de 23 x 23 cm (parte útil), el campo de imagen sería: α = 162,63 ar tan f Fig. 3. Campo de imagen y distancia focal En una cámara fotográfica, la limitación de entrada de rayos se hace con el diafragma, el cual se puede considerar una abertura circular centrada en el eje del sistema, la cual permite trabajar en una zona de estigmatismo aproximado. Se coloca entre las lentes del objetivo, de tal forma que limita el diámetro de entrada al objetivo. Se denomina 2ρ a la abertura útil del objetivo. El diámetro útil se suele dar a través del número N, que cumple la relación: 4

6 1 2ρ f = N = N f 2ρ Al diafragmar (variar 2ρ) se controla la cantidad de luz que entra en el objetivo, de tal forma que cuando N es pequeño, la abertura útil es mayor. El número N sigue la progresión 1, 2, ( 2 ) 2, ( 2 ) 3...( 2 ) 9. El N=1 correspondería a la abertura máxima. El obturador es el mecanismo que abre y cierra en fracciones de segundo la entrada de luz al objetivo. El tiempo que permanece abierto el obturador se denomina tiempo de exposición. La apertura de unas laminillas de cierre entre las lentes del objetivo permiten tiempos de exposición de la película desde 1/1 hasta 1/15 segundos en fotogrametría aérea, en la que los tiempos de exposición han de ser bajos para evitar desplazamientos de imagen debido a la velocidad del avión y las vibraciones. El filtro es el elemento exterior del objetivo, el cual básicamente es un cristal apropiado que cumple varias funciones. En primer lugar, reducir el efecto de luz difusa atmosférica, difundida por partículas atmosféricas que no deja pasar la luz procedente de partes en sombra. Por otro lado, contribuye a la distribución uniforme de la luz por todo el plano focal, a la vez que protege a las lentes principales del objetivo. En fotogrametría aérea, los filtros hacen que no sea necesario el uso del diafragma (función de atenuación del exceso de luz). Todo este conjunto de lentes, diafragma, filtros y obturador constituyen en una cámara aérea lo que se denomina cono exterior o simplemente objetivo. El cono interior es el espacio comprendido entre el conjunto anterior y el plano focal, que es donde se forma la imagen. En el plano focal, lógicamente, se coloca la película a impresionar y además de la imagen, se impresionan una serie de datos marginales en cada fotograma, variables según la cámara, que pueden ser: Marcas fiduciales: marcas fundamentales en las esquinas y en el medio de los bordes que como veremos posteriormente, son esenciales para determinar la geometría del fotograma. Altímetro: registra la altura de vuelo del avión. Nivel esférico: proporciona información aproximada de la inclinación del eje principal en el momento de la toma. Número y tipo de cámara. Distancia focal del objetivo. Fecha y hora de la fotografía. Número de fotografía (4 dígitos) dada correlativamente por un sistema contador a medida que avanza la película. Información adicional: espacio para anotar otros códigos, lo más normal es la zona o denominación del proyecto. Es fundamental para evitar distorsiones geométricas y ópticas que la película en el plano focal se encuentre perfectamente plana. Esto se consigue, además de por la presión de una plancha que sujeta la película contra el marco, por un sistema con una bomba de vacío de aire. Un pequeño motor hace la secuencia completa de la toma fotográfica: desconecta el sistema de vacío, hace avanzar la película, conecta el sistema de vacío, ilumina los sistemas de información marginal en el plano focal, abre el obturador y lo cierra. En el almacén se aloja la película, normalmente de tipo rollo, con capacidad para almacenar películas de 12 a 15 metros. Con el formato estándar de 23 cm, un rollo de 12 metros permite casi 5 exposiciones. 5

7 Existen otros muchos mecanismos adicionales, como un compensador de movimiento de imagen, que produce un pequeño movimiento de la película en la dirección del vuelo (pero en sentido contrario) para compensar el movimiento de imagen debido al del avión. En alturas de vuelo pequeñas su función es más importante. La montura de la cámara con el fuselaje está realizada a través de un sistema amortiguador de vibraciones y suspendida de tal forma que permita giros en torno a tres ejes principales, de tal forma que el operador tiene la posibilidad de orientar o retocar la horizontalidad de la cámara en todo momento. El visor permite al operador ver en cada momento la imagen del terreno a fotografiar y un intervalómetro hace que automáticamente la cámara vaya disparando en función del recubrimiento longitudinal (fracción de imagen común en una fotografía y la siguiente) que se haya seleccionado. El exposímetro tiene como función seleccionar la velocidad de obturación y abertura del diafragma en función de la luz disponible y la sensibilidad de la emulsión, de una manera automática, al igual que se realiza en cualquier cámara fotográfica convencional. La georreferenciación en lo posible del centro de proyección fotográfico se realizaba antiguamente con aparatos auxiliares de navegación, pero actualmente, en cualquier vuelo fotogramétrico de cierta magnitud, estos datos se registran con Sistemas de Posicionamiento Global GPS y sensores inerciales INS (Inertial Navigation System). Posteriormente veremos para qué sirven estos datos y cómo se tratan. En cuanto a los aviones fotogramétricos que se emplean, deben de cumplir unas características especiales en cuanto a estabilidad, velocidad reducida (en pequeñas alturas de vuelo, 2 km/hora), gran autonomía, buen acondicionamiento de los equipos fotogramétricos, etc. La tripulación suele estar formada por el piloto, un navegante que controla la ejecución del vuelo con respecto a un plan trazado y el fotógrafo. 4. LA PELÍCULA FOTOGRÁFICA. Es evidente que la calidad final de la imagen viene directamente condicionada por las propiedades de la película fotográfica en cuanto a granularidad y concentración de la emulsión, poder de resolución y sensitometría. La estructura de la película está formada por un soporte de poliéster de.1 mm de espesor sobre el cual está la emulsión, una mezcla de cristales de bromuro de plata e ioduro de plata suspendidos en gelatina. Debajo del soporte hay una capa denominada antihalo que impide que por efecto de reflexiones en el soporte se formen zonas muy iluminadas. Es de capital importancia que la película forme un conjunto no deformable en cuanto a forma y dimensiones por efecto de humedad o temperatura. El poder de resolución o poder separador de una película es el número de líneas que podemos distinguir en un milímetro. Se suelen utilizar películas del orden de 75 líneas por milímetro. La emulsión se acumula en lo que se denomina grano, de tal forma que el tamaño de este grano es lo que le da la principal característica a la película. Películas de grano grueso serán rápidas (necesitarán tiempos de exposición cortos) y tendrán una resolución o poder separador pequeños. Por el contrario, películas con grano fino producirán una imagen con mayor resolución, pero serán lentas (necesitarán tiempos de exposición largos). Esto produce una contradicción en fotogrametría aérea: los tiempos de exposición han de ser cortos para no producir desplazamientos de imagen debidos a la velocidad del avión, pero sin embargo, se 6

8 requiere una gran resolución de imagen, por lo que es necesario llegar a un compromiso entre ambos factores. El tamaño del grano oscila entre medio y dos micrones. La granularidad mide el tamaño del grano por medio de un microdensitómetro. La velocidad de una emulsión se mide por lo que se denomina su curva característica, que muestra las variaciones de densidad en función de los logaritmos de ciertas características de toma: duración de la exposición, iluminación y exposición. En fotogrametría aérea se utilizan emulsiones de gran velocidad, ya que las exposiciones han de ser cortas y la luz, escasa. Cada emulsión tendrá su familia de curvas características para diferentes tiempos de revelado. La escala más utilizada para su denominación es la ASA (American Standar Association). En cuanto a la sensibilidad que tiene la emulsión o respuesta frente a diferentes radiaciones, podemos clasificarlas en: Ortocromáticas: sensibles al rojo y al violeta (hasta.6 micras de longitud de onda). Pancromáticas: sensibles a todo el espectro visible (máximos en violeta, rojo y amarillo). Infrarrojos: sensibles hasta el infrarrojo, normalmente al cercano o próximo (hasta 1.5 micras de longitud de onda). Normalmente se utilizan emulsiones en blanco y negro, ya que tienen mayor contraste para su posterior tratamiento, aunque los fotogramas en color tienen mayores posibilidades en cuanto a fotointerpretación de elementos. También la combinación filtro-película ofrece un mayor interés en fotointerpretación para fenómenos localizados en una determinada zona espectral. 5. LA IMAGEN DIGITAL. Actualmente la FGM analógica y analítica han dado paso a la FGM digital, donde todas las operaciones se realizan analíticamente sobre imágenes digitales en estaciones fotogramétricas por ordenador. Una imagen digital es una función F (x, y) donde x e y son las coordenadas en elementos diferenciales de imagen (píxel) que tienen atribuido un cierto valor (color o nivel de gris en el caso de imágenes en blanco y negro). Esta matriz de pixels F (x, y) puede ser unidimensional, como en el caso de las imágenes en blanco y negro o multidimensional, como en el caso de las imágenes en color, formadas por la superposición de tres capas o matrices unidimensionales con los colores básicos rojo, verde y azul. Las imágenes de satélite suelen tener múltiples dimensiones en tanto en cuanto almacenan información de diferentes intervalos del espectro (ultravioleta, visible, infrarrojo próximo, medio, lejano, etc). Incluso las imágenes multiespectrales almacenan la información de pequeños intervalos del espectro, más de 1 capas. Aunque las imágenes con las que se trabaja son digitales, la toma aún puede ser analógica, mediante cámara convencional, ya que el uso de cámaras fotogramétricas digitales aún no está muy extendido debido al alto coste de una cámara digital (actualmente, en 27, alrededor de 1 millón de euros). La fotografía convencional es escaneada mediante escáneres digitales de alta resolución. Es importante no perder resolución desde la fotografía convencional a la digital. Por ello se suele utilizar la relación entre líneas pares por mm (R) y el intervalo de barrido o tamaño de píxel ( D) siguiente: 7

9 ,7 D( mm) < 2R Para determinar la resolución de una imagen digital hay que distinguir: Resolución geométrica o espacial: tamaño del píxel. Se mide en micras (µm) por píxel. El estándar en FGM digital suele estar entre 1 y 3 micras por píxel. Resolución radiométrica: número de niveles digitales (ND) que puede tomar cada píxel. Depende del número de bits que se utilicen para la codificación. Si la imagen se codifica en 8 bits, se tendrán 2 8 = 256 posibles valores a almacenar en cada elemento de la matriz. En una imagen en blanco y negro se tendrá desde el negro () hasta el blanco (255). 6. ASPECTOS GEOMÉTRICOS DE LA FOTOGRAFÍA AÉREA VERTICAL. Los tipos de fotografías aéreas en función de la inclinación del eje de la cámara son: Verticales. Cuando el ángulo que forma el eje óptico de cámara con la vertical no supera los 3. Oblicuas. Aquellas en las que el ángulo que forma el eje óptico de la cámara y la vertical es superior a 3. Panorámicas son las que en la fotografía aparece el horizonte. En fotogrametría aérea las fotografías utilizadas son la verticales, siendo tomadas con una cámara aérea calibrada. Estas son cámaras cuyos elementos internos son estables y perfectamente conocidos mediante procesos de calibración CALIBRACIÓN DE UNA CÁMARA MÉTRICA. La calibración de una cámara métrica consiste en determinar los parámetros internos, para poder reconstruir el haz (orientación interna), como veremos posteriormente. El resultado de un proceso de calibración es la emisión del certificado de calibración de la cámara que da los elementos siguientes: Distancia focal de la lente. Coordenadas de las marcas fiduciales. Posición del punto principal, respecto al centro fiducial. Distorsión radial del objetivo mediante una gráfica o tabla. La mayoría de los procesos de calibración se realizan en laboratorios, aunque también existen metodologías para la obtención de los elementos mediante observaciones de campo. El proceso normal consiste en fotografiar una placa reticulada de gran estabilidad dimensional cuyos puntos de la retícula tienen coordenadas perfectamente definidas. La comparación entre estas coordenadas y las resultantes de medir su imagen en la fotografía, establece los parámetros de calibración interna de la cámara ESCALA DE LA FOTOGRAFÍA. 8

10 Al ser una fotografía una proyección cónica la escala en la fotografía sería uniforme en el caso que el terreno fuera llano, como este no es un caso habitual la escala depende del punto imagen, y por lo tanto el concepto de escala de la fotografía carece de rigor matemático. En un terreno llano la escala de la fotografía vendría determinada por la relación entre una distancia en la foto y una en el terreno. 1 E = f D = ab AB siendo D la altura de vuelo del avión sobre el terreno. En el caso de un terreno normal la escala de la fotografía vendría dada por la siguiente relación: 1 E = f H h siendo H la altura de vuelo de avión sobre el nivel medio del mar y h la altura terreno del punto considerado. Al haber una escala por cada punto imagen, se hace necesario definir el concepto de escala medio del fotograma, en el que la altura h queda determinada por una altitud media de los puntos representativos de la fotografía. 1 E = f H h m Por otro lado y hablando de escalas, conviene tener presente que la fórmula que relaciona la escala de la fotografía con la escala de la cartografía final es: E = 2 E c donde E es el denominador de la escala de la fotografía y E c es el denominador de la escala dela cartografía. En una primera aproximación, para el establecimiento de un proyecto fotogramétrico, tendremos presente primera la escala cartográfica que queremos, a partir de ahí deducimos la escala fotográfica, y con ello, la altura aproximada a la que será necesario volar la zona PASO DE COORDENADAS FOTO A COORDENADAS TERRENO. En una primera aproximación, se puede establecer la siguiente analogía entre coordenadas fotografía y coordenadas terreno a partir de la figura: 9

11 Z f O a H-ha H Y A ha X Fig. 4. Geometría de la foto aérea vertical f H h A = x X a A X A = H h f A x a f H h A y = Y a A Y A = H h f A y a donde: f es la distancia focal de la cámara. H es la altura de vuelo sobre el nivel medio del mar h A es la altura del punto A del terreno, sobre el nivel medio del mar. x,y coordenadas foto. X Y coordenadas terreno DESPLAZAMIENTO DEBIDO AL RELIEVE. Debido al relieve, un punto imagen va a sufrir un desplazamiento en la fotografía de forma siempre radial al centro principal de la foto. Si observamos la figura, por semejanza de triángulos establecemos: 1

12 Fig. 5. Desplazamiento debido al relieve dr r = h H dr = h H r Lo cual implica que el desplazamiento debido al relieve también está directamente relacionado con la posición del punto en la fotografía en sentido radial (r), de tal forma que un punto situado en el punto principal (r = ), lógicamente no experimentará ningún desplazamiento. 7. LA VISIÓN ESTEREOSCÓPICA. La visión estereoscópica es la propiedad que tenemos para la observación de objetos en tres dimensiones y es el fundamento y la condición fundamental para obtener la tercera coordenada o altura en el proceso fotogramétrico. El ojo humano normal recibe la información tridimensional de un objeto por la diferencia de imágenes captada por los ojos respecto a un mismo objeto. Esta diferencia se debe a que la imagen formada en cada ojo es una proyección central con centro de proyección diferente. Esta propiedad permite que al observar dos fotografías de una misma zona, pero tomadas en el vuelo fotogramétrico desde dos puntos diferentes (fotogramas consecutivos con una parte común denominada recubrimiento) y bajo unas ciertas condiciones, podemos obtener una sensación tridimensional de la zona. Como se ha dicho, este es el fundamento de la fotogrametría. 11

13 Fig. 6. Condiciones de toma y puntos homólogos Las condiciones que han de darse para ver el relieve en un par de fotografía aéreas son: 1. Cada ojo debe observar únicamente una de las imágenes: el ojo izquierdo la fotografía izquierda y el ojo derecho, la fotografía derecha. 2. Las fotografías han de observarse reproduciendo las condiciones geométricas aproximadamente de la toma, para que los haces de visión de los ojos intersecten. Si en el proceso el resultado es que se ven dos imágenes paralelas, significa que hay paralaje vertical. Para eliminarlo hay que mover una de los fotogramas respecto al otro. La visión directa del denominado modelo estereoscópico es muy difícil, por lo cual se utilizan diversos sistemas de visualización, entre los que destacan estereóscopos, anaglifos, filtros de polarización y diafragmas sincrónicos. Los estereóscopos pueden ser de refracción o de reflexión. Se componen de dos lentes convergentes de igual distancia focal como unas gafas que permiten con unas patas, colocarlas encima del modelo estereoscópico. La visión se realiza con líneas paralelas, de tal forma que la distancia real de visión es igual a la focal de las lentes y por tanto el observador tendrá la impresión de que las imágenes proceden del infinito y no existirá convergencia en los ojos. También se asegurará que cada ojo mira a su imagen correspondiente. Las fotografías se colocan superponiéndolas, teniendo a la vista la zona del modelo estereoscópico. En los estereóscopos de reflexión o de espejos las fotografías se colocan separadas, ya que unos espejos a 45º producen la reflexión de los rayos ópticos para que lleguen a las lentes. Están provistos de unos binoculares de entre 3 y 8 aumentos, ya que la distancia lente-plano es mucho mayor. La observación con estos es mucho más cómoda y sencilla, al mismo tiempo que aumenta la percepción del relieve. En ambos casos, la observación se hace con líneas de visión paralela. Los otros métodos son de observación con líneas de visión convergente, más cómodos y naturales. En el método de anaglifos, los fotogramas del modelo se colorean de forma individual con colores complementarios, normalmente azul en el izquierdo y rojo en el derecho, observando con lentes coloreadas al revés, de tal forma que cada ojo ve sólo una imagen, cumpliéndose el requisito fundamental de la visión estereoscópica: el ojo que observa a través del filtro rojo percibirá el fondo del papel como rojo y todo lo que está impreso en rojo se confundirá y por tanto no se visualizará, mientras que si visualizará lo que está en azul y viceversa. 12

14 En los métodos de polarización, la luz se polariza (vibra) y se propaga, interponiendo en la trayectoria del rayo de la imagen izquierda y derecha filtros de polarización en planos perpendiculares, de tal forma que la luz procedente de cada imagen sólo se vibrará en un plano del espacio, siendo estos perpendiculares entre sí. La observación se realiza con unas gafas con cristales con filtros de polarización en planos perpendiculares entre sí, con lo cual con cada ojo sólo se verá la imagen correspondiente. Las imágenes están mezcladas, superpuestas, pero cada una se polariza de una forma diferente. La ventaja de este método respecto al anterior es que permite observar la imagen en sus colores naturales. Otro sistema es el de diafragmas sincronizados que se abren y se cierran simultáneamente en proyectores y gafas de forma síncrona y con gran rapidez. 8. PARALAJE ESTEOROSCÓPICA: PRINCIPIO DE LA MARCA FLOTANTE. En el vuelo fotogramétrico la cámara va tomando fotografías sucesivamente tomando una porción de terreno común para tenerla desde dos puntos de vista diferentes y poderla ver estereoscópicamente. El porcentaje de terreno común en una fotografía y la siguiente se denomina recubrimiento (p). Se denomina paralaje, en general, al desplazamiento aparente en la posición de un objeto fijo respecto a un cierto sistema. De la misma forma, al desplazamiento de la imagen de un punto en dos fotogramas sucesivos debido al cambio de posición de la cámara se denomina paralaje estereoscópica o paralaje horizontal. Fig. 7. Paralaje estereoscópica Si llamamos paralaje de A, p A = a 1 a' 2 podemos establecer que: p f A = H A B Z A p A = B f H Z A A 13

15 y por tanto el paralaje de un punto depende de dos factores fijos en cada par como son la distancia focal f y la base o distancia entre tomas B y un factor que es variable: la altitud del punto, de lo cual se deduce que el paralaje está directamente relacionada con este factor, siendo mayor para los puntos más altos (A) y menor para los más bajos (B). Esta es la base fundamental en que se sustenta la determinación de altitudes en un par fotogramétrico. Si colocamos ambas fotos en una mesa y fijamos la distancia B a escala fotográfica y medimos paralajes entre puntos, podríamos saber la diferencia de altitud entre esos puntos. En este principio se basa la antigua barra de paralajes, utilizada manualmente para medir diferencias de altitud entre puntos. Hasta ahora, esta paralaje es exclusivamente horizontal, p x (en sentido del eje X o dirección de vuelo), pero existe otra paralaje, mucho menor, en el sentido del eje Y, denominada vertical, p y debida a que las fotos no están perfectamente orientadas entre sí como en el momento de la toma. Más adelante veremos que la orientación relativa de un par fotogramétrico consiste precisamente en eliminar, dentro de lo posible, este paralaje vertical, cuyo efecto visual será el de ver dos imágenes monoscópicas en lugar de una estereoscópica, en el caso de que este paralaje vertical sea muy grande. Resumiendo, el paralaje podemos decir que es la diferencia de posición de dos puntos imagen homólogos en dos fotografías consecutivas. Tiene dos componentes, una vertical que impide la visión estereoscópica perfecta que se elimina en el proceso de orientación relativa (girando y moviendo una foto respecto a otra) y una componente horizontal que es función de la altitud de los puntos y que nos dará el dato esencial en el proceso fotogramétrico. Independientemente del sistema utilizado en el proceso fotogramétrico (analógico, analítico o digital), la medición de la altitud en cualquier sistema se hace gracias al denominado principio del índice flotante, formulado por Stolze en Imaginemos que en la observación de un modelo estereoscópico colocamos dos marcas consistentes en cuadrados transparentes con una pequeña marca puntual en cada uno sobre un punto imagen y su homóloga en la otra foto. Al observar estereoscópicamente y producirse la fusión, estas marcas también se fundirán y solamente las veremos como una sola. Además, la percepción del observador en el modelo tridimensional es que la marca se apoya sobre la imagen y está a la misma altitud que el punto, se dice que la marca está "posada" sobre el punto. Fig. 8. Principio de la marca flotante 14

16 Este principio es el que ha sido aplicado tradicionalmente a los instrumentos de fotogrametría, de tal forma que la medida de coordenadas para el trazado de mapas por fotogrametría (restitución) se sigue realizando con un índice "posado" sobre el terreno. 9. PROBLEMA FUNDAMENTAL DE LA FOTOGRAMETRÍA. Como se ha visto hasta ahora, la reconstrucción de la posición de un par de fotogramas tal y como se hicieron en el momento de la toma, permite una visión estereoscópica del modelo fotogramétrico. Igualmente, esa reconstrucción de la posición de los fotogramas, por analogía geométrica, nos permitirá la medición de coordenadas tridimensionales para la elaboración del mapa. Fig. 9. Modelo estereoscópico Este precisamente es el problema fundamental de la fotogrametría en el proceso: la reconstrucción de la geometría en el espacio (a escala) de las posiciones de los fotogramas. Con ello podremos reconstruir geométricamente (o mejor dicho, analíticamente) los haces perspectivos que unen pares de puntos en el fotograma izquierdo y derecho con los correspondientes puntos en el terreno. Para reconstruir los haces perspectivos que determinan los puntos A, B, etc, el problema se resuelve con tres orientaciones sucesivas: - Orientación interna: consiste en averiguar la focal (es un parámetro constante de la cámara si se ha hecho la calibración correspondiente) y la posición del punto principal en cada fotograma, w. Esto se puede resolver midiendo las coordenadas en un determinado sistema (que denominaremos sistema fotografía) de las marcas fiduciales. - Orientación relativa: consiste en orientar los dos fotogramas en el espacio en la misma posición que en el instante de toma, es la orientación espacial del haz de rayos perspectivos. Si orientando una foto con respecto a otra conseguimos eliminar la paralaje vertical, el problema estará resuelto, el rayo a 1 O 1 se cortará con el rayo a 2 O 2, precisamente en el punto A. 15

17 La orientación relativa consistiría en el posicionamiento de un sólido en el espacio, es decir, un problema de 6 incógnitas: 3 translaciones y 3 giros alrededor de los tres ejes principales. En realidad, 5 incógnitas, ya que la modificación de la base en sentido del eje de vuelo (b x ) sólo modificará la escala del modelo, modificando asimismo la paralaje horizontal p x y no la paralaje vertical, que es la finalidad de la orientación relativa (eliminarla). Si se ha conseguido esto, fijándonos en la figura anterior, podemos imaginar que tenemos materializado el modelo del terreno (a escala), pero el conjunto rígido de fotogramas con centros de proyección, haces perspectivos y modelo no están fijados aún en una posición en el espacio con respecto al sistema de referencia terrestre de coordenadas. - Orientación absoluta: sería el posicionamiento y nivelación del modelo con respecto al sistema de referencia terrestre, así como averiguar la escala del modelo. Por ello habría 7 incógnitas en este problema. Se resuelve con la ayuda de puntos de control o puntos de apoyo medidos en el terreno e identificables en los fotogramas. Con las coordenadas terreno de 3 puntos (X, Y, Z) podríamos llevar el modelo a su posición absoluta en el espacio (3 traslaciones) y "nivelarlo", fijar la orientación del modelo respecto al sistema de coordenadas (3 giros). Realizadas estas tres orientaciones, el modelo estaría orientado y se podría empezar a determinar coordenadas absolutas de los puntos que midamos. En esta idea general y resumida del problema diremos que un instrumento que permite hacer todas estas operaciones se llama restituidor. Las diferentes maneras de resolver y tratar el problema da lugar a diversos tipos de restituidores y ramas de la fotogrametría. Los restituidores ópticos y mecánicos aportan soluciones analógicas al problema: los clichés fotográficos en forma de diapositiva son dispuestos en unas placas de vidrio e iluminados desde arriba. Las placas de vidrio pueden girarse en torno a tres ejes, de tal forma que permiten la orientación relativa, mientras que complejos mecanismos, como brazos mecánicos materializan los rayos perspectivos y por medio de engranajes se miden coordenadas. Esta es la solución de la fotogrametría analógica, con restituidores óptico-mecánicos, actualmente en completo desuso. Posteriormente, la solución analítica en potentes ordenadores, planteando las ecuaciones correspondientes para las diferentes orientaciones según la zona del modelo que se estuviera explorando y aparatos con servomotores para el movimiento de placas, vino a sustituir el concepto tradicional de la fotogrametría analógica, dando lugar a la fotogrametría analítica. Básicamente se trata de un estereocomparador que mide las coordenadas placa (x, y) y un ordenador que realiza la transformación analítica a coordenadas terreno (X, Y, Z). Estos aparatos se desarrollaron a partir de los años 8 hasta finales de los 9, una vida relativamente corta. Actualmente, el bajo coste de la fotogrametría digital, así como su versatilidad y rendimiento, ha desplazado completamente a los restituidores analíticos, si bien los planteamientos matemáticos en el problema de la fotogrametría en la analítica apenas han cambiado respecto a la digital. Los restituidores digitales son simples ordenadores con el software correspondiente y un sistema de visualización estereoscópica de anaglifos, gafas polarizadas o similar. Los principios matemáticos y las explicaciones que a continuación se desarrollan para resolver el problema fundamental de la fotogrametría se referirán a las técnicas de fotogrametría analítica y digital, ya que la analógica, usada hasta hace pocos años, ha pasado ya definitivamente a la historia. 16

18 1. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS. En todo el proceso fotogramétrico se han de establecer analogías entre los diferentes sistemas de coordenadas que se dan, por lo cual es necesario hacer una primera aproximación a las transformaciones entre diferentes sistemas de coordenadas Transformación bidimensional conforme. Es la transformación más sencilla que se puede realizar entre dos sistemas de coordenadas. La condición de conformidad implica la conservación de la forma entre ambos sistemas. Se lleva a cabo en tres pasos básicos: Giro. Fig. 1. Giro en la transformación bidimensional. OC = OD CD = OD AB OC = OB cos α - PB sen α X = x cos α - y sen α PC = PA + AC = PA + BD PC = PB cos α + OB sen α Y = x sen α - y cos α Traslación. Si los orígenes de ambos sistemas son diferentes, habrá que dar una traslación al sistema (x, y): Factor de escala. X = x + T x Y = y + T y X = λ x Y = λ y Con lo que de forma global se tendrá que la transformación bidimensional es: 17

19 X = λ (x cos α - y sen α) + T x Y = λ (x sen α + y cos α) + T y Y matricialmente: X cosα = λ Y sinα sinα x T + cosα y T x y Esto es lo que se conoce como transformación Helmert bidimensional Transformación de semejanza tridimensional. Análogamente, en tres dimensiones, existirán tres giros superpuestos en torno a los ejes x, y, z, que llamaremos Ω, φ, Κ respectivamente. Observando la figura, el paso del sistema (x, y, z) al sistema rotado alrededor del eje x (x Ω, y Ω, z Ω ), que es perpendicular al plano del papel, vendrá dado por: PA = AD + DP = BC + DP PA = OC sen Ω + CP cos Ω y Ω = z sen Ω + y cos Ω OA = OB AB = OB CD OA = OC cos Ω - CP sen Ω z Ω = z cos Ω + y sen Ω x Ω = x Fig. 11. Giro Ω en la transformación tridimensional. Con lo que el primer giro, matricialmente, sería: x y z Ω Ω Ω 1 = cosω sin Ω x' sin Ω y' cosω z' Análogamente con los otros giros φ, κ alrededor de los ejes y, z serán: 18

20 x y z φ φ φ cosφ = sinφ 1 sinφ x' y' cosφ z' x y z Κ Κ Κ cosκ = sinκ sinκ cosκ x' y' 1 z' Llamando a las matrices de giro R Ω, R φ, R κ, la matriz de giro total será: R = R Ω, R φ, R κ Añadiendo el factor de escala y la traslación de ejes, el sistema finalmente resultará: X a11 a12 a13 x Tx + Y = λ a21 a22 a23 y Ty Z a a a z T z donde los elementos de la matriz de rotación a ij han de ser linealizados. 11. SISTEMAS DE COORDENADAS. Los diferentes métodos de orientación se basan en el establecimiento de una correspondencia matemática entre coordenadas fotografía y coordenadas terreno, a veces pasando por coordenadas modelo. Aunque ya se ha apuntado anteriormente, conviene conocer más detalladamente los sistemas usualmente empleados en fotogrametría Sistemas de coordenadas fotografía. Es en el que originalmente se miden las coordenadas de los puntos en la imagen, definiéndolo como un sistema rectangular con origen en el punto principal w, con eje x en dirección del eje de vuelo y eje y perpendicular a éste, de tal forma que cualquier punto de la imagen quedará determinado por un par de coordenadas bidimensionales (x p, y p ). La materialización de estos ejes en la fotografía queda definido por las marcas fiduciales, definiendo como intersección de estas marcas el centro fiducial. Se denomina sistema fiducial al determinado por estas marcas, cuyo centro es el centro fiducial y los ejes de coordenadas pasan por las marcas fiduciales. Ahora bien, rara vez coincide este centro con el punto principal de la proyección. El desplazamiento existente entre ambos centros (el fiducial sería el centro geométrico y el punto principal sería el físico) viene dado por las coordenadas del punto principal (x, y ). Si desplazamos el origen del sistema anterior desde el centro fiducial al punto principal (una traslación en x y otra en y) tenemos el sistema de coordenadas fotografía. Precisamente son estos valores, coordenadas del centro principal (x, y ) y la distancia focal f, junto con los parámetros de distorsión, constituyen las incógnitas a resolver en la orientación interna, los cuales se determinan con el certificado de calibración de la cámara y midiendo las coordenadas fotografía de las marcas fiduciales. 19

21 En efecto, si medimos las coordenadas fotográficas de las 8 marcas fiduciales de un fotograma y las comparamos con las que da el certificado de calibración de la cámara, realizado en laboratorio, podemos averiguar la posición del centro fiducial respecto al centro principal y reducir así posteriormente todas las medidas al centro de proyección como origen del sistema de coordenadas fotografía. Como ya se ha comentado, los otros dos componentes del certificado de calibración necesarios para la orientación interna son la focal y una función de distorsión. Es evidente que la focal será la tercera coordenada (z) para todos los puntos de la imagen en un sistema tridimensional. En la práctica, cualquier medición de coordenadas fotografía tomará como origen el centro fiducial y por consiguiente, la coordenada de cualquier punto en el sistema tridimensional será (x p -x, y p -y, -f) en el positivo y (x p -x, y p -y, f) en el negativo. Fig. 12. Sistema fiducial y sistema de coordenadas fotografía Sistema de coordenadas modelo. Es el sistema de coordenadas tridimensional formado por los puntos del modelo estereoscópico formado en un aparato restituidor, teniendo como origen de coordenadas el centro de proyección del fotograma izquierdo, eje x, dirección de vuelo y eje z, eje principal de la fotografía. Es un sistema particular para cada modelo, de tal forma que al ir uniendo varios modelos son necesarias sucesivas transformaciones tridimensionales. En cualquier caso, si bien este sistema ha sido utilizado como artificio por la fotogrametría analógica y posteriormente la analítica, ha dejado de tener validez para la fotogrametría digital, en la que las correspondencias matemáticas se realizan directamente de coordenadas fotografía a coordenadas terreno, sin pasar por este sistema intermedio Sistema de coordenadas terreno. Se trata de las coordenadas reales en el datum y proyección correspondiente del terreno que se va a cartografiar: en el caso de España, coordenadas en ED5 (European Datum 195) en proyección UTM (Universal Transversal Mercator). Conviene aclarar antes de comenzar a ver los pasos de orientación para la formación del modelo estereoscópico que se deben hacer una serie de correcciones a las coordenadas medidas en la fotografía, en función de los datos obtenidos en la calibración de la cámara y de las condiciones de la toma. Estas se pueden enumerar en las siguientes: Reducción de coordenadas del centro fiducial al punto principal. 2

22 Como ya se ha indicado anteriormente, la intersección de las marcas fiduciales normalmente no coincide con el centro de proyección o punto principal w a partir del cual se tiene que regenerar la geometría perspectiva. Por tanto, es necesario realizar un par de translaciones. Si se denominan en el sistema fotografía con origen el centro fiducial como (x, y ) las coordenadas del punto principal y medimos cualquier punto (x p, y p ), las coordenadas corregidas serán: x p = x p + x y p = y p + y Corrección de deformaciones del soporte. El soporte, normalmente película, puede estar sometido a distorsiones dimensionales, función del tipo de material, temperatura y humedad, edad, tratamiento efectuado, etc. Se estima la deformación máxima en un,2% para película y distorsiones mayores para papel fotográfico, hasta el 2%. Si se sospecha de deformación, lo más normal es aplicar una transformación bidimensional, lineal y conforme que corrige las deformaciones de forma uniforme: x y c c = ax by + T = bx + ay + T x y donde x c, y c son las coordenadas calibradas de las marcas fiduciales x, y son las coordenadas medidas de las marcas fiduciales T x, T y traslaciones a = cos α, b = sen α, giros en torno a x e y Una vez determinados estos parámetros con las marcas fiduciales, se aplica la transformación al resto de coordenadas. Corrección por distorsión del objetivo. La distorsión radial del objetivo (existe otra tangencial) es sin duda la componente más perturbadora de la posición de los puntos en la imagen fotográfica. Depende de la distancia radial de cada punto y se suele expresar por medio de una función polinómica de grado impar del tipo: r = K r + K 2r + K3r + donde r es la distancia radial del punto imagen. A veces, simplemente se trabaja con K 1. Por geometría, la distorsión que provoca sobre las coordenadas imagen:... r r = x x x y = y y De donde se obtiene que las coordenadas corregidas (x, y ) son: 2 4 x ' = ( x x ) x = ( x x )(1 K1r K 2r...) 2 4 y ' = ( y y ) y = ( y y )(1 K r K r...)

23 Corrección por refracción atmosférica. Las correcciones por efecto de la refracción al curvarse un rayo perspectivo en el espacio como consecuencia de ir atravesando capas de diferente densidad, puede aplicarse en fotografías de escala pequeña. Se puede aplicar la fórmula: 3 r r = K( r + ) 2 f siendo K un coeficiente en función de las condiciones de presión, temperatura y humedad en el momento de la toma. Existen diferentes modelos para calcular este coeficiente y la expresión que da la influencia sobre las coordenadas es equivalente al caso anterior, con desplazamiento en sentido radial. Corrección por esfericidad terrestre. Al igual que en el caso anterior, existe un desplazamiento notable del punto imagen como consecuencia de la curvatura terrestre que tiene una influencia no despreciable en fotografías de pequeña escala, si bien esta se aplica más que la anterior porque su influencia es bastante mayor. La influencia a partir de escalas 1/1. suele ser ya bastante considerable. La expresión que se suele utilizar para evaluar el desplazamiento radial y su posterior corrección en la imagen es: 3 H ' r r = 2 2R' f donde H es la altura de vuelo sobre el terreno y R el radio de la Tierra más la altitud media del terreno. Para hacernos una idea, incluso a escala 1/5, con r = 15 mm, y focal 15 mm el desplazamiento es de 9 µm, mientras que para una escala 1/4 es de 71 µm, una cantidad ya nada despreciable. Normalmente, la conveniencia o no de realizar estas correcciones se le pueden indicar al principio al restituidor. El conjunto de correcciones efectuadas a las coordenadas fotografía constituye lo que se denomina refinamiento de coordenadas. 12. LA ORIENTACIÓN INTERNA. Como ya se ha comentado anteriormente, en el proceso de orientación interna se determinan: - Las coordenadas del punto principal (x, y ) respecto al centro fiducial determinado por la intersección de las marcas fiduciales. Para ello se miden coordenadas fotografía de las marcas fiduciales y se comparan con las dadas en el certificado de calibración de la cámara. - La distancia focal f de la cámara, también en el certificado de calibración. - La función de distorsión de las lentes del objetivo. Esta función de distorsión tiene varias componentes, pero el comportamiento principal es de forma radial, de tal forma que se puede comprobar que las alteraciones geométricas en la fotografía van a depender fundamentalmente de la distancia al centro de proyección. Así, la función de distorsión dada por el certificado de calibración de la cámara consiste en una tabla que da el incremento en la distancia radial al centro de proyección r en función de la distancia radial r. 22

24 La determinación de la curva de distorsión de una cámara métrica se hace en laboratorio, normalmente fotografiando una placa reticulada, midiendo posteriormente las coordenadas fotografía de la retícula resultante en la imagen y comparándolas con las reales. La función de distorsión radial en el certificado de calibración es la resultante a la media de las cuatro semidiagonales. Lo normal es un incremento de la distorsión en función de r. En este ejemplo se puede ver la función de distorsión y su representación gráfica. r (mm) r (µm) dr r Fig. 13. Distorsión radial del objetivo El resultado es la corrección de coordenadas fotografía medidas. Existen otra serie de factores en la corrección a las coordenadas fotografía medidas a tener en cuenta en algunos casos, vistas anteriormente: distorsión tangencial (dirección perpendicular a la radial), esfericidad terrestre y refracción atmosférica (a tener en cuenta sobre todo la primera en pequeñas escalas de fotografía), deformación de la película, ondulación del plano focal, etc. En cualquier caso, una vez resuelta la orientación interna, tenemos la primera parte del problema resuelto. En la mayoría de los restituidores digitales, la operación consiste en la medición de las marcas fiduciales de ambos fotogramas (en muchos casos puede ser una operación automática) y tener el fichero del certificado de calibración de la cámara. En los restituidores analíticos, el proceso comienza por dirigir el índice en las placas hacia la primera marca fiducial, calculando unos parámetros de traslación para dirigirlas a la segunda marca. Después de esta medida, se calcula una rotación que permite mayor exactitud en el resto de las marcas. En fotogrametría digital, el proceso es el mismo, posicionando el índice sobre las marcas fiduciales e incluso la mayoría permiten una medición automática de las marcas fiduciales por correlación: correspondencia por mínimos cuadrados o por plantillas. 13. LA ORIENTACIÓN RELATIVA. COLINEARIDAD Y COPLANARIEDAD. La orientación relativa se lleva a cabo para determinar en un par fotogramétrico las orientaciones angulares y la posición relativa de ambas fotos en el momento de la toma para asegurar que rayos homólogos intersecten. De esta forma, los parámetros que se establecen son relativos, de una fotografía respecto a otra en el espacio. 23