SENA: CENTRO BIOTECNOLOGIA INDUSTRIAL PROGRAMA DE FORMACIÓN: TECNOLOGO GESTION LOGISTICA

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1 Por población o universo se entiende como un conjunto de medidas, cuando estas son aplicadas a una característica cuantitativa, o como el recuento de todas las unidades que presentan una característica común, siendo esta cualitativa. También se puede definir la población como un conjunto de elementos o unidades. Lo que se estudia en una unidad o elemento son sus características. Cuando se toman todas las unidades o elementos de la población, se habla de una investigación exhaustiva o censó. Si solo se investiga una parte, se le considera como investigación parcial o muestra. La muestra para que sea representativa de la población, requiere que las unidades o elementos sean seleccionadas al azar; en tal forma que cada una de ellas tenga a misma posibilidad de ser seleccionada. Se usan letras mayúsculas o letras del alfabeto griego como símbolos en poblaciones, en cambio, en la muestra se emplean letras minúsculas. Los caracteres de la población pueden ser cualitativos o cuantitativos. Los datos cualitativos, denominados también atributos, son aquellos elementos que pueden ser descritos cualitativamente, es decir mediante palabras; son ejemplos de atributos; la clasificación de los alumnos de una universidad por lugar de origen, clasificación de grupos de personas por ocupación por cargo o por sexo., etc. Los caracteres cuantitativos denominados variables, son aquellas características susceptibles de ser expresadas cuantitativamente, es decir, mediante números. Ejemplo: peso, estatura, edad numero de hijos, salarios etc. Las variables discretas son aquellas que admiten solamente valores enteros, es decir no tienen valores intermedios. Ejemplo el número de hijos por familia será discreta, ya que no podrá decir que una familia tiene dos hijos y medio. Variables continuas son aquellas que admiten valores fraccionarios, pudiéndose establecer intervalos. Ejemplo: la estatura de una persona que mide un metro con setenta centímetros; que pesa sesenta kilos, una libra y cuatro onzas, etc.

2 ELABORACIÓN DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS Variable discreta Ante todo es conveniente familiarizarnos con ciertos símbolos que utilizaremos tanto para la variable discreta como para la variable continua. n n Tamaño de la muestra. N N Tamaño de a población o universo de donde se extraen las muestras. xi xi Identificación para cada valor observado. (Mayúscula en la población y minúscula en la en la muestra). fi ni Frecuencias absolutas. Es el número de veces que se repite cada valor de la variable. xi yi Simboliza los valores que toma la variable discreta. fi / n Fi hi Ni Frecuencia relativa, valor porcentual, obtenido al dividir la frecuencia absoluta por n. Frecuencia absoluta acumulada. Fi / n Hi Frecuencia relativa acumulada. Xi yi Marca de clase, en la variable continúa. m Numero de valores que toma la variable Y i, también se considera como numero de intervalos o marcas de clase en la variable continua i c Amplitud del intervalo X i-1- X y i-1- y Forma de simbolizar la columna correspondiente a los valores que toma la variable continua, organizada en intervalos.

3 EJEMPLO Nº 1. Supongamos que se tiene una población constituida por 2000 cajas y deseamos examinarlas, con el fin de determinar el número de piezas o elementos defectuosos que contiene la caja. Por diferentes razones, se desea que la investigación no sea exhaustiva, es decir no examinar la totalidad de las 2000cajas o universo sino, por el contrario, seleccionar una muestra de tamaño 20, correspondiente a una investigación parcial. N 2000 n 20 Los resultados obtenidos en esta encuesta, se anotan a continuación. Siendo X1 la primera caja examinada y 3, el número de piezas defectuosas encontradas en esa caja y así sucesivamente: X1 3 X2 2 X3 0 X4 2 X5 3 X6 3 X7 1 X8 1 X9 0 X10 1 X11 3 X12 3 X13 4 X14 4 X15 3 X16 2 X17 4 X18 2 X19 4 X20 2 En la anterior información o conjunto de datos, observados que no están ordenados, y los denominados datos orinales o no ordenados. Quizás, dado que la muestra es muy pequeña, podemos darnos cuenta, en forma muy ligera del comportamiento de la característica. Pero si en vez de tener 20 observaciones, fueran 200 o 2000 es muy poco lo que podemos decir o conocer de la variable; por lo tanto se hace necesario el ordenamiento o la clasificación de esos datos, mediante un proceso que llamaremos tabulación o procesamiento de datos. En primer lugar, se determinan los valores que tomo la variable, en cuanto al numero de piezas defectuosas, siendo en este caso de También se hubiera podido determinar los valores extremos (0 y 4) y luego los valores intermedios (1, 2,3); procedemos enseguida al conteo, afín de determinar cuantas veces se repite cada valor de la variable, resultado que denominamos frecuencias o frecuencias absolutas.

4 Tabla 2.1 Tabulaciones Numero de Numero Tabulación piezas de Cajas defectuosas A B 0 2 II 1 3 III IIII Σ Se recomienda formar grupos de cinco que nos representaran 18 observaciones, siendo más fácil contar de cinco en cinco, que hacerlo de uno en uno IIIIIIIIIIIIIIIIII. Para un total de 18. En el caso de que la variable no tome algunos valores, no hay necesidad de colocarlos, como por ejemplo en el siguiente cuadro. En el ejemplo 1 de la tabla 2.1 se puede interpretar, diciendo que la muestra de 20 cajas encontramos dos con ninguna pieza defectuosa; 3 cajas con una; 5 cajas con dos; 6 cajas con tres; y 4 con cuatro piezas defectuosas. In embargo, a términos porcentuales, diciendo que el 10% de las cajas examinadas no teñían piezas defectuosas, que el 15% tenia una; que el 25% dos; el 30% tres; y el 20% con cuatro piezas o unidades defectuosas, como se puede observar en el cuadro siguiente: Tabla 2,3 Distribución de frecuencias - Variables discreta Y1 n1 h1( n1/n) N1 H1 Yi ni hi Ni Hi 0 2 0,10 2,00 0,10 Y1 n1 h1 N1 H ,15 5,00 0,25 Y2 n2 h2 N2 H ,25 10,00 0,50 Y3 n3 h3 N3 H ,30 16,00 0,80 Y4 n4 h4 N4 H ,20 20,00 1,00 Y5 n5 h5 N5 H5 Σ ,7 Σ n Xi fi fi/n Fi Fi/n Xi fi fi/n Fi Fi/n

5 Las frecuencias absolutas acumuladas las utilizaremos mas adelante para el calculo de algunas medidas. Se obtienen así: N1 n1 N2 n1+n2 N3 n1+n2+n3 N4 n1+n2+n3+n4 N5 n1+n2+n3+n4+n5 N1 n1 2 N2 n1+n N3 n1+n2+n N4 n1+n2+n3+n N5 n1+n2+n3+n4+n F1 f1 F2 f1+f2 F3 f1+f2+f3 F4 f1+f2+f3+f4 F5 f1+f2+f3+f4+f5 f1 F2+ f2 F3+ f3 F4+ f4 F5+f5 Las frecuencias relativas acumuladas resultan así: H1 h1 H2 h1+h2 H3 h1+h2+h3 H4 h1+h2+h3+h4 H5 h1+h2+h3+h4+h5 H1 h H1 h2+n H2 h3+n2+n H3 h4+n2+n3+n H4 h5+n2+n3+n4+n f1/n f2/n f3/n f4/n f5/n

6 Variable continúa Ejemplo 3. Consideremos que se selecciono una muestra de 20 alumnos, a fin de conocer su peso en kilos; para facilitar el trabajo redondeamos la cifra. X1 74 X2 67 X3 94 X4 70 X5 69 X6 61 X7 71 X8 79 X9 47 X10 85 X11 82 X12 55 X13 65 X14 88 X15 52 X16 58 X17 76 X18 57 X19 72 X20 66 El primer paso a seguir consiste en determinar el valor máximo y el mínimo que toma la variable. En este ejemplo tenemos: Xmax 94 y Xmin 47. La diferencia entre el valor máximo y el mínimo se denomina recorrido. En el presente caso el recorrido es de 47. Xmax - Xmin Recorrido o Rango Introducimos los nuevos símbolos que son: m numero de intervalos y c amplitud del intervalo i El valor de m se puede determinar de varias maneras: Un numero arbitrario que sea mayor o igual a cinco, y menor o igual a 16 5<m<16 Método utilizado en clase, consiste en la aplicación de la formula de Sturges m Lóg.n De acuerdo a la clasificación que requiera la variable o la forma en que se ha venido presentando la información.

7 Algunos utilizan un procedimiento, no muy recomendado, calculando a m mediante la formula m Raíz n La práctica, determina m atendiendo a varios factores, tales como: finalidad del estudio, grado de variabilidad de los datos, necesidad de efectuar comparaciones con otros estudios que obliguen a mantener los intervalos y su número. Sin embargo, se recomienda que el número de intervalos, hasta donde sea posible, no sea menor de 5 ni mayor de 16. En este ejercicio se tendrá que m 1+3,3 Log aproximándose a 6, pero se hubiera podido considerar que m 5. La aproximación no tiene importancia alguna en estos casos. Esta formula recibe el nombre de Sturgues, su descubridor En cuanto a la amplitud C o i que debe tomar cada intervalo de la distribución, dependerá del criterio establecido para presentar la información. Puede variar el valor de la amplitud para cada intervalo, sin embargo en clase y con fines de explicación es mejor trabajar con una amplitud constante, para ello se tendrá que: AMPLITUD DEL INTERVALO I C Rango / m Reemplazando se tiene que: C 47 / Siempre se aproximamos al número inmediatamente superior, por pequeña que sea la fracción Para nuestro ejercicio fijamos m 6, con lo cual podemos determinar el valor de C i C / C Xmax - Xmin / m 6 47 / 6 7,83 C i 7,83 8

8 Nota: si no aproximamos al número superior por pequeña que sea la fracción al calcular amplitud, es muy posible que le queden valores por fuera del rango Siempre que el resultado de C sea un valor entero con alguna fracción, por pequeña que sea esta, debe ser aproximado siempre al valor inmediatamente superior, según esto, el valor de C será de 8, con el cual el recorrido se aumenta en una unidad, puesto que 6 x La unidad la unidad de incremente se le puede restar al limite inferior o aumentarse al limite superior. En este caso se lo restamos a 47, quedando el límite inferior en 46, a partir de este valor comenzamos a agregar el valor de C, para formar los distintos intervalos. En la variable continua. Se designa Yi -1 Y o Xi -1 X, la columna correspondiente a los distintos valores que toma la variable. Al primer valor Yi -1 o Xi -1 se denomina limite inferior del intervalo y Yi o Xi al limite superior, la diferencia entre estos dos limites corresponde al valor de la amplitud del intervalo C o I. Es preferible con fines de trabajo que la amplitud sea constante, sin embargo no es muy constante que esto se presente. La tabla de frecuencias para el siguiente ejercicio nos quedara de la siguiente forma: Tabla 2.4 Distribución de frecuencias variable continua. INTERVALOS FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA ABSOLUTA ACUM FRECUENCIA RELATIVA ACUM MARCAS DE CLASE Yi -1 Y ni hi( n1/n) Ni Hi Yi 46, ,10 2 0, , ,20 6 0, , , , , , , , , , , , ,00 90 Σ Xi -1 X fi fi/n Fi Fi/n Xi

9 Es de notar que cada limite inferior del intervalo se le ha agregado 0,1 lo que permite una fácil tabulación y así se sabe a cual intervalo corresponde el valor de Xi, obtenido. El 0,1 se omitirá para el cálculo de las marcas de clase. El cuadro de tabulación con el cual se elaboro la tabla de frecuencias, se estableció de la siguiente forma. Peso en Kg. Nº de alumnos 46, , , , , , Σ 20 A) Se promedia cada intervalo, de la siguiente manera: X1 y1 y0 + y1 / / 2 50 X0 + X1 / 2 X2 y2 y1 + y2 / / 2 58 X1 + X2 / 2 X3 y3 y2 + y3 / / 2 66 X2 + X3 / 2 X4 y1 y3 + y4 / / 2 74 X3 + X4 / 2 b) Se obtiene la primera marca de clase por el método anterior y si la amplitud C es constante, se le suma la primera marca de clase y así sucesivamente. y1 y0 + y1 / / 2 50 X0 + X1 / 2 ; X2 y ; X3 y

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