Primer Cuatrimestre Trabajo Práctico 3 Cuando pase el temblor...

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1 Universidad de Buenos Aires Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Computación Métodos Numéricos Primer Cuatrimestre 2009 Trabajo Práctico 3 Integrante LU Correo electrónico GIMENEZ, Francisco 324/05 dc.francisco@gmail.com MENDEZ, Federico 703/02 mendezfede@yahoo.com.ar Resumen: En este trabajo se busca evitar que un edificio colapse ante un terremoto de frecuencia arbitraria evitando que el mismo entre en armon ia con el sismo. Para ello se calculan los autovalores de una matriz creada a partir de las caracter isticas de cada piso, usando heur isticas para reducir los tiempos de este paso. En particular la heur istica de redistribuci on azarosa da buenos resultados Palabras Clave: Autovalores - Factorizaci on QR - Matriz Tribanda

2 Índice 1. Introducción teórica Autovalores Factorización QR Heurística Desarrollo Obtención de autovalores Redistribución de lavarropas Resultados 8 4. Discusión Conclusiones 11 A. Enunciado 12 Gimenez, Mendez 2

3 1. Introducción teórica 1.1. Autovalores En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común. Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A : V V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar tales que Av = cv entonces decimos que v es un autovector del operador A, y su autovalor asociado es c. Observe que si v es un autovector con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un autovector con el autovalor c Factorización QR La factorización QR es una descomposición de una matriz A en dos matrices: una ortonormal (Q); y una triangular superior (R), en donde A = Q * R. Asimismo R debe ser invertible pues en caso contrario Rx = 0 tendra infinitas soluciones y por ende tambien QRx = Ax = 0 contradiciendo el hecho de que las columnas de A son linealmente independientes.toda matriz tiene descomposición QR. Método de reflexiones de Householder Una transformacin de Householder o reflexin de Householfer es una transformacin que refleja el espacio con respecto a un plano determinado. Esta propiedad se puede utilizar para realizar la transformacin QR de una matriz si tenemos en cuenta que es posible elegir la matriz de Householder de manera que un vector elegido quede con una nica componente no nula tras ser transformado (es decir, premultiplicando por la matriz de Householder). Grficamente, esto significa que es posible reflejar el vector elegido respecto de un plano de forma que el reflejo quede sobre uno de los ejes de la base cartesiana. Método de rotaciones de Givens Las descomposiciones QR pueden calcularse utilizando una serie de rotaciones de Givens. Cada rotación anula (hace cero) un elemento en la subdiagonal de la matriz, formando de este modo la matriz R. La concatenación de todas las rotaciones de Givens realizadas, forma la matriz ortogonal Q. En la prctica, las rotaciones de Givens no se utilizan en la actualidad para construir Gimenez, Mendez 3

4 una matriz completa y realizar un producto de matrices. En su lugar, se utiliza un procedimiento de rotación de Givens, que es equivalente a la multiplicación reducida de matrices de Givens, sin el trabajo extra de manejar los elementos reducidos. El procedimiento de rotacin de Givens es útil en situaciones donde sílo pocos elementos fuera de la diagonal necesitan ser anulados y es ms facil de paralelizar que las transformaciones de Householder Heurística Dos objetivos fundamentales de la computación son encontrar algoritmos con buenos tiempos de ejecución y buenas soluciones, usualmente las óptimas. Una heurística es un algoritmo que abandona uno o ambos objetivos; por ejemplo, normalmente encuentran buenas soluciones, aunque no hay pruebas de que la solución no pueda ser arbitrariamente errónea en algunos casos; o se ejecuta razonablemente rápido, aunque no existe tampoco prueba de que siempre será así. Las heurísticas generalmente son usadas cuando no existe una solución óptima bajo las restricciones dadas (tiempo,espacio,etc.), o cuando no existe del todo. A menudo, pueden encontrarse instancias concretas del problema donde la heurística producirá resultados muy malos o se ejecutará muy lentamente. Aún así, estas instancias concretas pueden ser ignoradas porque no deberían ocurrir nunca en la práctica por ser de origen teórico. Por tanto, el uso de heurísticas es muy común en el mundo real. Gimenez, Mendez 4

5 2. Desarrollo 2.1. Obtención de autovalores Para obtener los autovalores de la matriz M 1 K utilizamos el denominado algoritmo QR que se basa en la premisa de que, en una matriz tribanda, si i < filas/a i,i+1 = 0 A i,i es autovalor de A. El algoritmo es un método iterativo que consiste en realizar los siguientes pasos: Mientras i < n no encontré los resultados obtener la factorización QR de la matriz A A R Q Si la diagonal inferior es nula terminar el ciclo finsi finpara Devolver los autovalores de A en la diagonal de dicha matriz Utilizando este método una cantidad suficiente de veces se conseguirá poner en cero a toda la banda inferior, obteniendo así los autovalores de la matriz. Sin embargo, debido a la implementación en aritmética finita, el ciclo del algoritmo no siempre puede repetirse hasta que la banda inferior sea nula, por lo que n es un valor arbitrario de iteraciones del ciclo. Método de rotaciones Para hacer un mejor uso de la disposición de la matriz resultante de M 1 K, se decidió utilizar el Método de rotaciones de Givens mostrado en 1.2. La ventaja de este método respecto del de reflexiones es que convierte posiciones en ceros más selectivamente. Cada paso del método de Householder convierte en cero a cada elemento de una columna de una matriz por debajo de su diagonal. Por el contrario, una matriz de rotación de Givens transforma en cero sólo a una posición específica de la matriz por debajo de la diagonal. Por esto, mientras que Householder requiere n 1 matrices para obtener la matriz triangular superior, Givens utiliza n 1 n 1 2 matrices. Sin embargo, al ser la matriz tridiagonal, sólo necesitabamos eliminar los n 1 elementos que se encuentran debajo de la diagonal de la matriz original, por lo que el método de Givens parece ser más acertado para esta situación, como se explica en 1.2. A esto hay que sumarle que la obtención de una matriz de rotación específica es mucho más sencilla que obtener una matriz de reflexiones. Gimenez, Mendez 5

6 2.2. Redistribución de lavarropas En el caso de que algún piso entrara en resonancia con la frecuencia del terremoto, es necesario cambiar la distribución de los lavarropas en el edificio. La manera mas simple en la que se nos ocurrio hacer esto fue directamente atravez de un algorítmo de fuerza bruta. Este claramente resolvería el problema en cuestión, pero sabíamos que lo podíamos hacer un poco mejor. Para lograrlo en un tiempo decente, consideramos las siguientes alternativas Backtracking Si bien no se nos pide la mejor solución, se desarrolló el algoritmo de backtracking de este problema para tener un resultado patrón. La idea era irse moviendo atravez de las ramas del arbol de descisión que se iba formando a medida que se movia un lavarropas de un piso a otro. Sin embargo, debido a que el algoritmo hacía movimientos de a una unidad y recalculaba los autovalores cada vez, se hacía extremadamente lento y costoso para el equipo de desarrollo. A esta dificultad también se le sumaba que no habia una distribución lógica de los lavarropas que afectase los autovalores de la matriz resultado. Debido a eso se pensó definir una función de satisfacibilidad que nos iria indicando si un caso era mejor que otro o no. Finalmente éste algorítmo se termino descartando debido a que la complejidad que éste convellevaba no nos parecia traer demasiados beneficios con respecto al resto de las de los algorítmos pensados. Relación entre la frecuencia de cada piso y sus variables Dado que las frecuencias se calculan como λ i, donde cada λ i es un autovalor real de una matriz formada a partir de los pesos de cada piso y los mecanismos antisísmicos de los mismos, se buscó una relación entre estos valores, pues de encontrarla se podría resolver el problema en orden lineal. Luego de DIAS de analizar este problema y buscar informacion acerca del mismo, los análisis teóricos preliminares no dieron ningún resultado discernible, por lo que la opción fue descartada y olvidada. Distribución al azar A falta de mejores opciones, se decidió dejar el resultado librado al azar, literalmente. Se consideraron dos algoritmos: El primero consiste en tomar la cantidad total de lavarropas que hay en el edificio y redistribuirlos al azar dentro de cada piso, para de esta manera recalcular las matrices de las que se desprenden las frecuencias a analizar Gimenez, Mendez 6

7 Para el segundo son elegidos dos pisos al azar del edificio y una cantidad aleatoria de lavaropas que se encuentre en uno de los dos pisos, que será movida al otro piso. A partir de esta redistribución se calculan nuevamente las matrices de peso y tensión del edificio Finalmente se optó por la segunda implementación, pues la primera presentaba problemas con la aleatoriedad de las distribuciones. Gimenez, Mendez 7

8 3. Resultados Para realizar las mediciones se realizaron 50 ejecuciones con cada uno de los casos de test definidos por la cátedra. Los gráficos muestran la cantidad de movimientos de lavarropas que se han hecho utilizando el método mostrado en 2.2 A continuación se presentan los gráficos de algunos de los casos probados prueba5.txt prueba5a.txt Gimenez, Mendez 8

9 prueba5c.txt prueba10.txt Gimenez, Mendez 9

10 4. Discusión En los gráficos de la sección?? se observa una suerte de normalización a mitad de la tabla. En todos los casos analizados, las ocasiones en que el test tarda más que la media no supera el 15 % del total. Esto nos hace suponer que efectivamente la redistribución azarosa de lavarropas conlleva a un beneficio por sobre las otras estrategias planteadas en 2.2. Suponemos que esto se debe principalmente a que, al estar manejándonos por azar en lugar de alguna forma determinística, de alguna manera estamos jugando con las probabilidades intrínsecas del problema. Claro que decir esto implica que haya alguna relación discernible entre el peso de cada piso, las tensiones y la frecuencia del temblor, pero como dijimos en el apartado 2.2, no pudimos hallar dicha relación. Los resultados son muy parecidos a lo que se muestra al analizar las distintas variantes de pivoteo para el algoritmo de ordenamiento quicksort. El algoritmo es de por sí altamente efectivo que tiene una complejidad en peor caso de de O(n 2 ) donde n es la cantidad de elementos a ordenar, pero una complejidad promedio de O(n log n). Al elegir un pivote determinísticamente, cabe la posibilidad de fabricar casos adversos que lleven constantemente al algortimo a ejecutarse en su complejidad del peor caso. Si bien esta comparación puede llegar a considerarse un poco extrema, la similitud se puede ver. Esto no es una demostración teórica ni nada menos, es tan solo una comparación entre los dos algoritmos. Si en cambio el pivote es elegido de manera pseudo-aleatoria 1, se imposibilita la construcción de casos maliciosamente para que el algoritmo falle. Existe la probabilidad de que un caso particular sea malo para un pivote aleatoriamente elegido singular, pero es demasiado baja. Al observar los resultados, se ve algo similar: el desempeño del algoritmo en promedio es más que aceptable, y hay casos en que es aún mejor que la media, pero existen situaciones en que la reubicación azarosa conlleva a un peor caso que el anterior y se terminan realizando más movimientos que los estrictamente necesarios, con el consiguiente desperdicio de tiempo y recursos que esto conlleva. 1 Recordemos que computacionalmente no se puede manejar el concepto de azar como tal. Gimenez, Mendez 10

11 5. Conclusiones Este trabajo práctico nos resultó muy gratificante de hacer. Antes que nada porque tuvimos la oportunidad de investigar y explorar un tema del que no sabíamos si habia una solución matemática y simplemente era una contrucción a través de algún método algorítmico. Gracias a los resultados de los archivos de entrada notamos que la distribución azarosa de los lavarropas dentro del piso devolvía un resultado correcto, dentro de los tiempos esperados del algoritmo. Es decir, a través de prueba y error pudimos ver que el algoritmo efectivamente resuelve el problema, moviendo entre una posición y otra del arreglo los lavarropas. Los gráficos demostraron lo que sospechábamos: Probando distribuciones al azar, efectivamente se llega a un resultado. Si bien esto nos dejo bastante contentos con el trabajo, nos dimos cuenta de que se podía hacer mejor. Gracias a la magia de la matemática, vimos que la matriz a partir de la cual se tenían que calcular los autovalores para poder hallar la correcta distribucion era tribanda (es decir, solo contiene tres diagonales con valores no nulos). Esto podía llevar a una mejora de estructura del algorítmo, pero no teórica. Cuando creamos la matriz, no estamos aprovechando esta cualidad, ya que no se hace uso del conocimiento las posiciones en las cuales ésta posee ceros. La mejora consistía basicamente en reducir el tamaño de la matriz considerablemente, utilizando únicamente una matriz de tres filas, aprovechando al máximo el hecho de que la matriz sea tribanda. Esto mejora el orden espacial del algoritmo notablemente, ya que decrece la cantidad de memoria utilizada. Tuvimos en cuenta este problema cuando analizamos los resultados del algoritmo. Notamos que de haber implementado de esta manera nuestra estructura, habría sido posible la implementacion de diferentes heurísticas (como se mostró en 2.2) que no fueron desarrolladas dado a su costo de beneficio/trabajo a realizar. Finalemente, poniendo esos contras de costado, los resultados fueron buenos y permitió quedarnos más tranquilos a la hora de entregar este hermoso (modestia aparte) trabajo práctico. Gimenez, Mendez 11

12 A. Enunciado Laboratorio de Métodos Numéricos - Primer cuatrimestre 2009 Trabajo Práctico Número 3: Cuando pase el temblor... El trabajo práctico consiste en evaluar la resistencia sísmica de un edificio de varios pisos que funciona como depósito, proponiendo un plan de reubicación del depósito lo más eficiente posible. El modelo Consideremos un edificio de n pisos como en la Figura 1. Un modelo sencillo para estudiar el comportamiento de un terremoto sobre el edificio consiste en considerar cada piso i = 1,..., n como un bloque de masa m i, unido a los pisos adyacentes por medio de un conector elástico cuya acción se parece a la de un resorte. Para i = 0,..., n 1, la unión entre los pisos i e i + 1 suministra una fuerza de restitución F i = k i (x i+1 x i ), donde x i : R + R representa el desplazamiento horizontal del i-ésimo piso en cada instante (asumimos que i = 0 corresponde al suelo y que x 0 = 0). Aplicando la segunda ley de Newton del movimiento, F = ma, a cada sección del edificio, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales: m 1 x 1 = k 0 x 1 + k 1 (x 2 x 1 ) m 2 x 2 = k 1 (x 2 x 1 ) + k 2 (x 3 x 2 ) m 3 x 3 = k 2 (x 3 x 2 ) + k 3 (x 4 x 3 ).. m n x n = k n 1 (x n x n 1 ) (1) Escrito en forma matricial, este sistema toma la forma MX = KX, donde M R n n es una matriz diagonal con las masas de los pisos y K R n n es una matriz tridiagonal con los coeficientes de rigidez adecuados: M = m m m n Gimenez, Mendez 12

13 K = (k 0 + k 1 ) k k 1 (k 1 + k 2 ) k k 2 (k 2 + k 3 ) k k n 1 k n 1 Como m i > 0 para i = 1,..., n, entonces M tiene inversa y el sistema se puede reescribir como X = (M 1 K)X = AX, donde A = M 1 K tiene autovalores negativos. Sean λ 1,..., λ n los autovalores de A. Los valores ω i = λ i, para i = 1,..., n, representan las frecuencias naturales del sistema, e indican la estabilidad del edificio durante un terremoto. Si la frecuencia del sismo es muy próxima a alguna de estas frecuencias, hay riesgo de que el edificio entre en resonancia y colapse. El problema Nos encontramos en el depósito de lavarropas de una conocida casa de electrodomésticos, y se avecina un terremoto sobre nuestra ciudad. Nuestro informante en el Departamento de Geología de la FCEyN nos ha avisado que el terremoto tendrá una frecuencia de ω = 3 Hz = 3 1 seg. El edificio completo se utiliza como depósito de un único modelo de lavarropas de masa p, de modo tal que si el piso i tiene t i artículos, entonces su masa es m i = m 0 + t i p. El problema que debemos resolver -y rápidamente- consiste en determinar cuántos lavarropas debemos quitar de cada piso (reubicandolos en otros pisos) para que ninguna de las frecuencias naturales del depósito se encuentre a menos del 10 % de la frecuencia ω del terremoto (es decir, para que cada frecuencia ω i cumpla ω i [2,7, 3,3]). La solución óptima del problema es aquella que permite evitar que el edificio colapse, reubicando la menor cantidad posible de lavarropas. El enunciado El trabajo práctico consiste en implementar un programa que permita resolver este problema. La solución propuesta debe indicar cuántos lavarropas quitar de cada piso, y a qué pisos se deben llevar dichos lavarropas. Puede utilizarse una heurística para obtener el plan de reubicación de lavarropas, a criterio del grupo. En caso de que se implemente más de un algoritmo para resolver este problema, el informe deberá contener los resultados de los experimentos realizados para compararlos. El programa debe incluir una implementación de algún algoritmo para calcular los autovalores de una matriz cuadrada, que deberá ser utilizado durante el proceso de decisión. El programa debe tomar los datos desde un archivo de texto con el siguiente formato: n p m 0 k 0 k 1... k n 1 t 1 t 2... t n El informe debe incluir los resultados del algoritmo implementado sobre las instancias de prueba que acompañan al presente enunciado. El grupo que obtenga la mejor redistribución Gimenez, Mendez 13

14 de lavarropas para estas instancias se hará acreedor a una orden de compra por un monto a determinar en la casa de electrodomésticos que auspicia este trabajo práctico. Fecha de entrega: Lunes 22 de Junio Gimenez, Mendez 14

15 Referencias [1] Bjarne Stroustrup, The C++ Programming Language [2] Manual de Referencia C ++ [3] Richard L. Burden / J Douglas Faires, Análisis Numérico [4] Internet Gimenez, Mendez 15