VECTORES, DERIVADAS, INTEGRALES

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1 Física Tema 0-1 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales Tema 0 VECTORES, DERIVADAS, INTEGRALES 1.- Vectoes. Componentes de un vecto.- Suma y difeencia de vectoes 3.- Poducto de un vecto po un númeo Vectoes unitaios 4.- Poducto escala de dos vectoes. Ángulo que foman Aplicación: Tabajo de una fueza 5.- Poducto vectoial de dos vectoes Aplicación: Momento de una fueza 6.- La deivada Aplicación: Velocidad instantánea 7.- Deivada de un vecto especto a un escala 8.- La integal Aplicación: Tabajo de una fueza vaiable 9.- Fomulaio de tigonometía IES Potada Alta - Luis Gaido

2 Física Tema 0 - º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales 1.- VECTORES. COMPONENTES DE UN VECTOR Paa epesa adecuadamente el valo de una magnitud vectoial se equiee, además de su medida, conoce su diección y sentido. El conocimiento de una fueza no está completo si decimos que ha sido de 00 N; hay que indica en qué diección y sentido ha actuado esa fueza. En las opeaciones con magnitudes vectoiales se emplean los vectoes. Un vecto es un segmento oientado que se epesenta gáficamente po una flecha que va desde el punto llamado oigen al punto llamado etemo. La longitud del vecto es su módulo que ha de se popocional a la medida de la cantidad que se epesenta. La ecta a que petenece nos da la diección y la punta de flecha nos indica el sentido. Po tanto un vecto tiene oigen, módulo, diección y sentido. Un vecto se simboliza como V, o en negita V. El módulo se indica como V. V Consideemos el vecto V de la fig.a. Y Componentes catesianas o ectangulaes de un vecto son las poyecciones de ese vecto sobe los ejes de coodenadas. V = 1 ; Vy = y y 1 1,y 1 α V V,y Vy X Fig. a Se puede defini un vecto como un pa odenado de númeos eales. Esos númeos son las componentes del vecto, en el oden, y. Se epesa: V (V,Vy). Un vecto libe queda deteminado cuando se conoce su módulo, diección y sentido. Peo también queda deteminado cuando se conocen sus componentes. Conocidas las componentes de un vecto puede calculase su módulo y diección: V Vy = V + Vy ; tg α = V A pati del módulo y diección del vecto pueden calculase sus componentes: V = V.cosα, Vy = V.senα. IES Potada Alta - Luis Gaido

3 Física Tema 0-3 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales.- SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES Vecto suma o vecto esultante de vaios vectoes libes es el que tiene po componentes la suma de las componentes coespondientes de los sumandos. A (A,Ay) ; B (B,By) ; A + B = (A+B, Ay+By) La egla del paalelogamo pemite hace la suma gáfica de dos vectoes (Fig.b). Oto modo es aplica la egla del tiángulo (Fig.c). A A B R B R Fig.b Fig.c Paa suma vaios vectoes se aplica una etensión de la egla del tiángulo, la egla del polígono (Fig.d). A C B D Fig.d R Analíticamente, el módulo de la suma de dos vectoes que foman ente sí un ángulo β, se calcula mediante: R = A + B + A B cos β Vecto difeencia de dos vectoes es el que tiene po componentes la esta de las componentes coespondientes a ambos vectoes. A (A,Ay) ; B (B,By) ; A B = (A B, Ay By) Paa esta dos vectoes se suma al minuendo el vecto opuesto al sustaendo. El vecto opuesto es el que tiene igual módulo y diección, peo sentido contaio. A B = A + ( B) Difeencia gáfica Fig.e A B A B B A IES Potada Alta - Luis Gaido

4 Física Tema 0-4 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales 3.- PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR. VECTORES UNITARIOS. V 3 V 1 V El poducto de un númeo n po un vecto V (Fig.f), es oto vecto de la misma diección y sentido que V, y cuyo módulo es n V. Fig.f Dado un vecto V, se llama vecto unitaio u, a oto vecto de igual diección y sentido que V, y cuyo módulo vale 1. k Z j Po tanto: V = V.u ; u = V V X i Fig.g Y Vectoes unitaios fundamentales, i, j, k, son vectoes de módulo 1, y diecciones de los ejes de coodenadas X,Y,Z, en su sentido positivo. (Fig.g) Y V y V En el plano XY las poyecciones de un vecto V sobe los ejes se pueden considea vectoes llamados vectoes componentes: V, V y. (Fig.h) tomando Fig.h V X V = V + Vy V = V i Vy = Vy j V = V, Vy = Vy, el vecto V se epesa: V = V i + Vy j y su módulo: V = V + Vy En el espacio XYZ, el vecto se epesaá como V = V i + Vy j + Vz k, siendo su módulo: V = + Vy Vz. V + IES Potada Alta - Luis Gaido

5 Física Tema 0-5 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales 4.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Sean los vectoes A = A i + Ay j + Az k ; B = B i + By j + Bz k Se define el poducto escala como: A. B = (1) A B cosα Si multiplicamos A. B = (A i + Ay j + Az k ). (B i + By j + Bz k ) = A i. B i + A i. By j + A i. Bz k + + Ay j. B i + Ay j. By j + Ay j. Bz k + + Az k.b i + Az k. By j + Az k. Bz k Y tenemos en cuenta la definición de poducto escala de dos vectoes: i. i = j. j = k. k = 1.1.cos 0º = 1 i. j = j. i = i. k = k. i = j. k = k. j = 1.1.cos 90º = 0 Tendemos: A. B = A. B + Ay. By + Az. Bz () Igualando las ecuaciones (1) y (): A B cosα = A. B + Ay. By + Az. Bz, Obtenemos: cos α = A. B + Ay.By A B + Az. Bz Epesión que pemite calcula el ángulo que foman dos vectoes, y de la que se deduce que el poducto escala de dos vectoes pependiculaes es ceo. Aplicación: El tabajo es una magnitud escala que se define en física como el poducto escala del vecto fueza F po el vecto desplazamiento. F α W = F. = F. cos α Cuando el vecto fueza tiene el mismo sentido que el vecto desplazamiento, aumenta la enegía cinética del sistema sobe el que se aplica, y decimos que el tabajo es positivo. Si la fueza está diigida en sentido contaio al desplazamiento disminuye la enegía cinética del sistema y decimos que el tabajo es negativo. IES Potada Alta - Luis Gaido

6 Física Tema 0-6 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales 5.- PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Sean dos vectoes A = A i + Ay j + Az k ; B = B i + By j + Bz k, que foman ente sí un ángulo α. Su poducto vectoial es oto vecto que tiene: Módulo: A B senα A B Diección: pependicula al plano que contie-ne a los vectoes A y B B Sentido: el de avance de un tonillo al apoi-ma el vecto A al B po el camino más co-to. El poducto α vectoial no es conmutativo. A Aplicando la definición de poducto vectoial al poducto de vectoes unitaios: i i = 1.1.sen 0 = 0, y de igual modo, j j = 0 ; k k = 0. Así mismo se cumple que: i j = k ; j k = i ; k i = j. Al multiplica A B = (A i + Ay j + Az k ) (B i + By j + Bz k ) = ABy k - ABz j - AyB k + AyBz i + AzB j - AzBy i = = (AyBz AzBy) i + (AyBz AzBy) j + (ABy AyB) k que puede epesase mediante el desaollo de un deteminante: i j k A B = A Ay Az B By Bz Aplicación: El momento de una fueza es una magnitud vectoial que se define como el poducto vectoial del vecto de posición po el vecto fueza F. M = F P o α F Al aplica una fueza en el punto P de un cuepo que puede gia alededo de un punto o, se genea un momento M que hace gia el cuepo alededo del eje que pasa po o. El momento ceado es un vecto cuyo módulo vale: M = F senα IES Potada Alta - Luis Gaido

7 Física Tema 0-7 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales 6.- LA DERIVADA En una función y = f(), los valoes que adquiee y (vaiable dependiente), dependen de los valoes que tome (vaiable independiente). Si pasa desde un valo = 0 a oto = 1 el incemento seá = 1-0, con lo que la función y = f(), se veá incementada en y = f( 0 + ) - f( 0 ). Paa estudia cómo vaía la función y = f() a medida que va cambiando el valo de la, y calculamos el cociente que nos epesa dicha vaiación paa un incemento dado de. Peo si ese incemento lo hacemos cada vez más pequeño, conseguiemos conoce y dy dicha vaiación en el límite en que se hace casi ceo, y escibiemos: lím = d 0 dy La epesión es la deivada de y con especto a. d Popiedades de la deivada d( f + g) df dg 1.- Deivada de la suma de dos funciones: = + d d d d( k f ) df.- Deivada del poducto de una constante po una función: = k d d d( f g) df dg 3.- Deivada del poducto de dos funciones: = g + f d d d df dg g f d f 4.- Deivada del cociente de dos funciones: = d d d g g 5.- Deivada de una función compuesta de dos funciones F() = (g o f)(): F = g (f()).f (), que se conoce como egla de la cadena. Deivadas de algunas funciones d d a d = a ln a sen = cos d d d k = 0 d d e d d = e cos = sen d d k n = kn n 1 d ln = 1 d 1 tg = = 1+ tg d d cos IES Potada Alta - Luis Gaido

8 Física Tema 0-8 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales Aplicación: Cálculo de la velocidad instantánea de un móvil. Sea un cuepo que se mueve con velocidad vaiable en la diección del eje X según la ecuación = 5t + 3t (m), y deseamos sabe cuál seá su velocidad en un instante dado, po ej. t = 4s. Se define velocidad instantánea V, como el límite de la velocidad media cuando el intevalo de tiempo se hace casi ceo: V = lím t t 0 V m =, t Peo cómo calcula ese límite paa conoce la velocidad instantánea? Tomamos un incemento de tiempo muy pequeño, po ej. t = 0,001 s, y calculamos la posición del móvil en los instantes t = 4s y t = 4 + 0,001s (a los 4 s) = = 9 m (a los 4,001 s) = 5.(4,001) + 3.4,001 = 9, m = 0, m 0, V m = = = t 0,001 43,005 m/s m Paa un intevalo de tiempo más pequeño, t = 0,0001s V = 43, 0005 m/s m Si educimos más el intevalo de tiempo, t = 0,00001s V = 43, m/s Esos esultados indican que la velocidad media en el límite cuando t tiende a ceo se va acecando a 43 m/s. Peo ese laboioso método paa calcula la velocidad instantánea se simplifica con el uso d d(5t + 3t) de la deivada, escibiendo V = = = 10t + 3 dt dt Que paa el instante t = 4s da un valo de velocidad instantánea de 43 m/s. El vecto velocidad instantánea de un móvil cuya posición en función del tiempo viene dada po = f (t), se epesa como la deivada del vecto de posición con especto al d tiempo: V =. dt IES Potada Alta - Luis Gaido

9 Física Tema 0-9 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales 7.- DERIVADA DE UN VECTOR RESPECTO A UN ESCALAR El valo de una magnitud vectoial puede depende de una vaiable independiente, como es el caso de la posición de un móvil que vaía especto al tiempo, o el caso de la intensidad del campo gavitatoio teeste en un punto que vaía especto a la altua sobe la Tiea de dicho punto. Si el tiempo t es la magnitud escala de la que depende una magnitud vectoial V, diemos que V es función de t y lo epesaemos: V = V (t). A medida que el tiempo t vaía, iá cambiando el módulo y/o la diección de la magnitud V. Al incementa t hasta un valo t + t, la magnitud vectoial incementaá su valo hasta V + V = V ( t + t). Podemos ahoa halla la difeencia V = V ( t + t) V ( t), y calcula el valo medio de esa vaiación en el intevalo de tiempo t, V V ( t + t) V ( t = ) t t Al i haciendo el intevalo de tiempo t tan pequeño que su valo tienda a ceo, el cociente se iá apoimando a un valo límite que epesamos: lím V V t t t 0 Po definición a ese valo límite se le llama deivada de la magnitud vectoial V especto a la magnitud escala t, y se epesa: dt t t dv V = lím 0 Si el vecto V viene dado mediante sus componentes V = V i + Vy j + Vz k, y cada una de sus componentes es función del escala t: V = f(t); Vy = f(t); Vz = f(t), la deivada de V puede epesase como: dv dt dv dvy dvz = i + j + k. dt dt dt La deivada de una magnitud vectoial es oto vecto y como tal tendá su popio módulo, diección y sentido. Ejemplo.- Dado el vecto = 3 t i + 4t j m, halla su deivada especto al tiempo t medido en segundos, y calcula su módulo. d a) = V = 3 i + 4 j m/s; b) módulo = = 5 m/s dt IES Potada Alta - Luis Gaido

10 Física Tema 0-10 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales 8.- LA INTEGRAL De una función dada, po ejemplo f ( ) = + 1, se puede calcula la función deivada f '( ) = +. Decimos que la función f '( ) = + es la deivada de f ( ) = + 1, y podemos deci también que la función f ( ) = + 1 es una pimitiva de f '( ) = +. De foma geneal F() es una pimitiva de la función f() si F () = f(). La deivada de sen es cos, po tanto sen es una pimitiva de cos. Una pimitiva de 3 debe se una función que al se deivada se obtenga 3, como po ejemplo la función 3, o bien la función 3 + 1, o la función 3. Eso significa que una función dada tiene muchas pimitivas, y po eso: Si F() es una pimitiva de f(), todas las funciones de la foma F()+ C, siendo C una constante, son también pimitivas de f(). El conjunto de todas las pimitivas de una función f() se llama integal de f(), y se epesenta como f ( ) d, pudiéndose escibi que f ( ) d = F()+ C Popiedades de la integal 1.- La integal de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integales de las ( f ( ) + g( )) d = f ( ) d + g( ) d funciones: Ej.: ( + + 1) d = d + ( + 1) d 3, cuyo esultado es k.- La integal del poducto de una función po un númeo es igual al poducto del númeo po la integal de la función: n f ( ) d = n f ( ) d 3 3 Ej.: 5 d = 5 d, cuyo esultado es k = k a Integales inmediatas a d = + C ln a k d k + = C e d = e C + n+ 1 n d = + C n + 1 sen d = cos + C d = ln + C cos d = sen + C IES Potada Alta - Luis Gaido

11 Física Tema 0-11 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales Aplicación: Cálculo del tabajo ealizado po una fueza vaiable. Hemos visto que el tabajo se define como W = F. Si epesentamos la fueza constante en el eje de odenadas y el desplazamiento ente dos puntos en el eje de abcisas, el áea enceada en el ectángulo es, po definición, el tabajo ealizado. W = F.. Al calcula po este método gáfico el tabajo ealizado po una fueza vaiable, obtenemos el tapecio mitilíneo de la siguiente figua. F W 1 F Cómo se calcula el áea de ese tapecio? dw Se puede dividi la supeficie total en ectángulos como el dibujado, con una base muy pequeña, que epesente un desplazamiento infinitesimal d, paa el que la fueza se puede considea constante, de modo que el áea de ese ectángulo seá dw = F.d. 1 d El tabajo total ealizado po la fueza vaiable paa el desplazamiento desde 1 hasta, seá la suma de todos esos tabajos infinitesimales. Esa suma coesponde a una integal, que efectuada ente las posiciones 1 y, se llama integal definida: W = 1 dw = 1 F d De foma más geneal se dice que el tabajo ealizado po una fueza vaiable F, en un desplazamiento, es igual a la integal definida: W = F d 1 Ejemplo: Qué tabajo se ealiza al estia un muelle 30 cm desde su posición de equilibio? La constante elástica del muelle es 400 N/m. El muelle se estia debido a una fueza F que vaía en función del alagamiento del muelle y que según la Ley de Hooke se epesa: F = k. El tabajo seá: W = F d = k d = k [ ] ,3 Y con los datos del poblema: W = 400 [ ] = 400 ( 0,3 0 ) = 18 J IES Potada Alta - Luis Gaido

12 Física Tema 0-1 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales 9.- FORMULARIO de TRIGONOMETRÍA Razones tigonométicas y y sen α = cos α = tg α = senα sen α + cos α = 1 = tgα cosα α y Suma y Difeencia de ángulos sen α β = senα cos β + cosα sen cos tg ( + ) β sen( α β ) = senα cos β cosα sen β ( α + β ) = cosα cos β senα sen β cos ( α β ) = cosα cos β + senα sen β tgα + tg β 1 tgα tg β ( α + β ) = tg( α β ) tgα tg β = 1+ tgα tg β Ángulo Doble sen α = senα cosα cos α = cos α sen α tg tgα = 1 tg α α Ángulo Mitad α sen = ± 1 cosα α 1+ cosα cos = ± α tg = ± 1 cosα 1+ cosα Tansfomaciones de sumas en poductos α + β senα + sen β = sen α cos β α + β cosα + cos β = cos α cos β α + β senα sen β = cos α sen β α + cosα cos β = sen β α β sen IES Potada Alta - Luis Gaido

13 Física Tema 0-13 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales Poblemas 1.- Sean los vectoes: a = i j + 3k ; b = i + j + k ; c = 3i + 3 j 5k, calcula: 1) a + b + c ) a + b 3c 3) a b 4) a b 5) El valo del ángulo que foman a y b 6) El valo de m paa que el vecto i + mj + k sea pependicula al vecto a 7) Un vecto paalelo al vecto a y cuyo módulo sea tes veces mayo 8) El vecto unitaio del vecto c 9) La diección del vecto a 10) ( a b ) c.- Un vecto tiene po componentes (,3,1). Calcula su módulo y su diección (cosenos diectoes). 3.- Halla las componentes de un vecto de módulo 8 que se apoya en al plano XY, y foma un ángulo de 30º con el eje OY. 4.- Una caja es empujada sobe el suelo po una fueza de 0 kp que foma un ángulo de 30º con la hoizontal. Calcula las componentes ectangulaes de dicha fueza. 5.- Dados los vectoes a = i + 4 j + 6k y b = i + j + 3k, detemina el módulo y la diección de la suma de ambos vectoes. 6.- Se aplican a un cuepo tes fuezas coplanaias: a) 80 N fomando un ángulo de 30º con la hoizontal, b) 60 N y un ángulo de 150º con la hoizontal, y c) 5 N y un ángulo de 180º. Halla el módulo y la diección de la esultante de dichas fuezas. 7.- Paa los vectoes a y b indicados en la figua, calcula: a) a + b b) b a c) b a d) 3 a + 4 b 45º a = 30º b = Un avión vuela oientado hacia el note con una velocidad de 800 km/h, soplando un viento del oeste de 00 km/h. Calcula el módulo y la diección de la velocidad del avión especto a tiea. IES Potada Alta - Luis Gaido

14 Física Tema 0-14 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales 9.- La velocidad de las aguas de un ío de 600 m de anchua es de 90 m/min. a) Qué tiempo mínimo tadaá en cuza el ío un bote cuya velocidad, en agua en eposo, es de 150 m/min? Qué distancia es aastado el bote aguas abajo? b) Hacia qué punto de la oilla opuesta debeá apunta el bote si quiee cuza el ío pependiculamente? Qué tiempo tadaá ahoa en cuza el ío? 10.- Calcula el poducto escala de los vectoes a = i 3 j + 5k y b = 3i + j k, y el ángulo que foman Dados los vectoes a = i 3 j ; b = i + 4k ; c = i + j + k, compoba que a c = 1 ; b c =. 1.- Paa qué valoes de m los vectoes i + mj + 3k y mi mj + k son pependiculaes? 13.- Halla el poducto vectoial de los vectoes i + 3 j k y i + j + k. Idem de los vectoes i + 4 j + 6k y i + j + 3k Dados los vectoes (-1,3,4) y (6,0,-3), calcula el ángulo que foma su suma con su poducto vectoial Si a,b y c epesentan las tes aistas de un paalelepípedo, qué epesentaá el poducto ( a b ) c? 16.- Calcula el momento lineal de una patícula de 5 kg de masa que posee una velocidad v = i + 3 j k m/s Calcula el tabajo ealizado po la fueza F (,0, 3) N cuando su punto de aplicación se desplaza desde el punto (1,,-3) m hasta el punto (,6,-1) m La fueza F = i 4 j k N está aplicada en el punto P(1,-1,). Halla el momento de la fueza especto a) al oigen O(0,0,0); b) al punto Q(0,3,-) El vecto de posición de una patícula viene dado po: 3 3 = (3 + t t ) i + ( + t + t ) j + (1 t + t ) k m. Calcula: a) El vecto de posición, el vecto velocidad y el vecto aceleación a los 3 segundos. b) El módulo de esos tes vectoes Dado el vecto de posición de un móvil = t i + t j + t k m, calcula las componentes intínsecas de la aceleación en t = s. 1.- El vecto de posición de una patícula móvil viene dado, en función del tiempo, po = sen ti + cos tj + 4k m. Halla la velocidad y la aceleación de la patícula en cualquie instante. IES Potada Alta - Luis Gaido

15 Física Tema 0-15 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales.- La velocidad de un móvil con movimiento ectilíneo está definida po la función v(t) = + 3t. Calcula el espacio que ecoe el móvil ente t = 0 s y t = 5 s. 3.- Una fueza F = 3 ti + 4tj N actúa sobe un cuepo de kg de masa inicialmente en eposo. a) Qué tipo de movimiento posee el cuepo? b) Escibi las epesiones del vecto aceleación y del vecto velocidad en cualquie instante. c) Cuánto valen los módulos de la fueza, la aceleación y la velocidad a los 3 s de iniciado el movimiento? 4.- Un cuepo de 0 kg que se mueve a tavés del eje OY según la ecuación = ( t 3) j m, se ve sometido a la acción de la fueza F = (4t 3 8t) j N. Halla el tabajo ealizado po la citada fueza a) Ente los instantes t = s y t =3 s b) Al desplazase el cuepo desde el punto (0,6) hasta el punto (0,13). 5.- La velocidad de un cuepo viene dada po v = 3ti + (4t 1) j m/s. Calcula su posición y su aceleación en cualquie instante, sabiendo que pate del eposo desde el punto (3,1,0) m. IES Potada Alta - Luis Gaido

16 Física Tema 0-16 º Bachilleato Vectoes, deivadas, integales Soluciones 1. 1) 6 i + j k ; ) 4 i 9 j + 0k ; 3) 3 ; 4) 5 i + 5 j + 5k ; 5) 70,9º ; 6) 7) 3 i 6 j + 9k ; 8) 0,46i + 0,46 j 0,76k ; 9) α = 74,5º, β = 1,3º, χ = 36,7º; 10) -5. 3,74; cosα = 0,534 cosβ = 0,80 cosχ = 0,67 3. (4; 6,9; 0) 4. F = 17,3 kp; F y = 10 kp 5. 11,; α = 74,5º β = 57,7º χ = 36,7º 6. 70,4 N; 96,3º 7. (4,01;-0,09) ; (1,18;-,91) ; (3,78;-4,41) ; (14,63;-1,76) 8. 84,6 km/h ; 76º 9. a) 4 min; 360 m b) 37º aguas aiba (450 m); 5 min ; 107,7º y i 5 j 5k ; º 15. volumen i + 15 j 5k kg m/s J 18. a) 9i + 5 j k N m b) 0 i + 9 j + 4k N m 19. a) = 18 i + 10 j + 19k m; v = 5 i + 7 j + 1k m/s, a = 18 i + j + 16k m/s b) 8,0 m; 33,39 m/s; 4,17 m/s 0. a t = 1,3 m/s a n =3,6 m/s 1. v = cos ti sen tj m/s; a = 4sen ti 4cos tj m/s. 47,5 m b) a = ti + tj j m/s ; v = t i + t j m/s c) 15 N; 7,5 m/s ; 11, m/s 4 4. a) 36,3 J b) 1.05,3 J t 3 v 3 4t 5. = + 3 i + t + 1 j m; a = 3 i + 8tj m/s 3 IES Potada Alta - Luis Gaido

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