Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI"

Transcripción

1

2 Cálculo integrl Betriz Cmpos Sncho Cristin Chirlt Monleon Deprtment de mtemàtiques Codi d ssigntur 35 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

3 Edit: Publiccions de l Universitt Jume I. Servei de Comunicció i Publiccions Cmpus del Riu Sec. Edifici Rectort i Serveis Centrls. 7 Cstelló de l Pln e-mil: Col lecció Spienti, 5 Primer edició, ISBN: Aquest text està subjecte un llicènci Reconeixement-NoComercil-Comprtir Igul de Cretive Commons, que permet copir, distribuir i comunicr públicment l obr sempre que especifique l utor i el nom de l publicció i sense objectius comercils, i tmbé permet crer obres derivdes, sempre que siguen distribuïdes mb quest mteix llicènci. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

4 Índice generl. INTEGRACIÓN EN R 5.. LA INTEGRAL DE RIEMANN Teorí básic Propieddes de l integrl de Riemnn El teorem fundmentl del cálculo Ejercicios de l sección APLICACIONES DE LA INTEGRAL Cálculo de áres de figurs plns Cálculo de volúmenes Aplicciones físics de l integrl Ejercicios de l sección INTEGRALES IMPROPIAS Integrles sobre intervlos no cotdos Integrles sobre intervlos no cerrdos Integrles de funciones no cotds en intervlos compctos Propieddes de ls integrles impropis Criterios de convergenci Convergenci bsolut Ejercicios de l sección INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 49.. LA INTEGRAL DOBLE L integrl doble como límite de sums de Riemnn Propieddes de ls integrles dobles Cálculo de integrles dobles L integrl doble sobre regiones más generles Integrles dobles en coordends polres Cmbios de vribles en integrles dobles Aplicciones de l integrl doble Ejercicios de l sección LA INTEGRAL TRIPLE L integrl triple como límite de sums de Riemnn Cálculo de integrles triples Propieddes de ls integrles triples Cmbio de vribles en integrles triples Aplicciones de l integrl triple Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

5 ..6. Ejercicios de l sección INTEGRACIÓN SOBRE CURVAS Y SUPERFICIES 3.. INTEGRALES DE CAMINO Definiciones y ejemplos Integrles de cmino Propieddes de ls integrles de cmino Aplicciones de ls integrles de cmino Ejercicios de l sección INTEGRALES DE LÍNEA Independenci del cmino. Cmpos conservtivos Ejercicios de l sección EL TEOREMA DE GREEN Ejercicios de l sección LA INTEGRAL DE SUPERFICIE Superficies en R Áre de un superficie Integrles de superficie de funciones esclres Aplicciones de ls integrles de superficie de funciones esclres Integrles de superficie de funciones vectoriles Ejercicios de l sección TEOREMA DE STOKES Y TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Teorem de Stokes Teorem de l divergenci Ejercicios de l sección A. GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES 73 B. SUPERFICIES EN R 3 79 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

6 Prólogo El mteril que continución presentmos brc un curso completo de Cálculo Integrl. Está bsdo en los contenidos de l signtur Fundmentos Mtemáticos II de l titulción de Ingenierí Industril; por ello, v dirigido principlmente lumnos de Ingenierí, tnto de ls ntigus titulciones como de los nuevos grdos. L intención de ls utors h sido elborr un mteril didáctico de fácil comprensión. Pr ello, hemos incluido tod l teorí necesri, prescindiendo de ls demostrciones de los resultdos, junto con un colección de ejemplos resueltos, explicdos pso pso y compñdos de gráfics y dibujos, tn necesrios pr l visulizción y comprensión de los problems plntedos. Los contenidos están estructurdos en tres tems: integrción en un vrible, integrción múltiple e integrción sobre curvs y superficies. Como complemento, se incluyen dos péndices; en el primero de ellos se recuerd cómo dibujr gráfics en coordends polres y en el segundo se ofrece un recopilción de ls ecuciones y gráfics de ls superficies de R 3 más hbitules. En cd tem encontrmos l teorí básic y resultdos necesrios correspondientes, sí como un serie de ejemplos resueltos, que espermos se de grn yud l lumno en su prendizje. A lo lrgo del texto, se hn utilizdo motivciones bsds en ejemplos físicos de modo que los conceptos mtemáticos introducidos resulten identificbles y fmilires. Al finl de cd sección, se plnte un colección de ejercicios, compñdos de l solución, pr ser resueltos por el lumno. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

7 TEMA INTEGRACIÓN EN R INTRODUCCIÓN En este tem comenzmos estudindo el concepto de integrl de Riemnn en un vrible de un modo constructivo. Entender bien l integrl de Riemnn como un sum infinit nos permitirá generlizrl y definir en los siguientes tems l integrl pr vris vribles y ls integrles de líne y de superficie. Los objetivos de este tem son: Entender el concepto de integrl de Riemnn. Deducir fórmuls pr resolver determindos problems plicndo este concepto, como cálculo de áres, volúmenes de revolución, plicciones físics. Extender l definición de integrl pr poder llevr cbo el estudio de integrles impropis... LA INTEGRAL DE RIEMANN Ide intuitiv del concepto de integrl. El concepto de integrl surge l formlizr un concepto sencillo e intuitivo, el de medid, como por ejemplo longitud, áre o volumen. Consideremos el problem consistente en clculr el áre de un región pln. Pr resolverlo, vmos utilizr un técnic similr l que usron los ntiguos griegos bsándose en que dich áre qued encjd entre dos polígonos de áre conocid, uno inscrito y otro circunscrito. De este modo, el áre del polígono inscrito nos d un vlor proximdo del áre por defecto y l del polígono circunscrito nos d un vlor proximdo del áre por exceso. El vlor excto del áre buscd qued entre mbos. Tomndo polígonos inscritos y circunscritos cd vez más próximos dich región, ls proximciones de ls áres se cercn cd vez más l áre. Un proceso de límite nos permite llegr l vlor excto. Est técnic se conoce como principio de exhución de Arquímedes. Ocurre que no tods ls figurs plns tienen áre, y que el principio de exhución no permite determinr un número único, que esté comprendido entre ls proximciones por exceso y por defecto y por ello se introduce el concepto de integrl. B. Cmpos/C. Betriz Cmpos Chirlt / Cristin Chirlt - ISBN: Cálculo integrl - c UJI UJI

8 y f x Áre b x y y Sums por exceso Sums por defecto x x y x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

9 y Sums de Riemnn y x x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

10 que l función considerd f(x) >. Más delnte veremos l generlizción pr el cso en que f(x) < o cmbie de signo en el intervlo que consideremos. Definición.. Ddo un intervlo compcto (es decir, cerrdo y cotdo) [, b] R, se llm prtición de [, b] culquier conjunto finito de números reles P = {x, x,, x i, x i,, x n } que verifique = x < x < < x i < x i < < x n = b. = x X X.. X i- X i X i+.. b = x n Figur.5: Prtición de un intervlo. De est form [, b] qued dividido en n subintervlos que corresponderín ls bses de los rectángulos. [x i, x i ] es el intervlo i-ésimo de l prtición. Llmmos mplitud del intervlo i-ésimo x i = x i x i. Se denomin diámetro P de l prtición P l myor de ls mplitudes x i, P = mx { x, x,, x n }. Si tods ls mplitudes son igules, se dice que P es un prtición regulr y en este cso el diámetro de l prtición es P = b. Se verific demás n que P implic que n. Ejemplo.. Ddo el intervlo [, ] tommos un prtición regulr en 5 subintervlos definid por, P = {, 6 5, 7 5, 8 5, 9 5, }. Como l prtición es regulr todos los intervlos tienen l mism mplitud y su diámetro es P = ( )/5 = /5. Definición.. Dd un prtición P = { = x, x,, x i, x i,, x n = b}, se llm fmili de puntos intermedios T un conjunto de puntos tles que t i [x i, x i ]. T = {t, t,, t i,, t n } Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

11 y f t 4 f t f t f t 3 t t t 3 t 4 x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

12 y y x 3 x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

13 ... Propieddes de l integrl de Riemnn () Linelidd. Si f y g son dos funciones reles, integrbles en [, b], entonces tmbién es integrble l función hf + kg pr culesquier h, k R y demás b (hf + kg) = h b f + k () Integrbilidd del producto y del cociente. Sen f y g reles e integrbles en [, b]. Entonces: () f g es integrble en [, b]. b g. (b) f g es integrble en [, b] si g(x) =, x [, b]. (3) Monotoní. Si f y g son integrbles en [, b] y si se cumple f(x) g(x) cundo x b entonces b f b g. En prticulr, si f(x), entonces b f. (4) Integrbilidd del vlor bsoluto. Si f es integrble en [, b], entones f es integrble en [, b] y se verific: b b f f. Not.. Entendemos por f l función vlor bsoluto definid como f(x) si f(x) f(x) = f(x) si f(x) <. (5) Aditividd respecto del intervlo de integrción. Se f cotd en [, b] y c ], b [. Entonces f es integrble en [, b] si y sólo si lo es en [, c] y en [c, b]. En este cso se cumple: b f = c f + Est propiedd constituye l bse pr lguns convenciones de notción; sí, si cmbimos los límites de integrción cmbi el signo de l integrl, es decir, f = b f. Cundo los límites de integrción son igules l b integrl vle, esto es, f =. (6) Composición de funciones. Se f : [, b] R y ϕ : [α, β] R, tles que f es integrble en [, b] y ϕ es de clse C en [α, β]. Si demás ϕ([α, β]) [, b], entonces l función compuest f ϕ : [α, β] R es integrble en [α, β]. Not.. Un función se dice que es de clse C en el intervlo [, b] si es continu y demás existe su derivd primer y tmbién es continu en [, b]. b c f. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

14 y y M m b x f c b x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

15 y F x x x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

16 Est función F tiene lguns propieddes importntes que dependen de l función que se integr: Teorem.. Si f es integrble sobre un intervlo compcto, entonces F es continu sobre dicho intervlo. Teorem.3 (Primer teorem fundmentl del cálculo). Si f es continu en [, b], entonces F es derivble en [, b] y su derivd es F (x) = f(x) pr culquier x [, b]. Notemos que F (x) = d x f(t)dt = f(x), independientemente del vlor dx que tome. Además cundo f es continu (condición que exige el teorem fundmentl del cálculo) los conceptos de primitiv e integrl indefinid coinciden, unque se hyn definido de form distint. Luego, si f es continu, dmite primitivs pero si dej de ser continu en lgún punto del intervlo, unque sig siendo integrble (y por tnto dmite integrl indefinid) puede no dmitir primitiv. Ejemplo.6. Se l función signo de x : si x > f(x) = sg(x) = si x = si x <. (.) Comprobemos que f dmite integrl indefinid en R pero no primitiv. Solución. L función signo de x dmite integrl indefinid dd por: F (x) = x sg(t)dt pr integrr est función integrremos cd trozo de l función sg(x) definid en (.), esto es: x si x > si x = x si x < que corresponde l función vlor bsoluto x, x R. f x F x 3 3 Gráfics de f(x) = sg(x) y de F (x) = x. Pero F (x) = x no es primitiv de f(x) en R, y que no es derivble en x =. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

17 Un consecuenci inmedit del primer teorem fundmentl del cálculo es que nos proporcion un método práctico pr clculr integrles, es decir, pr hllr primitivs. Vemos un corolrio pr el que se supone conocid l existenci de primitivs. Corolrio. (Regl de Brrow). Si f : [, b] R es continu en el intervlo de definición y si G : [, b] R es un primitiv de f en dicho intervlo, entonces se verific que: b f(x)dx = G(b) G() que denotremos por [G(x)] x=b x=. Est dificultd esencil referente l existenci de funciones primitivs no impide estblecer que, bjo determinds condiciones, l regl de Brrow se sig cumpliendo unque f no se continu. Teorem.4 (Segundo teorem fundmentl del cálculo). Se l función f : [, b] R integrble en el intervlo compcto [, b] y se G : [, b] R un primitiv de f en [, b], entonces se verific: b f(x)dx = G(b) G(). Ejemplo.7. Resolvmos ls siguientes integrles:. π sin x dx = [ cos x]x=π x= = cos π + cos = + =.. xn dx siendo n =. x n+ x= xn dx = = n + n + = n dx x 4. x ex dx = 5. π x= = [ln x]x= x= = ln ln = ln. x sin x dx. x= ex = (e e ) = (e ). x= L primitiv de f(x) = x sin x es, plicndo integrción por prtes, F (x) = x cos x + sin x, por tnto 6. 9 π x( + x) dx. x sin x dx = [ x cos x + sin x] x=π x= = π. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

18 L primitiv de f(x) = es, plicndo el cmbio x = x( + x) t y volviendo deshcerlo, F (x) = +, por tnto: x 9 dx = x( + x) + x 9 =. L integrción por prtes y por cmbio de vrible se puede plicr directmente pr ls integrles definids utilizndo ls proposiciones siguientes: Proposición. (Integrción por prtes). Sen u y v funciones reles de clse C en el intervlo compcto [, b], entonces se verific: b Ejemplo.8. Clculemos π b u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] x=b x= u (x)v(x)dx. x sin x dx. Solución. Tommos u(x) = x y v (x) = sin x, por tnto u (x) = y v(x) = cos x. Aplicndo l fórmul de integrción por prtes tenemos: π π x sin x dx = [ x cos x] x=π x= + cos x dx = π + [sin x] x=π x= = π. Proposición.3 (Integrción por cmbio de vrible). Se f un función integrble en [, b] y se ϕ un función de clse C en [α, β] con α = ϕ (), β = ϕ (b) y ϕ([α, β]) = [, b]. Entonces se verific: b f(x)dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Not.4. Al hcer un cmbio de vrible x = ϕ(t) implic que t = ϕ (x). De ello se deriv que tenemos que cmbir tmbién los límites de integrción pr l nuev vrible t. Ejemplo.9. Clculemos 9 x( + x) dx. Solución. Consideremos el cmbio x = ϕ(t) = t, luego t = ϕ (x) = x. Entonces x = le corresponde un vlor t = = y x = 9 le corresponde t = 9 = 3, luego: 9 x( + x) dx = 3 t=3 = = + t t=. t( + t) t dt = 3 ( + t) dt c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

19 ..4. Ejercicios de l sección.. Cómo explicrís que un función continu trozos en un intervlo [, b] se integrble en dicho intervlo?. Cómo clculrís el áre encerrd entre un función f, el eje X y ls rects x = y x = b si f tom vlores negtivos en el intervlo [, b]? 3. Clcul ls siguientes integrles definids: () ex (x + x) dx. (Solución: e) (b) π 8 cos3 x dx. (Solución: 6). 3 (c) 3 x + x + x + dx. (Solución: + ln ). 4 (d) x 3 x dx. (Solución: 3 3 ). (e) e x ln x dx. (Solución: ( + 9 e3 )). (f) 4 x dx. (Solución: +π )... APLICACIONES DE LA INTEGRAL Al principio del tem se introdujo l integrl con el fin de obtener el áre de un figur pln. Como veremos continución no sólo se puede usr l integrl en el cálculo de áres de figurs plns, sino que tmbién nos permite clculr volúmenes de sólidos de revolución l menos en determindos csos de prticulr interés. Además de ls plicciones geométrics tmbién result interesnte mostrr lguns plicciones físics utilizds en el ámbito de l ingenierí.... Cálculo de áres de figurs plns Vemos cómo poner en práctic el cálculo de áres de figurs plns siguiendo cierts norms dds en l introducción del tem.. Áre entre un curv y el eje de bciss. Dd un función f : [, b] R continu en [, b], el conjunto C R limitdo por l curv y = f(x), el eje de bciss y ls rects x = y x = b tiene áre y ést vle: A(C) = b f(x)dx si f(x), x [, b] b f(x) dx si f(x) < o si el signo de f(x) cmbi un número finito de veces en [, b]. El método pr integrr l función f(x) se reduce : () Integrr l función f(x) en el intervlo [, b] si f(x) < pr todo x R. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

20 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

21 . Áre encerrd entre dos curvs. Consideremos f y g dos funciones continus en el intervlo compcto [, b]. El conjunto C limitdo por l curv y = f(x), l curv y = g(x) y ls rects x = y x = b, tiene áre dd por l integrl, A(C) = b f(x) g(x) dx. El método pr integrr f(x) g(x) se reduce : () Integrr l función f(x) g(x) si f(x) g(x) > en todo el intervlo [, b]. () Integrr l función g(x) f(x) si f(x) g(x) < en todo el intervlo [, b]. (3) Si el signo de f(x) g(x) cmbi en el intervlo [, b] un número finito de veces, resolvemos l ecución f(x) g(x) =. Integrmos f g en los intervlos donde f g >, es decir, l gráfic de f está por encim de l gráfic de g, e integrmos g f en los intervlos en los que f g <, es decir, l gráfic de f está por debjo de l gráfic de g, independientemente de l situción de mbs gráfics respecto del eje de bciss. Finlmente summos los vlores positivos obtenidos en cd integrl. Not.6. Igul que ntes plntemos un lterntiv estos csos que es usd en l práctic consiste en clculr b (f g) en los csos () y (). En el cso (3) clculmos x x (f g) + b (f g) + + (f g) x x n siendo x, x,, x n los puntos de corte de f y g en el intervlo [, b]. Not.7. En lgunos de estos csos l resolución de l integrl se simplific si considermos ls funciones x = h(y), x = k(y) recíprocs de y = f(x) e y = g(x) respectivmente, e integrmos respecto de y. A continución vemos un ejemplo que ilustr este cso. Ejemplo.. Hllemos el áre comprendid entre ls gráfics de ls funciones f(x) = 3x 3 x x y g(x) = x + x. Solución. En primer lugr obtenemos los puntos de corte de mbs curvs: 3x 3 x x = ( x + x), es decir, 3x 3 x =, por tnto, x =, x =, x =. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

22 6 f x 4 g x Áre comprendid entre f(x) y g(x). En el intervlo [, ] se tiene que f > g y en el intervlo [, ] se tiene que f < g; por tnto, A = f(x) g(x) dx = (f(x) g(x))dx + (g(x) f(x))dx = (3x3 x)dx + ( 3x3 + x)dx = + = 4 u.. Ejemplo.. Clculemos el áre de l región limitd por l gráfic de y = x y l de x = 3 y. Solución. En este cso, considermos los rectángulos representtivos horizontles, es decir, considermos ls funciones x = f(y) = y + y x = g(y) = 3 y que se cortn pr y = e y =, es decir, en los puntos (, ) y (,.). 3 g y 3 4 f y Áre comprendid entre l rect y l prábol. Entonces, el áre vendrá dd por: A = (3 y ) (y + ) dy = ( y y + )dy = 9 u.. Ejercicio.. Hll el áre comprendid entre ls curvs y = sin x y y = cos x en, π. (Solución: ( ) u..). Ejercicio.3. () Clcul el áre encerrd por l elipse x 9 + y 4 =. (Solución: 6π u..). Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

23 (b) Clcul el áre encerrd por l elipse x + y b =. (Solución: π b u..).... Cálculo de volúmenes Pr el cálculo de volúmenes se suelen utilizr ls integrles dobles y triples. Sin embrgo, existen determindos sólidos, los cuerpos de revolución, cuyo volumen se puede clculr de un modo sencillo utilizndo integrles simples. Los sólidos de revolución precen frecuentemente en ingenierí y en procesos de producción (ejes, embudos, pilres, botells, émbolos y otros). Estos cuerpos se obtienen l girr un región del plno lrededor de un eje llmdo eje de revolución. Estudimos dos métodos pr clculr este tipo de volúmenes, l integrción por discos y l integrción por cps, utilizndo cd uno de ellos según se más conveniente pr el desrrollo del problem.. Método de los discos. Consideremos un región pln sencill: un rectángulo poydo sobre el eje de giro. Al girr lrededor del eje de revolución d lugr un cilindro circulr recto o disco, tl y como prece en l Figur.. R Figur.: Disco generdo por l revolución de un rectángulo. Si R es el rdio y w l nchur del disco, entonces el volumen del disco viene ddo por: V = πr w. L expresión nterior nos será útil pr hllr el volumen de un sólido de revolución más generl. Consideremos l región pln limitd por l gráfic de y = f(x), el eje de revolución y ls rects x = y x = b y supongmos que queremos clculr el volumen del sólido de revolución engendrdo l girr dich región lrededor del eje de revolución (Figur.). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

24 R x b Figur.: Sólido generdo por l revolución del áre bjo un curv. Podemos llegr l integrl medinte sums de Riemnn. Pr ello: Tommos un prtición del intervlo [, b] que lo divid en n subintervlos igules [x i, x i ]. Pr cd uno de estos subintervlos, considermos un rectángulo de bse: x i = x i x i y ltur R(c i ) con c i [x i, x i ]. Al girr lrededor del eje de revolución d lugr un disco cuyo volumen es: V i = π(r(c i )) x i. Sumndo los volúmenes de estos discos obtenemos un vlor proximdo del volumen del sólido de revolución (Figur.), V n π(r(c i )) x i, (sums de Riemnn). i= Figur.: Aproximción del volumen medinte discos. Tomndo límite cundo n, tendremos el vlor excto, si existe, obteniéndose l siguiente integrl: V = lím n n π(r(c i )) x i = π i= b (R(x)) dx. Si el eje de revolución es el eje X, entonces R(x) viene ddo por f(x) y se tiene: V = π b (f(x)) dx. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

25 Un expresión similr se obtiene cundo girmos lrededor de un eje verticl en el intervlo [c, d], en cuyo cso ls funciones considerds dependen de y: V = π d c (R(y)) dy y R(y) Cundo l región que gir no poy sobre el eje de revolución se gener un sólido con gujero. En este cso, dich región está comprendid entre dos curvs continus y = f(x) e y = g(x) donde f(x) g(x), x [, b]. Entonces, l volumen del sólido generdo por l región limitd por l curv más lejn l eje de revolución le restremos el volumen del gujero, generdo por l curv más cercn: V = V g V f = π b (R(x)) (r(x)) dx r(x) R(x) En el cso en que el eje de revolución se el eje X, se tendrá: y g(x) V = π b (g(x)) (f(x)) dx f(x) x Ejemplo.3. Clculemos el volumen del sólido de revolución generdo l girr l región pln limitd por l gráfic de f(x) = 3x x y el eje X, pr x 3, lrededor del eje X Región pln bjo l gráfic de f(x) = 3x x. Solución. Puesto que el eje de revolución es el eje de bciss, el sólido generdo Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

26 es un bol de dimensión 3 y su volumen viene ddo por: V = π 3 (f(x)) dx = π 3 ( 3x x ) dx = π 3 3x 3 (3x x )dx = π x3 = 9π 3 u.v. Ejemplo.4. Clculemos el volumen del sólido de revolución generdo l girr l región pln comprendid entre ls gráfics de f(x) = x y g(x) = en torno l rect y = eje de revolución.5 Región pln entre ls gráfics de f(x) y g(x). Solución. En este cso, como el eje de revolución es l rect y =, el rdio de cd rectángulo representtivo vendrá ddo por R(x) = f(x). Además, dichs gráfics cortn en los puntos de bcis x = y x =. Luego, V = π ( x ) dx = π (x4 x + )dx x 5 = π 5 x3 3 + x = 6π u.v. 5 Ejemplo.5. L región R cotd por ls curvs y = x e y = x gir lrededor del eje X. Clculemos el volumen del cuerpo resultnte. Solución. Se trt de un sólido de revolución con gujero eje de revolución Región cotd por ls curvs y = x e y = x. Ambs curvs se cortn en los puntos de bciss x = y x =, por tnto: V = π [(R(x)) (r(x)) ] dx = π (x x4 ) dx x = π x5 = 3π 5 u.v. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

27 Ejercicio.4. Un mecánico perfor un gujero trvés del centro de un esfer de metl de 5 cm de rdio. El gujero tiene 3 cm de rdio, cuál es el volumen del nillo resultnte? (Solución: 56π 3 cm 3 ).. Método de ls cps o tubos. Un método lterntivo pr clculr volúmenes de sólidos de revolución es el que emple cps cilíndrics. Pr introducir este método considermos el rectángulo representtivo como el de l Figur.3, es decir prlelo l eje de revolución, siendo w l nchur del rectángulo, h su ltur y p l distnci del centro del rectángulo l eje de revolución, que llmremos rdio medio. Cundo el rectángulo gir lrededor del eje de revolución engendr un cp cilíndric de nchur w cuyo volumen será el volumen del cilindro exterior menos el volumen del cilindro interior, esto es, V (cp cilíndric) = π p + w h π p w h = π p h w. h p Figur.3: Cp cilíndric o tubo generdo por l revolución de un rectángulo. Est fórmul nos permite clculr el volumen del sólido de revolución del siguiente modo: supongmos un región pln cotd superior e inferiormente por ls rects y = c e y = d, que gir lrededor de un eje horizontl engendrndo un sólido (Figur.4). Procedemos de modo nálogo l cso de los discos construyendo l integrl medinte sums de Riemnn. Tommos un prtición del intervlo [c, d] en n subintervlos igules [y i, y i ]. d g(y) c p(y) L(y) y Figur.4: Aproximción de un volumen medinte cps cilíndrics. c UJI 5 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

28 Aproximmos l región medinte rectángulos de modo que cd rectángulo, de nchur y i = y i y i, se prlelo l eje de revolución. Al girr l región, cd rectángulo gener un cp de volumen: con c i [y i, y i ]. V i = πp(c i )h(c i ) y i Podemos proximr el volumen totl medinte l sum de ls cps (ver Figur.4): n V πp(c i )h(c i ) y i. i= Tomndo límite cundo n +, tenemos V = lím n + n π p(c i )h(c i ) y i = π i= Si el eje de revolución es verticl l fórmul será, V = π b p(x)h(x)dx. d c p(y)h(y)dy. Si el eje de revolución es el eje Y, entonces p(x) = x y si demás l región se encuentr sobre el eje x entonces h(x) = f(x), por tnto: y x V = π b xf(x)dx. p(x) = x h(x) = f (x) x Ejemplo.6. Clculemos el volumen del sólido generdo l girr l región cotd por ls gráfics de y = x +, y =, x = y x =, lrededor del eje Y. Solución. Considerndo el método de ls cps, tenemos que pr cd rectángulo representtivo l distnci de éste l eje Y viene dd por p(x) = x y su ltur viene dd por h(x) = f(x) = x +, 3 eje de revolución 3 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

29 por tnto: V = π x x(x 4 + )dx = π 4 + x = π 4 + = 3π u.v. Notemos que este volumen tmbién se puede clculr medinte el método de los discos, pero en este cso hbrí que hcer dos integrles. Ejemplo.7. Clculemos el volumen del sólido generdo l girr l región limitd por ls gráfics y = x 3 + x +, x = e y = lrededor de l rect x =. Solución. En este cso recurrimos l método de ls cps debido l dificultd que plnte despejr x en l ecución y = x 3 + x + pr plicr el método de los discos. Dibujndo l gráfics, observmos que l distnci de cd rectángulo representtivo l eje x = viene dd por p(x) = x y su ltur viene dd por h(x) = f(x) = x 3 + x, 5 4 Eje de revolución 3 3 por tnto: V = π ( x)(x3 + x) dx = π (x3 + x x 4 x ) dx = π x5 5 + x4 x3 3 + x = 9π 5 u.v. Ejercicio.5. Se diseñ un flotdor cuy form se obtiene rotndo l gráfic de y = x, 4 x 4, lrededor del eje X, donde se mide x e y 6 en dm. Clcul el volumen del flotdor. (Solución: 64π 5 dm3 )...3. Aplicciones físics de l integrl. Trbjo relizdo por un fuerz vrible. El concepto de trbjo es importnte pr los científicos e ingenieros l hor de determinr l energí necesri pr relizr diferentes tres físics; por ejemplo, es útil conocer l cntidd de trbjo relizdo cundo un grú Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

30 elev un vig de cero, cundo se comprime un muelle, cundo se lnz un cohete o cundo un cmión trnsport un crg por un crreter. En primer lugr, consideremos un fuerz constnte en cd punto, que mueve un cuerpo en su mism dirección rectilíne un distnci d, entonces el trbjo relizdo por dich fuerz viene ddo por W = F d (Figur.5). F d Figur.5: Fuerz constnte y en l mism dirección que el desplzmiento. Pero l fuerz F puede vrir conforme el objeto cmbi de posición (por ejemplo, l comprimir o estirr un muelle). Supongmos que queremos clculr el trbjo necesrio pr mover un cuerpo lo lrgo de un líne rect desde x = hst x = b debido un fuerz F (x) que vrí continumente. Rzonmos de form nálog los csos nteriores de cálculo de áres y de volúmenes pr llegr l concepto de integrl. Pr ello utilizmos ls sums de Riemnn y los correspondientes principios físicos. Tommos un prtición regulr del intervlo [, b]. Pr cd uno de los n subintervlos [x i, x i ] considermos c i un punto culquier de dicho subintervlo y clculmos F (c i ). Pr pequeños vlores de x i l fuerz se consider con vriciones mínims y es prácticmente constnte, sí pues el trbjo pr mover dicho cuerpo desde x i hst x i viene ddo por W i = F (c i ) x i. Podemos proximr el trbjo totl desde x = hst x = b medinte l sum: n W F (c i ) x i. i= Tomndo límite cundo n +, obtenemos, si existe el vlor buscdo, W = lím n + n F (c i ) x i = i= b F (x)dx. Ejemplo.8. Pr estirr un muelle desde su posición nturl 3 hemos relizdo un fuerz de N, clculemos qué trbjo debemos relizr pr estirrlo 3 más. Solución. Por l ley de Hooke, el muelle ejerce un fuerz contrri l sentido de l deformción, dd por F (x) = k x, donde k es un constnte positiv crcterístic del muelle. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

31 Podemos determinr k con los dtos del problem plicndo l ley nterior: = k, por tnto, k = 3 N/m. 3 Así, el trbjo pr estirr el muelle desde l posición hst l posición 3 será: 3 3 x /3 W = 3 x dx = 3 = 5 N m. 3 /3 Ejercicio.6. Si un módulo espcil pes 5 tonelds (T ) en l superficie terrestre, Cuánto trbjo exige elevrlo un ltur de 8 mills?. No se tendrá en cuent l resistenci del ire ni el peso del combustible (Rdio Tierr 4 mills). (Solución:, T -mill).. Vcido de depósitos. Consideremos un depósito lleno hst d m por debjo del borde, de un líquido homogéneo que pes w N/m 3 (Figur.6). Supongmos que se bombe líquido desde l prte superior hst que el nivel del líquido desciende c m por debjo del borde. Queremos clculr cuál es el trbjo relizdo. d h(y) d A(y) c Figur.6: Vcido de un depósito. En l resolución del problem utilizmos l siguiente notción: A(y): áre de un sección trnsversl, h(y): ltur l que hy que elevr el líquido, pr cd y [c, d]. Construimos ls sums de Riemnn que dn lugr l integrl correspondiente l vcido de depósitos. Tommos un prtición regulr de [c, d]. Pr cd subintervlo [y i, y i ] se c i un punto intermedio de dicho subintervlo. El volumen del estrto correspondiente es: V i = A(c i ) y i. El peso de dicho estrto es: w V i. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

32 El trbjo que hy que relizr pr bomber este estrto es: W i = w A(c i ) h(c i ) y i. Un vlor proximdo del trbjo totl viene ddo por l sum de los trbjos relizdos pr bomber todos los estrtos del líquido y el vlor excto se obtiene medinte el límite, si existe, cundo n + de dich sum, es decir: W = lím n n wa(c i )h(c i ) y i = i= d c w A(y) h(y) dy. Ejemplo.9. El tnque cónico de l Figur.7 se llen hst m del tope con un ceite que pes w N/m 3, hllemos el trbjo que se requiere pr bomber todo el ceite hst el borde del tnque. x= y= x Figur.7: Tnque cónico. Solución. Considerndo los ejes de coordends como en l Figur.7, se tiene que A(y) = π( y ) y h(y) = y. Puesto que el tnque está lleno hst m del borde superior, hy que bomber el ceite que ocup l región desde y = hst y = 8, por tnto: W = 8 w π ( y ) ( y) dy = w π 4 8 (y y 3 ) dy = w π 4 y y4 = w π 4 4 (48 3 ) = 5 wπ N m. 3 Ejercicio.7. Un depósito de gu semiesférico de m de rdio se vcí medinte bombeo. Hll el trbjo relizdo cundo el nivel del gu desciende de 4 m por debjo de l prte superior del depósito (densidd del gu: ω = 4 N/m 3 ). (Solución: 54π KN m). Ejercicio.8. Un tnque cónico lleno de gu repos sobre su bse que está nivel del suelo siendo su eje verticl. El tnque tiene un rdio de 5 m y un ltur de m. Clcul el trbjo relizdo pr vcir el gu del depósito hst el borde superior, si l densidd del gu es de 4 N/m 3. (Solución: 65π 4 KN m). 3 c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

33 3. Fuerz ejercid por un fluido. Un de ls plicciones de este prtdo es l presión que se ejerce sobre un pred sumergid verticlmente, por ejemplo l fuerz que se ejerce sobre un pres. L Ley de Pscl es l que rige este principio: si se sumerge un objeto en un líquido, éste experiment un fuerz del líquido que le rode. Si l superficie está sumergid horizontlmente l fuerz es F = P A, siendo l presión P proporcionl l profundidd del objeto en el fluido, es decir, P = w h, donde w l densidd del líquido y h l profundidd del objeto. Por tnto, F = w h A, siendo A el áre de dicho objeto. Est ley es muy utilizd en hidráulic y neumátic. Fue uno de los principios que se utilizó pr diseñr l prens hidráulic. Pero si l superficie está sumergid verticlmente en el fluido como en l Figur.8, entonces l presión ejercid sobre l superficie no es constnte, vrí con l profundidd y tenemos que recurrir l concepto de integrl pr resolver el problem. d h(c i ) c i c L(c i ) y i Figur.8: Pred verticl sumergid. Tommos un prtición regulr del intervlo [c, d] en n subintervlos. Considermos su mplitud lo suficientemente pequeñ de mner que F i = w h(c i ) L(c i ) y i, con c i [y i, y i ], L fuerz totl tendrá un vlor proximdo que result de l sum de ests fuerzs n F w h(c i ) L(c i ) y i. i= Tomndo límite, si existe, obtenemos: F = lím n n i= d w h(c i ) L(c i ) y i = w h(y) L(y) dy. c Ejemplo.. Clculemos l fuerz que ejerce el gu sobre un pred verticl que tiene form de triángulo rectángulo cuyos ctetos miden 4 m cd uno, siendo uno de ellos l bse del triángulo situd 4 m de profundidd. (Densidd del gu: N/m 3 ). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

34 4 y x Pred verticl tringulr. Solución. Hciendo coincidir el eje X con l bse del triángulo (uno de los ctetos) y el eje Y con l ltur del triángulo (el otro cteto) y situndo el nivel del gu sobre l rect y = 4, tenemos que h(y) = 4 y y puesto que l hipotenus del triángulo form prte de l rect y = 4 x, despejndo tenemos que L(y) = 4 y. Por tnto: F = w 4 h(y) L(y) dy = w 4 (4 y) dy (4 y) 3 w 3 4 = w( 64 3 ) = 64,4 3 N. Ejemplo.. Un conducto circulr de gu de 6 m de diámetro se encuentr semilleno. Hllemos l fuerz que ejerce el gu sobre l compuert que cierr el conducto. y x 3 Pred verticl circulr. Solución. Consideremos l compuert (circulr) que cierr el conducto y tomemos el origen de coordends en el centro de dicho círculo, de este modo h(y) = y y L(y) = 9 y. Puesto que sólo está sumergid l mitd inferior, se tiene que: F = w 3 9 y ( y) dy = w (9 y) 3/ 3/ 3 = w 3 7 = 8,4 N. Ejercicio.9. L compuert verticl de un pres tiene form de trpecio isósceles de 8 m de bse superior y 6 m de bse inferior, con un ltur de 5 m. Cuál es l fuerz ejercid por el fluido sobre l compuert si el borde superior está 4 m por debjo de l superficie del gu? (Solución: 67 3 ω N). Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

35 Ejercicio.. Los extremos de un rtes de gu tienen l form de regiones prbólics limitds por y = x 4 e y =, donde ls uniddes son en metros. Suponiendo que l rtes está llen de gu, clcul l fuerz que ejerce el gu sobre uno de los extremos de l rtes. (Solución: 56 5 ω N)...4. Ejercicios de l sección.. Hll el áre encerrd de l región del primer cudrnte limitd por ls curvs x + y = 3, y = x, x = y. (Solución: π 4 u..).. Hll el áre encerrd de l región comprendid entre ls circunferencis x + y = 4 y (x ) + (y ) = 4. (Solución:.9736 u..). 3. Clcul el volumen del cuerpo generdo l girr l región limitd por y = x 3, y = 8 y x = lrededor del eje Y. (Solución: 96π 5 u.v.). 4. L rect x = divide l círculo (x ) + y 4 en dos prtes. () Clcul el volumen generdo l girr lrededor de l rect y = l prte de myor áre. (Solución: 9π u.v.). (b) Clcul el volumen generdo l girr lrededor de l rect x = l prte de menor áre. (Solución: 8π 3 + 3π u.v.). 5. Clcul l cpcidd en m 3 de un depósito de ceite que tiene l form del sólido de revolución obtenido l girr lrededor de l rect x =, l región cotd por y = x y y =. (Solución: 6π 3 m 3 ). 6. Se R l región del plno encerrd entre l prábol y = x x + 3 y l rect y = 3. Clcul el volumen del sólido de revolución generdo l girr dich región lrededor de l rect x =. (Solución: 8π u.v.). 7. (Trbjo relizdo pr elevr un cden). Un cden de m que pes 5 kg por m yce en el suelo. Cuánto trbjo se requiere pr elevr uno de sus extremos hst m de ltur de mner que quede tod extendid?. (Solución: mkg ). 8. (Trbjo relizdo por un gs) Un cntidd de gs con un volumen inicil de pie cúbico y un presión de 5 librs por pie cúbico se expnde hst ocupr un volumen de pies cúbicos. Clcul el trbjo relizdo por gs l expndirse. (Se supone que l presión es inversmente proporcionl l volumen). (Solución: 5 ln pies libr ). 9. Un depósito de retención es un lterntiv l rehbilitción de ls redes de lcntrilldo de un municipio por ls muchs molestis que se pueden ocsionr (problems de tráfico, molestis los ciuddnos, etc.). Supongmos que uno de estos depósitos tiene form de prboloide de revolución obtenido l girr l curv y = x + ( x 5) lrededor del eje Y. Si el depósito está lleno, qué trbjo se requiere pr vcir su contenido por encim del borde del depósito? (Solución: 5 πω u.t.). 3 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

36 . Supongmos que un depósito de queroseno de clefcción de un cs tiene un fug y hy que vcir su contenido pr reprrlo. Clcul el trbjo que se requiere pr vcirlo bombendo el keroseno hst un slid que está m por encim de l prte superior del tnque si está lleno hst l mitd. El tnque es cilíndrico de rdio m y ltur 4 m. (Densidd del keroseno ω N/m 3 ) (Solución: 3πω N).. Clcul el trbjo necesrio pr vcir todo el combustible de un tnque cilíndrico de m de rdio y 5 m de longitud, si éste se encuentr enterrdo horizontlmente m de l superficie y l ltur del surtidor es de m. (Densidd del combustible ω N/m 3 ). (Solución: πω N).. Un cmión trnsport combustible en un depósito cuy sección trnsversl tiene form de semicírculo de rdio dm. Si el peso del combustible es de 3 g/dm 3 y suponemos que el depósito está lleno, clcul l fuerz totl ejercid por el líquido sobre uno de sus extremos. (Solución: 6 N). 3. Un ljibe (depósito que recoge el gu de lluvi) tiene form tringulr (su sección trnsversl es un triángulo equilátero de 8 m de ldo y vértice hci bjo). Clcul l fuerz que ejerce el gu sobre uno de los extremos del ljibe cundo está lleno. Considermos que l densidd del gu es 4 N/m 3. (Solución: 64 4 N)..3. INTEGRALES IMPROPIAS Pr definir l integrl definid, se h exigido que el integrndo fuese un función cotd en un intervlo compcto, es decir, un intervlo cerrdo y cotdo. Si el intervlo sobre el que queremos integrr no es compcto o l función no está cotd se mplí el concepto de integrl dndo lugr ls integrles impropis o generlizds. Vemos lgunos ejemplos en los que prece este tipo de integrles: Ejemplo.. En un yuntmiento se propone un pln de recudción de impuestos plntedo de l form siguiente. Después de x semns, se prevé que se recuden f(x) = xe 3 x miles de euros por mes. Cuánto será lo recuddo en los tres primeros meses?. Cuánto se recudrí si el tiempo fuese ilimitdo?. Ejemplo.3. Si un módulo espcil pes 5 tonelds en l superficie terrestre, cuánto trbjo exige elevrlo un ltur de 8 mills?. Cuánto trbjo es necesrio pr propulsr este módulo un distnci infinit de l Tierr?. No se tendrá en cuent l resistenci del ire ni el peso del combustible. (Rdio Tierr 4 mills) Distinguiremos entre: Integrles impropis de primer especie: quélls en ls que el intervlo de integrción no está cotdo (y por tnto, no es compcto). Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

37 y x y x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

38 .5 y x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

39 . + e 3x dx.. 4 cos x dx dx e x + e x. 4. 4x + x 3x + Solución e 3x dx = lím t + t Est integrl es convergente. 4 cos x dx = 4 lím r e e 3x 3x dx = lím t + 3 r t e 3t = lím t = 3. cos x dx = 4 lím [ sin x r ] r = 4 lím sin r. r Est integrl es oscilnte y que este límite no existe. + e x + e dx = + x = = lím r r e x + dx = + e x e x + e dx + + x e x dx + ex e x dx + ex e x t dx + lím + ex t + e x dx + ex = lím r [rctn ex ] r + lím t + [rctn ex ] t = lím r (rctn rctn er ) + lím t + (rctn et rctn ) 4. Est integrl es convergente. = π 4 + π π 4 = π. 4x + x 3x + dx = lím r 5 r x + 9 dx x = lím r ( 5 ln x + 9 ln x ) r = 9 ln + lím r x 5 x 5 ln = 9 ln ln lím x 9 r x 9 = 9 ln + ln () =. Est integrl es divergente. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

40 y y f x b x f x b x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

41 . dx ( x) 3 3. ln x dx 4. dx 4 x Solución.. Vemos que est integrl es divergente. En efecto: + x dx = lím t + t dx = lím x t +[ln x] t = lím t +( ln t) = lím t +( ln t) = lím t +(ln t) = +.. Vemos que est integrl es convergente. En efecto: dx = ( x) 3 lím t t ( x) 3 dx = lím t [ 3( x)/3 ] t = lím t ( 3( t)/3 + 3) = Vemos que est integrl es convergente. En efecto: ln x dx = lím r + r ln x dx = lím r + [x ln x x] r = lím (ln r log r + r) = lím ( r ln r + r) r + r + = + lím r lím ln r r ln r = (plicndo l Hôpitl) = + lím r + r + r + = + lím r + r r r = + lím r + r = + =. 4. Vemos que est integrl es convergente. En efecto: π dx = (cmbio: x = sin t) = 4 x π 6 π cos t 4 4 sin t dt = π 6 dt = r = [t] π π 6 = π π 6 = π 3. Observemos que l hcer el cmbio de vrible l integrl dej de ser impropi y se convierte en un integrl definid sencill. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

42 .3.3. Integrles de funciones no cotds en intervlos compctos Se f un función cotd y continu en un intervlo compcto [, b] excepto en lgún punto c ], b[ donde lím f(x) = x c entonces l integrl impropi b f es convergente si y sólo si c tmbién son convergentes. Ejemplo.6. Clculemos 4 (x ) dx. f y b c + f y c b x Figur.: Gráfic de l función f(x) = (x ). Solución. En este cso l función f(x) = present un discontinuidd (x ) infinit en x = (ver Figur.). Luego se tiene: 4 dx (x ) = dx 4 (x ) + dx (x ) + t = lím t Est integrl es divergente. Ejercicio.. Clcul 3 dx 4 (x ) + lím t + t t 4 = lím + lím t x t + x t dx (x ) = lím t t lím = +. t + t dx (x ). (Solución: divergente). x c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

43 .3.4. Propieddes de ls integrles impropis Ls propieddes de ls integrles propis se extienden, medinte procesos de pso l límite, ls integrles impropis. En delnte, unificmos l notción de ls integrles de primer y segund especie: se [, b [ un intervlo no compcto tl que < < b +, escribiremos b f pr denotr conjuntmente los dos tipos de integrles. Si considermos el intervlo ], b ] siendo < b < +, ls denotmos b f. Por último ls impropis en ], b [ donde < b + ls escribiremos b f. Enuncimos ls propieddes más destcbles pr el primer cso, siendo nálogs ls propieddes pr los otros dos. () Linelidd. Si f y g son dos funciones reles, integrbles en [, b [, entonces tmbién es integrble l función hf + kg pr culesquier h, k R y demás: b (hf + kg) = h b f + k b () Monotoní. Si f y g son integrbles en [, b [ y si se cumple f(x) g(x), x [, b [, entonces: b f b (3) Regl de Brrow. Se f : [, b [ R un función continu en [, b [ y se G : [, b [ R un primitiv de f en [, b [. Si existe el límite siguiente, entonces: b g. f = límg(t) G() = [G(x)] b t b g. (4) Integrción por prtes. Si u y v son funciones de clse C en [, b [ y son convergentes dos de los tres términos siguientes, tmbién lo es el tercer término y se verific: b u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] b b u (x)v(x)dx. (5) Cmbio de vrible. Se f : [, b [ R un función continu en [, b [ y se ϕ : [ α, β [ R de clse C ([ α, β [), siendo < α < β +. Si ϕ(α) = y ϕ(t) b cundo t β y demás ϕ([ α, β [) [, b [, entonces: b f(x)dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Si un de ells es convergente (divergente), l otr tmbién. Ejemplo.7. Clculemos: c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

44 () dx x. Solución. Hcemos el cmbio x = sin t. π dx = x π cos t sin t dt = dt = [t] π = π. Observmos que l relizr este cmbio de vrible l integrl dej de ser impropi (b) x ln xdx. Solución. Aplicmos integrción por prtes: u(x) = ln x, v (x) = x u (x) = x3, v(x) = x 3, entonces: x x 3 ln xdx = 3 ln x x 3 x 3 ln x x dx = lím 3 x x dx puesto que lím x + x 3 ln x 3 x 3 ln x = lím x + 3 Ejercicio.. Clcul =. x 3 9 = 9, dx x( x) = x x x dx. (Solución: π). Ejemplo.8. Estudiemos, según los vlores de α, l convergenci de ls integrles impropis siguientes: () I = x dx. α Solución. Si α =, entonces: I = Si α =, entonces: x dx = [ln x] = lím ln x = +. + x + I = x α x dx = = α α α lím x α + x + α = α si α < + si α > Por tnto, es convergente pr α < y divergente pr α. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

45 (b) I = + x α dx. Solución. Si α =, entonces: I = + dx = [ln x]+ = lím ln x ln = +. x x + Si α =, entonces: I = + x α + x dx = = lím α α x + = x α α α + si α < α si α > Por tnto, es convergente pr α > y divergente pr α. Ejercicio.3. Estudi, según los vlores de α, l convergenci de l siguiente integrl: dx. (Solución: convergente pr α < y divergente ( x) α pr α.).3.5. Criterios de convergenci En el estudio de l convergenci precen cierts integrles impropis como l integrl de Dirichlet + sin xdx, que no tiene primitiv y comprobr l x convergenci prtir de l definición puede ser bstnte complejo; esto motiv que introduzcmos ciertos criterios de convergenci. Los criterios que vmos estudir simplificn en l práctic el mnejo de ests integrles y están bsdos en métodos de comprción; entre ellos, destcmos el criterio del myornte y el el criterio de comprción en el límite. Antes de enuncirlos tendremos en cuent lguns considerciones. En primer lugr, enunciremos los criterios pr ls integrles impropis de l form b f; nálogmente, se tienen criterios pr ls integrles b f y b f. Por otr prte, los criterios que dmos se plicn integrndos positivos, unque por l ditividd de l integrl bstrá con exigir que exist x > tl que f(x), pr todo x x (Figur.3). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

46 x Figur.3: Función f(x) con prte negtiv. Si se tiene que f(x), pr todo x x, entonces, pr lgún x, podemos plicr los criterios vistos l función positiv g(x) = f(x). L convergenci o divergenci de f será l obtenid pr g (Figur.4). g(x) = - f(x) f(x) Figur.4: Gráfics de f(x) y de f(x). Sen f, g : [, b [ R con < < b +, y supongmos que existe un vlor x > tl que f(x) y g(x), pr todo x x. Teniendo en cuent ests considerciones enuncimos los criterios de convergenci siguientes: (I) Criterio del myornte. Sen f y g tles que f(x) g(x), x x, entonces: (i) Si b (ii) Si b g es convergente, entonces b f es convergente. f es divergente, entonces b g es divergente. (II) Criterio de comprción en el límite. Se L = f(x) lím x +,b g(x), entonces: (i) Si L R {}, entonces b (ii) Si L = y b (iii) Si L = y b f y b g tienen el mismo crácter. g es convergente, entonces b f es convergente. g es divergente, entonces b f es divergente. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

47 Pr poner en práctic los criterios de comprción es interesnte disponer de lguns integrles de crácter conocido; se suelen tomr funciones de tipo potencil (ver Ejemplo.8b). Pr ls de primer especie podemos tomr g(x) = x α : + b dx C si α > x = α dx x α = D si α, >. C si α > D si α, b <. Pr ls de segund especie tenemos: b dx C si α < (b x) = α D si α. b + dx (x ) α = C si α < D si α Ejemplo.9. Estudiemos l convergenci de ls siguientes integrles.. + e x dx. Solución. En primer lugr comprobmos que el integrndo es positivo: e x > pr x. Como e x e x pr x y l integrl + e x dx = [ e x ] + = lím x + ( e x ) + e = e es convergente, entonces por el criterio del myornte tenemos que l integrl + e x dx tmbién es convergente x 3 + x 6 dx. Solución. El integrndo es positivo x. Aplicmos el criterio de comprción en el límite. Puesto que lím x + +x 3 +x ( + x 3 )x 3 6 = lím =, x 3 x + + x 6 l integrl dd tiene el mismo crácter que l integrl + sbemos que es convergente sin x + 5 cos x dx. x( x) dx que x3 Solución. El integrndo es positivo x y sbemos (medinte integrción direct) que dx es convergente. Acotemos el integrndo: x( x) < 3 sin x + 5 cos x x( x) < 8 x( x), x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

48 en prticulr pr < x <. Puesto que l integrl es convergente, tmbién lo es l integrl dd. 8 x( x) dx Ejercicio.4. Estudi l convergenci de ls siguientes integrles. () + (b) + (c) 3 (d) 3 dx x + + ln x. 3x 3 + 4x x + 7 dx. x4 dx. dx (3 x)(x ) dx. (Solución: ()convergente, (b)divergente,(c) convergente, (d) convergente) Convergenci bsolut Si el integrndo no tiene signo constnte se intent reducir éste l cso y conocido de integrndo positivo y pr ello se introduce el concepto de convergenci bsolut. Se nliz l convergenci de f(x) y prtir de ell se obtiene informción de l integrl dd. Definición.3. Se f : [, b [ R, < < b +, integrble en [, b[ (esto implic que f tmbién es integrble en dicho intervlo). Decimos que l integrl impropi b f es bsolutmente convergente (bsolutmente divergente) si b f es convergente (divergente). Un definición nálog se tiene cundo f está definid en ], b ] siendo < b < +. El teorem siguiente nos dice que tod integrl impropi bsolutmente convergente es convergente. El recíproco es, en generl, flso. Teorem.5. Si b f es bsolutmente convergente, entonces b f es convergente, y demás se verific: b b f(x)dx f(x) dx. Ejemplo.3. Estudiemos el crácter de l integrl sin x dx. x Solución. Estudiemos l integrl Como sin x x sin x dx cuyo integrndo es positivo. x ( x) / c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

49 y sbemos que dx es convergente, por el criterio del myornte ( x) / sbemos que sin x dx es convergente, por tnto, l integrl dd es x bsolutmente convergente y, por el teorem nterior se tiene que dich integrl es convergente. Observemos que este ejemplo se podrí resolver tmbién descomponiendo l integrl como sum de dos integrles, y que el integrndo es positivo pr x <. Ejercicio.5. Estudi el crácter de ls siguientes integrles: () + (b) + cos 3 x dx. x cos 3 x sin x sin x + e x dx. (Solución: () convergente (b) convergente) Ejercicios de l sección.3. Estudi el crácter de ls siguientes integrles. () + e 3x dx. (b) 4 dx. (4 x)(x ) 3 (c) + (d) + π dx log x. + cos x dx. x (e) sin x dx. x (f) + 3 dx 4 x4 8 dx. (g) x + x 4 + dx. (h) + 5 sin 3x x + 5x + 3 dx. (Soluciones: () convergente, (b) convergente, (c) divergente, (d) divergente, (e) convergente, (f) convergente, (g) convergente, (h) convergente).. Clcul el áre de l región comprendid entre ls gráfics de ls funciones f(x) = e x, g(x) = e x y el eje de bciss. (Solución: u..). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

Aplicaciones de la Integral.

Aplicaciones de la Integral. Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x)

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x) Cálculo de primitivs: f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) un ntiderivd de f(x), es decir, siendo F (x) tl que F (x) = f(x) L constnte C se denomin constnte de integrción; es un constnte rbitrri porque se

Más detalles

Integración en una variable. Aplicaciones

Integración en una variable. Aplicaciones Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

Funciones de una variable real II Integrales impropias

Funciones de una variable real II Integrales impropias Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)

Más detalles

5. Aplicación de la Integral de Riemann

5. Aplicación de la Integral de Riemann Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 8-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción

Más detalles

TEMA 4. Cálculo integral

TEMA 4. Cálculo integral TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Primitivas e Integrales

Primitivas e Integrales Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) "x D

Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) x D INTEGRAL DE RIEMANN 1- Primitivs e integrl indefinid - Integrl de Riemnn 3- Interpretción geométric de ls integrles de Riemnn 4- Propieddes de ls integrles de Riemnn 5- Cmio de vrile en ls integrles de

Más detalles

Aplicaciones de la integral.

Aplicaciones de la integral. Cpítulo 6 Aplicciones de l integrl. 6.. Cálculo del áre de un figur pln. En generl, pr clculr el áre de un región pln:. L dividimos en frnjs, infinitmente estrechs, de mner horizontl o verticl,. Suponemos

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A = Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

LA INTEGRAL DE RIEMANN

LA INTEGRAL DE RIEMANN LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr,

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Integrl Definid y Aplicciones LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Autores: Pco Mrtínez (jmrtinezos@uoc.edu), Ptrici Molinàs (pmolins@uoc.edu), Ángel A. Jun (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Aplicciones

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos

2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos 1. Estimr el áre debjo de l gráfic de f(x) = cosx desde x = hst x = π/2, usndo cutro rectángulos de proximción y como puntos muestr, los extremos derechos de los intervlos. Dibuje l curv y los rectángulos

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS

CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS Abril de 006 CONSDERACONES SOBRE LAS COMPUERTAS Cátedr de Mecánic de los Fluidos Escuel de ngenierí Mecánic Autores: ngeniero Edgr Blbstro ngeniero Gstón Bourges e-mil: gbourges@fcei.unr.edu.r 1 Abril

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm

Más detalles

CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL

CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPÍTULO Concepto de áre Sums de Riemnn Integrl definid Propieddes de l integrl definid Integrl indefinid Propieddes de l integrl indefinid Teorem

Más detalles

Cálculo de volúmenes II: Método de los casquetes cilíndricos

Cálculo de volúmenes II: Método de los casquetes cilíndricos Sesión 6 II: Método de los csquetes cilíndricos Tems Método de los csquetes cilíndricos pr clculr volúmenes de sólidos de revolución. Cpciddes Conocer y plicr el método de los csquetes esféricos pr clculr

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

Integral de línea de campos escalares.

Integral de línea de campos escalares. Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Mtemático Tem: L integrl Integrl Herrmients digitles de uto-prendizje pr Mtemátics, Grupo de Innovción Didáctic Deprtmento de Mtemátics Universidd de Extremdur Mtemático Tem: L integrl Integrl Mtemático

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

1.4. Sucesión de funciones continuas ( )

1.4. Sucesión de funciones continuas ( ) 1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

7 Integral triple de Riemann

7 Integral triple de Riemann Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161 7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60

Más detalles

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo:

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo: METODOS NUMERICOS 697 TALLER 7, SEMESTRE Tem: Derivción e integrción numérics Se recomiend relizr los ejercicios propuestos en el texto guí, en prticulr los siguientes: Sección :,,, 7, 8,, Sección :, 8

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

7.10. Calcular el desarrollo de Taylor de grado 2 en x = 0 de la función. Cálculo integral: funciones reales de variable real.

7.10. Calcular el desarrollo de Taylor de grado 2 en x = 0 de la función. Cálculo integral: funciones reales de variable real. 7.. Clculr el desrrollo de Tylor de grdo en = de l función f () = te t dt, y utilizrlo pr clculr proimdmente, te t dt. Dr un estimción del error cometido. ( 997). 7.. Clculr el siguiente ite funcionl cos

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS INTEGRAL DEFINIDA

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS INTEGRAL DEFINIDA Profesor: Fernndo Ureñ Portero 1. APROXIMACIÓN DE ÁREAS BAJO UNA CURVA Hy infinidd de funciones extríds del mundo rel (científico, económico, físic )pr ls cules tiene especil relevnci clculr el áre jo

Más detalles

TREN DE PASAJEROS TREN DE MERCANCÍAS (en horas)

TREN DE PASAJEROS TREN DE MERCANCÍAS (en horas) Unidd. L integrl definid Resuelve Págin Dos trenes Un tren de psjeros un tren de mercncís slen de l mism estción, por l mism ví en idéntic dirección, uno trs otro, csi simultánemente. Ests son ls gráfics

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

Práctico 9 - Cálculo de integrales. 1. Teorema fundamental y regla de Barrow

Práctico 9 - Cálculo de integrales. 1. Teorema fundamental y regla de Barrow Universidd de l Repúblic Cálculo Fcultd de Ingenierí - IMERL Segundo semestre 6 Práctico 9 - Cálculo de integrles. Teorem fundmentl y regl de Brrow. Utilizndo los resultdos del ejercicio 9 del práctico

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. CÁLCULO Ingenierí Industril. Curso 9-1. Deprtmento de Mtemátic Aplicd II. Universidd de Sevill. Lección. Métodos numéricos en un vrible. Resumen de l lección..1. Método de Newton pr l resolución de ecuciones.

Más detalles