Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI"

Transcripción

1

2 Cálculo integrl Betriz Cmpos Sncho Cristin Chirlt Monleon Deprtment de mtemàtiques Codi d ssigntur 35 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

3 Edit: Publiccions de l Universitt Jume I. Servei de Comunicció i Publiccions Cmpus del Riu Sec. Edifici Rectort i Serveis Centrls. 7 Cstelló de l Pln e-mil: Col lecció Spienti, 5 Primer edició, ISBN: Aquest text està subjecte un llicènci Reconeixement-NoComercil-Comprtir Igul de Cretive Commons, que permet copir, distribuir i comunicr públicment l obr sempre que especifique l utor i el nom de l publicció i sense objectius comercils, i tmbé permet crer obres derivdes, sempre que siguen distribuïdes mb quest mteix llicènci. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

4 Índice generl. INTEGRACIÓN EN R 5.. LA INTEGRAL DE RIEMANN Teorí básic Propieddes de l integrl de Riemnn El teorem fundmentl del cálculo Ejercicios de l sección APLICACIONES DE LA INTEGRAL Cálculo de áres de figurs plns Cálculo de volúmenes Aplicciones físics de l integrl Ejercicios de l sección INTEGRALES IMPROPIAS Integrles sobre intervlos no cotdos Integrles sobre intervlos no cerrdos Integrles de funciones no cotds en intervlos compctos Propieddes de ls integrles impropis Criterios de convergenci Convergenci bsolut Ejercicios de l sección INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 49.. LA INTEGRAL DOBLE L integrl doble como límite de sums de Riemnn Propieddes de ls integrles dobles Cálculo de integrles dobles L integrl doble sobre regiones más generles Integrles dobles en coordends polres Cmbios de vribles en integrles dobles Aplicciones de l integrl doble Ejercicios de l sección LA INTEGRAL TRIPLE L integrl triple como límite de sums de Riemnn Cálculo de integrles triples Propieddes de ls integrles triples Cmbio de vribles en integrles triples Aplicciones de l integrl triple Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

5 ..6. Ejercicios de l sección INTEGRACIÓN SOBRE CURVAS Y SUPERFICIES 3.. INTEGRALES DE CAMINO Definiciones y ejemplos Integrles de cmino Propieddes de ls integrles de cmino Aplicciones de ls integrles de cmino Ejercicios de l sección INTEGRALES DE LÍNEA Independenci del cmino. Cmpos conservtivos Ejercicios de l sección EL TEOREMA DE GREEN Ejercicios de l sección LA INTEGRAL DE SUPERFICIE Superficies en R Áre de un superficie Integrles de superficie de funciones esclres Aplicciones de ls integrles de superficie de funciones esclres Integrles de superficie de funciones vectoriles Ejercicios de l sección TEOREMA DE STOKES Y TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Teorem de Stokes Teorem de l divergenci Ejercicios de l sección A. GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES 73 B. SUPERFICIES EN R 3 79 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

6 Prólogo El mteril que continución presentmos brc un curso completo de Cálculo Integrl. Está bsdo en los contenidos de l signtur Fundmentos Mtemáticos II de l titulción de Ingenierí Industril; por ello, v dirigido principlmente lumnos de Ingenierí, tnto de ls ntigus titulciones como de los nuevos grdos. L intención de ls utors h sido elborr un mteril didáctico de fácil comprensión. Pr ello, hemos incluido tod l teorí necesri, prescindiendo de ls demostrciones de los resultdos, junto con un colección de ejemplos resueltos, explicdos pso pso y compñdos de gráfics y dibujos, tn necesrios pr l visulizción y comprensión de los problems plntedos. Los contenidos están estructurdos en tres tems: integrción en un vrible, integrción múltiple e integrción sobre curvs y superficies. Como complemento, se incluyen dos péndices; en el primero de ellos se recuerd cómo dibujr gráfics en coordends polres y en el segundo se ofrece un recopilción de ls ecuciones y gráfics de ls superficies de R 3 más hbitules. En cd tem encontrmos l teorí básic y resultdos necesrios correspondientes, sí como un serie de ejemplos resueltos, que espermos se de grn yud l lumno en su prendizje. A lo lrgo del texto, se hn utilizdo motivciones bsds en ejemplos físicos de modo que los conceptos mtemáticos introducidos resulten identificbles y fmilires. Al finl de cd sección, se plnte un colección de ejercicios, compñdos de l solución, pr ser resueltos por el lumno. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

7 TEMA INTEGRACIÓN EN R INTRODUCCIÓN En este tem comenzmos estudindo el concepto de integrl de Riemnn en un vrible de un modo constructivo. Entender bien l integrl de Riemnn como un sum infinit nos permitirá generlizrl y definir en los siguientes tems l integrl pr vris vribles y ls integrles de líne y de superficie. Los objetivos de este tem son: Entender el concepto de integrl de Riemnn. Deducir fórmuls pr resolver determindos problems plicndo este concepto, como cálculo de áres, volúmenes de revolución, plicciones físics. Extender l definición de integrl pr poder llevr cbo el estudio de integrles impropis... LA INTEGRAL DE RIEMANN Ide intuitiv del concepto de integrl. El concepto de integrl surge l formlizr un concepto sencillo e intuitivo, el de medid, como por ejemplo longitud, áre o volumen. Consideremos el problem consistente en clculr el áre de un región pln. Pr resolverlo, vmos utilizr un técnic similr l que usron los ntiguos griegos bsándose en que dich áre qued encjd entre dos polígonos de áre conocid, uno inscrito y otro circunscrito. De este modo, el áre del polígono inscrito nos d un vlor proximdo del áre por defecto y l del polígono circunscrito nos d un vlor proximdo del áre por exceso. El vlor excto del áre buscd qued entre mbos. Tomndo polígonos inscritos y circunscritos cd vez más próximos dich región, ls proximciones de ls áres se cercn cd vez más l áre. Un proceso de límite nos permite llegr l vlor excto. Est técnic se conoce como principio de exhución de Arquímedes. Ocurre que no tods ls figurs plns tienen áre, y que el principio de exhución no permite determinr un número único, que esté comprendido entre ls proximciones por exceso y por defecto y por ello se introduce el concepto de integrl. B. Cmpos/C. Betriz Cmpos Chirlt / Cristin Chirlt - ISBN: Cálculo integrl - c UJI UJI

8 y f x Áre b x y y Sums por exceso Sums por defecto x x y x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

9 y Sums de Riemnn y x x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

10 que l función considerd f(x) >. Más delnte veremos l generlizción pr el cso en que f(x) < o cmbie de signo en el intervlo que consideremos. Definición.. Ddo un intervlo compcto (es decir, cerrdo y cotdo) [, b] R, se llm prtición de [, b] culquier conjunto finito de números reles P = {x, x,, x i, x i,, x n } que verifique = x < x < < x i < x i < < x n = b. = x X X.. X i- X i X i+.. b = x n Figur.5: Prtición de un intervlo. De est form [, b] qued dividido en n subintervlos que corresponderín ls bses de los rectángulos. [x i, x i ] es el intervlo i-ésimo de l prtición. Llmmos mplitud del intervlo i-ésimo x i = x i x i. Se denomin diámetro P de l prtición P l myor de ls mplitudes x i, P = mx { x, x,, x n }. Si tods ls mplitudes son igules, se dice que P es un prtición regulr y en este cso el diámetro de l prtición es P = b. Se verific demás n que P implic que n. Ejemplo.. Ddo el intervlo [, ] tommos un prtición regulr en 5 subintervlos definid por, P = {, 6 5, 7 5, 8 5, 9 5, }. Como l prtición es regulr todos los intervlos tienen l mism mplitud y su diámetro es P = ( )/5 = /5. Definición.. Dd un prtición P = { = x, x,, x i, x i,, x n = b}, se llm fmili de puntos intermedios T un conjunto de puntos tles que t i [x i, x i ]. T = {t, t,, t i,, t n } Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

11 y f t 4 f t f t f t 3 t t t 3 t 4 x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

12 y y x 3 x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

13 ... Propieddes de l integrl de Riemnn () Linelidd. Si f y g son dos funciones reles, integrbles en [, b], entonces tmbién es integrble l función hf + kg pr culesquier h, k R y demás b (hf + kg) = h b f + k () Integrbilidd del producto y del cociente. Sen f y g reles e integrbles en [, b]. Entonces: () f g es integrble en [, b]. b g. (b) f g es integrble en [, b] si g(x) =, x [, b]. (3) Monotoní. Si f y g son integrbles en [, b] y si se cumple f(x) g(x) cundo x b entonces b f b g. En prticulr, si f(x), entonces b f. (4) Integrbilidd del vlor bsoluto. Si f es integrble en [, b], entones f es integrble en [, b] y se verific: b b f f. Not.. Entendemos por f l función vlor bsoluto definid como f(x) si f(x) f(x) = f(x) si f(x) <. (5) Aditividd respecto del intervlo de integrción. Se f cotd en [, b] y c ], b [. Entonces f es integrble en [, b] si y sólo si lo es en [, c] y en [c, b]. En este cso se cumple: b f = c f + Est propiedd constituye l bse pr lguns convenciones de notción; sí, si cmbimos los límites de integrción cmbi el signo de l integrl, es decir, f = b f. Cundo los límites de integrción son igules l b integrl vle, esto es, f =. (6) Composición de funciones. Se f : [, b] R y ϕ : [α, β] R, tles que f es integrble en [, b] y ϕ es de clse C en [α, β]. Si demás ϕ([α, β]) [, b], entonces l función compuest f ϕ : [α, β] R es integrble en [α, β]. Not.. Un función se dice que es de clse C en el intervlo [, b] si es continu y demás existe su derivd primer y tmbién es continu en [, b]. b c f. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

14 y y M m b x f c b x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

15 y F x x x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

16 Est función F tiene lguns propieddes importntes que dependen de l función que se integr: Teorem.. Si f es integrble sobre un intervlo compcto, entonces F es continu sobre dicho intervlo. Teorem.3 (Primer teorem fundmentl del cálculo). Si f es continu en [, b], entonces F es derivble en [, b] y su derivd es F (x) = f(x) pr culquier x [, b]. Notemos que F (x) = d x f(t)dt = f(x), independientemente del vlor dx que tome. Además cundo f es continu (condición que exige el teorem fundmentl del cálculo) los conceptos de primitiv e integrl indefinid coinciden, unque se hyn definido de form distint. Luego, si f es continu, dmite primitivs pero si dej de ser continu en lgún punto del intervlo, unque sig siendo integrble (y por tnto dmite integrl indefinid) puede no dmitir primitiv. Ejemplo.6. Se l función signo de x : si x > f(x) = sg(x) = si x = si x <. (.) Comprobemos que f dmite integrl indefinid en R pero no primitiv. Solución. L función signo de x dmite integrl indefinid dd por: F (x) = x sg(t)dt pr integrr est función integrremos cd trozo de l función sg(x) definid en (.), esto es: x si x > si x = x si x < que corresponde l función vlor bsoluto x, x R. f x F x 3 3 Gráfics de f(x) = sg(x) y de F (x) = x. Pero F (x) = x no es primitiv de f(x) en R, y que no es derivble en x =. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

17 Un consecuenci inmedit del primer teorem fundmentl del cálculo es que nos proporcion un método práctico pr clculr integrles, es decir, pr hllr primitivs. Vemos un corolrio pr el que se supone conocid l existenci de primitivs. Corolrio. (Regl de Brrow). Si f : [, b] R es continu en el intervlo de definición y si G : [, b] R es un primitiv de f en dicho intervlo, entonces se verific que: b f(x)dx = G(b) G() que denotremos por [G(x)] x=b x=. Est dificultd esencil referente l existenci de funciones primitivs no impide estblecer que, bjo determinds condiciones, l regl de Brrow se sig cumpliendo unque f no se continu. Teorem.4 (Segundo teorem fundmentl del cálculo). Se l función f : [, b] R integrble en el intervlo compcto [, b] y se G : [, b] R un primitiv de f en [, b], entonces se verific: b f(x)dx = G(b) G(). Ejemplo.7. Resolvmos ls siguientes integrles:. π sin x dx = [ cos x]x=π x= = cos π + cos = + =.. xn dx siendo n =. x n+ x= xn dx = = n + n + = n dx x 4. x ex dx = 5. π x= = [ln x]x= x= = ln ln = ln. x sin x dx. x= ex = (e e ) = (e ). x= L primitiv de f(x) = x sin x es, plicndo integrción por prtes, F (x) = x cos x + sin x, por tnto 6. 9 π x( + x) dx. x sin x dx = [ x cos x + sin x] x=π x= = π. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

18 L primitiv de f(x) = es, plicndo el cmbio x = x( + x) t y volviendo deshcerlo, F (x) = +, por tnto: x 9 dx = x( + x) + x 9 =. L integrción por prtes y por cmbio de vrible se puede plicr directmente pr ls integrles definids utilizndo ls proposiciones siguientes: Proposición. (Integrción por prtes). Sen u y v funciones reles de clse C en el intervlo compcto [, b], entonces se verific: b Ejemplo.8. Clculemos π b u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] x=b x= u (x)v(x)dx. x sin x dx. Solución. Tommos u(x) = x y v (x) = sin x, por tnto u (x) = y v(x) = cos x. Aplicndo l fórmul de integrción por prtes tenemos: π π x sin x dx = [ x cos x] x=π x= + cos x dx = π + [sin x] x=π x= = π. Proposición.3 (Integrción por cmbio de vrible). Se f un función integrble en [, b] y se ϕ un función de clse C en [α, β] con α = ϕ (), β = ϕ (b) y ϕ([α, β]) = [, b]. Entonces se verific: b f(x)dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Not.4. Al hcer un cmbio de vrible x = ϕ(t) implic que t = ϕ (x). De ello se deriv que tenemos que cmbir tmbién los límites de integrción pr l nuev vrible t. Ejemplo.9. Clculemos 9 x( + x) dx. Solución. Consideremos el cmbio x = ϕ(t) = t, luego t = ϕ (x) = x. Entonces x = le corresponde un vlor t = = y x = 9 le corresponde t = 9 = 3, luego: 9 x( + x) dx = 3 t=3 = = + t t=. t( + t) t dt = 3 ( + t) dt c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

19 ..4. Ejercicios de l sección.. Cómo explicrís que un función continu trozos en un intervlo [, b] se integrble en dicho intervlo?. Cómo clculrís el áre encerrd entre un función f, el eje X y ls rects x = y x = b si f tom vlores negtivos en el intervlo [, b]? 3. Clcul ls siguientes integrles definids: () ex (x + x) dx. (Solución: e) (b) π 8 cos3 x dx. (Solución: 6). 3 (c) 3 x + x + x + dx. (Solución: + ln ). 4 (d) x 3 x dx. (Solución: 3 3 ). (e) e x ln x dx. (Solución: ( + 9 e3 )). (f) 4 x dx. (Solución: +π )... APLICACIONES DE LA INTEGRAL Al principio del tem se introdujo l integrl con el fin de obtener el áre de un figur pln. Como veremos continución no sólo se puede usr l integrl en el cálculo de áres de figurs plns, sino que tmbién nos permite clculr volúmenes de sólidos de revolución l menos en determindos csos de prticulr interés. Además de ls plicciones geométrics tmbién result interesnte mostrr lguns plicciones físics utilizds en el ámbito de l ingenierí.... Cálculo de áres de figurs plns Vemos cómo poner en práctic el cálculo de áres de figurs plns siguiendo cierts norms dds en l introducción del tem.. Áre entre un curv y el eje de bciss. Dd un función f : [, b] R continu en [, b], el conjunto C R limitdo por l curv y = f(x), el eje de bciss y ls rects x = y x = b tiene áre y ést vle: A(C) = b f(x)dx si f(x), x [, b] b f(x) dx si f(x) < o si el signo de f(x) cmbi un número finito de veces en [, b]. El método pr integrr l función f(x) se reduce : () Integrr l función f(x) en el intervlo [, b] si f(x) < pr todo x R. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

20 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

21 . Áre encerrd entre dos curvs. Consideremos f y g dos funciones continus en el intervlo compcto [, b]. El conjunto C limitdo por l curv y = f(x), l curv y = g(x) y ls rects x = y x = b, tiene áre dd por l integrl, A(C) = b f(x) g(x) dx. El método pr integrr f(x) g(x) se reduce : () Integrr l función f(x) g(x) si f(x) g(x) > en todo el intervlo [, b]. () Integrr l función g(x) f(x) si f(x) g(x) < en todo el intervlo [, b]. (3) Si el signo de f(x) g(x) cmbi en el intervlo [, b] un número finito de veces, resolvemos l ecución f(x) g(x) =. Integrmos f g en los intervlos donde f g >, es decir, l gráfic de f está por encim de l gráfic de g, e integrmos g f en los intervlos en los que f g <, es decir, l gráfic de f está por debjo de l gráfic de g, independientemente de l situción de mbs gráfics respecto del eje de bciss. Finlmente summos los vlores positivos obtenidos en cd integrl. Not.6. Igul que ntes plntemos un lterntiv estos csos que es usd en l práctic consiste en clculr b (f g) en los csos () y (). En el cso (3) clculmos x x (f g) + b (f g) + + (f g) x x n siendo x, x,, x n los puntos de corte de f y g en el intervlo [, b]. Not.7. En lgunos de estos csos l resolución de l integrl se simplific si considermos ls funciones x = h(y), x = k(y) recíprocs de y = f(x) e y = g(x) respectivmente, e integrmos respecto de y. A continución vemos un ejemplo que ilustr este cso. Ejemplo.. Hllemos el áre comprendid entre ls gráfics de ls funciones f(x) = 3x 3 x x y g(x) = x + x. Solución. En primer lugr obtenemos los puntos de corte de mbs curvs: 3x 3 x x = ( x + x), es decir, 3x 3 x =, por tnto, x =, x =, x =. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

22 6 f x 4 g x Áre comprendid entre f(x) y g(x). En el intervlo [, ] se tiene que f > g y en el intervlo [, ] se tiene que f < g; por tnto, A = f(x) g(x) dx = (f(x) g(x))dx + (g(x) f(x))dx = (3x3 x)dx + ( 3x3 + x)dx = + = 4 u.. Ejemplo.. Clculemos el áre de l región limitd por l gráfic de y = x y l de x = 3 y. Solución. En este cso, considermos los rectángulos representtivos horizontles, es decir, considermos ls funciones x = f(y) = y + y x = g(y) = 3 y que se cortn pr y = e y =, es decir, en los puntos (, ) y (,.). 3 g y 3 4 f y Áre comprendid entre l rect y l prábol. Entonces, el áre vendrá dd por: A = (3 y ) (y + ) dy = ( y y + )dy = 9 u.. Ejercicio.. Hll el áre comprendid entre ls curvs y = sin x y y = cos x en, π. (Solución: ( ) u..). Ejercicio.3. () Clcul el áre encerrd por l elipse x 9 + y 4 =. (Solución: 6π u..). Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

23 (b) Clcul el áre encerrd por l elipse x + y b =. (Solución: π b u..).... Cálculo de volúmenes Pr el cálculo de volúmenes se suelen utilizr ls integrles dobles y triples. Sin embrgo, existen determindos sólidos, los cuerpos de revolución, cuyo volumen se puede clculr de un modo sencillo utilizndo integrles simples. Los sólidos de revolución precen frecuentemente en ingenierí y en procesos de producción (ejes, embudos, pilres, botells, émbolos y otros). Estos cuerpos se obtienen l girr un región del plno lrededor de un eje llmdo eje de revolución. Estudimos dos métodos pr clculr este tipo de volúmenes, l integrción por discos y l integrción por cps, utilizndo cd uno de ellos según se más conveniente pr el desrrollo del problem.. Método de los discos. Consideremos un región pln sencill: un rectángulo poydo sobre el eje de giro. Al girr lrededor del eje de revolución d lugr un cilindro circulr recto o disco, tl y como prece en l Figur.. R Figur.: Disco generdo por l revolución de un rectángulo. Si R es el rdio y w l nchur del disco, entonces el volumen del disco viene ddo por: V = πr w. L expresión nterior nos será útil pr hllr el volumen de un sólido de revolución más generl. Consideremos l región pln limitd por l gráfic de y = f(x), el eje de revolución y ls rects x = y x = b y supongmos que queremos clculr el volumen del sólido de revolución engendrdo l girr dich región lrededor del eje de revolución (Figur.). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

24 R x b Figur.: Sólido generdo por l revolución del áre bjo un curv. Podemos llegr l integrl medinte sums de Riemnn. Pr ello: Tommos un prtición del intervlo [, b] que lo divid en n subintervlos igules [x i, x i ]. Pr cd uno de estos subintervlos, considermos un rectángulo de bse: x i = x i x i y ltur R(c i ) con c i [x i, x i ]. Al girr lrededor del eje de revolución d lugr un disco cuyo volumen es: V i = π(r(c i )) x i. Sumndo los volúmenes de estos discos obtenemos un vlor proximdo del volumen del sólido de revolución (Figur.), V n π(r(c i )) x i, (sums de Riemnn). i= Figur.: Aproximción del volumen medinte discos. Tomndo límite cundo n, tendremos el vlor excto, si existe, obteniéndose l siguiente integrl: V = lím n n π(r(c i )) x i = π i= b (R(x)) dx. Si el eje de revolución es el eje X, entonces R(x) viene ddo por f(x) y se tiene: V = π b (f(x)) dx. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

25 Un expresión similr se obtiene cundo girmos lrededor de un eje verticl en el intervlo [c, d], en cuyo cso ls funciones considerds dependen de y: V = π d c (R(y)) dy y R(y) Cundo l región que gir no poy sobre el eje de revolución se gener un sólido con gujero. En este cso, dich región está comprendid entre dos curvs continus y = f(x) e y = g(x) donde f(x) g(x), x [, b]. Entonces, l volumen del sólido generdo por l región limitd por l curv más lejn l eje de revolución le restremos el volumen del gujero, generdo por l curv más cercn: V = V g V f = π b (R(x)) (r(x)) dx r(x) R(x) En el cso en que el eje de revolución se el eje X, se tendrá: y g(x) V = π b (g(x)) (f(x)) dx f(x) x Ejemplo.3. Clculemos el volumen del sólido de revolución generdo l girr l región pln limitd por l gráfic de f(x) = 3x x y el eje X, pr x 3, lrededor del eje X Región pln bjo l gráfic de f(x) = 3x x. Solución. Puesto que el eje de revolución es el eje de bciss, el sólido generdo Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

26 es un bol de dimensión 3 y su volumen viene ddo por: V = π 3 (f(x)) dx = π 3 ( 3x x ) dx = π 3 3x 3 (3x x )dx = π x3 = 9π 3 u.v. Ejemplo.4. Clculemos el volumen del sólido de revolución generdo l girr l región pln comprendid entre ls gráfics de f(x) = x y g(x) = en torno l rect y = eje de revolución.5 Región pln entre ls gráfics de f(x) y g(x). Solución. En este cso, como el eje de revolución es l rect y =, el rdio de cd rectángulo representtivo vendrá ddo por R(x) = f(x). Además, dichs gráfics cortn en los puntos de bcis x = y x =. Luego, V = π ( x ) dx = π (x4 x + )dx x 5 = π 5 x3 3 + x = 6π u.v. 5 Ejemplo.5. L región R cotd por ls curvs y = x e y = x gir lrededor del eje X. Clculemos el volumen del cuerpo resultnte. Solución. Se trt de un sólido de revolución con gujero eje de revolución Región cotd por ls curvs y = x e y = x. Ambs curvs se cortn en los puntos de bciss x = y x =, por tnto: V = π [(R(x)) (r(x)) ] dx = π (x x4 ) dx x = π x5 = 3π 5 u.v. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

27 Ejercicio.4. Un mecánico perfor un gujero trvés del centro de un esfer de metl de 5 cm de rdio. El gujero tiene 3 cm de rdio, cuál es el volumen del nillo resultnte? (Solución: 56π 3 cm 3 ).. Método de ls cps o tubos. Un método lterntivo pr clculr volúmenes de sólidos de revolución es el que emple cps cilíndrics. Pr introducir este método considermos el rectángulo representtivo como el de l Figur.3, es decir prlelo l eje de revolución, siendo w l nchur del rectángulo, h su ltur y p l distnci del centro del rectángulo l eje de revolución, que llmremos rdio medio. Cundo el rectángulo gir lrededor del eje de revolución engendr un cp cilíndric de nchur w cuyo volumen será el volumen del cilindro exterior menos el volumen del cilindro interior, esto es, V (cp cilíndric) = π p + w h π p w h = π p h w. h p Figur.3: Cp cilíndric o tubo generdo por l revolución de un rectángulo. Est fórmul nos permite clculr el volumen del sólido de revolución del siguiente modo: supongmos un región pln cotd superior e inferiormente por ls rects y = c e y = d, que gir lrededor de un eje horizontl engendrndo un sólido (Figur.4). Procedemos de modo nálogo l cso de los discos construyendo l integrl medinte sums de Riemnn. Tommos un prtición del intervlo [c, d] en n subintervlos igules [y i, y i ]. d g(y) c p(y) L(y) y Figur.4: Aproximción de un volumen medinte cps cilíndrics. c UJI 5 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

28 Aproximmos l región medinte rectángulos de modo que cd rectángulo, de nchur y i = y i y i, se prlelo l eje de revolución. Al girr l región, cd rectángulo gener un cp de volumen: con c i [y i, y i ]. V i = πp(c i )h(c i ) y i Podemos proximr el volumen totl medinte l sum de ls cps (ver Figur.4): n V πp(c i )h(c i ) y i. i= Tomndo límite cundo n +, tenemos V = lím n + n π p(c i )h(c i ) y i = π i= Si el eje de revolución es verticl l fórmul será, V = π b p(x)h(x)dx. d c p(y)h(y)dy. Si el eje de revolución es el eje Y, entonces p(x) = x y si demás l región se encuentr sobre el eje x entonces h(x) = f(x), por tnto: y x V = π b xf(x)dx. p(x) = x h(x) = f (x) x Ejemplo.6. Clculemos el volumen del sólido generdo l girr l región cotd por ls gráfics de y = x +, y =, x = y x =, lrededor del eje Y. Solución. Considerndo el método de ls cps, tenemos que pr cd rectángulo representtivo l distnci de éste l eje Y viene dd por p(x) = x y su ltur viene dd por h(x) = f(x) = x +, 3 eje de revolución 3 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

29 por tnto: V = π x x(x 4 + )dx = π 4 + x = π 4 + = 3π u.v. Notemos que este volumen tmbién se puede clculr medinte el método de los discos, pero en este cso hbrí que hcer dos integrles. Ejemplo.7. Clculemos el volumen del sólido generdo l girr l región limitd por ls gráfics y = x 3 + x +, x = e y = lrededor de l rect x =. Solución. En este cso recurrimos l método de ls cps debido l dificultd que plnte despejr x en l ecución y = x 3 + x + pr plicr el método de los discos. Dibujndo l gráfics, observmos que l distnci de cd rectángulo representtivo l eje x = viene dd por p(x) = x y su ltur viene dd por h(x) = f(x) = x 3 + x, 5 4 Eje de revolución 3 3 por tnto: V = π ( x)(x3 + x) dx = π (x3 + x x 4 x ) dx = π x5 5 + x4 x3 3 + x = 9π 5 u.v. Ejercicio.5. Se diseñ un flotdor cuy form se obtiene rotndo l gráfic de y = x, 4 x 4, lrededor del eje X, donde se mide x e y 6 en dm. Clcul el volumen del flotdor. (Solución: 64π 5 dm3 )...3. Aplicciones físics de l integrl. Trbjo relizdo por un fuerz vrible. El concepto de trbjo es importnte pr los científicos e ingenieros l hor de determinr l energí necesri pr relizr diferentes tres físics; por ejemplo, es útil conocer l cntidd de trbjo relizdo cundo un grú Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

30 elev un vig de cero, cundo se comprime un muelle, cundo se lnz un cohete o cundo un cmión trnsport un crg por un crreter. En primer lugr, consideremos un fuerz constnte en cd punto, que mueve un cuerpo en su mism dirección rectilíne un distnci d, entonces el trbjo relizdo por dich fuerz viene ddo por W = F d (Figur.5). F d Figur.5: Fuerz constnte y en l mism dirección que el desplzmiento. Pero l fuerz F puede vrir conforme el objeto cmbi de posición (por ejemplo, l comprimir o estirr un muelle). Supongmos que queremos clculr el trbjo necesrio pr mover un cuerpo lo lrgo de un líne rect desde x = hst x = b debido un fuerz F (x) que vrí continumente. Rzonmos de form nálog los csos nteriores de cálculo de áres y de volúmenes pr llegr l concepto de integrl. Pr ello utilizmos ls sums de Riemnn y los correspondientes principios físicos. Tommos un prtición regulr del intervlo [, b]. Pr cd uno de los n subintervlos [x i, x i ] considermos c i un punto culquier de dicho subintervlo y clculmos F (c i ). Pr pequeños vlores de x i l fuerz se consider con vriciones mínims y es prácticmente constnte, sí pues el trbjo pr mover dicho cuerpo desde x i hst x i viene ddo por W i = F (c i ) x i. Podemos proximr el trbjo totl desde x = hst x = b medinte l sum: n W F (c i ) x i. i= Tomndo límite cundo n +, obtenemos, si existe el vlor buscdo, W = lím n + n F (c i ) x i = i= b F (x)dx. Ejemplo.8. Pr estirr un muelle desde su posición nturl 3 hemos relizdo un fuerz de N, clculemos qué trbjo debemos relizr pr estirrlo 3 más. Solución. Por l ley de Hooke, el muelle ejerce un fuerz contrri l sentido de l deformción, dd por F (x) = k x, donde k es un constnte positiv crcterístic del muelle. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

31 Podemos determinr k con los dtos del problem plicndo l ley nterior: = k, por tnto, k = 3 N/m. 3 Así, el trbjo pr estirr el muelle desde l posición hst l posición 3 será: 3 3 x /3 W = 3 x dx = 3 = 5 N m. 3 /3 Ejercicio.6. Si un módulo espcil pes 5 tonelds (T ) en l superficie terrestre, Cuánto trbjo exige elevrlo un ltur de 8 mills?. No se tendrá en cuent l resistenci del ire ni el peso del combustible (Rdio Tierr 4 mills). (Solución:, T -mill).. Vcido de depósitos. Consideremos un depósito lleno hst d m por debjo del borde, de un líquido homogéneo que pes w N/m 3 (Figur.6). Supongmos que se bombe líquido desde l prte superior hst que el nivel del líquido desciende c m por debjo del borde. Queremos clculr cuál es el trbjo relizdo. d h(y) d A(y) c Figur.6: Vcido de un depósito. En l resolución del problem utilizmos l siguiente notción: A(y): áre de un sección trnsversl, h(y): ltur l que hy que elevr el líquido, pr cd y [c, d]. Construimos ls sums de Riemnn que dn lugr l integrl correspondiente l vcido de depósitos. Tommos un prtición regulr de [c, d]. Pr cd subintervlo [y i, y i ] se c i un punto intermedio de dicho subintervlo. El volumen del estrto correspondiente es: V i = A(c i ) y i. El peso de dicho estrto es: w V i. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

32 El trbjo que hy que relizr pr bomber este estrto es: W i = w A(c i ) h(c i ) y i. Un vlor proximdo del trbjo totl viene ddo por l sum de los trbjos relizdos pr bomber todos los estrtos del líquido y el vlor excto se obtiene medinte el límite, si existe, cundo n + de dich sum, es decir: W = lím n n wa(c i )h(c i ) y i = i= d c w A(y) h(y) dy. Ejemplo.9. El tnque cónico de l Figur.7 se llen hst m del tope con un ceite que pes w N/m 3, hllemos el trbjo que se requiere pr bomber todo el ceite hst el borde del tnque. x= y= x Figur.7: Tnque cónico. Solución. Considerndo los ejes de coordends como en l Figur.7, se tiene que A(y) = π( y ) y h(y) = y. Puesto que el tnque está lleno hst m del borde superior, hy que bomber el ceite que ocup l región desde y = hst y = 8, por tnto: W = 8 w π ( y ) ( y) dy = w π 4 8 (y y 3 ) dy = w π 4 y y4 = w π 4 4 (48 3 ) = 5 wπ N m. 3 Ejercicio.7. Un depósito de gu semiesférico de m de rdio se vcí medinte bombeo. Hll el trbjo relizdo cundo el nivel del gu desciende de 4 m por debjo de l prte superior del depósito (densidd del gu: ω = 4 N/m 3 ). (Solución: 54π KN m). Ejercicio.8. Un tnque cónico lleno de gu repos sobre su bse que está nivel del suelo siendo su eje verticl. El tnque tiene un rdio de 5 m y un ltur de m. Clcul el trbjo relizdo pr vcir el gu del depósito hst el borde superior, si l densidd del gu es de 4 N/m 3. (Solución: 65π 4 KN m). 3 c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

33 3. Fuerz ejercid por un fluido. Un de ls plicciones de este prtdo es l presión que se ejerce sobre un pred sumergid verticlmente, por ejemplo l fuerz que se ejerce sobre un pres. L Ley de Pscl es l que rige este principio: si se sumerge un objeto en un líquido, éste experiment un fuerz del líquido que le rode. Si l superficie está sumergid horizontlmente l fuerz es F = P A, siendo l presión P proporcionl l profundidd del objeto en el fluido, es decir, P = w h, donde w l densidd del líquido y h l profundidd del objeto. Por tnto, F = w h A, siendo A el áre de dicho objeto. Est ley es muy utilizd en hidráulic y neumátic. Fue uno de los principios que se utilizó pr diseñr l prens hidráulic. Pero si l superficie está sumergid verticlmente en el fluido como en l Figur.8, entonces l presión ejercid sobre l superficie no es constnte, vrí con l profundidd y tenemos que recurrir l concepto de integrl pr resolver el problem. d h(c i ) c i c L(c i ) y i Figur.8: Pred verticl sumergid. Tommos un prtición regulr del intervlo [c, d] en n subintervlos. Considermos su mplitud lo suficientemente pequeñ de mner que F i = w h(c i ) L(c i ) y i, con c i [y i, y i ], L fuerz totl tendrá un vlor proximdo que result de l sum de ests fuerzs n F w h(c i ) L(c i ) y i. i= Tomndo límite, si existe, obtenemos: F = lím n n i= d w h(c i ) L(c i ) y i = w h(y) L(y) dy. c Ejemplo.. Clculemos l fuerz que ejerce el gu sobre un pred verticl que tiene form de triángulo rectángulo cuyos ctetos miden 4 m cd uno, siendo uno de ellos l bse del triángulo situd 4 m de profundidd. (Densidd del gu: N/m 3 ). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

34 4 y x Pred verticl tringulr. Solución. Hciendo coincidir el eje X con l bse del triángulo (uno de los ctetos) y el eje Y con l ltur del triángulo (el otro cteto) y situndo el nivel del gu sobre l rect y = 4, tenemos que h(y) = 4 y y puesto que l hipotenus del triángulo form prte de l rect y = 4 x, despejndo tenemos que L(y) = 4 y. Por tnto: F = w 4 h(y) L(y) dy = w 4 (4 y) dy (4 y) 3 w 3 4 = w( 64 3 ) = 64,4 3 N. Ejemplo.. Un conducto circulr de gu de 6 m de diámetro se encuentr semilleno. Hllemos l fuerz que ejerce el gu sobre l compuert que cierr el conducto. y x 3 Pred verticl circulr. Solución. Consideremos l compuert (circulr) que cierr el conducto y tomemos el origen de coordends en el centro de dicho círculo, de este modo h(y) = y y L(y) = 9 y. Puesto que sólo está sumergid l mitd inferior, se tiene que: F = w 3 9 y ( y) dy = w (9 y) 3/ 3/ 3 = w 3 7 = 8,4 N. Ejercicio.9. L compuert verticl de un pres tiene form de trpecio isósceles de 8 m de bse superior y 6 m de bse inferior, con un ltur de 5 m. Cuál es l fuerz ejercid por el fluido sobre l compuert si el borde superior está 4 m por debjo de l superficie del gu? (Solución: 67 3 ω N). Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

35 Ejercicio.. Los extremos de un rtes de gu tienen l form de regiones prbólics limitds por y = x 4 e y =, donde ls uniddes son en metros. Suponiendo que l rtes está llen de gu, clcul l fuerz que ejerce el gu sobre uno de los extremos de l rtes. (Solución: 56 5 ω N)...4. Ejercicios de l sección.. Hll el áre encerrd de l región del primer cudrnte limitd por ls curvs x + y = 3, y = x, x = y. (Solución: π 4 u..).. Hll el áre encerrd de l región comprendid entre ls circunferencis x + y = 4 y (x ) + (y ) = 4. (Solución:.9736 u..). 3. Clcul el volumen del cuerpo generdo l girr l región limitd por y = x 3, y = 8 y x = lrededor del eje Y. (Solución: 96π 5 u.v.). 4. L rect x = divide l círculo (x ) + y 4 en dos prtes. () Clcul el volumen generdo l girr lrededor de l rect y = l prte de myor áre. (Solución: 9π u.v.). (b) Clcul el volumen generdo l girr lrededor de l rect x = l prte de menor áre. (Solución: 8π 3 + 3π u.v.). 5. Clcul l cpcidd en m 3 de un depósito de ceite que tiene l form del sólido de revolución obtenido l girr lrededor de l rect x =, l región cotd por y = x y y =. (Solución: 6π 3 m 3 ). 6. Se R l región del plno encerrd entre l prábol y = x x + 3 y l rect y = 3. Clcul el volumen del sólido de revolución generdo l girr dich región lrededor de l rect x =. (Solución: 8π u.v.). 7. (Trbjo relizdo pr elevr un cden). Un cden de m que pes 5 kg por m yce en el suelo. Cuánto trbjo se requiere pr elevr uno de sus extremos hst m de ltur de mner que quede tod extendid?. (Solución: mkg ). 8. (Trbjo relizdo por un gs) Un cntidd de gs con un volumen inicil de pie cúbico y un presión de 5 librs por pie cúbico se expnde hst ocupr un volumen de pies cúbicos. Clcul el trbjo relizdo por gs l expndirse. (Se supone que l presión es inversmente proporcionl l volumen). (Solución: 5 ln pies libr ). 9. Un depósito de retención es un lterntiv l rehbilitción de ls redes de lcntrilldo de un municipio por ls muchs molestis que se pueden ocsionr (problems de tráfico, molestis los ciuddnos, etc.). Supongmos que uno de estos depósitos tiene form de prboloide de revolución obtenido l girr l curv y = x + ( x 5) lrededor del eje Y. Si el depósito está lleno, qué trbjo se requiere pr vcir su contenido por encim del borde del depósito? (Solución: 5 πω u.t.). 3 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

36 . Supongmos que un depósito de queroseno de clefcción de un cs tiene un fug y hy que vcir su contenido pr reprrlo. Clcul el trbjo que se requiere pr vcirlo bombendo el keroseno hst un slid que está m por encim de l prte superior del tnque si está lleno hst l mitd. El tnque es cilíndrico de rdio m y ltur 4 m. (Densidd del keroseno ω N/m 3 ) (Solución: 3πω N).. Clcul el trbjo necesrio pr vcir todo el combustible de un tnque cilíndrico de m de rdio y 5 m de longitud, si éste se encuentr enterrdo horizontlmente m de l superficie y l ltur del surtidor es de m. (Densidd del combustible ω N/m 3 ). (Solución: πω N).. Un cmión trnsport combustible en un depósito cuy sección trnsversl tiene form de semicírculo de rdio dm. Si el peso del combustible es de 3 g/dm 3 y suponemos que el depósito está lleno, clcul l fuerz totl ejercid por el líquido sobre uno de sus extremos. (Solución: 6 N). 3. Un ljibe (depósito que recoge el gu de lluvi) tiene form tringulr (su sección trnsversl es un triángulo equilátero de 8 m de ldo y vértice hci bjo). Clcul l fuerz que ejerce el gu sobre uno de los extremos del ljibe cundo está lleno. Considermos que l densidd del gu es 4 N/m 3. (Solución: 64 4 N)..3. INTEGRALES IMPROPIAS Pr definir l integrl definid, se h exigido que el integrndo fuese un función cotd en un intervlo compcto, es decir, un intervlo cerrdo y cotdo. Si el intervlo sobre el que queremos integrr no es compcto o l función no está cotd se mplí el concepto de integrl dndo lugr ls integrles impropis o generlizds. Vemos lgunos ejemplos en los que prece este tipo de integrles: Ejemplo.. En un yuntmiento se propone un pln de recudción de impuestos plntedo de l form siguiente. Después de x semns, se prevé que se recuden f(x) = xe 3 x miles de euros por mes. Cuánto será lo recuddo en los tres primeros meses?. Cuánto se recudrí si el tiempo fuese ilimitdo?. Ejemplo.3. Si un módulo espcil pes 5 tonelds en l superficie terrestre, cuánto trbjo exige elevrlo un ltur de 8 mills?. Cuánto trbjo es necesrio pr propulsr este módulo un distnci infinit de l Tierr?. No se tendrá en cuent l resistenci del ire ni el peso del combustible. (Rdio Tierr 4 mills) Distinguiremos entre: Integrles impropis de primer especie: quélls en ls que el intervlo de integrción no está cotdo (y por tnto, no es compcto). Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

37 y x y x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

38 .5 y x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

39 . + e 3x dx.. 4 cos x dx dx e x + e x. 4. 4x + x 3x + Solución e 3x dx = lím t + t Est integrl es convergente. 4 cos x dx = 4 lím r e e 3x 3x dx = lím t + 3 r t e 3t = lím t = 3. cos x dx = 4 lím [ sin x r ] r = 4 lím sin r. r Est integrl es oscilnte y que este límite no existe. + e x + e dx = + x = = lím r r e x + dx = + e x e x + e dx + + x e x dx + ex e x dx + ex e x t dx + lím + ex t + e x dx + ex = lím r [rctn ex ] r + lím t + [rctn ex ] t = lím r (rctn rctn er ) + lím t + (rctn et rctn ) 4. Est integrl es convergente. = π 4 + π π 4 = π. 4x + x 3x + dx = lím r 5 r x + 9 dx x = lím r ( 5 ln x + 9 ln x ) r = 9 ln + lím r x 5 x 5 ln = 9 ln ln lím x 9 r x 9 = 9 ln + ln () =. Est integrl es divergente. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

40 y y f x b x f x b x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

41 . dx ( x) 3 3. ln x dx 4. dx 4 x Solución.. Vemos que est integrl es divergente. En efecto: + x dx = lím t + t dx = lím x t +[ln x] t = lím t +( ln t) = lím t +( ln t) = lím t +(ln t) = +.. Vemos que est integrl es convergente. En efecto: dx = ( x) 3 lím t t ( x) 3 dx = lím t [ 3( x)/3 ] t = lím t ( 3( t)/3 + 3) = Vemos que est integrl es convergente. En efecto: ln x dx = lím r + r ln x dx = lím r + [x ln x x] r = lím (ln r log r + r) = lím ( r ln r + r) r + r + = + lím r lím ln r r ln r = (plicndo l Hôpitl) = + lím r + r + r + = + lím r + r r r = + lím r + r = + =. 4. Vemos que est integrl es convergente. En efecto: π dx = (cmbio: x = sin t) = 4 x π 6 π cos t 4 4 sin t dt = π 6 dt = r = [t] π π 6 = π π 6 = π 3. Observemos que l hcer el cmbio de vrible l integrl dej de ser impropi y se convierte en un integrl definid sencill. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

42 .3.3. Integrles de funciones no cotds en intervlos compctos Se f un función cotd y continu en un intervlo compcto [, b] excepto en lgún punto c ], b[ donde lím f(x) = x c entonces l integrl impropi b f es convergente si y sólo si c tmbién son convergentes. Ejemplo.6. Clculemos 4 (x ) dx. f y b c + f y c b x Figur.: Gráfic de l función f(x) = (x ). Solución. En este cso l función f(x) = present un discontinuidd (x ) infinit en x = (ver Figur.). Luego se tiene: 4 dx (x ) = dx 4 (x ) + dx (x ) + t = lím t Est integrl es divergente. Ejercicio.. Clcul 3 dx 4 (x ) + lím t + t t 4 = lím + lím t x t + x t dx (x ) = lím t t lím = +. t + t dx (x ). (Solución: divergente). x c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

43 .3.4. Propieddes de ls integrles impropis Ls propieddes de ls integrles propis se extienden, medinte procesos de pso l límite, ls integrles impropis. En delnte, unificmos l notción de ls integrles de primer y segund especie: se [, b [ un intervlo no compcto tl que < < b +, escribiremos b f pr denotr conjuntmente los dos tipos de integrles. Si considermos el intervlo ], b ] siendo < b < +, ls denotmos b f. Por último ls impropis en ], b [ donde < b + ls escribiremos b f. Enuncimos ls propieddes más destcbles pr el primer cso, siendo nálogs ls propieddes pr los otros dos. () Linelidd. Si f y g son dos funciones reles, integrbles en [, b [, entonces tmbién es integrble l función hf + kg pr culesquier h, k R y demás: b (hf + kg) = h b f + k b () Monotoní. Si f y g son integrbles en [, b [ y si se cumple f(x) g(x), x [, b [, entonces: b f b (3) Regl de Brrow. Se f : [, b [ R un función continu en [, b [ y se G : [, b [ R un primitiv de f en [, b [. Si existe el límite siguiente, entonces: b g. f = límg(t) G() = [G(x)] b t b g. (4) Integrción por prtes. Si u y v son funciones de clse C en [, b [ y son convergentes dos de los tres términos siguientes, tmbién lo es el tercer término y se verific: b u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] b b u (x)v(x)dx. (5) Cmbio de vrible. Se f : [, b [ R un función continu en [, b [ y se ϕ : [ α, β [ R de clse C ([ α, β [), siendo < α < β +. Si ϕ(α) = y ϕ(t) b cundo t β y demás ϕ([ α, β [) [, b [, entonces: b f(x)dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Si un de ells es convergente (divergente), l otr tmbién. Ejemplo.7. Clculemos: c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

44 () dx x. Solución. Hcemos el cmbio x = sin t. π dx = x π cos t sin t dt = dt = [t] π = π. Observmos que l relizr este cmbio de vrible l integrl dej de ser impropi (b) x ln xdx. Solución. Aplicmos integrción por prtes: u(x) = ln x, v (x) = x u (x) = x3, v(x) = x 3, entonces: x x 3 ln xdx = 3 ln x x 3 x 3 ln x x dx = lím 3 x x dx puesto que lím x + x 3 ln x 3 x 3 ln x = lím x + 3 Ejercicio.. Clcul =. x 3 9 = 9, dx x( x) = x x x dx. (Solución: π). Ejemplo.8. Estudiemos, según los vlores de α, l convergenci de ls integrles impropis siguientes: () I = x dx. α Solución. Si α =, entonces: I = Si α =, entonces: x dx = [ln x] = lím ln x = +. + x + I = x α x dx = = α α α lím x α + x + α = α si α < + si α > Por tnto, es convergente pr α < y divergente pr α. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

45 (b) I = + x α dx. Solución. Si α =, entonces: I = + dx = [ln x]+ = lím ln x ln = +. x x + Si α =, entonces: I = + x α + x dx = = lím α α x + = x α α α + si α < α si α > Por tnto, es convergente pr α > y divergente pr α. Ejercicio.3. Estudi, según los vlores de α, l convergenci de l siguiente integrl: dx. (Solución: convergente pr α < y divergente ( x) α pr α.).3.5. Criterios de convergenci En el estudio de l convergenci precen cierts integrles impropis como l integrl de Dirichlet + sin xdx, que no tiene primitiv y comprobr l x convergenci prtir de l definición puede ser bstnte complejo; esto motiv que introduzcmos ciertos criterios de convergenci. Los criterios que vmos estudir simplificn en l práctic el mnejo de ests integrles y están bsdos en métodos de comprción; entre ellos, destcmos el criterio del myornte y el el criterio de comprción en el límite. Antes de enuncirlos tendremos en cuent lguns considerciones. En primer lugr, enunciremos los criterios pr ls integrles impropis de l form b f; nálogmente, se tienen criterios pr ls integrles b f y b f. Por otr prte, los criterios que dmos se plicn integrndos positivos, unque por l ditividd de l integrl bstrá con exigir que exist x > tl que f(x), pr todo x x (Figur.3). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

46 x Figur.3: Función f(x) con prte negtiv. Si se tiene que f(x), pr todo x x, entonces, pr lgún x, podemos plicr los criterios vistos l función positiv g(x) = f(x). L convergenci o divergenci de f será l obtenid pr g (Figur.4). g(x) = - f(x) f(x) Figur.4: Gráfics de f(x) y de f(x). Sen f, g : [, b [ R con < < b +, y supongmos que existe un vlor x > tl que f(x) y g(x), pr todo x x. Teniendo en cuent ests considerciones enuncimos los criterios de convergenci siguientes: (I) Criterio del myornte. Sen f y g tles que f(x) g(x), x x, entonces: (i) Si b (ii) Si b g es convergente, entonces b f es convergente. f es divergente, entonces b g es divergente. (II) Criterio de comprción en el límite. Se L = f(x) lím x +,b g(x), entonces: (i) Si L R {}, entonces b (ii) Si L = y b (iii) Si L = y b f y b g tienen el mismo crácter. g es convergente, entonces b f es convergente. g es divergente, entonces b f es divergente. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

47 Pr poner en práctic los criterios de comprción es interesnte disponer de lguns integrles de crácter conocido; se suelen tomr funciones de tipo potencil (ver Ejemplo.8b). Pr ls de primer especie podemos tomr g(x) = x α : + b dx C si α > x = α dx x α = D si α, >. C si α > D si α, b <. Pr ls de segund especie tenemos: b dx C si α < (b x) = α D si α. b + dx (x ) α = C si α < D si α Ejemplo.9. Estudiemos l convergenci de ls siguientes integrles.. + e x dx. Solución. En primer lugr comprobmos que el integrndo es positivo: e x > pr x. Como e x e x pr x y l integrl + e x dx = [ e x ] + = lím x + ( e x ) + e = e es convergente, entonces por el criterio del myornte tenemos que l integrl + e x dx tmbién es convergente x 3 + x 6 dx. Solución. El integrndo es positivo x. Aplicmos el criterio de comprción en el límite. Puesto que lím x + +x 3 +x ( + x 3 )x 3 6 = lím =, x 3 x + + x 6 l integrl dd tiene el mismo crácter que l integrl + sbemos que es convergente sin x + 5 cos x dx. x( x) dx que x3 Solución. El integrndo es positivo x y sbemos (medinte integrción direct) que dx es convergente. Acotemos el integrndo: x( x) < 3 sin x + 5 cos x x( x) < 8 x( x), x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: c UJI

48 en prticulr pr < x <. Puesto que l integrl es convergente, tmbién lo es l integrl dd. 8 x( x) dx Ejercicio.4. Estudi l convergenci de ls siguientes integrles. () + (b) + (c) 3 (d) 3 dx x + + ln x. 3x 3 + 4x x + 7 dx. x4 dx. dx (3 x)(x ) dx. (Solución: ()convergente, (b)divergente,(c) convergente, (d) convergente) Convergenci bsolut Si el integrndo no tiene signo constnte se intent reducir éste l cso y conocido de integrndo positivo y pr ello se introduce el concepto de convergenci bsolut. Se nliz l convergenci de f(x) y prtir de ell se obtiene informción de l integrl dd. Definición.3. Se f : [, b [ R, < < b +, integrble en [, b[ (esto implic que f tmbién es integrble en dicho intervlo). Decimos que l integrl impropi b f es bsolutmente convergente (bsolutmente divergente) si b f es convergente (divergente). Un definición nálog se tiene cundo f está definid en ], b ] siendo < b < +. El teorem siguiente nos dice que tod integrl impropi bsolutmente convergente es convergente. El recíproco es, en generl, flso. Teorem.5. Si b f es bsolutmente convergente, entonces b f es convergente, y demás se verific: b b f(x)dx f(x) dx. Ejemplo.3. Estudiemos el crácter de l integrl sin x dx. x Solución. Estudiemos l integrl Como sin x x sin x dx cuyo integrndo es positivo. x ( x) / c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

49 y sbemos que dx es convergente, por el criterio del myornte ( x) / sbemos que sin x dx es convergente, por tnto, l integrl dd es x bsolutmente convergente y, por el teorem nterior se tiene que dich integrl es convergente. Observemos que este ejemplo se podrí resolver tmbién descomponiendo l integrl como sum de dos integrles, y que el integrndo es positivo pr x <. Ejercicio.5. Estudi el crácter de ls siguientes integrles: () + (b) + cos 3 x dx. x cos 3 x sin x sin x + e x dx. (Solución: () convergente (b) convergente) Ejercicios de l sección.3. Estudi el crácter de ls siguientes integrles. () + e 3x dx. (b) 4 dx. (4 x)(x ) 3 (c) + (d) + π dx log x. + cos x dx. x (e) sin x dx. x (f) + 3 dx 4 x4 8 dx. (g) x + x 4 + dx. (h) + 5 sin 3x x + 5x + 3 dx. (Soluciones: () convergente, (b) convergente, (c) divergente, (d) divergente, (e) convergente, (f) convergente, (g) convergente, (h) convergente).. Clcul el áre de l región comprendid entre ls gráfics de ls funciones f(x) = e x, g(x) = e x y el eje de bciss. (Solución: u..). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN:

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

Integración en una variable. Aplicaciones

Integración en una variable. Aplicaciones Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Integrl Definid y Aplicciones LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Autores: Pco Mrtínez (jmrtinezos@uoc.edu), Ptrici Molinàs (pmolins@uoc.edu), Ángel A. Jun (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Aplicciones

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL

CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPÍTULO Concepto de áre Sums de Riemnn Integrl definid Propieddes de l integrl definid Integrl indefinid Propieddes de l integrl indefinid Teorem

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)

Más detalles

CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS

CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS Abril de 006 CONSDERACONES SOBRE LAS COMPUERTAS Cátedr de Mecánic de los Fluidos Escuel de ngenierí Mecánic Autores: ngeniero Edgr Blbstro ngeniero Gstón Bourges e-mil: gbourges@fcei.unr.edu.r 1 Abril

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

Integración en el plano complejo

Integración en el plano complejo Integrción en el plno complejo 4.1. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel es un función w : [, b] C, donde b. L prte rel y l prte imginri de w son dos funciones reles de vrible

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

Aplicaciones de la integral indefinida

Aplicaciones de la integral indefinida Aplicciones_de_l_integrl.n Aplicciones de l integrl indefinid Práctic de Cálculo, E.U.A.T,Grupos ºA y ºB, 2005 Est práctic muestr cómo clculr lguns áres y volúmenes utilizndo integrles. En cd cso dremos

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161 7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60

Más detalles

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

BLOQUE III Geometría

BLOQUE III Geometría LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por

Más detalles

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas LECCIÓ CODESADA 12.1 Rzones trigonométrics En est lección Conocerás ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente Usrás ls rzones trigonométrics pr encontrr ls longitudes lterles desconocids en triángulos

Más detalles

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.

Más detalles

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones. Cpítulo 10 Series de Funciones 10.1. Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N

Más detalles

Integración de Funciones de Varias variables

Integración de Funciones de Varias variables Cpítulo 1 Integrción de Funciones de Vris vribles 1. L σ-álgebr de orel 2. L medid de Lebesgue 3. Funciones medibles Un vez estudid l medid de Lebesgue en R n, vmos desrrollr hor l integrción de funciones

Más detalles

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ Deprtmento de Economí Aplicd Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN Se supone que el Sr. Corto dispone de

Más detalles

Resolución de triángulos

Resolución de triángulos 8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del

Más detalles

CAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable 3.2. Integración por partes 3.2.1. Producto de un polinomio por una

CAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable 3.2. Integración por partes 3.2.1. Producto de un polinomio por una CAPÍTULO. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN.. Integrción por cmbio de vrible.. Integrción por prtes... Producto de un polinomio por un eponencil... Producto de un polinomio por un seno o un coseno... Producto

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011)

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011) APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elbordos por José Mnuel Rodríguez Versión brevid de Dmitry Ykubovich (20). INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Se define el conjunto de

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

INGENIERIA DE EJECUCION EN CLIMATIZACION 15082-15202

INGENIERIA DE EJECUCION EN CLIMATIZACION 15082-15202 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Deprtmento de Ingenierí Mecánic CAV/mm. INGENIERIA DE EJECUCION EN CLIMATIZACION 15082-15202 ASIGNATURA MECANICA DE FLUIDOS NIVEL 04 EXPERIENCIA

Más detalles

Los números enteros y racionales

Los números enteros y racionales Los números enteros y rcionles Objetivos En est quincen prenderás : Representr y ordenr números enteros Operr con números enteros Aplicr los conceptos reltivos los números enteros en problems reles Reconocer

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

Señaléticas Diseño gráfico de señales

Señaléticas Diseño gráfico de señales Señlétics Diseño gráfico de señles El cálculo de perímetros y áres de figurs plns es de grn utilidd en l vid práctic, pues l geometrí se encuentr presente en tods prtes. En un min subterráne, ls señles

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje

Más detalles

Métodos de Integración I n d i c e

Métodos de Integración I n d i c e Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles Introducción. En est sección, y con

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja. 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.

Más detalles

Aplicaciones de la integral.

Aplicaciones de la integral. Tem 1 Aplicciones de l integrl. 1.1 Áres de superficies plns. 1.1.1 Funciones dds de form explícit. A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 1, prece rzonble l siguiente definición:

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

INFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 -

INFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 - INFORME DE LA PRÁCTICA nº : LA RUEDA DE MAXWELL Fernndo Hueso González. Crlos Huerts Brr. (1º Fís.), L1, 1-XI-7 - - RESUMEN L práctic de l rued de Mxwell consiste en medir el tiempo que trd en descender

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

Tema 4. Integración compleja

Tema 4. Integración compleja Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Rmón Bruzul Mrisel Domínguez Crcs, Venezuel Julio 25 Rmón

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES

Más detalles

Integrales de línea. 4.1. Integral de línea de un campo escalar

Integrales de línea. 4.1. Integral de línea de un campo escalar Lección 4 Integrles de líne 4.1. Integrl de líne de un cmpo esclr Definición. Se f : Ω R un cmpo esclr continuo, con Ω R n, y se : [,b] Ω un cmino regulr trozos. L integrl de líne de f lo lrgo de es, por

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple

Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple Integrl de un función rel Tem 08: Integrles Múltiples Jun Igncio Del Vlle Gmbo Sede de Guncste Universidd de Cost ic Ciclo I - 2014 Ls integrles definids clculn el áre bjo un curv y = f (x) pr un región

Más detalles

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS L.C. y Mtro. Frncisco Jvier Cruz Ariz L.C. y Mtro. Frncisco Jvier Cruz Ariz TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Un mner de simplificr los dtos es usr un tbl de frecuenci

Más detalles

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1 M A T E M Á T I C A S Números Reles Enteros Rcionles Positivos Negtivos Nturles (,,,4,5,6... α) Primos (,,5,7,,,7) Pres (... 4,-,0,,4,6,..., ) Impres ( -...,-,-,0,,,5,..., ) Dígitos ( 0,,,,4,5,6,7,8,9

Más detalles

TEMA 1 EL NÚMERO REAL

TEMA 1 EL NÚMERO REAL Tem El número rel Ejercicios resueltos Mtemátics B º ESO TEMA EL NÚMERO REAL CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO : Clsific los siguientes números como 0 ; ;,...; 7; ; ; ; 7, = 0,8

Más detalles

Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura).

Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura). TEOREMA E GAU. 15. Hllr el flujo del cmpo i + j + z k trvés de l superficie z 1 +, z 1. ) irectmente. b) Aplicndo el teorem de Guss. olución Llmremos l superficie dd su proección sobre el plno XY (ver

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

TRABAJOS DE MATEMATICA

TRABAJOS DE MATEMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA SERIE C TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 36/07 Un segundo curso de Cálculo Crin Boyllin, Elid Ferreyr, Mrt Urciuolo, Cynthi Will Editores:

Más detalles

Continuidad. Funciones

Continuidad. Funciones I. E. S. Siete Colins (Ceut) Deprtmento de Mtemátics Mtemátics de º de Bchillerto Continuidd de Funciones Por Jvier Crroquino CZs Ctedrático de mtemátics del I.E.S. Siete Colins Ceut 005 Continuidd De

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción

Más detalles

1.4. Integral de línea de un campo escalar.

1.4. Integral de línea de un campo escalar. .4. Integrl de líne de un cmpo esclr. L integrl de líne tiene vris plicciones en el áre de ingenierí, y un de ls interpretciones importntes pr tles plicciones es el significdo que posee l integrl de líne

Más detalles

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g). 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls

Más detalles

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles