XIII. La a nube de puntos-variables

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1 XIII. La a nube de punto-vaiable Una vaiable e epeentada con un vecto en R n. El conunto de etemidade de lo vectoe que epeentan la vaiable contituyen la nube de punto N. m im m n i m Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 4

2 La nube de punto N etá ituada en una hipeefea de adio. co ( m, ) m, n i co ( m, ) ( m, ) im m m i La noma de lo vectoe que epeentan la vaiable e igual a. La coodenada de la poyección de una vaiable obe ota coeficiente de coelación ente la vaiable. Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 4

3 p Balance de lo coeficiente de coelación ente la vaiable etudio de lo ángulo ente lo vectoe que definen la nube N. Peo... El etudio diecto e impoible en azón de la dimenione de R n. El ACP poduce la vaiable intética que contituyen un eúmen de la vaiable iniciale y que pemiten la epeentación pla- na apoimada de la vaiable y de u ángulo epectivo. Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 4

4 XIII.. El ACP en R n, epacio de la vaiable Diponemo de la matice : Z D I : matiz de dato centado-educido : mética de peo en R n : mética de R Podemo defini la dieccione pincipale tale que : Z IZ' D, iendo λ D La pimea componente pincipal c e la combinación lineal de la vaiable de X que tiene vaianza máima. La egunda componente pincipal c e la combinación lineal de la vaiable de X, otogonal a la pimea componente y que tiene vaianza máima. y ai iguiendo... Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 43

5 La componente pincipale (c,..., c ) foman una bae otogonal de R n de dimenione, engendada po la vaiable. Sea : { ;, K,}, la bae canónica del ub-epacio de R n. c λ Sea : v { v ;, K,} ;, la bae otonomal del ub-epacio de R. Se obtiene : z K ( z,c ) v,,, La vaiable centada-educida on vectoe cuya etemidade e ubican obe la efea de adio. De modo que, K,K z z,c, z,c, K, z, c Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 44

6 XIII.. Poyección de una vaiable obe el pime plano factoial ˆ ẑ ; K ( z, c ) v,, K La coodenada de la vaiable centada y educida obe el pime plano pincipal on la coelacione de la vaiable con la dieccione pincipale. XIII.3. Calidad de epeentación de una vaiable Tazando el cículo de adio, en el pime plano factoial, e puede apecia la calidad de epeentación de cada vaiable. Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 45

7 Como ˆ, i la etemidad de ˆ e ubica ceca del cículo de adio, tendá una buena calidad de epeentación. Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 46

8 XIII.4. Relacione ente el epacio de epeentación de lo individuo y el epacio de epeentación de la vaiable F i () i G () λ La poyección F (i) del individuo i, e una combinación lineal de la poyeccione G () de toda la vaiable. > Si i, la vaiable tiene una contibución poitiva a la poyección F (i) del ind. i. En cambio, i i contibución nula o negativa a F (i)., la vaiable tiene una Poyectando la dieccione de lo vectoe vaiable en el epacio de lo punto-individuo, podemo «eplica» la configuación de ditancia inte-individuale. Si la -éima vaiable etá bien epeentada en un ub-epacio, la diección aociada a ee vecto puede e conideada como una buena epeentación de la -éima vaiable en el epacio de epeentación de lo individuo. Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 47

9 Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 48

10 Po ota pate: G n λ i () F () i Si do vaiable peentan una fuete coelación poitiva, etán ubicada del mimo lado de un ee del epacio de epeentación de la vaiable. En el ee coepondiente del epacio de epeentación de lo individuo, do individuo que peenten fuete valoe obe ea vaiable, eán epeentado en la mima diección que ea vaiable. En cambio, do individuo que peenten valoe infeioe al valo pomedio obe ea vaiable, eán epeentado en la dieccione opueta. Lo individuo que peentan valoe etemo paa ea vaiable quedan ituado leo del oigen del epacio de epeentación. i Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 49

11 Atención: No e tata de una epeentación imultánea de la nube de punto individuo y de la nube de vectoe vaiable... Debemo toma en cuenta que : La coodenada obe un ee dado de un individuo, etá en elación con el conunto de coodenada de toda la vaiable obe ee mimo ee. No e debe intepeta la poición de un individuo con epecto a una ola vaiable. La vaiable etán epeentada po vectoe y lo individuo lo on po punto. No e debe intepeta la ditancia ente un punto individuo y un conunto de punto-vaiable. Lo impotante e el aleamiento del individuo conideado en la diección de ee conunto de vaiable. Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 5

12 XIII. 5. Individuo uplementaio o ilutativo Sea el individuo : w { w, K,w } iendo : g {, K }, { } y, K, podemo defini el «individuo uplementaio, centado y educido» de témino geneal : w w g Coodenada del individuo ilutativo F ( w ) p u w Calidad de epeentación de w ŵ w ( w ) ( K ) F w Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 5

13 XIII.6. Vaiable uplementaia o ilutativa Sea : M M n Con : n n n i y ( ) i i i n podemo defini : Sea (,G ( ) ) i i : coelación de la vaiable uplementaia centada-educida con la componente pincipal. Coodenada de la vaiable uplementaia G ( ),G ( ) ( ),, K K Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 5

14 Calidad de epeentación de una vaiable uplementaia continua ˆ,G Paa el cao de una vaiable ilutativa nominal, ve XIII.8 «valoe-tet». XIII.7. Impotancia y eemplo de lo elemento uplementaio La técnica de elemento uplementaio completa ete intumento de eploación... Contituye el fundamento de la etapa inductiva del poceo de contucción de un obeto de etudio. Pogama PRESTA Eduado CRIVISQUI T. N 53

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