IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Se quiere orgaizar u puete aéreo etre dos ciudades, co plazas suficietes de pasaje y carga, para trasportar 1600 persoas y 96 toeladas de equipaje. Los avioes dispoibles so de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La cotratació de u avió del tipo A cuesta 4 milloes de pts y puede trasportar 00 persoas y 6 toeladas de equipaje; la cotratació de uo del tipo B cuesta 1 milló de pts y puede trasportar 100 persoas y 15 toeladas de equipaje. Cuátos avioes de cada tipo debe utilizarse para que el coste sea míimo? Solució Se quiere orgaizar u puete aéreo etre dos ciudades, co plazas suficietes de pasaje y carga, para trasportar 1600 persoas y 96 toeladas de equipaje. Los avioes dispoibles so de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La cotratació de u avió del tipo A cuesta 4 milloes de pts y puede trasportar 00 persoas y 6 toeladas de equipaje; la cotratació de uo del tipo B cuesta 1 milló de pts y puede trasportar 100 persoas y 15 toeladas de equipaje. Cuátos avioes de cada tipo debe utilizarse para que el coste sea míimo? x = Número de avioes del tipo A. y = Número de avioes del tipo B. Fució Objetivo F(x,y) = 4x + 1y. (U avió del tipo A cuesta 4 milloes, u avió del tipo B cuesta 1 milló). Restriccioes: Total 1600 persoas y total equipaje 96 toeladas. Avió tipo A puede trasportar 00 persoas, tipo B 100 persoas 00x + 100y 1600 Avió tipo A puede trasportar 6 toeladas, tipo B 15 toeladas 6x + 15y 96 Avioes dispoibles 11 del tipo A y 8 del tipo B x 11, y 8 Se cotrata algú avió x 0, y 0. Las desigualdades 00x + 100y 1600; 6x + 15y 96; x 11, y 8; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades simplificádolas, y ya sus gráficas so rectas, x + y = 16; x + 5y = 3; x = 11, y = 8; x =0; y =0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x +16; y = -x/5 + 3/5; x = 11, y = 8; x = 0; y =0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito covexo limitado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito covexo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = -x+16 e y = -x/5+3/5, teemos -x+16 = -x/5+3/5-10x+80 = -x+3 48 = 8x, luego x = 6 e y = 4, y el puto de corte es A(6,4) De y = -x/5+3/5 y x = 11, teemos y =, luego el puto de corte es B(11,) 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua De x = 11 e y = 8, teemos el puto de corte es C(11,8). De y = -x+16 e y = 8, teemos -x+16 = 8, luego x = 4y el puto de corte es D(4,8) Vemos que el polígoo tiee por vértices los putos: A(6,4), B(11,), C(11,8) y D(4,8). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 4x + 1y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito covexo, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(6,4), B(11,), C(11,8) y D(4,8). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(6,4) = 4(6) + 1(4) = 8; F(11,) = 4(11) + 1() = 46; F(11,8) = 4(11) + 1(8) = 5; F(4,8) = 4(4) + 1(8) = 4. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució F e la regió es 4 (el valor meor e los vértices) y se alcaza e el vértice D(4,8), es decir el coste míimo igreso es de 4 milloes de pts. y se alcaza vediedo cotratado 4 avioes del tipo A y 8 avioes del tipo B. EJERCICIO _A x + x si x < 0 Sea la fució f(x) =. x - x si x 0 (1 puto) Represétela gráficamete. (0 5 putos) Estudie su cotiuidad. c) (1 puto) Obtega, si existe, la derivada de f e x = 1/, x = -1/ y x = 0. d) (0 5 putos) Idique si posee máximos y míimos relativos y e qué putos. Solució x + x si x < 0 Sea la fució f(x) =. x - x si x 0 Represétela gráficamete. La gráfica de x + x (x < 0) es u trozo de parábola, co las ramas hacia arriba ( ), pues el º que multiplica a x es positivo, abscisa del vértice e (x + x) = 0 = x + 1, de dode x = -1/, luego vértice e V(-1/,-1/4). Los putos de corte so (0,0) que o está e el domiio y x + x = 0 = x(x + 1), de dode x = 0 y x = -1, y el puto es (-1,0). La gráfica de x - x (x 0) es u trozo de parábola, co las ramas hacia arriba ( ), pues el º que multiplica a x es positivo, abscisa del vértice e (x - x) = 0 = x - 1, de dode x = 1/, luego vértice e V(1/,-1/4). Los putos de corte so (0,0), y de x - x = 0 = x(x - 1), de dode x = 0 y x = -1, y el puto es (1,0). Teiedo e cueta la aterior u esbozo de la gráfica es: Estudie su cotiuidad. Observado la gráfica se ve que f es cotiua e R.

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua x + x si x < 0 f(x) = x - x si x 0 x + x es cotiua y derivable e R, e particular e x < 0. x - x es cotiua y derivable e R, e particular e x > 0. Veamos la cotiuidad e x = 0. f(x) es cotiua e x = 0 si f(0) = lim f(x) = x 0 f(0) = lim x 0+ lim (x + x) = = 0; x 0 f(x) = lim f(x) = x 0 lim f(x). x 0 + lim (x - x) = 0-0 = 0, por tato f(x) es cotiua e x = 0, es decir es cotiua e R. x 0+ c) Obtega, si existe, la derivada de f e x = 1/, x = -1/ y x = 0. f(x) = x + x si x < 0 ; f (x) = x - x si x 0 x+1 si x < 0 ; f (x) = x-1 si x 0 Veamos la derivada e x = 0. f(x) es derivable e x = 0 si f (0+) = f (0-), es decir la derivad lim f (x) = lim (x + 1) = = 1; x 0 lim + f (x) = x 0 x 0 x 0 lim f (x) = x 0 si x < 0 si x 0 lim f (x). (Estamos viedo la cotiuidad de x 0 + lim + (x - 1) = 0-1 = -1, como f (0-) = 1 f (0+) = -1, f(x) o es derivable e x = 0, es decir es derivable e R {0}. La derivada e x = 1/ es f (1/) = (1/) 1 = 0, lo cual ya lo sabíamos pues e x = 1/ teíamos el vértice de la rama de la derecha. La derivada e x = -1/ es f (-1/) = (-1/) + 1 = 0, lo cual ya lo sabíamos pues e x = -1/ teíamos el vértice de la rama de la izquierda. d) Idique si posee máximos y míimos relativos y e qué putos. Los vértices de cada rama so los míimos relativos y absolutos, pues f (-1/) = f (1/) = 0, y la seguda derivada es positiva, es decir f (-1/) = f (1/) = > 0. Es decir los míimos está e los putos (-1/,-1/4) y (1/,-1/4). Observado la gráfica vemos que e x = 0 hay u máximo relativo (o es derivable) y vale f(0) = 0 EJERCICIO 3_A Parte I E ua ciudad el 60% de sus habitates so aficioados al fútbol, el 30% so aficioados al balocesto y el 5% a ambos deportes. (0 5 putos) So idepedietes los sucesos ser aficioado al fútbol y ser aficioado al balocesto?. (0 75 putos) Si ua persoa o es aficioada al fútbol, cuál es la probabilidad de que o sea aficioada al balocesto? c) (0 75 putos) Si ua persoa o es aficioada al balocesto, cuál es la probabilidad de que sea aficioada al fútbol? Solució E ua ciudad el 60% de sus habitates so aficioados al fútbol, el 30% so aficioados al balocesto y el 5% a ambos deportes. So idepedietes los sucesos ser aficioado al fútbol y ser aficioado al balocesto?. Llamamos A y B a los sucesos aficioados al fútbol y aficioados al balocesto. Del problema teemos: p(a) = 60% = 0 6, p(b) = 30% = 0 3, p(ambos) = p(a B) = 5% = 0 5 ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); A y B so p(b) idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); p(a C ) = 1 p(a) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide so idepedietes A y B?. 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Como p(a B) = 0 5 p(a) p(b) = = 0 18, A y B o so idepedietes. Si ua persoa o es aficioada al fútbol, cuál es la probabilidad de que o sea aficioada al balocesto? C C pb ( A ) Me pide p(b C /A C ) = C p(a ) Teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 65 Teemos p(a C ) = 1 p(a) = = 0 4. Teemos p(b C A C ) = {Ley de Morga} = p(b A) C = {suceso cotrario} = 1 - p(b A) = = Luego p(b C /A C ) = C C ( ) pb A C p(a ) = 0 35/0 4 = 7/8 = c) Si ua persoa o es aficioada al balocesto, cuál es la probabilidad de que sea aficioada al fútbol? C C p( A B ) Me pide p(a C /B C ) = C p(b ) Sabemos que p(a B) = 0 65 Teemos p(b C ) = 1 p(b) = = 0 7. Sabemos que p(b C A C ) = {Ley de Morga} = p(b A) C = {suceso cotrario} = 1 - p(b A) = = Luego p(a C /B C ) = C C ( ) p A B C p(b ) = 0 35/0 7 = 1/ = 0 5. EJERCICIO 3_A Parte II ( putos) El periodo de fucioamieto de las bombillas de ua determiada marca sigue ua distribució ormal de media 360 días y desviació típica 40 días. Queremos elegir ua muestra de bombillas de esa marca cuyo periodo medio de fucioamieto sea superior a 330 días, co probabilidad Calcule el tamaño míimo de la muestra. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Trabajamos e ua ormal N(0,1), para lo cual teemos que tipificar la variable e la distribució muestral de medias, es decir Z = X µ / El periodo de fucioamieto de las bombillas de ua determiada marca sigue ua distribució ormal de media 360 días y desviació típica 40 días. Queremos elegir ua muestra de bombillas de esa marca cuyo periodo medio de fucioamieto sea superior a 330 días, co probabilidad Calcule el tamaño míimo de la muestra. Datos del problema: Distribució de la població N(µ;) = N(360; 40); µ = 360; = La distribució de las medias muestrales es X N(µ ; ) = N(360 ; ) = N(5000;500). Me dice que la probabilidad p( X 330) = De p( X 330) = 0 97 = {tipificamos} = p(z ) = p(z ) = {por simetría} = 40/ = p(z 0 75 ). Luego p(z 0 75 ) = Mirado e la tabla N(0,1) p(z 0 75 ) = 0 97, vemos que la probabilidad 0 97 o viee e la tabla, y que la probabilidad más próxima es , que correspode a u valor Igualado teemos: 1 88 = 0 75, de dode (1 88/0 75) = 6 8, luego el tamaño míimo es = 7. 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN B EJERCICIO 1_B ( putos) Determie dos úmeros sabiedo que al dividir el mayor por el meor obteemos 7 de cociete y de resto, y que la diferecia etre el triple del mayor y el meor es 106. (1 puto) Resuelva el siguiete sistema e iterprete gráficamete sus solucioes: x y = 5 4(x ) = 1 + (y + 1). Solució Determie dos úmeros sabiedo que al dividir el mayor por el meor obteemos 7 de cociete y de resto, y que la diferecia etre el triple del mayor y el meor es 106. Sea a y b los úmeros y supogamos que a > b. Teemos a = 7b + (sabemos que dividedo ( es igual a divisor ( por cociete (7) mas el resto () ) Por otro lado 3a b = 106 (el triple del mayor y el meor es 106). Resolviedo las dos ecuacioes teemos 3(7b+) b = 106 0b + 6 = 106, de dode b = 5 y a = 7(5) + = 37. Resuelva el siguiete sistema e iterprete gráficamete sus solucioes: x y = 5 4(x ) = 1 + (y + 1). Teemos y = x 5, co lo cual 4(x ) = 1 + ( (x 5) + 1) 4x 8 = 4x 7 0x = 1, lo cual es absurdo es decir teemos dos rectas paralelas y distitas. Si operamos e la seguda ecuació os queda y = x 5/, co lo cual vemos que ambas recta tiee la misma pediete, el (so paralelas) y la ordeada e el orige es distita, -5 y -5/ ( paralelas y distitas). EJERCICIO _B El estudio de la retabilidad de ua empresa revela que ua iversió de x milloes de pesetas produce ua x 8x si 0 x 5 gaacia de f(x) milloes de pts, siedo: f(x) = si x > 5 x (1 puto) Represete la fució f(x). (0 75 putos) Halle la iversió que produce máxima gaacia. c) (0 75 putos) Halle el valor de la iversió que produce gaacia ula. d) (0 5 putos) Razoe lo que ocurre co la retabilidad si la iversió se icremeta idefiidamete. Solució El estudio de la retabilidad de ua empresa revela que ua iversió de x milloes de pesetas produce ua x 8x 8 gaacia de f(x) milloes de pts, siedo: f(x) = Represete la fució f(x). + - si 0 x 5. si x > 5 x La gráfica de x /50 + 8x/5 8/5 (0 x 5) es u trozo de parábola, co las ramas hacia arriba ( ), pues el º que multiplica a x es positivo, abscisa del vértice e (x /50 + 8x/5 8/5) = 0 = x/5 + 8/5, de dode x = -8, luego vértice está e V(-8,-7/5), que o está e 0 x 5. Los putos de corte so (0,-8/5), y de f(x) = 0 x /50 + 8x/5 8/5 = 0 x -16± x 80 = 0 x = = -16±4, es decir x = -0 y x = 4, putos (-0,0) o está e su domiio y (4,0). La gráfica de 5/(x) ( x > 5) es u trozo de hipérbola. Sabemos que las hipérbolas tiee ua asítota horizotal (A.H) y ua asítota vertical (A.V), o tiee extremos y siempre es creciete o decreciete. 5/(x) es cotiua y derivable e R {0}, e particular e x > 5. Cortes co los ejes: 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Para x = 0, o está defiida, y es la A.V.. Para f(x) = 0, 5 = 0, lo cual es absurdo y o corta a los ejes. Asítotas: El úmero que aula el deomiador (x = 0) es x = 0, y como A.V. de f,. Como lim (5/x) = 0, la recta y = 0 es ua A.H. e +. De x + x + lim (f(x) - A.H.) = lim (5/x) = (-5)/0 + = +, la recta x = 0 es ua x 0+ lim ( (5/x) 0) = 0 +, teemos que f está por ecima de la A.H. y = 0 e +. x + La mootoía es el estudio de la primera derivad f (x). f(x) = (5/x); f (x) = (-5/x ) De f (x) = 0, teemos -5 = 0, lo cual es absurdo luego o tiee extremos relativos. Como f (10) = -5/00 < 0, la fució f(x) es estrictamete decreciete ( ) e su domiio Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica es: Halle la iversió que produce máxima gaacia. Si observamos el gráfico el máximo se ecuetra e el puto de divisió de las fucioes es decir e x = 5, y e dicho valor teemos f(5) = (5) /50 + 8(5)/5 8/5 = 1/ = 0 5, luego la máxima iversió es de cico milloes de pesetas, lo cual produce ua gaacia de medio milló de pesetas. c) Halle el valor de la iversió que produce gaacia ula. Observado la gráfica vemos que la gaacia ula se obtiee e el corte co el eje de abscisas OX, es decir para x = 4, es decir co ua iversió de cuatro milloes de pesetas. d) Razoe lo que ocurre co la retabilidad si la iversió se icremeta idefiidamete. Como la gráfica tiee ua asítota horizotal y = 0 cuado x, luego cuado la iversió se icremeta idefiidamete la gaacia es ula. EJERCICIO 3_B Parte I Teemos u cofre A co moedas de oro y 3 de plata, u cofre B co 5 moedas de oro y 4 de plata y u tercer cofre C co moedas de oro. Elegimos u cofre al azar y sacamos ua moeda. (1 puto) Calcule la probabilidad de que sea de oro. (1 puto) Sabiedo que ha sido de plata, calcule la probabilidad de que haya sido extraída del cofre A. Solució Teemos u cofre A co moedas de oro y 3 de plata, u cofre B co 5 moedas de oro y 4 de plata y u tercer cofre C co moedas de oro. Elegimos u cofre al azar y sacamos ua moeda. Calcule la probabilidad de que sea de oro. Llamemos O, P, A, B y C, a los sucesos siguietes, sacar ua moeda de oro, sacar ua moeda de plata, cofre A, cofre B y cofre C, respectivamete. Datos del problema p(a)=p(b)=p(c) = 1/3, p(o/a) = /5, p(p/a) = 3/5, p(o/b) = 5/9, p(p/b) = 4/9, p(o/c) =1. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Aplicado el Teorema de la probabilidad Total p(obteer moeda de oro) = p(o) = p(a) p(o/a) + p(b) p(o/b) + p(c) p(o/c) = = (1/3) (/5) + (1/3) (5/9) + (1/3) (1) = 88/ Sabiedo que ha sido de plata, calcule la probabilidad de que haya sido extraída del cofre A. Aplicado la Fórmula de Bayes p(a P) p(a) p(p/a) p(a/p) = = p(p) 1 - p(o) = (1/3) (3/5) 1 - (88/135) = 7/ EJERCICIO 3_B Parte II E los idividuos de ua població, la catidad de colesterol e sagre se distribuye segú ua ley ormal de media descoocida y desviació típica de 0 5 g/l. Hemos tomado ua muestra de 10 idividuos, y se ha obteido ua media muestral de 1 7 g/l. (1 puto) Obtega u itervalo de cofiaza, al 95%, para la catidad media de colesterol e sagre de la població. (1 puto) Qué ivel de cofiaza tedría u itervalo para la media cuyos límites fuese y 107? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ Tambié sabemos que la media es x = (a + /, el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z1 α / = E, de dode E = (b /, z 1- α/. z 1- α/. por tato el tamaño míimo de la muestra es = E = b - a. E los idividuos de ua població, la catidad de colesterol e sagre se distribuye segú ua ley ormal de media descoocida y desviació típica de 0 5 g/l. Hemos tomado ua muestra de 10 idividuos, y se ha obteido ua media muestral de 1 7 g/l. 7

8 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Obtega u itervalo de cofiaza, al 95%, para la catidad media de colesterol e sagre de la població. Datos del problema: = 0 5; = 10, x = 1 7, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, es decir α/ = 0 05/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z 1-α/ = 1 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = 0'5 0'5 1'7-1'96,1'7 + 1'96 = (1 3901, 0099) Qué ivel de cofiaza tedría u itervalo para la media cuyos límites fuese y 107? Datos del problema: Itervalo = (a, = (1 930, 107), = 0 5, = 10, x = '5 De la amplitud del itervalo es b a = z1 α /, teemos que ( ) = z1 α /, es decir 10 z 1-α/ = ( ) / y mirado e las tablas vemos que p(z 57) = 1 - α/ = , por lo tato teemos que α = ( ) = 0 010, luego el ivel de cofiaza pedido es = 1 - α = = = = 98 98%. 8

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