VALOR DE RESCATE Y RESERVA MATEMÁTICA DEL SEGURO DE VIDA INDIVIDUAL EN MÉXICO

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1 VALOR DE RECATE Y REERVA MATEMÁTICA DEL EGURO DE VIDA INDIVIDUAL EN MÉXICO Oscr Arnd M Ndi Arcei Cstio Grcí. 5 Diciembre E presente trbjo tiene como objetivo e proponer e modeo mtemático pr obtención de vor de rescte previsto en os rtícuos 8 y 84 de Ley obre e Contrto de eguro, bsdo en suficienci de reserv mtemátic, independientemente de esquem de comisiones definids en not técnic pr determinción de su prim de trif de seguro de vid y condiciondo su temporidd myor o igu ños. Pr t efecto se reizrá e náisis conceptu que dio origen s epresiones definids pr determinción de reserv mtemátic modificd mínim de sistem meicno, propuesto en e dirio ofici de federción en septiembre de 3 y compementr bjo est propuest e modeo de suficienci de reserv pr incorporr e concepto de vor de rescte, en este punto, no se pretende trnscribir s epresiones cturies de documento citdo, si no por e contrrio, se pretende documentr e modeo y presentr bjo un form más concis e concepto de reserv mínim bsdo en su náisis rcion propuesto en su momento por e mtemático August Zimer en 863. Un vez definido o nterior, conceptuizr e riesgo como un vribe etori socid tiempo y bjo técnic de teorí de riesgo, definir suficienci crter bjo proimción de distribución norm, proponiendo sí e modeo gener de vor de rescte bsdo en e mrgen de seguridd que resut de proceso. Finmente mostrr un terntiv sistemátic que resut de modeo de reserv mtemátic mínim picbe ecusivmente pr os seguros de vid bjo esquems de comisiones decrecientes, proceso que no necesit definir suficienci de reserv y sóo se bs en e recrgo que por mrgen de seguridd se defin en not técnic. En mbos métodos se presupone que os recrgos diciones mrgen de seguridd son de tipo nivedo, ún cundo e modeo presentdo d posibiidd de picr en un cso más gener. Desde os orígenes de seguro, entidd dministrdor de riesgo o compñí de seguros, h jugdo un ppe importnte desde e punto de vist soci y económico, y que e ser humno por nturez es eminentemente soci, de hí que siempre se h reunido con sus semejntes con e objeto de formr grupos, comuniddes y socieddes; y con eo poder stisfcer sus necesiddes, un de ests necesiddes constituye e prever sobre riesgos que en form futur, podrín menoscbr su situción económic o incuso e vor tot que represent pérdid de mismo, en est virtud, se pude decir que eiste un incertidumbre derivd de ft de informción de cómo constituir o cuntificr e vor de riesgo, donde e riesgo es contingenci o proimidd dño y est contingenci puede o no suceder corto pzo, por o tnto, consciente o inconscientemente todos nuestros ctos son un sucesión de riesgos y e conocimiento permite reducir os efectos de mismo o en cuyo cso doptr mejores medids pr enfrentro; este tipo de riesgos pueden ser sobre propi eistenci o incuyo sobre bienes mteries. Arnd & Cstio UNAM

2 En est virtud, hoy en dí vorción de incertidumbre puede por o tnto, ser representd por medids cuntittivs que refejn un vor esperdo, determindo medinte modeos mtemáticos en que se incuyen discipins corretivs como probbiidd, estdístic, finnzs y economí entre otrs, con independenci de que en determindos momentos puedn surgir situciones ctstrófics esencimente normes o puedn trnscurrir períodos de tiempo con beneficio innegbe pr quienes ejercen e seguro, o norm es que os siniestros tengn un frecuenci y un intensidd retivmente uniformes y se mnifiesten con periodicidd constnte en un determindo pso de tiempo, fectndo por igu un determindo número de persons u objetos segurdos. obre estos principios, se puede hcer e estudio estdístico de probbiidd medi de siniestro y fijr e precio de t probbiidd, que se e denomin prim de riesgo, pr eo, se referirá su cuntificción por frecuenci y severidd, es decir, probbiidd de ocurrenci y e vor que represent e mteriizrse e riesgo, respectivmente. En e cso de seguro de vid, determinción de prim corresponde vor esperdo de indemnizción en e tiempo, en form gener indemnizción corresponde vor presente de dicho pgo, socido su función de probbiidd que en form gener invoucr un ts interés de inversión de recurso indemnizr, dicho concepto se e denomin prim net únic (PNU) de seguro, definmos ést como: b v gk = PNU = E [ Z ] = () t bt v ft () t dt Donde en primer epresión, se prevé e pgo de indemnizción b por fecimiento de individuo de edd fin de ño póiz ( ), es decir, corresponde un modeo discreto, en tnto que en segund epresión b t, corresponde indemnizción que se efecturá instnte ( t ) de fecimiento de individuo de edd, es decir, corresponde un modeo de tipo continuo. En est virtud, e vor esperdo de indemnizción, simboizdo como Z, constituye vribe etori de dicho pgo en e tiempo y tomrá e vor K bk v K =,,,.. Z = () T bt v T pr e cso discreto y continuo, respectivmente. Arnd & Cstio UNAM

3 K En form prticur, v T y v, indicn e vor presente de vribe etori de indemnizción en e tiempo, y se fin de ño en que se pg e siniestro (fecimiento) ocurrido dentro de ño póiz o en form inmedit, respectivmente, por o tnto e término T es un vribe etori de tiempo, socido vor presente de pgo inmedito, es decir, represent e tiempo futuro pr un person de edd ntes de ocurrir su muerte - de quí en dente simboizd por () - y K es vribe etori de ños competdos o vividos por () ntes de ocurrir su muerte, es decir K = T, dichos pgos estrán socidos su función de probbiidd gk ( ) y ft () t, pr e cso discreto y continuo, respectivmente, en prticur. K () g = q =,,,... f t = p µ () t t T t (c) e sbe que fuerz de mortidd bjo teorí de envejecimiento uniforme (Mehm-Gomper z) es e fctor predominnte pr describir que e riesgo por fecimiento que sume un compñí de seguros es creciente con e tiempo, en est virtud, e pretender estbecer un proceso donde eist un equidd entre e riesgo sumido por compñí de seguros y prim comprometid cubrir por un soicitnte de seguro en e tiempo, origin definir genermente un prim net nived (P) fech de ceebrción de contrto, cu se obtiene mortizr cturimente PNU de seguro con periodo máimo definido como vigenci de riesgo sumido, es decir, P estrá condiciond eistenci o sobrevivenci de individuo segurdo. Pr fines prácticos, en un compñí de seguros se prevé e pgo de indemnizción instnte de fecimiento de individuo (), en tnto que P crgo de segurdo ntes de recrgos, se prevé en form nu y nticipd, es decir, inicio de cd ño o fech de niversrio de seguro pctdo; siguiente ecución de vor, represent este proceso. [ ] P E[ Y] E Z (3) = (4) Donde e vor esperdo de indemnizción versus prim ntes de recrgos, comprometid cubrir por () y socid vor esperdo de pgo en e tiempo, permite determinr e vor de pgo de P, que esper compñí de seguros recibir por prte de segurdo, en prticur Y =, y represent K un vribe etori de conjunto de pgos socidos función de probbiidd gk, K =,,,... ; por o tnto, prim net nived E[ Z] resutnte es P =, que vist desde e punto de vist comerci, EY [ ] genermente es nu, pr después incorporr recrgos por dministrción, dquisición y mrgen de seguridd sobre e seguro, este proceso se e denomin prim de trif o de cobro (π ); estos recrgos pueden estr definidos como porcentje de π o como recrgos mir de sum segurd en Arnd & Cstio UNAM 3

4 riesgo; o combinción de es, su estructur conceptu, instnte en que se pct e seguro es K donde % [ ] [ ] π π A (5) π* EY = P* EY E R Y E R A Y R, simboiz os recrgos mir sobre sum segurd A A, pctd en cd ño y socid vor esperdo de vribe A etori de conjunto de pgos de prims; es decir, E R A Y y en % form semejnte R π, represent os recrgo como porcentje de prim de trif, socido vor esperdo de vribe etori de conjunto de % prims, es decir, E R π π Y, en gener mbs epresiones son vribes etoris socids su propio tiempo por ingreso de prims, por o tnto, prim de trif en form gener se integr por componentes de recrgo por dministrción, mrgen de seguridd y gstos de dquisición; puede eistir posibiidd de que todos eos sen bjos esquems de recrgos decrecientes en e tiempo, sin embrgo en práctic de seguro de vid os dos primeros conceptos genermente son constntes y pr e útimo es común observr esquems de recrgos constntes (nivedos) o decreciente en e tiempo. Bjo e proceso definido en epresión (5), prim net nived (P) de seguro pctdo, presentrá ecedentes inicio pr gunos -ños póiz, v q, es decir, respecto costo re de seguro por ño ( ) v q < P (6) donde q, represent probbiidd justd de sid definid dentro de un intervo nu pr un person de edd ( ), donde est probbiidd puede considerr efectos de seección ( f ) sobre ts de mortidd ( q ) y cducidd ( w ), cturimente q = q f w. En teorí, estos ecedentes en os primeros -ños, cumudos cturimente, finncirn os ftntes futuros prtir de gun, donde se cump que v q P, más ún, ecución de vor E[ Z] = P* E[ Y], definid edd (), fue formud con respecto su propio tiempo de vid T() ó K(), por o que repnter ecución de vor en gún periodo posterior edd, y considerndo P inicimente pctd, origin un inequidd; consideremos siguiente epresión pr ejempificr e cso discreto. [ ] * [ ] E Z P E Y (7) K( ) K K( ) () Es importnte indicr que e modeo de prim de trif, puede ser más sofisticdo, si se considern eementos diciones fujo de negocio de seguro, es decir, se puede considerr e proceso de fujo sobre cumución de prims e ingresos por inversiones, sujets recmciones por muerte, beneficios grntizdos y otros gstos sobre bse de inversión de os recursos que ingresn, definid por ts de interés, s vribes de mortidd y cducidd; todos estos eementos bjo un proceso recurrente, con bse eperienci de ño inmedito nterior. Arnd & Cstio UNAM 4

5 Est inequidd se d por e myor requerimiento en prim net nived un edd ( ), bst recordr que e efecto depende de función de distribución cu es siempre creciente, en est virtud compñí requerirá myor recurso ño con ño, De epresión (6), os ecedentes de prim en os primeros ños sirven pr constituir un fondo que posteriormente será disminuido cundo e riesgo de seguro de periodo se myor prim net nived, es decir, v q P, estos recursos cumudos cturimente se e denomin Reserv Mtemátic y es ecusivo de seguro de vid. Pr fines de náisis y de crácter iustrtivo, consideremos siguiente gráfic, donde se represent e comportmiento de un seguro totmente discreto tempor n-ños, con pgo de sum segurd unitri y con pgo de prims imitd m-ños, donde m n y mn, Ζ ; Costo Riesgo P π vq Ecedente Costo de seguro re cd ño: vq 3... m n Gráfic vq cd ño =,,,... n, es creciente, en prticur e vor presente cturi de costo de riesgo de cd ño póiz edd (), es PNU de seguro pctdo y π represent prim de trif crgo de segurdo. Observemos que tendenci de riesgo ( ) Arnd & Cstio UNAM 5

6 En gráfic () se puede iustrr e cso de os seguros de vid con pgo de prim nu y recrgos nivedos, en donde descontr de prim trif (π ) dichos recrgos se obtiene precismente prim net nived ( P ) de ño. Costo Riesgo π Nm, n Gdm α Nm, n Nm, M δ Nm, n Gdq Ecedente P Nm, N β Ecedente α Nm, 3 α Nm, 4 vq α v q Nm, Costo de seguro re cd ño: m Gráfic 3... m n Nm, n Donde ( Gdm ) Nm, n Nm, n e mrgen de seguridd y Vigenci represent e recrgo por dministrción, M Gdq e gsto de dquisición, en todo eos e índice superior denot que son de tipo nivedo (N) y imitdo m-ños, incuso m que es e número de pgos que en form nu y nticipd reiz e segurdo puede ser igu durción de seguro( m n) ; y e subíndice (), define e ño de póiz en que se pic; =,,, Pr este tipo de esquem, donde os recrgos son de tipo nivedo, reserv mtemátic se determin como e vor esperdo de obigción futur que sume compñí de seguros fech de vución de ño de estudio, menos e vor esperdo de s prim nets niveds por ingresr provenientes de prim de trif crgo de segurdo, tmbién en e ño de estudio, en prticur dd procedenci de P, reserv sí obtenid se e conoce como Reserv Mtemátic Pur, es decir, P no se ve fectd ño con ño descontr os recrgos definidos sobre prim de trif y metodoogí definid pr integrción de reserv se e conoce como método prospectivo y dicho proceso fue propuesto por primer vez por e cturio ingés Frncis Biey principios de sigo XIX. () Equivencis este método se tiene e mdo método retrospectivo, e cu consiste vur reserv mtemátic de prim nived inicio de ño póiz, como diferenci entre e vor esperdo de obigción sumid por e segurdo en cunto ingreso de prims y e vor esperdo de obigción que sume compñí de seguros; e periodo considerdo pr este efecto, será entre fech de inicio de póiz y fech requerid de vución, diferenci que deberá ser cumud cturimente est útim, otro método de vución es e denomindo método interctivo o de Fcer, donde e principio básico es considerr un fondo que se incremente por e ingreso de prims e intereses, vez que disminuye por e concepto de pgos efectudos por fecimiento. Arnd & Cstio UNAM 6

7 Cundo os recrgos provienen de un esquem de tipo decreciente -sóo bst que se uno de eos, por ejempo e gsto de dquisición ( Gdq, m )- picr e proceso descrito pr gráfic (), originrá tomr prte de prim net nived en os primeros ños de seguro y por consiguiente e concepto de reserv mtemátic definido nteriormente producirá vores negtivos en os primeros ños, por o que será necesrio reconsiderr definición de reserv mtemátic dd nteriormente. En prticur pr os primeros ños de vigenci de seguro,, Nm, n, m n Nm, n P < P =, donde P π Gdm Gdq M =, se usrá e símboo ( ) en notción, pr definir que os gstos de dquisición corresponden vores decrecientes en e tiempo, genermente dentro de os tres primeros ños, pr uego ser constnte pero menor gsto de dquisición nivedo que se obtiene medinte epresión (6) que más dente se desrrorá; en este cso en form gráfic se tiene. Riesgo Costo π Nm, n, Gdm α Nm, n Nm, M δ, m n Gdq e,m n Gdq 3 P,m n Gdq Ecedente Gdq,m n Nm vq Gdq v q Nm, n 4,5,... Costo de seguro re cd ño: Gráfic m n Vigenci Est probemátic de vores negtivos en reserv mtemátic dentro de os primeros ños fue borddo en su momento por August Zimer en 863, quien dvierte que, bjo estos esquems de gstos de dquisición decrecientes, e proceso trdicion de determinr reserv mtemátic con esquems de gstos de dquisición nivedos, ubic compñí de seguros en un situción de desequiibrio en os primeros ños, sí en su obr titud contribuciones teorí de s reservs de prims de seguros de vid, propone un sistem de prims esconds, de t mner que en e primer ño se teng un prim inferior prim nived, destinndo diferenci cubrir gstos de primer ño. Arnd & Cstio UNAM 7

8 En otrs pbrs, este sistem de reserv permitirá compñí de seguros reducir sus psivos (reserv), teniendo en cuent os tos costos por recrgos de primer ño y reizndo un provisión decud que genermente es e costo de seguro por e primer ño( vq ), proceso que se e denomin Reserv Mtemátic Modificd, e método sí propuesto estbece disminuir prim net nived de primer ño, estbeciendo pr eo un cot inferior, cu deberá ser suficiente pr cubrir por o menos os costos por recmciones en ese ño, prticuridd que se e conoce como istem de Reserv Año Tempor Preiminr (ATP). De proceso indicdo, cntidd que se puede tomr de prim de primer ño como préstmo pr futuros ños, deberá fuctur en e intervo [, P - vq ]; donde P -dd s crcterístic de modeo-, corresponde prim net nived de primer ño, siguiente gráfic iustr e concepto. Riesgo Costo π Nm,, Gdm α Nm Nm, Nm, M δ Gdq,m EP P P 3 vq v q Préstmo P - vq Ecedente Costo de seguro re cd ño: vq Gráfic m n Vigenci En términos generes, e sistem modificdo de reservs se conceptuiz, no como e conjunto de prims niveds P, P, P m con e que en form inici se hn determindo s obigciones de segurdo, si no como mod mod un conjunto de prims modificds, denotds como P y P, pr e primero y segundo ño respectivmente y en form prticur igu prtir de mod mod mod segundo ño de vigenci, es decir, P = P3 = P 4 =..., por o tnto, e conjunto nterior de prims, deben ser determinds de form t que cump condición de que e vor presente cturi de s prims P, P, P m, se equivente vor presente cturi de s prims modificds. m m mod mod = = (,n) = = (8) P P v p P v p A Arnd & Cstio UNAM 8

9 mod En prticur P no podrá ser menor costo de recmción esperdo de primer ño ( vq ) y A (,n) denotrá form genéric pr definir prim net mod únic de un seguro de vid n ños, por o tnto P será prim modificd de primer ño determinr de un conjunto de prims imitd m ños o incuso igu durción de seguro; m=n, considerndo pr su modeción cturi dos spectos importntes: ) Qué tnto en vor en préstmo se deberá considerr?, bjo e supuesto de que e préstmo debe fuctur en e intervo [, P - vq ] ) Cuá es e tiempo de mortizción o recuperción de éste? En gener, e probem resover tñe más cuestiones práctics de comerciizción de seguro, en donde dinámic de os gstos decrecientes de dquisición determin e vor de prim de primer ño; sin embrgo, no es imittivo e considerr posibiidd de esquems donde se dispong en préstmo os recursos incuso de segundo ño, origindo con eo un diversidd de modeos, entre os modeos de sistem modificdos se tiene os siguientes: Método Iinois estándr Método Cndiense Comisiondos En prticur en Méico, durnte e periodo de 943 3, se doptó pr e cso de prims de trif con gstos de dquisición decrecientes e sistem de reserv Año Tempor Preiminr (ATP), bjo dos vrintes de modeción, denomindos. Año Tempor Preiminr Competo (ATPC) Año Tempor Preiminr Modificdo (ATPM) u diferenci se bs en temporidd de producto, form de pgo y os esquems de gstos invoucrdos, todos eos pr formución de mod prim modificd de primer ño ( P ). mod En form gener, pr modeción de P, se observ en práctic que os seguros de vid enter con pgos de prims imitdos y os seguros dotes de durción cort, considern tos gstos de dquisición en e primer ño que os que remente son necesrios; en est virtud, se estbeció s siguientes considerciones definids en s epresiones (9) (3) pr determinción de prim modificd de primer ño y de reserv modificd correspondiente, es decir, Arnd & Cstio UNAM 9

10 si PNN de pn de que se trte es menor o igu PNN de un seguro dot con temporidd ños PNN se pic e método denomindo: de pn de que se trte dot n : : PNN (9) Año Tempor Preiminr Competo (ATPC) en este cso, compñí podrá disponer de todo e préstmo: P - vq Por o tnto, prim modificd de primer ño pr epresión (8) es: mod P = v q () en cso contrrio, se considerrá e método denomindo: Año Tempor Preiminr Modificdo (ATPM) donde compñí podrá disponer como préstmo diferenci que resut entre prim net nived de dot con temporidd ños y prim net nived de pn de que se trte. Por o tnto, prim modificd de primer ño pr epresión (8) será: P = v q PNN PN () mod de pn de que se trte dot :n : En mbos csos: L prim modificd de segundo ño en dente será: mod A mod ( n, ) P P = vp : m =,3,... () y su reserv mtemátic modificd: mod ( V P ) ( i) q V = p =,3,.. (3) En e mes de septiembre de 3, se pubicó en e dirio ofici de federción (DOF) form y términos pr vur Reserv de Riesgos en Curso de seguro de vid corto y rgo pzo -éste útimo denomindo Reserv Mtemátic-, estbeciéndose como punto princip suficienci de ésts. En prticur, premis unque no se indic- se bs en estbecer un modeo de sistem de reserv proveniente de gstos de dquisición de tipo decreciente, por o tnto, cot inferior pr su constitución denomind Reserv Mínim, prte de ide propuest por Zimer y no imit e poder considerr e método denomindo ATP siempre y cundo éste, se superior modeo de Reserv Mínim que se muestr en e documento ofici, en otrs pbrs, reserv riesgos en curso pr os seguros con temporidd superior un ño, no podrá ser inferior reserv que se obteng medinte picción de método cturi denomindo Reserv Mínim. Arnd & Cstio UNAM

11 En s siguientes págins no se pretende trnscribir e documento ofici ntes citdo, si no por e contrrio se pretende presentr en form nític deducción mtemátic de s epresiones mostrds, en virtud de crecer de un bibiogrfí o fuente documentd que borde e proceso correspondiente y compementr circur -..7 pr e cso de vor de rescte. MODELO ACTUARIAL DE LA REERVA MÍNIMA. E conteto de método pr e sector segurdor meicno, se bs en e estudio rcion de préstmo -y borddo por Zimer-, que se obtiene en e primer ño considerr por seprdo os efectos de:, m n Costo de dquisición decreciente ( Gdq ) versus costo de dquisición Nm, nivedo ( Gdq ), referidos en porción de Prim de Trif, es decir,, m N, m Gdq Gdq π, que se e denomin pérdid esperd de primer ño, denotd con PE ; y L prim net nived de producto que se trte versus su costo de seguro en ese ño, es decir, P - vq, cntidd que se e denomin prim de horro de primer ño (PAH ) Tomndo en considerción o nterior, cntidd en préstmo deberá fuctur dentro de intervo [, P - vq ], en prticur vq es e costo re de seguro en e primer ño, que denotremos como C, en est virtud pérdid esperd de primer ño (PE ) no podrá ser myor cot superior de préstmo propuesto por Zimer; por o que cturimente debe cumpirse que:, m N, m Gdq Gdq π P C (4) Por o tnto, e préstmo será e mínimo entre PE y PAH, cntidd que se e denominrá Pérdid Amortizbe de primer ño y su epresión será PA (, ) = Mín PE PAH (5) CAdq =, se obtiene N en prticur e costo de dquisición nivedo (,,..., m) mortizr cturimente e vor presente cturi de os gstos de dquisición de tipo decreciente inicio de vigenci de seguro medinte e siguiente proceso. CAdq = CAdq =... = CAdq = m Nm, Nm, Nm, = m m CAdq v p = v, m p (6) Arnd & Cstio UNAM

12 A efecto de ejempificr o nterior, en gráfic (5) muestr reción eistente entre pérdid esperd y prim de horro, mbs en e primer ño; y ee efecto de os recrgos invoucrdos. Riesgo Costo π Nm, n Gdm, Gdm Nm, n, M M β EP P P 3 Nm n Nm n v q,, ( m N m PE = Cdq Cdq ) π Ecedente PAH = P v q Costo de seguro re cd ño: Gdq Nm,,,..., m vq Gráfic m n Vigenci L cntidd sí obtenid ( PA ) en préstmo deberá ser mortizd durnte e periodo restnte de ingreso de prims, es decir, prtir de segundo Am, un vez que se hy ctuizdo ño de vigenci de seguro cturimente fin de primer ño de vigenci de seguro ( ct f ), pr este efecto, se consider un ts de inversión fij nu de interés (i), que picd sobre e tot de segurdos ( ), definirá cturimente su ctuizción suficiente pr os sobrevivientes de edd (); gráficmente, se tiene. PA PA ( i) = ct f Gráfic 6 PA L ctuizción de préstmo fin de primer ño es ct f = y E mortizción de préstmo h reconocer prtir de inicio de segundo ño de vigenci y hst e periodo m de prims, corresponde vor presente cturi de s cntiddes Cm = Cm3 = = Cmm, como incógnits de modeo, por o tnto, s cntiddes de mortizción Cm =,3,..., m se obtiene como Act f PA Cm =,3,..., m = = (7) E : m : m Arnd & Cstio UNAM

13 Así e vor presente cturi de s cntiddes constntes de préstmo( Cm =,3,..., m), deberán ser descontds de reserv mtemátic de prims niveds cd ño =,3,..., m; o nterior, con objeto de retribuir en os subsecuentes periodos de ingreso de prims cntidd en préstmo que se efectuó en e primer ño de vigenci de seguro. Por o tnto, e comportmiento gráfico prtir de segundo ño de vigenci de seguro es Cm Cm Cm m Gráfic 7 Año de vigenci =,3,..., m m y e vor presente cturi de Cm =,3,..., m prtir de segundo ño de AM =, vigenci de seguro, definido como nuidd de mortizción (,3,..., m) qued definid como AM PA = =,3,..., m ( ): m ( ) E : m (8) sí reserv mtemátic termin modificd mínim ( V Mín mod ), prtir de segundo ño de vigenci de seguro, será determind como diferenci entre reserv mtemátic pur( V ) y e vor presente cturi de s cntiddes en préstmo por mortizr( AM ). V AM =,3,..., m Mín (9) Vmod = V = m,..., n ( V m No obstnte o nterior, e cácuo de reserv mtemátic modificd ) que propong un institución de seguros, no podrá ser menor que resute de denomind Reserv Mínim, cu constituye cot inferior Mín de os sistems modificdos de reserv, es decir. V mod m Mín V,3,..., Vmod = m Arnd & Cstio UNAM 3

14 Por o que respect reserv mtemátic de sistem de reserv mínim ect dentro de primer ño de vigenci de seguro, pr cuquier vor s [,365], donde s represent e dí, deberá considerr dos spectos importntes: ) E costo esperdo de siniestridd de primer ño ( vq ) devengdo, e cu corresponde costo re inicio de primer ño de vigenci de seguro; y b) E ecedente, si o hubier, entre prim de horro y pérdid mortizbe; rzonmiento y descrito pr epresión (5). Ddo que e objetivo conforme supuesto de Zimer de constituir por o menos e costo de seguro de primer ño y bjo e supuesto de distribución uniforme de fecimientos, se tiene que dichs cntiddes cumuds cturimente dí s dentro de primer ño de vigenci de seguro pr un edd s, es: 365 V Mín s s mod s 365 s [ ] 365 v q PAH PA i PAH > PA 365 en cso contrrio 365 s v q 365 s [,365 ] () o en su form más estructurd V Mín s mod 365 s 365 s v q má[, PAH PA]( i) s 365 q () Epresión que vrí en e denomindor definid en e documento ofici ntes citdo y definido en circur -..7., y que consider p, pero este efecto se justific bjo e supuesto de distribución uniforme de fecimientos, es decir, t p µ () t = q; t [,], por o que resut úti pr efectos prácticos de compñí segurdor, de igu form, en este punto, se denot con V reserv en estudio, por o que pr efectos de consistenci Mín de notción cturi debier ser, y que e objetivo es epresr V s mod 365 reserv ect un dí s específico, dentro de primer ño de vigenci de seguro. Arnd & Cstio UNAM 4

15 REERVA EXACTA MODIFICADA MÍNIMA Ls epresiones (9) y () corresponden proceso de reserv mtemátic modificd mínim pr cd ño póiz =,3,,..., n y reserv ect dentro de primer ño de vigenci de seguro, respectivmente, sin embrgo, pr competr e náisis sobre de reserv mtemátic mínim, es necesrio definir e proceso pr un vor s posterior primer ño de vigenci de seguro, necesrio pr os reportes intermedios de ño póiz o de tipo fisc-contbe. Por o tnto, igu que en e náisis efectudo dentro de primer ño de vigenci de seguro, reserv mtemátic modificd mínim pr cd ño =,3,,..., n, debe cumpir que V V P Cm V () Mín Mín Mín s mod mod =,3,...,, mod m 365 donde P represent prim net nived y Cm =,3,..., m es cntidd de mortizción y ntes nizd, es est virtud, inicio de cd periodo se tiene reserv, prim net ntes de recrgos y cntidd de mortizción, en form gráfic su comportmiento es e siguiente. V P Cm Mín mod =,3,..., m V Mín mod ª ño póiz ª ño póiz ª ño póiz - t n Gráfic 8 ª ño fisc pr es póiz ª ño fisc pr es póiz ª ño fisc pr es póiz Mín s mod 365 Mín Mín mod mod,3,...,, Mín sv V P Cm = m Vmod 365 V Arnd & Cstio UNAM 5

16 u proimción considerndo e mismo supuesto de distribución uniforme de siniestridd y ntes visto, corresponde vor inici de reserv en e ño (-) y porción o prte de incremento entre e vor fin de reserv ño () y su vor inici (-), es decir, donde V V P PA s V (3) Mín Mín Mín s mod Ect mod mod 365 E 365 : m Mín Mín Mín Vmod = Vmod Vmod P PA E : m (3) (4) y reizndo s simpificciones correspondientes, se tiene que reserv ect modificd mínim pr un ño =,3,,..., s,365 es n y [ ] s 365 V Mín mod Ect s Mín 365 s Mín PA Vmod Vmod P E : m =,..., m s Mín 365 s Mín Vmod Vmod = m, m,... n (5) Observemos que segund epresión es un consecuenci direct de gotmiento de reconocimiento de préstmo, definido durnte e periodo de pgo de prims imitds. Es común definir pr efectos contbes (fisces) e concepto de reserv medi, cu tiene como supuesto que distribución de emisión de crter es de tipo uniforme dentro de intervo de ño póiz y que en conjunto bjo e teorem de imite centr, e vor esperdo de crter es ½ y con eo simpificr e reporte de reserv 3 de diciembre de cd ño; por o tnto, bst considerr que frcción s/365 de epresión (5) se ½, y su interpretción que se tiene es como si todo crter se hubier emitido mitd de ño. En form gener, e modeo propuesto se bs en un sóo decremento y pgos nues, sin embrgo, en csos especies deberá hcerse s decuciones necesris conforme s cuss invoucrds y tipo de pgo frcciondo efectudo dentro de ño póiz. Arnd & Cstio UNAM 6

17 Considerciones especies Reserv (Provisión) de Gstos de Administrción Desde e punto de vist dministrtivo, os seguros con pgo de prims en form imitd m-ños o con periodicidd de pgo de prims menor periodo de cobertur básic, deberá prever un reserv o provisión por os gstos de dministrción u operción generrse posteriores fech de ingreso de útim prim recibid, independientemente de esquem de gstos de dministrción de seguro, es decir, sen nivedo o decreciente. Est provisión se ogr distribuyendo cturimente e conjunto de recrgos por dministrción que se esper tener en form imitd, durnte e periodo de cobertur u objeto de seguro, proceso que se e denomin Reserv (Provisión) de Gstos de Administrción, bjo est definición, os gstos de Nn, dministrción nivedos n ños ( Gdm ) que se obtiene por e ingreso de prims de trif en os próimos m ños, considerndo un seguro tempor n ños es Gdm = m Nn, = n Gdm v p = v Nm, =,,,..., n y su comportmiento gráfico es e siguiente. p (6) Riesgo Costo Gdm Nm,,,..., m Nm, M π β EP P P 3 M Nm, v q,, ( m N m PE = Cdq Cdq ) π Ecedente PAH = P v q Costo de seguro re cd ño: Gdm Gdq Nn, Nm,,,..., m vq 3... m n Gdm > Gdm Nm, Nn, =,,,.., m en Gdm y Nm, =,,,.., m, m,..., n en Gdm Nn, Gráfic 9 Arnd & Cstio UNAM 7

18 Por o tnto, Reserv de Gstos de Administrción nu, bjo un proceso de cumución cturi interctiv o modeo de Fcer, se integrrá RG más diferenci entre e con reserv constituir inicio de periodo Nm, gsto de dministrción definido en e modeo de prim de trif ( Gdm ) Nn, y que se obtiene en form nived pr e periodo de seguro( Gdm ), es decir Nm, Nn, RG = RG Gdm Gdm ( i) (7) que en form gráfic su deducción se obtiene de proceso interctivo entre os ños y, como se muestr continución. Nm, Nn, ( ) RG Gdm Gdm RG ( i) m.. n Gráfic Gdm > Gdm Nm, Nn, =,,,..., m Gdm Gdm Nm, Nn, = > = m, m,... n En este proceso de prims, por o tnto. Gdm > Gdm en os primeros m periodos de pgo Nm, Nn, RG ( ) Nm, Nn, RG Gdm Gdm i =,,,..., m p = Nn, RG Gdm ( i) = m, m,... n p (8) En form específic en =, reserv de gstos RG = Bjo un rzonmiento semejnte, efectudo pr obtener epresión (5) retiv Reserv Modificd Mínim ect, nos permitirá obtener Reserv de Gstos de Administrción en form ect. Arnd & Cstio UNAM 8

19 Consideremos que est reserv se requiere determinr s dís después s de ño póiz, por o tnto reserv requerid en e tiempo, estrá 365 definid entre os tiempos y ; =,,,... de siguiente form. RG s 365 s 365 s Nm, Nn, RG RG Gdm Gdm =,,,3,... m = s 365 s Nn, RG 365 RG Gdm 365 = m, m,..., n (9) Bjo un rzonmiento semejnte pr e cácuo de reserv medi, si frcción s/365 es sustituid por ½, se obtendrá pr reserv medi de gstos de dministrción pr efectos fisces. VALOR DE RECATE En egisción Meicn se estbece en Ley sobre e contrto de seguro (LC) 3, un prticuridd en os seguros de vid con esquems de cobertur de temporidd myor o igu diez ños, indicndo que pr queos csos donde después de hber cubierto tres nuiddes consecutivs de pgo de prims, e segurdo tendrá derecho reemboso inmedito de un prte de reserv mtemátic, ddo o nterior, en form intuitiv e inici e reemboso o vor de rescte, definido sí en práctic cturi, en su form rcion deberá corresponder reserv mtemátic termin que se teng fech de su requerimiento conjuntmente con prim nu descontd de recrgos menos os recrgos pendiente de ingreso por ft de prims, es decir, como vor de penizción, en otrs pbrs descontr e vor esperdo de os ingreso futuros previsto como compromiso y definido en prim de trif. Este proceso en su form intuitiv es siguiente VR = V P Futuros Gstos, = 3,4,..., m (3) es e ño de vución. (3) LC: Ley obre e Contrto de eguro: Art. 8. E segurdo que hy cubierto tres nuiddes consecutivs, tendrá derecho reemboso inmedito de un prte de reserv mtemátic, de cuerdo tmbién con s norms técnics estbecids pr e cso, s cues deberán figurr en póiz. Art. 84. E seguro tempor cuy durción se inferior diez ños, no obigrá empres conceder vores grntizdos pr e cso de muerte. Arnd & Cstio UNAM 9

20 Estos futuros gstos, se deben conceptuizr como os gstos no incurridos por e segurdo, derivdo de cnceción de póiz, un cundo prim de riesgo pudier hberse formudo con fctores de cnceción. Dichos gstos no incurridos en form práctic son os de dministrción, dquisición y e mrgen de seguridd, definido en ecución de vor pr determinción de prim de trif, os cues deberán ser considerdos como vores de penizción sobre reserv mtemátic en cso de rescte un vez ingresd tercer prim nu. Como se definió inicio de este documento, prim de trif o de cobro (π ), epresión (5), present en su estructur conceptu reción siguiente. % π [ ] [ ] π π* EY = P* EY E R Y E R A Y; =,,,... A (3) Donde e vor esperdo de conjunto de prims de trif, debe ser equivente vor esperdo de conjunto de prims nets nives( P ) más os % recrgos esperdos, definidos como porcentje de prim de trif ( R π π ) A mir de sum segurd pctd ( R A ) o o combinción de mbs ño (); por o tnto, redefiniendo epresión (3) pr efecto de ser congruente con vribe etori socid K(), se tiene que os futuros gstos, un vez ingresd tercer prim nu, es: Futuros Gstos ; =, = π A E Dif ( R ) π Y E Dif ( R ) A Y ; =,3, 4,...9,... % (3) in embrgo, este esquem bjo e concepto de recrgos nivedos su vor es nuo, y que e vor esperdo de s diferencis es cero, o que d como resutdo que e vor de rescte prtir de tercer ño de vigenci de seguro se propi reserv mtemátic y prim de ingresos sin recrgos, situción que contrdice disposición definid en LC, decir, tendrá derecho reemboso inmedito de un prte de reserv mtemátic,. Por otr prte, se indic que será de cuerdo con s norms técnics estbecids pr e cso, sin embrgo, en práctic se h propuesto modeos bsdos en fctores de ponderción sobre reserv mtemátic prtir de tercer ño, consistente en un 75% de reserv mtemátic e incrementd en form ine pr egr un % sobre reserv mtemátic de útimo ño de vución y en otros csos se h propuesto e modeo definido en s epresiones (3) y (3), sin embrgo pr e cso de seguros con esquems de recrgos nivedos no es fctibe ddo e rzonmiento mostrdo en epresión (3) y que se demostrrá en e desrroo de s epresiones (53) y de (68) (7) que más dente se obtienen. Arnd & Cstio UNAM

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