Modelos Estocásticos en Econometría Financiera, Gestión de Riesgos y Actuaría

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1 Modelos Estocásticos en Econometría Financiera, Gestión de Riesgos y Actuaría

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3 MODELOS ESTOCÁSTICOS en Econometría Financiera, Gestión de Riesgos y Actuaría MINICURSO PARA EL VIII COLOQUIO INTERNACIONAL DE ESTADÍSTICA Junio 29 Julio 1 de 2011 Universidad Nacional de Colombia ITM Medellín NORMAN GIRALDO GÓMEZ Profesor Asociado Escuela de Estadística Universidad Nacional de Colombia Medellín Universidad Nacional de Colombia Medellín

4 Copyright c 2011 Norman Diego Giraldo Gómez. Primera Edición No está permitido reproducir esta publicación o transmitirla por cualquier forma o medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, escaneo ó de otro tipo excepto para citas cortas, sin el permiso del Autor. Centro de Documentación Rafael Botero, UN Medellín Los Modelos Estocásticos / Norman Diego Giraldo Gómez. p. cm. (Colección Notas de Clase) Universidad Nacional de Colombia." Incluye referencias bibliográficas e índice. 1. Probabilidades Teoría. 2. Matemáticas Ciencias Investigación Teoría. I. Giraldo, Norman D. II. Series G897c Diagramación en LaTeX.

5 Índice general 1. Introducción al Curso Introducción Las Políticas Económicas Recientes y Los Mercados de Capitales El Problema de Financiamiento de Pensiones en los Sistemas de Ahorro Individual El Riesgo de Mercado en los Portafolios Pensionales La Influencia de los Métodos Actuariales Clásicos en la Gestión de Riesgos 4 2. Modelos Actuariales de Seguros de Bienes Introducción Seguros de Bienes El Modelo de Riesgo Colectivo Distribuciones Compuestas Modelamiento de las variables N y X j Métodos de Aproximación de Distribuciones Compuestas Principios de Cálculo de Primas v

6 vi 2.6. Reaseguros Cálculo de la Retención: Control Estocástico Optimo Modelos de Riesgo de Mercado Introducción El Modelo de Media Varianza de Markowitz Rendimientos Portafolios Determinación del Portafolio Optimo El Modelo CAPM y La propiedad de Diversificación Medidas de Riesgos de Portafolios: el VaR Métodos para el Cálculo del VaR Medidas Coherentes de Riesgo El Capital en Riesgo El Modelo de Marcha Aleatoria El Modelo de Marcha Aleatoria Características Empíricas de los Rendimientos de Activos Financieros Modelos para la Distribución de los Rendimientos Marcha Aleatoria Marcha Aleatoria LogNormal Modelos GARCH Procesos EGARCH Análisis Estadístico de Procesos GARCH Distribución Normal Inversa Gaussiana NIG Distribución GED Asimétrica Distribución t de Student Asimétrica Cálculo del VaR con Modelos GARCH, y Cópula GARCH

7 5. Modelos Actuariales para Riesgo Operativo Introducción al Riesgo Operativo SARO: Sistema de Administración de Riesgo Operativo El Cálculo de las Provisiones en SARO El enfoque No Avanzado El Enfoque Avanzado: Modelos Actuariales Método LDA (Loss Distribution Analysis) La Estimación de las Distribuciones de Frecuencia y Severidad de Pérdidas Operativas Método EVT POT (Extreme Value Theory Peaks Over Threshold) La Teoría de Valores Extremos Procedimiento de Cálculo del percentil q de X Cálculo del VaR por el Método POT Estadísticos para Análisis de Datos Extremos Ejemplo de Procedimiento en R para aplicar LDA y POT Análisis POT Análisis LDA vii 6. Modelos Actuariales para Riesgo de Crédito Introducción: El Modelo de Riesgo Individual El Modelo SARC con Base en el Modelo de Riesgo Individual El Modelo Credit Risk Bibliografía 112 Índice alfabético 112

8 viii

9 Índice de figuras 2.1. Trayectoria de R(t) para 50 semanas Fronteras óptimas para el primer trimestre Distribución de Pérdidas Totales Teórica Prueba Gráfica: comparación en la cola derecha, en Moscadelli (2004), pag VMR de Seis Servicios Médicos en la Caja de Previsión Medellín Tasas de Recuperación Resultados de Simulación del Modelo CreditRisk ix

10 x

11 Índice de cuadros 2.1. Comparación de las Propiedades de las Primas Líneas Comerciales de un Banco y ponderaciones Líneas Comerciales y Tipos de Eventos Totales de seis servicios Año 1991 CPS Medellín Percentiles Costos de Odontología en 1991 CPS Medellín Categorías de Mora e Intervalos de Tiempo xi

12 xii

13 CAPÍTULO 1 Introducción al Curso 1.1. Introducción En este minicurso se examina, a un nivel elemental y necesariamente limitado, por lo extenso y altamente técnico de los temas involucrados, las relaciones entre los modelos estocásticos que han surgido en las áreas de econometría financiera, la medición y previsión de riesgos financieros y la matemática de los seguros ó actuaría. En especial cómo un modelo probabilístico abstracto, la suma aleatoria de variables aleatorias, ha sido aplicado en áreas relacionadas tales como la actuaría de seguros generales, el reaseguro, la gestión de riesgos, operativo y crédito, y la econometría financiera, generando una fuerte interacción entre éstas campos 1.2. Las Políticas Económicas Recientes y Los Mercados de Capitales Un hecho para mencionar como motivación del curso es que desde la década de 1990 para acá, la regulación económica ha privilegiado el mercado de capitales frente al crédito 1

14 2 bancario, lo cual ha generado cambios radicales que explicarían el surgimiento de esta nuevas área de trabajo de la Gestión de Riesgos, acompañada con otras innovaciones como la introducción de Derivados Financieros. En especial, esa regulación ha afectado el financiamiento pensional en algunas economías. Antes de estos cambios, muchos países europeos y latinoamericanos tenían sistemas pensionales denominados de reparto simple. El sistema de pensiones del ISS, denominado de prima media con prestación definida es un sistema de reparto simple. Que dependían para su funcionamiento de un flujo de capital constante, producto de los aportes de los trabajadores afiliados al sistema. Este capital permitía conformar provisiones ó reservas individuales, una vez el trabajador adquiría el estatus de pensionado. Tales reservas se invertían en papeles de renta fija utilizando una técnica denominada inmunización. La idea de la inmunización es conformar un portafolio de papeles de renta fija que paguen intereses a la misma tasa de las pensiones y en las mismas fechas. De esta forma, las pensiones estaban es un esquema seguro. Pero esto cambió radicalmente en la década de los 90 del siglo XX. Toda la teoría actuarial desarrollada para los regímenes pensionales de prima media con prestación definida quedaron obsoletas.el trabajo del matemático y actuario de pensiones alemán, Peter Thullen, Thullen (1974), muestra el estado de desarrollo de esta teoría. En su reemplazo surgió (ó está surgiendo) una serie de métodos y de modelos, asociados al problema del financiamiento de pensiones mediante inversiones en el mercado de capitales. Esta es la primera hipótesis de este curso El Problema de Financiamiento de Pensiones en los Sistemas de Ahorro Individual Hipótesis 1.El surgimiento de métodos y modelos, asociados con el nombre de Econometría Financiera, se ha debido en gran parte a la necesidad de adaptar el financiamiento pensional al mercado de capitales. En una búsqueda de métodos para entender, modelar y controlar el flujo de capital de algunos productos financieros con el fin de generar un flujo capaz de sostener el pago de mesadas pensionales. Los métodos para conformar portafolios óptimos incluyen modificaciones al modelo inicial de Markowitz, pero ahora se busca disminuír las pérdidas por movimientos adversos del

15 mercado, por ejemplo, mediante las metodologías de optimización de medidas de riesgo como CVaR. También las metodologías de seguro de portafolios, que buscan igualmente garantizar una tasa mínima de rendimiento. Pero el desarrollo de las metodologías asociadas a la Gestión de Riesgos se pueden asociar también al problema de la búsqueda de un mayor control del riesgo a partir de su medición. El objetivo de la medición es determinar el grado de exposición en un portafolio que puede ser, sin embargo, óptimo. Las metodologías con base en derivados incluyen la utilización de opciones de venta sobre índices bursátiles, asociadas a estrategias de manejo de portafolios consistentes en replicación de índices sobre los que se transan tales opciones El Riesgo de Mercado en los Portafolios Pensionales Suponga un pensionado de edad (x). En su cuenta del fondo pensional su saldo es de $C, que, traducido a un número de unidades es K unidades. Suponga que (x) retira anualmente 0.04K. Espera que el rendimiento de los saldos consecutivos, invertidos en el fondo, compensen los retiros y permita que duren hasta el final de su vida. Pero el portafolio se puede ver afectado negativamente por el mercado y el valor de la unidad puede disminuír. En este caso, (x) necesitará retirar 0.06K, para cubrir sus gastos. Su saldo en unidades ha disminuído a menos que ocurra un aumento en el valor de la unidad. Cómo puede evitarse ésto?. Parte de los modelos y las metodologías de la Econometría Financiera están orientados a buscar estabilizar los rendimientos de los fondos pensionales para poder realizar cálculos similares a los que se tenían en la época de los sistemas de reparto simple. Estos desarrollos pueden verse en varios frentes. 1. A partir del modelo de media varianza de Markowitz se trata de diseñar criterios de optimización que minimicen el riesgo de pérdidas, en lugar de minimizar volatilidad. 2. Introducción de métodos robustos en la estimación de covarianzas que permita una mayor estabilidad de las soluciones óptimas en el tiempo. 3. Incidentalmente, estos objetivos han impulsado el uso de métodos de optimización basados en algoritmos genéticos y evolutivos.

16 4 4. Introducción de Seguros de Portafolios, que incluyen el diseño de portafolios con una tasa preferencial, y portafolios con garantías de rendimientos mínimos, a un costo adicional. 5. El diseño de mejores indicadores de riesgo, con variaciones del VaR 1.5. La Influencia de los Métodos Actuariales Clásicos en la Gestión de Riesgos Hipótesis 2. Varios de los modelos y métodos utilizados en Gestión de Riesgos de Mercado, de Crédito y Operativo, provienen del área de la Actuaría de Seguros Generales ó Teoría de Riesgo Cómo se define Gestión de Riesgos? Algún autor señalaba que no es posible gestionar el riesgo, en el sentido de controlarlo ó eliminarlo. En este punto parece ser particularmente difícil tomar una decisión a juzgar por desarrollos como el credit scoring para definir el perfil de un deudor para determinar si entrará en default. O determinar el perfil del afiliado que generará mayores costos en una EPS. Algo que la industria aseguradora está discutiendo, sobre todo, a partir de los resultados sobre el genoma humano. Durante más de un siglo, la Industria Aseguradora ha mostrado cuál es el significado de la gestión ó administración del riesgo. Partiendo de una noción básica de riesgo asegurable, es decir, delimitado en cuanto al costo, gestionar significa dos cosas. 1. Evaluar el Riesgo mediante un Modelo realista y matemáticamente riguroso. 2. Cubrir el Riesgo mediante un sistema de dispersión del valor, que produzca una Reserva ó Provisión adecuada, que garantize la supervivencia financiera del sistema expuesto al Riesgo. Esto explicaría la influencia de los métodos actuariales en la gestión de riesgo actual. Por ejemplo, en el libro de McNeil, Frey, and Embrechts (2005) en el capítulo 10, Operational Risk and Insurance Analytics, sección The Case for Actuarial Methodology, los

17 autores explican por qué los métodos actuariales han tenido aplicación en la Gestión de Riesgo Operativo. En el curso se muestra que esto también es válido en el Riesgo de Crédito de Préstamos Bancarios. En el Riesgo de Mercado la aplicación está centrada en las metodologías para cálculo del VaR, que incluyen el uso de Cópulas para incorporar dependencia entre los riesgos. Pero estas metodologías parecen calcadas de los correspondientes métodos de cálculo de primas en seguros de bienes. Como señalan McNeil, Frey, and Embrechts (2005, pag. 472)...varios de los conceptos y técnicas de la Gestión Cuantitativa de Riesgos descrita en los capítulos anteriores están, de hecho, tomados de la literatura actuarial. Entre los conceptos, métodos y técnicas se pueden mencionar las siguientes (las partes en comillas son citas de ese texto ) Las medidas de riesgo financiero y su axiomatización han tenido un desarrollo paralelo al de las primas en los seguros generales, frecuentemente, con objetivos y resultados muy similares. Este punto es relevante. Por ejemplo, uno de los métodos para calcular primas en seguros generales y en reaseguros, el principio del máximo ó del percentil, es equivalente al VaR, el Valor en Riesgo. 2. De manera similar, el precio de una opción de compra ó de venta europea (call option, put option) es muy similar a la prima de un seguro de vida por ejemplo, de un dotal puro. 3. Muchas de las herramientas para modelamiento de la dependencia, como las cópulas, tuvieron su primera aplicación en el área de los seguros. Adicionalmente, nociones como la comonotonicidad de factores de riesgo tiene su origin en cuestiones actuariales. 4. El modelamiento de datos extremos, aunque con contribuciones importantes desde la hidrología, ha sido también un área de desarrollo actuarial. En el contexto de ciertos ramos, como incendio, inundaciones, terremoto, la ocurrencia de siniestros de baja frecuencia y alto costo ha sido siempre el problema a enfrentar con desarrollos tales como las distintas formas de reaseguros. 5. En área de Gestión de Riesgo de Crédito de Títulos Valores como Bonos, CDT, etc, el modelo CreditRisk+ es un modelo actuarial.

18 6 Un tema que se desarrolla en el curso son los métodos para calcular reservas ó provisiones. El concepto de Valor en Riesgo en el área de Gestión de Riesgo corresponde, o proviene, del concepto de prima de riesgo, o prima de retención en el área de Teoría de Riesgo. Las propiedades de las medidas de riesgo, por ejemplo, la sub aditividad, se corresponden con las propiedades de las primas de los seguros. Y los distintos tipos de primas corresponden a su vez con los distintos métodos para calcular provisiones. Es decir, variantes del VaR. Por ejemplo, la inclusión de la asimetría y la curtosis en las fórmulas de... son similares a las fórmulas NP. La actuaría de seguros generales es un paradigma, un modelo matemático completo, en el cual se pueden ver las técnicas y las ideas para medir, controlar y diseminar el riesgo. La metodología del reaseguro, co aseguro, retro cesiones, etc. son ideas que pueden explotarse al tratar en la gestion de riesgo. Una presentación de la actuaría de seguros generales, de los métodos y problemas actuales, con mención de algunos problemas de estimación estadística está en Embrechts and Klüppelberg (1993). Estos autores afirman que actualmente estamos asistiendo al surgimiento de una nueva rama de la ciencia que ellos denominan Insurance Mathematics, la cual es el resultado de la amalgama de teorías de diversos campos, entre los cuales incluyen: Teoría de Riesgo Matemáticas del Seguro de Vida Tarifación de Primas Teoría de Credibilidad Fondos de Pensiones Criterios de Solvencia Demografía Reservas Teoría matemática de Finanzas y Seguros Reaseguros Teoría de Supervivencia

19 CAPÍTULO 2 Modelos Actuariales de Seguros Bienes 2.1. Introducción. Los objetivos generales en la elaboración de un modelo de seguros son dos: 1. Establecer un balance entre los costos por indemnización más los costos administrativos, por una parte, y la prima recaudada más los rendimientos de las reservas, por el otro. Este objetivo se desarrolla con argumentos probabilísticos porque la prima se define mediante una condición de minimización de la probabilidad de ruina. Una fórmula clave es la expresión ó principio de cálculo de la prima. En los modelos de gestión de riesgo el énfasis es en la prima que en muchos casos es la única reserva generada. 2. Repartir esta prima entre las distintas pólizas que conforman un contrato. Este problema se denomina el problema de la tarifación. 7

20 Seguros de Bienes El Ramo de los Seguros de Bienes (Non Life Insurance), ó Seguros Generales, comprende varios tipos de Seguros que tienen como objetivo proteger el patrimonio contra la pérdida de un bien materia sobre el cual exista un interés asegurable. Es decir, que su poseedor sufra una pérdida financiera si el bien se destruye o deteriora. 1. Incendio, Anegación, Terremoto. a) Un banco podría perjudicarse si un bien dado como garantía en una hipoteca, se incendia y se deteriora, porque esa propiedad es una garantía para la deuda. b) Los datos de pagos de siniestros en el ramo de incendio por parte de las Aseguradoras son ejemplos de datos de distribuciones de colas pesadas. c) Son un ejemplo de un principio fundamental del seguro: el interés asegurable debe tener un máximo. Cuando los daños tienes distribuciones de cola pesada determinar ese máximo es un problema de estimación de un percentil. Y dá lugar a la figura del reaseguro. 2. Transportes de Mercancía: robo, deterioro. 3. Vehículos: robo, responsabilidad civil extracontractual (RCE), pérdida parcial. a) En vehículos por ejemplo, motos, se presenta un problema de alta frecuencia y posible cola pesada. La RCE puede generar siniestros muy costosos, como la indemnización por muerte. Calcular reservas para este tipo de pólizas puede ser difícil o imposible porque los riesgos de alta frecuencia no cumplen con otro principio de los seguros: la diseminación del riesgo entre muchos asegurados. 4. Lucro Cesante. Una propiedad con un cultivo de flores se anega por causa de una inundación. Un amparo puede ser la cobertura de los daños como tales, pero también el pago de salarios mientras se recupera la actividad productiva El Modelo de Riesgo Colectivo El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilístico con base en el cual se desarrolló la industria de los Seguros de Bienes. Con base en este modelo se desarrollan los conceptos básicos del seguro como tal.

21 9 1. Prima 2. Tarifación 3. Deducibles 4. Sistemas de Bonificación 5. Reservas 6. Probabilidad de Insolvencia ó Ruina 7. Reaseguros El Modelo de Riesgo Colectivo se basa en un tipo de variable aleatoria: la suma aleatoria de variables aleatorias N S = X j = X X N, (2.1) j=1 donde N {0, 1,...} es una variable discreta, con fdp p n = P(N = n), y (X j, j N) es una sucesión de variables aleatorias iid, independientes de N. En las aplicaciones en Seguros, las X j se tomas no negativas. En general, cuando se asume que X j R la variable S se denota a veces S N, y se define como una marcha aleatoria detenida (stopped random walk). Según Jewell (1980), el modelo (2.1) es un Paradigma Científico, en el mismo sentido de, por ejemplo, la ecuación de calor ó la ecuación de la cuerda vibrante. Es un modelo que se aplica en varias disciplinas. Por ejemplo, en Straub (1988), se menciona que (2.1) es un modelo que se aplica en i) Modelos para Represas Hidroeléctricas. ii) Teoría de Colas. iii) Confiabilidad. iv) Teoría de Inventarios Probabilística. v) Modelos de Seguros Generales.

22 10 vi) En el área de las finanzas un ejemplo es el modelo de difusión con saltos (jumpdifussion), que permite incorporar picos aislados de magnitud aleatoria (positiva ó negativa) en el modelo de rendimientos. Uno de los hechos estilizados observados en algunas series de precios. En particular, los rendimientos de fondos de fiducia muestran picos por efecto de valoración de bonos. Otro ejemplo importante consiste en los precios de la electricidad, más que todo en países con estaciones y que no dependen tanto de la generación hídrica. vii) Otro ejemplo en finanzas consiste en las opciones catástrofes. Es un mercado creado por aseguradoras para enfrentar los siniestros generados por huracanes sobre todo en el sur de los EUA. Definición del modelo de Riesgo Colectivo El Modelo de Riesgo Colectivo consiste de los siguientes elementos. i) Un proceso Poisson Homogéneo con tasa λ dado por (N(t), t 0). Representa el número de reclamos ocurridos en el intervalo (0, t]. Para el caso t = 1, N(1) es el número de casos de una vigencia anual. ii) Una sucesión de aleatorias independientes e identicamente distribuídas (X j, j = 1, 2,...), no negativas X j 0, independientes de N(t), con fda F(x) = P(X j x). La sucesión de variables X j son los pagos por reclamos de cada póliza. Por ejemplo, los costos generados por atención a usuarios en una especialidad médica en una EPS. Por eso se asume independientes. iii) Los pagos acumulados del los siniestros hasta t: S(t) = N(t) j=1 X j. Es una suma aleatoria de variables aleatorias. En el caso t = 1 son los costos totales anuales. Por ejemplo, los costos de odontología en 2010 de un EPS. O los pagos por RCE en una Cía de Seguros en el Seguro de Vehículos. iv) El Modelo de Riesgo Colectivo se define como el proceso R(t) = R 0 + Πt S(t), t 0 (2.2) donde R(0) = R 0 > 0, Π > 0 son constantes dadas, Π es la prima total para la vigencia de 1 año y R 0 es la reserva inicial. La interpretación de (??) es: Superávit = Reservas + Ingresos Gastos.

23 v) En el Modelo (2.2) se asume que R 0 está invertida en, por ejemplo, un fondo de fiducia, totalmente líquido, excento de riesgo. Además, la prima también se coloca en este fondo. Como es un modelo dinámico, los costos X j también se ajustan por inflación. Igualmente, el proceso N(t) se puede modificar a un proceso Poisson nohomogéneo, con tasa λ(t) variable, por ejemplo, en seguros de vehículos, adaptada a los períodos de lluvias y períodos secos. vi) La prima Π es el total recaudado por concepto de primas en 1 año. Un prima Π muy baja aumenta la probabilidad de insolvencia ó superávit negativo: R(t) < 0, porque atrae los riesgos altos y no permite una reserva adecuada. Una prima muy alta saca a la Aseguradora del mercado. Definir fórmulas adecuadas para la prima es fundamental. 11 Definiciones y Propiedades Adicionales Algunas definiciones y propiedades adicionales del Modelo de Riesgo Colectivo se requieren para los temas que siguen. a) La función generadora de momentos (fgm) de S P C(λ, F) está dada por donde M X (t) es la fgm de las variables X j. M S (t) := E(e ts ) = e λ(m X(t) 1). (2.3) b) El Coeficiente de Ajuste. Se asume que la ecuación en z siguiente λ + Πz = λm X (z), (2.4) tiene una solución única, positiva, z > 0, que se denomina coeficiente de ajuste.. Requiere que la distribución de las X j no tenga cola derecha más pesada que la de una distribución exponencial, o sea, las X j son siniestros de baja severidad. La condición se expresa como δ > 0, M X (t) < para t < δ, y M X (t) cuando t δ. c) Ruina ó Insolvencia (en un horizonte infinito). Se define como el evento de un superávit negativo en algún momento. Es decir, es el eventoruina := (R(t) < 0, para algún t 0), para R(t) el superávit en (2.2). d) Probabilidad de ruina (como función de la reserva inicial): ψ(r 0 ) := P(Ruina).

24 12 Figura 2.1: Trayectoria de R(t) para 50 semanas e) Cota Cramer Lundberg: con las condiciones anteriores sobre las X j se cumple (ver Cai (2004)) ψ(r 0 ) e zr 0. (2.5) Por supuesto, a mayor reserva inicial, menor la probabilidad de insolvencia. Pero, qué sucede en el caso que el que los siniestros sean de alta severidad?. Como en el caso de Riesgo Operativo?. Ejemplo de un Evento de Ruina La gráfica (2.1) muestra una trayectoria del proceso R(t) = R 0 + Πt S(t), S(t) = N(t) j=1 X j, con X j Exp(5), N(t) Poisson(t), con λ = 1, con R 0 = 30, Π = 6, para t [0, 50]. Es este caso la probabilidad de ruina es ψ(30) =

25 Distribuciones Compuestas En las secciones siguientes se usa la notación N(1) = N, S(1) = S. Y se usa X para indicar una de las variables X j. Además, se utiliza la notación γ 1 = E((X E(X)) 3 )/V ar(x) 3/2 γ 2 = E((X E(X)) 4 )/V ar(x) 2 para los coeficientes de asimetría y de curtosis, respectivamente, de X. Definición (Distribución Compuesta) La función de distribución acumulada de la variable S se llama una distribución compuesta y se tiene, utilizando el teorema de probabilidad total, la siguiente expresión: F S (x) = P(S x) = P(N = n)p(s x N = n) = = n=0 p n P(X 1 + X X n x N = n) n=0 p n F n (x) n=0 donde p n = P(N = n) y F n (x) = P(X 1 +X X n x) es la n ésima convolución de F. Por lo tanto, la distribución compuesta puede ser expresada como una mezcla infinita de distribuciones, o también, una serie de funciones. Este resultado es la principal motivación para introducir las aproximaciones a la distribución compuesta F S (x), dadas en la sección siguiente. Definición (Distribución Compuesta Poisson) Si N P oisson(λ) entonces la distribución acumulada de S = N j=1 X j se denomina Poisson Compuesta. En este caso p n = e λ λ n y n! e λ λ n F S (x) = F n (x). (2.6) n! n=0

26 14 Este caso se indica por S PC(λ, F). Y se tienen las siguientes expresiones para los primeros cuatro momentos de S, que son importantes en las fórmulas para las primas y los métodos de aproximación. Nótese que E(S) = λe(x), V ar(s) = λe(x 2 ), E((S E(S)) 3 ) = λe(x 3 ), (2.7a) (2.7b) (2.7c) γ 1,s = E(X 3 )/ λe(x 2 ) 3, (2.7d) γ 2,s = E(X 4 )/(λe(x 2 ) 2 ). (2.7e) E(R(t)) = R 0 + Πt E(S(t)) = R 0 + Πt λe(x)t = R 0 + (Π λe(x))t. Se debe calcular la primaπ tal que Π > λe(x), es decir el ingreso por concepto de primas debe ser superior al costo promedio anual. De otra forma, se genera una alta probabilidad de insolvencia en una vigencia anual. Pero se debe decidir qué valor debe tomar Π para que no resulte demasiado cara la cobertura Modelamiento de las variables N y X j i) El modelamiento de los costos individuales X j. Los modelos más utilizados, LogNormal, Gamma, Inversa Gaussiana, Pareto, Gumbel, se exponen en el Capítulo 5, 71. Una referencia muy completa sobre los modelos utilizados, con referencias históricas, se puede encontrar en los capítulos 3 y 4 de Seal(1969). Otra referencia muy completa y actualizada es el texto de Hoog y Klugman(1990). Ver detalles y referencias en el trabajo de Embrechts and Klüppelberg (1993). ii) El modelamiento del proceso puntual N(t). El principal problema del proceso Poisson homogéneo es ése, el ser homogéneo, es decir, la intensidad de reclamos permanece constante en el período considerado, por ejemplo, un año. Pero una cartera con varias pólizas tiene nuevas entradas y salidas constantemente. Por esta razón se ha introducido una generalización del proceso de riesgo con base en un proceso puntual más general, el llamado Proceso de Cox, en el cual la intensidad es también una variable aleatoria. Para una visión de conjunto y referencias ver Embrechts and Klüppelberg (1993).

27 15 Modelos Lineales Generalizados En esta sección se presenta una idea acerca de la posibilidad de modelar la variable de costos totales anuales : S = N n=1 Y n un modelo lineal generalizado. Para la definición y propiedades de estos modelos ver por ejemplo, Dobson (1990). Un modelo así puede incorporar el efecto de covariables en el costo total y así, incorporarlo a la prima. Es decir, se puede tarifar la cartera. Si se denota por X = (X 1,..., X k ) el vector de covariables, y se asume, por ejemplo, una distribución de base tipo Gamma(α, λ), con media α con λ varianza α, entonces un posible modelo lineal generalizado para S consiste en asumir λ 2 que S N, X Gamma(N, (β 0 + X β) 1 ), donde el vector β = (β 0, β 1,..., β k ) es el vector de coeficientes. Así se tendra que: E(S N, X) = N(β 0 + X β), pero, además, la prima con base en el principio exponencial (ver la sección 3.2 anterior), se podría expresar como una función de N y las covariables X s, mediante la función generadora de momentos de la variable S condicionada con N y las X s, así: c(n, X) = 1 R lnm S N,X(R) = N R ln ( 1 1 R(β 0 + X β) donde R en la expresión anterior, es el coeficiente de ajuste, ya mencionado en la sección 3.2; es claro que R debe escogerse de tal forma que la expresión anterior tenga sentido. Una idea similar pero mucho más elaborada, basada en familias exponenciales con dispersión, la desarrollaron Jørgersen y Paez de Souza(1992), con relación a un modelo para tarifación de seguro de automóviles en Brasil. ) 2.4. Métodos de Aproximación de Distribuciones Compuestas Esta sección tiene partes de la Tesis de Maestría de Velasquez (2008, sec. 1.1). La expresión para la distribución de S, F S (x) = n=0 p nf n (x) impide los cálculos de probabilidades, de cuantiles, etc.. Por eso se han desarrollado varios métodos para aproximar el valor de F S (x). Algunos de estos métodos se han aplicado en el cálculo del VaR en Portafolios, y en el cálculo de las provisiones en Riesgo Operativo y en Riesgo de Crédito.

28 16 Algunas de las aproximaciones que se definen a continuación se encuentran implementadas en la librería actuar, Dutang, Goulet, and Pigeon (2008), del lenguaje R. En lo que sigue se denota E(S) = µ s, V ar(s) = σ 2 s. Además, la asimetría de S se indica por γ 1,s y la curtosis por γ 2,s. 1) Aproximación Normal Es el método de aproximación más simple, con base en una versión del Teorema del Límite Central para Distribuciones Compuestas, dado en Kaas, Goovaerts, Dhaene, and Denuit (2008, Th , pag. 58). Si λ toma valores grandes entonces ( S µs P σ s ) z Φ ( z µs σ s ). (2.8) La aproximación es buena, siempre y cuando la distribución de las severidades X j no sea muy asimétrica o de colas muy pesadas. 2) Aproximación Normal Power (NP) El método NP es una corrección de la aproximación Normal, para incluír el efecto de la asimetría positiva que pueda presentar la variable S = N j=1 X j al ser una suma de variables positivas, posiblemente con asimetría positiva alta. Ver Kaas, Goovaerts, Dhaene, and Denuit (2008, pags.33 36). Si Z N(0, 1) indica una variable Normal Estándar, se propone la aproximación siguiente. S µ S Z + γ 1,s σ S 6 (Z2 1). (2.9) Entonces usando la aproximación (2.9) ( S µs P(S s) = P = P P ( σ S ( Z + γ 1,s Z 3 γ 1,s + s µ ) S σ S 6 (Z2 1) s µ ) S σ S ( ) ) s µs + 1. γ 1,s σ S γ 2 1,s Y la aproximación NP queda P(S s) Φ ( 3 γ 1,s + 9 γ 2 1,s + 6 γ 1,s ( ) ) s µs + 1. (2.10) σ S

29 Según Gendron and Crepaud (1989) la aproximación (2.10) es superior a la Normal si γ 1,s 2. La aproximación NP se aplica para calcular la prima neta con base en la regla del percentil. Y también para calcular la medida de severidad VaR en el contexto del cálculo de provisiones en Riesgo Operativo en el Capítulo 5. También hay una aproximación que incluye la curtosis γ 2,s, calculada si restar 3. Se denomina la aproximación Cornish Fisher 17 S µ S σ S Z + γ 1,s 6 (Z2 1) γ 2,s(Z 3 3Z) 1 36 γ2 1,s (2Z3 5Z). (2.11) 3) Aproximación Gamma Trasladada En este método, ver Seal (1977), se asume que S se distribuye Poisson compuesta, S PC(λ, F). Consiste en aproximar la distribución compuesta F S por medio de una Distribución Gamma Transladada con tres parámetros, definida a continuación. Una variable aleatoria Y se dice que se distribuye Gamma Transladada, Y GT(k, α, β), si su densidad está dada por f(x) = 1 β α Γ(α) (x k)α 1 e (x k)/β, x k > 0, (2.12) donde α > 0, β > 0. McNeil, Frey, and Embrechts (2005) plantean un sistema de ecuaciones para establecer la aproximación por medio de la distribución Gamma Trasladada, igualando la media, la varianza y el tercer momento de la distribución Gamma Trasladada a los correspondientes momentos de la distribución Poisson Compuesta PC(λ, F): k + α β = λe(x), α β 2 = λe(x 2 ), 2α β 3 = λe(x 3 ). Resolviendo el sistema anterior se obtienen los parámetros de la distribución Gamma Trasladada en función de los parámetros de la distribución Poisson Compuesta:

30 18 k = λe(x) 2λE(X2 ) 2, E(X 3 ) α = 4λE(X2 ) 3 E(X 3 ), 2 β = 2E(X2 ) E(X 3 ). La aproximación Gamma Trasladada consiste en utilizar la función de distribución correspondiente de la Gamma P(S s) F G(α,β,k) (s) = F G(α,β)(s k). (2.13) Los valores estimados k, α, β se obtienen fácilmente reemplazando los valores esperados por los correspondientes estimadores de momentos. Por supuesto, es necesario asumir que tales momentos son finitos, lo que puede no ser cierto en casos de distribuciones de colas muy pesadas. La aproximación Gamma Trasladada no se encuentra implementada en el R, sin embargo, sus fórmulas son simples y fáciles de programar. 4) Aproximación por el Método Recursivo de Panjer Es un método recursivo que aproxima las distribuciones compuestas, no es una fórmula sino un algoritmo que permite la estimación, mediante la discretización de la función de distribución de F(x), ver el trabajo original de Panjer, (Panjer 2006). Hay básicamente dos requisitos para calcular la aproximación a la distribución compuesta: El primer requisito es que la distribución de N, p k, pueda escribirse de la siguiente manera recursiva: p k = (a + b/k)p k 1 (2.14) donde p k es la probabilidad del evento k y a y b son parámetros. Esta condición la cumplen las siguientes distribuciones: Poisson, Binomial Negativa y distribuciones logarítmicas. Por ejemplo, en el caso de seleccionar una distribución o un proceso Poisson, los parámetros descritos anteriormente estarían dados por: a = 0 y b sería igual al parámetro de intensidad de la función, es decir, λ. El segundo requisito es lograr discretizar la distribución de las X j. Ahora, la fórmula de recursión de Panjer parte de las siguientes definiciones: sea q i el valor de la distribución de las X j discretizada y evaluada en el punto muestral x i ; f(x j ) es la función de densidad

31 de probabilidad de x j, f 0 es la probabilidad de no pérdida y s es el índice superior para el punto muestral. La fórmula recursiva de Panjer es: f(x j ) = min(j,s) i=1 19 (a + ib/x i )q i f(x j i ) (2.15) La limitación de este algoritmo radica en que sólo es válido para distribuciones de probabilidad discretas. Notas sobre las Aproximaciones Seal (1977) presenta las ventajas del ajuste de la distribución Gamma a S comparado con la aproximación Normal Power. En el mismo año T. Pentikainen (1977) hace referencia al artículo de Seal (1977) y mediante una evaluación concluye que no se encuentran diferencias en la exactitud entre los métodos Normal Power y Gamma, además concluye que la aproximación Normal es aceptable sólo cuando el volumen de los riesgos es alto y la distribución de X no es muy heterogénea. Diez años después, Pentikainen (1987) realiza una nueva evaluación de posibles aproximaciones a la función de distribución del modelo de riesgo colectivo, las aproximaciones utilizadas en el artículo son: la aproximación NP (Normal Power), aproximación de Haldane, la fórmula de Wilson Hilferty. Pentikainen concluye el artículo citado Pentikainen (1987) que los métodos aproximados y los exactos se complementan satisfactoriamente. Los métodos exactos son más apropiados para modelos de riesgo colectivo pequeños y los métodos aproximados para los modelos de riesgo colectivo grandes. Gendron and Crepaud (1989) utilizaron las siguientes aproximaciones para el modelo de riesgo colectivo: la aproximación Normal, aproximación NP (Normal Power), la aproximación de Edgeworth, aproximación de Esscher y la aproximación Gamma; en un estudio en el cual comparan la calidad de estas diferentes aproximaciones. Chaubey and Trudeau (1998) proponen realizar un ajuste al modelo de riesgo colectivo por medio de la distribución Inversa Gaussiana y comparan sus resultados con otras aproximaciones ya existentes. Además, proponen una mezcla entre las distribuciones Gamma e Inversa Gaussiana.

32 20 Otros Métodos. En las referencias presentadas se pueden hallar otras aproximaciones propuestas para las distribuciones colectivas, como la Aproximación Esscher, la Gamma, la Edgeworth, entre otras. La aproximación en Chubey et al mediante la distribución Inversa Gaussian Transladada es muy similar a la Gamma Transladada. Los métodos con base en la Transformada Rápida de Fourier, y con base en el método de Stein. La simulación intensive es posible y está implementada en la librería actuar de R, ver Dutang, Goulet, and Pigeon (2008). Seal(1977b, 1978b) propuso una aproximación tipo gamma que ha tenido mucha aceptación. (cf. Bowers et. al,(1986) cap. 11 y pag. 339 para notas sobre otras aproximaciones). Se han inventado muchos métodos para aproximar la fda de S, desde la serie de Edgeworth hasta la Transformada Rápida de Fourier y fórmulas recursivas. Ver el texto de Gerber (1995, cap. 4) para una presentación detallada. También ver Bühlmann (1984) y Panjer(1981) Principios de Cálculo de Primas Un área muy activa de desarrollo de la teoría de Riesgo ha sido el de expresiones para el cálculo de la prima c. (cf. Gerber (1995, cap.5)). Por ejemplo, el principio de "valor medio", establece que c = E((1+)S 1 ) = (1+). Otro principio, el "principio exponencial", establece que c = ln(m s (R))/R, donde M s (t) es la función generadora de momentos de S 1 ( esta variable, costos totales anuales, se denota en lo que sigue por S. ). La prima se define como un valor que compensa el costo de los siniestros de un seguro, durante un período de tiempo. En este caso se trata de la prima global, el recaudo total de todas las pólizas individuales. Definición Si se denota por S los costos acumulados en una vigencia anual, una prima es una aplicación Π : S (0, ), que asigna a S un número no negativo Π(S). Principios de Cálculo de Primas En los textos de Goovaerts, devylder, and Haezendonck (1983, cap. 2) y Gerber (1995, cap. 5) aparecen los siguientes principios (reglas) para calcular una prima. La prima se refiere a la prima total recolectada entre los titulares de los seguros. Es la prima neta que luego se fracciona en primas individuales.

33 Se procede inicialmente sin establecer cotas máximas para los pagos, lo cual va en contradicción con el principio de que la cantidad asegurada debe ser definida con anterioridad, con el fin de establecer una prima inicial, que se entiende como la prima de donde se pagan varias sub primas: la prima retenida y la prima cedida a los reaseguradores. Y para incluír una parte a cargo del asegurado: el deducible. 21 1) Principio de Valor Esperado Según este principio la prima neta se expresa como Π = (1 + θ)e(s). (2.16) donde θ (0, 1) es el recargo, definido como un porcenje que cubre las comisiones para la fuerza de ventas, recargo de seguridad, costos de administración, etc.. 2) Principio de Pérdida Máxima Π = pe(s) + qmax(s). (2.17) con p (0, 1), q = 1 p. Por tanto esta regla solamente se puede aplicar si los costos totales S tienen un máximo. Esto es factible. Pero en los seguros se modelan las variablesx j con valores en[0, ) y, por tanto,s > 0 no está acotada superiormente. Es este caso la regla de Pérdida Máxima se generaliza a la regla del Percentil. 3) Principio de Percentil Si se denota F S (x) la fda de la variable S y se toma una probabilidad q se define la prima como el percentil q de S, por tanto, se cumple P(S Π) = q (en el caso de ser X j continuas, ó P(S Π) q de ser discretas). Π = S q = Min{s : F S (s) q}. (2.18) La prima es un valor que permite un balance entre la posible pérdida que debe asumir la Compañía y los recursos provenientes de los recaudos de primas individuales.en este sentido, de ser una medida de la posible pérdida que experimenta una Compañía, es equivalente al concepto de VaR que se define en el Capítulo 3, en el contexto de Medidas de Riesgo en Portafolios. Y también es la misma la interpretación que se utiliza para calcular la Provisión en el Sistema de Administración del Riesgo Operativo, en el Capítulo 5, y en el Sistema de Administración del Riesgo de Crédito en créditos de consumo, en el Capítulo 6. El Método de Aproximación NP (2.9) permite una evaluación de la Prima como el percentil q de F S, S q. Reenplazando S por S q y z p por Z en la aproximación NP

34 22 (2.9), se obtiene Sq µ S σ S z q + γ 1,s 6 (z2 q 1), donde z q es el q percentil de una Normal estándar, con Φ(z q ) = q. Luego, despejando S q = Π se obtiene Π = µ S + σ S (z q + γ 1,s 6 (z2 q 1)). (2.19) El Método de Aproximación Cornish Fisher (2.11) permite también una expresión de la Prima por el Principio del Percentil como el percentil S q de F S. Reenplazando S por S q y z p por Z en la aproximación NP (2.11), se obtiene S q µ S σ S z q + γ 1,s 6 (z2 q 1) γ 2,s(z 3 q 3z q ) 1 36 γ2 1,s(2z 3 q 5z q ). Y despejando S q = Π, se tiene Π = µ S + σ S (z q + ν). (2.20) donde ν = γ 1,s 6 (z2 q 1) γ 2,s(z 3 q 3z q ) 1 36 γ2 1,s(2z 3 q 5z q ), es un factor de corrección por asimetría y curtosis. Esta expresión es la prima por el Principio del Percentil pero utilizando la aproximación Cornish Fisher, que implica una corrección por asimetría y curtosis. 4) Principio Exponencial. Según este principio la prima neta se expresa como donde a es una constante positiva. Π = ln(m S(a)), (2.21) a Algunas propiedades del Principio Exponencial son las siguientes Considerando Π como función de a, Π(a) se tiene que lím a 0+ Π(a) = E(S), y lím a Π(a) = L S, donde L S y P(S L S ) = 1. A partir de esta propiedad se puede interpretar el parámetro a como una medida de aversión al riesgo del Asegurador. La ecuación que define el Coeficiente de Ajuste z, (2.23), λ + Π z = λm X (z), se puede escribir como Π = λ(m X (z) 1)/z, para una prima particular Π. Como la fgm de S es M S (t) = exp(λ(m X (t) 1)) entonces se puede escribir Π = ln(m S (z))/z. Pero si se reemplaza en el Principio Exponencial a = z, entonces Π(z) = ln(m S (z))/z. Adicionalmente, a partir de la Cota Cramér Lundberg, (2.5), ψ(r 0 ) e zr 0, si se coloca la igualdad (como una aproximación), reemplazando ψ(r 0 ) = ɛ, la

35 probabilidad de ruina por un valor ɛ dado (por ejemplo 0.001), se puede despejar z = ln(ɛ)/r 0. Con lo cual, la prima por el Principio Exponencial incorpora el valor de la Reserva y la Probabilidad de Ruina. Si adicionalmente se utiliza el Método de Aproximación mediante la Distribución Gamma trasladada, entonces la fgm de S se reemplaza por la fgm de la Gamma trasladada, y se obtiene M S (t) = e kt (1 βt) α. Pero entonces la prima exponencial utilizando este método de aproximación quedaría 23 Π = k α ln(1 zβ). (2.22) z con z = ln(ɛ)/r 0. Para garantizar consistencia en los reemplazos se requiere que ln(1/ɛ) < R 0 /β., (2.23) Propiedades de los Principios de Cálculo de Primas Cualquier regla de cálculo de una prima debería cumplir las propiedades siguientes i) Tener un recargo de seguridad: Π > E(S). ii) No exceder el máximo de S: Π < Max(S). iii) Ser invariante por translaciones: Π(S + a) = Π(S) + a para cada a > 0. iv) Ser invariante por cambios de escala: Π(aS) = aπ(s). v) Aditividad: Π(S 1 + S 2 ) = Π(S 1 ) + Π(S 2 ). En el Cuadro (2.1), tomado de Gerber (1995, pag. 71), se puede ver una comparación de los principios de cálculo de primas y sus propiedades Reaseguros Variables para controlar la Ruina Selección de riesgos: modificar la intensidad λ y/o la media µ.

36 24 Cuadro 2.1: Comparación de las Propiedades de las Primas Valor Esperado DE Percentil Exponencial Recargo + + No excede + + Invarianza Transl Aditividad + Modificar la prima c. Al aumentarla puede disminuír λ, y al contrario. Inversión de la reserva s y la prima ct para aumentar la reserva. Reaseguros. Consiste en modificar µ. Transformar X j en otra variable. Combinación de las anteriores. Según Carter (1979), pag. 23, Entre 1880 y 1890, C. Heath, subscriptor de Lloyd s,...introdujo el reaseguro de exceso de pérdida mediante el cual la Compañía cedente retiene por su cuenta y riesgo cada pérdida por los incendios hasta una cantidad determinada y reasegura el exceso hasta el importe final. Objetivo: Repasar dos metodologías clásicas para cálculo de la retención óptima en reaseguro XL de E. Straub y H. Waters, basadas en el modelo de Riesgo Colectivo, asumiendo siniestros de baja severidad ( = momentos exponenciales finitos de cualquier orden). Y compararlas con la metodología basada en el control óptimo estocástico, desarrollada en 1994 en una tesis de posgrado de la Universidad Karlsruhe (Alemania) (hay otros antecedentes de uso de control optimo en actuaría). Tipos de Reaseguros Proporcionales Cuota parte ó pro rata

37 25 Excedente No Proporcionales Exceso de Pérdida (XL) Excedente de Pérdida (Stop Loss) Ecomor Combinaciones de las anteriores, incluyendo retrocesiones. Reaseguros XL Fijado el valor de la retención w: la Cedente asume: min(w, X j ) = X j w la Re asume: X j min(w, X j ) = (X j w) + función parte positiva de x: x + = x si x > 0 y x + = 0 si x 0 Prima neta = P = (1 + δ)λµ. Prima reaseguro (cedida) = P c (w) = (1 + α)λe((x j w) + ). Prima retenida = P r (w) = P P c (w). Superávit de la Cedente: R w (t) = s + P r (w)t N(t) j=1 X j w. Problema: dados P, δ < α < 1, λ, X j F(.), determinar w tal que la probabilidad de ruina de la Cedente sea la menor posible. Cálculo de la Retención: E. Straub Las deducciones están en Straub (1988, Chap. 4) Coeficiente de Ajuste para la Cedente:A(w) tal que1+a(w)p r (w)/λ = E(e A(w)X j w ) Aplica Cramer Lundberg: prob ruina cedente = ϕ c (s) e sa(w)

38 26 Reemplaza: ϕ c (s) = ɛ, con ɛ dado. Reemplaza: reservas = s = kµ, k > 0. Hace varias aproximaciones asumiendo que w es grande, y obtiene la ecuación para w: 1 w 1 F(x)dx = α δ µ 0 α δ, δ = ln(1/ɛ)e(x2 j ) 2kµ 2 Cálculo de la Retención: H. Waters Las deducciones están en Waters (1979) Coeficiente de Ajuste A(w) para la Cedente: Esta ecuación equivale a: H(w, A(w)) = w A(w)P r (w)/λ = E(e A(w)X j w ) (1 F(x))e A(w)w dx + (1 + α) H(w, A(w)) = P/λ define la función implícita w A(w) H. Waters propone encontrar w tal que MaxA(w) = A(w ). entonces ϕ w (s) e sa(w ) e sa(w), w Solución: w = A 1 (1 + α), donde A cumple: 0 (1 F(x))[e Ax (1 + α)]dx = P/λ w 1 F(x)dx = P/λ Cálculo de la Retención: Control Estocástico Optimo Si ϕ(s) es la probabilidad de ruina dada una reserva inicial s entonces se cumple la siguiente ecuación diferencial integral: ϕ (s) = λ P ϕ(s) λ P E(ϕ(s X j))

39 Si se considera la ruina de la Cedente en un Reaseguro XL, con una reserva s, sería: ϕ w(s) = λ P r (w) ϕ w(s) λ P r (w) E(ϕ w(s X j w)) Esta ecuación define para cada (s, w) una solución ϕ w (s). 27 La metodología de control óptimo: fije s y minimice ϕ(s, w) con respecto a w. Es decir, encontrar w (s) tal que ϕ(s, w (s)) ϕ(s, w), w w, donde P r (w) 0 si w < w. La ecuación anterior se transforma en ϕ w (s) = λ P r (w) ϕ w(s) λ P r (w) E(ϕ w(s X j w)) ínf w w {ϕ w(s)p r (w) λϕ w (s) + λe(ϕ w (s X j w))} = 0 Esta ecuación es un caso de la ecuación Hamilton Jacobi Bellman, para un problema de control estocástico, en donde el control es la retención w. Ejemplo La ecuación HJB se puede resolver de manera iterativa para cada s. En el caso: µ = 1, λ = 1, c = 3.0, c λµ = 2 Hipp and Vogt (2003) calcularon el valor de la retención óptima para varios valores de la reserva inicial s. Conclusiones El método de E. Straub: fija el nivel de ruina (solvencia en horizonte infinito) y determina el nivel de retención, dado los recargos: neto y de reaseguro, además requiere un nivel de reservas dado. Pero se basa en varias aproximaciones y en la cota Cramer Lundberg.

40 28 El método de H. Waters: no fija el nivel de ruina sino que busca maximizar el coeficiente de ajuste, el cual depende funcionalmente de la retención. Al maximizarlo minimiza la probabilidad de ruina, pero solamente a partir de la aproximacion de la cota Cramer Lundberg. El método de control óptimo estocástico: utiliza la ecuación diferencial integral de la función de ruina y encuentra la retención que la minimiza. Pero es difícil de resolver. En Straub y Waters el modelo es muy simplificado, sin inflación, sin reinversión de primas, etc.. En control estocástico Hipp and Vogt (2003) incluyen dos modelos más realistas, pero no resuelven la ec. HJB. En todos los casos se trataron siniestralidades de baja severidad: la función generadora de momentos de X j es finita en valores positivos, es decir, E(e tx j ) < para t < h, con h > 0 y tiende a infinito si t h. Hay desarrollos en el caso de alta severidad es decir, cuando E(e tx j ) = + para todo t > 0. En estos modelos no se consideran la solvencia de la Reaseguradora. Hay modelos para solvencia conjunta. No consideran horizontes finitos (p.ej. 5 años ) para solvencia. Solamente se utiliza un principio de cálculo de primas: el principio de valor esperado. Principio introducido por S. Wang.

41 CAPÍTULO Introducción El objetivo de este capítulo es introducir el modelo de Markowitz para la determinación de un portafolio óptimo de activos cuyos precios se determinan en el mercado. Con la introducción del mercado de capitales como principal medio de financiación, la teoría de Markowitz se ha convertido en una piedra angular. Junto con la teoría CAPM de W.Sharpe. Pero la conformación óptima de un portafolio no abarca todos los problemas relacionas con las inversiones en el mercado de renta variables. En especial, el riesgo al cual están expuestos portafolios como los de ahorros pensionales. i) La necesidad de medir el riesgo al cual está expuesto un portafolio particular motivó la regulación de Basilea II. Su objetivo es la protección del inversionista. ii) La metodologías de Valor en Riesgo y afines, introducidas por el Banco J.P. Morgan (RiskMetrics), y P. Jorion, son una respuesta a tal necesidad. iii) En el diseño de las medidas de riesgo aparecen los problemas de la correlación de riesgos y la falla de la hipótesis de Normalidad Multivariada. Una alternativa reciente 29

42 30 es el cálculo del Var uso de Cópulas con Marginales de Cola pesada, por ejemplo, Garch. iv) La necesidad de técnicas robustas para estimar la matriz de covarianzas a partir de datos con observaciones extremas. v) La cobertura financiera del riesgo. Dado el nivel de exposición, mediante el VaR, cómo mitigar un movimiento adverso, por ejemplo, en un portafolio de pensiones obligatorias, con el fin de proteger el activo representado por los ahorros de los pensionados?. vi) Esa cobertura se ha implementado con las técnicas de Seguro de Portafolios. Incluyendo estrategias de coverturas dinámicas de fondos de inversión. vii) Mediante las Opciones de Venta (put options) sobre Indices Bursátiles, con base en portafolios que replican el Indice en cuestión. viii) Lo cual ha desarrollado la estrategia de replicación de Indices Bursátiles (estrategias pasivas de administración de portafolios), incluyendo Métodos de Optimización Avanzados, como los Algoritmos Genéticos y Evolutivos El Modelo de Media Varianza de Markowitz El objeto inicial en el planteamiento del modelo MV es un proceso estocástico positivo, en tiempo discreto: (S t, t = 0, 1, 2,...), que representa el precio de cierre de un activo transado, en Bolsa ó valorado a precios de mercado. Como ejemplos se pueden mencionar: Bonos: por ejemplo bonos de deuda pública doméstica TES, Certificados de depósito a término fijo, CDT, etc..su precio diario se fija mediante un proceso interno de valoración a precios de mercado (una metodología que se basa en la estructura temporal de las tasas de interés, que transfiere aleatoriedad a los precios). Acciones: emitidas por compañías privadas o públicas. Productos ó Materias Primas (Commodidades): Café, Aluminio, Jugo de Naranja, etc.. Derivados: futuros, opciones, etc..

43 31 El Caso de las Acciones i) Se incluyen también: valor de la unidad de un fondo de inversiones, p.ej. una fiducia. También los precios de productos agropecuarios, el precio de la energía y de comodidades (commodities), como materias primas, metales preciosos. ii) Las unidades de t son días, semanas,etc. Normalmente no se reporta un solo precio S t sino varios precios: mínimo ( bid ), máximo ( ask ), medio y precio de cierre. iii) El precio mínimo ( bid ) es el precio de compra y el máximo (ask) el de venta, lo que genera una diferencia que representa una prima para el vendedor para compensar el riesgo que asume de poseer el activo. iv) El precio S t puede ser por ejemplo el precio de cierre, su logaritmo ln(s t ), ó también 1 2 (ln(s ask, t) + ln(s bid,t )). v) Se utiliza el precio de cierre S t, sin tener en cuenta los días festivos. No siempre es la mejor elección porque los precios después de feriados resultan atípicos. El Caso de Bonos Los precios de los bonos también presentan aleatoriedad, debida a los movimientos de las tasas de interés de referencia del mercado, p.ej. las tasas de repos del BR, la DTF y más recientemente, el IBR. Pero los portafolios de bonos se conforman mediante aplicación de programación lineal. El Caso de Derivados Los precios de los derivados, por ejemplo, las opciones de compra europeas, son precios que reaccionan asimétricamente. Las distribuciones de los rendimientos no pueden asumirse simétricas. Y los portafolios no pueden optimizarse mediante el método de programación cuadrática según el modelo de Markowitz Rendimientos Para cada intervalo [t 1, t] se asume que se conoce la información hasta t 1 del precio S t, denotada por Ω t 1 = σ(s s, s t 1), t 1.

44 32 Se define el rendimiento porcentual como R t = St S t 1 S t 1 que R t está acotado por 1. = St S t Nótese Con el fin de definir las distribuciones en R se utilizará el rendimiento logarítmico, definido por r t = ln(s t /S t 1 ). (3.1) De manera equivalente S t = S t 1 e rt. En adelante se utilizará el rendimiento logarítmico, r t R. Y se asumirá que (r t, t Z) es un proceso estacionario estricto, lo cual implica momentos de todos los órdenes constantes, aunque no necesariamente finitos. En caso de asumir V ar(r t ) < entonces r t es estacionario en covarianza. En caso de ser r t 0 la aproximación ln(1 + x) x, 1 < x 1 es válida y por tanto, ( St ) ( St S ) t 1 r t = ln = ln + 1 S t S t 1 = R t. S t 1 S t 1 S t 1 Utilizar (3.1) tiene ventajas. La serie ln(s(t)) usualmente está integrada: tiene una raíz unitaria. En ocasiones es un ARIMA(0,1,q), q = 0,1. Usar r t = ln(s t ) ln(s t 1 ) corresponde a una diferenciación para eliminar la raíz unitaria. Se considera un vector S t = (S 1,t,..., S k,t ), de precios de k activos. Se define el vector de los k rendimientos, r t = (r 1,t,..., r k,t ) Portafolios Se definen las sucesiones de enteros N j,t, j = 1, 2,..., k, t 1 como el número de unidades del activo número j que se poseen en el intervalo [t 1, t] y el vector N t = (N 1,t,..., N k,t ), como los totales de todas las unidades en un portafolio. Los valores N j,t se asumen enteros positivos, no aleatorios, con la posibilidad de variar con t de acuerdo a alguna regla de decisión, por ejemplo, la que se obtiene de aplicar el modelo de Markowitz de portafolios óptimos, o una regla similar, por ejemplo, la estrategia de seguimiento de un índice bursátil.

45 33 El valor del portafolio en t se define como el proceso V t = N t S t. Se define el rendimiento neto del portafolio en[t 1, t] comor p (t) = (V t V t 1 )/V t, asumiendo que N t permanece constante en el intervalo [t 1, t]. r p (t) = N t S t N t S t 1 N t S = N k t(s t S t 1 ) j=1 t 1 N t S = N j,t(s j,t S j,t 1 ) t 1 N t 1 S t 1 k j=1 = N j,ts j,t 1 r j,t k ( Nj,t S ) j,t 1 k = r N j,t = w j,t r j,t. t 1 S t 1 V t 1 donde j=1 j=1 w j,t = N j,ts j,t 1 V t 1, j = 1, 2,..., n, (3.2) con w j,t > 0 y w t1 = 1, es es porcentaje invertido en el título j ésimo en el tiempo t 1, y constante durante el intervalo [t 1, t]. El vector w t = (w 1,t,..., w k,t ) representa el portafolio de inversión. Y se tiene r p (t) = w t r t. El objetivo de la teoría de portafolios es encontrar unw t óptimo, aunque la definición de óptimo no es única. i) Minimiza volatilidad con rendimiento medio fijo (Markowitz). ii) Maximiza rendimiento medio con volatilidad fija. iii) Minimiza la diferencia de rendimientos con respecto a un Indice Bursátil. iv) Supera los rendimientos de un Indice Bursátil. v) Minimiza el Valor en Riesgo. vi) Minimiza el Capital en Riesgo. Sin embargo, se busca que w t permanezca estable durante varios períodos, para evitar tener que rebalancear frecuentemente, lo cual genera costos adicionales. µ = E(r t ) donde µ = (µ 1,..., µ n ), con µ j = E(r j,t ), el vector de rendimientos medios. Σ = V ar(r t ) = E((r t µ)(r t µ) ), la matriz de Varianzas Covarianzas de r t.

46 34 Las cantidades µ y Σ son independientes de t por el supuesto de ser r t un vector estacionario en covarianza. Son estimables con la información hasta t 1, Ω t 1. Además, E(r p (t)) = E(w t r t ) = w t µ y V ar(r p (t)) = w tσw t Determinación del Portafolio Optimo Se define el portafoliow t óptimo como la solución en t 1 del problema de optimización, ver Huang and Litzenberger (1988) { } 1 w t = argmin w 2 w Σw (3.3) sujeto a las condiciones w 1 = 1, w µ = µ p, w 0. (3.4) donde µ, Σ son estimadores de los parámetros correspondientes, con base en la información hasta t 1 de los k precios. El coeficienteµ p es la meta de rentabilidad del portafolio al final del período[t 1, t], escogida apriori en t 1, con mín µj,1 k < µ p < máx µj,1 k. Es inmediato que w t es un estadístico que depende de µ y Σ. La condición (3.4) excluye las ventas a corto, que corresponderían a porcentajes negativos. Ejemplo: portafolio óptimo con fondos de fiducia 1. En este Ejemplo el precio S t consiste en el Valor de la Unidad de un Fondo de Fiducia.

47 35 Rentabilidad EM OGK MCD MVE t.rob Shrink tangente minvar petro alian cafe valle prev occi sant bbva helm pop colp bog fiducol fiduagr colm Volatilidad Figura 3.1: Fronteras óptimas para el primer trimestre Se consideran k = 15 fondos: bbva, santander, colmena, previsora, alianza, popular, cafetera, valle, occidente, bogota, helm, colpatria, fiducolombia, fiduagraria, petrolera. 3. Los datos comprenden el período 01/01/ /03/2009. Los datos se obtuvieron en la página web de la Super Intendencia Financiera de Colombia ( 1 ) El Modelo CAPM y La propiedad de Diversificación Un modelo particular para los rendimientos r j,t, es el Modelo Unifactorial, ó Modelo de la Teoría CAPM, de W. Sharpe (Capital Asset Pricing Model) Es útil para expresar el concepto de riesgo y diversificación del riesgo en portafolios de acciones. Se hace depender r j,t de la tasa libre de riesgo del mercado, r f, y la tasa de rendimiento del índice bursátil, r I,t, asumida independiente de r j,t, de forma tal que r j,t r f = α j + β j (r I,t r f ) + ɛ j,t, (3.5) 1

48 36 donde la sucesión ɛ j,t iidn(0, σ 2 ɛ,j), y el coeficiente β j mide la respuesta de la acción j ésima a los movimientos del mercado, descritos por el rendimiento del índice bursátil. Entonces se tienen la identidad siguiente. σ j = β 2 j σ2 I + σ2 ɛ,j. (3.6) El riesgo total de la acción j ésima ó volatilidad se expresa en (3.6) como riesgo total = riesgo sistemático + riesgo no sistemático, donde βj 2σ2 I sistemático ó riesgo de mercado, y σɛ,j 2 es el riesgo no sistemático. es el riesgo Además se tiene σ i,j = β i β j σi 2 y σ I,j = β j σi 2. La propiedad de Diversificación se puede describir a partir de la extensión del coeficiente beta de una acción al coeficiente beta de un portafolio. Reemplazando r j,t dado en (3.5) en la expresión r p (t) = k j=1 w j,tr j,t, se obtiene donde β p = k j=1 w j,tβ j es el beta del portafolio. r p (t) r f = α p + β p (r I,t r f ) + ɛ p,t, (3.7) La Hipótesis de Normalidad Multivariada de los Residuos Si se hace el supuesto de Normalidad Multivariada de los Residuos r t iidn k (µ, Σ), (3.8) entonces los rendimientos del portafolio óptimo se distribuyen a su vez normales. r p (t) = w t r t N ( w t µ, w t Σw t ) (3.9) Además, cuando se elimina la condición w 0 y se permiten porcentajes negativos w j,t < 0 se puede demostrar que la solución del problema (3.3) tiene la expresión cerrada w t = Σ 1 ( c bδt d 1 + aδ t b d ) µ. (3.10) donde a = 1 Σ 1 1, b = 1 Σ 1 µ, c = µ Σ 1 µ, y d = ac b 2 > 0. Entonces Jobson and Korkie (1980) demuestran que w t en (3.10) se distribuye asintóticamente normal.

49 Sin embargo, la hipótesis de normalidad (3.8), no se asume cuando se plantea el problema de programación cuadrática. Pero sí tiene que ver con la optimalidad de la solución y con la medición del riesgo del portafolio con la mediada VaR, definida a continuación. Cuando hay evidencia de que no se cumple la hipótesis de normalidad (3.8), puede deberse a una estructura de dependencia en la cual además de presentarse datos extremos la correlación entre r j,t y r i,t aumenta en períodos en donde se presentan tales datos. Qué implica ésto?. La propiedad de optimalidad se pierde. Porque la optimalidad se basa en la diversificación.la diversificación consiste en escoger w t tal que se minimice la varianza del rendimiento del portafolio óptimo, V ar(r p (t)). 37 V ar(r p (t)) = k j=1 k 1 wj,t 2 σ2 j + 2 k j=1 i=j+1 w j,t w j,t Cov(r j,t, r i,t ). (3.11) La diversificación es óptima cuando Cov(r j,t, r i,t ) < 0, para cada par (i, j). Cuando hay presencia de datos extremos y la estructura de dependencia no es Normal Multivariada, esta covarianza puede cambiar a Cov(r j,t, r i,t ) > 0. Los datos extremos también generan otro problema: la necesidad de utilizar estimadores robustos de Σ, µ, para garantizar que la solución óptima es estable y no se deteriora por efectos de estos datos Medidas de Riesgos de Portafolios: el VaR El concepto de Valor en Riesgo ó VaR (Value at Risk) de un Portafolio de activos (w j,t, j = 1,..., k) se basa la idea de la peor pérdida posible en el mismo. Se trata de establecer una medida de la pérdida más extrema que pueda suceder en un período de tiempo, con una probabilidad dada. El VaR de un portafolio con valor V t 1 en el tiempo t 1, para el intervalo [t 1, t], con una probabilidad q, se define como sigue. Definición Si 0 < q 1/2 es una probabilidad pequeña, se define el percentil q100% de la distribución de r p (t) como el valor ζ q, t tal que P(r p (t) ζ q, t ) = q. Entonces

50 38 el valor en riesgo en el período [t 1, t], al nivel q, se define como V ar t (q) = ζ q,t V t 1. (3.12) Nótese que en la definición (3.12) se tiene V ar t (q) > 0. Pero es la medida de una pérdida. Por convención se expresa la posible pérdida como un valor positivo. Si se define la pérdida del portafolio en el período [t 1, t] como la variable L t = V t V t 1, entonces la relación con el VaR es: P(L t V ar t (q)) = P(V t V t 1 ζ q,t V t 1 ) = P(r p (t) ζ q,t ) = q. Nótese que se coloca V ar t (q), con el signo cambiado. Con base en la identidad anterior se puede interpretar el VaR como la máxima pérdida posible, en un intervalo de tiempo dado, con una probabilidad dada Métodos para el Cálculo del VaR 1. VaR Normal., luego ζ q,t = w t µ + z q w t Σw t, (3.13) donde P(N(0, 1) z q ) = q, por tanto, V ar t (q) = ζ q,t V t. Pero la fórmula (3.13) anterior se la ha criticado con base en algunos hechos descubiertos recientemente y reportados de manera repetida. Un hecho observado es que los rendimientos r j,t tienen colas más alargadas y modas más altas que las de la normal (leptocurtosis). También se ha observado que son incorrelacionados y, sin embargo, r 2 j,t son autocorrelacionados (por ejemplo, con la prueba Ljung Box). Otro hecho es que los datos más extremos de las colas de r j,t tienden a agruparse en períodos cortos de alta volatilidad, es decir, la varianza de los r j,t no es constante. 2. Simulación Histórica 3. MonteCarlo 4. Cornish Fisher

51 5. Teoría de Valores Extremos (ETV). En la fórmula (3.13) es definitivo que el segundo momento y las covarianzas de los rendimiento r j,t sean finitos. Una alternativa a esta fórmula es la utilización de la Teoría de Valores Extremos mediante la cual se puede estimar el percentil de los rendimientos sin asumir implícitamente que los segundos momentos y las covarianzas son finitas, y sin asumir que las distribuciones son normales. La definición del VaR con la Teoría de Valores Extremos se hace en la sección (5.5.2) del Capítulo 5, pag. 77, porque es un método que se aplica en el Riesgo Operativo. El supuesto i.i.d. se reemplaza por una dependencia débil", que significa incorrelación entre los rendimientos pero autocorrelación en los cuadrados de los mismos, sin embargo, las consecuencias de este reemplazo para diferentes pruebas y estadísticos no son bien conocidas Medidas Coherentes de Riesgo Una medida de riesgo de un portafolio debe cumplir ciertas propiedades, con el fin de que sea coherente, en el sentido introducido por Artzner, Delbaen, Eber, and Heath (1999). Estas propiedades son: sub aditividad, invarianza bajo translaciones, homogeneidad positiva y monotonicidad. Definición Medidas Coherentes de Riesgo. Una medida de riesgo ρ se dice coherente si cumple 1. Si x 0 entonces ρ(x) Sub aditividad: ρ(x + y) ρ(x) + ρ(y). 3. Homogeneidad positiva: ρ(λx) = λρ(x). 4. Monotonicidad: Si x y entonces ρ(x) ρ(y). 5. Invarianza por translaciones: r f es la tasa libre de riesgo, ρ(x + αr f ) = ρ(x) α. La sub aditividad es la propiedad que el VaR no cumple. La sub aditividad es una propiedad acorde con el principio de diversificación de portafolios, mientras más diversificación menor riesgo.

52 40 Ejemplo (Tomado de Embrechts, Furrer, and Kaufmann (2009, pag. 734, example 1)). Sean X 1 y X 2 dos variables aleatorias independientes con distribución común dada por F X (x) = 1 1/ x, para x 1. Los riesgos X 1 y X 2 tienen media infinita, por tanto su distribución es de cola pesada. Se puede comprobar que V ar q (X) = (1 q) 2. Y se tiene el siguiente resultado. F X1 +X 2 (x) = P(X 1 + X 2 x) = x 1 1 F X (x y)df X (y) = 1 (2/x) x 1 < 1 2/x = F 2X (x), donde F 2X (u) = P(2X 1 u), para u 2. Pero V ar q (2X) = V ar q (X 1 ) + V ar q (X 2 ), porque se cumple P(2X V ar q (2X)) = 1 q = P(X V ar q (2X)/2), luego V ar q (X) = V ar q (2X)/2. Además, sif X1 +X 2 (x) < F 2X (x) esto implica quev ar q (X 1 + X 2 ) > V ar q (2X) = V ar q (X 1 )+V ar q (X 2 ). Y esto es un contraejemplo de la aditividad del VaR. Como señalan Embrechts, Furrer, and Kaufmann (2009, pag. 734)), el VaR es sub aditivo para el caso de rendimientos distribuídos normal multivariados. Y se cumple también la sub aditividad en el caso de distribuciones multivariadas de tipo elíptico, ver McNeil, Frey, and Embrechts (2005, Theo. 6.8). En el caso bivariado la demostración es simple. Ejemplo (Tomado de Embrechts, Furrer, and Kaufmann (2009, pag. 734, example 1)). Suponga que (X 1, X 2 ) son dos variables aleatorias distribuídas Normal Bivariado, con medias µ i, varianzas σ 2 i, i = 1, 2, y correlación ρ ( 1, 1). Entonces, como X 1 +X 2 se distribuye Normal, su VaR es V ar q (X1 + X 2 ) = µ 1 + µ 2 + z q σ σ ρσ 1 σ 2. Entonces V ar q (X1 + X 2 ) = µ 1 + µ 2 + z q σ σ ρσ 1 σ 2 µ 1 + µ 2 + z q (σ 1 + σ 2 ) = V ar q (X 1 ) + V ar q (X 2 ) Ya que se la desigualdad σ 1 + σ 2 σ σ ρσ 1 σ 2 equivale a ρ 1. Luego el VaR es subaditivo en Normales Bivariadas El Capital en Riesgo Una medida coherente de riesgo es el CVaR, el Capital en Riesgo, también denominado Valor en Riesgo Condicional, ó en inglés, Expected Shortfall (ES), Tail VaR.

53 Definición Si 0 < q 1/2 es una probabilidad pequeña, se define el percentil q100% de la distribución de r p (t) como el valor ζ q,t tal que P(r p (t) ζ q,t ) = q. Entonces el Capital en riesgo en el intervalo [t 1, t], al nivel q, se define como CV ar t (q) = E(r p (t) r p (t) ζ q,t )V t 1. (3.14) 41 Nótese que el VaR es un nivel, mientras que el CVaR es una cantidad. El CVaR mide la magnitud de la pérdida, dado que el rendimiento cae por debajo del percentil ζ q,t. Para el caso r t iidn k (µ, Σ) se cumple r p (t) N(µ p, σ 2 p) y entonces E(r p (t) r p (t) ζ q,t ) = µ p δσ p, (3.15) donde δ = e z2 q /2 q 2π, con P(N(0, 1) z q) = q, por la propiedad de la Normal siguiente. Si X N(µ, σ 2 ) entonces n((a µ)/σ) E(X X < a) = µ σ Φ((a µ)/σ). (3.16) donde n(x) es la densidad de Z N(0, 1). La identidad se conoce como Inverse Mills Ratio.

54 42

55 CAPÍTULO 4 El Modelo de Marcha Aleatoria 4.1. El Modelo de Marcha Aleatoria Como se mencionó, la introducción del mercado de capitales como vehículo de financiamiento de pensiones mediante los fondos mutuos generó la necesidad de entender la dinámica de éstos. El objetivo es entender la dinámica de los rendimientos de cada activo que componen el fondo y los del fondo. Se ha buscado capturar la dinámica de los rendimientos de activos mediante varios tipos de modelos, con varios fines. Para poder valorar opciones sobre estos activos, las cuales sirven como instrumentos de cobertura. Y para mejorar las medidas de riesgo, mediante por ejemplo, cópulas con modelos garch para calcular un VaR que incluya efectos de correlación de datos extremos.. La dinámica de los rendimientos de activos se ha buscado capturar mediante varios tipos de modelos. Los hechos que han guiado la búsqueda de estos modelos se han denominado como hechos estilizados. Se definen como características notables que se han descubierto en los rendimientos de activos. A continuación se hace una lista de tales hechos estilizados y luego se describen varios tipos de modelos y sus relaciones con estos hechos. 43

56 44 Modelos para Rendimientos en Tiempo Discreto La indentidad S t = S t 1 e rt del Capítulo 3, 32, es el punto de partida para diferentes modelos para precios, a partir del modelo correspondiente para los rendimientos. Algunos modelos para r t i) Marcha Aleatoria. ii) Marcha Aleatoria Log Normal. iii) Modelos tipo GARCH(p,q). iv) Modelo CAPM de un Factor. v) Modelos de Volatilidad Estocástica. vi) Modelos de Régimen Cambiante. vii) Modelos de Difusión con Saltos. viii) Los Modelos ARIMA están en conflicto con la Hipótesis de Mercados Eficientes y la Hipótesis de Marcha Aleatoria. Porque permitirían pronosticar r t. Y por tanto pronosticar el precio S t. Si esto pudiera hacerse con por ejemplo, un Indice Bursátil, invalidaría una serie de instrumentos financieros como por ejemplo las Opciones de Venta sobre el Indice, que son seguros de portafolios Características Empíricas de los Rendimientos de Activos Financieros Las variaciones en los precios, valores de unidad, índices, etc. de distintos activos financieros tales como acciones, fondos de inversión, índices bursátiles, materias primas, energía, productos agrícolas, etc. comparten varias propiedades no triviales denominadas hechos empíricos estilizados (stylized facts). Estas propiedades son formulaciones de hechos empíricos, observados en datos reales. Estas propiedades son restrictivas tanto como para no ser fácil exhibir un modelo estocástico que las posea todas. O, de manera equivalente, el objetivo de la investigación en esta área es encontrar un modelo que reproduzca todas estas propiedades.

57 45 El conjunto de propiedades es el siguiente. 1. Ausencia de Autocorrelación. Los rendimientos p.ej. logarítmicos son incorrelacionados, con varianza incondicional constante y media cero, es decir, son ruidos blancos. Excepto para escalas de tiempo muy pequeñas, de p.ej. 20 minutos. 2. Colas pesadas. Las distribuciones no condicionales de los rendimientos muestran colas que decrecen a cero de manera potencial ( no exponencial ). Es decir, si r t denota el rendimiento aleatorio entonces P( r t > x)/(cx β ) 1, x, para 0 < β < 4. Esta característica hace que r t tome valores extremos con mayor probabilidad que en el caso normal. Definición (Curtosis) Sea X una variable aleatoria con valores en R. La curtosis de X se define como el valor γ 1 = E((X E(X)) 4 )/V ar(x) 2. Cuando una distribución tiene curtosis mayor que 3, la curtosis de una N(0,1), se denomina leptocúrtica. La curtosis de los rendimientos es mayor que la de la normal debido a que presentan colas pesadas. 3. Asimetría. Los rendimientos negativos aparecen con valores más extremos que los positivos por lo que la distribución de los mismos presenta una asimetría negativa. Los modelo GARCH se pueden modificar para reproducir esta característica cambiando la distribución Normal por varias alternativas como la Normal Inversa Gaussiana, dada en 4.20, 57, entre otras. 4. Heterocedasticidad de la Varianza. Varios estimadores de la varianza de los rendimientos presentan autocorrelaciones positivas durante períodos cortos. Por ejemplo, la autocorrelación muestral de los cuadrados de los rendimientos muestra valores significativamente altos. Esto se interpreta como que los eventos de alta volatilidad tienden a agruparse en el tiempo (volatility clusters). Esta característica dió origen a los modelos condicionalmente heterocedásticos: todas las variaciones del modelo GARCH inicial. 5. Efecto de la Escala de Tiempo. La distribución de los rendimientos no es la misma para diferentes escalas de tiempo. Los modelos en tiempo discreto no siempre se pueden agregar. Este es un argumento a favor de los modelos en tiempo continuo, p.ej. con base en ecuaciones diferenciales estocásticas.

58 46 6. Intermitencia de la Volatilidad. Se observan choques irregulares en varios estimadores de la volatilidad. 7. Decaimiento lento a cero de la autocovarianza. Se observa que Cov( r t+τ, r t )/(cτ β ) 1, x, (4.1) para 0.2 < β < 0.4. Es decir, la autocovarianza de los valores absolutos de los rendimientos decae lentamente a cero (es una función de variación regular en infinito). Este fenómeno se denomina memoria larga (long range dependence). 8. Asimetría de la volatilidad. Consiste en una relación inversamente proporcional y asimétrica entre los rendimientos y la volatilidad en el sentido de que los rendimientos extremos negativos tienen un efecto mayor en la volatilidad que los rendimientos extremos positivos. Esta característica fué el motivo para la introducción de modelos tipo GARCH con asimetría en la volatilidad, como los modelos EGARCH y GJR, entre otros Modelos para la Distribución de los Rendimientos Marcha Aleatoria Todos los modelos empiezan con la definición de rendimiento logarítmico, dada en el Capítulo 3. r t = ln(s t /S t 1 ). (4.2) Y cada modelo se genera asumiendo una forma particular para r(t). Es importante observar que se obtiene S(t) = S(t 1)e r(t) = S(t 2)e r(t)+r(t 1) = S(0)e r(t)+r(t 1)+...+r(1) = S(0)e P t j=1 r(j). Cuando la sucesión r(j), j = 1, 2,... se asume i.i.d.(0, σ 2 ) entonces la sucesión M(t) = t j=1 r(j) se denomina Marcha Aleatoria.

59 47 El caso más utilizado es cuando r(t) es i.i.d. Normal. Pero hay otros casos igualmente importantes y aplicados, cuando se asume que r(t) es un ruido blanco, por ejemplo, de tipo GARCH Marcha Aleatoria LogNormal En el modelo de Marcha Aleatoria LogNormal, que se denomina también el Modelo Black Scholes, se propone r(t) = µ + σɛ(t), (4.3) donde µ R, σ > 0, y ɛ(t) i.i.d.n(0, 1). En el modelo (4.3) se tiene Modelos GARCH El objetivo en esta sección es ampliar los modelos para ruido blanco en los modelos ARMA. Si se considera un proceso (X n, n Z), ARMA(p,q) de media cero, dado por: X n = ϕ 1 X n ϕ p X n p + Z n + θ 1 Z n 1 + θ 2 Z n θ q Z n q, (4.4) donde Z n RB(0, σ 2 ), se trata de definir modelos para Z n diferentes del caso de una sucesión iid. Es decir, modelos en los que las Z n no sean independientes ni idénticamente distribuídas pero aún sigan siendo incorrelacionadas de varianza constante y media cero. Tales modelos se definen mediante ecuaciones recursivas no lineales. Denote por Ω n 1 = σ(z j, j n 1) la sigma álgebra generada por Z j, j n 1. Los modelos que se consideran en esta sección satisfacen E(Z n Ω n 1 ) = 0 y V ar(z n Ω n 1 ) = σ 2 n. Es decir, son modelos para los cuales la varianza condicional, dada la información hasta el tiempo n 1, no es constante. Se denominan modelos condicionalmente heterocedásticos. El primer paso para definir estos modelos es asumir que Z n = σ n ɛ n, donde ɛ n es una sucesión de variables aleatorias i.i.d. y σ n es una función de la información Ω n 1 = σ(z j, j n 1). Dependiendo de la forma de esta función se definen varios modelos. Los modelos considerados son: ARCH(p), GARCH(p,q), EGARCH(p,q), APARCH(p,q) y GJR(p,q). Los análisis en esta sección consisten en examinar las condiciones para que sean estacionarios estrictos ó estacionarios en covariaza, la existencia de momentos y la característica de tener la función de distribución de Z n colas más pesadas que las de la

60 48 normal. Algunas referencias en donde puede consultarse más sobre este tipo de procesos son: Fan and Yao (2003) y Tsay (2002). Procesos ARCH (Auto Regresivo Condicionalmente Heterocedástico) Este tipo de proceso estocástico fué introducido por Robert Engle (Engle (1985)) para modelar la varianza de la tasa de inflación en el Reino Unido. La idea básica del modelo ARCH es que la no independencia de Z n está explicada por la autocorrelación de Zn. 2 Definición (Procesos ARCH(p)) Un proceso (Z n, n Z) se dice que es un ARCH(p), p 1, si satisface el par de ecuaciones siguientes Z n = σ n ɛ n, σ 2 t = α 0 + α 1 Z 2 t α p Z 2 t p, (4.5) donde ɛ t iid(0, 1), α 0 > 0, y α i 0 para i = 1,..., p Algunos autores, como Nelson (1991, pag. 352) y Tsay (2002, pag. 83), recomiendan utilizar para la distribución de ɛ t, la distribución de error generalizado, GED, la cual incluye a la normal como un caso especial ó una t Student estandarizada, con υ grados de libertad. Definición La función de densidad de una variable aleatoria distribuída GED(υ), con media cero y varianza unidad, está dada por: f(z) = υ exp[ ( ) 1 2 z λ υ ] ( λ 2 (1+ υ) 1 Γ 1 ), < z <, 0 < υ, (4.6) υ donde Γ( ) es la función gamma, υ es el parámetro para el peso de la cola y λ = [ 2 2 υ Γ ( )]1 1 2 υ Γ ( ). (4.7) 3 υ Cuando υ = 2, se obtiene una distribución normal estándar, para υ < 2, la distribución tiene colas más pesadas que las de una normal, y si υ > 2 la distribución tiene colas menos pesadas que las de una normal. Con relación a esta última afirmación conviene recordar el concepto de curtosis. El caso υ = 1 corresponde a una densidad Laplaciana o doble Exponencial..

61 Teorema Una condición necesaria y suficiente para que las ecuaciones (4.5) definan un único proceso estacionario estricto (Z n, n Z), con E(Xn) 2 < es p j=1 α j < 1. Además, si E(ɛ 4 n) < y Max(1, E(ɛ 4 n)) p j=1 α j < 1, entonces E(Xn) 4 <. Ver Fan and Yao (2003, pag. 143) para la demostración. La suficiencia depende de un resultado de Giraitis, Kokoszka, and Leipus (2000) y la necesidad, de un resultado de Bollerslev (1987). Las características de este modelo están dadas en el siguiente resultado. Proposición Sea (Z n, n Z) un proceso ARCH(p), con p j=1 α j < 1. Entonces 1. Z n RB(0, α 0 /(1 p j=1 α j)). 2. Si se cumplen las condiciones E(ɛ 4 n) < y Max(1, E(ɛ 4 n)) p j=1 α j < 1, entonces a) Z 2 n es un proceso AR(p) estacionario, y si p j=1 α j > 0, su función de autocovarianza es positiva. b) κ(z n ) κ(ɛ n ). 49 Demostración. 1. Veamos que Z n es ruido blanco. E(Z n ) = E(σ n ɛ n ) = E(E(σ n ɛ n Ω n 1 )) = E(σ n E(ɛ n Ω n 1 )) = E(σ n E(ɛ n )) = 0. V ar(z n ) = V ar(e(z n Ω n 1 )) + E(V ar(z n Ω n 1 )) = E(V ar(z j Ω n 1 )) = E(V ar(σ n ɛ n Ω n 1 )) = E(σ 2 n V ar(ɛ n Ω n 1 )) = E(σ 2 nv ar(ɛ n )) = E(σ 2 n) = α 0 + α 1 E(Z 2 n 1) + + α p E(Z 2 n p) = E(Z 2 n). ComoZ n es estacionario en covarianza se tiene E(Z 2 n ) = E(Z2 n 1 ) =... = E(Z2 n p ) y por tanto E(Z 2 n) = α 0 /(1 p j=1 α j). 2.

62 50 Procesos GARCH (Auto Regresivo Condicionalmente Heterocedástico Generalizado) Este tipo de procesos estocásticos fué introducido por Bollerslev (1987) como una alternativa a los modelos ARCH(p). En ciertos casos se requieren valores altos de p para describir adecuadamente una serie con un modelo ARCH(p). Además, se deben garantizar las condiciones α j 0, j, lo que puede generar valores sesgados en los parámetros estimados. Una alternativa son los procesos GARCH(p,q), con un número menor de parámetros, por ejemplo, un GARCH(1,1). Definición (Procesos GARCH(p,q)) Un proceso (Z n, n Z) se dice que es un GARCH(p,q) si satisface el par de ecuaciones siguientes Z n = σ n ɛ n, σ 2 n = β 0 + β 1 σ 2 n β p σ 2 n p + α 1 Z 2 n α q Z 2 n q, (4.8) donde ɛ n iid(0, 1), β 0 > 0, β i 0, 1 i p y α j 0, 1 j q. Como en el caso ARCH(p), la sucesión ɛ n se puede modelar con una distribuciónged(υ), ó una t Student estandarizada, con υ grados de libertad. El modelo (4.8) se reduce a un modelo ARCH(q) si β i = 0, i = 1,..., p. Una condición para tener un proceso estacionario se expresa en el siguiente resultado. Teorema Una condición necesaria y suficiente para que un procesoz n GARCH(p, q) definido por las ecuaciones (4.8) sea estacionario estricto con E(Z 2 n ) < es p β i + i=1 q α i < 1. (4.9) i=1 Si adicionalmente se cumple que Max(1, E(ɛ 4 n)) q i=1 α i/(1 p j=1 β j) < 1 entonces E(X 4 n) <. La demostración se basa en el Teorema 2.5 de Bollerslev (1987) (ver Fan and Yao (2003), Teo 4.4, pag. 150). Corolario Si Z n GARCH(p, q) y se cumple la condición (4.9) entonces Z n es ruido blanco, y cumple: 1. E(Z n ) = V ar(z n ) = α 0 /(1 p i=1 β i + q i=1 α i).

63 51 3. Cov(Z n, Z n+k ) = 0, k κ(z n ) κ(ɛ n ). Como V ar(z n Ω n 1 ) = σ 2 ne(ɛ 2 n Ω n 1 ) = σ 2 n, el proceso estocástico σ 2 n se denomina varianza condicional, y V ar(z n ) es la varianza incondicional. La siguiente identidad también es válida. Proposición Si Z n GARCH(p, q) y se cumple la condición (4.9) entonces σ 2 n = α 0/(1 p β j ) + j=1 donde las d j 0 se calculan recursivamente. j=1 d j Zn j 2, cp1, (4.10) Este resultado muestra que en un proceso GARCH(p,q) estacionario en covarianza la varianza condicional depende de todos los valores anteriores del proceso. El resultado siguiente establece una caracterización de Z 2 n en términos de un proceso ARMA. Proposición Si Z n GARCH(p, q) y se cumple la condición (4.9) entonces Z 2 n es un proceso ARMA(max(p,q),q)), causal e invertible. Corolario El proceso σ 2 n, n Z es estacionario en covarianza. Bougerol and Picard (1992a), (1992b), encontraron condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una única solución estacionaria estricta de las ecuaciones (4.8), pero sin garantizar que el segundo momento es finito. Las condiciones sin embargo, son difíciles de chequear en la práctica. También, para el caso GARCH(1,1), Nelson (1991) estableció la condición necesaria y suficiente para que el proceso fuera estacionario estricto, sin segundo momento finito necesariamente. La condición es E(ln(α 1 ɛ 2 n + β 1)) < 0. (4.11) Utilizando la desigualdad de Jensen (ver desigualdad No??, pag.??), se obtienee(ln(α 1 ɛ 2 n + β 1 )) ln(e(α 1 ɛ 2 n + β 1 )) = ln(α 1 + β 1 ), por lo que si α 1 + β 1 < 1 entonces se tiene (4.11). Este resultado muestra que, en este caso GARCH(1,1), ser estacionario en covarianza implica ser estacionario estricto, pero no al contrario. Es decir, pueden darse casos de procesos GARCH(1,1) estacionarios estrictos con E(Z 2 n ) = +.

64 52 Ejemplo Si se considera un proceso (X n, n = 0, 1,...) ARMA(2,1) GARCH(1,1), quedaría definido por el siguiente sistema de ecuaciones. X n = ϕ 0 + ϕ 1 X n 1 + ϕ 2 X n 2 + Z n + θ 1 Z n 1, Z n = σ n ɛ n, σ 2 n = β 0 + β 1 σ 2 n 1 + α 1 Z 2 n 1. Se asume aquí que ɛ n iidged(υ). Para garantizar que X n sea estacionario en covarianza, primero se escogen los parámetros de la parte GARCH de tal forma que Z n sea ruido blanco. Por ejemplo, 1 < υ < 2, β 1, α 1 > 0, β 1 + α 1 < 1, β 0, ϕ 0 R. Luego, se escogen los parámetros autorregresivos ϕ 1, ϕ 2 de tal forma que X n sea estacionario en covarianza. Las condiciones para estacionariedad en covarianza de un AR(2) son: ϕ 1 < 1, ϕ 2 + ϕ 1 < 1, ϕ 2 ϕ 1 < 1. (4.12) (ver ec. (??), pag.??). Sin embargo, al definirse el proceso X n para n = 0, 1,... no se garantiza que sea estacionario en covarianza. Además, se requieren los valores iniciales X 1, X 0, Z 1 y σ 1 2. En vista del carácter estacionario de los procesos X n y σn 2 se podría tomar X 1 = X 0 = E(X n ) = ϕ 0 /(1 ϕ 1 ϕ 2 ) y σ 1 2 = V ar(z n ) = β 0 /(1 β 1 α 1 ), Z 0 = E(Z n ) = 0. En el caso de simulación de N datos del proceso X n se calculan por ejemplo, además de las N buscadas, 500 observaciones más y se toman los datos a partir de la observación 501, para eliminar el efecto de esta escogencia arbitraria de los valores iniciales y muestrear el proceso en estado estacionario Procesos EGARCH En los modelos GARCH el proceso de la varianza condicional σn 2 depende linealmente del cuadrado de la serie, Zn, 2 de manera que no se afecta según el signo de Z n. En el modelo GARCH exponencial, EGARCH, introducido por Nelson (1991), ln(σn) 2 sigue un proceso ARMA(p,q), con ruido blanco en función de Z n /σ n, por lo que σn 2 depende del signo de Z n. El modelo se define así (ver Tsay (2002, pag. 102)): Definición Un proceso estocástico (Z n, n Z) es un EGARCH(p,q), p, q 0, si satisface el siguiente par de ecuaciones. Z n = σ n ɛ n,

65 ln(σ 2 n ) = µ θ 1L + + θ q L q 1 ϕ 1 L ϕ p L p g(ɛ n 1), (4.13) donde (ɛ n, n Z) una sucesión de variables aleatorias iid(0, 1) y g(ɛ n ) está dado por: g(ɛ n ) = αɛ n + γ [ ɛ n E( ɛ n )], para µ R, θ i R, i = 1,..., q, ϕ j R, j = 1,..., p, α, γ R. Por construcción, g(ɛ n ) es una sucesión de variables aleatorias iid, con media cero. Si la distribución de ɛ n es simétrica las dos componentes de g(ɛ n ) son no correlacionadas pero no son independientes. La variable g(ɛ n ) puede ser reescribirse así: (α + γ)ɛ n γe( ɛ n ) si ɛ n 0, g(ɛ n ) = (α γ)ɛ n γe( ɛ n ) si ɛ n < 0. Si ɛ n N(0, 1) entonces E( ɛ n ) = 2/π. Para una distribución t Student con v grados de libertad, se tiene: E( ɛ n ) = 2 v 2 Γ((v + 1)/2) (v 1)Γ(v/2) π. Para la estacionariedad y ergodicidad de un EGARCH(p,q) utilizamos el hecho de que ln(σ 2 n) es un proceso lineal. Con relación a la estacionariedad en covarianza y finitud de momentos, se tiene el siguiente resultado. Proposición Si 1 ϕ 1 z ϕ p z p 0, z C, z 1, los procesos σ 2 n y Z n son estacionarios estrictos y ergódicos. Si ɛ t GED(υ) con υ > 1 entonces los procesos σ 2 n y Z n tienen momentos finitos de cualquier orden, lo que implica que son además, estacionarios en covarianza. Nelson (1991) hace notar que si ɛ t t v, con t v una t Student con v grados de libertad, entonces σ 2 n y Z n no tienen momentos finitos. La condición por ejemplo, 1 < υ < 2 indicaría colas más pesadas que la normal pero menos que una doble exponencial. 53 Procesos GARCH Asimétrico El modelo GARCH Asimétrico, AGARCH(p,q,) propuesto por Ding, Granger, and Engle (1993), es una generalización de los modelos GARCH(p,q). Se define así: Definición Un proceso estocástico (Z n, n Z) es un AGARCH(p,q), si satisface el siguiente par de ecuaciones. Z n = σ n ɛ n,

66 54 σ δ n = α 0 + q p α i ( Z n i γz n 1 ) δ + β j σn j, δ (4.14) i=1 j=1 donde (ɛ n ) es una sucesión de variables aleatorias iid con media cero y varianza uno, α 0 > 0, δ 0, 1 < γ < 1, α i 0, i = 1,..., q, β j 0, j = 1,..., p. El modelo AGARCH(p,q) incluye los modelos ARCH(p) y GARCH(p,q) como casos especiales. El modelo ARCH(p) se obtiene con δ = 2 y γ = 0, β j = 0, j = 1,..., p en (4.14). El modelo GARCH(p,q) se obtiene con δ = 2 y γ = 0. Proposición Una condición necesaria y suficiente para la existencia de una única solución estacionaria Z n para el modelo (4.14) está dada por q E( α i ( ɛ n γɛ n ) δ ) + i=1 p β j < 1, (4.15) j=1 Procesos GJR El modelo GJR(p,q) es un modelo alterno para los modelos EGARCH(p,q), con características similares a éstos. fue propuesto por (Glosten, Ravi, and Runkle 1993), y se define como: Definición Un proceso estocástico (Z n, n Z) es un GJR(p,q), si satisface el siguiente par de ecuaciones. Z n = σ n ɛ n, σn 2 m q = α 0 + α i Zn i 2 + β j σn j 2 + i=1 j=1 p γ i Sn iz n i 2 i=1 donde {ɛ n } es una sucesión de variables aleatorias i.i.d. con media cero y varianza uno, α 0 > 0, α i 0, β j 0, α i + γ i 0 y Sn 1 es una variable indicadora de la forma 1 si Z Sn 1 n < 0, = (4.16) 0 si Z n 0, El modelo GJR(p,q) es un caso particular de un AGARCH(p,q), cuando δ = 2, lo cual se puede comprobar de manera directa. σ 2 t = α 0 + m α i ( a t i γ i a t 1 ) 2 + i=1 s β j σt i 2 j=1

67 55 = α 0 + = α 0 + donde Si definimos m s m α i (1 γ i ) 2 a 2 t i + β j σt j 2 + α i {(1 + γ i ) 2 (1 γ i ) 2 }St i a2 t i i=1 m α i (1 γ i ) 2 a 2 t i + i=1 j=1 s β j σt j 2 + i=1 j=1 i=1 1 si a St i t i < 0 = 0 en otro caso. m 4α i γ i St ia 2 t i, α i = α i(1 γ i ) 2, (4.17) γ i = 4α i γ i, (4.18) entonces tenemos, σ 2 t = α 0 + m α ia 2 t i + i=1 s β j σt j 2 + j=1 m γi St ia 2 t i i=1 El cual es exactamente el modelo GJR de la ecuación (4.16). Teorema Suponga que α 0 > 0, α i, β j 0 y ɛ t tiene una distribución simétrica. Entonces m α i + 1 m s γ i + β j < 1 (4.19) 2 i=1 i=1 es una condición necesaria y suficiente de una solución estacionaria de orden 2 de {Z n } para el modelo (4.16). Prueba. El modelo GJR (4.16) es un caso particular del modelo ARCH asimétrico (??) cuando δ = 2, por lo que la variable Z t dada por (??) se puede expresar como j=1 Z t = m m α i ɛ 2 n + γ i St ɛ2 t i=1 i=1 Utilizando la parametrización dada por las ecuaciones (4.18) y (4.17). En los supuestos del modelo se tiene que Eɛ t = 0 y Var(ɛ t ) = Eɛ 2 t = 1 por lo que EZ t = m α i + b m i=1 i=1 γ i

68 56 Para distribuciones simétricas b = 1/2, así la condición (4.15) para distribuciones simétricas queda m α i + 1 m s γ i + β j < 1. 2 i=1 i=1 j=1 El teorema anterior es consistente con la condición para la existencia del segundo momento del GJR(1,1) planteado por Ling y McAleer (2002) ((?), pag. 112), además ellos encuentran la condición para la existencia del cuarto momento asumiendo que el término aleatorio se distribuye Normal con valor esperado cero y varianza uno o tiene una distribución T con v 5 grados de libertad. Este modelo asume que el impacto de a t 1 sobre la varianza condicional σ 2 t depende del signo de a t 1 ((Glosten, Ravi, and Runkle 1993), pag. 1787). La ecuación (4.16) genera valores más altos en σ 2 t para los choques negativos, a t 1 < 0, que en los positivos de igual magnitud, si γ > 0. El modelo GJR(1,1) se expresa como σ 2 t = α 0 + α 1 a 2 t 1 + β 1 σ 2 t 1 + γs t 1a 2 t 1, 4.5. Análisis Estadístico de Procesos GARCH Una manera simple de construir un modelo GARCH, consiste en tres pasos: 1. Ajustar un modelo modelo ARMA para la serie, para remover cualquier dependencia lineal en los datos, y usar los residuales del modelo para probar el efecto GARCH. 2. Especificar el orden del modelo GARCH y desarrollar la estimación. 3. Revisar el modelo GARCH ajustado y refinarlo. Modelamiento de la Media y Pruebas Dada una serie, el primer paso es remover la correlación serial en los datos, con un modelo ARMA para la media muestral, si esta es significativamente diferente de cero. Luego se evalua la heterocedasticidad por medio de a 2 t, donde el residual del modelo ARMA es Z n = r t µ t. Hay dos pruebas disponibles para evaluar la heterocedasticidad de Z n. La primera es realizar el estadístico de Ljung Box para Zn 2. La segunda es realizar la prueba

69 de los multiplicadores de Lagrange o Test de Engle, el cual es equivalente al estadístico F para la hipótesis H 0 : α i = 0 (i = 1, 2,, m) en la regresión lineal: Z 2 n = α 0 + α 1 a 2 t α m a 2 t m + e t, t = m + 1,, T, donde e t es el término de error, m es un entero positivo, y T es el tamaño muestral. Determinar el orden del modelo ARCH Si las pruebas anteriores de heterocedasticidad de Z n son significativas, el siguiente paso es determinar el orden del modelo ARCH. Para una muestra dada Z 2 n es un estimador insesgado de σ 2 t. Se espera que Z 2 n este linealmente relacionado con a 2 t 1,, a 2 t m de una manera similar a un modelo autorregresivo de orden m. Con la PACF de Z 2 n se podrá determinar el orden del modelo ARCH, cuando la muestra no es pequeña. Chequeo del modelo Se define el choque estandarizado, para un modelo ARCH, como: ã t = Z n σ t el cual es una variable aleatoria i.i.d., que se distribuye como una GED o una t Student estándar. Examinando la serie {ã t } se puede evaluar si el modelo es adecuado. Se puede utilizar la prueba de Ljung Box con ã t, si se quiere evaluar la validez de la ecuación para la media, y con ã 2 t para evaluar la validez de la ecuación de la volatilidad. Además se utiliza {ã t } para chequear la suposición de la distribución Distribución Normal Inversa Gaussiana NIG Definición Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución Normal Inversa Gaussiana si su función de densidad de probabilidad está dada por f(x) = αδk 1(α δ 2 + (x µ) 2 ) π δ 2 + (x µ) 2 e δγ+β(x µ), < x <, (4.20) donde los parámetros son: α, δ > 0, µ R, 0 β < α, γ = α 2 β 2 y K κ (.), κ 0 es la función de Bessel modificada de tercera clase con índice κ. Se escribe X NIG(µ, α, β, δ).

70 58 Se tiene en esta caso que E(X) = µ + δβ/γ, V ar(x) = δα 2 /γ 3, asimetría γ 1 = 3β/(α δγ), curtosis γ 2 = 3(1+4β 2 /α 2 )/(δγ). La NIG se clasifica como una distribución de cola semi pesada, con colas menos pesadas que las de las distribuciones estables no gaussianas y más pesadas que las de la normal. Si α tiende a cero la NIG converge a una distribución Cauchy con parámetro de localización µ y escala δ. Si α y δ tienden a +, tales que δ/α = σ 2, entonces la NIG converge a una distribución Normal N(µ, σ 2 ). El comportamiento asintótico de las colas de la NIG se expresa mediante la relación siguiente. f(x) x 3/2 e ( α x +βx), x. (4.21) Una variable X e con distribución NIG(0, α, β, 1) se denomina NIG estándar, y se cumple que para µ R, δ > 0, X = µ + δx e NIG(µ, α, β, δ). Definición La función de densidad de una variable aleatoria distribuída GED(υ), con media cero y varianza unidad, está dada por: f(z) = υ exp[ ( ) 1 2 z λ υ ] ( λ 2 (1+ υ) 1 Γ 1 ), < z <, 0 < υ, (4.22) υ donde Γ( ) es la función gamma, υ es el parámetro para el peso de la cola y λ = [ 2 2 υ Γ ( )]1 1 2 υ Γ ( ). (4.23) 3 υ Cuando υ = 2, se obtiene una distribución normal estándar, para υ < 2, la distribución tiene colas más pesadas que las de una normal, y si υ > 2 la distribución tiene colas menos pesadas que las de una normal. Con relación a esta última afirmación conviene recordar el concepto de curtosis. El caso υ = 1 corresponde a una densidad Laplaciana o doble Exponencial Distribución GED Asimétrica La definición de GED(v) es f(z) = v exp( 1 2 z λ v) λ2 1+1/v Γ(1/v) (4.24) donde [ ] 2 2/v Γ(1/v) λ = Γ(3/v)

71 La transformación de una densidad simétrica a una asimétrica con factor de asimetría γ > 0 es 2 f(z, γ) = γ + 1/γ f(γ sign(z) z) (4.25) Se cumple f(z, 1) f(z). Además, P(Z 0, γ)/p(z 0, γ) = γ 2. También se cumple que ( ) γ E(Z k k+1 + ( 1) k /γ k+1, γ) = M k, k = 1, 2,... (4.26) γ + 1/γ donde M k = 2 0 s k f(s)ds. Entonces 1. E(Z, γ) = (γ 1/γ)M V ar(z, γ) = (γ 2 + 1/γ 2 )(M 2 M 2 1 ) + 2M2 1 M Identidad: 0 x r e a k x k dx = 1 ( ) r + 1 k Γ a r+1 k 4. Con la identidad se comprueba M k = Γ((k + 1)/v)λ k 2 k/v /Γ(1/v). 5. Comprobación: E(Z 2, 1) = M 2 = El paso final es estandarizar la densidad asimetrizada (4.25). Es decir, la densidad SGED. Se hace así f(z, γ, v) = σ γ f(z γ, γ) (4.27) donde z γ = σ γ z + µ γ, y µ γ = E(Z, γ) es la media con la densidad (4.25) y σ 2 γz = V ar(z, γ) es la varianza con esa densidad Distribución t de Student Asimétrica A continuación se exponen algunas propiedades de la distribución t de Student Asimétrica, introducida por Hansen (1994). La densidad se define de la manera siguiente.

72 60 Definición g(z; η, λ) = { bc(1 + 1 η 2 bc(1 + 1 η 2 ( bz+a 1 λ ( bz+a 1+λ ) 2) (η+1)/2 z < a/b, ) 2 ) (η+1)/2 z a/b, donde 2 < η < +, y 1 < λ < 1. Las constantes a, b, c se definen como by ( ) η 2 a = 4λc, η 1 b 2 = 1 + 3λ 2 a 2, 1 Γ ( ) η+1 2 c = π(η 2) Γ ( ) η. 2 Jondeau and Rockinger (2003) calcularon los momentos de la distribución como sigue. Defina X = bz + a, entonces E[X] = a m 2 = E[X 2 ] = 1 + 3λ 2 V [X] = b 2 m 3 = E[X 3 ] = 16cλ(1 + λ 2 (η 2) 2 ) (η 1)(η 3) if η > 3, m 4 = E[X 4 ] =.3 η 2 η 4 (1 + 10λ2 + 5λ 4 ) if η > 4. E[Z 3 ] = [m 3 3a m 2 + 2a 3 ]/b 3, E[Z 4 ] = [m 4 4a m 3 + 6a 2 m 2 3a 4 ]/b 4 También desarrollaron la fda y la fda inversa (es decir, la función cuantil) de la distribución. La fda de la distribución t de Student simétrica (la t Student de uso corriente) está dada a continuación. A(t; η) = = t q η 2 η t 1 Γ ( ) η+1 2 πη Γ ( ) η 2 η 1 Γ ( ) η+1 2 πη 2 Γ ( ) η 2 ) (η+1)/2 (1 + x2 dx (1 + x2 η 2 ) (η+1)/2 dx

73 61 Y la fda de la t de Student asimétrica está dada como sigue. ( ) (1 λ)a η bz+a η 2 1 λ S(z; η, λ) = ( ; η, λ ) (1 + λ)a η bz+a ; η, λ η 2 1+λ z < a/b, z a/b, Y la fda inversa S 1 (y; η, λ) = [ 1 b 1 b (1 λ) [ (1 + λ) ( η 2 η A 1 y ( η 2 η A 1 y+λ ], η) a 1 λ ], η) a 1+λ if y < 1 λ, 2 if y 1 λ Cálculo del VaR con Modelos GARCH, y Cópula GARCH

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75 CAPÍTULO 5 Modelos Actuariales para Riesgo Operativo 5.1. Introducción al Riesgo Operativo 1. Mediante las circulares 048 y 049 de 2006 la Superfinanciera fijó las bases y los lineamientos mínimos que deben ser implementados por las entidades sometidas a su supervisión y vigilancia, para el desarrollo de un Sistema de Administración del Riesgo Operativo SARO. 2. Riesgo Operativo (RO) Se entiende por Riesgo Operativo, la posibilidad de incurrir en pérdidas por deficiencias, fallas o inadecuaciones, en el recurso humano, los procesos, la tecnología, la infraestructura o por la ocurrencia de acontecimientos externos. 3. Esta definición incluye el riesgo legal y reputacional. 4. Según el Comité de Regulación Bancaria de Basilea II: Se define el RO como el riesgo de pérdidas que resultan de procesos internos inadecuados o fallidos, de personas, de sistemas o de eventos externos, incluyendo el riesgo legal. 5. Nota: El Comité de Basilea no consideró el riesgo reputacional como riesgo operativo. 63

76 64 1. Riesgo Legal Es la posibilidad de pérdida en que incurre una entidad al ser sancionada u obligada a indemnizar daños como resultado del incumplimiento de normas o regulaciones y obligaciones contractuales. El riesgo legal surge también como consecuencia de fallas en los contratos y transacciones, derivadas de actuaciones malintencionadas, negligencia o actos involuntarios que afectan la formalización o ejecución de contratos o transacciones. 2. Riesgo reputacional Es la posibilidad de pérdida en que incurre una entidad por desprestigio, mala imagen, publicidad negativa, cierta o no, respecto de la institución y sus prácticas de negocios, que cause pérdida de clientes, disminución de ingresos o procesos judiciales. Ejemplos: 1. Fraude Interno Actos que de forma intencionada buscan defraudar o apropiarse indebidamente de activos de la entidad o incumplir normas o leyes, en los que está implicado, al menos, un empleado o administrador de la entidad. 2. Fraude Externo Actos, realizados por una persona externa a la entidad, que buscan defraudar, apropiarse indebidamente de activos de la misma o incumplir normas o leyes. 3. Relaciones laborales Actos que son incompatibles con la legislación laboral, con los acuerdos internos de trabajo y, en general, la legislación vigente sobre la materia. 4. Clientes Fallas negligentes o involuntarias de las obligaciones frente a los clientes y que impiden satisfacer una obligación profesional frente a éstos. 5. Daños a activos físicos Pérdidas derivadas de daños o perjuicios a activos físicos de la entidad.

77 65 6. Fallas tecnológicas Pérdidas derivadas de incidentes por fallas tecnológicas. 7. Ejecución y administración de procesos Pérdidas derivadas de errores en la ejecución y administración de los procesos. 8. Las pérdidas derivadas de decisiones administrativas como fusiones, nuevas sedes, etc no se consideran RO. Casos de Riesgos Operativos 1. Feb 2002: Banco Allied Irish Bank, pérdida por USD $ 691 mill. Un corredor deshonesto, John Rusnack, escondió pérdidas en operaciones sobre tasa de cambio Yen/USD en una subsidiaria en US, durante 3 años. Daño en la reputación del Banco. 2. Feb 1995: Banco Barings, pérdida por USD $ 1.3 bill. Nick Leeson, corredor de derivados acumuló pérdidas no reportadas por 2 años. El Banco se declaró en quiebra. 3. Sept 1995: Banco Daiwa, Japón, pérdida por USD $ 1.1 bill. Un corredor de bonos, Toshihide Igushi, escondió pérdidas durante 11 años en una filial de US. El banco se declaró en quiebra. 4. Marzo 1997: Banco NatWest, pérdida por USD $ 127 mill. Un corredor de swaps, Kyriacos Papouis, manipuló los precios de las opciones para cubrir pérdidas. El Banco fué absorbido por Bank of Scotland. 5. Estos casos corresponden fraude interno. Es una falla de supervisión SARO: Sistema de Administración de Riesgo Operativo La definición del SARO es: Un conjunto de elementos tales como políticas, procedimientos, documentación, estructura organizacional, registro de eventos de riesgo operativo, órganos de control, plataforma tecnológica, divulgación de información y capacitación,

78 66 mediante los cuales las entidades vigiladas identifican, miden, controlan y monitorean el riesgo operativo. En el SARO las entidades deben desarrollar las siguientes etapas: 1. Identificar 2. Medir 3. Controlar 4. Monitorear Según la Normatividad de la SuperFinanciera: 1. Una vez concluida la etapa de identificación, las entidades deben medir la probabilidad de ocurrencia de los riesgos operativos y su impacto en caso de materializarse. 2. Esta medición podrá ser cualitativa y, cuando se cuente con datos históricos, cuantitativa. 3. Para la determinación de la probabilidad se debe considerar un horizonte de tiempo de un año. 4. Nótese que en ningún momento habla de APROVISIONAR ó crear una RESERVA. Según las directrices de Basilea II, dadas por BIS, en el documento Basel (2003), 1. Los Bancos no solamente deben medir frecuencias y severidades de los riesgos operativos indentificados sino también generar una provisión, un colchón (cushion), para enfrentar pérdidas anormales. Esta operación se denomina Pilar El Pilar 2 consiste en las operaciones de identificación, control y monitoreo. 3. El Pilar 3 requiere que las entidades hagan pública la información de pérdidas y los métodos de administración del riesgo. 4. En el Comité de Basilea se propone que las Entidades cubran las pérdidas medias pequeñas con recursos propios, como gastos.

79 5. En cambio, se propone calcular una reserva que sirva para enfrentar pérdidas extremas, inusuales. 6. La regulación colombiana aparentemente no considera estos casos. Las Entidades deben medir y cuantificar las pérdidas mediante modelos internos y proveer planes de contingencia y supervivencia. 7. Se asumirá que las metodologías para calcular provisiones, propuestas a partir de los lineamientos del Comité de Basilea, se pueden aplicar para realizar la medición de las pérdidas por RO El Cálculo de las Provisiones en SARO En Moscadelli (2004) se propone que el cálculo de las provisiones para RO se divida en dos enfoques: 1. No Avanzado: no incorpora análisis estadístico, se basa en indicadores. 2. Avanzado. Varias metodologías para modelamiento cuantitativo de pérdidas de riesgo operativo como 3. Modelos causales y redes bayesianas 4. Modelos de confiabilidad. 5. Modelos actuariales (tomados del área de los seguros de ramos generales, ver Capítulo 2): LDA y EVT POT El enfoque No Avanzado 1. Está recomendado para Bancos pequeños, que no tienen operaciones internacionales muy amplias. 2. Para este enfoque hay dos alternativas: 1.1) Indicadores de Base, 1.2) Enfoque estándar.

80 68 3. Fórmula para el Enfoque de Indicadores de Base: la provisión es igual a un porcentaje fijo del promedio de los ingresos netos anuales de los últimos 3 años. El porcentaje recomendado por Basilea es 15%. 4. Para describir la fórmula para la provisión según el enfoque estándar se requiere dividir las líneas comerciales del Banco en 8 categorías. 5. Esta división es similar a la división del Seguro de Bienes en sus diferentes ramos. Pero tiene otros objetivos como proporcionar una estrategia de recolección de datos para su análisis. 6. La fórmula para la provisión es el promedio de los últimos 3 años, de los ingresos netos anuales, donde el ingreso neto de cada año se calcula como la suma ponderada de ingresos netos por línea comercial, ponderados por los factores beta que se definen en el Cuadro 5.1. Cuadro 5.1: Líneas Comerciales de un Banco y ponderaciones No Línea Comercial beta % 1 Finanzas Corporativas 18 2 Negociación y Ventas 18 3 Banca Minorista (personas) 12 4 Banca Comercial 15 5 Compensación y Liquidación 18 6 Agencias de Servicios 15 7 Administración de Activos 12 8 Corretaje El Enfoque Avanzado: Modelos Actuariales 1. Moscadelli (2004) propone dos Modelos tomados de la literatura actuarial para la cuantificación de las pérdidas en RO.

81 2. LDA : Modelo de Pérdidas Agregadas (Loss Distribution Analysis). Se basa en un modelo para la frecuencia anual y la severidad de las pérdidas para conformar una pérdida agregada y con ésta calcular una provisión para las pérdidas más extremas. El Modelo LDA es el Modelo de Riesgo Colectivo del Capítulo 2. Las provisiones se calculan con los mismos principios de cálculo de primas en el Modelo de Riesgo Colectivo. Por ejemplo, el principio del percentil del Capítulo 2, pag EVT POT : Análisis de datos extremos superiores a un umbral (Peaks over Threshold). Se basa en el supuesto de que los datos extremos provienen de procesos heterogéneos, por lo que es necesario no tomar todos los datos (medianos, pequeños, extremos) sino solamente los más extremos. La metodología EVT POT está tomada del área de la Ingeniería (Hidráulica, Civil) y la Actuaría de Seguros de Bienes en Reaseguros Método LDA (Loss Distribution Analysis) El método LDA consiste en utilizar el mismo modelo para los costos acumulados en un seguro de bienes, en una vigencia de un año. Este modelo se introdujo en el Capítulo Suponga que N una variable aleatoria con valores enteros no negativos, que representa el número de pérdidas operativas total, en un período de un año. Por ejemplo, en una línea particular de operaciones de un Banco. Se denomina la frecuencia. 2. Suponga que X 1, X 2,... son variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas (i.i.d.) con función de distribución acumulada dada por F(x) = P(X x). Independientes de N. Entonces X j es el valor de la pérdida operativa j ésima, j = 1, 2,..., N. Se denomina la severidad. 3. En el Capítulo 2, pag. 9 se definió la variable S como la suma aleatoria de variables aleatorias.. S es el valor acumulado de las pérdidas operativas en un período. S = X 1 + X X N = N X j. (5.1) j=1 La función de distribución acumulada de la variable S = N j=1 X j, F S (x), se definió en el Capítulo 2, pag. 13, como una distribución compuesta. Una gráfica teórica de F S está en

82 70 la Figura (5.1). Muestra lo que es la región de pérdidas esperadas, alrededor de la media, y la región de pérdidas extremas, por encima de un percentil alto (VaR). Figura 5.1: Distribución de Pérdidas Totales Teórica La Estimación de las Distribuciones de Frecuencia y Severidad de Pérdidas Operativas La estimación de N y X d = X j se hace especificando distribuciones adecuadas para estas variables. Distribuciones para la variable aleatoria N Algunas de las distribuciones sugeridas son: La distribución Poisson. La distribución Binomial Negativa. En el caso Poisson, E(N) = V ar(n). En el caso Binomial Negativa E(N) < V ar(n). Distribuciones para la variable aleatoria X Las distribuciones para X se pueden clasifican en tres categorías:

83 71 1. Colas livianas: Weibull 2. Colas medianas: Gamma, Gumbel 3. Colas pesadas: LogNormal, Pareto La vida media residual es una característica asociada a X que permite definir las categorías anteriores. Se define más adelante, ver (5.21). Además, el estimador de la vida media residual permite decidir a cuál categoría pertenece una distribución a partir de una muestra, ver (5.22). En Moscadelli (2004) se propone el análisis con distribuciones LogNormal y Gumbel. Chaubey and Trudeau (1998) propone ajustar la distribución de severidad utilizando distribuciones Gamma, Pareto, Weibull e Inversa Gaussiana. Gendron and Crepaud (1989) utilizan la distribución Inversa Gaussiana para la distribución de las severidades X j. Algunas de las distribuciones mencionadas se definen así. 1) La distribución Weibull. se define por su función de densidad (fdp) así: f(x) = τ ( τ ) τ 1 e (x/λ) τ, x 0, (5.2) λ λ donde λ > 0 es el parámetro de escala y τ > 0 es el parámetro de forma. 2) La distribución Gumbel. se define por su función de densidad (fdp) así: ( ( f(x) = exp exp x µ )), (5.3) σ para < x <. 3) La distribución LogNormal. se define también por su fdp así: para x > 0. f(x) = ( 1 exp 2πσx ( ln(x) µ 2σ )), (5.4)

84 72 4) La distribución Inversa Gaussiana. La forma de la función de densidad de la IG está dada por: f(x; µ, σ) = ( σ ) 1 2 exp 2πx 3 { σ(x µ) 2 2µ 2 x }, x 0, (5.5) donde µ y σ son constantes positivas. La media y la varianza de la distribución Inversa Gaussiana están dados por: E[X] = µ, V ar[x] = µ3 σ. La distribución IG tiene la propiedad reproductiva (infinitamente divisible), como en la Normal y la Gamma, de que la suma de variables independientes que se distribuyen Inversas Gaussianas es Inversa Gaussiana. 5) La distribución Gamma. La forma de la función de densidad de la Gamma está dada por: 1 f(x) = β α Γ(α) xα 1 e x/β, x 0, (5.6) donde α > 0, β > 0. 6) La distribución Pareto. La forma de la función de densidad Pareto está dada por donde α > 0, λ > 0. f(x) = αλ α (λ + x) α 1, x 0, (5.7) Ejemplo de Análisis en Moscadelli En Moscadelli (2004) se presentó un análisis en el cual se explica las ventajas de agrupar los datos en categorías, denominada la Estrategia de Fraccionamiento Agrupamiento. La estrategia consiste en la División en Líneas Comerciales por Tipos de Eventos, para un total de 8x7 = 56 categorías para producir un efecto de agrupamiento fraccionamiento que garantice independencia y poder sumar los VaR. El objetivo es generar un VaR para cada combinación de Línea y Evento, para luego agrupar y obtener un VaR total. Ver el Cuadro Al reunir datos de 89 Bancos por categoría, resulta que en cada una éstos pueden verse como una muestra i.i.d., con lo cual se evita dependencias y se elimina el carácter de no repetibilidad de ciertos eventos.

85 73 Cuadro 5.2: Líneas Comerciales y Tipos de Eventos No Línea Comercial Tipo de Evento de Riesgo 1 Corporativa Fraude Interno 2 Ventas Fraude Externo 3 Banca Minorista Relaciones Laborales 4 Banca Comercial Clientes 5 Compensación y Liquidación Daños a Activos Físicos 6 Agencias de Servicios Fallas Tecnológicas 7 Administración de Activos Ejecución y Administración de Procesos 8 Corredores 2. Se encontró en este estudio que ciertas distribuciones tradicionales,la LogNormal por ejemplo, ajustan las observaciones centrales, sin tomar en cuenta de manera adecuada las pérdidas extremas. Lo que impide la utilización de la metodología LDA. Ver por ejemplo, la Figura (5.2), muestra el ajuste en las colas de las distribuciones LogNormal y Gumbel, para el caso de Pérdidas Operativas en el ramo de Banca Corporativa. 3. En contraste, la teoría EVT, en su versión POT GPD, provee una estimación adecuada de la cola de la distribución a partir del percentil alto, por ejemplo, de 95%, confirmada a través de 3 test de bondad de ajuste. 4. Se estimó que la Banca Corporativa es la que tiene mayor riesgo, con un VaR al 99.9% de 260e mill. Lo sigue la Banca Comercial con 151e mill. La Banca personal con 17e mill y Corredores con 27e mill. 5. Las distribuciones Gumbel y LogNormal resultaron ser las que mejor ajuste presentaron en los 8 grupos de datos. Sin embargo, no pasaron las pruebas de ajuste Kolmogorov Smirnov y Anderson Darlin. 6. Comentario: Por qué no ajustaron los datos las distribuciones?. Qué consecuencia tendría para el cálculo del VaR utilizar estos resultados de estimación convencional?. Es válido utilizar el modelo LDA?.

86 74 Figura 5.2: Prueba Gráfica: comparación en la cola derecha, en Moscadelli (2004), pag.23 Cálculo de las provisiones en el sistema LDA En Shevchenko (2010): Estimation of the operational risk capital under the Loss Distribution Approach requires evaluation of aggregate (compound) loss distributions which is one of the classic problems in risk theory. Closed form solutions are not available for the distributions typically used in operational risk. However with modern computer processing power, these distributions can be calculated virtually exactly using numerical methods... In particular Monte Carlo, Panjer recursion and Fourier transformation methods are presented and compared. Also, several closed form approximations based on moment matching and asymptotic result for heavy tailed distributions are reviewed. Si se denota F S (x) la fda de la variable S y se toma una probabilidad pequeña q se define la provisión como el percentil q de S, por tanto, se cumple P(S Π) 1 q. Π = S q = Min{s : F S (s) 1 q}. (5.8) La prima es un valor que permite un balance entre la posible pérdida que debe asumir la Compañía y los recursos provenientes de los recaudos de primas individuales.en este sentido, de ser una medida de la posible pérdida que experimenta una Compañía, es equivalente al concepto de VaR que se define en el Capítulo 3, en el contexto de Medidas de Riesgo en Portafolios. Y también es la misma la interpretación que se utiliza para

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