La Energía Mecánica. E = m v

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1 Energía La Energía Mecánica Direos que la energía de un cuerpo o sistea de cuerpos es la capacidad que tienen para realizar trabajo. Esta definición es iperfecta pero nos alcanza para hacer una priera aproxiación al concepto de energía. Energía cinética: Es la energía que posee un cuerpo o un sistea de cuerpos por encontrarse en oviiento respecto de un sistea de referencias y su valor se calcula con la siguiente expresión: E = v c 1 Unidades: E c = v = Kg = Kg = N = J s s Es iportante tener en cuenta que un Newton es la fuerza que hay que aplicarle a un kilograo de asa para que en cada segundo auente su velocidad 1 /s. Por lo Tanto: 1N = 1Kg s Teorea del trabajo y la energía Supongaos que sobre el cuerpo de la figura, la fuerza F (que puede ser la resultante de otras uchas fuerzas aplicadas), realiza un trabajo a lo largo de la trayectoria Δx. Inicialente, el cuerpo tenía una velocidad v0 y luego de realizado el trabajo su velocidad es vf. Entre estas velocidades transcurrió un tiepo Δt. El trabajo será: L = F Δx Prof.: Claudio A. Naso 1

2 Es evidente que el trabajo provocará un cabio en la velocidad del cuerpo. Puede deostrarse que dicho trabajo es igual al cabio de energía cinética que experienta el cuerpo. 1 1 L = v - v f 0 Si analizaos esta expresión, notareos su extraordinaria iportancia, en efecto, ella nos dice que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actuaron sobre un cuerpo puede calcularse aunque se desconozca: cuales fueron estas, en que dirección actuaron y a lo largo de que distancia fueron aplicadas. Solo es necesario conocer la asa del cuerpo y sus estados de velocidad inicial y final. Por lo tanto el trabajo realizado por todas las fuerzas que actuaron sobre un cuerpo puede calcularse coo la diferencia entre las energías cinéticas inicial y final del iso. Conclusión: El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistea de cuerpos es igual a la variación de la energía cinética que el cuerpo o sistea experienta. L = E - E cf c0 L = ΔE c Obsérvese que si un cuerpo disinuye su energía cinética significa que sobre el se ha realizado un trabajo negativo, ientras que si la auenta quiere decir que el trabajo que realizaron sobre el fue positivo. Es decir, si el cuerpo realiza trabajo contra otros su energía cinética disinuye ientras que si otros cuerpos realizan trabajo positivo sobre el su energía cinética auenta. De esta observación podeos llegar a una generalización para el concepto de energía. Adeás de la energía cinética existen otros tipos de energía, y están relacionadas con algún tipo de trabajo, por ejeplo el trabajo de la fuerza peso dará origen a la energía potencial gravitatoria y el trabajo de una fuerza elástica dará origen a la energía potencial elástica. Ejeplo 1: Sobre un cuerpo de 0 kg. que se desplaza a una velocidad de 10 /s sobre una superficie horizontal se aplica una fuerza constante de 50N en la isa dirección y sentido del desplazaiento a lo largo de 30. Calcular cuál es la velocidad que alcanza. Solución: Utilizaos el teorea del trabajo y la energía: L = ΔEc L = E - E cf c0 Prof.: Claudio A. Naso

3 1 1 F Δ x = v - v f N 30 = 0kg v - 0kg 100 s f 1500N kg v = = 50 10kg s s f Energía potencial gravitatoria La gravedad: v f = 50 = 15,81 s s La gravedad es la propiedad que tienen las asas de atraerse, sin ebargo, estas fuerzas de atracción solo se hacen evidentes cuando al enos uno de los cuerpos que se atraen es enoreente grande, coo un planeta. La tierra atrae a todos los cuerpos que se encuentran en sus cercanías con una fuerza llaada peso. El capo gravitatorio en las proxiidades de la tierra es constante y se denoina aceleración de la gravedad. La aceleración de la gravedad fue descubierta por Galileo Galilei quien deostró que cuando un cuerpo cae en al vacío (es decir sin que el aire interfiera) lo hace acelerando de tal odo que en cada segundo de caída su velocidad auenta 9,8 /s. Esta agnitud se indica con la letra g g = 9,8/s Valor que para siplificar los cálculos se suele aproxiar en 10 g 10/s Todos los cuerpos caen de la isa fora independienteente de su peso. El peso de un cuerpo es proporcional a su asa y puede calcularse haciendo el siguiente producto: P =.g Por esta razón, un cuerpo que tiene una asa de 80 kg pesará aproxiadaente: P =.g = 80kg.10/s = 800N Energía potencial gravitatoria Supongaos que un cuerpo se encuentra a una cierta altura h0 respecto de un sistea de referencias dentro del capo gravitatorio de la tierra y por acción de una fuerza igual al peso pero de sentido contrario se lo desplaza hasta otra altura hf. Calculareos el trabajo realizado por esta fuerza. Prof.: Claudio A. Naso 3

4 L = F Δy cos α F Teniendo en cuenta que, la fuerza F tiene el iso ódulo que el peso P, Δy es hf - h0 y el ángulo α = 0, podeos escribir: L = P (h - h) cos 0º F f 0 F F F f 0 L = P (h - h) L = g (h - h) L = g h - g h f f 0 Nuevaente nos encontraos con que el trabajo puede hallarse realizando la diferencia entre dos expresiones correspondientes a los estados inicial y final del cuerpo que en este caso tienen que ver con la posición. Por esta razón a cada uno de estos térinos los llaareos energía potencial gravitatoria del cuerpo. 0 E PG = g h Esto significa que el trabajo realizado por la fuerza F para subir al cuerpo de asa con velocidad constante es igual a la variación de la energía potencial gravitatoria. L = Δ F EP G Por ultio, teniendo en cuenta que el trabajo realizado por la fuerza F es igual al realizado por la fuerza peso pero de signo contrario, podeos concluir que: Δ -L P = EP G La variación de la energía potencial gravitatoria es igual al trabajo de la fuerza peso cabiado de signo. Conclusión: La energía potencial gravitatoria es la que posee todo cuerpo que se encuentra a una cierta altura respecto de un nivel de referencias dentro de un capo gravitatorio. Obsérvese que el cero de energía potencial es arbitrario pues corresponde al cero de altura. Para fines prácticos, suele asignarse altura cero al punto as bajo por el que el óvil pasa en el problea en cuestión. El trabajo de la fuerza peso y la trayectoria: Desplazaos un cuerpo desde el punto A hasta el punto B por dos cainos distintos. Priero por el caino AB y luego por el caino ACB y calculaos en cada caso el trabajo. Prof.: Claudio A. Naso 4

5 Caino AB: L = P AB cos 0º AB L = P (h - h ) AB f 0 Caino ACB: L ACB = P AC cos 90º+ P CB cos α Pero cos 90º = 0 y cos α: AB cos α = CB Replazando en el cálculo del trabajo: Siplificando: L = 0+ P CB ACB L ACB = P AB L = P (h - h ) ACB f 0 Coo podeos ver el trabajo realizado por la fuerza peso es igual en abos casos y puede deostrarse, utilizando cálculo infinitesial, que será el iso para cualquier caino siepre que el punto de partida sea el A y el de llegada el B. En ateática, a las funciones que cuplen con esta propiedad se las llaa potenciales, y de aquí el nobre de energía potencial. Cuando el trabajo que realiza una fuerza solo depende del punto de partida y del de llegada sin iportar la trayectoria, se dice que la fuerza es conservativa. AB CB Fuerza elástica: Ley de Hooke Los cuerpos pueden ser clasificados en elásticos o plásticos: a- Cuerpos elásticos: Son aquellos cuerpos que al ser deforados por acción de una fuerza, retornan a su fora original cuando la fuerza deja de actuar. Por ejeplo: un resorte, una banda elástica, etc. b- Cuerpos plásticos: Son aquellos que al ser deforados por acción de una fuerza no retornan a su fora original cuando la fuerza deja de actuar. Por ejeplo: un trozo de plastilina, asilla, etc. En realidad no existen cuerpos perfectaente plásticos ni cuerpos perfectaente elásticos. Todo cuerpo elástico tiene un líite de elasticidad a partir del cual no retorna a su fora original y todo cuerpo plástico luego de ser deforado tiende a retornar aunque sea uy leveente a su fora original. La elasticidad de los cuerpos fue estudiada por un faoso científico inglés llaado Robert Hooke ( ), quien experientando con resortes obtuvo su faosa ley, que tabién se conoce coo ley del resorte. Intentareos reproducir sus experientos en el laboratorio. Prof.: Claudio A. Naso 5

6 Objetivos: TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: Ley de Hooke a- Aplicar el étodo científico. b- Obtener una ley experiental utilizando para ello el lenguaje ateático. c- Descubrir la relación que existe entre la fuerza que ejerce un resorte y su estiraiento. Procediiento: Hipótesis: La fuerza que hace un resorte auenta en fora proporcional a su estiraiento. Para confirar si la hipótesis es correcta realicen el siguiente experiento: Suspendan el resorte de un soporte universal coo indica la figura. Utilizando la regla ilietrada idan la longitud inicial del resorte (L i) y anótenla en la tabla. A continuación elijan una cobinación de pesas que suen coo ínio 0,3 N (las pesas chicas son de 0,1 N y las grandes de 0, N) y suspéndanlas del resorte. Midan la longitud alcanzada por el resorte y anoten el valor de la fuerza ( F ) y la longitud final ( L f ) en la tabla 1 (tengan en cuenta que la fuerza que ejerce el resorte en equilibrio es igual al peso de la pesa). Repitan el procediiento anterior con siete pesos distintos. Tabla 1 F (N) L i (c) L f (c) ΔL (c) K (N/c) Prof.: Claudio A. Naso 6

7 Para establecer que tipo de relación existe entre las agnitudes fuerza y estiraiento, realicen un gráfico cartesiano en papel cuadriculado, donde el eje de abscisas representará el estiraiento (ΔL = L f L i) y el eje de ordenadas representará la fuerza elástica. En este gráfico arquen los puntos obtenidos experientalente. Una recta que pase por el origen en un gráfico cartesiano, nos indica una relación directaente proporcional; por lo tanto si nuestros puntos se encuentran aproxiadaente alineados (teniendo en cuenta que debido al error es uy difícil que se encuentren exactaente alineados), significará que la relación entre la fuerza elástica y el estiraiento es directaente proporcional. Dado que los puntos no están exactaente alineados, no es posible trazar una recta que pase por todos los puntos, por esta razón se debe trazar una recta que a siple vista pase equidistante de todos los puntos, a la que se denoina recta ás probable. Deben ahora hallar la constante de proporcionalidad entre las agnitudes fuerza y estiraiento, ésta constante es igual a la pendiente de la recta trazada. Su valor lo hallarán si buscan un punto cualquiera de la recta, que no sea ninguno de los edidos y que corte en un cuadriculado de la hoja. Toando sus valores de abscisa y ordenada calculen el cociente, que no es otra cosa que la constante de proporcionalidad que buscaos. Los físicos la llaan constante elástica del resorte K. Dado que este valor se obtiene de la recta ás probable lo denoinareos valor ás probable de la constante K, pues el valor exacto nunca lo podreos conocer. Ley de Hooke La fuerza que ejerce un resorte es directaente proporcional a la longitud que se estira, siendo la constante de proporcionalidad una agnitud que depende de las características físicas y geoétricas del resorte (grosor del alabre, núero de espiras, diáetro de las espiras, aterial con que está construido, etc.) y que se denoina "constante elástica del resorte. Prof.: Claudio A. Naso 7

8 Unidades: La unidad en que se ide K surge coo consecuencia del cociente entre la unidad de fuerza y la unidad de longitud: F N N K = = o' l c Energía potencial elástica Cuando se coprie o se estira un resorte con velocidad constante, hay que aplicarle una fuerza externa igual y contraria a la fuerza elástica. Esta fuerza hará trabajo y entonces se acuulará energía en el resorte que podrá ser devuelta en fora de trabajo de la fuerza elástica cuando se deje el resorte en libertad Se deuestra que la energía potencial elástica acuulada en un resorte es 1 E PE= k Δ X Siendo el DX la longitud copriida o estirada del resorte. Energía ecánica Se denoina energía ecánica de un cuerpo o de un sistea de cuerpos a la sua de las energías cinética, potencial gravitatoria y potencial elástica del iso. E = E +E +E C PG PE Para que un cuerpo posea energía ecánica bastará con que tenga al enos una de las tres que la conforan. Prof.: Claudio A. Naso 8

9 Principio de conservación de la energía ecánica Cuando sobre un cuerpo o sistea de cuerpos solo realizan trabajo fuerzas conservativas la energía ecánica del iso peranece constante. Es decir la energía ecánica será siepre la isa, podrá cabiar de cinética a potencial pero la sua de todas siepre dará el iso resultado. ΔE = 0 E 0 = E f Fuerzas no conservativas: Se denoinan fuerzas no conservativas a aquellas que al realizar trabajo hacen que varíe la energía ecánica del sistea. Por ejeplo la fuerza de rozaiento, que transfora la energía ecánica de un óvil en otro tipo de energía llaada calor. Cuando se epuja con la ano un carro que se encontraba detenido y se lo pone en oviiento, la fuerza que aplicaos tabién es no conservativa, pues está odificando la energía ecánica del carro. Estaos transforando la energía que tiene nuestro cuerpo en oviiento del carro. Es evidente entonces que el trabajo realizado por estas fuerzas será igual a la variación que experiente la energía ecánica del sistea sobre el cuál han actuado: L = E f Δ nc Ejeplo 3: La longitud libre de un resorte es 60 c y está copriido de odo que su longitud es 0 c. Un cuerpo de asa = 10kg está apoyado contra uno de los extreos del resorte, estando fijo el otro extreo del iso. Se libera el resorte y la asa recorre el caino ABCD ostrado en el esquea. Si la constante del resorte es 0000 N/ y se desprecian los rozaientos, calcular: a- La velocidad en A b- La energía cinética en B c- La altura que la asa alcanza sobre la rapa CD d- Si se deja retornar el cuerpo por el iso caino; hasta dónde se copriirá el resorte? e- Repetir el punto c) si en la rapa CD actúa una fuerza de rozaiento constante fr= 5N Solución: Coo en las preguntas a, b, c y d se desprecia la acción de las fuerzas de rozaiento y no hay ninguna otra fuerza no conservativa que realice trabajo, puesto que la noral es perpendicular a la trayectoria en todo oento, podeos aplicar el principio de conservación de la energía. Toaos coo altura cero el nivel del piso: Prof.: Claudio A. Naso 9

10 a- Cálculo de la velocidad en el punto A: ΔE = 0 E 0 = E A Cancelaos las energías inexistentes en cada punto y las potenciales gravitatorias de cada iebro por ser iguales: E / +E / +E = E +E / +E/ C0 PG0 PE0 CA PGA PEA Por lo tanto: 1 k ΔX = v 1 A k ΔX 0000N/ (0,4) v A = = = 17,89 /s 10 kg b- Cálculo de la energía cinética en b: Nuevaente consideraos las energías entre el punto inicial y el B: E / +E +E = E +E / +E/ C0 PG0 PE0 CB PGB PEB 1 E = k X + g h B 0 Δ 1 E = 0000N/ (0,4) + 10 kg =600 J B s c- Calculo de la altura sobre la rapa: Cuando el cuerpo llega a la áxia altura toda la energía ecánica se habrá transforado en potencial gravitatoria: E / +E +E = E / +E +E/ C0 PG0 PE0 CD PGD PED 1 k X + g h 0 = g h Dax Δ Prof.: Claudio A. Naso 10

11 1 k Δ X + g h 0 h D = = ax g N/ 0, kg = s = 6 10 kg 10 s d- Coo no hay trabajo de las fuerzas no conservativas el resorte se copriirá hasta el punto inicial y el oviiento coenzara nuevaente continuando eternaente. e- Ahora calculaos la nueva altura pero considerando que la energía ecánica no se conserva pues realiza trabajo la fuerza de rozaiento. Llaareos d a la distancia recorrida por el óvil sobre el plano: L = Δ E fnc L = E - E fr f 0 L = (E/ +E +E / )-(E/ +E +E ) fr CD PGD PED C0 PG0 PE0 f r d cos 180º = g hd - ( k ΔX + g h ) ax 0 1 Pero d está relacionado con hdáx según la siguiente ecuación: Replazando: hd h Max DMax sen 30º = d = d sen 30º hd 1 Max -f r = g hd - ( k ΔX + g h ) ax 0 sen 30º Agrupando y sacando factor coún: h = Dax 1 k Δ X + g h 0 r g + sen 30º f N/ 0, kg h s D = = 17,33 ax 5N 10 kg 10 + s 0,5 Prof.: Claudio A. Naso 11

12 Probleas y preguntas 1-Una fuerza horizontal de 40N epuja un bloque que tiene una asa de 8 Kg sobre una superficie horizontal sin rozaiento, una distancia de 6. El bloque parte del reposo. a- Calcule el trabajo de la resultante de todas la fuerzas que actúan sobre el bloque. b- En qué se convierte este trabajo? c- Calcule la energía cinética adquirida por el bloque. d- Calcule la velocidad alcanzada por el bloque Resp: 40J ; 40J ; aprox 7,74 /s - Un óvil de 40 kg. parte del reposo y cuando recorrió 100 sobre un plano horizontal su velocidad es de 30 /s. Calcular: a - Qué trabajo se realizó sobre el? b - Qué fuerza se le aplicó? Resp: J, 180 N 3- Sobre un óvil de 30 kg., que se encuentra inicialente en reposo sobre un plano horizontal, se aplica una fuerza de 700 N paralela al plano, a lo largo de 50. Calcular: a - Energía cinética adquirida por el óvil. b - Velocidad final alcanzada. Resp: J, 48,3 /s 4- Un óvil de 50 kg. posee una velocidad de 10 /s, y luego de recorrer 50 su velocidad es de 40 /s. Calcular: a - Trabajo realizado sobre el óvil. b - Fuerza aplicada. Resp: J, 150 N 5- Un óvil de 0 kg. archa sobre una superficie horizontal con una velocidad de 30 /s y se detiene por acción del rozaiento al cabo de 10 s. Calcular: a - Trabajo de la fuerza de rozaiento. b - Valor de la fuerza de rozaiento. Resp: J, 60 N 6-Una caja de kg. está inicialente en reposo sobre una esa horizontal. La fuerza de rozaiento la esa y la caja es 8N. La caja es acelerada a lo largo de la esa por acción de una fuerza horizontal de 10 N y recorre una distancia de 3. Calcular: a- El trabajo realizado por la fuerza aplicada. b- El trabajo realizado por la fuerza de rozaiento. c- El trabajo realizado por la fuerza peso. d- La variación de la energía cinética de la caja. e- La velocidad que alcanzó la caja Resp: 30J ; -4J ; 0J ; 6J ; aprox,45 /s 7- Despreciando las fuerzas de rozaiento calcular desde qué altura debe caer un trineo para alcanzar una energía cinética equivalente a la que posee cuando su velocidad es 7k/h. Considere g= 10/s Resp: 0 8- Un autoóvil de 1450 kg. de asa tiene una velocidad de 108 K/h. Calcular su energía cinética y la altura desde la cual tendría que precipitarse por un abiso, a partir del reposo, para adquirir esa energía cinética. Despreciar la resistencia del aire. Prof.: Claudio A. Naso 1

13 Resp: 65500J ; Un cuerpo de asa se deja caer por una pendiente de 100 de altura, Calcular la velocidad con que llega al pie de la pendiente. Resp: 44,7 /s 10- Un cuerpo de 10 kg. se deja en libertad en una pista sin rozaiento coo indica la figura. Calcular: a - Energía cinética y velocidad en el punto A. b - Altura del punto B. c - Máxia copresión del resorte. Resp: 000 J, 0 /s, 15, 44,7 c. 11- Un óvil de 0 kg. se desliza con una velocidad inicial de 15 /s por una pista sin rozaiento coo indica la figura. Desciende por la pendiente y luego de pasar por el punto A entra en una zona con rozaiento recorriendo 5 hasta detenerse. Calcular: a La energía ecánica inicial. b- Velocidad en el punto A. b - Trabajo de la fuerza de rozaiento. c - Valor de la fuerza rozaiento. Resp: 450J ; 0,6 /s, -450 J, 170N 1- Un óvil de asa =0kg se desliza por un caino horizontal con una velocidad de 10/s. Al llegar al punto A entra en un caino de cuestas y pendientes de fora y alturas indicadas en la figura donde h 1 = 10, h = 3 h 3 = 7 h 4 = 5. Suponga despreciable la fuerza de rozaiento en todo el caino y considere g= 10/s. Calcular: a-la energía potencial, la energía cinética y la velocidad del cuerpo en los puntos A, B, C, D y E b- Qué velocidad tendría en el punto C si en el trao AC hubiera actuado una fuerza de rozaiento constante de 10N? El trao AC tiene una longitud de 10. Prof.: Claudio A. Naso 13

14 Resp: 000J, 1000J, 10/s ; 600J, 400J, 15,48/s ; 1400J, 1600J, 1,65/s ; 0J, 3000J, 17,3/s ; 1000J, 000J, 14,14 /s ; 1,5 /s 13- El péndulo de la figura tiene longitud l = 1. Cuando se lo deja oscilar libreente la asa describe arcos de circunferencia. Calcular el ódulo de la velocidad con que la asa cruza la vertical que pasa por 0, si se lo separó un ángulo α =90º respecto de la vertical y no se tienen en cuenta los rozaientos. Resp: 4,47 /s Prof.: Claudio A. Naso 14

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