Tema 2. Sistemas conservativos

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1 Tema. Sistemas consevativos Tecea pate: Fueza gavitatoia A Campo gavitatoio Una masa M cea en su vecindad un campo de fuezas, el campo gavitatoio E, dado po E u siendo u el vecto unitaio adial que sale de M. B Fueza gavitatoia La masa m, mucho meno que M, sufe una fueza gavitatoia F debido a M dada po m F = me u C Enegía potencial gavitatoia La masa m, en pesencia de M, adquiee una enegía gavitatoia dada po m E p F d y además se satisface F E p D Enegía total Como F es una fueza consevativa, que deiva de un potencial, se conseva la enegía, como suma de la enegía cinética y la enegía potencial gavitatoia, dada po 1 m E = mv

2 E Cuepos continuos Si la masa M que genea el campo gavitatoio no es puntual, basta sustitui en las ecuaciones anteioes M po dm, e ega sobe todo el volumen del cuepo. F Autoenegía gavitatoia Po definición, la autoenegía gavitatoia de un sistema es la enegía adquiida po el sistema debida a los campos gavitatoios geneados po las masas que lo componen. Matemáticamente, se define po la ecuación U U = i = du siendo U la enegía potencial gavitatoia de la masa i G Ley de Gauss i Sea S una supeficie ceada, V su volumen eio y E un campo gavitatoio abitaio definido en V. Se satisface la ley de Gauss paa el campo gavitatoio E n ds 4π siendo n la nomal a la supeficie S, diigida hacia fuea del volumen V, y M la masa contenida en V, eio a S. Si podemos enconta una supeficie S tal que el campo gavitatoio E sea nomal a S, y constante sobe S, la ley de Gauss nos da el valo de ese campo nomal E n según la fómula S 4π ( S E n siendo M(S la masa enceada po S. Si la distibución de masa tiene simetía esféica, el campo sobe una supeficie esféica de adio tiene la expesión 4π ( ( E 4π M localizada en el oigen. Po tanto, como consecuencia de la ley de Gauss, el campo ceado po una distibución esféica de masa en su exteio es igual al campo ceado po una masa puntual, del mismo valo que la masa total de la distibución esféica, localizada en el oigen. y coincide con el campo ceado po una masa puntual ( m i

3 Poblemas esueltos.14 Calcula la autoenegía gavitatoia de una esfea homogénea de adio y masa M. Sea ρ la densidad de masa de la esfea. Tomamos un casquete esféico de adio y espeso d. La masa de este casquete es dm( = ρ 4π d La masa contenida dento del casquete esféico es ( 4 M = ρ π El campo poducido po M ( en la egión donde se encuenta dm ( es tal que M ( actúa como si estuviea concentada en el oigen. Esto hecho es consecuencia de la ley de Gauss. Podemos pensa entonces que la autoenegía gavitatoia del elemento de masa dm ( se debe a la pesencia de una masa M ( en el oigen. Esto es, ( dm ( du Esta es la autoenegía del casquete esféico de adio. Si egamos en desde = 0 hasta =, estamos sumando la contibución de todos los casquetes que foman la esfea de adio. Po tanto, la autoenegía de la esfea es ( dm( 4 4 U Gρ π 4π d π ρ G Calcula el campo gavitatoio y el potencial gavitatoio en el eio y en el exteio de una esfea homogénea de adio y masa M. Utilizamos la ley de Gauss paa halla el campo. Po simetía, el campo siempe seá adial. Paa el campo eio utilizamos S como la supeficie esféica de adio <. La masa contenida en S es M ( S = M Po tanto, 4π( S E = S

4 Vemos que en el eio de la esfea, el campo es popocional a. De la ecuación V E d obtenemos el potencial eio V = d = + C La constante C se deteminaá po la continuidad del potencial en la supeficie =. En el exteio de la esfea, utilizamos S como supeficie esféica de adio La masa contenida en S es igual a la masa de la esfea, M ( S = M. Po tanto, 4π E ext S Integando, obtenemos el potencial exteio V ext d + D >. Las constantes C y D se hallan con la condición fontea en el infinito y con la condición de continuidad del potencial sobe la supeficie de la esfea. V = 0 Con esto, y V ext ext C ( ( = V ( D = 0 Los potenciales gavitatoios tienen la expesión final V ext V + = (

5 .16 Calcula la fueza gavitatoia sobe una masa m situada a una distancia x <, del cento de una esfea homogénea de adio, a la que se le ha pacticado un oificio de adio /, a una distancia / del oigen. ρ x m Po el pincipio de supeposición, válido paa los campos gavitatoios, el sistema es equivalente a una esfea de adio y densidad ρ centada en el oigen, más una esfea de adio / y densidad ρ, centada en /. La fueza sobe m seá la suma de las fuezas debidas a las dos esfeas. Paa la esfea de adio, el campo a una distancia x <, viene dado po 1x E1 y la fueza sobe m es atactiva diigida hacia el oigen GmM1x F1 = me1 De foma análoga, paa la esfea de adio /, el campo a una distancia x del oigen es ( / x E = ( / y la fueza sobe m es GmM( / x F = me = / ( La elación ente las masas de las dos esfeas es 4 M1 = π ρ con lo cual M 4 = π ( ρ

6 M1 M La fueza total sobe m es la suma F = F 1 + F y utilizando la elación ente las masas, obtenemos GmM1x GmM( / x 1m 1m F + x + x ( / Po tanto, la fueza sobe la masa m no depende de la coodenada x. Tenemos un campo gavitatoio constante en el hueco pacticado en el eio de la esfea de adio..17 Una distibución esféica unifome de estellas en una galaxia tiene masa total M y adio. Calcula la fueza ejecida sobe una masa m que se mueve a una distancia <, del cento de la galaxia. Calcula la velocidad y la enegía de m si se mueve en una óbita cicula de adio. La fueza de atacción de una esfea homogénea de masa M y adio, sobe una masa m, situada a una distancia <, es m F = me siendo E el campo gavitatoio en el eio de la galaxia. El potencial gavitatoio ceado po la galaxia en su eio es V = ( La enegía potencial gavitatoia de la masa m es m E p = mv = su enegía total es constante y vale 1 m E = mv + ( ( Paa que la óbita sea cicula la fueza de atacción gavitatoia debe compensase con la fueza centífuga, geneada po la otación especto al cento de la galaxia. Esto es, m mv = de donde podemos obtene la velocidad de m en dicha óbita cicula

7 v = Sólo nos queda expesa la enegía en función del adio de la óbita cicula, en la foma 1 m E = m + ( m = ( Poblemas Popuestos.18 Obtene el campo gavitatoio y el potencial ceado po un anillo de masa M y adio en un punto del eje pependicula al anillo que pasa po su cento. Si se coloca una patícula de ma sa m sobe el eje a una distancia h del cento, calcula su velocidad cuando pasa po el cento, la distancia que ecoeá hacia el oto lado, y bajo qué condiciones el movimiento es amónico simple. Solución: z E z + V + z ( z / ( 1/ 1 1 v = + h d = h h <<, con lo cual el movimiento es amónico de fecuencia ω =.19 Calcula el campo gavitatoio y el potencial gavitatoio en el eio y en el exteio de un casquete esféico de adio y masa M. Solución: E E ext = 0, V, Vext

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