5.2 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS

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2 5.2 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS descitos en una efeencia inecial (I) po sus vectoes de posición 0 y 1 espectivamente. I m 1 1 F 10 1 F 01 m Figua 5.1: Sistema binaio aislado fomado po dos cuepos de masas m 0 y m 1. Las ecuaciones del movimiento son: m 1 1 = F 10 ; m 0 0 = F 01 = F 10 (5.1) donde F 10 es la fueza ejecida sobe m 1 po m 0, y vicevesa. Sumando las dos ecuaciones se obtiene Definimos el cento de masa po: m m 0 0 = 0. (5.2) G def = m m 0 0 m 1 + m 0 (5.3) cumpliéndose entonces, en vitud de (5.2), G = 0: el cento de masa se mueve con velocidad ectilínea y unifome. Buscaemos entonces la ecuación de la dinámica paa el movimiento elativo; definiendo mediante las ecuaciones (5.1) se llega a def = 1 0, (5.4) = 1 m 1 F 10 1 m 0 F 01 = m 0 + m 1 m 0 m 1 F 10. (5.5)

3 Aptdo Reducción del sistema binaio 5.3 El cociente µ def = m 0m 1 m 0 +m 1 se denomina masa educida, y pemite intepeta el movimiento elativo de m 1 especto de m 0 expesado po (5.5), paa una fueza dada, como si su masa tuviese este valo µ. Conviene obseva que la ecuación (5.5) expesa la dinámica en un sistema de efeencia no inecial (R), con oigen en m 0 y ejes paalelos al inecial I. Po este motivo, seía incoecto establece la ecuación fundamental de la dinámica diectamente empleando la aceleación elativa a este sistema. Sin embago, el esultado obtenido pemite educi el movimiento elativo en el sistema binaio, pudiendo estudiase como si fuea inecial, es deci, como si la masa m 0 fuese fija, sin más que cambia m 1 po la masa educida µ. m 1 I 1 m 0 O 0 R Figua 5.2: Sistema binaio; efeencias inecial I y elativa a m 0 (no inecial), R. Oto esultado inteesante se puede obtene al expesa la enegía cinética T = 1 2 m 1ṙ m 0ṙ 2 0 eliminando 1 y 0 en función de G y : 1 = G + µ m 1 ; 0 = G µ m 0 esultando finalmente T = 1 2 (m 0 + m 1 )ṙ 2 G µṙ2. Esta expesión descompone la enegía cinética en dos téminos, uno coespondiente al movimiento del cento de masas, caacteizado po la masa total (m 0 + m 1 ), y oto del movimiento elativo caacteizado po la masa educida µ 1. 1 Esta expesión esulta se la aplicación a este caso del Teoema de König, que se veá más adelante (capítulo 6, ecuación (6.25))

4 5.4 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS Sistema binaio gavitatoio Consideamos ahoa el caso paticula de un sistema fomado po dos cuepos de masas M y m, que se ataen mediante fuezas de tipo gavitatoio (figua 5.3). La ley de la gavitación univesal de Newton (apatado 1.6, ecuación (1.3)) establece esta atacción mutua como popocional a las masas y al inveso del cuadado de la distancia. En nuesto caso, las fuezas ejecidas ente M y m son: F mm = G Mm 3 ; F Mm = F mm = G mm 3 (5.6) Reducción al movimiento elativo a uno de los cuepos. Sustituyendo en la ecuación del sistema educido (5.5) el valo de esta fueza gavitatoia, = M + m ( G Mm ) mm 3 = G M + m 3. (5.7) Se obseva pues que es posible estudia el movimiento elativo de m especto a M a todos los efectos, como si m estuviea ataída gavitatoiamente po una masa eficaz, fija, de valo (M + m), situada en el luga de M. I m P ρ G G P O M O S.C.M. Figua 5.3: Sistema binaio gavitatoio; efeencias elativas a la masa M y al cento de masa G (S.C.M.).

5 Aptdo Reducción del sistema binaio 5.5 Reducción al cento de masas. Paa el sistema gavitatoio anteio, el cento de masas (G) queda definido po (5.3). Es posible estudia el movimiento elativo a G, tomando un sistema de efeencia con oigen en G y diecciones paalelas al inecial, que llamaemos «Sistema del Cento de Masa» (S.C.M.). A difeencia del caso anteio (educción al movimiento elativo especto de una masa), si el sistema binaio está aislado, este sistema sí seá inecial, ya que se deduce inmediatamente de (5.2) y (5.3) que G = 0. Medida en el S.C.M., la posición de un punto genéico P es: empleando (5.3) se obtiene ρ def = P G ; (5.8) ρ = P M O + m P M + m = M M + m, (5.9) donde = P O. Empleamos ahoa la ecuación (5.7), en la cual eliminamos en favo de ρ mediante (5.9): esultando finalmente: M + m M + m) M + m ρ = G(M ( M+m M ρ)3 M ρ, ρ = G M 3 /(M + m) 2 ρ 3 ρ. (5.10) Po tanto el movimiento equivale también en esta efeencia a una atacción gavitatoia hacia una masa ficticia situada en G, como si estuviese fija, de valo: M = M 3 /(M + m) 2. A este movimiento elativo habá que suma el popio de G. Esta última educción del movimiento 2 pesenta la ventaja de que G a menudo tiene un movimiento conocido, al menos de manea apoximada. Po ejemplo, en un sistema aislado, G se mueve con velocidad ectilínea y unifome. Sin embago, la intepetación es menos intuitiva que si el movimiento se efiee a una de las dos masas, ya que G no coincide con ningún punto mateial fijo; su posición se puede calcula, peo no coesponde a ningún punto «físico» obsevable como tal. 2 Ota manea de obtene la educción (5.10) es, consideando que paa un sistema aislado el S.C.M. es inecial, po lo que es válida la ecuación m ρ = GmM/ 3 ; empleando (5.9) se llega a ρ = [ GM 3 /(M + m) 2] ρ/ρ 3.

6 5.6 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS 5.2. Movimiento bajo fuezas centales Las fuezas gavitatoias son un caso paticula de fuezas centales. Veamos, en pime luga, algunas popiedades geneales del movimiento paa este tipo de fuezas. Todo lo que sigue es aplicable paa una fueza cental desde un punto fijo, o bien aplicando alguna de las educciones anteioes, desde ota masa o desde el cento de masas Popiedades del movimiento Consideaemos fuezas centales aquellas que están diigidas constantemente hacia un cento O, y toman la foma geneal F () = F (), (5.11) donde F () es una función escala de = que supondemos al menos continua. Es inmediato compoba que las fuezas centales siempe deivan de un potencial, definido po V () = F d = 0 F () d, 0 (5.12) integal que existe siempe al se F () continua. Si además el potencial es un campo constante (es deci, V/ t = 0) las fuezas centales seán además consevativas. Ota caacteística impotante de las fuezas centales es que el momento de F especto del cento O es nulo, po lo que se conseva el momento cinético: H O = mv = cte. Recodemos (ve apatado 2.1.2) las dos popiedades que se deducen de esta consevación: 1. es pependicula al vecto constante H O, po lo que la tayectoia está contenida en un plano. 2. El módulo H O = H O, también constante, es igual a: d H O = m = 2m ds dt dt Siendo ds el elemento difeencial de áea baida en dt. Así, podemos afima que la velocidad aeola es constante. La manea usual de

7 Aptdo Movimiento bajo fuezas centales 5.7 expesa esta última popiedad es mediante la «constante de las áeas» (C), definida como: C def = H O m = 2dS dt (5.13) F (+d) d +d ds dϕ F () Figua 5.4: Velocidad aeola bajo fuezas centales Ecuaciones del movimiento Expesamos la posición mediante las coodenadas polaes (, ϕ) tomando como oigen el cento de fuezas O. y m F Figua 5.5: Coodenadas polaes paa el movimiento de m ataída desde O. O ϕ x La constancia de la velocidad aeola (5.13) da luga a la siguiente ecuación: ds = 1 2 ( dϕ) C = 2 ϕ. (5.14) Se obtiene ota ecuación al aplica la ley fundamental de la dinámica en la diección (adial) de la fueza: a = ϕ 2 m ) ( C2 3 = F (). (5.15) A esta expesión se podía habe llegado igualmente a pati de la ecuación de la enegía cinética (2.6) (ejecicio que se deja paa el lecto). Las expesiones (5.14) y (5.15) son ecuaciones difeenciales del movimiento en función de las vaiables y ϕ. Cabe esolvelas de dos maneas:

8 5.8 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS 1. En función de t, paa halla las ecuaciones paaméticas de la tayectoia (Ecuaciones hoaias): = (t); ϕ = ϕ(t). 2. Eliminando t, paa halla la ecuación intínseca de la tayectoia: = (ϕ). Planteaemos a continuación un método geneal paa esolve las ecuaciones difeenciales anteioes, válido paa fuezas centales (5.11) en geneal, educiendo el poblema a cuadatuas. Recodemos en pime luga, que según lo expuesto en el apatado 5.2.1, las fuezas centales povienen siempe de un potencial: F () = dv (). d Admitiendo que V/ t = 0, podemos expesa la consevación de la enegía total E def = T + V : C 2 / 2 E = 1 {}}{ 2 m(ṙ2 + 2 ϕ 2 ) + V (), de donde, despejando ṙ, 2 ṙ = ± m [E V ()] C2 / 2. (5.16) Integando esta expesión se obtiene: t = 0 d. 2 m [E V ()] C2 / 2 Una vez ealizada esta última integal (o cuadatua) paa obtene t(), invitiendo obtendíamos (t), y entando en la ecuación (5.14), mediante una cuadatua adicional, se obtendía ϕ(t). Paa obtene la ecuación implícita de la tayectoia, se podía elimina t de la siguiente manea: dϕ = dϕ dt y eliminando ϕ a pati de (5.14), dt d d = ϕ ṙ d dϕ = C/2 d. ṙ

9 Aptdo Movimiento bajo fuezas centales 5.9 Empleando la expesión anteio (5.16) paa ṙ e integando se llega a ϕ ϕ 0 = 0 C d. ± 2 2 m [E V ()] C2 / 2 Resolviendo esta integal obtendíamos ϕ(), e invitiendo, (ϕ). El pocedimiento expuesto pemite esolve el movimiento educiéndolo a cuadatuas, en un caso geneal de fuezas centales Fómula de Binet Expondemos a continuación oto pocedimiento paa esolve las ecuaciones difeenciales (5.14) y (5.15). Este pocedimiento da luga a la denominada fómula de Binet, que esulta especialmente útil paa el caso de fuezas gavitatoias, como se veá más abajo. Paa ello, efectuaemos un cambio de vaiable, de a u = 1/. Expesemos en pime luga la deivada de la nueva vaiable u especto a ϕ: d dϕ ( ) 1 = 1 d 2 dϕ }{{} = ϕ C C= 2 ϕ d dϕ d dϕ }{{} = dϕ dt = d dt ṙ C ; despejando de aquí ṙ y deivando de nuevo especto al tiempo: = d dt [ C d dϕ = C2 2 d 2 dϕ 2 ( )] 1 = C d2 dϕ 2 ). ( 1 ( ) 1 Empleando esta expesión podemos elimina de la ecuación (5.15), obteniendo F () = m [ C2 d 2 ( ) ] 1 2 dϕ 2 C2 3, o bien, F () = mc2 2 [ 1 + d2 dϕ 2 ( )] 1. (Fómula de Binet) (5.17) ϕ

10 5.10 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS 5.3. Óbitas gavitatoias La fómula de Binet (5.17) es válida paa cualquie tipo de fueza cental. En el caso de las fuezas gavitatoias, si se paticulaiza paa F () = G Mm 2, se obtiene la Ecuación difeencial de la óbita gavitatoia: d 2 ( ) 1 dϕ = GM C 2 Como se ve, esulta una ecuación difeencial lineal en 1/, de segundo oden, análoga a la ya conocida del oscilado amónico (capítulo 3). Tan sólo cambia la vaiable, que ahoa es u = 1/. La solución geneal paa esta ecuación es: 1 = A cos ϕ } {{ } sol. gal. homogénea + GM } C{{ 2, } sol. pat. completa donde al intega hemos elegido convenientemente el oigen de ángulos, sin pédida de genealidad, consideando ϕ 0 = 0. Tansfomando ligeamente los paámetos en esta expesión, se obtiene: = p 1 + e cos ϕ, (5.18) siendo p def = C 2 /(GM), e def = AC 2 /(GM). La ecuación (5.18) es la expesión geneal de una cónica en coodenadas polaes. En ésta epesenta la distancia al foco (F ) de la cónica, y ϕ el ángulo con el eje focal (F F ). p es el llamado paámeto de la cónica, y e la excenticidad de la misma. El valo de esta última caacteiza el tipo de cónica: 0 e < 1 : elipse (e = 0 : cicunfeencia) e = 1 : paábola e > 1 : hipébola Ota foma de defini con caácte geneal una cónica es como el luga geomético de los puntos X cuyas distancias especto a uno dado (foco F ) y a una ecta dada (diectiz d) estén en una elación constante e igual a e > 0: dist (X, F ) dist (X, d) = e.

11 Aptdo Óbitas gavitatoias 5.11 Tanto la elipse como la hipébola son cuvas siméticas especto a un eje pependicula al plano focal, con un cento (O) y dos focos (F, F ). El eje focal se denomina también mayo, y el eje pependicula a éste po su cento se denomina meno o secundaio. Se llaman vétices de la cónica a los puntos de la misma sobe los ejes. La distancia de un eje focal al vétice coespondiente se llama semieje mayo, a. La semidistancia focal se denomina c, cumpliéndose c = ae. Elipse. En el caso de tayectoia elíptica, la masa atactoa, situada en el oigen de las coodenadas polaes, coesponde a uno de los focos de la elipse. Se puede defini ésta de una manea geneal como el luga geomético de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F (focos) es constante: P F + P F = 2a. A continuación se esumen algunas elaciones geométicas útiles paa la elipse (ve también la figua 5.6): a = p/(1 e 2 ); c = ae b 2 = a 2 c 2 = a 2 (1 e 2 ) = pa Aea = πab P a p b F F ϕ diectiz p 1+e c = ae a p 1 e a/e p/e Figua 5.6: Tayectoia elíptica; elaciones geométicas. Estableciendo unos ejes Oxy, con diecciones según el eje focal y el eje secundaio espectivamente, la ecuación educida de la elipse seía x 2 a 2 + y2 b 2 = 1

12 5.12 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS Se puede asimismo establece las ecuaciones paaméticas de la elipse de la foma x = a cos u; y = b sen u. El significado del paámeto u se veá más adelante (aptdo ), denominándose anomalía excéntica. (El ángulo ϕ medido desde el foco F se denomina anomalía vedadea.) Hipébola. En este caso también se cumple que la masa atactoa M está en uno de los focos. La hipébola se define como el luga geomético de los puntos cuyas difeencias de distancias a F y F (focos) es constante: P F P F = 2a (figua 5.7). A continuación se esumen algunas elaciones diectiz a c F b ϕ F p b p e 1 p a 1+e p/e c = ae a/e P Figua 5.7: Tayectoia hipebólica; elaciones geométicas. geométicas útiles paa la hipébola: a = p/(e 2 1); c = ae b 2 = c 2 a 2 = a 2 (e 2 1) = pa ( ) 1 ϕ asíntota = ± ac cos e

13 Aptdo Óbitas gavitatoias 5.13 La ecuación educida de la hipébola se establece, análogamente a la elipse, en unos ejes Oxy con oigen en el cento de la cónica y diección x según el eje focal: x 2 a 2 y2 b 2 = 1. Igualmente, puede escibise la ecuación en foma paamética: x = ±a cosh u; (2 amas) y = b senh u En este caso, el paámeto u se denomina anomalía vitual. Paábola. Se define como caso límite de la elipse o de la hipébola, cuando e = 1. La tayectoia no está acotada, aunque en cambio no posee asíntotas. Puede definise también la paábola como luga geomético de puntos cuya distancia a un foco (F ) y a una ecta diectiz (d) sean iguales (figua 5.8). El eje de la paábola se define como la ecta po F pependicula a d. Estableciendo una efeencia Oxy con oigen en el vétice de la paábola y diección x según el eje de la misma, la ecuación educida es y 2 = 2px. d y p 2 p F x Figua 5.8: Tayectoia paabólica; elaciones geométicas. La tayectoia elíptica es el único caso de los anteioes en que la óbita es ceada, manteniéndose la patícula dento de una distancia acotada a la masa atactoa; es po tanto la que siguen los planetas y los satélites. La

14 5.14 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS mínima distancia en el punto denominado «peigeo» o «peihelio» según se tate de óbitas alededo de la Tiea o del Sol vale min = p/(1 + e) (paticulaizando paa ϕ = 0 ); la máxima distancia (en el «apogeo» o «afelio» espectivamente) vale max = p/(1 e). La distancia media ente los dos extemos 3 es po tanto: med = 1 2 [ p 1 + e + p ] 1 e = p 1 e 2 = a. El témino «óbita» suele esta asociado a una tayectoia acotada, po lo que las paábolas y las hipébolas no se pueden considea óbitas hablando con popiedad, ya que la patícula ataída pasa ceca de la masa atactoa y se aleja después al infinito. La paábola es el caso límite paa que la patícula se mache al infinito, teniendo la enegía justa paa escapa de la acción gavitatoia. Las hipébolas coesponden a los casos en los que una patícula poveniente del infinito se ve desviada en su tayectoia po ota masa M, efectuando un cambio de ángulo: viene po una asíntota y se macha po ota Enegía de las óbitas gavitatoias Aplicando la definición (5.12) del Potencial V paa el caso de fuezas gavitatoias, se puede expesa: e integando: dv = F d = G Mm 3 V = G Mm 0 2 d = GMmd; d = GMm 2 + G Mm 0 Fijamos convencionalmente que paa 0, V () 0 (es deci, V ( ) = 0). Así: V () = G Mm. (5.19) Esta expesión equivale a considea el potencial V () como el tabajo que ealizan las fuezas del campo gavitatoio, al desplazase una patícula 3 Téngase en cuenta que este valo medio no coincide con la media tempoal de la distancia, a lo lago del movimiento. Si se define la media tempoal de una vaiable y(t) duante un peiodo τ como y = 1 τ y(t) dt, el valo medio de la distancia duante una τ 0 óbita completa esulta se = a(1 + e 2 /2). Se deja como ejecicio al lecto el ealiza la integal coespondiente paa compoba este esultado.

15 Aptdo Enegía de las óbitas gavitatoias 5.15 desde un punto situado a distancia hasta el infinito. Como se ve en la expesión anteio, dicho tabajo es negativo, lo que quiee deci que el campo gavitatoio se opone a dicho desplazamiento, ya que las fuezas son atactivas. La enegía total es la suma de T y V : E def = T + V = 1 2 m(ṙ2 + 2 ϕ 2 ) G Mm. (5.20) Al no existi más fuezas que las centales del campo gavitatoio, que como se vió son consevativas, E se mantiene constante. Podemos calcula su valo en el peigeo, sabiendo que en cualquie oto punto mantendá ese valo. En el peigeo es ϕ = 0, ṙ = 0: y po tanto luego v 2 = 2 ϕ 2 }{{} = C 2 2 }{{} = 2 ϕ=c E = 1 2 mgmp 2 GMm = GMm [ ] 1 p 2 p/(1 + e) 1 = 1 2 E = 1 2 p=c 2 /(GM) GMp 2, GMm (1 + e)[1 + e 2], p GMm (1 e 2 ). (5.21) p A este mismo esultado se podía llega desaollando la expesión de la enegía total en un punto genéico que no sea el peigeo ni el apogeo, aunque este desaollo equeiía algunas opeaciones más. Dejamos este ejecicio de compobación paa el lecto. Así, la ecuación (5.21) pemite clasifica las tayectoias posibles según un citeio enegético: e < 1: Elipse, Enegía total negativa (E < 0). Una patícula en este tipo de tayectoia nunca llega al infinito, que coespondeía a E = 0. e = 1: Paábola, Enegía total nula (E = 0). Tiene la enegía justa paa llega al infinito con v = 0, agotando en el camino toda su enegía cinética. e > 1: Hipébola, Enegía total positiva (E > 0). Llega al infinito sin agota la enegía cinética (v 0).

16 5.16 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS Es útil expesa la enegía dada po (5.21) en función del paámeto «a» (semieje mayo) de la tayectoia, que según el tipo de cónica vale a = p/(1 e 2 ) paa la elipse, o a = p/(e 2 1) paa la hipébola (Conviene nota que se veifica a > 0 siempe, y que en el caso de la paábola, al se e = 1, se veifica a ). De esta manea, esultan las expesiones que se esumen en el cuado siguiente: Elipse: E = GMm 2a, v2 = GM( 2 1 a ) Paábola: E = 0, v 2 = GM 2 (5.22) Hipébola: E = GMm 2a, v2 = GM( a ) En el cuado anteio se han incluido también las expesiones de v 2 en cada caso, obtenidas a pati de: E = 1 2 mv2 GMm v 2 = 2E m + 2GM. Cabe obseva que las expesiones de E en (5.22) sólo dependen de a. Se deduce así que pueden existi divesas óbitas con igual enegía y distintas excenticidades, con tal de que el valo de a sea el mismo. Sin embago, al tene en común el foco y no el cento, dichas óbitas isoenegéticas no seían tangentes ente sí (figua 5.9). Ejemplo 5.1: Sobe la supeficie de la tiea, en un punto de latitud φ = 40 N, se lanza un poyectil el diección N con una velocidad inicial v 0 = km/h y una inclinación de 85 especto al suelo. La tiea se supone esféica de adio 6400 km, homogénea, fija y sin atmósfea. Toma g = 9,81 m/s 2. Se pide: a. Tayectoia que descibe el poyectil, altua máxima y latitud del punto de caída b. Velocidades máxima y mínima; c. Velocidad y altua en el punto de latitud 43 N. Solución.

17 Aptdo Enegía de las óbitas gavitatoias 5.17 a a(1 + e) M 2 1 Figua 5.9: Las óbitas 1 y 2 son isoenegéticas, mientas que la 3 tiene una enegía mayo. E 1 = E 2 = GMm 2a 3 E 3 = GMm 2a(1+e) φ 1 =40º 85º v 0 Figua 5.10: Ejemplo 5.1; Poyectil que se lanza desde 1 con velocidad v 0 y ángulo de 85. a. 1 2 m v2 E R T = GMm R 2 T La velocidad de escape es: v E = GM 2 R t = 2gR T ,6 km/h > v 0,

18 5.18 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS luego la tayectoia del poyectil es elíptica. Paa calcula los puntos de máxima y mínima altua, tendemos en cuenta que son los vétices del semieje mayo de la elipse, y planteamos la consevación de la enegía y del momento cinético: 1 2 mv2 0 Gmm = 1 R T 2 mv2 2 Gmm 2 mv 0 cos 85 R T = m 2 v 2 = 2 { km 24,826 km Po tanto, la altua máxima es h max = = km. La ota solución paa 2 coesponde al oto vétice de la elipse, punto que lógicamente no se alcanzaá en la tayectoia al cae antes sobe la supeficie de la tiea. Es inteesante compoba el eo que esultaía de habe consideado la gavedad simplificada, en cuyo caso la altua máxima seía h max = (1/2)v0 2 /g = km, es deci un 49 % del valo coecto. Los paámetos de la óbita son: a + c = a c = 24,826 } { a = 6 526,4 km c = 6 501,6 km e = c a = 0,9962; p = a(1 e2 ) = 49,557 km. El punto de caída estaá en la intesección ente la tayectoia elíptica y la supeficie de la tiea: p = 1 + e cos θ = R T } cos θ = 0,996 El punto de caída tendá po tanto una latitud de φ 3 = φ 1 + (θ 2 θ 1 ) = 50,2. { θ 1 = 174,9 θ 2 = 185,1 b. La velocidad máxima es v 0, en los puntos de lanzamiento y caída. La velocidad mínima se alcanza en el punto de máxima altua, v 2 = gr 2 T ( 2 1 ) = 342,6 m/s (= 1 233,37 km/h). 2 a

19 Aptdo Enegía de las óbitas gavitatoias 5.19 c. En el punto de φ = 43 el paámeto angula de la óbita es θ = θ = 177,9. Sustituyendo en la ecuación de la tayectoia, = p 1 + e cos θ luego la altua coespondiente es = ,9 km, h = , = 4 683,9 km. Po último, la velocidad del poyectil en este punto es v = gr 2 T ( 2 1 ) = 3 307,1 m/s (= ,6 km/h). a Potencial efectivo En la ecuación (5.20) de la enegía total, podemos elimina ϕ, quedando una expesión en función de y ṙ: E = 1 2 m(ṙ2 + 2 ϕ 2 ) GMm = mṙ2 2 + m C2 2 2 GMm, } {{ } Pot. efectivo, V ef () es deci, definiendo un «Potencial efectivo» como ( V ef () def C 2 = m 2 2 GM ) (5.23) la enegía queda descompuesta en dos sumandos, V ef (), témino que depende únicamente de la distancia, y mṙ 2 /2, témino esencialmente positivo, que coesponde a una pate de la enegía cinética del cuepo (la debida a la velocidad adial): E = V ef () + mṙ2 2 (5.24) Paa cada valo dado de C (constante de las áeas), se obtiene una función V ef () deteminada. El análisis de la epesentación gáfica de esta función (figua 5.11) pemite obseva algunas caacteísticas inteesantes del movimiento:

20 5.20 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS mc E E > 0 (hipébola) 0 mc 2 2p 2 V ef () p/2 p GMm E < 0 (elipse) Figua 5.11: Gáfico del potencial efectivo; según el nivel enegético, las óbitas son elipses (E < 0), paábolas (E = 0) o hipébolas (E > 0). Las distintas óbitas vienen caacteizadas po una Enegía total E = constante, que coesponde a líneas hoizontales en la gáfica. Puesto que la difeencia E V ef () en (5.24) es esencialmente positiva, el movimiento se estinge a los valoes de paa los que el potencial efectivo es meno que la enegía total, V ef () < E. Así, podemos distingui las cuvas de V ef () coespondientes a: hipébolas, cuando se poduce un sólo punto de cote de V ef () con la ecta E = cte, movimiento estingido a min < < ; paábolas, simila al caso anteio, en el caso límite E = 0; elipses, con dos puntos de cote con E < 0, zona admisible min < < max, cicunfeencias ( = cte.). Es inmediato compoba que paa un valo dado de C, la cicunfeencia es la tayectoia de enegía mínima. El punto V ef () = 0 coesponde a: C GM o bien (asíntota hoizontal). = 0 = p 2,

21 Aptdo Leyes de Keple 5.21 El mínimo de V ef (), paa un valo dado de C, ocue paa d d V ef = C2 3 + GM 2 = 0 = p, y paticulaizando, el mínimo esulta = p (V ef ) min = mc2 2p 2 ; La óbita cicula es aquella en que E = (V ef ) min, en ella la enegía es: E = mc2 2p 2 = GMm 2p = GMm 2a = GMm a } {{ } V + GMm 2a } {{ } T Paa el caso de la hipébola, la velocidad adial paa es: ṙ = 2E/m; mientas que paa la paábola ṙ = Leyes de Keple El astónomo Johannes Keple ( ), tas un minucioso análisis de las obsevaciones de los planetas y fundamentalmente de Mate, enunció al pincipio del siglo XVII tes leyes empíicas sobe su movimiento. En ese momento no se conocía un modelo teóico que las explicase. No fué hasta finales del mismo siglo (1686) que Newton, con la publicación de sus Pincipia, pudo explica las obsevaciones de Keple a pati de una axiomática y un modelo matemático coheente. Po su especial inteés en la histoia de la mecánica y puesto que ayudan a compende los conceptos tatados en este capítulo citaemos aquí estas leyes. PRIMERA LEY. Los planetas desciben óbitas elípticas, con foco en el Sol. Más aiba (5.18) se demostó que las óbitas son necesaiamente cónicas. SEGUNDA LEY. Las áeas baidas en tiempos iguales son iguales.

22 5.22 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS Como se ha visto (5.13) se tata de una popiedad geneal de los movimientos bajo fuezas centales. TERCERA LEY. Los cuadados de los peíodos son popocionales a los cubos de los semiejes mayoes de las óbitas. Esta última ley se deduce de la constancia de la velocidad aeola, como veemos a continuación. En efecto, al se ésta constante (5.13) la podemos iguala a su valo medio, que seá igual al áea baida en la óbita completa dividida po el peíodo T : ds dt = C 2 = πab T T 2 = 4π2 a 2 b 2 C 2 ; consideando las elaciones b 2 /a = p y C 2 /GM = p, se obtiene: T 2 = 4π2 a 3 GM c.q.d. Ejemplo 5.2: Calcula la altua a la que debe situase un satélite atificial, paa segui una óbita geoestacionaia alededo de la tiea. (Nota: se denomina geoestacionaia la óbita de un satélite que se sitúa siempe sobe el mismo punto de la supeficie de la tiea). Solución. Consideamos los datos siguientes: Radio de la tiea km/2π = 6, m. GM = gr 2 = 397, m 3 /s 2. Peiodo de otación de la tiea (día sidéeo): T = s. Po tanto, el semieje mayo de la óbita es a 3 = , π 2 a = km La altua sobe la supeficie de la tiea seá a R = km. Paa un satélite no geoestacionaio de óbita baja, el peiodo suele se mucho meno. Po ejemplo, si es T = 2 h, coesponde a un semieje a = km, y po tanto a una altua media de km. En este caso el satélite no puede mantenese sobe la vetical de un mismo punto de la supeficie de la tiea.

23 Aptdo Ecuaciones hoaias 5.23 Unidades astonómicas. A menudo se emplean en astonomía estas unidades, definidas como: Longitud: Unidad Astonómica (U.A.) def = Semieje mayo de la óbita Tiea-Sol (= 1, m). Tiempo: Año sidéeo (= 365,25636 días solaes) 4 Masa: Masa del Sol (= 1, kg). Estas unidades son paticulamente adecuadas paa el sistema sola, simplificando consideablemente la aitmética. Po ejemplo, en ellas, La constante gavitatoia paa planetas en óbita sola seía 5.6. Ecuaciones hoaias GM sol = 4π2 a 3 T 2 = 4π 2. En los apatados 5.3 y 5.4 se ha discutido la tayectoia de las óbitas gavitatoias, en cuanto a su ecuación intínseca y sus popiedades geneales. El cálculo de las ecuaciones hoaias es la ota integación que cabe hace de las ecuaciones (5.14) y (5.15) del movimiento, a la que se aludió en el apatado Estas ecuaciones son de gan impotancia, pues diectamente de la ecuación implícita de la tayectoia no es posible calcula la posición de un planeta o satélite en un instante dado Tayectoia elíptica Estudiaemos pimeo el caso del movimiento en óbita elíptica. Paa ello se debe efectua un cambio de vaiable mediante la «constucción de Keple», según la figua Cambiaemos la vaiable ϕ, llamada «anomalía vedadea,» po u, llamada «anomalía excéntica». La difeencia estiba en que ϕ es el ángulo ÂF P que foma el adio vecto, tazado desde el foco, con el semieje mayo, mientas que u es el ángulo ÂOP que foma el adio desde el cento de la cicunfeencia. Teniendo en cuenta: OF = c; OA = OP = a, podemos escibi: a cos u cos ϕ = c cos u = e + cos ϕ; (5.25) a 4 Día sola = 24 h = s; Día sidéeo = s; Año tópico = 365,2422 días solaes = 366,2422 días sidéeos.

24 5.24 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS b a u F O F P P ϕ A Figua 5.12: Constucción de Keple paa la deteminación de la anomalía excéntica u. consideando = p/(1 + e cos ϕ) obtenemos: cos u = e + cos ϕ 1 + e cos ϕ cos ϕ = cos u e 1 e cos u, ecuación que expesa la elación ente ϕ y u y que también se puede escibi como: ( ϕ ) ( u ) 1 + e tan = tan e. Planteamos ahoa la constancia de la velocidad aeola; Calculaemos paa ello el áea baida en el movimiento elíptico (secto F AP ) como la coespondiente a la cicunfeencia afín (secto F AP ) multiplicada po la elación de afinidad b/a: po ota pate: A F AP = A OAP A OF P = a 2 u 2 ca sen u 2 = a2 (u e sen u); 2 A F AP = t C 2 = t 2 GMp = t 2 b GM/a = t 2πab 2 T,

25 Aptdo Ecuaciones hoaias 5.25 donde se han empleado las elaciones p = b 2 /a; T 2 = 4π 2 a 3 /GM. Así, igualando (b/a)a F AP = A F AP, y definiendo la constante n def = 2π/T (llamada «movimiento medio»), se llega a: u e sen u = nt (Ecuación de Keple). (5.26) Esta ecuación es inmediata de esolve si lo que se petende es obtene el instante t en que se ocupaá una posición ϕ dada, a pati del simple cálculo de la anomalía excéntica coespondiente (u) en (5.25). Sin embago, si lo que se petende es obtene la posición ϕ paa un instante dado, (5.26) esulta se una ecuación intínseca no lineal, que es necesaio esolve po algún pocedimiento numéico iteativo, como puede se el método de Newton, el de bisección, etc Movimiento hipebólico En este caso no es posible emplea un pocedimiento geomético como paa la elipse, po lo que obtendemos las ecuaciones de foma analítica. Patimos de las ecuaciones paaméticas de la hipébola, medidas desde el cento de la cónica: x = ±a cosh u; y = b senh u, donde el paámeto u se denomina anomalía vitual. Calculamos la expesión de la distancia medida desde el foco F : = (c x) 2 + y 2 = a(e cosh u 1). Igualando este valo con el que popociona la ecuación focal de la cónica, = p/(1 + e cos ϕ), esultan las expesiones cosh u = e + cos ϕ cosh u e ; cos ϕ = 1 + e cos ϕ 1 e cosh u, ecuaciones análogas a las obtenidas antes paa la elipse, peo con funciones hipebólicas. Igualmente, de éstas se deduce ( ϕ ) e + 1 ( u ) tg = 2 e 1 tgh. 2 5 Paa una descipción de estos métodos, consulta algún texto de análisis numéico, como p.ej. J. Puy: Algoitmos Numéicos en Pascal, Sevicio de Publicaciones de la E.T.S. de Ing. de Caminos de Madid, o R.L. Buden y J.D. Faies: Análisis Numéico, Gupo Editoial Ibeoameicana, 1985

26 5.26 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS Empleaemos las elaciones anteioes paa la ecuación de constancia de la velocidad aeola, 2 ϕ = C. (5.27) Paa ealiza el cambio de vaiable de ϕ a u deivamos d ( ϕ ) dt tg ϕ e + 1 = 2 cos 2 (ϕ/2) = u e 1 cosh 2 (u/2) ; opeando, esulta Con esto, (5.27) esulta ϕ = e 2 u 1 e cosh u 1. C = a 2 e 2 1(e cosh u 1) u; e integando, con la condición de bode u t=0 = 0 (el instante t = 0 coesponde al vétice de la hipébola): ab(e senh u u) = Ct. En este caso no existe peiodo eal, peo po analogía con el movimiento elíptico, se puede defini un peiodo vitual T v def = 4π 2 a 3 GM = 2πab C C ab = 2π T v = n v, donde n v se denomina movimiento medio vitual. Con esto, finalmente esulta e senh u u = n v t. La ecuación obtenida es no lineal, con funciones tascendentes. Además de esto, plantea la dificultad de que el pime témino no está acotado, po lo que puede esulta más difícil escoge un valo inicial paa la solución iteativa Movimiento paabólico Seguiemos, al igual que en el caso de la hipébola, un pocedimiento analítico mediante n cambio de vaiable. La vaiable a emplea es ( τ def ϕ ) 1 cos ϕ = tg = cos ϕ.

27 Aptdo Estudio del sistema tenaio 5.27 Despejando, podemos expesa también cos ϕ = 1 τ2 1 + τ 2, y sustituyendo en la ecuación focal de la cónica = p/(1 + e cos ϕ) esulta = p 2 (1 + τ 2 ). Deivando esta expesión τ = ϕ 2 ( 1 + tg 2 ϕ ) 2 ϕ = 2 τ 1 + τ 2. Sustituyendo ahoa en la ecuación de la velocidad aeola ( 2 ϕ = C), C = p2 2 (1 + τ 2 ) τ, e integando con la condición inicial τ t=0 = 0 (en el instante t = 0 estaía en el vétice): τ + τ 3 3 = 2C p 2 t = 2 GM p 3/2 t. La ecuación obtenida sigue siendo no lineal, peo en este caso es cúbica, de la que puede hallase una solución diecta Estudio del sistema tenaio El poblema de los tes cuepos, al contaio que el de los dos cuepos, no posee solución analítica en un caso geneal. Ha ecibido a lo lago de la histoia la atención de gandes matemáticos (Lagange, Laplace, Jacobi). Poincaé en los alboes del siglo XX, demostó que no posee solución analítica «cuantitativa». A aíz de ésto, adquiió un gan auge en la mecánica el empleo de métodos cualitativos que, ente otas cosas, pesiguen estudia la estabilidad de los sistemas dinámicos. En un caso geneal, paa su solución cuantitativa diecta, es necesaio emplea desaollos en seie o métodos numéicos de integación diecta en el tiempo. Tan sólo en algunos casos paticulaes, como el movimiento equiláteo o el movimiento alineado, es posible plantea las soluciones analíticas.

28 5.28 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS Planteamiento de las ecuaciones Sean tes masas (m 1, m 2, m 3 ) descitas po sus vectoes de posición espectivos ( 1, 2, 3 ) y que ejecen ente sí fuezas gavitatoias (figua 5.13). Descibimos el movimiento elativo a m 3 : u def = 1 3 v def = 2 3 m 3 v 3 m 2 3 u 2 7 m 1 1 Figua 5.13: Sistema Tenaio. Sobe cada masa actúa la atacción gavitatoia de las otas dos; estableciendo así las expesiones dinámicas se llega a las ecuaciones del movimiento (absoluto) paa m 1, m 2 y m 3 que son: 3 = Gm 1 u 3 u + Gm 2 v 3 v 1 = Gm 3 u 3 u + Gm 2 (v u) v u 3 2 = Gm 3 v 3 v Gm 1 (v u) v u 3 Restando ente sí estas ecuaciones obtenemos el movimiento elativo, ü = 1 3, v = 2 3 : ü = GM ( u u 3 u + Gm 2 u 3 v v 3 + v u ) v u 3, (5.28) v = GM ( u v 3 v Gm 1 u 3 v v 3 + v u ) v u 3, (5.29) donde M def = m 1 + m 2 + m 3. Con estas dos ecuaciones difeenciales queda definido el movimiento elativo a m 3.

29 Aptdo Estudio del sistema tenaio Movimiento alineado Se tata de un caso paticula en el que existe solución analítica al poblema de los tes cuepos. Paa ello imponemos que se cumpla constantemente v = λu, siendo λ un escala abitaio. Esta condición impone la alineación de los tes cuepos sobe una ecta que puede a su vez gia en el espacio. m 2 m 3 u m 1 v Figua 5.14: Sistema tenaio alineado. Sustituyendo la condición anteio en las ecuaciones (5.28), (5.29), esulta: ü = u [ ( u 3 GM + Gm )] λ (λ 1) 2 (5.30) v = u [ u 3 GM ( λ 2 Gm )] λ (λ 1) 2 (5.31) donde se ha supuesto λ > 1. Esto no supone esticción ninguna, ya que expesa simplemente que m 1 sea la masa cental y m 2, m 3 las lateales; el caso en que m 2 fuese la masa cental coesponde a 0 < λ < 1, y paa m 3 en el cento seía λ < 0. Po lo tanto la solución tomada tiene validez geneal, obteniéndose los otos dos casos sin más que pemuta el papel de las masas. Po ota pate, si deivamos dos veces la expesión v = λu se obtiene: v = λü + 2 λ u + λu. (5.32) Las fuezas están diigidas según la ecta de alineación, definida po el vecto u. Po tanto, las aceleaciones estaán diigidas según la misma ecta: 1 u; 2 u; 3 u, y po tanto, sus difeencias ü = 1 3, v = 2 3, han de se también paalelas a u. En un caso geneal u puede gia, y u no llevaía necesaiamente la diección de u, po lo que de la inspección de la expesión (5.32) se deduce que λ = 0, es deci λ = cte. Así, (5.32) se educe necesaiamente a v = λü.

30 5.30 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS Esta expesión indica que las tayectoias de m 1 y m 2 elativas a m 3 son homotéticas de azón λ (constante). Sustituyendo en esta ecuación las expesiones anteioes (5.30) y (5.31): ( M + m ) λ (λ 1) 2 = M λ 3 m ( ) λ λ (λ 1) 2, ecuación de quinto gado en λ, cuyas soluciones coesponden a las posiciones de equilibio. Es posible demosta que esta ecuación posee una única solución eal en el ango de validez física (λ > 1). De foma simila, si se hubiean hecho otas hipótesis especto al valo de λ, se habían obtenido sendas soluciones adicionales, coespondientes como se ha dicho a m 2 o m 3 en el cento. Estas soluciones constituyen tes de los llamados «puntos de Lagange». Paa fija ideas, pongamos como ejemplo el caso en que sea m 2 = m 3 = m, m 1 = M. Es fácil compoba que λ = 2 es una solución, que coesponde al caso tivial de dos cuepos iguales, descibiendo óbitas siméticas especto de un teceo M, equidistante de los dos. m u M v m Figua 5.15: Posición de equilibio en el movimiento alineado. Sin embago, se puede demosta que estas óbitas seían inestables 6. Caso de existi una pequeña petubación, lo que en la páctica es inevitable, se pedeía la posición de equilibio Movimiento equiláteo Investigamos ahoa la posibilidad de que los tes cuepos se encuenten fomando un tiángulo equiláteo, de lado a(t) (vaiable con el tiempo). v m 2 m 3 u m 1 Figua 5.16: Movimiento tenaio equiláteo 6 véase po ejemplo E. Neal Mooe: Theoetical Mechanics (Cap. 4), Wiley, 1983

31 Aptdo Estudio del sistema tenaio 5.31 Se veificaá: a(t) def = u = v = u v Paticulaizando en las ecuaciones difeenciales (5.28), (5.29), los téminos ente paéntesis se anulan, quedando: ü = GMu a 3 ; v = GMv a 3. Estas ecuaciones coesponden a una atacción gavitatoia desde m 3 como si fuea un punto fijo con la masa total M. Po tanto, m 1 y m 2 descibián elipses en tono a m 3. El peíodo de este movimiento es: T = 2π a 3 GM. Existen dos posiciones de equilibio posibles, según que m 2 esté a un lado o a oto del eje m 1 m 3. Estas dos soluciones, al igual que las tes antes obtenidas paa el movimiento alineado, son también puntos de Lagange. En total existen pues cinco puntos de Lagange, soluciones del sistema tenaio. Se puede poba po métodos de petubaciones 7 que estas nuevas configuaciones de equilibio son estables tan sólo bajo cietas condiciones. En conceto, paa: m 1 m 2 ; m 1 m 3, es deci, si una masa es mucho más pequeña que las otas dos (lo que se llama el poblema estingido de tes cuepos), y además m 3 4 % m 2, la estuctua equilátea se mantiene estable. Este podía se, po ejemplo, el caso de m 1 = satélite atificial, m 3 = Luna, m 2 = Tiea, en cuyo caso se veifican las condiciones anteioes ente las masas. Seía necesaio obviamente paa obtenese este movimiento el pati de las condiciones iniciales adecuadas. En el sistema sola existe un ejemplo eal de movimiento equiláteo, el de los asteoides Toyanos. Estos están situados en el cintuón de asteoides del sistema sola, y se concentan en dos gupos que foman apoximadamente tiángulos equiláteos junto con el Sol y Júpite. La masa de los asteoides es despeciable fente a las de Júpite y el Sol, y la de Júpite es meno que el 4 % de la del Sol. 7 Ve J.A. Fenández Palacios: Mecánica Teóica de los Sistemas de Sólidos Rígidos (cap.20).

32 5.32 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS 5.8. Poblemas popuestos. Poblema 5.1. Un satélite atificial de masa m = 1000 kg sigue una óbita elíptica alededo de la tiea, con semieje mayo a = km y excenticidad e = 0,01. En el apogeo le alcanza oto satélite de masa M = 5000 kg, teniendo la velocidad de ambos cuepos antes del contacto la misma diección. El poceso de acoplamiento es instantáneo y ambos satélites quedan pefectamente unidos después de él. Calcula la velocidad elativa necesaia ente ambos satélites paa consegui que la óbita del satélite conjunto esultante sea cicula. Nota: el adio de la tiea es R = 6366 km. (Examen final, 14/6/1993) Poblema 5.2. Dos satélites atificiales S 1 y S 2 se encuentan en óbitas coplanaias, siendo la del pimeo cicula, de adio 2R, y la del segundo elíptica, de semieje mayo a = 5R y excenticidad e = 3/5. R es el adio de la tiea que habá de suponese pefectamente esféica. Inicialmente S 2 se encuenta en su peigeo y S 1 en oposición especto de él, con efeencia al cento de la tiea. En ese instante inicial en el satélite S 1 se educe la velocidad (sin cambio de diección) de foma que esta educción epesenta el mínimo indispensable paa que alcance la supeficie teeste en la nueva óbita. Se pide: a. detemina el tiempo que tada en poducise el contacto de S 1 con la supeficie teeste; b. podá se obsevado el impacto desde S 2? (lógicamente la tiea debe considease como opaca) (Examen final, 30/1/1999) S 1 S 2 Figua 5.17: Poblema 5.2; situación inicial de los satélites y óbitas, antes de la educción de velocidad de S 1

33 Aptdo Poblemas popuestos Poblema 5.3. Dos patículas de masa m cada una están unidas mediante un hilo inextensible, de foma que una de ellas desliza sobe una mesa hoizontal lisa y la ota cuelga del hilo que pasa a tavés de un pequeño oificio pacticado en la mesa. Inicialmente la patícula sobe la mesa se halla a distancia b del oificio, moviéndose con velocidad v 0 nomal al hilo, mientas que la ota está en eposo en la vetical del hilo. Se pide: a. ecuación difeencial del movimiento en función de la distancia de la patícula supeio al oificio; b. tensión del hilo en función de ; c. valo que había de toma v 0 paa que la masa infeio pemanezca inmóvil. (Examen pacial 9/2/1996) θ m m Figua 5.18: Poblema 5.3 Poblema 5.4. Un poyectil se lanza desde la supeficie de la tiea con una deteminada velocidad inicial v 0. Despeciando la esistencia de la atmósfea, calcula la velocidad necesaia paa que alcance una óbita elíptica de semieje mayo km. Calcula asimismo la excenticidad de la óbita si la diección de lanzamiento foma un ángulo de 45 con la vetical. Se puede supone que la tiea es esféica, con peímeto máximo km). (Examen final 20/6/1994) Poblema 5.5. El adio de la óbita de Venus es 0,72 veces el de la Tiea (se suponen ambas óbitas ciculaes y coplanaias). Una nave espacial viaja de la Tiea a Venus siguiendo una óbita elíptica que es tangente a cada una de las óbitas planetaias y es la óbita de viaje más económica (óbita de tansfeencia). Se pide: a. Halla la velocidad elativa de la nave especto a la Tiea justo después del lanzamiento, y especto a Venus justo después de llega a su óbita, despeciando en cada caso la atacción gavitatoia del planeta. (Velocidad obital teeste = 30 Km/s).

34 5.34 Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS b. Halla el tiempo necesaio paa ealiza el viaje en las condiciones anteioes. c. En que pate de su óbita especto a la tiea debe esta Venus en el momento del lanzamiento paa asegua que estaá en el sitio coecto cuando llegue la nave?. (Examen final 20/6/1995)

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