Interacción gravitatoria

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1 Inteacción gavitatoia H. O. Di Rocco I.F.A.S., Facultad de Cs. Exactas, U.N.C.P.B.A. June 5, 00 Abstact Tatamos en esta clase de oto de los modelos fundamentales de la Física toda: el movimiento en campos centales. En paticula, estudiaemos el movimiento de los planetas alededo del sol, sometidos a la inteacción gavitatoia. Inteacciones fundamentales; el campo gavitatoio Como hemos visto en la a clase de nuesto cuso, desde el punto de vista más pofundo, todas las inteacciones pueden educise tadicionalmente a las siguientes: ) gavitatoia ) electomagnética ; 3) nuclea débil 4) nuclea fuete en los últimos años se han uni cado teóicamente las inteacciones y 3), po lo que podemos pensa, hoy día, en el siguiente cuado: gavitatoia electo-débil nuclea fuete : La inteacción más común que sentimos en la vida diaia, y la que pimeo se puso sobe bases teóicas mes, fue la gavitatoia. Conológicamente, a pincipios del 500, Copénico lanza la hipótesis heliocéntica, a nes del mismo siglo, Bahe comienza y ecopila mediciones del movimiento de los planetas; en base a las mismas, en el peíodo , Keple enuncia sus tes leyes del movimiento planetaio. Basado en estos antecedentes, más las mediciones La fueza es una medida de la inteacción; de cualquie manea, también suele hablase de las cuato fuezas fundamentales...

2 ealizadas po Galileo con el telescopio, en el año 666 Newton enuncia la ley de gavitación univesal. CINEMÁTICA: las tes Leyes de Keple PRIMERA LEY: los planetas ealizan óbitas elípticas alededo del Sol, que ocupa uno de los focos, SEGUNDA LEY: los planetas baen áeas iguales en lapsos iguales (velocidad aeal constante), TERCERA LEY: el cuadado del peíodo de evolución T es popocional al cubo del semieje mayo de la elipse: T = k 3 : DINÁMICA: la Ley de Gavitación Univesal Newton postula que la fueza ente dos masas "puntuales" cualesquiea tiene la foma F = m m u ; () siendo F la fueza que actúa sobe el cuepo debida a la inteacción con el cuepo, mientas que u un veso que apunta del cuepo al cuepo. El signo " " indica que la fueza es atactiva. Pimeas ideas sobe el azonamiento que pudo habe ealizado Newton Imaginemos que, en pimea apoximación, que la óbita (elíptica) ha degeneado en una cicula. Debido a la a ley de Keple, ello implica que siendo v a = cte; el movimiento seá cicula unifome ya que, como hemos visto En el M.C.U. da dt = d dt : F = jfj = ma cp = m! = m y como T = k 3 ; paa el planeta de masa m F = 4 k = 4 T T m : () O sea, con las apoximaciones del caso, esulta que, al menos paa óbitas ciculaes, de las leyes de Keple se deduce que debe vale la ec..

3 3 Hipótesis univesal Consideemos el sistema Sol-Tiea; con la convención usada en la ec. fueza sobe nuesto planeta seá, en módulo, la F ST = 4 k T y, análogamente, F T S = 4 m S k S : Con la suposición de que también paa las fuezas "celestes" valen las mismas leyes que paa las fuezas "teenales", po el pincipio de acción y eacción, F ST = F T S ; po lo cual 4 k T m T = 4 k S m S =) m T k T m T = m S k S y de niendo la constante, que suponemos univesal = esulta que los módulos valen 4 m T k S = 4 m S k T =) m T k S = m S k T y F ST = 4 k T F T S = 4 k S m T = 4 m S m T m S k T m S = 4 m S m T m T k S = m Sm T = m Sm T : 3. Masa sobe la supe cie de la Tiea y el sistema Tiea-Luna Dejando de lado, po un momento, la distinción ente masa inecial y masa gavitatoia, y postulando que paa un cuepo extenso como la Tiea, puede suponese que actúa como si toda la masa m T estuviese concentada en el cento, una masa m en su supe cie sufiá una fueza F = m T m T = mg =) g = m T T con lo cual tenemos dos númeos expeimentales (g; T ) cuyo poducto g T vale m T ( 3 ): Necesitamos algún expeimento que nos dé el valo de (o, eventualmente, de m T ). Inclusive, paa el sistema Tiea-Luna, la fueza centípeta de natualeza gavitatoia es ; F T L = m T m L T L = m L! L T L ; m T =! L 3 T L; Esto puede demostase con el Teoema de Gauss, que veemos un poco más adelante. 3 El adio teeste es conocido desde la época de Eatóstenes, al menos. 3

4 po lo que, del peíodo de otación de la luna y de la distancia Tiea-Luna, tenemos ota manea de calcula el poducto m T : La elación esultante es g T =! L 3 T L y hoy día todo está en pefecto acuedo, peo ello no ocuía así en la época de Newton, donde T L no estaba bien deteminado. 3. Expeimento de Cavendish: medición de La pimea deteminación diecta de y, po lo tanto, de m T fue debida a Cavendish en 798, quién usó una balanza de tosión. Dos esfeas pequeñas (m 0:05kg) unidas po un asta muy liviana, suspendida en el cento po un hilo vetical, se colocan ceca de dos esfeas mucho mayoes (m 500kg). Las fuezas de atacción gavitacionales hacen oscila la balanza y del peíodo puede calculase : El valo aceptado actualmente es ' 6:67 0 m 3 kg s con lo cual m T ' 5: kg: 4 Masas inecial y gavitacional Hasta ahoa hemos usado la palaba masa y el símbolo m con dos signi cados distintos. Repoduzcamos aquí lo expesado en la Unidad denominada Dinámica: << Si bien el pimitivo concepto de masa estaba vinculado a la cantidad de mateia, la evisión pofunda de los conceptos de la Mecánica, comenzados po Enst Mach a nales del siglo XIX, hace que la masa esté vinculada a la noción de inecia, o sea, la esistencia de un cuepo a cambia su estado de movimiento (si está en eposo tiende a pemanece en eposo; si está en movimiento, tiende a segui en movimiento). La cantidad de mateia es el númeo de átomos que contiene un cuepo dado, mientas que la masa es un concepto más sutil vinculado, como veemos más adelante, al concepto de enegía: cualquie sistema que tiene enegía tiene masa. Po lo tanto, un campo electomagnético (digamos, la luz, las ondas de adio, etc.), al tene enegía, tiene masa (aunque un campo electomagnético no contiene átomos). En pincipio, podemos habla de tes tipos de masa: masa inecial (la tendencia a mantene el estado de movimiento), la masa gavitacional pasiva (que detemina la espuesta a un campo gavitatoio) y la masa gavitacional activa (que detemina cuán efectivo es el objeto en poduci un campo gavitatoio). Los expeimentos demuestan que, pese a su diveso signi cado, los tes atibutos son iguales en magnitud. Mientas que en la teoía de la gavitación de Newton, la magnitud de la atacción univesal es deteminada po el poducto de la masa gavitacional activa de un objeto po la masa gavitacional pasiva de 4

5 oto, en la modena teoía de la gavitación el papel de la masa gavitacional activa es jugado po la enegía total (en una dada egión del espacio), incluyendo la así denominada enegía en eposo de las patículas. >> Volviendo al caso de un cuepo ubicado sobe la supe cie de la Tiea, debeíamos escibi m T;Gm G T = m I g, con lo cual g = m T;G T mg Expeimentalmente, se encuenta que g es independiente del cuepo utilizado (hieo, madea, etc), con lo cual m G _ m I : En el caso de un péndulo simple, hemos encontado que paa ángulos pequeños, el peíodo está dado po s l T = g ; peo si etocedemos un poco en la deducción, debeíamos habe puesto, más adecuadamente s m I l T = m G g : Newton pepaó un péndulo en foma de cascaón delgado, en el que puso difeentes sustancias, teniendo cuidado de tene siempe el mismo peso. Dento de la pecisión que podía obtene en su tiempo, Newton encontó que T satisfacía T = p l=g; po lo que m G = m I : A pincipios del S. XX, Eötvos midió con una pecisión de 0 9 ; encontando la misma situación. La Teoía Geneal de la Relatividad intepeta este hecho (no lo explica): en una egión "pequeña" del espacio es equivalente sopota la fueza peso (o sea la atacción gavitatoia, hacia abajo) que esta aceleado hacia aiba po un ascenso adecuado. 5 Campo Gavitacional El concepto de campo es uno de los pilaes de la Física. El campo es una egión del espacio (acotada o no) donde ocuen fenómenos de algún cieto tipo. Los campos pueden se escalaes (un campo de tempeatua), vectoiales (gavitatoio, electomagnético, etc.) o de tipo más complicado (campos tensoiales). La vesión elemental más conspicua de este concepto se veá en Electicidad y Magnetismo peo, básicamente, la idea implica que una masa (o una caga) puesta en un campo gavitatoio (o electomagnético) espondeá de acuedo al m I : 5

6 valo (módulo, diección y sentido) del campo en ese punto, independientemente de cómo se geneó el campo. Consideemos la ec., escita en la foma F = m m u m u m ; el facto ente (:::) NO depende de la masa # y puede llamase campo gavitatoio poducido po la masa m (la masa gavitacional activa) y, entonces F = G m ; con G = m u : (3) Análogamente, F = G m ; con G = con, obviamente, la popiedad G 6= G : m u Si hay N masas discetas, en el punto P NX NX G (P ) = G i = i= i= m i i u i y cuando tenemos una distibución continua de masa, dado que dg = entonces Z G (P ) = dm Z u = () dv u: Hemos escito () y no lo hemos sacado del signo R ya que, como en el caso de los planetas, no es constante sino que depende de la posición. = dmu; 6

7 6 Enegía potencial gavitacional Vamos a ve seguidamente que la fueza gavitatoia es consevativa. F d A ds U B m El elemento de tabajo vale dw = Fds = m m u ds; peo u ds =d; po lo tanto, el tabajo total paa que la masa m viaje desde A a B vale Z B Z B d W = dw = m m A A = m m + B A m m m m = = V A V B : (4) A B Vemos que el tabajo depende de los puntos inicial y nal, NO de la tayectoia ecoida. Con la leta V indicamos la enegía potencial, no el "potencial", al cual llegaemos enseguida. EJEMPLO Dos masas m y m se encuentan a una distancia muy gande ("in nita"); la masa m está ja mientas que m tiene una enegía cinética inicial K i = 7

8 m v 0=: Calcula la velocidad de m cuando se encuenta a una distancia de m : La enegía mecánica total del sistema vale, inicialmente, cuando las masas se acecan E mec = K i = m v0 ; E mec = m v m m y, po consevación de la enegía, simpli cando m /m / v 0 = /m / v m /m / ; de donde v = v0 + m : EJEMPLO Calcula la velocidad de fuga de un cuepo de masa m de la Tiea. Este poblema es el inveso del anteio. Al pincipio, cuando el cuepo está ligado a la Tiea mv mm T = m v ; T si queemos que, en el in nito, v = 0; la velocidad de fuga v F = m T : T Con los datos ya conocidos, v F 00m=s = km=h: SATÉLITES TERRESTRES Los satélites teestes viajan a pequeña altua po sobe la supe cie planetaia (digamos unos 00 km compaados con el adio, del oden de 6370 km); entonces T : Paa un satélite de m = 0 3 kg; calcula la velocidad, el peíodo, la enegía mecánica y la fueza gavitacional en función de : Recodamos que los datos son m T = 5:98e4kg; T = 6:38e6m; = 6:67e m 3 kg s : Solución Como la fueza (centípeta) vale, en módulo F = /mm T = /m! = /mv ; de donde (no olvida que T ) v = m T ; 8

9 como g = m T = T ; g T = m T = T y po lo tanto la velocidad v = p g T 7:9 0 3 m=s: El peíodo es T = v = p m T Po último, la enegía = s 3 m T 5: s 84 minutos. E m = mv mm T = mm T = mg T = 3:4 0 0 J: SATÉLITES GEOESTACIONARIOS Un satélite que nos paece estacionaio ( a nosotos!) tiene, po lo tanto, T = 4h = 8: s; po lo que T = 43 m T de donde = 4:3 0 7 m medidos desde el cento de la Tiea. 7 Potencial gavitatoio; elación con la enegía potencial Así como hemos escito F = G m ; cuyo signi cado físico hemos explicado, podemos escibi la enegía potencial V = m m = en la foma V = m ' ; con ' = V = m m : A la magnitud ' () se la llama potencial gavitatoio poducido po la masa m : Es una popiedad que no depende de la pesencia (o no) de la masa m : Como V = m m = = m ' = m ' ; el tabajo vale W = V = m ' = m ' ;B ' ;A : Así como F = gad V; también esulta que G = gad ': En Electomagnetismo, vale la elación simila ente el campo eléctico E y el potencial (el potencial se mide en V olts): E = ': 7. Gá cos de la enegía en un campo cental Dado que V = C=; entonces podemos estudia cualitativamente los posibles tipos de movimiento en un campo cental = 9

10 V Cuvas de enegía potencial Teniendo en cuenta que K = E V debe se necesaiamente K 0; podemos tene los siguientes casos: paa E (ojo), K > jv j y paa E = 0 (vede), K = jv j ; el movimiento es ilimitado (pensa en el movimiento de una cuenta de osaio). Paa los casos tipo E 3 (azul), el movimiento es limitado (óbitas ceadas). Demostaemos en la póxima clase que si E > 0; la cuva es una hipébola, si E = 0; tenemos una paábola mientas que si E < 0; la cuva es una elipse (en el caso límite, una cicunfeencia). 7. Teoema de Gauss; distibución esféica de masa Este teoema, que NO demostatemos, y que también seá de fundamental impotancia en Electomagnetismo, elaciona el campo gavitatoio poducido po las masas enceadas po una cieta supe cie ceada. Hay una cantidad impotantísima en el Análisis Vectoial, de diecta aplicación en Electomagnetismo y Mecánica de Fluidos, que es el ujo. Si una cieta supe cie ceada S enciea un cieto númeo de masas (algunas estaán dento y otas po fuea de S), calculamos la cantidad escala d = G u N ds; siendo u N un veso nomal a la supe cie en cada punto de ésta, que apunta hacia adento. La integal, extendida a toda la supe cie es denominada ujo del vecto G a tavés de la supe cie ceada S : I I = d = G u N ds: 0

11 El teoema de Gauss a ma que el fujo del campo G a tavés de S es popocional a la suma de las masas intenas a S : = 4 NX m i : El teoema de Gauss vale exclusivamente paa campos que dependen de : Este teoema pemite vei ca fácilmente que el campo poducido po una distibución esféica de masa es equivalente al campo de una masa igual, puntifome, colocada en el cento de la distibución. Sea una esfea de adio R y masa m; y un punto P exteno a la esfea; el campo puede ponese en la foma i= G = G () u ; con u apuntando hacia afuea; tomamos como supe cie de integación una esfea de adio R; conteniendo la masa m, po lo que tendemos I = G () u u N ds: Como u u N = ; I = G () de donde ds = /4 / G () = /4 /m; G () = m ; como si m estuviese concentada en el cento CQD. 8 Deteminación de las tayectoias 8. Bevísimo epaso sobe las cónicas Como vamos a ve, bajo la acción de una fueza dependiente de ; las posibles tayectoias seán secciones cónicas, las que pasamos a ecapitula bevemente. Si tenemos una ecta llamada diectiz y un punto llamado foco, se de ne la excenticidad como " = P F P Q = d + cos

12 F d P Θ d+cos Θ Q Entonces "d + " cos = ; "d = ( " cos ) ; de donde se llega a la ecuación pola de las cónicas = "d cos : (5) d Si " < ; se tienen elipses (si " = 0 degenea en una cicunfeencia), si " = tenemos una paábola mientas que si " > la cuva seá una hipébola. Paa las elipses, de semiejes a y b; valen las siguientes elaciones "d = a " b ; " = ; b = a p " a ; A = ab: De la ecuación anteio a la 5, esulta = "d ( " cos ) con lo que podemos calcula d=dt; que necesitaemos más adelante. Aplicando la egla de la cadena d dt = d d d dt = sin d d dt : (6)

13 8. Teoema de Binet Recodamos de las clases sobe Cinemática que el movimiento plano, en coodenadas polaes tiene una aceleación dada po d a = u + d u = a u + a u ; dt dt también vimos que si el campo es cental, a = 0 y entonces d=dt = L=m = cte: Entonces vale el teoema de Binet, que cambia la dependencia funcional (t) po () : L d (=) a = m d + u ; (7) en el caso de tata el poblema de dos cuepos sometidos a su popia inteacción, debe cambiase la masa m po la masa educida : Paa F = mm u esulta entonces, multiplicando la ec. 7 po mm / / = /L d (=) / / / d + ; de donde d (=) d + = mm L : Esta E.D. inhomogénea tiene la foma d f dx + f = cte; con f = ; po lo que la solución geneal seá la suma de la solución de la homogénea, f h = A cos más la solución de la paticula, f p = mm=l : = mm L + A cos (8) que tiene la misma foma que la ec. 5, con las identi caciones A! d ; mm L! "d : 9 Magnitudes dinámicas: momento angula y enegía El objeto de esta sección es elaciona las magnitudes dinámicas E; L con los paámetos geométicos " y d; el pime esultado que salta a la vista poviene de la ecuación anteio: L = mm"d: (9) 3

14 La enegía mecánica seá la suma de la cinética más la potencial. En coodenadas polaes " E = v mm # d = + d mm dt dt ; (0) queemos tansfoma esta expesión en ota, que elacione E también con los paámetos "; d: Como paa una masa educida ; L = mv = m (d=dt) ; esulta que d dt = L y, po ota pate, d dt = sin d d dt : Con estos esultados podemos e-escibi los tes téminos de la ec. 0. El pimeo de ellos d = dt 4 El segundo esulta sin d y el último, de la ec. 9 d = / dt / /4 sin L d / / /4 = sin L d : d = dt L 4 = L mm = L "d : Con estos últimos tes esultados, la enegía puede expesase como y, como = "d E = sin L d + L L "d d cos ; = "d d cos puede demostase que E = L " d " = mm "d " : () En de nitiva, con las ecuaciones 9 y, tenemos el momento angula y la enegía en témino de "; d; paa todo tipo de óbitas, ceadas o no. 4

15 9. Óbitas elípticas Las ecuaciones 9 y pueden especializase paa elipses, ecodando el esultado "d = a " ; con lo cual esultan mientas que E = L = mm"d = mma mm a ( " ) " = mm a " = V : Mientas que del valo de L pueden jase tanto a como "; la enegía solamente pemite ja el semieje mayo, a: Podemos tene elipses divesas, con el mismo valo de a; peo de distinta ": Esto indica que L y E son magnitudes independientes y que paa cada valo de E podemos tene distintos valoes de L: Esto también ocue paa los átomos hidogenoides: óbitas con distintas excenticidades (distintos momentos angulaes) pueden tene la misma enegía. 9. Tecea ley de Keple Sabemos que paa fuezas centales se cumple la a ley de Keple, efeida a la constancia de la velocidad aeal; en su momento vimos que da dt = d dt = C = L m! L ; si la óbita es ceada, implica que A = CT; siendo T el peíodo de evolución: A = L A T de donde T = L = L ap " : Elevando al cuadado T = 4 a 4 " L = 4 a 4 " mm"d y como = mm=(m + M); T = 4 (m + M) = 4 a 4 " mma ( " ) = 4 a 3 mm a 3 ; que tiene la foma T = ka 3 : El valo de k es pácticamente el mismo paa todos los planetas puesto que el Sol contiene alededo del 99% de la masa del sistema sola. 5

16 9.3 Gá cos de la enegía Volvamos a la expesión E = d + L dt mm ; ésta tiene una foma que ecueda el poblema D, si llamamos enegía potencial efectiva a la combinación V ef = Una gá ca cualitativa es de la foma L mm : V(ef) cuando E > 0; el cuepo se aceca hasta una cieta distancia y luego se aleja paa siempe; paa E = 0:; el cuepo está ligado al cento de fuezas, y tiene un punto de máximo acecamiento y oto de máximo alejamiento (elipse), mientas que si E = 0:5, el cuepo siempe gia a una distancia 0 del cento, moviéndose en un cículo. 0 Vaiación de g con la altua (a pequeñas altuas) Hemos visto anteiomente que sobe la supe cie teeste g 0 = m T T ; 6

17 si ahoa queemos sabe cómo vaía g con la altua, debemos plantea g = m T ( T + h) = m T T ( + h= T ) = g 0 ( + h= T ) h elacionando así, diectamente, g con g 0 : Desaollando en seie en la vaiable po lo cual ( + h= T ) h T g g 0 h : T Ota manea de ve lo mismo es tene en cuenta que, siendo po lo que el cambio elativo F = m m ; df = m m 3 d df F = d ; po oto lado, si F = m g; df = m dg; seá df F = dg g po lo que Integando ambos miembos po lo que, siendo = 0 + h T g = g 0 T + T h + h = g 0 como antes. dg g = d : g ln = ln = ln g 0 T T T Datos sobe la Luna T + h= T + (h= T ) g 0 + h= T g 0 Teniendo en cuenta que la fueza gavitatoia ente la Tiea y la Luna es F T L = m Lm T T L ; h ; T 7

18 po lo que la aceleación (centípeta) es a L = m T T L y que la aceleación de la gavedad sobe la supe cie teeste vale podemos compaa g 0 = m T T a L g 0 ; = T T : L Como T L 60 T ; esulta que a L 0:007ms : Debe queda en clao que ésta NO es el valo de g sobe la luna, que vale g L = m L = L : También podemos obtene el valo anteio de a L del siguiente análisis: a L = v T L =! T L T L = T L; como T L 7d 7h 43 min s; esulta asimismo a L 0:007ms : Paa compaa g L =g 0 ; planteamos g L g 0 = m L= L m T = T = T L T L m L m T ; como T 4 L y m T 8m L ; esulta que g L (6=8) g 0 0:g 0 : 8

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