[1] que podemos escribir como:

Transcripción

1 ema 3 abajo y Enegía 3.1. abajo, enegía y otencia Enegía y tabajo mecánico. En Mecánica los concetos de tabajo y enegía son muy útiles aa esolve oblemas dinámicos en los que las fuezas vienen dadas en función del deslazamiento. Cuando las fuezas vienen dadas en función del tiemo es útil emlea las elaciones de imulso mecánico y cantidad de movimiento que vimos en el caítulo anteio. La enegía es una foma de almacena tabajo (enegía otencial) y también uede eesenta la foma en que se desaolla en tabajo (enegía cinética). Consideemos una atícula que se mueve a lo lago de una cuva C bajo la acción de una fueza F. En un tiemo muy coto dt la atícula se mueve de hasta siendo el deslazamiento = d. El tabajo efectuado o la fueza F duante tal deslazamiento se define o el oducto escala: dw = F d [1] que odemos escibi como: dw = F d = donde θ es el ángulo ente F y d. Si llamamos dw = F F d cosθ t ds ds = d y = F cosθ, esulta: es deci, el tabajo es igual al oducto del deslazamiento o la comonente de la fueza a lo lago del deslazamiento. Es imotante destaca que la comonente de la fueza eendicula al deslazamiento F sinθ no ealiza tabajo. F t

2 El tabajo eesenta el áea enceada ente la cuva F t y el eje s, según coesonde a la definición de integal. Paa un deslazamiento desde un unto hasta un unto, el tabajo total es la suma de los tabajos infinitesimales: W = F d = Si sobe un a atícula actúan vaias fuezas ( F + + ) x dx Fy dy Fz dz [] F 1 + F + K + Fn, entonces el tabajo duante un deslazamiento d seá: dw = dw1 + dw + K + dwn = F1 d + F d + K + Fn d = R d [3] siendo R la esultante de las fuezas. Como hemos dicho, si R es eendicula al deslazamiento no se ealiza tabajo. Igualmente, sino se desaolla deslazamiento no se ealiza tabajo. En este sentido, conviene destaca lo que ocue cuando o ejemlo sujetamos un eso son la mano y no nos movemos. Ya que no desaollamos deslazamiento entonces no ealizamos tabajo y sin embago, nos cansamos. Esto se debe a que la fueza que ealizamos, aunque no ovoque deslazamiento, debe mantene una enegía otencial aa vence a la gavedad. Del mismo modo, si mientas sujetamos el eso emezáamos a anda y dado que la fueza que ealizamos es vetical eo andamos en la hoizontal, tamoco ealizaíamos tabajo. Sin embago, lo que en ealidad ocue es

3 que ahoa, además de mantene la enegía otencial, como nos estamos deslazando hoizontalmente, desaollamos mayo enegía cinética y nos cansamos aún más Potencia. Definimos la otencia como el tabajo efectuado en la unidad de tiemo. sí si efectuamos un tabajo muy áidamente habemos desaollado mucha otencia. En un instante de tiemo muy coto, definimos la otencia instantánea como: dw d P = = F = F v = ma v [4] dt dt Debido a la última igualdad, si la otencia desaollada es constante en el tiemo, a medida que la velocidad cece la aceleación debe disminui. Esto ocue, o ejemlo, en el moto de un coche y debido a que su otencia es constante, un coche no acelea tan áido de 100 km/h hasta 00 km/h como acelea de 0 km/h a 100 km/h. Las unidades de tabajo y de enegía en el sistema intenacional de denominan m julios (J) siendo 1 J = 1 Nm = 1 kg s. (Recodamos que el tabajo tiene las mismas unidades que el a o momento de fueza. Como dijimos, en.6.. el momento de fueza se elaciona con la alanca y en una alanca la cantidad que se conseva es la enegía.) La unidad de otencia en el sistema intenacional es el watio (W). Conviene señala que la unidad kilowatio-hoa = J, es una unidad de consumo (enegía) y no de otencia. Ejemlo 1: Un automóvil de 100 kg sube una ama de α = 5º con velocidad constante de 36 km/h. Calcula el tabajo hecho o el moto en 5 minutos y la otencia del moto. Llamemos F a la fueza que desaolla el moto del coche. Si alicamos la ª ley de Newton, esulta: F mg sin α = ma = 0 F = mg sin α = sin 5 = N, 3 hoa: v = 36 km/h = 10 m/s en 5 minutos (300s) ecoeá s = vt = = m de donde W = Fs = ( N )( 3 10 m) = J La otencia la odemos calcula de dos fomas: W ) P = = = W t

4 3 ) P = Fv = ( N )( 10m / s) = W 4 Ejemlo : Un camión de masa m acelea desde el eoso en t = 0 con otencia P constante a) Detemina v () t 8P 9m 3 () t t x = ; b) Demosta que si x = 0, en t = 0 entonces P a) Podemos escibi: dv = a dt = dt P t v dv = dt dt mv m = 0 0 v mv P dv m v t = P 1 P 1 v = t m P 1 b) dx = v dt = () t dt m x 1 t P 1 = t m 0 8P = 9m 1 3 t 3.. Enegía cinética. Sabemos que dv ds dw = Ft ds = m ds = m dv = mv dv y entonces: dt dt W = Ft ds = mv dv = o lo que el tabajo efectuado sobe una atícula es igual al cambio en su enegía cinética. Y designamos o: 1 Ek = mv ó E k = [5] m a la enegía cinética de taslación. Igual que el tabajo, la enegía se mide en julios. Es imotante señala ota unidad de enegía que se utiliza en tecnología electónica, el electo-voltio (ev). Es la enegía cinética que adquiee un electón que es aceleado o una difeencia de otencial de 1 voltio. 1eV = J demás de la enegía cinética de taslación, existe la enegía cinética de otación que es la enegía que osee un cueo que ota eo no se taslada (como veemos en el caítulo 5). 1 mv 1 mv

5 3.3. Enegía otencial y fuezas consevativas. Una fueza es consevativa si su deendencia con (ó con x, y, z) es tal que el tabajo W desaollado o dicha fueza ente la osición inicial y final, uede se exesado como la difeencia de los valoes de una función E ( x y, z) final e inicial. esta función E ( x y, z), ente la osición, se la denomina enegía otencial y, de su oia definición, vemos que el tabajo ealizado o una fueza consevativa sólo deende de cuáles son los untos final e inicial, y no deende de su tayectoia. W = F d = E E [6] La enegía otencial eesenta físicamente una foma de medi la cantidad de tabajo que está almacenado y que otencialmente se odía desaolla. De ahí su nombe. Se debe ecalca que la enegía otencial es un escala. Puesto que el tabajo se evalúa como una difeencia de valoes de la enegía otencial ente dos untos, el valo del oigen (unto de efeencia) de dicha función es abitaio y caece de imotancia. Po ejemlo, ceca de la sueficie de la iea (hasta miles de metos), la aceleación de la gavedad g se uede suone constante, y la fueza de atacción que la iea ejece sobe un cueo de masa m seía F = mg (donde el signo menos se debe a que la fueza es atactiva). sí, al alica la ecuación [6] tendemos que el tabajo que ealiza la fueza de la gavedad cuando un cueo cae desde altua hasta una altua seá: W = mg dy = mg mg = E E [7] o lo que el tabajo ealizado o la gavedad deende de la difeencia de altuas y no de cual es el oigen de altuas. En vista de la ecuación [7], aa un cueo de masa m, odemos defini, la enegía otencial gavitatoia ceca de la iea como: E = mgh [8] donde h es la altua esecto del nivel que hayamos fijado como oigen. Puesto que aa la fueza gavitatoia ha sido osible enconta una función de enegía otencial que cumla [6], entonces odemos conclui que la fueza gavitatoia es una fueza consevativa.

6 Como hemos dicho, es una caacteística de las fuezas consevativas que el tabajo efectuado o ellas cuando actúan sobe un cueo es indeendiente de la tayectoia seguida o el cueo. El tabajo efectuado o ellas sólo deende de dónde están el unto inicial y el unto final. De aquí se deduce que el tabajo efectuado o una fueza consevativa sobe una tayectoia ceada es nulo, ya que entonces el unto inicial () es el mismo que el final (también ) y en este caso se anula la ecuación [7]: = W F d = E E = 0 donde el cículo en la integal significa que es una integal de línea ceada. ati de la ecuación [6], odemos escibi: W y como F d = = F d = E = E F cos θ ds = F ds F t t de F d = de [9] de =. Es deci, la comonente de la ds fueza en diección del movimiento es la deivada de la enegía otencial en esa diección cambiada de signo. En foma matemática esto se exesa indicando que el vecto F es el esultado de un oeado vectoial, llamado gadiente, que actúa sobe la enegía otencial cambiada de signo. El oeado gadiente se escibe mediante gad o mediante el símbolo nabla ( ): F = gad E = E [10] El gadiente tiene exesiones distintas deendiendo del sistema de coodenadas en que se esté tabajando. Paa coodenadas catesianas, el gadiente se escibe como: = i + j + k [11] x y z y la ecuación [10] queda: E E E F = E = Fxi + Fy j + Fzk = i + j + k [1] x y z donde la enegía otencial E deende de las coodenadas catesianas E ( x, y, z) Paa las fuezas que se usan con mayo fecuencia (gavitatoia, electostática y elástica), la enegía otencial deende sólo de una coodenada de modo que el oeado gadiente es simlemente la deivada esecto a esa coodenada.

7 Ejemlos: Fueza gavitatoia, electostática y elástica. Fuezas gavitatoias y electostáticas. k Son del tio F = u donde k es una constante. Como estas fuezas deenden únicamente de la coodenada, odemos escibi: de k k F = E = F d = d = + C d que nos da la foma de la enegía otencial aa estas fuezas. La constante de integación C deende del oigen que elijamos. Nomalmente, el oigen de enegías otenciales ( E = 0 ) se toma en =, de modo que C = 0. Paa la fueza gavitatoia, la constante k está elacionada con la ley de gavitación univesal de Newton que emleamos en.6.3. Paa un cueo de masa m en el camo gavitatoio teeste, se cumle: k = GM m de modo que la enegía otencial es: M m E ( ) = G [13] donde el signos menos se debe a que la fueza es atactiva. Constante de gavitación univesal G = Nm /kg ; Masa de la iea M = kg; Radio de la iea R = m Paa distancias h cecanas (miles de metos) a la sueficie de la iea h << R, si tomamos = R + h en [13], odemos desaolla E o aylo en tono a h y se f h = f 0 + hf 0 + ) tiene a ime oden: ( ( ) ( ) ( ) K E M = G R m M + hg R m + K hoa, si obseva que la gavedad es calculadoa), queda: M g = G (según se uede comoba con una R E = mgr + mgh con lo cual hemos vuelto a halla la exesión [8] salvo una constante, que como hemos dicho, no tiene imotancia en las enegías otenciales.

8 Podemos eesenta la enegía otencial gavitatoia de la ecuación [13]: E R R E = 0 E = mgr La figua indica que un objeto que esté a cualquie distancia de la iea, si no hubiean más astos celestes, seía ataído hacia su sueficie. En este sentido la ecuación [13] eesenta una enegía otencial en la que los untos de la sueficie de la iea son de untos de equilibio estable. Cualquie objeto odía llega desde el infinito y queda ataado en la iea. Fueza elástica. Paa un muelle, se cumle la ley de Hook: F = kx u. Como esta fueza deende únicamente de la coodenada x, odemos escibi: de 1 F = E = F dx = kx dx = kx + C dx y ya que F = 0 en x = 0 C = 0. Po tanto, la enegía otencial elástica es: 1 E kx = [14] x Si eesentamos la enegía otencial elástica [14], vemos que obtenemos una aábola. El cento de la aábola, eesenta el unto de equilibio del muelle y es un unto enegéticamente estable, ya que si estiamos o comimimos el muelle y luego lo soltamos, el muelle sieme vuelve a su osición de equilibio. E x

9 En geneal, al eesenta cualquie cuva de enegía otencial fente a un coodenada y odemos obtene estudia el comotamiento de un sistema. E H (3) I C D E G S () (1) S1 x Suongamos una atícula que se encuenta en el unto x que coesonde a la abcisa del unto. Si su un nivel de enegía total es (1), la atícula odía descende o la ama de la aábola, asa o el unto más bajo S1, ascende hasta el unto y luego volveía en sentido contaio. Si no hubiea ninguna édida enegética la atícula estaía oscilando ente y. Estos untos se llaman untos de etono. Si una atícula se encuenta en eoso en el unto en S1 ó en el unto S y se la deslaza ligeamente en x y se la deja en libetad, entonces la atícula tiende a volve a su unto oiginal. los untos S1 y S se les llama untos de equilibio y son mínimos de d E de la función de enegía otencial y cumlen = 0 y > 0 dx dx Po el contaio, una atícula que se encuente en el unto I y sea deslazada, no tiene tendencia a egesa a dicho unto. El unto I es un unto de equilibio de d E inestable y es un máximo de la función = 0 y < 0 dx dx Un atícula que tenga un nivel enegético (), odá oscila ente los untos C y D, ó ente los untos E y G eo nunca odá atavesa la zona comendida ente D y E que se denomina baea de otencial. Esto es cieto en toda la Mecánica Clásica. En ealidad, aa la llamada Mecánica Cuántica que se descubió a inciios del siglo XX y que ocue en los sistemas atómicos, sí es obable que una atícula ataviese deteminadas baeas de otencial ya que, en Mecánica Cuántica una atícula se uede

10 comota a la vez como onda y como atícula. Esta osibilidad de atavesa baeas de otencial se denomina efecto túnel. Se han desaollado disositivos tecnológicos basados en este fenómeno como los diodos Zene y diodos túnel como esonadoes amlificadoes ultaáidos. Una atícula que tenga nivel enegético (3) si es libeada desde H odía llegaía más lejos que G y nunca egesaía o lo tanto el movimiento ya no seía oscilatoio. El unto de equilibio S es mucho menos ofundo que el unto S1 y, o tanto, a una atícula que se encuente en S le seá muy fácil absobe enegía y cae en S1. Los untos de equilibio estable oco ofundos como S se les llama untos metasestables y eesentan estados tansitoios en un sistema. Paa todos nuestos azonamientos anteioes, ha sido muy visual suone que una atícula se uede move o la función E como si fuea deslizando o una montaña usa. En este caso, la enegía otencial gavitatoia de la atícula tendía la misma foma que la montaña usa. Sin embago, todas las conclusiones anteioes esecto a la estabilidad o inestabilidad seguiían siendo válidas si la atícula se moviea en un movimiento unidimensional en x (no bidimensional como en la montaña usa) y tuviea una E ( x) con máximos y mínimos. sí, el movimiento de una atícula unida a un muelle es unidimensional eo la foma de su enegía otencial elástica [14] es una aábola con el unto de estabilidad en el oigen que coesonde al unto de equilibio del muelle Fuezas no consevativas. Son aquellas en las que el tabajo deende de la tayectoia. El ejemlo más común es el ozamiento, aunque hay otos menos conocidos como la fueza de aaste que aaece sobe una caga eléctica (fueza de Loentz) cuando se mueve o un camo magnético. Hay que destaca que el ozamiento es esultado de fuezas de oigen electostáticas que sí son consevativas. Lo que ocue es que debido a efectos temodinámicos (estadísticos) existe édida de enegía en el sistema que deende del camino seguido. unque se egese al mismo unto sieme se habá edido enegía en el sistema. En ealidad, al habe vuelto al mismo sitio tas habe ecoido un tayecto con ozamiento, todas las moléculas de los mateiales no están en el mismo luga que

11 cuando se emezó el ecoido. El oceso no es evesible debido al aumento de entoía y a la aaición de nuevos estados accesibles al sistema Consevación de la enegía Definimos la enegía mecánica total como E + E ; si en el sistema no hay k fuezas no consevativas, en cualquie unto del ecoido, se cumle que la enegía mecánica se conseva constante: E + E cte. k = En este caso, la enegía mecánica total en el unto (inicial) debe se igual a la enegía mecánica total en (final) ( E k E ) = ( Ek + E ) + [15] Si en el sistema existen fuezas no consevativas, como el ozamiento, el tabajo W efectuado o estas fuezas duante un deslazamiento S seá: ( E + E ) ( E + E ) F S W = [16] k k = Es conocida la fase del inciio de consevación de la enegía: La enegía ni se cea ni se destuye sólo se tansfoma. Realmente, una vez descubieta la eoía de la Relatividad de Einstein, se sabe que la masa se uede tansfoma en enegía y vicevesa. ctualmente es más adecuada la siguiente fese como inciio de consevación de la enegía: La suma de las masas y enegías del Univeso es constante.