UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A LABORATORIO DE FÍSICA I/11. PRÁCTICA No. 2 ANÁLISIS GRÁFICO.

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1 Pága de 5 NÚCLEO UNIVERSITARIO RAFAEL RANGEL UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A ÁREA DE FÍSICA LABORATORIO DE FÍSICA LABORATORIO DE FÍSICA I/ PRÁCTICA No ANÁLISIS GRÁFICO OBJETIVO Las gráfcas se utlza para estudar copreder el ecaso de u feóeo oservado, a la vez por edo del aálss de ellas se puede oteer foracó sore oservacoes eperetales La faldad de esta práctca es estudar el epleo de las gráfcas para la otecó de las relacoes fucoales etre dos agtudes físcas TABULACIÓN La físca por ser uas de las raas de las cecas aturales es eperetal cuattatva, es decr, e el traajo del laoratoro se tedrá la ecesdad de edr agtudes físcas dspoedo así de datos eperetales Es ua ora eleetal que dchos datos, dee ser presetados e fora clara ordeada, la ejor fora de lograr esto es ucar los datos e talas, de odo que e ellas se deste dferetes coluas a cada cojuto de datos La realzacó de talas de valores o se lta ecesaraete a los datos que se recoge drectaete e el traajo eperetal, so que puede etederse a los resultados de efectuar operacoes co dchos datos Adeás, puede dspoerse de coluas para colocar e ellas el error sepre que éste sea dferete e cada edcó Para aor foracó, las talas de datos dee poseer u título dee aparecer las agtudes co sus udades de edda Coo ejeplo se preseta la sguete tala de valores de u epereto e el cual se dó la etesó de u alare de core coo fucó de ua asa suspedda de él Tala Etesó de u alare de core Masa, kg Etesó, e 5,0 0, 0,0 0,5 AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

2 Pága de 5 5,0 0,8 0,0,0,5,5 5,0,3 7,5,4 30,0,5 3,5,7 35,0,8 37,5,9 40,0,0 4,5,3 45,0,5 47,5,8 50,0 3, REPRESENTACIÓN GRÁFICA Ua vez taulados los datos así coo los valores de las agtudes calculadas, es coveete represetar los resultados e u gráfco La represetacó gráfca vee a ser lo ás represetatvo del feóeo que se está estudado e su terpretacó se reflejará el coportaeto líte del feóeo ajo las codcoes e que se realzó adeás alguas foracoes ateátcas coo por ejeplo la fucó ateátca que ejor lo represete Adeás, la represetacó gráfca perte oteer valores que aú o ha sdo otedos eperetalete, es decr, valores etre putos Dcho proceso se llaa terpolacó El proceso para oteer valores fuera del tervalo eperetal rece el ore de etrapolacó REGLAS PARA GRAFICAR Los ejes dee llevar claraete las agtudes que e ellos se represeta las udades correspodetes Elegr las udades e los ejes coordeados de odo que perta leer e terpretar co facldad Es coveete e geeral, que el orge aparezca e el gráfco No ostate, las escalas puede reeplazarse cuado los datos eperetales está e u tervalo que así lo requere Dee usarse el eje de la ascsa para la varale depedete aquella que es cotrolada por el eperetador el eje de la ordeada para la varale depedete Por ejeplo, s edos la logtud de ua arra etálca al varar la teperatura, se usca a la fucó l ft, etoces es coveete usar el eje para T el eje para l Los valores eperetales o dee ser grafcados coo u puto so que ha que represetar el error co el cual se otuvo dcho valor Para ello se usa cruces, cuadrados, círculos, rectágulos, etc, cetrados e el valor AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

3 Pága 3 de 5 La recta o curva que represeta la fucó que sgue los putos, dee tratarse de odo que sea lo ás represetatvo posle del feóeo ERRORES EN LOS GRÁFICOS E cualquer epereto cetífco cuattatvo es esecal dcar los posles errores, e cualquer catdad edda Ua vez que u error ha sdo estado dee represetarse e el gráfco Por ejeplo, s las etesoes eddas e el alare tala so aproadas por ± 0,05, etoces las preras dos eddas puede represetarse gráfcaete por arras coo se uestra e la fgura Las arras de errores se etede por eca por deajo de los putos eddos los cuales so dcados por putos ecerrados e círculos Supógase adeás que las asas fuero eddas co u error de ± 0,5 kg Esta certdure puede represetarse por arras horzotales que se etede 0,5 kg e aos lados de las asas represetadas ver fgura Geeralete, aos errores, horzotal vertcal, dee ser ostrados pero puede ser otdos s el error asocado a la edda es u pequeño para represetarse Represetar arras de errores es lgeraete ás coplcado so se está grafcado catdades eddas drectaete, so grafcado, 3, se, etc Se ostrará el procedeto toado coo ejeplo u epereto e el cual se de la velocdad v de ua ola caedo que es edda a varas dstacas s Los resultados se taula e las dos preras coluas de la tala se asurá que el error posle e las velocdades es ± 0,5 /s el error posle e las dstacas es ± 0, AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

4 Pága 4 de 5 A dstaca s Tala Datos de ua ola caedo B Velocdad v/s C v /s D s s E s s F v v /s G v v /s,0 4,4 9,3, 0,8 4,0 5,,0 6,0 36,0,,8 4,3 30,3 3,0 7,9 6,4 3,,8 70,6 54,8 4,0 8,7 75,7 4, 3,8 84,6 67, 5,0 9,7 94, 5, 4,8 04,0 84,6 6,0, 3, 6, 5,8 34,6,4 Supógase que se ha descuerto que v es proporcoal a s Usado los datos de las coluas A C se otee el gráfco ostrado e la fgura Para los errores de la dstaca s, se usa las coluas D E Para producr las arras de error e v se usa las coluas F G Lo portate es que s se esta que ha u posle error de ± v e el valor de v, éste se ecuetra etre v- v v v Por lo tato v dee ucarse etre v- v v v Note que aú cuado el error e v sea pequeño, los errores e v se hace ás grade a edda que v se hace ás grade AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

5 Pága 5 de 5 ANÁLISIS GRÁFICO E el aálss de u prolea físco se puede partr de la teoría que predce ua certa le físca la cual se epresa co ua ecuacó cua fora ateátca os guará al aalzar la fora del gráfco Es decr, grafcado los valores eperetales se tedrá ua curva ufore que uestra la tedeca de los putos Eseguda se copara la fora de la curva oteda, co aquello predcho teórcaete S cocuerda, ello correspode a ua coproacó eperetal de la le físca cosderada La fucó ateátca ás sple es la líea recta es por ello que tee gra portaca e el aálss de datos eperetales Por lo tato es útl lealzar la curva cuado ésta o sea ua recta IMPORTANCIA DE LA LÍNEA RECTA De ua curva es u dfícl deducr cuál es la ecuacó que podría represetar ejor los resultados Es fácl etrapolar ás allá de u rago de valores eddos Sólo se ecesta ua regla Deterado la pedete la terseccó co el eje, se puede deducr valores uércos de costates que oteédolos de curvas, resulta u dfícl A cotuacó se dará ejeplos de gráfcos que e deteradas escalas perte oteer relacoes leales FUNCIÓN LINEAL La ecuacó de ua recta está defda por: a Tal es el caso del lazaeto vertcal haca aajo, cua le de oveto está dada por: v gt v 0 S se realza tal epereca se toa valores de v ft se oservará que al grafcar la tala de valores de v t, otedreos ua recta ver fgura 3 Dcha recta os pertrá deterar la aceleracó de gravedad g a través del cálculo de su pedete Adeás se podrá deterar v 0 hacedo ua etrapolacó de la recta oteda hasta cortar el eje vertcal Por lo tato para grafcar ua fucó tal coo la dcada, se utlzará papel letrado papel de uso ás coú cuos ejes so aos leales, es decr, las dvsoes está gualete espacadas AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

6 Pága 6 de 5 v c/s v v o t v g t pedete Fgura 3 t s FUNCIÓN POTENCIAL La ecuacó de ua fucó potecal está defda por: c, dode c so costates Al represetar los valores de las varales, depedete e depedete e ua gráfca sore el papel letrado, dee resultar la curva característca de la fucó potecal de la fora coo se dca e la fgura 4 S toaos logaríto de aos lados se otee: log log log c S haceos el cao de varales: v log u log k log c, teeos que la ecuacó se puede escrr coo: que es la ecuacó de ua recta cua pedete vee dada por: v u k, v v u u v u log log log log AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

7 Pága 7 de 5 Por lo tato para grafcar ua fucó tal coo la ecuacó, se utlzará papel logarítco papel cuos ejes so aos logarítcos co u úero de cclos varales e cada eje grafcado v e fucó de u se otedrá ua recta ver fgura 5 escala leal v escala logarítca v 0 escala leal k u v pedete u u escala logarítca Fgura 4 Fgura 5 FUNCIÓN EXPONENCIAL La ecuacó de ua fucó epoecal está defda por: k a, dode k, a so costates Al represetar los valores de las varales, depedete e depedete e el papel letrado, dee resultar la curva característca de la fucó epoecal tal coo se dca e la fgura 6 S toaos logaríto de aos lados se otee: log log a log k S a vale 0, dee aplcarse logarto e ase dez S a tee u valor cualquera, dee aplcarse logarto e ase a ese so valor Por ejeplo, s a, se aplca logarto e ase valor Se tee etoces: log log k 3 S se hace el cao de varale: u log v log k, se tee que la ecuacó 3 resulta: AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

8 Pága 8 de 5 u v que es la ecuacó de ua recta cua pedete vee dada por: u u u logu log u escala leal u escala logarítca u v u pedete escala leal escala leal Fgura 6 Fgura 7 TRAZADO DE UNA RECTA QUE PASE ENTRE VARIOS PUNTOS Cuado se grafca putos eperetales por ejeplo se otee ua líea recta coo gráfco, ésta usualete o pasará por todos los putos grafcados Los étodos estadístcos deuestra que, sepre que la dspersó de los putos eperetales se dea a los errores casuales de edcó, la ejor recta pasará por el cetrode de los putos,, e dode es el valor edo de las coordeadas de todos los putos, el proedo de las coordeadas Así que es posle dujar otras rectas alteratvas La pedete la terseccó puede ser otedos de la ejor recta que se pueda dujar, o sea, la recta que ejor se ajuste: co gual peso e lo posle, esto es, gual úero de putos por eca por deajo de la recta El cetrode se calcula etoces coo: eperetales que es el puto co las coordeadasτϕ ΡΓ ΕΤ La ecuacó de la recta será: Σ Σ a AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

9 Pága 9 de 5 El error para la pedete a el corte co,, vee dado por la lectura de la poscó de los putos sore la gráfca Crtero de áa ía pedete Ua vez defdo el cetrode, la recta de áa pedete se costrue coo la recta que pasa por el cetrode por la aoría de los putos stuados e la parte superor derecha del cetrode e la parte feror zquerda de éste La recta de pedete ía dee pasar por el cetrode por la aoría de putos stuados e la parte feror derecha del cetrode e la parte superor zquerda de él La ecuacó de la recta ópta es la recta equdstate a aas rectas que pasa por el cetrode ver fgura 8 Así la recta ópta será: a dode a opt opt so la pedete ópta el puto de corte ópto co el eje La pedete ópta el corte co el eje de la recta ópta vee dados por: opt opt a opt a a opt a a Geeralete el trazado de ua recta a partr de certos valores otedos e u epereto, tee coo faldad calcular la pedete de esa recta o su corte co uo de los ejes, para de allí deterar algua agtud físca Así por ejeplo, e ua epereca del oveto rectlíeo uforeete acelerado, del gráfco de la velocdad del óvl v e fucó del tepo recorrdo t se puede oteer la aceleracó del óvl calculado la pedete a la velocdad cal v o a partr del corte co por etrapolacó a través de las ecuacoes: v v o at v a Dchos cálculos plca oteer u valor de la pedete a el corte e u tervalo de error: a ± a ; ± Para calcular los valores de a se tee etoces: a a a a a AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

10 Pága 0 de 5, recta a recta opt recta opt Fgura 8 Método de los íos cuadrados Uo de los étodos estadístcos ás usados para deterar la ejor recta que pasa etre varos putos eperetales es el étodo de los íos cuadrados Para este étodo o es ecesaro grafcar los putos eperetales coo e el étodo ateror S la dspersó de los putos eperetales es deda sólo a los errores casuales e las eddas, la recta ópta será aquella para la cual la sua de los cuadrados de las dstacas o sea u ío ver fgura 9 Por lo tato, la desvacó de u valor cualquera deterado eperetalete co respecto a su valor o e la recta que se desea oteer, será: o a Segú el eucado de este étodo, etoces la sua ía para las desvacoes se otee cuado: Σ Σ [ a ] ío Ya que la codcó egda es zar la sua ateror, etoces los paráetros a dee ajustarse para cuplr co esta codcó Esto se logra calculado las dervadas parcales de la sua co respecto a a co respecto a e gualádolas a cero Σ a a 0 Σ a 0 AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

11 Pága de 5 La resolucó de estas dos ecuacoes co respecto a a a, perte oteer: a, co las cuales se puede calcular los paráetros a deterado así la ecuacó de la ejor recta que se puede trazar etre los putos eperetales dode es el úero de pares de valores de Para usar este étodo de los íos cuadrados se recoeda usar la tala 4 para así ordear la foracó facltar los cálculos Tala 4 Ejeplo para costrur los datos por el étodo de los íos cuadrados Σ Σ Σ Σ Actualete dedo al uso de calculadoras coputadoras es cas de ruta poseer u prograa que perta hacer los cálculos ecesaros para el ajuste de la recta Ha que hacer otar que el uso de este étodo o plca hacer el gráfco de la recta, pero por razoes pedagógcas es coveete hacerlo para así oservar ás claraete las desvacoes de los putos eperetales co respecto a la recta calculada Ua vez otedo los valores de a, es ecesaro calcular sus errores correspodetes a Para calcular estos valores por este étodo, se usa las sguetes epresoes: AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

12 Pága de 5 a S S dode S a o a Fgura 9 PARTE PRÁCTICA Epereca ro Para u ojeto co oveto uforeete acelerado se hcero las sguetes edcoes Tala Velocdad de u ojeto co oveto uforeete acelerado Sga los sguetes pasos: t s v / s a Grafque e el papel letrado Copare la gráfca, co las estudadas aterorete Co cuál tee aor seejaza? AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

13 Pága 3 de 5 Se puede sospechar que la fucó es: c S la fucó es, la ecuacó que la regrá es d Coo la recta o pasa por el orge de las ordeadas, esto dca que: e Ecuetre la pedete de la recta: f Halle la le que rge el oveto : Epereca ro Al soltar u ojeto e caída lre, se hcero las edcoes que se dca e la tala Halle la le que rge el oveto Tala Dstaca e fucó del tepo para u ojeto que cae lreete Sga los sguetes pasos: a Grafque e el papel letrado t s 5 5 d Copare la curva oteda co las estudadas aterorete Co cuál tee aor sltud? c S la fucó es, la ecuacó que la regrá es d Segú el tpo de fucó, puede oteer ua líea recta? Cóo lo hace? e Ecuetre la pedete de la recta f Susttua los valores ecotrados e la ecuacó correspodete ecuetre la le que rge el oveto Epereca ro 3 AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

14 Pága 4 de 5 Se tee co ua certa catdad del eleeto quíco poloo Después de 38 días peraecerá solaete la tad de la sa Co esta foracó otega la le que rge el feóeo Qué catdad de poloo quedará después de u año? Proceda a oteer los datos para grafcar la tala 3 Tala 3 Porcetaje de Poloo e fucó del tepo t días p % a Grafque e papel letrado el porcetaje p e fucó del tepo t Aalzado la curva trate de cotestar las sguetes pregutas: La relacó fucoal etre las varales es: - Leal, por qué? - Potecal por qué? - Epoecal, por qué? c Copare la gráfca oteda, co las estudadas aterorete Co cuál de ellas tee aor seejaza? Se puede sospechar que la relacó fucoal es La ecuacó que la rge es d Segú el tpo de fucó, puede oteer ua líea recta? Cóo lo hace? e Ecuetre la pedete de la recta f- Susttua los valores ecotrados e la ecuacó correspodete ecuetre la le que rge el feóeo EJERCICIOS E el papel letrado ecuetre las gráfcas de las ecuacoes: / Haga u estudo copleto de cada ua de ellas AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

15 Pága 5 de 5 BIBLIOGRAFÍA Roert Resck Davd Hallda Físca Parte CIA Edtoral Cotetal, SA Méco DF Prera edcó, cuarta presó de 98 Mke Petz Mlo Shott Hadlg Eperetal Data Ope Uverst Press Prera edcó, seguda presó de DC Bard A Itroducto to Measuet Theor ad Eperet Desg Pretce-Hall, Ic New Jerse Prera presó de 96 4 Yardle Beers Theor of Error Addso-Wesle Pulshg Copa Ic Seguda edcó, tercera presó de 96 5 Arthur J Lo Dealg wth Data Pergao Press Prera edcó de Gozález Zada Mla Lla Laoratoro I de Físca: TEORÍAEdtoral El Vaje del Pez, Veezuela Prera edcó, prera presó, Ecclopeda Mcrosoft Ecarta 99 AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

16 Pága 6 de 5 Respuestas a las eperecas Epereca ro Ecuacó para ua líea recta: S V o, a etoces: v a t v o que es la ecuacó ceátca del oveto e líea recta co aceleracó costate Epereca ro Ecuacó para la fucó potecal: c co c costates S d, t, c 4,9 /s, etoces: d 4,9 t que es la ecuacó del oveto e caída lre co velocdad cal cero: v o t - ½ g t Epereca ro 3 Ecuacó para la fucó epoecal: k a, dode k, a so costates S p, t, k 00, a 0-0,3/38 etoces susttuedo: p 00%0-0,3/38t 00% /0 0,3/38t Por otro lado: 0 0,3 0 /3,6, por lo tato resulta: p 00/ t/38 que es la ecuacó para la destegracó de los eleetos radactvos: Nt N0/ t/τ co τel tepo de vda eda del eleeto Ejercco ro 5-5 log -5 log AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

17 Pága 7 de 5 log -5 log log S v log -5, u log log Etoces: v u Ejercco ro 3 Sea la fucó: S se copara co la ecuacó geeral de la fucó epoecal k a, es la pedete de la recta que resulta de lealzar la fucó, que vale Dado valores a, se tee los datos de la tala Tala Lealzado: log log log S v log, etoces: v que es la ecuacó de ua líea recta de pedete La pedete de esta líea está dada por: v v v log v log v que para dos valores de la tala, resulta: AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

18 Pága 8 de 5 log log log log log 4 log log log v v Método de los íos cuadrados Por otro lado: [ ] [ ] [ ] [ ] AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese

19 Pága 9 de 5 Itroducedo e, resulta: AcroPDF - A Qualt PDF Wrter ad PDF Coverter to create PDF fles To reove the le, u a lcese