OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sean las matrices A =

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos) Halle los valores de x, y, z para los que se cumple A.X Y. Solució Determie la matriz iversa de A. Dada la matriz A si mediate trasformacioes elemetales de Gauss podemos pasar de (A I) a (I B) la matriz B es la iversa de A, es decir B A -1. Tambié podemos calcularla co la fórmula A -1 1 t Adj(A ). A (A I) F+ F F-F F 3+F F3-F (I A -1 ), de dode A Veámoslo por la fórmula 1 Adj(A t ) A -1. A 1-1 Adjutos A seguda 1 (0 + 1) 1; A t 1 3 ; Adj(A t ) fila (1/1). Observamos que sale lo mismo Halle los valores de x, y, z para los que se cumple A X Y., luego A Adj(A t ) A 1-1 x -x x-y- -x De A X Y, teemos y y, igualado teemos: z -x+3y z x-y- -x x-() - -x x 6, luego x 3 y -x+3y z -(3)+3() z, luego z 3. Los valores pedidos so x 3, y, z 3. EJERCICIO _A Para la fució f : R R defiida de la forma f (x) 8x 3-84x + 40x, determie: (1 5 putos) Su mootoía y sus extremos relativos. (1 5 putos) Su curvatura y su puto de iflexió. Solució Su mootoía y sus extremos relativos de f(x) 8x 3-84x + 40x. Recordamos que la mootoía sale del estudio de la primera derivada. Los putos dode se aula f (x) puede ser los extremos relativos. 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Si f (x) > 0, f(x) es estrictamete creciete (Se dibuja hacia arrib. Si f (x) < 0, f(x) es estrictamete decreciete (Se dibuja hacia abajo). Como f(x) 8x 3-84x + 40x, teemos f (x) 4x - 168x + 40 y f (x) 48x De f (x) 0, teemos 4x - 168x , de dode x 7± ±3-7x , de dode x, y las solucioes so x (7+3)/ 5 y x (7-3)/, que será los posibles extremos relativos. Como f (0) 4(0) - 168(0) > 0, f(x) es estrictamete creciete e (-,). Como f (3) 4(3) - 168(3) < 0, f(x) es estrictamete decreciete e (,5). Como f (6) 4(6) - 168(6) > 0, f(x) es estrictamete creciete e (5,+ ). Por defiició x es u máximo relativo y vale f() 8() 3 84() + 40() 08 Por defiició x 5 es u míimo relativo y vale f(5) 8(5) 3 84(5) + 40(5) 100 Su curvatura y su puto de iflexió. Recordamos que la curvatura sale del estudio de la seguda derivada. Los putos dode se aula f (x) puede ser los putos de iflexió. Si f (x) > 0, f(x) es covexa ( ) (e Adalucí. Si f (x) < 0, f(x) es cócava ( ) (e Adalucí. De f (x) 0, teemos 48x , de dode x 3 5, que será el posible puto de iflexió. Como f (0) 48(0) < 0, f(x) es cócava ( ) e (-,3 5). Como g (4) 48(4) > 0, f(x) es covexa ( ) e (3 5,+ ). Por defiició x 3 5 es u puto de iflexió de f que vale f(3 5) 8(3 5) 3 84(3 5) + 40(3 5) 154. EJERCICIO 3_A Parte I La baraja española costa de diez cartas de oros, diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extrae dos cartas. Calcule razoadamete la probabilidad de que, al meos, ua de las dos cartas sea de espadas e los siguietes supuestos: (1 puto) Si se extrae las cartas co reemplazamieto. (1 puto) Si se extrae las cartas si reemplazamieto. Solució Recordamos: p(a B) p(a) + p(b) - p(a B); p(a B) p(a) p(b/a). Si los sucesos so idepedietes si p(a B) p(a).p(b), y tambié p(b/a) p(b) Nº de casos favorables P(suceso) Nº de casos posibles Se extrae dos cartas. Calcule razoadamete la probabilidad de que, al meos, ua de las dos cartas sea de espadas e los siguietes supuestos: Llamamos Es1 y Es a los sucesos sacar espadas e la 1ª extracció y sacar espadas e la ª extracció. Me está pidiedo p(al meos ua de las cartas sea espadas) p(es1 ó Es) p(es1 Es) p(es1) + p(es) - p(es1 Es) Si se extrae las cartas co reemplazamieto. Si las extraccioes so reemplazamieto los sucesos so idepedietes, la ª extracció o depede de la primera y además p(es1 Es) p(es1) p(es). p(es1 Es) p(es1) + p(es) - p(es1 Es) p(es1) + p(es) - p(es1) p(es) (10/40) + (10/40) - (10/40) (10/40) 7/ ( Si se extrae las cartas si reemplazamieto.

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Si las extraccioes so si reemplazamieto los sucesos so depedietes, la ª extracció depede de la primera y además p(es1 Es) p(es1) p(es/es1). p(es1) 10/40; p(es) p(es/es1) + p(es/es1 C ) 9/ /39 19/39 (Hay ua carta meos y hay que cosiderar las dos posibilidades, de que la 1ª carta haya sido espadas o que o haya sido) p(es1 Es) p(es1) + p(es) - p(es1 Es) p(es1) + p(es) - p(es1) p(es/es1) (10/40) + (19/39) - (10/40) (9/39) 53/ EJERCICIO 3_A Parte II E ua muestra aleatoria de 56 idividuos se ha obteido ua edad media de 17 4 años. Se sabe que la desviació típica de la població Normal de la que procede esa muestra es de años. (1 puto) Obtega u itervalo de cofiaza al 95% para la edad media de la població. (1 puto) Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para que el correspodiete itervalo de cofiaza, al 90%, tega de amplitud a lo sumo 0 5? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) x z 1 α/,x + z1 α/ (a, dode z 1-α/ y z α/ - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) 1 - α/ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E z1 α /, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a z1 α / E, de dode E (b /, por tato el tamaño míimo de la z 1- α/. muestra es E. E ua muestra aleatoria de 56 idividuos se ha obteido ua edad media de 17 4 años. Se sabe que la desviació típica de la població Normal de la que procede esa muestra es de años. Obtega u itervalo de cofiaza al 95% para la edad media de la població. Dados: 56; x 17 4; ; ivel de cofiaza 1 α 95% De 1 α 0 95, teemos α , de dode α/ 0 05/ 0 05 De p(z z 1-α/ ) 1 - α/ Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee e la tabla y correspode a z 1-α/ El itervalo es I.C. (µ) x z 1 α/,x + z1 α/ 17'4 1'96,17'4 + 1' (17 155, ). Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para que el correspodiete itervalo de cofiaza, al 90%, tega de amplitud a lo sumo 0 5? 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Dados: ivel de cofiaza 90% α, de dode α 0 10, es decir α/ 0 10/ De p(z z 1-α/ ) 1 - α/ Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 95 o viee, las más próximas so y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato z 1-α/ es la media es decir z 1-α/ ( )/ Sabemos que la amplitud del itervalo es b a 0 5 z1 α / E, de dode E < 0 5/ 0 5 z 1- α/. 1'645 Por tato el tamaño míimo de la muestra es > E 0' , por tato el tamaño míimo de la uestra es 174. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B Cosideramos el recito del plao limitado por las siguietes iecuacioes: y x 4; y + x 7; -x y ; x 0; y 0. ( putos) Represete el recito y calcule sus vértices. (1 puto) Halle e qué putos de ese recito alcaza los valores máximo y míimo la fució F(x,y) 4x + y - 1. Solució ( y ( Teemos las siguietes iecuacioes: y x 4; y + x 7; -x y ; x 0; y 0. De las desigualdades pasamos a las igualdades: y x 4; y + x 7; -x y ; x 0; y 0. Para dibujar la regió factible o recito, de cada iecuació despejamos la icógita y, para dibujar la recta correspodiete, y después observado las iecuacioes tedremos la regió y los vértices del recito. y x+4; y -x+7; -x+13 y; x 0; y 0. Dibujamos las rectas y el recito: Calculamos los vértices A, B, C y D de dicha regió so: De y -x+7 e y0, teemos -x+7 0, es decir x 7, luego x 3 5 e y0, y el puto de corte es A(3 5,0). De y -x+13 e y0, teemos -x+13 0, es decir x 13, luego x6 5 e y0, y el puto de corte es B(6 5,0). De y -x+13 e yx+4, teemos -x + 13 x + 4, de dode 9 3x, luego x 3 e y 7, y el puto de corte es C(3,7) De y -x+7 e yx+4, teemos -x + 7 x + 4, de dode 3 3x, luego x 1 e y 5, y el puto de corte es D(1,5) El recito tiee por vértices A(3 5,0), B(6 5,0), C(3,7) y D(1,5). 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Cosideremos la fució F(x,y) 4x + y - 1. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que la fució F alcaza su máximo y míimo absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito ( o e u segmeto, si coicide e dos vértices cosecutivos), por lo que evaluamos F e los putos ateriores: F(3 5,0) 4(3 5) + (0) 1 13, F(6 5,0) 4(6 5) + (0) 1 5, F(3,7) 4(3) + (7) 1 5, F(1,5) 4(1) + (5) Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 5 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el puto (6 5,0) y e el puto (3,7) es decir e todo el segmeto que determia, y el míimo absoluto de F es 13 (el valor meor e los vértices) y se alcaza e el puto (3 5,0) y e el puto (1,5) es decir e todo el segmeto que determia. EJERCICIO _B ( putos) Halle los valores de a y b para que la recta tagete f(x) ax - b e el puto (1, 5) sea la recta y 3x +. (1 puto) Para g(x) e 1 x + L(x + ), calcule g'(1). Solució Halle los valores de a y b para que la recta tagete f(x) ax b e el puto (1, 5) sea la recta y 3x +. Recordamos que la recta tagete e x a es y f( f ( (x. De puto (1,5), teemos f(1) 5. Sabemos que f (1) es la pediete de la recta tagete, que es y 3, luego f (1) 3. f(x) ax b ; f (x) ax De f(1) 5 a(1) b 5 a b 5 De f (1) 3 a(1) 3 a 3/; luego 3/ b 5 3/ 5 b, es decir b -7/ Para g(x) e 1 x + L(x + ), calcule g'(1). Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié algo sobre extremos absolutos / f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) f (x)+g (x); ( f(x) g(x)) f (x) g(x)+ f(x) g (x); ; g(x) (g(x)) ( (f(x) k ) k.f(x) k-1.f (x); (a x ) a x.l(; ( e kx ) k.e kx ; (x k ) k.x k-1 ; (l(f(x)) f'(x) ; (k) 0. f(x) g(x) e 1 x + L(x + ) g (x) e 1 x (-1) 1 + x +, de dode g (1) e 0 (-1) (-1) + 1/3 -/ EJERCICIO 3_B Parte 1 E ua ura hay cuatro bolas blacas y dos rojas. Se laza ua moeda, si sale cara se extrae ua bola de la ura y si sale cruz se extrae, si reemplazamieto, dos bolas de la ura. (1 puto) Calcule la probabilidad de que se haya extraído dos bolas rojas. (1 puto) Halle la probabilidad de que o se haya extraído igua bola roja. Solució E ua ura hay cuatro bolas blacas y dos rojas. Se laza ua moeda, si sale cara se extrae ua bola de la ura y si sale cruz se extrae, si reemplazamieto, dos bolas de la ura. Llamemos C, X, B1, B, R1 y R, a los sucesos siguietes, salir cara al lazar moeda, salir cruz al lazar moeda, "Sacar blaca e la 1ª extracció, "Sacar blaca e la ª extracció, "Sacar roja e la 1ª extracció, y "Sacar roja e la ª extracció. Resumimos todo esto e u diagrama de árbol co sus probabilidades (e la ª extracció hay ua bola meos porque os ha dicho que es si reemplazamieto): 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Calcule la probabilidad de que se haya extraído dos bolas rojas. Viedo el diagrama de árbol, para que se pueda obteer dos bolas rojas ha teido que salir cruz (X). p(dos Roj p(x).p(r1/x) p(r/r1 X) (1/) (/6) (1/5) 1/30 0 ' Halle la probabilidad de que o se haya extraído igua bola roja. Viedo el diagrama de árbol, podemos ir por los dos camios, luego: p(nigua Roj p(c).p(b1/c) + p(x).p(b1/x) p(b/b1 X) (1/) (4/6) + (1/) (4/6) (3/5) 8/ EJERCICIO 3_B Parte II E ua graja avícola se ha tomado ua muestra aleatoria de 00 polluelos de pato, etre los cuales se ecotraro 10 hembras. (1 5 putos) Halle u itervalo de cofiaza, u ivel del 98%, para la proporció de hembras etre estos polluelos. (0 5 putos) Razoe, a la vista del itervalo ecotrado, si a ese ivel de cofiaza puede admitirse que la verdadera proporció de hembras de pato e esa graja es 0 5. Solució Sabemos que para la media poblacioal p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL ˆP, sigue ua NORMAL N( ˆp, ), dode ˆq 1 - ˆp ; y geeralmete escribimos ˆP N( ˆp, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: p q ˆ ˆ p (1-p) ˆ ˆ I.C. (p) p ˆ - z ˆ 1-α/,p + z 1-α/ (a, dode z 1-α/ y z α/ - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) 1 - α/. Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E z 1-α/ La amplitud del itervalo es b a z 1-α/, para el itervalo de la proporció. E, de dode E (b /, por tato el tamaño míimo de 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua la muestra es ˆ ˆ. (z 1- α / ) p q E E ua graja avícola se ha tomado ua muestra aleatoria de 00 polluelos de pato, etre los cuales se ecotraro 10 hembras. Halle u itervalo de cofiaza, u ivel del 98%, para la proporció de hembras etre estos polluelos. Dados: 00; ˆp 10/00 3/5; ˆq ˆ 1-p 1 3/5 /5; ivel de cofiaza 1 α 98% De 1 α 0 98, teemos α , de dode α/ 0 0/ De p(z z 1-α/ ) 1 - α/ Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 99 o viee e la tabla; el valor más próximo es y correspode a z 1-α/ 33 (Iterpolado z 1-α/ 3667). p q ˆ ˆ p (1-p) ˆ ˆ (3/5) (/5) (3/5) (/5) El itervalo es I.C.(p) p ˆ - z ˆ 1-α/,p + z 1-α/ 3/5 - '33,3/5 + ' (0 5193, ). Razoe, a la vista del itervalo ecotrado, si a ese ivel de cofiaza puede admitirse que la verdadera proporció de hembras de pato e esa graja es 0 5. La respuesta es o, porque 0 5 o está e el itervalo (0 5193, ). 7

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