Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

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1 Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de ntonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 2007 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en ndalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II sobre Probabilidad. Cada uno lleva un código como el siguiente: B-3, que significa ejercicio 3 de la opción B del modelo 4 de la convocatoria de Ejercicio ( ) Se tienen dos dados, uno () con dos caras rojas y cuatro verdes, y otro (B) con dos caras verdes y cuatro rojas. Se lanza una moneda; si sale cara se arroja el dado y si sale cruz el dado B. (a) [] Halle la probabilidad de obtener una cara de color rojo. (b) [] Si sabemos que ha salido una cara de color verde en el dado, cuál es la probabilidad de que en la moneda haya salido cara? Solución : (partado a) Llamemos y B a los sucesos, elegido un dado al azar, éste resulta ser el dado o el dado B, respectivamente (lo cual ocurre si, en la moneda, sale cara o cruz, en este orden). De la misma forma, llamemos R y V a los sucesos lanzado un dado ha azar, ha salido cara roja o verde, respectivamente. Como la moneda no está trucada, los dos dados tienen la misma probabilidad de ser elegidos: p () p (B) 2. En cada dado, hay un número concreto de caras rojas y caras verdes, lo que nos lleva al siguiente * Profesor del I.E.S. cci de Guadix (Granada) -

2 diagrama en árbol. 2 6 R V 4 6 R 2 B 2 6 V plicando el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de obtener una cara de color rojo es: p (R) p () p ( ) ( ) R R + p (B) p B (partado b) La probabilidad de que en la moneda haya salido cara (o lo que es lo mismo, se haya seleccionado el dado ) supuesto que en el dado se haya obtenido una cara de color verde es, aplicando la definición de probabilidad condicionada: ( ) ( ) cara p p p ( V ) p () p ( ) V V V p (V ) p (R) Ejercicio 2 En una población, el porcentaje de personas que ven un determinado programa de televisión es del 40 %. Se sabe que el 60 % de las personas que lo ven tiene estudios superiores y que el 30 % de las personas que no lo ven no tiene estudios superiores. (a) [0 75] Calcule la probabilidad de que una persona vea dicho programa y tenga estudios superiores. (b) [ 25] Halle la probabilidad de que una persona que tiene estudios superiores vea el citado programa. Solución : (partado a) Llamemos V y E a los sucesos elegida una persona al azar de la población, ésta ve el programa de televisión o tiene estudios superiores, respectivamente. Los datos que nos da el enunciado son: p (V ) 0 4, p ( ) ( E E 0 C 6 y p V V C ) 0 3. ndalucía 2 ntonio Roldán

3 Con estos datos, completamos el siguiente diagrama en árbol. 0 6 E V E C E 7 V C 0 3 E C plicando el Teorema de la Probabilidad Compuesta (o la definición de probabilidad condicionada), la probabilidad de que una persona vea dicho programa y tenga estudios superiores es: p(v E) p(v ) p ( ) E V (partado b) plicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que una persona que tiene estudios superiores vea el citado programa es: ( ) V p (V ) p ( ) E V p E p (V ) p ( ) E V + p (V C ) p ( ) E V C Ejercicio 3 ( , Junio) La baraja española consta de diez cartas de oros, diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extraen dos cartas. Calcule razonadamente la probabilidad de que, al menos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos: a) [] Si se extraen las cartas con reemplazamiento. b) [] Si se extraen las cartas sin reemplazamiento. Solución : Llamemos E i al suceso elegida la i ésima carta al azar, ésta resulta ser de espadas. Es claro que p (E ) 0/40 /4, porque hay 40 cartas y, de ellas, 0 son de espadas, y también sabemos que p ( E C ) p (E ) 3/4. El suceso en el que al menos una de las dos cartas es de espadas es el suceso unión E E 2, pues o bien la primera carta es de espadas, o bien lo es la segunda, o bien lo son las dos cartas extraídas. Tenemos que calcular la probabilidad de este suceso utilizando las propiedades que conocemos; por ejemplo, sabemos que este suceso es la unión disjunta de dos posibilidades: o bien la primera es de espadas (y ya da igual la segunda), ndalucía 3 ntonio Roldán

4 o bien la primera no es de espadas y la segunda sí lo es. De esta forma, tenemos: E E 2 p (E [ E 2 ) p (E ) + p (E 2 E ) p (E ) + p E C \ E 2 p (E ) + p E C E2 p : E C Las probabilidades p (E ) y p E C son conocidas, y la probabilidad condicionada p E2 E C es la que varía según si hay o no reemplazamiento. Si hay reemplazamiento, la probabilidad de que la segunda carta sea de espadas no depende de lo que haya pasado en la primera (los sucesos son independientes), y así p E 2 E C 4. Si no hay reemplazamiento y la primera carta no es de espadas, en la baraja quedan 39 cartas y 0 de ellas son de espadas, por lo que p E 2 E C 039. Por consiguiente, la probabilidad de que alguna de las dos cartas extraídas sea de espadas es: p (E [ E 2 ) p (E ) + p E C E2 p E C 8 >< ; si hay reemplazamiento, 4 >: ; si no hay reemplazamiento 39 8 >< >: 7 ; si hay reemplazamiento, 6 23 ; si no hay reemplazamiento > >; Nota Una forma, quizá más sencilla, de realizar el ejercicio anterior consiste en pasar al complementario: lo contrario de que alguna carta sea de espadas, (E [ E 2 ) C, aplicando las leyes ndalucía 4 ntonio Roldán

5 Selectividad de De Morgan, es que ninguna de las dos cartas sea de espadas, es decir, E C EC 2. Entonces: ( p (E E 2 ) p (E E 2 ) C) p ( E C E2 C ) ( ) ( p E C p E C 2 /E C ) 3 4 3, si hay reemplazamiento, , si no hay reemplazamiento 39 7, si hay reemplazamiento, 6 23, si no hay reemplazamiento. 52 Ejercicio 4 ( B-3, Junio) En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de la urna y si sale cruz se extraen, sin reemplazamiento, dos bolas de la urna. a) [] Calcule la probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas. b) [] Halle la probabilidad de que no se haya extraído ninguna bola roja. Solución : (partado a) Llamemos c y a los sucesos que ocurren cuando al lanzar la moneda aleatoriamente, sale cara o sale cruz, respectivamente. Como suponemos que la moneda no está trucada, es claro que p (c) p ( ) /2. De la misma forma, llamemos R i y B i a los sucesos extraída la i ésima bola al azar de la urna, ésta ha resultado ser roja o blanca, respectivamente. La probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas es p (R R 2 ), pues tanto la primera como la segunda deben ser rojas. Tenemos entonces el siguiente esquema con las siguientes probabilidades: /3 R 2/3 B c /2 /2 /3 /5 R 2 R 4/5 B 2 2/3 2/5 R 2 B 3/5 B 2 ndalucía 5 ntonio Roldán

6 ntes de sacar alguna bola hay que tirar la moneda. Entonces el hecho de que salgan dos bolas rojas puede ocurrir, en principio, habiendo salido cara o habiendo salido cruz. Por tanto, tenemos la unión disjunta: R R 2 (c R R 2 ) ( R R 2 ). Sin embargo, el primer suceso es imposible ya que si sale cara, sólo se extrae una bola, y entonces la segunda no puede ser roja porque no hay una segunda bola (c R R 2 c R 2 ). Queda entonces solamente el segundo suceso, R R 2, en el que después de salir cruz, se extraen dos bolas que resultan ser rojas. De esta forma, aplicando el teorema de la probabilidad compuesta y teniendo en cuenta el anterior esquema en árbol: ( ) ( ) R R2 p (R R 2 ) p ( R R 2 ) p ( ) p p R Esto demuestra que la probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas es: (partado b) Llamemos ahora al suceso ninguna de las bolas extraídas al azar es roja. Razonando de forma similar, este suceso puede ocurrir habiendo salido antes o bien cara o bien cruz, por lo que podemos descomponerlo como la unión disjunta: (c ) ( ), y esto nos lleva al teorema de la probabilidad total: p () p (c ) + p ( ) p (c) p ( ) ( ) + p ( ) p. c Si sale cara, sólo se extrae una bola; por tanto, el hecho de que ninguna bola extraída sea roja significa que la única que se ha sacado es blanca, y así: ( ) ( ) B p p 2 c c 3. Por otro lado, si ha salido cruz, se extraen dos bolas, y que ninguna sea roja significa que las dos bolas que se sacan son blancas. Entonces: ( ) ( ) B B 2 p p p ( B ) ( ) B2 p 2 B Recapitulando toda la información que tenemos: ( ) ( ) p () p (c) p + p ( ) p c De esta forma, la probabilidad de que ninguna bola extraída sea roja es 8/ ndalucía 6 ntonio Roldán

7 Ejercicio 5 ( , Septiembre) En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos y B se verifica: p ( B) 0, p ( C B C) 0 6, p (/B) 0 5. a) [0 75] Calcule p (B). b) [0 75] Calcule p ( B). c) [0 5] Son y B independientes? Solución : (partado a) Despejamos la probabilidad de B de la fórmula de la probabilidad condicionada: ( ) p B p ( B) p (B) p (B) p ( B) p (/B) p (B) 0 2. (partado a) La probabilidad de la unión de y B se puede calcular aplicando las leyes de De Morgan y la probabilidad del suceso contrario, pues: 0 6 p ( C B C) ( p ( B) C) p ( B) p ( B) 0 4. (partado c) Finalmente, calculamos la probabilidad del suceso con la fórmula de la probabilidad del suceso unión: p ( B) p () + p (B) p ( B) p () p ( B) + p ( B) p (B) Como p () 0 3 y p (/B) 0 5, los sucesos y B no son independientes, ya que los valores anteriores no coinciden. Ejercicio 6 ( B-3, Septiembre) Una urna contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se extrae, al azar, una bola de una de las urnas. a) [] Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja. b) [] Si la bola extraída resulta ser azul, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? ndalucía 7 ntonio Roldán

8 Solución : (partado a) Llamemos, R y N a los sucesos aleatorios extraída una bola al azar, ésta resulta sea azul, roja o negra, respectivamente, y llamemos U y U B a los sucesos elegida una urna al azar, ésta resulta ser la urna o la urna B, según sea el caso. Como no se indica lo contrario, la probabilidad de elegir una u otra urna es la misma, por lo que p (U ) p (U B ) 0 5. Dada la composición de las urnas, conocemos las probabilidades a priori: ( ) p 37, ( ) p RU 47, ( ) p UB 26 3, ( ) p RUB 3, ( ) p NUB 3, U que representamos en el siguiente diagrama en árbol: 3/7 U /2 4/7 R /2 /3 U B R /3 /3 Por consiguiente, aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída sea roja es: ( R p (R) p (U ) p U N ) ( ) R + p (U B ) p U B (partado b) De la misma forma, podemos calcular la probabilidad de que la bola extraída sea azul: ( ) ( ) p () p (U ) p + p (U B ) p U U B , y esta probabilidad nos sirve para aplicar el teorema de Bayes en el cálculo de la probabilidad de que, extraída una bola azul, ésta provenga de la urna B: ( ) ( ) UB p (U b ) p UB 2 p 3 p () Ejercicio 7 ( ) [2] En un espacio muestral se consideran dos sucesos y B tales que p ( B), y la del suceso B. p ( B) 6 y p (/B). Halle la probabilidad del suceso 3 ndalucía 8 ntonio Roldán

9 Solución : De la definición de probabilidad condicionada deducimos la probabilidad de B: ( ) 3 p B p ( B) p (B) 6 p (B) p (B) /6 /3 2. hora de la propiedad del suceso unión deducimos la probabilidad de : p ( B) p () + p (B) p ( B) p () p () Deducimos entonces que: p () 2 3 y p (B) 2. Ejercicio 8 ( B-3) Un experimento aleatorio consiste en lanzar simultáneamente dos dados con las caras numeradas del al 6. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: (a) [0 5] Obtener dos unos. (b) [0 5] Obtener al menos un dos. (c) [0 5] Obtener dos números distintos. (d) [0 5] Obtener una suma igual a cuatro. Solución : Consideremos el espacio muestral asociado al experimento que consiste en lanzar simultáneamente dos dados con las caras numeradas del al 6. Sabemos que éste se obtiene como el conjunto producto de los experimentos más simples que consisten en lanzar los dados independientemente. (, ), (, 2), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (2, ), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, ), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), E. (4, ), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) En el conjunto anterior, el caso (2, 3) significa que en el primer dado sale un 2 y en el segundo un 3. unque podamos pensar que los dados son indistinguibles, siempre podemos considerar que están pintados de dos colores distintos (por ejemplo, rojo y azul), y así es perfectamente razonable distinguir entre el resultado que se obtiene en un dado y el resultado del otro lado. ndalucía 9 ntonio Roldán

10 Como el conjunto anterior posee 36 casos y suponemos que los dados no están trucados, cada una de los anteriores sucesos elementales posee probabilidad /36 (según la regla de Laplace). (partado a) La probabilidad de obtener dos unos es: p ( obtener dos unos ) p (, ) 36. (partado b) La probabilidad de obtener al menos un dos es: p ( obtener al menos un dos ) p (, 2) + p (2, ) + p (2, 2) (partado c) Obtener dos números distintos es lo contrario de obtener dos números iguales, lo cual ocurre en 6 de los casos anteriores. Por tanto, la probabilidad de obtener dos números distintos es: p ( obtener dos números distintos ) p ( obtener dos números iguales ) (partado d) La probabilidad de obtener una suma igual a cuatro es: p ( obtener una suma igual a cuatro ) p (, 3) + p (2, 2) + p (3, ) Ejercicio 9 ( ) El 30 % de los clientes de una tienda de música solicita la colaboración de los dependientes y el 20 % realiza una compra antes de abandonar la tienda. El 5 % de los clientes piden la colaboración de los dependientes y hacen una compra. (a) [] Calcule la probabilidad de que un cliente ni compre, ni solicite la colaboración de los dependientes. (b) [] Sabiendo que un cliente ha realizado una compra, cuál es la probabilidad de que no haya solicitado colaboración a los dependientes? Solución : (partado a) Llamemos S y R a los sucesos elegido un cliente de la tienda al azar, éste Solicita la colaboración de los dependientes o Realiza una compra antes de abandonar la tienda. Los datos del problema nos dicen que: p (S) 0 3, p (R) 0 2 y p (S R) 0 5. ndalucía 0 ntonio Roldán

11 plicando las leyes de De Morgan, la probabilidad del suceso complementario y la probabilidad del suceso unión, deducimos que la probabilidad de que un cliente ni compre ni solicite la colaboración de los dependientes es: p ( S C R C) ( De Morgan p (S R) C) Complementario p (S R) Unión (p (S) + p (R) p (S R)) (partado b) Sabiendo que un cliente ha realizado una compra, la probabilidad de que no haya solicitado colaboración a los dependientes es: ( ) S C p p ( S C R ) p (R) p (S R) R p (R) p (R) Ejercicio 0 ( B-3) En un Instituto se pueden practicar dos deportes: fútbol y baloncesto. Se sabe que el 48 % de los alumnos practica fútbol pero no baloncesto, que el 5 % practica baloncesto pero no fútbol y que el 28 % no practica ninguno de los dos. Si se toma, al azar, un alumno de ese Instituto, calcule la probabilidad de que: (a) [0 75] Practique fútbol. (b) [0 5] Practique alguno de los dos deportes. (c) [0 75] No practique fútbol, sabiendo que practica baloncesto. Solución : Los porcentajes que nos indica el enunciado quedan resumidos en la siguiente tabla de contingencia: Baloncesto No baloncesto TOTL Fútbol 48 % No fútbol 5 % 28 % TOTL 00 % Completamos fácilmente esta tabla de contingencia: Baloncesto No baloncesto TOTL Fútbol 9 % 48 % 57 % No fútbol 5 % 28 % 43 % TOTL 24 % 76 % 00 % ndalucía ntonio Roldán

12 (partado a) La probabilidad de que practique fútbol es: %. (partado b) Observamos que solamente 28 de cada 00 alumnos no practican ni fútbol ni baloncesto, por lo que la probabilidad de que practique alguno de los deportes es: %. (partado c) De cada 00 alumnos, 24 practican baloncesto. Entre éstos, sólo 5 de ellos no juegan al fútbol. sí, la probabilidad de que un alumno que juega al baloncesto no juegue al fútbol es: %. Ejercicio ( ) Se lanza una moneda tres veces y se consideran los sucesos: : Obtener al menos dos veces cara y B: Obtener cara en el segundo lanzamiento. (a) [] Describa el espacio muestral asociado al experimento. Calcule p () y p ( B). (b) [] Los sucesos y B, son independientes?, son incompatibles? Solución : El experimento que consiste en lanzar una moneda tres veces puede interpretarse como un experimento compuesto de tres experimentos sencillos, que consisten en lanzar una sola moneda. Lanzar una sola moneda sólo puede producir dos resultados: cara y cruz, que denotamos por c y, respectivamente. sí, el espacio muestral del lanzamiento de una sola moneda es E {c, }. Como el resultado de un lanzamiento no influye en el resultado previo o en el posterior, los tres experimentos simples son independientes. Por tanto, el principio de multiplicación nos dice que el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar una moneda tres veces es el producto: E E E E {c, } {c, } {c, } { (c, c, c), (c, c, ), (c,, c), (c,, ), (, c, c), (, c, ), (,, c), (,, ) }. El suceso elemental (c,, c) significa que en el primer lanzamiento ha salido cara, en el segundo, cruz, y en el tercero, cara. Como las monedas no están trucadas, estos casos son equiprobables, por lo que todos poseen probabilidad /8. ndalucía 2 ntonio Roldán

13 Los sucesos y B están formados por los casos: { } obtener al menos dos veces cara (c, c, c), (c, c, ), (c,, c), (, c, c) ; { B obtener cara en el segundo lanzamiento (c, c, c), (c, c, ), (, c, c), (, c, ) }. Por tanto, p () p (B) 4/8 /2. Igualmente, { B (c, c, c), (c, c, ), (c,, c), (, c, c), (, c, c), (, c, ) }, por lo que p ( B) 6/8 3/4. p () 2 y p ( B) 3 4. (partado b) Como { B (c, c, c), (c, c, ) }, los sucesos y B no son incompatibles. demás, p ( B) 2/8 /4, y p () p (B) (/2) 2 /4. De esta forma, p ( B) p () p (B), lo que significa que los sucesos y B son independientes. y B son independientes, pero no son incompatibles. Ejercicio 2 ( B-3) En un tribunal se han examinado 40 alumnos de un Instituto y 50 de otro Instituto B. probaron el 80 % de los alumnos del y el 72 % del B. (a) [] Determine el tanto por ciento de alumnos aprobados por ese tribunal. (b) [] Un alumno, elegido al azar, no ha aprobado. Cuál es la probabilidad de que pertenezca al Instituto B? Solución : Como hay 40 alumnos de y 50 alumnos de B, en total hay 290 alumnos. El 80 % de los alumnos de han aprobado, lo que significa que, en total, han aprobado: 80 % de alumnos de, e igualmente, han aprobado: 72 % de alumnos de B. ndalucía 3 ntonio Roldán

14 Con estos datos, construimos la siguiente tabla de contingencia con el número de alumnos de cada clase. probados Suspensos TOTL Instituto 2 40 Instituto B TOTL Completamos esta tabla de manera muy sencilla. probados Suspensos TOTL Instituto Instituto B TOTL (partado a) En total hay 220 alumnos porcentaje de alumnos aprobados es: aprobados de un total de 290, por lo que el %. (partado b) Globalmente, hay 70 alumnos que no han aprobado, de los cuales 42 proceden del instituto B. Por tanto, si un alumno está suspenso, la probabilidad de que provenga de B es: ndalucía 4 ntonio Roldán

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