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1 EN ESTE DOCUMENTO ENCONTRARÁS LOS SIGUIENTES CONTENIDO : *SUCESOS EQUIPROBABLES. *SUCESOS ELEMENTALES *EXPERIMENTOS EALEATORIOS *ESPACIO MUESTRAL *PROBLEMAS SENCILLOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE SUCESOS ELEMENTALES{ *PROPIEDADS DE LAS PROBABILIDADES *FRECUENCIA ABSOLUTA *FRECUENCIA RELATIVA Y PORCENTUAL *AXIOMAS DE PROBABILIDAD *SUCESOS COMPUESTOS

2 *LEY DE LAPLACE *BARAJAS DADOS MONEDAS *TRIÁNGULO DE PASCAL *MODELO TABULAR PARA EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS *BINOMIO DE NEWTON *PROBABILIDAD COMPUESTA. *SUCESOS NO EQUIPROBABLES *PROBABILIDAD DE SUCESOS NO EQUIPROBABLES. LA HISTORIA DE MUCHOS CONCEPTOS QUE USAS HABITUALMENTE, SE REMONTA A MUCHOS SIGLOS ATRÁS, NACIERON Y SE DESARRLLARON CON LAS SUCESIVAS CIVILIZACIONES QUE POBLARON EL

3 MUNDO : CHINOS, HINDÚES,MESOPOTÁMICOS, EGIPCIOS, GRIEGOS, ROMANOS, ETC. DE ESTAS CIVILIZACIONES TAMBIEN CONOCEMOS NUMEROSOS JUEGOS, SIN EMBARGO LOS CONCEPTOS RELACIONADOS CON EL AZAR ; POSIBILIDADES DE GANAR, ESTRATEGIAS A SEGUIR POR LOS JUGADORES, GANANCIAS Y PÉRDIDAS EN UNJUEGO, ETC, SON RELATIVAMENTE RECIENTES. LA PRIMERA NOTICIA ESCRITA DE LA QUE SE TIENE CONSTANCIA SOBRE ESTOS TEMAS APARECE EN UN LIBRO DEL 1563 LLAMADO LIBER DE LUDO ALAE (LIBRO SOBRE EL JUEGO DE LOS DADOS), ESCRITO Y PUBLICADO POR GIROLAMO CARDANO.( ) COMO UNMANUAL PARA EL JUEGO DE DADOS. A PARTIR DE ESTE PEQUEÑO LIBRO, LA MAYORÍA DE LOS HISTORIADORES ESTÁN DE ACUERDO EN QUE LOS INICIADORES DE LA PROBABILIDAD SON LOS MATEMÁTICOS FRANCESES PASCAL Y FERMAT. EN LA FRECUENTE CORRESPONDENCIA QUE MANTUVIERON ENTRE ELLOS INTENTARON SOLUCIONAR LAS CONSULTAS DE UN NOBLE FRANCES DE LA EPOCA, EL CABALLERO DE MERÉ. PASCAL ( ) Y FERMAT ( ) NO PUBLICARON LAS SOLUCIONES ENCONTRADAS A LOS PROBLEMAS ESTUDIADOS. QUIEN SI PUBLICÓ LOS PROBLEMAS CON LOS RESULTADOS FUE JACQUES BERNOULLI ( ) EN UN LIBRO PÓSTUMO TITULADO ARS CONJECTANDI (EL ARTE DE LA CONJETURA), EN QUE SE CONOCIAN HASTA ENTONCES,(CON SUS SOLUCIONES), APORTANDO RESULTADOS NUEVOS,

4 COMO LA LLAMADA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS DURANTE EL SIGLO XVIII VARIOS MATEMÁTICOS APORTAN DESCUBRIMIENTOS SOBRE LOS CONCEPTOS DEL AZAR ; ENTRE ELLOS SE ENCUENTRA EULER ( ), BUFFON ( ), CONDORCET ( ), Y SOBRE TODO, MOIVRE ( ) A PRINCIPIO DEL SIGLO XIX, UN GRAN CIENTIFICO FRANCES, LAPLACE ( ), PUBLICA DOS LIBROS : TEORÍA ANALÍTICA DE LA PROBABILIDAD (1812) Y ENSAYO FILOSÓFICO SOBRE LAS PROBABILIDADES (1814), DONDE RESUME TODOS LOS RESULTADOS CONOCIDOS HASTA ENTONCES Y ENUNCIA UNA SERIE DE DEFINICIONES Y PROPIEDADES QUE ABREN EL CAMINO DEL ESTUDIO MODERNO DE LAS PROBABILIDAD, QUE LLEGA HASTA NUESTROS DIAS. DESDE LAPLACE ES MUY LARGA LA LISTA DE MATEMÁTICOS QUE HAN OBTENIDOS GRANDES RESULTADOS EN EL CAMPO DE LA PROBABILIDAD ; ENTRE ELLOS DESTACAN GAUSS ( ), LEGENDRE ( ), BOREL ( ), PEARSON ( ), PONCAIRÉ ( ), GALTON ( ), O LA GRAN ESCUELA RUSA CON MARCOV ( 1931.),KOLMOGOROFF ( ) Y TCHEBYCHEFF ( ).

5 EL ESTUDIO DEL AZAR Y LA PROBABILIDAD QUE NACIÓ CON LOS JUEGOS DE DADOS HACE POCO MÁS DE 300 AÑOS, FORMAN HOY DIA UN CUERPO IMPORTANTE DE CONOCIMIENTOS DENTRO DEL GRAN EDIFICIO DE LAS MATEMÁTICAS. SUS APLICACIONES EN LA VIDA REAL SON MUY EXTENSAS. EN SOCIOLOGIA, POLÍTICA, ECONOMÍA, ETC, PODEMOS ENCONTRAR MÚLTIPLES RESULTADOS DE PROBABILIDAD. 1.-GALILEO.CONSIDERAZIONE SOPRA IL GIOCO DEI DADI. UN JUGADOR ITALIANO EXPRESÓ A GALILEO SU SORPRESA, POR OBSERVAR QUE AL JUGAR CON TRES DADOS LA SUMA 10 APARECE CON MÁS FRECUENCIA QUE LA NUEVE.SEGÚN EL JUGADOR LOS CASOS FAVORABLES SERÍAN : PARA EL 9 : 126, 135, 144, 225, 234, 333 PARA EL 10 : 136, 145, 226, 235, 244, 334 PERO GALILEO VIO QUE ESTAS COMBINACIONES NO SE PUEDEN CONSIDERAR IGUALMENTE PROBABLES. EXPLICA POR QUÉ Y CALCULA LAS CORRESPONDIENTES PROBABILIDADES,UNA VEZ QUE HAYAS ESTUDIADO ESTE TEMA. 2.- PASCAL. PROBLEMAS DE LAS PARTIDAS PROPUESTO POR EL CABALLERO DE MERÉ. DOS JUGADORES A Y B, APUESTAN UNO CONTRA EL OTRO LA MISMA CANTIDAD DE DINERO EN UN JUEGO EN EL QUE EL VENCEDOR SERÁ

6 AQUEL QUE PRIMERO GANE TRES PARTIDAS. CUANDO EL JUGADOR A GANA LA PRIMERA PARTIDA, EL JUEGO SE SUSPENDE PPOR CAUSAS AJENAS A LOS JUGADORES, Y ANTE LA IMPOSIBILIDAD DE CONTINUAR SE DA POR TEMINADO. CÓMO SE REPARTIRÁ EL TOTAL DEL DINERO ENTRE LOS DOS JUGADORES? 3.- DE MOIVRE. DOCTRINE OF CHANCE. HALLAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN NÚMERO DE PUNTOS DADO AL LANZAR n DADOS QUE TIENEN CADA UNO m CARAS. 4.- EULER.DE UN NÚMEROP n DE CABALLEROS ENSOMBRERADOS LLEGAN A LA OPERA Y DEJAN SU SOMBRERO AL GUARDARROPA. ESTE ENTREGA A CADA UNO UN NÚMERO DIFERENTE, PERO, NO COLOCA LA OTRA COPIA DEL NÚMERO EN EL SOMBRERO. A LA SALIDA, DECIDE DAR A CADA UNO QUE LE ENTREGUE UN NÚMERO AL AZAR. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE NI UN SOLO CABALLERO RECIBA SU SOMBRERO? 5.-BUFFON.HISTORIE NATURALLE. SEA UN PLANO DIVIDIDO EN ZONAS HORIZONTALES POR LINEAS PARALELAS EQUIDISTANTES UNA LONGITUD d, SOBRE EL QUE SE LANZA UNA AGUJA. LA PROBABILIDAD DE QUE LA AGUJA CORTE A UNA DE LAS RECTAS PARALELAS ES 2L/π d, SIENDO L, LA LONGITUD DE LA AGUJA, CON L MENOR QUE d. 6.- EINSTEIN. UNA TABERNA SE ENCUENTRA A 10 MANZANAS AL ESTE Y SIETE AL NORTE DE LA CASA DE UN CLIENTE.SI ESTE SE ENCUENTRA TAN BORRACHO QUE EN CADA ESQUINA RESULTA PURO AZAR SI VA A CONTINUAR DERECHO O HACIA LA

7 IZQUIERDA O HACIA LA DERECHA. CUÁL ES LA PROBABILIDD DE QUE FINALMENTE LLEGUE A CASA?. ESTOS SON LOS PROBLEMAS CONSIDERADOS CLÁSICOS DE LAS PROBABILIDADES, POR LA ORIGINALIDAD DE CADA UNO,Y POR LA AUTORÍA DE LOS MISMOS. UNA VEZ TERMINADO EL ESTUDIO PROFUNDO DE ESTE TEMA PUEDES VOLVER A ELLOS Y DETRMINAR SUS SOLUCIONES. CONSIDEREMOS EL EXPERIMENTO ALEATORIO CONSISTENTE EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO,CON EL OBJETO DE REVISAR ALGUNOS CONCEPTOS DE EQUIPROBABILIDAD. ASIGNACIÒN DE PROBABILIDADES PARA SUCESOS ELEMENTALES EQUIPROBABLES. RECUERDA QUE CUANDO REALIZAMOS UN EXPERIMENTO ALEATORIO, PUEDEN OCURRIR VARIOS RESULTADOS O POSIBILIDADES. A CADA UNO DE ESTOS RESULTADOS DE, LOS HEMOS LLAMADO SUCESO SIMPLE O ELEMENTAL. Y AL CONJUN TO DE TODOS LOS SUCESOS ELEMENTALES, ESPACIO MUESRAL ASOCIADO AL EXPERIMENTO ALEATORIO. EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO, LOS SUCESOS ELEMENTALES SON SEIS : OBTENER 1

8 , OBTENER 2, OBTENER 3, OBTENER 4, OBTENER 5, OBTENER 6. EL ESPACIO MUESTRAL ES : E ={ 1,2,3,4,5,6 } AL LANZAR UNA MONEDA LOS SUCESOS ELEMENTALES SON DOS : OBTENER CARA Y OBTENER SELLO. EL ESPACIO MUESTRAL ES : E ={ CARA, SELLO} EL ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO AL EXPERIMENTO DE EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA, CONSTA DE 40 SUCESOS ELEMENTALES. EN ALGUNOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS, OCURRE,DADA SU SIMETRÌA, QUE PODEMOS SUPONER QUE LOS SUCESOS ELEMENTALES DE QUE CONSTA EL ESPACIO MUESTRAL TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD O DICHO DE OTRA FORMA SON EQUIPROBABLES. EN ESTOS CASOS LA PROBABILIDAD DE CADA SUCESO ELEMENTAL ES : SEGÙN LO ANTERIOR,RESPONDE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS : *EN UN DADO, CUÀNTO VALE P(5)? *EN UNA MONEDA, CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER CARA?.P(CARA).

9 *AL EXTRAER AL AZAR UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA. CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER EL AS DE COPAS? RESPUESTAS : 6 1 ; 1 2 ; 1 40 AHORA BIEN, SI EL EXPERIMENTO ALEATORIO ES TAL QUE NO PODEMPOS SUPONER QUE LOS SUCESOS ELEMENTALES SON EQUIPROBABLES ( LANZAMIENTO DE UN CHINCHE, QUE NO TIENE IGUAL FACILIDAD DE CAER EN UNA POSICIÒN O EN OTRA, O EL LANZAMIENTO DE UN DADO CARGAO EN UNA DE SUS CARAS ) ASIGNAREMOS PROBABILIDADES, BASANDONOS EN LA PRIMERA LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS. SI REALIZAMOS MUCHAS VECES EL EXPERIMENTO ALEATORIO Y ASIGANAMOS LOS VALORES DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS COMO BUENAS APROXIMACIONES E LA PROBABILIDAD.

10 ESTAS TRES PROPIEDADS, Y EN VIRTUD DE LA PRIMRA LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS, SE CONVIETEN EN TRES PROPIEDADES MUY IMPORTANTES EN PROBABILIDAD Y SE LLAMAN : ASIGNACIÒN DE PROBABILIDADES PARA SUCESOS CUALESQUIERA CON SUCESOS ELEMENTALES EQUIPROBABLES. RECORDEMOS LA DEFINICIÒN DE SUCESO COMPUESTO :

11 AQUELLOS QUE CONSTAN DE DOS O MÀS SUCESOS SIMPLES O ELEMENTALES. SI ESTAMOS JUGANDO UNA PARTIDA DE CARTAS, DIREMOS QUE NOS HA DADO SOTA, TANTO SI NOS HA DADO LA SOTA DE OROS,LA DE COPAS, LA DE BASTOS, O LA DE ESPADAS., POR LO TANTO EL SUCESO : { SOTA } CONSTA DE 4 SUCESOS ELEMENTALES. { SOTA } = { SOTADEOROS, SOTADECOPAS, SOTADEBASTOS, SOTADEESPADAS} SI REALIZAMOS EL EXPERIMENTO ALEATORIO DE LANZAR UN DADO, EL SUCESO PAR EN EL DADO, ES : { PAR } = { 2,4,6} Y DIREMOS QUE HA OCURRIDO EL SUCESO PAR CUANDO, AL LANZAR EL DADO, OCURRA CUALQUIERA DE ESTOS TRES SUCESOS ELEMENTALES. LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO:

12 POR EJEMPLO EN EL LANZAMIENTO DE UN DAO NO CARGADO : P(PAR) = P({ 2,4,6} = P(2) + P(4) + P(6) = + + = EN LA EXTRACCION DE UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA P( SOTA ) = 1/40 + 1/40 + 1/40 + 1/ 40 = 4/40 = 1/10 CUANDO LOS SUCESOS ELEMENTALES SON EQUIPROBABLES : ESTA FORMA DE CÀLCULO,ES LLAMADA :,SE SUELE EXPRESAR ASÌ : CUANDO LOS SUCESOS ELEMENTALES SON EQUIPROBABLES, LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO S, P(S), SE CALCULA COMO EL CUOCIENTE ENTRE EL NÙMERO DE CASOS FAVORABLES Y EL NÙMERO DE CASOS POSIBLES

13 SEA E { 1,2,3,4,5,6 } EL ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO AL EXPERIMENTO ALEATORIO DE LANZAR UN DADO Y OBSERVAR EL RESULTADO CONSIDEREMOS EL SUCESO A, SALIR PAR: A= ( OBTENER PAR) = { 2,4,6} Y EL SUCESO CONTRARIO, no A, SALIR IMPAR : No A = ( OBTENER IMPAR) = { 1,3,5} P ( AU A) = EQUIVALE A : N ª DE CASOS FAFORABLES DE AU B N ª CASOS POSIBLES,QUE N ª* DE * CASOS * FAV.* DE * A + N ª* DE * CASOS * FAV.* DE * B N ª* DE * CASOS * FAV.* DE * ( A N ª* DE * CASOS * POSIBLES ES DECIR : P(AU B) = P(A) +P(B)-P(AI B) PARA CUALQUIER ESPACIO MUESTRAL SE VERIFICAN LAS PROPIEDADES: =

14 ESTAS DOS PROPIEDADES SON MUY ÙTILES EN EL CÀLCULO DE PROBABILIDADES. LAPRIMERA SE EMPLEA CON MUCHA FRECUENCIA EN AQUELLAS SITUACIONES EN QUE SEA MÀS FÀCIL CALCULAR LA PROBABILIDAD DEL SUCESO CONTRARIO. AHORA TE PRESENTO ALGUNOS PROBLEMAS PARA QUE APLIQUES LOS CONCEPTOS VISTOS : 1.- EN UNA BARAJA ESPAÑOLA, SE LLAMAN FIGURAS A LAS CARTAS AS, SOTA, CABALLO, Y REY. CALCULA LA PROBABILIDAD DE SACAR FIGURA AL EXTRAER UNA CARTA EN UNA BARAJA ESPAÑOLA. 2.-LA BARAJA FRANCESA EN VEZ DE 40 CARTAS TIENE 52. EN CADA PALO HAY AS, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,y K.LAS FIGURAS SON AQUÌ AS,J, Q y K.CALCULA LA PROBABILIDAD DE SACAR FIGURA EN UNA BARAJA FRANCESA. 3.-SE LANZAN DOS MONEDAS AL AIRE. CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER DOS CARAS? DOS SELLOS?

15 4.-AL TIRAR DOS DADOS. CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA SUMA SEA 5? 5.-CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE AL TIRAR CUATRO MONEDAS AL AIRE SE OBTENGAN : A) CUATRO SELLOS B)2 CARAS Y 2 SELLOS 6.- CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL TIRAR UNA MISMA MONEDA 5 VECES SEGUIDAS SE OBTENGA ; A)SIEMPRE CARA B)SIEMPRE SELLO C)SIEMPRE LA MISMA PINTA D)LAS TRES PRIMERAS CARAS Y LOS ÙLTIMOS SELLOS E)LA SERIE :C-S-S-C-S F)LA SERIE :-S-S-S-C-S 7.-CALCULA LA PROBABILIDAD DE OBTENER ALGUNA CARA AL LANZAR 4 MONEDAS AL AIRE SIMULTÀNEAMENTE. 8.-SE LANZAN AL AIRE 5 MONEDAS AL AIRE SIMULTÀNEAMENTE. DETERMINE : A) LA CARDINALIDAD DEL ESPACIO MUESTRAL. B) LA PROBABILIDAD DE OBTENER : B1.-AL MENOS DOS CARAS B2.- A LO MAS 3 CARAS B3.- 3 CARAS Y 2 SELLOS B4.- ALGUN SELLO

16 TE INVITO AHORA A COTEJAR TUS RESPUESTAS : 1.-HAY 16 FIGURAS EN TOTAL : 4 AS, 4 SOTAS 4 CABALLOS Y 4 REYES P(FIGURA) 16 = 40% EN TOTAL HAY 16 GIGURAS DE UN TOTAL DE 52 ENTONCES : P(FIGURA) = 16 = 400 % EL ESPACIO MUESTRAL MEDIANTE EL MODELO DE UN ÀRBOL ES : DE MODO ENTONCES QUE :

17 EVENTOS POSIBLES : 4 ( CC) EVENTOS PROBABLES : 1, P = 1 = 25% 4 PARA LA OPCIÓN SS, ANÁLOGAMENTE ; P = 1 = 25 4 EL QUE TAMBIEN SE PUEDE RESOLVER ESTE PROBLEMA Y MUCHOS OTROS QUE TIENEN QUE VER CON SITUACIONES SIMILARES AL LANZAMIENTO DE MONEDAS APLICANDO EL EJEMPLO : SI SE LANZAN 4 MONEDAS AL AIRE SIMULTANEAMENTE: EL ESPACIO MUESTRAL CONSTA DE 2 4 = 16 SUCESOS ELEMENTALES. 1 DE 4 SELLOS ; 4 DE 3 SELLOS Y UN CARA ; 6 DE 2 SELLOS Y 2 CARAS 4 DE 1 SELLO Y 3 CARAS Y 1 DE 4 SELLOS. PARA EL CASO DE DOS MONEDAS : (C + S) 2 = C 2 + 2CS + S 2

18 ES DECIR, EL ESPACIO MUESTRAL ESTA COMPUESTO POR : 4 EVENTOS O CASOS POSIBLES O SUCESOS ELEMENTALES. 1 EVENTO COMPUESTO POR DOS CARAS (C 2 ) 2 EVENTOS COMPUESTOS POR UNA CARA Y UN SELLO. ( 2CS) 1 EVENTO COMPUESTO POR DOS SELLOS (S 2 ) 4.- DISPONGAMOS EL SIGUIENTE MODELO TABULAR PARA EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS EN FORMA SIMULTÁNEA, QUE COMO YA SABEMOS EL ESPACIO MUESTRAL ESTÁ COMPUESTO POR : 6 2 = n casos posibles, para nuestro caso será

19 VEMOS QUE LOS CASOS FAVORABLES SON 4, ENTONCES LA PROBABILIDAD PEDIDA ES : P = 36 4 = DESARROLLANDO EL TRIÁNGULO DE PASCAL : ( C + S ) 4 = C 4 +4 C 3 S +6C 2 S 2 +4CS 3 +S 4 DE DONDE : A)CASOS POSIBLES = = 16 ( 2 4 ) CASOS FAVORABLES = 1 P = 16 1 B) CASOS POSIBLES = 16 CASOS FAVORABLES = 6

20 P= 16 6 = 8 3 OBSERVACIÓN IMPORTANTE : TANTO EL ESPACIO MUESTRAL,COMO LOS CASOS POSIBLES DEL LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS LANZADAS SIMULTÁNEAMENTE AL AIRE,COMO DE OTROS PROBLEMAS SEMEJANTES, SE PUEDEN OBTENER A PARTIR DE LOS TÉRMINOS DE BINOMIO DE NEWTON QUE EXPRESA : ( a + b ) n =C N 0 a n + C n 1 a n 1 b + C n 2 a n 2 b 2 + C n n b n Donde : C k n = Para el problema: k! ( k n)! n! ( C + S) 4 = C 4 0 C 4 + C 4 1 C 3 S + C 4 2 C 2 S 2 + C 4 3 CS 3 +C 4 4 S 4 PARA EL CASO DE DOS CARAS Y DOS SELLOS, SE TIENE : 4! C 4 2 = = = 24 = 6 CASOS (4 2)!.2! FAVORABLES. 6.-A) EN EL PRIMER LANZAMIENTO LA PROBABILIDAD ES = 2 1 EN EL SEGUNDO, TAMBIÉN ES = 2 1 SUCESIVAMENTE HASTA EL ÚLTIMO LANZAMIENTO, QUE S TAMBIÉN 2 1 LA PROBABILIDAD PEDIDA ES ENTONCES :, Y A SI

21 P = ( 1 1 ) 5 = B)SIEMPRE SELLO : P = 32 C)LA MISMA PINTA : COMO EN EL PRIMER LANZAMIENTO PUEDE SALIR CUALQUIERA DE LAS DOS PINTAS, LA PROBABILIDAD ES 1, A PARTIR DEL SEGUNDO LANZAMIENTO YA ES : 2 1, POR LO TANTO : P = ( 2 1 ) 7.- ( C + S) 4 = C 4 + 4C 3 S+6C 2 S 2 +4CS 3 +S 4 CASOS POSIBLES = 16 CASOS FAVORABLES = = P = ESPACIO MUESTRAL PARA 5 MONEDAS : (C+S) 5 = C 5 0C 5 +C 5 1 C 4 S+C C 3 S 2 +C 5 3C 2 S 3 +C 5 4 CS 4 +C 5 5S 5 (C+S) 5 = C 5 + 5C 4 S + 10C 3 S 2 +10C 2 S 3 + 5CS 4 + S 5 A)NÚMERO D ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL = 32 B1) CASOS FAVORABLES = = 26 B2.- CASOS FAVORABLES = = P = 32

22 B3.-CASOS FAVORABLES = P= P = 32 B4.-CASOS FAVORABLES = = P= 32 PRIMERA EXPERIENCIA; SI LANZAMOS UN DADO. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE ONTENER DOS UNOS? EL EXPERIMENTO SE PUEDE DESCOMPONER EN DOS : LANZAR UN DADO Y DESPUÉS OTRO. LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN UNO EN EL PRIMER LANZAMIENTO ES COMO YA HEMOS VISTO 6 1, Y OBTENER UNO TAMBIÉN EN EL SEGUNDO LANZAMIENTO ES 6 1 EN TONCES PARA QUE SE DEN AMBAS OPCIONES LA PROBABILIDAD ES 1 * 1 1 =

23 PODEMOS CONSIDERAR ESTE EXPERIMENTO COMO LA COMPOSICIÓN DE OTROS DOS, Y ESCRIBIMOS : POR OTRO LADO AL LANZAR DOS DADOS SIMULTÁNEAMENTE EL ESPACIO MUESTRAL ESTÁ COMPUESTO POR 36 SUCESOS ELEMENTALES DE LOS CUALES UNO ES EL CASO FABORABLE (1,1). PPOR LO QUE LA PROBABILIDAD CORRESPONDE A : P= 1, VALOR QUE COINCIDE CON 36 NUESTRO PRIMER CÁLCULO. ESTUDIAN POR SEPARADO LAS DISTINTAS EXPERIENCIAS DE QUE SE COMPPONE LA EXPERIENCIA COMPUESTA.

24 EXTRAEMOS DOS CARTAS EN UNA BARAJA ESPAÑOLA. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER DOS ESPADAS? ESTE EXPERIEMENTO SE PUEDE DESCOMPONER EN DOS : EXTRAER UNA CARTA Y DESPUES OTRA. CONSIDEREMOS PRIMERO QUE SACAMOS UNA CARTA : 10 P(UNA ESPADA) = 40 Y, DESPUÉS SACAMOS OTRA, PERO COMO YA HEMOS SACADO UNA, LOS CASOS POSIBLES AHORA SON 39. COMO PRETENDEMOS DOS ESPADAS Y, PARA ENCONTRARNOS EN CASO FAVORABLE HA DEBIDO SALIR ESPADA EN LA PRIMERA EXTRACCIÓN, QUDAN, POR TANTO, 9 ESPADAS EN LA BARAJA. 9 P(SEGUNDA ESPADA) = 39 P( DOS ESPADAS) = 10 9 * OBSERVA QUE EN EL CASO DE LOS DADOS, EL RESULTADO DEL SEGUNDO NO DEPENDE DE LO QUE SALGA EN EL PRIMERO ; LA COMPOSICIÓN DE LA BARAJA SI SE MODIFICA DESPUÉS DE LA PRIMERA EXTRACCIÓN. POR LO TANTO AL EXTRAER DOS CARTAS, EL RESULTADO DE LA SEGUNDA DEPENDE DE LO QUE SALIÓ EN LA PRIMERA.

25 LOS DIAGRAMAS DE ÁRBOL SON MUY ÚTILES EN EL, CÁLCULO DE PROBABILIDADES COMPUESTAS. LO APLICAMOS : JUGAMOS CON BOLAS : SE TIENEN DOS BOLSAS, CADA UNA CON 10 BOLAS, ENTRE BLANCAS, NEGRAS Y ROJAS. LA DISPOSICIÓN DE LAS BOLAS EN LAS BOLSAS ES LA SIGUIENTE ; BOLSA 2 : UNA BOLA BLANCA DOS BOLAS NEGRAS SIETE BOLAS ROJAS

26 TIRAMOS UN DADO SI SALE 1 O 2,EXTRAEMOS UNA BOLA DE LA BOLSA 1 SI SALE 3, 4, 5 O 6, EXTRAEMOS UNA BOLA DE LA BOLSA 2 GANAMOS SI AL FINAL SALE UNA BOLA ROJA ; SI NO PERDEMOS. QUÉ ES MÁS FÁCIL GANAR O PERDER? EL EXPERIMENTO EN ESTE CASO SE PUEDE DESCOMPONER EN LANZAR UN DADO, PRIMERO Y EXTRAER UNA BOLA DESPUÉS.

27 P(GANAR) = P( ROJA= (4/6) *(7/10) = 28/60 = 7/15 LA PROBABILIDAD DE PERDER ES : P(PERDER) = 1-P(GANAR) = 1-7/15 = 8/15 POR LO TANTO RESULTA MÁS PROBABLE PERDER QUE GANAR. EN LA EXPERIENCIA : LANZAR DOS DADOS, EL RESULTADO DEL PRIMER DADO NO INFLUYE EN EL SEGUNDO. A EXPERIENCIAS DE ESTE TIPO SE LES LLAMA INDEPENDIENTES, PUES EL

28 RESULTADO DE CADA UNO DE ELLOS NO DEPENDE DE LOS RESULTADOS DE LOS DEMÁS. EN LAS EXPERIENCIAS 2 Y 3 NO OCURRE ESTO, SINO QUE LAS EXPERIENCIAS PARCIALES QUE LAS INTEGRAN SE INFLUYEN ENTRE ELLAS. ASIGNACIÒN DE PROBABILIDADES

29 SUCESOS NO EQUIPROBABLES. REGLAS DE JUEGO EL JUEGO QUE A CONTINUACIÒN SE PRESENTA CONSISTE EN LANZA 100 VECES UNA CHINCHETA DE CABEZA BIEN ANCHA, DESDE UNA ALTURA DE UNOS 20 CM, MEDIDOS DESDE LA SUPERFICIE DE UNA MESA. LOS RESULTADOS SE IRÀN REGISTRANDO EN UNA TABLA. EL ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO AL EXPERIMENTO ALEATORIO DE LANZAR UNA CHINCHETA ESTARÀ FORMADO POR DOS SUCESOS ELEMENTALES : E = { CHINCHETA CON LA PUNTA HACIA ARRIBA, CHINCHETA APOYADA EN LA PUNTA Y EN LA PERIFERIA DE LA CABEZA } AL SUCESO ELEMENTAL DE QUEDAR CON LA PUNTA HACIA ARRIBA LE LLAMAREMOS EL SUCESO P, Y AL SUCESO ELEMENTAL DE QUEDAR APOYADA EN EL BORDE DE LA CABEZA Y LA PUNTA LO LLAMAREMOS SUCESO C. ENTONCES EL ESPACIO MUESTRAL SERÀ : E = { P,C)} EN ESTE CASO NOS ENCONTRAMOS CON SUCESOS ELEMENTALES A LOS CUALES NO

30 PODEMOS APLICAR LA LEY DE LAPLACE, PUES, EN PRINCIPIO, NADA NOS HACE SUPONER QUE AMBOS SUCESOS SEAN EQUIPROBABLES. LA PRIMERA LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS NOS PROPORCIONA UN BUEN CRITERIO PARA OBTENER, APROXIMADAMENTE, LA PROBABILIDAD DE ÈSTOS DOS SUCESOS : TOMAR LA FRECUENCIA RELATIVA DE CADA SUCESO COMO ESTIMACIÒN DE SU RESPECTIVA PROBABILIDAD. CUANTO MAYOR SEA EL NÙMERO DE EXPERIENCIAS REALIZADAS MÀS FIABLE SERÀ EL VALOR ESTIMADO. LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE HAN ORDENADO EN LA SIGUIENTE TABLA :

31 REPRESENTANDO ESTA TABLA EN UN GRÀFICO SE PUEDE NOTAR MEJOR LA TENDENCIA QUE SIGEN ESTOS RESULTADOS SE OBSERVA QUE CONFORME AUMENTA EL NÙMERO DE EXPERIENCIAS, LAS OSCILACIONES DE LAS CURVAS VAN SIENDO MENOS BRUSCAS.

32 LAS CURVAS SE VAN ACERCANDO A UN CIERTO VALOR. TENIENDO EN CUENTA ESTAS OBSERVACIONES Y DE ACUERDO A LA PRIMERA LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS. QUÈ PROBABILIDADES LE PODEMOS ASIGNAR A LOS SUCESOS : P : CHINCHETA CON LA PUNTA HACIA ARRIBA. C : CHINCHETA APOYADA EN LA PUNTA Y EN EL BORDE DE LA CABEZA. TENGAMOS EN CUENTA QUE SE HA DE VERIFICAR : P(E ) = P(P) + P(C) = 1 EN LOS DADOS, MONEDAS, BOLAS EN UNA TÒMBOLA ETC, LA SIMETRÌA DE LA SITUACIÒN NOS CONDUCE A UN CÀLCULO DIRECTO DE LA PROBABILIDAD DE LOS SUCESOS CORRESPONDIENTES. EN LOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS DONDE NO SE DA ESTA SIMETRIA, COMO HA OCURRIDO EN EL CASO DEL LANZAMIENTO DE UNA CHINCHETA, HEMOS DE RECURRIR A LA REALIZACIÒN DEL EXPERIMENTO MUCHÌSIMAS VECES Y ASIGNAR, EN BASE A LAM PRIMERA LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS, LA

33 FRECUENCIA RELATIVA DE CADA SUCESO A SU RESPECTIVA PROBABILIDAD. COLECCIÓN DE PROBLEMAS. 1.- CUÁL ES EL SUCESO CONTRARIO A OBTENER 3 EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO? 2.- HALLAR LAS PROBABILIDADES DE QUE CUANDO SE LANZA UN DADO SE OBTENGA : UN UN NÚMERO PAR UN NÚMERO PRIMO UN NÚMERO IGUAL O MENOR QUE UN NÚMERO IMPAR O SE LANZA UN DADO DOS VECES. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 5 EN EL PRIMER LANZAMIENTO Y UN 6 EN EL SEGUNDO? 4.- SE LANZA UN DADO TRES VECES. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA PRIMERA VEZ SALGA UN 5, LA SEGUNDA SALGA UN 6 Y LA TERCERA UN 1? 5.- SE LANZA UN DADO TRES VECES CONSECUTIVAS. HALLAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER POR LO MENOS UN SE LANZAN DOS DADOS. CUÁL ES LA PROBABILIDD DE LOS SIGUIENTES SUCESOS? : LAS DOS PUNTUACIONES SEAN IGUALES SACAR UN 6 DOBLE NO SALIR UN 6 DOBLE. 7.- SE LANZAN DOS DADOS. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LA SUMA DE LOS PUNTOS OBTENIDOS SEA MENOR QUE 6.

34 8.- SE LANZAN DOS DADOS. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LA DIFRENCIA ENTRE LAS DOS PUNTUACIONES OBTENIDAS SEA 2 Y DE QUE UNA DE ELLAS SEA UN CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL LANZAR n VECES DOS DADOS SE OBTENGA AL MENOS UN DOBLE 6? 10.- SE LANZAN TRES DADOS AL AIRRE. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA SUMA DE SUS PUNTOS DE SUS CARAS SEA 10? 11.- UN OBSERVADOR EXPRESÓ A GALILEO SU SORPRESA AL OBSERVAR QUE AL JUGAR CON TRES DADOS LA SUMA 10 APARECE CON MÁS FRECUENCIA QUE LA SUMA 9. POR QUÉ OCURRE ESTO? 12.- DE UN DADO CARGADO SABEMOS QUE LA PROBABILIDAD DE OBTENER LAS DISTINTAS CARAS ES PROPORCIONAL A LA MITAD DE LOS NÚMEROS DE ESTAS.HALLAR LA PROBABILIDAD DE SACAR UN NÚMERO IMPAR SE LANZAN DOS DADOS. SI LA SUMA DE LOS PUNTOS DE LAS CARAS SUPERIORES ES 7. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE ALGUNO DE LOS DADOS SEA UN 3? 14.- CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL LANZAR UN DADO SALGA UN 6, SABIENDO QUE LA PUNTUACIÓN OBTENIDA ES MAYOR O IGUAL A 4? 15.- UNA DE LAS REGLAS DEL PARCHIS CONSISTE EN VOLVER A CASA SI SALE 6 TRES VECES CONSECUTIVAS. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE ESTO OCURRA? 16.- CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE, AL LANZAR DOS DADOS, LA SUMA DE LAS PUNTUACIONES OBTENIDAS SEA : SIETE MAYOR QUE NUEVE MÚLTIPLO DE DIVISIBLE POR UN JUGADOR USA UN DADO TRUCADO.LA PROBABILIDAD DE QUE APAREZCA CADA UNO DE LOS SEIS NÚMEROS SIGUE LA SIGUIENTE LEY: NÚMEROS PROBABILIDAD X Y 0.1 CALCULA EL VALOR DE X e Y SABIENDO QUE : P(4)= 3*P(5). CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN NÚMERO IMPAR?. Y LA DE UN NÚMERO PAR?

35 18.- EN UN JUEGO CONSISTENTE EN APOSTAR POR UN NÚMERO AL LANZAR UN DADO, HEMOS APOSTADO POR EL 2. SE LANZA EL DADO Y NOS DICEN QUE EL NÚMERO ES PAR. QUÉ PROBABILIDAD TENEMOS DE GANAR? 19.- EN LAS CARAS DE UN DADO FIGURAN LOS NÚMEROS 1, 2 y 3 ; EN DOS CARAS EL 1, EL 2 EN OTRAS DOS Y EN LAS DOS RESTANTES EL 3. TODAS LAS CARAS SON IGUALMENTE PROBABLES? CON ESTE DADO REALIZAMOS EL SIGUIENTE JUEGO: TIRAMOS EL DADO ; SI SALE 3 GANAMOS ; SI SALE 1 o 2, CONTINUAMOS JUGANDO HASTA REPETIR EL RESULTADO DE LA PRIMERA TIRADA, EN CUYO CASO GANAMOS, O HASTA OBTENER 3, Y ENTONCES PERDEMOS. QUÉ PROBABILIDADES TENEMOS DE GANAR?.(EN LA SOLUCIÓN AYÚDATE ESCRIBIENDO LAS JUGADAS EN LAS QUE GANAS) 20.-UN JUEGO DE AZAR CONSISTE EN LANZAR UN DADO Y HACER GIRAR UNA RUEDA COMO LA DE LA FIGURA. CALCULA LA PROBABILIDAD DE LOS SIGUIENTES SUCESOS : OBTENER LA MISMA CIFRA CON EL DADO Y CON LA RULETA SACAR UN CUATRO CON EL DADO OBTENER UNA SUMA DE PUNTOS INFERIOR A SACAR UN 5 CON EL DADO Y UNA SUMA DE PUNTOS INFERIOR A NO SACAR UN 4 CON EL DADO 21.-REPETIR EL EJERCICIO ANTERIOR CON ESTA OTRA RULETA.

36 1.-SE LANZA UNA MONEDA 50 VCES Y SALE CARA 27 VECES. HALLA : LA FRECUENCIA ABSOLUTA DEL SUCESO SALIR CARA Y SALIR SELLO LA FRECUENCIA RELATIVA DE ESTOS SUCESOS. 2.- SI SE LANZAN DOS MONEDAS. CUÁL SERÁ EL SUCESO CONTRARIO DE SALIR AL MENOS UNA CARA? 3.- SE TIRAN TRES MONEDAS. HALLE LOS ELEMENTOS DE LOS SIGUIENTES SUCESOS : 3.1.-EL SUCESO SEGURO SACAR TRES CARAS SACAR DOS SELLOS. 4.- SE HA TRUCADO UNA MONEDA DE TAL FORMA QUE LA PROBABILIDAD DE SALIR CARA ES EL TRIPLE QUE LA DE OBTENER SELLO. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE CADA SUCESO ELEMENTAL? 5.-SE LANZAN DOS MONEDAS. CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA : 5.1.-LAS DOS MONEDAS CARAS UNA MONEDA CARA Y LA OTRA SELLO LAS DOS SELLOS 6.- SE LANZAN TRES MONEDAS AL AIRE. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SALGAN TRES SELLOS. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SALGAN AL MENOS UN SELLO? 7.-HALLAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER CUATRO CARAS EN CUATRO LANZAMIENTOS DE UNA MONEDA 8.- CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER AL MENOS UNA CARA EN TRES LANZAMIENTOS DE UNA MONEDA? 9.-LANZANDO TRES MONEDAS SIMULTÁNEAMENTE :

37 9.1.- CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LAS TRES SEAN CARA? CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE 2 SEAN CARA Y LA OTRA SELLO? 10.- AL LANZAR TRES MONEDAS AL AIRE, CALCULA : LA PROBABILIDAD DE SACAR LAS TRES CARAS LA PROBABILIDAD DE SACAR ALGUNA CARA LA PROBABILIDAD DE OBTENER MAYORÍA DE CARAS. 11.-LANZAMOS UNA MONEDA EQUILIBRADA HASTA QUE APAREZCA DOS VECES SEGUIDAS EL MISMO LADO. CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE: LA EXPERIENCIA TERMINE EN EL SEGUNDO LANZAMIENTO LA EXPERIENCIA TERMINE EN EL TERCER LANZAMIENTO LA EXPERIENCIA TERMINE EN EL CUARTO LANZAMIENTO LA EXPERIENCIA TERMINE A LO SUMO EN EL CUARTO LANZAMIENTO. 1.-DE UNA URNA QUE CONTIENE 8 BOLAS ROJAS, 5 AMARILLAS Y 7 VERDES SE EXTRAE UNA AL AZAR. CALCULE LA PROBABILIDAD DE QUE : 1.1.-SEA UNA BOLA ROJA SEA UNA BOLA VERDE SEA UNA BOLA ROJA O VERDE 1.4.-NO SEA ROJA 2.- UNA URNA CONTIENE 8 BOLAAS ROJAS Y 4 BLANCAS. SE SACAN TRES BOLAS DE LA URNA UNA TRAS OTRA. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LAS DOS PRIMERAS SEAN ROJAS Y LA TERCERA BLANCA. 3.-EN UNA URNA HAY 6 BOLAS ROJAS, 2 VERDES, 3 NEGRAS Y 4 BLANCAS. SE EXTRAEN SUCESIVAMENTE 3 BOLAS SIN DEVOLVERLAS A LA URNA. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA LA PRIMERA ROJA, LA SEGUNDA BLANCA Y LA TERCERA NEGRA.

38 4.- DE UNA URNA QUE CONTIENE 9 BOLAS ROJAS Y 5 NEGRAS SE EXTRAEN SUCESIVAMENTE DOS BOLAS. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE : 4.1.-LAS DOS BOLAS SEAN NEGRAS LAS DOS BOLAS SEAN ROJAS 4.3.-LA PRIMERA SEA ROJA Y LA SEGUNDA SEA NEGRA UNA SEA ROJA Y LA OTRA NEGRA. 5.- SE EXTRAEN DOS BOLAS DE UNA URNA QUE CONTIENE 4 BOLAAS ROJAS, 6 NEGRAS Y 2 BLANCAS. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE : LAS DOS SEAN ROJAS LAS DOS SEAN NEGRAS 5.3.-NINGUNA SEA ROJA. 6.-SE TIENEN TRES URNAS : LA PRIMERA CON 3 BOLAS BLANCAS Y DOS ROJAS. LA SEGUNDA CON 2 BLANCAS Y 2 ROJAS LA TERCERA CON 3 BLANCAS Y 3 ROJAS. SE SACA AL AZAR UNA BOLA DE LA PRIMERA URNA Y SE INTRODUCE EN LA SEGUNA, SEGUIDAMENTE SE SACA UNA DE LA SEGUNDA Y SE INTRODUCE EN LA TERCERA Y FINALMENTE SE SACA UNA DE LA TERCERA Y SE INTRODUCE ENLA PRIMERA. CUÁL SERÁ LA PROBABILIDAD DE QUE LAS TRES URNAS QUEDEN CON LA MISMA COMPOSICIÓN INICIAL? 7.-TRES CAJAS IDÉNTICAS CONTIENEN DOS BOLAAS CADA UNA ; EN UNA LAS DOS SON BLANCAS, EN LA OTRA LAS DOS SON ROJAS Y EN LA OTRA UNA ES BLANCA Y LA OTRA ROJA. ESCOGIDA UNA CAJA AL AZAR SE EXTRAE UNA BOLA QUE RESULTA SER BLANCA. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA OTRA TAMBIÉN LO SEA? 8.- SE TIENEN DOS CAJAS, EN LA PRIMERA HAY 4 BOLAS BLANCAS Y 2 ROJAS, Y EN LA SEGUNDA 3 BOLAS BLANCAS Y 3 ROJAS. SE ABRE UNA CAJA AL AZAR Y SE EXTRAE UNA BOLA. CALCULAR : 8.1.-LA PROBABILIDAD DE QUE LA CAJA SEA LA SEGUNDA Y LA BOLA BLANCA LA PROBABILIDAD DE QUE LA CAJA SEA LA PRIMERA SABIENDO QUE LA BOLA ES ES BLANCA. 9.- UNA URNA TIENE 6 BOLAS BLANCAS Y 4 NEGRAS. SE EXTRAEN DOS BOLAS. CALCULAR LAS SIGUIENTES PROBABILIDADES : 9.1.-QUE AMBAS SEAN BLANCAS QUE AMBAS SEAN NEGRAS 9.3.-QUE SEA UNA BLANCA Y OTRA NEGRA 9.4.-COMPRUEBA QUE LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES OBTENIDAS EN LOS TRES PUNTOS ANTERIORES ES 1. POR QUÉ? 10.-UNA URNA TIENE 6 BOLAS BLANCAS, 6 NEGRAS Y 4 AZULES. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL EXTRAER TRES BOLAS SEAN UNA DE CADA COLOR?

39 11.- UN JUEGO : TENEMOS DOS BOLSAS, CADA UNA CON 10 BOLAS ENTRE BLANCAS (B), NEGRAS (N) Y ROJAS (R). LA BOLSA 1 CONTIENE : 7B Y 3N LA BOLSA 2 CONTIENE : 1B, 2N Y 7R. TIRAMOS UN DADO ; SI SALE 1 o 2 EXTRAEMOS UNA BOLA DE LA BOLSA 1 SI SALE 3,4,5, o 6,EXTRAEMOS UNA BOLA DE LA BOLSA 2. GANAMOS SI AL FINAL SALE UNA BOLA ROJA ; DE LO CONTRARIO PERDEMOS. QUÉ ES MÁS FÁCIL PERDER O GANAR? 12.- UN BINGO INFANTIL CONTIENE 30 BOLAS NUMERADAS DEL 1 AL 30. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR UNA DE ELLAS SEA UN MÚLTIPLO DE 7 o DE 3? 13.- EN UNA URNA HAY 9 BOLAS NUMERADAS DEL 1 AL 9. SE EXTRAEN DOS BOLAS. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA SUMA DE SUS PUNTUACIONES SEA PAR?. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LAS BOLAS LLEVEN ESCRITOS NÚMEROS IMPARES? 14.-EN UNA URNA HAY TRES BOLAS NUMERADAS DEL 1 AL 3. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL EXTRAERLAS DE UNA EN UNA. SALGAN EN ÓRDEN DE NUMERACIÓN? 15.- UNA URNA CONTIENE 50 BOLAS NUMERADAS. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR DOS, LA PRIMERA SEA MÚLTIPLO DE 4 Y LA SEGUNDA SEA MÚLTIPLO DE 3? 16.- PARA JUGAR A LA LOTERIA PRIMITIVA SE MARCA UNA COMBINACIÓN DE 6 NÚMEROS EN UN CUADRADO QUE TIENE LOS NÚMEROS DEL 1 AL 49. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE ACERTAR LA COMBINACIÓN GANADORA? 17.-EN UNA URNA SE TIENEN 5 BOLAS NUMERADAS DEL 1 AL 5.CALCULAR LA PROBABILIDD DE QUE: AL SACAR DOS BOLAS SEAN DE LA MISMA PARIDAD AL SACAR DOS BOLAS SEAN DE DISTINTA PARIDAD AL SACAR 2 BOLAS 10 VECES SEGUIDAS,DEVOLVIENDO LAS BOLAS EN CADA EXTRACCIÓN, SE OBTENGAN, ALTERNATIVAMENTE, DE LA MISMA PARIDAD Y DE DISTINTA PARIDAD SI SE SACA UNA BOLA, SE DEVUELVE A LA URNA, Y DESPUÉS SE SACA OTRA, LA CIFRA DE LA SEGUNDA SEA MAYOR A LA DE LA PRIMERA.

40 1.-EN EL EXPERIMENTO DE SACAR UNA CARTA DE UNA BARAJA. CUÁLES SON LOS SUCESOS SIMPLES Y CUALES NO? QUE LA CARTA SEA UN AS QUE LA CARTA SEA EL 5 DE COPAS QUE LA CARTA SEA DE OROS. 2.-DE UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS SE EXTRAE UNA CARTA. CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE : NO SEA UNA FIGURA 2.2.-SEA UN BASTO O UNA COPA SEA UN ORO O UNA FIGURA. 3.- CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR DOS ASES SUCESIVAMENTE DE UNA BARAJA SI UNA VEZ SACADA LA PRIMERA CARTA ESTA SE DEVUELVE AL MONTÓN?. Y SI NO SE DEVUELVE? 4.- SE EXTRAEN DOS CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE NINGUNA SEA COPAS. 5.- HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL EXTRAER DOS CARTAS DE UNA BARAJA LAS DOS SEAN DE OROS SI LA PRIMERA CARTA NO SE DEVUELVE AL MONTÓN SI LA PRIMERA SE DEVUELVE AL MONTÓN. 6.-DE UNA BARAJA ESPAÑOLA SE EXTRAEN DOS CARTAS SUCESIVAMENT, DEVOLVIENDO LAS CARTAS A LA BARAJA DESPUÉS DE CADA EXTRACCIÓN. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA PRIMERA SEA UN REY Y LA SEGUNDA UN AS? 7.-AL REPARTIR TRES CARTAS DE UNA BARAJA A UNA PERSONA. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LAS TRES SEAN REYES? 8.-EN EL POKER CADA JUGADOR RECIBE 5 CARTAS. LA BARAJA DE POKER TIENE 52 CARTAS DISTRIBUIDAS EN CUATRO PALOS Y DOS COMODINES, CALCULAR LA PROBABILIDAD DE LAS SIGUIENTES JUGADAS: 8.1.-UN TRIO DE ASES

41 8.2.-UN FULL DE ASES REYES (TRES ASES Y DOS REYES) UN POKER (CUATRO CARTAS DE IGUAL PUNTUACIÓN) 9.-LAAS 40 CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA SE REPARTEN ENTRE 4 PERSONAS.HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA DE ELLAS TENGA DOS REYES, SABIENDO QUE OTROS DE LOS JUGADORES NO LLEVA NINGUNO 10.- CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR TRES CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA LAAS TRES SEAN OROS 11.-AL EXTRAER DOS CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE : LA PRIMERA SEA UN AS Y LA SEGUNDA UN REY LA PRIMERA SEA UN REY Y LA SEGUNDA UN REY QUE UNA SEA UN AS Y LA OTRA UN REY AL EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA, CALCULAR LA PROBABILIDAD DE : SACAR FIGURA NO SACAR FIGURA SACAR ORO NO SACAR ORO SACAR FIGURA DE OROS. 1.- EN UNA CLASE DE 40 ALUMNOS SE FORMAN POR SORTEO, GRUPOS DE DOS ALUMNOS PARA TRABAJAR EN EL LABORATORIO. QUÉ PROBABILIDAD TIENE DOS AMIGOS DE QUE LES TOQUE JUNTOS, Y DE QUE NO LES TOQUE JUNTOS. 2.- UN PROFESOR HA ACORDADO CON SUS ALUMNOS EL SIGUIENTE PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN : NO HABRÁ PRUEBAS DE SÍNTESIS, PERO CADA DIA RECOGRÁ Y PUNTUARÁ LOS TRABAJOS DE UN ALUMNO ELEGIDO AL AZAR ENTRE LOS 22 DE LA CLASE.CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE TIENE UN ALUMNO DE SER AGRACIADO EN ESTE SORTEO DURANTE LAS TRES PRIMERAS CLASES EN LOS SIGUIENTES CASOS SI EL PROFESOR VA ELIMINANDO DEL SORTEO A LOS ALUMNOS YA EVALUADOS SI NO LOS ELIMINA Y, POR TANTO, LES PUEDE VOLVER A TOCAR INCLUSO AL DIA SIGUIENTE. 3.-EN UN CURSO HAY 65 ALUMNOS ENTRE MUJERES Y HOMBRES. EN UNA EVALUACIÓN LOS APROBADOS Y REPROBADOS FUERON LOS SIGUIENTES :DE LAS 40 MUJERES DE LA CLASE 20 APROBARON Y 20

42 REPROBARON. DE LOS 25 CHICOS DE LA CLASE 15 APROBARON Y 10 REPROBARON. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN ALUMNO TOMADO AL AZAR : SEA MUJER 3.2.-SEA MUJER Y ESTE APROBADA 33.- ESTE APROBADA SABIENDO QUE ES MUJER. 4.- LA PROBABILIDAD DE QUE UN HOMBRE Y UNA MUJER DE 18 AÑOS VIVAN 50 AÑOS MÁS ES 0.6 Y 0.7 RESPECTIVAMENTE, SE PIDE : LA PROBABILIDAD DE QUE VIVAN AMBOS DESPUÉS DE 50 AÑOS LA PROBABILIDAD DE QUE VIVA SOLO LA MUJER LA PROBABILIDAD DE QUE VIVA AL MENOS UNO DE ELLOS. 5.- DOS JUGADORES DE TENIS DESPUÉS DE VARIAS CONFRONTACIONES, HAN VISTO QUE LA PRIMERA DE ELLAS TIENE UNA PROBABILIDAD DE 4/7 DE GANAR. SI PIENSAN JUGAR TRES PARTIDOS, HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LA PRIMERA DE ELLAS GANE TRES VECES SEGUIDAS 6.- UNA COMPAÑÍA DE TEATRO DISPONE DE 12 ACTORES. SI CADA DIA ACTÚAN 4. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN DETRMINADO ACOR ACTÚE HOY. 7.- A UN CONGRESO CIENTÍFICO ASISTEN 100 CONGRESISTAS, DE ELLOS 80 HABLAN FRANCÉS Y 40 INGLÉS. CALCULE LA PROBABILIDAD DE QUE DOS CONGRESISTAS ELEGIDOS AL AZAR NO PUEDANA ENTENDERSE SIN INTERPRETE. 8.- SE SABE QUE DE16 PERSONAS, 8 FUMAN BELMONT, 5 FUMAN DERBY, Y 3 DE AMBOS TIPOS. SE TOMAN AL AZAR 3 PERSONAS. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE, DE ELLAS DOS FUMEN BELMONT? 9.- EN EL LEJANO REINO DE PATULANDIA, A LOS CONDENADOS A MUERTE SE LES CONCEDIA LA GRACIA DE QUE SU VIDA DEPENDIERA DE QUE SACARAN UNA BOLA BLANCA DE UNA BOLSA QUE CONTENIA 50 BOLAS BLANCAS Y 50 NEGRAS. PERO, EN CIERTA OCACIÓN, UN REO PIDIÓ LA GRACIA DE QUE SE LE DEJARA DISTRIBUIR LAS BOLAS DE OTRO MODO ANTES DE SACAR EL SORTEO. TRAS ALGUNAS DISCUSIONES, SE LE CONCEDIÓ LA GRACIA Y PREPARO DOS BOLSAS : EN UNA COLOCÓ UNA SOLA BOLA BLANCA ; EN OTRA BOLSA COLOCÓ 49 BOLAS BLANCAS Y 50 NEGRAS. CUÁL RESULTÓ LA PROBABILIDAD DE ESTE MODO, LA PROBABILIDAD DE SACAR BLANCA?