Matemáticas Financieras Problemas resueltos Tema 3 GADE-FICO

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1 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 1 Matemáticas Financieras Problemas resueltos Tema 3 GDE-FCO 1. Consideremos un préstamo de cuantía C 0, pactado a un tanto anual vencido constante i, a amortizar en n años mediante términos amortizativos anuales variables en progresión aritmética de diferencia p. Deducir la relación entre dos cuotas de amortización consecutivas cualesquiera. Solución a k = k k = k C k 1 i a k1 = k1 k1 = k1 C k i } = restando a k a k1 = k k1 C k 1 i C k i = = a k a k1 = k k1 (C k 1 C k = k ) i = a k a k1 = k k1 k i = = k1 = k k ia k1 a k = k1 = k (1i)a k1 a } {{ k = } k1 = k (1 i) p =p 2. Hace cinco años el Sr. Martín solicitó a una entidad financiera un préstamo de = para amortizarlo a un tanto nominal del % en diez años con las siguientes condiciones: durante el primer año no se pagaría cantidad alguna, en el segundo año sólo intereses semestrales y en los ocho restantes semestralidades que varían en progresión geométrica de razón q = 1, 01. Hoy desea cancelar el préstamo para lo que le piden el saldo pendiente más un 3% de dicho saldo. Obtener: (a) Cuantía de los intereses semestrales que se pagan en el segundo año. (b) Última semestralidad pagada por el Sr. Martín antes de la cancelación. (c) Cantidad solicitada por la entidad financiera para cancelar el préstamo. Solución La situacion del préstamo se puede representar en el siguiente esquema: a a (1,01) a (1,01) 2 a (1,01) 3 a (1,01) a (1,01) 5 a (1,01) 6 a (1,01) 7 a (1,01) 1 a (1,01) J2 = % C (1) C (2) Hoy Como el tanto que nos dan es nominal (semestral) calculamos el tanto de interés efectivo semestral equivalente: 0, 0 J 2 = % = i 2 = = i 2 = 0, 02 2 partado (a) Durante el primer año no se paga nada, es decir hay carencia total, por tanto el capital pendiente al final del primer año, que representaremos por C (1) será: C (1) = (1, 02) 2 = C (1) = =

2 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 2 Durante el segundo año sólo se pagan intereses semestrales, que al no haber amortización, son constantes, por tanto la cuantía semestral en concepto de intereses que se paga el segundo año es: = C (1) i 2 = , 02 = 3.121, 20 = = = 3.121, 20 = partado (b) Para calcular las semestralidades, debemos hacer utilizar equivalencia financiera entre prestación y contraprestación, para ello tengamos en cuenta que cuando realmente se empieza a amortizar el préstamo es en el tercer año, por tanto utilizaremos como prestación el capital pendiente de amortizar al final del segundo año C (2). (En realidad como los periodos son semestrales la notación adecuada sería C ya que el final del segundo año es el final del cuarto semestre, de ahí que utilicemos el subíndice entre paréntesis para representar que nos referimos al año y no al periodo como ya se comentó en clase, es decir C (2) = C. ) Por otra parte, como durante el segundo año sólo se pagan intereses y no se amortiza nada de capital, el capital pendiente al final del segundo año es el mismo que el capital pendiente de amortizar al final del primer periodo, es decir, C (2) = C (1) = =, por tanto: C (2) = = a 1 (1, 01)16 (1, 02) 16 1, 02 1, 01 = = 1, a = a = , 7683 = La última semestralidad pagada por el Sr. Martín es la última correspondiente al quinto año, que es a 10, por tanto: a 10 = a (1, 01) 5 = 11.26, = a 10 = 11.26, 62 = partado (c) Por último para calcular la cantidad exigida por el banco para cancelar el préstamo, debemos calcular el capital pendiente al final del quinto año, que denotaremos C (5), para ello utilizaremos que el capital pendiente en un determinado momento es el valor actual de los términos amortizativos que nos quedan por pagar, por tanto, C (5) sería el valor actual de las semestralidades del sexto al décimo año, que como podemos observar en el esquema inicial varían en progresión geométrica de razón q = 1, 01 y primer término a (1, 01) 6, por tanto: C (5) = a (1, 01) 6 1 (1, 01)10 (1, 02) 10 1, 02 1, 01 = , 7129 = Por tanto como nos aplican una penalización del 3% sobre el capital pendiente, debemos entregar para cancelar el préstamo: X = C (5) (1, 03) = , 013 = = X = , 01 =

3 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 3 3. Se concede un préstamo de = para amortizarlo en doce años en las siguientes condiciones: durante los dos primeros años no se paga nada, y en los diez siguientes se pagan términos amortizativos mensuales constantes, pactando un tanto de interés del 6% nominal. Transcurridos seis años se pacta un tanto de interés trimestral efectivo del 1,5% y se conviene cambiar las condiciones del préstamo de forma que, durante el primer año sólo se efectúen pagos trimestrales en concepto de intereses, y a partir de ese momento términos amortizativos trimestrales cuyas cuotas de amortización son constantes. Se pide: (a) Última mensualidad del sexto año (del préstamo inicial), así como su descomposición en amortización e intereses. (b) Capital pendiente al final del sexto año. (c) Primera trimestralidad del segundo año, una vez cambiadas las condiciones del préstamo, así como su descomposición en amortización e intereses. (d) Nuda propiedad, Usufructo y Valor financiero del nuevo préstamo, un año después del cambio, si el tanto de interés de mercado es del % anual efectivo. Solución: La situación inicial del préstamo es la siguiente: a a a a a a a a a a a J12 = 6 % C (2) Como el tanto que nos dan es nominal (mensual) calculamos el tanto de interés efectivo mensual equivalente: 0, 06 J 12 = 6% = i 12 = 12 = i 12 = 0, 005 (a) C (2) = C 2 = (1, 005) 2 = C (2) = , 9776 =. Por tanto por equivalencia entre prestación y contraprestación podemos calcular el término amortizativo: , 9776 = a a 120 0,005 = a = 1.251, 3781 = La última mensualidad del sexto año a = a 72 = tanto: y sabemos que 72 = C 71 i 12, por C 71 = a a 73 0,005 = , = = 72 = , , 005 = 381, = = Por tanto = 72 = a 72 = 72 = 869, 9311 = a 72 = a = 1.251, 38 = = 869, 9 = 381, 89 = mortización nterés (b) El capital pendiente al final del año sexto, C (6), no es más que el valor actual en 6 de las mensualidades que nos quedan por pagar, por tanto: C (6) = C 72 = a a 72 0,005 = C (6) = , =

4 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) (c) La situación una vez efectuado el cambio será: C = ,56687 (6) 8 i = 1,5 % Observemos que C (7) = C (6) porque el primer año después del cambio se pagan sólo los intereses (y por tanto no se amortiza nada), luego: 20 C (7) = 20 = = C (7) 20 = = , = = 3.775, 3783 = a 1 = 1 y como 1 = C (7) i = 0, 015 = 1 = 1.132, = = a 1 =.907, = Por tanto: a 1 =.907, 99 = = 3.775, 38 = 1.132, 61 = mortización nterés (d) Sabemos que el tanto de mercado i = %, por tanto i = 1, 0 1 = i = 0, i'= % Dado que las cuotas de amortización son constantes, la nuda propiedad sería: N (7) = a 20 i = N (7) = , 5359 = 20 Para el cálculo del usufructo utilizamos la fórmula de Makeham: U (7) = i i (C (7) N (7) ) = 0, 015 0, (75.507, , 5359) = U (7) = , 5896 = Por último para calcular el valor financiero utilizamos la igualdad V (7) = N (7) U (7) = = V (7) = , 0336 =

5 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 5. Consideremos un préstamo de cuantía C 0, pactado a un tanto anual vencido constante i, a amortizar en n años mediante términos amortizativos anuales variables en progresión aritmética de diferencia p. Deducir la relación entre dos cuotas de amortización consecutivas cualesquiera. Solución a k = k k = k C k 1 i a k1 = k1 k1 = k1 C k i } = restando a k a k1 = k k1 C k 1 i C k i = = a k a k1 = k k1 (C k 1 C k = k ) i = a k a k1 = k k1 k i = = k1 = k k ia k1 a k = k1 = k (1i)a k1 a } {{ k = } k1 = k (1 i) p =p 5. Hace cinco años el Sr. Martín solicitó a una entidad financiera un préstamo de = para amortizarlo a un tanto nominal del % en diez años con las siguientes condiciones: durante el primer año no se pagaría cantidad alguna, en el segundo año sólo intereses semestrales y en los ocho restantes semestralidades que varían en progresión geométrica de razón q = 1, 01. Hoy desea cancelar el préstamo para lo que le piden el saldo pendiente más un 3% de dicho saldo. Obtener: (a) Cuantía de los intereses semestrales que se pagan en el segundo año. (b) Última semestralidad pagada por el Sr. Martín antes de la cancelación. (c) Cantidad solicitada por la entidad financiera para cancelar el préstamo. (d) Calcular el valor financiero del préstamo en el momento de la cancelación, si el tanto de mercado es del % anual efectivo. Desde un punto de vista financiero, a quién le conviene la cancelación, al prestamista, al prestatario o a ambos?. Razonar la respuesta. (e) Si tenemos unos gastos de apertura del 1% del capital prestado, plantear la ecuación que nos da el tanto anual efectivo de la operación realmente realizada. Solución La situación del préstamo se puede representar en el siguiente esquema: a a (1,01) a (1,01) 2 a (1,01) 3 a (1,01) a (1,01) 5 a (1,01) 6 a (1,01) 7 a (1,01) 1 a (1,01) J2 = % C (1) C (2) Hoy Como el tanto que nos dan es nominal (semestral) calculamos el tanto de interés efectivo semestral equivalente: 0, 0 J 2 = % = i 2 = = i 2 = 0, 02 2

6 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 6 (a) Durante el primer año no se paga nada, es decir hay carencia total, por tanto el capital pendiente al final del primer año, que representaremos por C (1) será: C (1) = (1, 02) 2 = C (1) = = Durante el segundo año sólo se pagan intereses semestrales, y dado que no hay amortización, son constantes, por tanto la cuantía semestral en concepto de intereses que se paga el segundo año es: = C (1) i 2 = , 02 = 3.121, 20 = = = 3.121, 20 = (b) Para calcular las semestralidades, debemos utilizar equivalencia financiera entre prestación y contraprestación, para ello tengamos en cuenta que cuando realmente se empieza a amortizar el préstamo es en el tercer año, por tanto utilizaremos como prestación el capital pendiente de amortizar al final del segundo año C (2). (En realidad como los periodos son semestrales la notación adecuada sería C ya que el final del segundo año es el final del cuarto semestre, de ahí que utilicemos el subíndice entre paréntesis para representar que nos referimos al año y no al periodo como ya se comentó en clase, es decir C (2) = C. ) Por otra parte, como durante el segundo año sólo se pagan intereses y no se amortiza nada, el capital pendiente al final del segundo año es el mismo que el capital pendiente de amortizar al final del primer año, es decir, C (2) = C (1) = =, por tanto: C (2) = = a 1 (1, 01)16 (1, 02) 16 1, 02 1, 01 = = 1, a = a = , 7683 = La última semestralidad pagada por el Sr. Martín es la última correspondiente al quinto año, que es a 10, por tanto: a 10 = a (1, 01) 5 = 11.26, = a 10 = 11.26, 62 = (c) Para calcular la cantidad exigida por el banco para cancelar el préstamo, debemos calcular el capital pendiente al final del quinto año, que denotaremos C (5), para ello utilizaremos que el capital pendiente en un determinado momento es el valor actual de los términos amortizativos que nos quedan por pagar, por tanto C (5) sería el valor actual de las semestralidades del sexto al décimo año, que como podemos observar en el esquema inicial varían en progresión geométrica de razón q = 1, 01 y primer término a (1, 01) 6, por tanto: C (5) = a (1, 01) 6 1 (1, 01)10 (1, 02) 10 1, 02 1, 01 = , 7129 = Por tanto como nos aplican una penalización del 3% sobre el capital pendiente, debemos entregar para cancelar el préstamo: X = C (5) (1, 03) = , 013 = = X = , 01 =

7 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 7 (d) Para calcular el valor financiero en el momento de la cancelación, es decir V (5), que no es más que el valor actual de los términos amortizativos que nos quedan por pagar valorados a tanto de mercado i 2 = 1, 0 1 =, por tanto: a (1,01) 6 a (1,01) 7 a (1,01) 1 a (1,01) V (5) i'= % V (5) = a (1, 01) 6 1 (1, 01)10 (1 i 2) 10 1 i 2 1, 01 = , 825 = Como X > V (5), desde un punto de vista financiero la cancelación es conveniente para el prestamista, ya que obtendría por la cancelación más que si vendiese el préstamo en el mercado. (e) La situación de la operación realmente realizada es: gastos a a (1,01) a (1,01) 2 a (1,01) 3 a (1,01) a (1,01) , i 5 Teniendo en cuenta que = 3.121, 20 y que a = , 77, la ecuación que nos da el tanto efectivo sería: = , 20 a 2 i2 (1i) , 77 1 (1, 01)6 (1 i 2 ) 6 (1i) , 01 (1i) 5 1 i 2 1, 01 con i 2 = 1 i

8 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 8 6. Consideremos un préstamo a amortizar en diez años mediante términos amortizativos trimestrales constantes a un tanto de interés efectivo trimestral del 1,5%, sabiendo que el capital pendiente al final del sexto año es 9.73, =, calcular el capital prestado C 0. Solución Conocemos el capital pendiente al final del sexto año, es decir C (6), por lo que el esquema de situación sería: a a a a a a a a a a a a a a a a C = 9.73, (6) i = 1,5 % Teniendo en cuenta que el capital pendiente es el valor actual de los términos amortizativos que quedan por pagar se tendría que: C (6) = 9.73, = a a 16 0,015 = 9.73, = 1, a = a = 6.685, Una vez que conocemos el término amortizativo que amortiza el préstamo, teniendo en cuenta que debe haber equivalencia en el momento inicial entre prestación y contraprestación se tendría: aaaaaaaa aaaaaaaa i = 1,5 % C0 10 C 0 = a a 0 0,015 = 6.685, a 0 0,015 = C 0 =

9 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 9 7. Se concede un préstamo de = para amortizarlo en doce años en las siguientes condiciones: durante los dos primeros años no se paga nada, y en los diez siguientes se pagan términos amortizativos mensuales constantes, pactando un tanto de interés del 6% nominal. Transcurridos seis años se pacta un tanto de interés trimestral efectivo del 1,5% y se conviene cambiar las condiciones del préstamo de forma que, durante el primer año sólo se efectúen pagos trimestrales en concepto de intereses, y a partir de ese momento términos amortizativos trimestrales cuyas cuotas de amortización son constantes. Se pide: (a) Última mensualidad del sexto año (del préstamo inicial), así como su descomposición en amortización e intereses. (b) Capital pendiente al final del sexto año. (c) Primera trimestralidad del segundo año, una vez cambiadas las condiciones del préstamo, así como su descomposición en amortización e intereses. (d) Nuda propiedad, Usufructo y Valor financiero del nuevo préstamo, un año después del cambio, si el tanto de interés de mercado es del % anual efectivo. Solución: La situación inicial del préstamo es la siguiente: a a a a a a a a a a a J12 = 6 % C (2) Como el tanto que nos dan es nominal (mensual) calculamos el tanto de interés efectivo mensual equivalente: 0, 06 J 12 = 6% = i 12 = 12 = i 12 = 0, 005 (a) C (2) = C 2 = (1, 005) 2 = C (2) = , 9776 =. Por tanto por equivalencia entre prestación y contraprestación podemos calcular el término amortizativo: , 9776 = a a 120 0,005 = a = 1.251, 3781 = La última mensualidad del sexto año a 72 = a = tanto: y sabemos que 72 = C 71 i 12, por C 71 = a a 73 0,005 = , = = 72 = , , 005 = 381, = = Por tanto = 72 = a 72 = 72 = 869, 9311 = a 72 = a = 1.251, 38 = = 869, 9 = 381, 89 = mortización nterés (b) El capital pendiente al final del año sexto, C (6), no es más que el valor actual en 6 de las mensualidades que nos quedan por pagar, por tanto: C (6) = C 72 = a a 72 0,005 = C (6) = , = (También podríamos haber calculado C (6) = C 72 = C )

10 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 10 (c) La situación una vez efectuado el cambio será: C = ,56687 (6) 8 i = 1,5 % Observemos que C (7) = C (6) porque el primer año después del cambio se pagan sólo los intereses (y por tanto no se amortiza nada), luego: 20 C (7) = 20 = = C (7) 20 = = , = = 3.775, 3783 = a 1 = 1 y como 1 = C (7) i = 20 0, 015 = 1 = 1.132, = = a 1 =.907, = Por tanto: a 1 =.907, 99 = = 3.775, 38 = 1.132, 61 = mortización nterés (d) Sabemos que el tanto de mercado i = %, por tanto i = 1, 0 1 = i = 0, i'= % Dado que las cuotas de amortización son constantes, la nuda propiedad sería: N (7) = a 20 i = N (7) = , 5359 = 20 Para el cálculo del usufructo utilizamos la fórmula de Makeham: U (7) = i i (C (7) N (7) ) = 0, 015 0, (75.507, , 5359) = U (7) = , 5896 = Por último para calcular el valor financiero utilizamos la igualdad V (7) = N (7) U (7) = = V (7) = , 0336 =

11 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) Se concede un préstamo de euros en el cual durante los dos primeros años no se paga nada y en los diez siguientes se pagan mensualidades constantes, pactando un tanto de interés del 1,2% nominal. Transcurridos siete años se pacta un tanto de interés cuatrimestral efectivo del 0,7% y se conviene cambiar las condiciones del préstamo de forma que, durante el primer año sólo se efectuarán pagos cuatrimestrales en concepto de intereses, y a partir de ese momento se amortiza cuatrimestralmente con cuotas de amortización constantes. Se pide: (a) Primera mensualidad resultante de las condiciones pactadas inicialmente, así como su descomposición en amortización e intereses. (b) Capital pendiente al final del séptimo año. (c) Última cuatrimestralidad una vez cambiadas las condiciones del préstamo, así como su descomposición en amortización e intereses. (d) Nuda propiedad, usufructo y valor financiero del nuevo préstamo, en el momento del cambio, si el tanto de interés de mercado es del % anual efectivo. Solución: La situacion inicial del préstamo es la siguiente: a a a a a a a a a a a J12 = 1,2 % C (2) Como el tanto que nos dan es nominal (mensual) calculamos el tanto de interés efectivo mensual equivalente: 0, 012 J 12 = 1, 2% = i 12 = = i 12 = 0, (a) C (2) = C 2 = (1, 001) 2 = C (2) = , 10 =. Por tanto por equivalencia entre prestación y contraprestación podemos calcular el término amortizativo: , 10 = a a 120 0,001 = a = 2.718, = La primera mensualidad a = a 25 = y sabemos que 25 = C 2 i 12, por tanto: C 2 = C (2) = , 10 = 25 = 307, = = 25 = a 25 = 25 = 2.11, 0079 = Por tanto a 25 = a = 2.718, = 2.11, , mortización nterés (b) El capital pendiente al final del año séptimo, C (7), no es más que el valor actual en 7 de las mensualiades que nos quedan por pagar, por tanto: (c) La situación una vez efectuado el cambio será: C (7) = C 8 = a a 60 0,001 = C (7) = , 273 = i3 = 0,7 % Observemos que C (8) = C (7) porque el primer año después del cambio se pagan sólo los intereses (y por tanto no se amortiza nada), luego = C (8) , 273 = = = = , = a 12 = 12 y como 12 = C 11 i 3 = 0, 007 = 12 = 92, = = a 12 = , =

12 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 12 (d) Sabemos que el tanto de mercado i = %, por tanto i 3 = 3 1, 0 1 = i 3 = 0, i'= % Dado que las cuotas de amortización son constantes, la nuda propiedad sería: N (7) = a 12 i 3 (1 i 3) 3 = N (7) = , 023 = Para el cálculo del usufructo utilizamos la fórmula de Makeham: U (7) = i 3 i (C (7) N (7) ) = 3 0, 007 0, (158.27, , 023) = U (7) = 9.755, = Por último para calcular el valor financiero utilizamos la igualdad V (7) = N (7) U (7) = V (7) = , 917 =

13 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) El señor X concierta con una entidad financiera un préstamo de euros para amortizarlo en 10 años mediante mensualidades constantes a un tanto de interés efectivo anual del 5%. Transcurridos 5 años de esta operación, y de común acuerdo, deciden cambiar las condiciones pasando a ser las siguientes: durante el primer año no se abonará cantidad alguna, durante el segundo año se abonarán los intereses trimestrales y a partir de ese momento se amortizará la deuda pendiente mediante trimestralidades que serán cada una un 1% superior a la anterior y tanto de interés a partir del cambio del, 5% anual efectivo. Se pide: (a) Primera y última mensualidad antes del cambio, descomponiéndolas en amortización e intereses. (b) Primera trimestralidad después del cambio, descomponiéndola en amortización e intereses. (c) Valor, usufructo y nuda propiedad al finalizar octavo año, después del cambio de condiciones, si el tanto de mercado es del 5%. (d) l finalizar el octavo año, el señor X, ante la imposibilidad de hacer frente a los pagos, decide cancelar el préstamo con la entidad, para lo cual debe pagar el saldo pendiente en ese momento más una penalización del 1% sobre dicho saldo. Por esta cantidad, pide un nuevo préstamo a una entidad financiera B que le ofrece un préstamo a 15 años para amortizarlo mediante semestralidades con cuotas de amortización constantes y a un tanto nominal del 5%. Obtener la primera semestralidad que paga en este caso el señor X y descomponerla en amortización e intereses. Solución: La situacion inicial del préstamo es la siguiente: a a a a a a a a a a a a a a a a i = 5 % (a) En primer lugar calculamos el tanto de interés efectivo mensual: i 12 = 12 1, 05 1 = i 12 = 0, Por tanto por equivalencia financiera entre prestación y contraprestación: = a a 120 i12 = a = 1.899, = a 1 = a = 1 1, por tanto: 1 = C 0 i 12 = i 12 = 1 = 733, = 1 = a 1 = 1 = 1.166, = a 60 = a = 60 60, por tanto: 60 = C 59 i 12 = 60 = 17, = C 59 = a a 61 i12 = , 8759 = 60 = a 60 = 60 = 1.82, = Observemos que 60 se podría haber calculado como 60 = 1 (1i 12 ) 59 al ser un método francés, por lo que las cuotas de amortización varían en progresión geométrica de razón q = 1 i 12. En este caso 60 se habría calculado como 60 = a 60.

14 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 1 (b) Transcurridos 5 años se cambia de condiciones, por tanto tenemos que calcular C (5) (aunque no lo pidan): C (5) = a a 60 i12 = C (5) = , 6665 = b b(1,01) b(1,01) 2 b(1,01) 3 b(1,01) b(1,01) 5 b(1,01) 6 b(1,01) 7 b(1,01) 8 b(1,01) 9 b(1,01) 10 b(1,01) ,6665 i =,5 % C (6) = C (5) (1, 05) = C (6) = , 2315 = = C (7) i = 1, 05 1 = 0, Por equivalencia financiera se tiene: C (7) = , 2315 = b 1 (1, 01)12 (1 i ) 12 1 i 1, 01 = b=8.937,61218 = b 1 = 1 1, por tanto: { 1 = C (7) i = , 2315 i = 1 = 1.166, = (c) La situación al final del octavo año es: 1 = b 1 = 1 = 7.770, 6286 = b(1,01) b(1,01) 5 b(1,01) 6 b(1,01) 7 b(1,01) 8 b(1,01) 9 b(1,01) 10 b(1,01) i' = 5 % Por tanto teniendo en cuenta que i = 1, 05 1 = 0, y que sabemos que los términos amortizativos varían en progresión geométrica, se tiene: V (8) = b(1, 01) 1 (1, 01)8 (1 i ) 8 1 i 1, 01 = V (8) = , 2253 = Para calcular el usufructo utilizaremos la fórmula de Makeham, por lo que necesitamos calcular previamente el capital pendiente al final del octavo año C (8) = b(1, 01) 1 (1, 01)8 (1 i ) 8 = 1 i 1, 01 C (8) = , U (8) = i i i (C (8) V (8) ) = U (8) = 3.592, 0921 = Para calcular la nuda propiedad utilizamos la igualdad N (8) = V (8) U (8) = N (8) = , = (d) Para cancelar el préstamo debemos entregar X = C (8) 0, 01C (8) = 7.052, 3269 = que será el importe del nuevo préstamo: , J2= 5 % Calculamos i 2 = J 2 2 = 0, 05 2 = 0, 025, por tanto = 7.052, = =2.68,10897 =.

15 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 15 a 1 = 1, por tanto: { 1 = X i 2 = 7.052, , 025 = 1 = 1.851, = a 1 = 1 = a 1 =.319, =

16 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) Una empresa concierta con una entidad financiera un préstamo de euros y 15 años de duración mediante mensualidades postpagables cuyas cuotas de amortización son constantes. El tanto nominal mensual pactado fue el 6%. Transcurridos treinta meses y habiendo hecho frente a todos los pagos, se solicita a la entidad financiera no realizar ningún pago durante los próximos seis meses y hacer frente sólo al pago de intereses durante los dos años siguientes. La entidad financiera acepta la solicitud cobrando a partir del cambio de condiciones un tanto de interés efectivo anual del 5, 5%, exigiendo que los términos amortizativos sean trimestrales constantes. Se pide: (a) Calcular el primer y último término amortizativo del préstamo inicial antes del cambio de condiciones, así como su descomposición en amortización e intereses. (b) Calcular el capital pendiente al final de los treinta meses. (c) Calcular, después del cambio de condiciones, los intereses trimestrales pagados durante los años cuarto y quinto y la primera trimestralidad del sexto año, así como su descomposición en amortización e intereses. (d) Calcular valor, usufructo y nuda propiedad del préstamo al final del décimo año una vez pagada la trimestralidad correspondiente, suponiendo un tanto de mercado del 6% anual efectivo. Solución: La situación inicial del préstamo es la siguiente: / Cambio J12 = 6 % (a) Calculamos i 12 = J 12 0, = = 0, 005, por tanto = = =1.000 = = C 0 i 12 = , 005 = 1 = 900 = a 1 = 1, por tanto: a 1 = 1 = a 1 = = 30 = C 29 i 12 = , 005 = 30 = 755 = a 30 = 30, por tanto: C 29 = 151 = C 29 = = a 30 = 30 = a 30 = = (b) C 30 = 150 = C 30 = = (c) Transcurridos treinta meses realizamos un cambio de condiciones, pasando a: b b b b b b b b b 2 30/12 Cambio i = 5,5 % El nuevo tanto es i = 5, 5 %, por tanto i = 1, = 0, Por otro lado calculamos C 36 = C (3) = C 30 (1 i ) 2 = (1 i ) 2 = , 7892 =. = C (3) i = , 7892 i = =2.076, =. Como durante el cuarto y el quinto año se pagan sólo intereses se verifica que C (5) = C () = C (3), por tanto: , 7892 = b a 0 i = b=5.000,88813 = 1 = C (5) i = 1 = 2.076, = b 1 = b = 1 1 = 1 = b 1 = 1 = 2.931, =

17 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 17 (d) La situación al final del décimo año es: b b b b b b b b b i' = 6 % Por tanto teniendo en cuenta que i = 1, 06 1 = 0, y que sabemos que los términos amortizativos son constantes, se tiene: V (10) = b a 20 i = V (10) = , 6951 = Para calcular el usufructo utilizaremos la fórmula de Makeham, por lo que necesitamos calcular previamente el capital pendiente al final del décimo año C (10) = b a 20 i = C (10) = , U (10) = i i i (C (10) V (10) ) = U (10) = , 332 = Para calcular la nuda propiedad utilizamos la igualdad N (10) = V (10) U (10) = N (10) = 7.68, 26 =

18 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) Un agricultor para paliar los efectos de las heladas ha solicitado un préstamo de euros subvencionado en parte por la Junta de ndalucía y que tiene las siguientes características: duración 10 años, durante el primer año no se realiza ningún pago, en el segundo sólo se pagan los intereses y a partir del tercero anualidades constantes y postpagables, siendo el tanto de valoración el 1% los dos primeros años y el 5% los restantes. Una vez pagada la anualidad correspondiente al tercer año, el banco propone cambiar las condiciones, pasando a pagos trimestrales con cuotas de amortización de cuantía los primeros años y de cuantía 2 para las restantes, a cambio de rebajar en un punto porcentual el tanto de interés. Se pide: (a) Primera anualidad antes del cambio de condiciones así como su descomposición en amortización e intereses. (b) Primera trimestralidad después del cambio de condiciones y capital pendiente dos años más tarde. (c) Valor financiero dos años después del cambio si el tanto de mercado es del 3% anual efectivo. Solución: La situación inicial del préstamo es: a a a a i = 1 % i = 5 % (a) El primer año no se paga nada, por tanto C 1 = (1, 01) = =. El segundo año sólo se pagan intereses, por tanto C 2 = C 1, por lo que por equivalencia financiera: a 3 = 3 3 = = a a 8 0,05 = a=9.376,11906 = { 3 = C 2 0, 05 = , 05 = 3 = = 3 = a 3 = 3 = 6.36, 1190 = (b) Para el cambio necesitamos calcular C 3 = a a 7 0,05 = C 3 = 5.253, = (o bien C 3 = C 2 3 ). La nueva situación por tanto es: , i = % En primer lugar calculamos i = 1, 0 1 = 0, Por otro lado: 5.253, = } {{ } 2 } 2 {{ 2 } = 16 2 = 0 = 16 veces 12 veces = C 3 = =1.356,3652 = 0 b 1 = 1, por tanto: { 1 = C (3) i = 5.253, i = 1 = 53, = b 1 = 1 = b 1 = 1.890, = El capital pendiente dos años después del cambio, C (5) = 82 = 32 = C (5) = 3.03, 0867 =

19 (Francisco Begines Begines. Departamento de Economía plicada. Universidad de Sevilla) 19 (c) Por último, la situación dos años después del cambio es: i ' = 3 % Como i = 3 %, = i = 1, 03 = 0, Por la estructura del préstamo, como conocemos las cuotas de amortización, empezaremos calculando la nuda propiedad: N (5) = a 8 i 2 a 12 i (1 i ) 8 = N (5) = , = Para el cálculo del usufructo utilizamos la fórmula de Makeham: U (5) = i i (C (5) N (5) ) = U (5) =.850, = Por último para calcular el valor financiero utilizamos la igualdad V (5) = N (5) U (5) = V (5) =.602, 5202 =

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