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1 ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES. Departamento de Economía Aplcada (Matemátcas). Matemátcas Fnanceras. Relacón de Problemas. Rentas. 1.- Una empresa se plantea una nversón cuyas característcas fnanceras son: Coste ncal: Ingresos: al fnal de cada bmestre. Gastos: 600 al fnal de cada trmestre, con un ncremento anual del 1%. Valor resdual: Analce s es recomendable realzarla, s su duracón es de cnco años, y el tpo de nterés del mercado es del 5%. Para decdr s es convenente realzar la nversón, calcularemos el benefco neto de la msma en un momento determnado de su horzonte temporal, por ejemplo, el momento ncal. Los ngresos consttuyen una renta constante de cuantía euros cada dos meses, cuyo esquema es el sguente: ( ) (meses) A partr del tpo de nterés anual, obtenemos el bmestral equvalente: 1/ 6 6 (1 0,05) 1 0, y el valor actual de los ngresos es gual a: I A , , Por otra parte, exsten unos gastos de 600 euros trmestrales con ncremento anual del 1%, que consttuyen una renta geométrca fracconada. Su esquema es el sguente (tempo en años y cantdades en euros): , , , , Para transformar esta renta en otra equvalente sn fracconar, hemos de calcular la cuantía anual equvalente a la trmestral de 600 euros: C C4 C ,05 C.444, ,07 En consecuenca, la renta orgnal es equvalente a una anual de cuantía.444,543 y crecmento, tambén anual, del 1%. Por tanto, el valor de esta renta en el orgen es: G A(.444,543;1,01) 0, ,9-1 -

2 Además, hay un coste ncal de euros y un valor resdual, al fnal de los cnco años, de euros, cuyo valor en el orgen es 3.917,63 = (1,05) -5. Por tanto, el valor de la nversón, en el momento cero, sumando los ngresos (peródcos y el resdual) y restando los gastos (peródcos e ncal) es el sguente: V 6.5, , ,9, , ,9 356,38 resultando un flujo neto negatvo, de lo que podemos conclur que no nteresa la nversón. - -

3 .- El propetaro de un mportante supermercado decde venderlo, para lo cual recbe las sguentes ofertas: a) 56 pagos de trmestrales, pagaderos a fnal de cada trmestre, con un aumento de al trmestre cada año. b) al contado y el resto en pagos cuatrmestrales vencdos de el prmer año, con un ncremento anual del 0% los 6 años sguentes y un decremento del 3% trenal durante los 6 años restantes. Determne el orden de preferenca de las ofertas, s todas ellas se valoran a un tpo de nterés del 8% nomnal, captalzable trmestralmente. El orden de preferencas vene determnado por el valor de ambas ofertas en un nstante de tempo determnado, que stuaremos en el orgen. El tpo de nterés es j 4 =0,08 y, por tanto, 4 = 0,0 e = (1,0) 4-1 = 0, a) La prmera oferta consttuye una renta artmétca fracconada, cuyo esquema es el sguente (cantdades en euros y tempo en años): (1500) (1500) Para su valoracón en el orgen, de una manera cómoda, la convertmos en una renta equvalente sn fracconar, calculando la cuantía anual equvalente, en el prmer año, y el aumento anual equvalente, es decr: C C4 C (0,084316) C 30.9,06 0,0 4 4 D d 4 d ( 0,084316) D 6.18, ,0 Una vez hecho esto, podemos obtener el valor en el orgen de la renta orgnal como el valor de otra renta equvalente, sn fracconar, de cuantía anual 30.9,06 y aumento anual de 6.18,41 : V a A 30.9,06;6.18,41) ,36 ( 14 0, 084 b) La segunda oferta, aparte de una cantdad ncal, es una renta geométrca fracconada, crecente los 7 prmeros años y decrecente los ses restantes, de acuerdo con el sguente esquema (cantdades en mles de euros y tempo en años): (1,) 6 10(1,) 6 0,97 10(1,) 6 (0,97) Para calcular el valor en el orgen de este flujo de captales, consderaremos dos rentas, la prmera, hasta el año 7, varable en progresón geométrca fracconada (q = 1,) - 3 -

4 y la segunda de dos térmnos (trenales), decrecente (q geométrca fracconada y dferda 7 años. = 0,97) en progresón En el caso de la prmera renta, calculamos la cuantía anual equvalente para el prmer año y su valor en el cero: C C3 C (0,0843 ) C , , donde 3 1, / 3 1 0, y, por tanto, A.809,81;1, 77.8, 37 V b , 0843 En la segunda renta, calculamos la cuantía trenal equvalente y su valor en el orgen: (3) (3) 6 C3 C (3) C , (0,97)(0,68418) C ,58 (3) 3 3 0, donde (3) 3 1, , y, por tanto, 7, A ,58;0, , 5 V b 1 1 0, 6841 En defntva, el valor de esta segunda oferta es: V , , ,89 b Por últmo, el orden de preferencas es (b) y (a)

5 3.- El Team RAPID de motocclsmo decde comprar, para el campeonato del mundo de la próxma temporada a YAMAHONDA, 4 motoccletas valoradas cada una de ellas en En el contrato de compra se acuerda formalzar los pagos de la sguente forma: - El 0% del valor total a la frma del contrato. - 4 mensualdades que crecen un 1% cada semestre, hacendo efectva la prmera a los 7 meses de la formalzacón del contrato. - Pagos semestrales a fnal de cada semestre sendo de.000 el prmero, con un aumento anual de cada semestre, durante 6 años. Determnar la cuantía de la prmera mensualdad, valorando las operacones a un tpo de nterés del 7% anual. Preco de compra: = Prmer pago: 0% s/ = Pagos mensuales: ,07 1 0, ,07 1 0, Calculamos C : C C C C 0, C C 6, , V 0 / A (6, C 4 0, ; q 1,01) 1, C Pagos semestrales: C C d C C.000 0,07 0, D D d ,07 0, , ,9345 V A (4.4,8965; d 3.661,9365) , ,07 Igualamos el preco de compra a todos los pagos: - 5 -

6 841.40, ,00 1, C ,13 Despejamos C , , ,13 C 3.56, 65. 1, que es la cuantía de la prmera mensualdad

7 4.- Para la construccón de un Club de Hípca, un grupo de nversores adquere un terreno por el que acuerda pagar hoy, 1 de enero, y 36 mensualdades de a abonar la prmera el 1 de julo. Asmsmo: -Contratan hoy 5 jnetes con un sueldo bruto mensual de.000 cada uno y un ncremento anual del %. -Los gastos de mantenmento ascenden a semestrales, pagaderos al fnal de cada semestre, estmándose un ncremento anual de los msmos de 500 en cada semestre. Determnar la cuantía de ngresos a obtener anualmente, sabendo que los socos abonan sus cuotas a prmeros de año, y de forma que se garantce que el valor actual de los ngresos superan en un 0% la cuantía total de los gastos realzados. Realzar esta estmacón para los 0 años que dura la concesón y a un tpo de nterés de mercado del 6% anual. Gastos: Terreno: Jnetes: , / A (10.000) ,3. Sueldo mensual: C C C (0,06) Sueldo anual: C 3.65, Sueldo total hoy: V A , 60. Gastos de mantenmento: Gasto semestral = gasto anual: C C ,8;1,0 0 0,06 C 3.000(0,06) C 0, ,69 Incremento anual semestral =500 ncremento anual: H h 500(0,06) 0,09563 H h 1.014,78 Gasto mantenmento total hoy: V A , ,69 ;1.014,78 0 0,06 0 Total Gastos = , , ,63 = ,55 A 0 0, 06 C Ingresos: ,55(1,) ( ) C 30.34, 58

8 5.- Certa empresa para atender al reparto y dstrbucón de sus mercancías dspone de las sguentes opcones: Opcón A: Adquscón, a un fabrcante, de tres vehículos por un valor total de euros con unos gastos de conservacón y reparacón de.400 anuales, un valor resdual de y una vda útl estmada de ses años. Opcón B: Adquscón de los ctados tres vehículos a otro fabrcante, que asegura un valor resdual de al fnal de los ocho años de vda útl, lo que supone un desembolso ncal de y unos gastos de conservacón y reparacón de.100 anuales. Opcón C: Contratar con una empresa de transporte el servco de reparto y dstrbucón de mercancías, lo que supone unos gastos anuales crecentes en un 5% anual sendo los del prmer año de Supuesto un tpo de nterés del 6% determne la oferta más ventajosa, tenendo en cuenta que los sueldos del personal necesaro para atender el servco de los vehículos son de durante el prmer año, esperándose un ncremento anual del 4%. Nota: En la resolucón del problema se supondrá que las renovacones se realzan con una actualzacón del % anual. En prmer lugar, es mportante comentar que este problema no posee una solucón clara. Ello es así por el hecho de que estamos comparando benes fnanceros dstntos. Así, la opcón A consste en el reparto y dstrbucón de la mercancía por 6 años, la opcón B por 8 años y la C, en prncpo, a perpetudad. Por ello, los valores actuales de las opcones no se pueden comparar drectamente (es lógco pensar que C será más cara que B y ésta a su vez más cara que A). Antes de volver sobre este tema, valoremos las tres opcones separadamente: Opcón A: Adquscón: , ,00 Conservacón: A (.400) ,58 6 0,06 V. Resdual: (1 + 0,06) ,41 Personal: A (3.600; 1,04) ,00 q 6 0,06 TOTAL OPCIÓN A: ,17 Opcón B: Adquscón: , ,00 Conservacón: A (.100) ,57 8 0,06 V. Resdual: (1 + 0,06) ,61 Personal: A (3.600; 1,04) 5.441,71 q 8 0,06 TOTAL OPCIÓN B: ,67-8 -

9 Opcón C: Contratacón: A (6.000; 1, ,00 q ) 0,06 TOTAL OPCIÓN C: ,00 Una vez calculados estos valores, debemos encontrar alguna forma de compararlos. Una de ellas puede consstr en suponer que las opcones A y B se podrán renovar nfntamente, es decr, volver a realzar la operacón una vez concluda la vda útl de los vehículos. A fn de ser más realstas, vamos a suponer que todos los costes se ncrementan, según la nflacón, a razón de un % anual. Así, la opcón A quedaría: , ,17 (1,0) ,17 (1,0) 0 6 sería: Así pues, el valor actual de la oferta A, renovada nfntamente de esta forma, Ä (6) 6 ( ,17; q 1,0 ) ,81 6 0, Por su parte, para la opcón B tenemos: , ,67 (1,0) ,67 (1,0) Ä (8) 8 ( , q 1,0 ) ,04 8 0, Por lo tanto, bajo estas hpótess, la opcón elegda será la B, que es la que tene un menor valor actual

10 6.- La Empresa Muncpal de Aguas, encargada del abastecmento a la captal, tene acordado con el Ayuntamento, por su gestón, entregarle las sguentes cantdades: Entregar un mllón de euros el prmer año, con un ncremento anual del 10% los ocho años sguentes. El año décmo pagará la msma cantdad que el año anteror. Los dez años sguentes dsmnurá la entrega en cada año. Después de pagado el séptmo plazo acuerdan, empresa y ayuntamento, susttur los pagos restantes por anualdades constantes en el msmo número de las que quedan por vencer. Determnar la cuantía de estos plazos, s el tanto de nterés aplcado es el 6% anual. La estructura de los pagos descrtos en el enuncado es la sguente: Por lo tanto, transcurrdos sete años, las cantdades que quedan por pagar son las sguentes: Para resolver el problema, calcularemos el valor actual (en el nstante 7) de los pagos restantes, para luego determnar la cuantía anual de una renta constante que tenga ese msmo valor actual. La renta de los pagos restantes se puede dvdr en dos partes. La prmera, de dos térmnos, en progresón geométrca de razón 1,1 y de cuantía ncal (1,1) 7 = ,10. La segunda, de 11 térmnos, en progresón artmétca decrecente de dferenca y cuantía ncal (1,1) 8 = ,81, renta que hay que dferr dos años. Así pues, obtenemos el sguente valor actual: A 0, ,10 8 ( ,10; q 1,1) A ( ,81; d ) (1 0,06) 11 0, , , ,39 Esta renta se quere susttur por otra constante con el msmo número de térmnos (13), cuyo valor actual sea el msmo: A ( C) ,54 C ,6489, 13 0,06 es decr, la cuantía de los nuevos pagos es de ,

11 7.- La empresa Factor S.A. desea realzar un estudo con objeto de decdr el preco de venta de su producto. Deberá hacer frente a los sguentes gastos e nversones: a) Compra de terrenos, con fecha 1 de enero: a pagar al contado y el resto en cuatro mensualdades de cada una, vencendo la prmera al mes de la compra. b) Construccón de un pabellón durante doce meses, con un coste mensual de , pagadero por vencdo. c) Fnalzado el pabellón comenza la produccón. Para ello compra maqunara por valor de ; pagando la mtad al contado y el resto a los tres años. d) Cada tres meses compra matera prma por con un ncremento anual de 800 al trmestre. e) Gastos de mano de obra (en el proceso de produccón) mensuales por vencdo, ncrementándose anualmente en un 6% sobre el anteror. Pagas extras en juno y dcembre de gual cuantía que la mensualdad correspondente. f) Los gastos de mantenmento ascenden a cada dos años, salvo el últmo año. Prevé una demanda de undades trmestrales el prmer año, con un ncremento anual de 800 undades. Sabendo que venderá el negoco a los 10 años de su puesta en funconamento por y que espera obtener un benefco antes de mpuestos del 60% sobre los ngresos totales, calcular dcho preco de venta utlzando un tanto de valoracón del 15% anual. El planteamento de este problema lo realzaremos sobre la dea, básca, de que los benefcos son la dferenca entre ngresos y gastos. No obstante, deberemos tener en cuenta que los captales, que ntegran los tres conceptos anterores, están dstrbudos a lo largo de un perodo de tempo de duracón 11 años (10 años de explotacón +1 año de construccón del pabellón), y por tanto deberemos proceder a su valoracón bajo el punto de vsta fnancero. Trabajaremos, con valores actuales, valorando al 15% anual y sus equvalentes mensuales, trmestrales. semestrales y benales, que son: 0, , , () 0,35 1º) Valor actual de los ngresos: Como los ngresos son trmestrales y sufren un ncremento, en progresón artmétca, anual habrá que homogenezar la perodcdad de ambos conceptos, por tanto: El térmno de la renta equvalente anual, será: a a a 4 4 0,15 0, p p a 0, , 5094 p 0,

12 El ncremento de la renta equvalente anual, será: D d 4 D 800 p *0,15 / 0, , p 4 Los ngresos consttuyen una renta varable en progresón artmétca, temporal, dferda (d =1 año) y pospagable, la expresón de su valor actual es: d A n 1 (, ) D a D a n 1 nd1 n 1 1 sn mas que susttur tendremos el valor actual de los ngresos V ( I ) 1 A (4.184,50964 p,3.374, p ) 33.96, 975 p A dcho valor deberemos añadr la actualzacón del valor resdual, por tanto quedan unos ngresos totales de V 0 (IT) = 33.96,975 * p * (1+0,15) -11 = = 33.96,975 * p , º) Valor actual de los gastos:.a) Compra de terrenos: ,81.b) Construccón del pabellón: c) Compra de maqunara: , (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1,15) (1,15) , 85.d) Compra de matera prma: Se trata de una renta de una renta prepagable, trmestral, con varacones en progresón artmétca anuales. Homogenezamos a perodcdad anual: El térmno de la renta equvalente anual, será:. - -

13 a a4 a ) (1 ) 1,15 1, ( a 0,15 1, ,53 /año 0, ,15 El ncremento de la renta equvalente anual, será: D ( 1, * 800 / 0, ) * (0,15 / 1,15) 3.038,9 /año Valorando la renta que es dferda y prepagable, queda: V 0 (I) A (37.986,53; d 3.038,9) (1 0,15) , ,15.e) Gastos de mano de obra: En este caso se trata de dos rentas: Una paga mensual con varacones, anuales, en progresón geométrca. Y otra, semestral, con varacones del msmo tpo que la anteror. Homogenezamos, en ambos casos, a perodcdad anual: Para las mensualdades el térmno, de la renta equvalente anual, será: a a a , 50 a 0, , ,15 0, /año. Para las pagas extras el térmno, de la renta equvalente anual, será: a a a 0, , ,15 a ,04 0, /año. puesto que, estos dos resultados, son captales de perodcdad anual, podremos consderar una sola renta que englobe los gastos de mano de obra y, la cuantía de su térmno, será: , , ,55 /año. Valorando la renta que es dferda y pospagable, queda: 1,06 1 A. 10 0,15 1,06 (1,15) 1 1,15 (119.0,55; 1,06) (1 0,15) 119.0,55 1 q (1,15) , 7.f) Gastos de mantenmento: (1,35) 1 (30.000) (1 0,15) (1.15) , 77 A 4 0,35 0,35..g) Valor actual total de gastos:

14 V ( G) , º) Valor actual de los benefcos: V B) 0,60 V ( IT) 0,60 (33.96,975 p ,). 0 ( 0 4º) Preco de venta, untaro, del producto: susttuyendo: V0 ( B) V0 ( IT) V0 ( G) 0,60(33.96,975* p ,) 33.96,975* p , ,38 de donde: p =13,

15 8.- Se recben las sguentes ofertas por el alquler de una vvenda, durante los próxmos 5 años: a) 40 al mes durante el prmer año, mensualdades que se ncrementan un % cada año. b) 430 al mes durante el prmer año, mensualdades que se ncrementan en 8 cada año. Determne la mejor opcón para la Sra. Lsta, s valora la operacón a un 5% anual. Ambas opcones son rentas prepagables fracconadas, con térmnos mensuales e ncrementos anuales. La prmera oferta varía en progresón geométrca, mentras que la segunda lo hace en progresón artmétca. Calculemos sus valores actuales a un 5% anual: Opcón a: C 0,05 (1 0,05) 1 0, C (1 ) (1 ) 4.99,03101 A (4.99,03; q 1,0) 3.76, ,05 Por lo tanto, el valor actual de la prmera oferta es 3.76,53. Opcón b: C C (1 ) (1 ) 5.046,3889 D 8 8 D (1 ) (1 ) 93,8863 A (5.046,39; D 93,89) 3.75, ,05 Por lo tanto, el valor actual de la segunda oferta es 3.75,63, y ésta será la elegda

16 10.- Un comercante debe pagar a una empresa de dstrbucón las sguentes cuantías con los sguentes vencmentos: 500 los días 10/11/05, 5/03/06, 17/06/06 y // los días 5/8/05, 15//05, /03/06 y 10/05/ los días 14/09/05, 4/0/06, 11/04/06 y 6/11/06. S decden sustturlos por un únco pago el día 31/03/06. Determne la cuantía de este únco pago, s se valora la operacón a un 4,5% anual. Dado que se trata de tres rentas de dversas cuantías y con vencmentos que no son unformes, se debe captalzar (para los captales con vencmento anteror al 31/03/06) y actualzar (para aquellos captales con vencmento posteror al día ctado) captal a captal. De este modo, para obtener el captal únco se debe resolver la sguente expresón: CaptalComún ,79 1 0, , , , , , , , , , , ,

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