BLOQUE I I. En este bloque estudiarás: 1.4. Uso del lenguaje natural para explicar el significado de algunas fórmulas geométricas,

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1 BLOQUE I I En este bloque estudiarás: 1.4. Uso del lenguaje natural para explicar el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando literales como números generales con los que es posible operar

2 Sugerencias didácticas Se introduce el concepto de ecuación de segundo grado, apoyándose de nuevo en el enfoque geométrico, y utilizando los conceptos de lecciones pasadas, como la multiplicación de binomios. Se sugiere que la forma de resolver el ejercicio 4 sea dada por los alumnos en clase, para discutir ideas y encontrar el camino más corto a la solución. Lección 23 Anteriormente has estudiado las ecuaciones de primer grado, así como diferentes problemas que se puedan resolver con ellas. Ahora empezarás a estudiar las ecuaciones de segundo grado. Cómo son estas ecuaciones y cómo se usan? De aquí en adelante podrás averiguarlo. 1 Los siguientes enunciados dicen qué relación existe entre las medidas de los lados de los rectángulos que aparecen enseguida. Anoten la medida que le corresponde a cada lado usando una literal. La figura C es un ejemplo. Figura A: el largo mide 5 metros más que el ancho. Figura B: el largo mide 3 veces el ancho. Figura C: el ancho mide 3 metros menos que el largo. Figura D: el ancho mide la mitad del largo. A x 5 3 x B x x C x D x x_ 2 x 2 Para cada uno de los rectángulos anteriores, formulen una ecuación que relacione las medidas de los lados y el área. Nuevamente la figura C es un ejemplo. Figuras Ecuaciones A (x 5) x = x 2 5 x = 234 m 2 B 2 = 1083 m 2 C x(x - 3) 550; x 2 3x 550 x D _ 2 = 800 m2 2 3 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen los resultados de la tabla anterior, en particular; analicen en qué son diferentes las ecuaciones de primer y segundo grado. Anoten su conclusión: Las ecuaciones de segundo grado tienen a la variable elevada al cuadrado, y pueden tener o no a la variable en 1er. grado y/o un número

3 4 Para cada una de las ecuaciones de la tabla anterior, encuentren un valor de x que satisfaga la ecuación. Pueden usar el procedimiento que quieran y la calculadora. Después hagan lo siguiente: Anoten con números el largo y el ancho de cada uno de los siguientes rectángulos, que son los mismos de la página anterior. Valoración del desempeño Plantea, a partir de un problema dado, la ecuación no lineal que permita resolverlo. Verifiquen que con las medidas anotadas se obtiene el área que se indica. A 13 m B 57 m 18 m 19 m C x = 400 m D Con ayuda de su profesor o profesora, comparen las medidas que anotaron en los rectángulos; si hay diferencias, traten de localizar los errores y corrijan. 6 Formulen la ecuación de segundo grado que corresponde a cada uno de los siguientes problemas y resuélvanla. El área de un cuadrado es m 2, cuánto mide un lado de ese cuadrado? Ecuación: x 2 = edida de un lado El área de un rectángulo es 358 m 2 ; si el largo mide el triple que el ancho, cuáles son las medidas del rectángulo? largo: Ecuación: 3x (x) = 3x 2 = 358 edidas ancho: 7 Lee la siguiente información = Una ecuación como x 2 3x 550 es de segundo grado, porque la incógnita está elevada al cuadrado. Cuando la incógnita está elevada al cubo, como en x 3 8, se trata de una ecuación de tercer grado. Un número que satisface la ecuación x 2 3x = 550 es 25, porque (25) = Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas

4 Sugerencias didácticas Es importante la participación de los alumnos en la resolución de los problemas. Al ser una lección cuyos ejercicios se resuelven sobre todo por el método de ensayo y error, los errores conceptuales se notarán en la participación de los alumnos. Se recomienda organizar una especie de concurso, donde los alumnos pasen al pizarrón con sus sugerencias para las soluciones de las ecuaciones, no sólo las de la tabla del ejercicio 5, sino todas las ecuaciones que se resuelven por medio de ensayo y error. Lección 24 En algunos problemas, las literales representan números desconocidos y esto permite hacer operaciones con ellos como si fueran conocidos; así podemos averiguar de qué números se trata. 1 Anoten la información que falta en la siguiente tabla. Problemas Ecuaciones Soluciones El cuadrado de un número más 11 es igual a 92. Cuál es ese número? El cuadrado de un número menos 15 es igual a 106. Cuál es ese número? El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 182. Cuál es ese número? El cuadrado de un número menos el mismo número, más 12 es igual a 144. x = 92 x 2 = = 81 x 1 = 9 x 2 = 9 x 2 15 = 106 x 2 = = 121 x 1 = = x 2 x 2 + x = 182 x 2 = 14 x 1 = 13 x 2 x x 2 = 11 x 1 = 12 El cuadrado de un número más el doble de ese número menos 5 es igual a 75. Cuál es ese número? x x 5 = 75 x 2 = 10 x 1 = 8 2 Con ayuda de su profesor o profesora, hagan lo siguiente: Revisen la primera columna para ver si el problema que ustedes escribieron corresponde a la ecuación ya escrita. Revisen la segunda columna para ver si las ecuaciones que escribieron coinciden. Revisen las soluciones y verifiquen que los valores encontrados satisfacen las condiciones de cada problema. 3 Lee la siguiente información. En una ecuación de segundo grado como x 2 25, una solución es 5, porque Sin embargo, la solución también es 5, porque (5) Esto quiere decir que las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos soluciones. En ciertos casos las soluciones son dos números simétricos. 4 Regresen a la tabla de la actividad 1 para hacer lo siguiente: Averigüen en cuáles casos el simétrico de la solución que encontraron, también es solución de la ecuación. Anoten así las soluciones: x 1 x

5 5 En los casos en los que el simétrico no es solución de la ecuación, prueben con otros números para encontrar la otra solución. Una manera de resolver las ecuaciones de segundo grado consiste en buscar, por ensayo y error, números que satisfagan la ecuación. Así por ejemplo, para resolver la ecuación x 2 + 3x = 28, se puede usar una tabla como la siguiente Valoración del desempeño Encuentra soluciones a ecuaciones cuadráticas con el método de ensayo y error. x x 2 3x x 2 3x En la tabla anterior, se ve que cuando x vale 1, x 2 + 3x es igual a 4. Cuando x vale 2, x 2 + 3x es igual a 10. Prueben con otros valores de x hasta que encuentren que x 2 + 3x es igual a 28. ay un número negativo que también satisface la ecuación x 2 + 3x = 28. Usen la misma tabla para encontrarlo. Según lo que encontraron, la ecuación x 2 +3x = 28 tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Anótenlas. x 1 7 x Encuentren las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones. 5x x 2 1 x 1 = 3 x 1 = _ 1 2 x 2 = 3 x 2 = _ 1 2 x 2 x 56 x 2 x 56 0 x 1 = 7 x 2 x = 56 x 2 = 8 x 1 = 7 x 2 = 8 x 2 13x 130 x 2 56 x x 1 = 19,62 x 2 x = 56 x 2 = 6.62 x 1 = 7 x 2 = Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas

6 Sugerencias didácticas En esta lección se introduce un método de resolución de ecuaciones de segundo grado, porque al método de ensayo y error no es siempre el más conveniente. Es muy importante sustituir las soluciones en la ecuación para comprobar su validez. Se recomienda buscar las soluciones a los ejercicios de las dos maneras: por el método de ensayo y error, y luego por el método explicado en el ejercicio 5, para que los alumnos puedan comparar la efectividad de este último. Valoración del desempeño Encuentra soluciones de las ecuaciones de segundo grado dadas por factorización. Lección 25 El ensayo y error es un procedimiento útil para resolver ecuaciones, aunque a veces resulta muy tardado. 1 La figura A es un rectángulo, traten de averiguar cuánto mide cada lado. No olviden verificar que, efectivamente, con las medidas que encontraron, el área es 84 cm 2 y el perímetro 38 cm. Figura A Perímetro 38 cm Área 84 cm 2 Largo 12 Ancho 7 2 Con ayuda de su profesor o profesora hagan lo siguiente: Revisen los resultados que encontraron y determinen cuáles son correctos. Comenten sobre los procedimientos y vean cuáles sí y cuáles no llevaron al resultado correcto. 3 En la siguiente tabla se anotaron los pasos de un razonamiento para encontrar las medidas de los lados de la figura A. Completen la tabla. Razonamiento Paso 1. Si el perímetro del rectángulo mide 38 cm, entonces el largo más el ancho miden 19 cm. Paso 2. Si el largo más el ancho miden 19 cm, esas medidas se pueden representar así: ancho x largo 19 + x Paso 3. Si el ancho mide x y el largo 19 + x, entonces el área se puede expresar así: x(19 + x) 84 Paso 4. Por tanteo, se pueden encontrar las medidas buscadas: si x 1, el área vale 1 (20) 84 si x 2, el área vale 2 (21) 84 Es correcto? sí/no Si creen que no es correcto, corríjanlo No Dos veces el largo más dos veces el ancho, es el perímetro. No Si ancho = x entonces largo = 19 x No x (19 x) = 84 No Si x = 1 A = 1 (18) 84 A = 2 (17)

7 4 Con ayuda de su profesor o profesora, hagan lo siguiente: Expliquen por qué las medidas de la figura A no pueden ser x y 19 x, sino x y 19 x. Porque si ancho + largo = 19 entonces, despejando largo = 19 ancho y si ancho = x entonces largo = 19 x Otros recursos En la siguiente página de Internet se encuentra una breve explicación de las funciones cuadráticas y sus aplicaciones. UNI130.T Sustituyan x por su valor en las siguientes ecuaciones, para verificar que ese valor es correcto. Ancho x Perímetro: Área: Largo 19 x 2x 2(19 x) 38 x (19 x) 84 5 Con ayuda de su profesor o profesora, analicen la siguiente información. Una ecuación de segundo grado puede presentarse con el segundo miembro igual a cero, por ejemplo: x 2 6x 8 0 Para resolverlas, existe un procedimiento que consiste en factorizar la expresión x 2 + 6x + 8 = 0. Se hace lo siguiente. Paso 1. Se pasa el tercer término de la ecuación al segundo miembro: x 2 + 6x = 8. Paso 2. Se factoriza el primer miembro de la ecuación: x(x + 6) = 8. Paso 3. La ecuación anterior permite ver que se trata de dos números tales que uno es 6 unidades mayor que el otro y el producto de los dos números es 8. Cuáles pueden ser esos números? Podrían ser 2 y 4 o 4 y 2. Paso 4. Se prueba con estos valores hasta encontrar los que satisfacen la ecuación. Con 2: Con 4: x 2 6x 8 0 x 2 6x 8 0 (2) 2 6 (2) (4) Con 4: 0 0 (4) 2 6 (4) 8 0 x x 2 4 Las soluciones son x 1 2 y x Factoricen las siguientes ecuaciones como se hizo en el ejemplo anterior y después encuentren, por ensayo y error, las soluciones. x 2 16x 63 0 x 1 = 9 x 2 9x 20 0 x 1 = 5 x (x 16) = 63 x 2 = 7 x (x + 9) = 20 x 2 = 4 x 2 9x 14 0 x 1 = 7 x 2 5x 14 0 x 1 = 2 x (x 9) = 14 x 2 = 2 x (x + 5) = 14 x 2 = 7 7 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen las soluciones encontradas y verifiquen cuáles son correctas Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización

8 Sugerencias didácticas En esta lección se unen los conceptos de las lecciones anteriores: equivalencia de expresiones, factorización y resolución de ecuaciones de segundo grado. Es importante que los alumnos noten cómo los conceptos se entrelazan. Al llegar al ejercicio 4 se sugiere que los alumnos propongan el método para expresar una ecuación de segundo grado en forma general a partir de la forma factorizada. Siempre sustituir los valores obtenidos para ver si son los correctos. Lección 26 Sabías que tú puedes inventar ecuaciones de segundo grado? Y además puedes conocer de antemano las soluciones. 1 Analicen la siguiente expresión algebraica y contesten las preguntas que aparecen después. (x 5)(x 3) 0 En la expresión hay un producto de dos factores que es igual a cero. Cuáles son esos factores? (x + 5) y (x 3) Los dos factores están formados por un término común y dos términos que no son comunes. Cuál es el término común? x Cuáles son los términos no comunes? 5 y 3 Aunque no lo parezca, la expresión es una ecuación de segundo grado. Averigüen y expliquen Al multiplicar se obtiene una expresión de 2º grado (x + 5) (x 3) = 0 es igual a por qué. x 2 + 2x 15 = 0 Si ustedes saben que el producto de dos factores es igual a cero, qué se puede decir de esos factores? arquen la respuesta que consideren correcta. Que si uno de ellos vale n, el otro vale n. Que si uno de ellos vale n, el otro vale n 1. Que al menos uno de ellos vale cero. A partir de su respuesta en el inciso d, qué pueden decir de los factores de la expresión (x 5)(x 3) = 0? que x + 5 = 0 ó x 3 = 0 2 Con ayuda de su profesor o profesora, revisen las respuestas de la actividad anterior, en particular vean cómo hicieron para mostrar que la expresión (x 5)(x 3) = 0 es una ecuación de segundo grado. 3 Consideren que la expresión (x 5)(x 3) 0 es una ecuación de segundo grado en la que, o bien x 5 0, o bien x 3 0. Si x 5 0, cuál es el valor de x? 5 3 Si x 3 0, cuál es el valor de x? 4 Con ayuda de su profesor o profesora hagan lo siguiente. Verifiquen que los valores de x que encontraron en la actividad anterior satisfacen las dos expresiones siguientes Ecuación factorizada Ecuación en la forma general (x 5)(x 3) 0 x 2 2x 15 0 ( 5 + 5) ( 5 3) = (0 8) = ( 5) 15 = = 0 (3 + 5) (3 3) = 8 (0) = (3) 15 = = 0 74

9 Las expresiones (x 5)(x 3) 0 y x 2 2x 15 0 son equivalentes. Traten de averiguar cómo a partir de una de las expresiones se puede encontrar la otra. 5 Anoten lo que falta en la tabla. Forma general Forma factorizada Soluciones 1 x 2 6x 5 0 (x 1) ( ) x x 1 y x 5 2 x 2 + 5x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0 x 2 y x 3 3 x 2 x 6 = 0 (x 2) (x 3) 0 x = 2, x = 3 4 x 2 + x 6 = 0 (x 2) (x 3) 0 x = 2, x = 3 5 x 2 5 x + 6 = 0 (x 2) (x 3) 0 x = 2, 4 x = 3 6 x 2 + (s + t) x + st = 0 (x s) (x t) 0 x s y x = t 6 Realicen lo siguiente. Valoración del desempeño Reconoce las ecuaciones de segundo grado en su forma general y factorizada, e identifica cuáles son equivalentes. Encuentra la expresión general de una ecuación de segundo grado dada la ecuación factorizada y viceversa. Otros recursos Se recomienda visitar la siguiente página de Internet para leer una explicación acerca de las funciones de segundo grado y su resolución, explicada por pasos. Comparen sus respuestas a la actividad anterior. Con ayuda de su profesor o profesora, verifiquen que la forma general que corresponde a la expresión factorizada (x + s) (x + t) = 0 es x 2 + (s + t)x + st = 0. Observen que, en la forma general, el número que multiplica a x es la suma s + t y el tercer término es el producto st. Verifiquen que lo mismo ocurre con todas las ecuaciones anteriores. Por ejemplo, en la primera ocurre que: (x 1)(x 5) 0 x 2 6x Puede servir la observación anterior para pasar de la forma general a la forma factorizada? Inténtenlo! 8 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen sus resultados y corrijan los errores. En particular, vean que en todos los casos se trata de encontrar dos números que sumados den el coeficiente de x y multiplicados den el tercer término. 9 Resuelvan ahora los siguientes casos. Forma general Forma factorizada Soluciones 1 x 2 + 7x + 12 = 0 ( x + 5 )( x + 2 ) = 0 x = 5, x = 2 2 x 2 + 8x + 15 = 0 3 x 2 + 5x + 6 = 0 4 x x + 45 = 0 5 x 2 + 4x + 3 = 0 (x + 3) (x + 5) = 0 x = 3, x = 5 (x + 2) (x + 3) = 0 x = 2, x = 3 (x + 9) (x + 5) = 0 x = 9, x = 5 (x + 3) (x + 1) = 0 x = 4, x = 3 Forma general Forma factorizada Cómo son los números buscados? x 2 x 2 0 (x + 2) (x 1) = 0 Sumados dan 1, multiplicados dan 2. x 2 2x 8 0 (x 4) (x + 2) = 0 Sumados dan 2, multiplicados dan Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización

10 Sugerencias didácticas En esta lección se introducen las ecuaciones en formas que no son conocidas por los alumnos hasta este momento, como el caso en que el término elevado al cuadrado tiene un coeficiente diferente de 1, por lo que los alumnos deben aprender a modificar las ecuaciones para llevarlas a la forma conocida y después poder encontrar sus soluciones. Este procedimiento de llevar las ecuaciones a formas conocidas es de mucha importancia. De nuevo se sugiere que las ecuaciones se resuelvan en el pizarrón a modo de concurso para que todos los alumnos participen, y que así la factorización de muchas ecuaciones no resulte tediosa; además, de esta manera se puede valorar el aprendizaje y detectar posibles errores y dudas, sobre todo en las operaciones con signos diferentes. Lección 27 Algunas ecuaciones de segundo grado se pueden factorizar y resolver fácilmente; otras necesitan de algunos cambios antes de ser factorizadas. 1 La forma general de las ecuaciones de segundo grado es: ax 2 + bx + c = 0. En esta forma general, a, b y c representan números conocidos y x es la incógnita. Con base en esta información hagan lo siguiente. Consideren la ecuación x 2 2x 15 0, determinen los siguientes valores: a ; 1 b ; 2 c 15 Expliquen por qué en una ecuación de segundo grado el valor de a no puede ser cero. Porque si a fuera 0, la ecuación ya no tendría término x elevado al cuadrado, y ya no sería ecuación de segundo grado. Inventen cinco ecuaciones de segundo grado expresadas como producto de dos factores que tienen un término común y anótenlas en seguida. 1ª. 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. (x + 7) (x 3) = 0; x 2 + 4x 21 = 0 (x + 3) (x 5) = 0; x 2 2x 15 = 0 (x + 1) (x 6) = 0; x 2 5x 6 = 0 (x + 1) (x + 6) = 0; x x + 6 = 0 (x + 4) (x 3) = 0; x 2 + x 12 = 0 2 Enseguida de cada ecuación que inventaron, escriban la misma ecuación en la forma general. Verifiquen que las soluciones de cada ecuación son los opuestos de los términos no comunes de los factores. Por ejemplo, en la ecuación (x 5)(x 3) 0, las soluciones son: x 1 5 y x 2 3. Con ayuda de su profesor o profesora, comparen sus resultados de la actividad anterior y corrijan lo que sea necesario. 3 Completen los datos que faltan en la siguiente tabla. Forma general Forma factorizada Cómo son los números buscados? x 2 x 2 = 0 ( x + 1 )( x 2 )=0 Sumados dan 1, multiplicados dan 2 x 2 + 7x + 10 = 0 (x + 2) (x + 5) = 0 Sumados dan, 7, multiplicados dan 10 x 2 + x 12 = 0 (x + 4) (x 3) = 0 Sumados dan, 1, multiplicados dan 12 x 2 + 2x 3 = 0 (x + 3) (x 1) = 0 Sumados dan 2, multiplicados dan 3 x 2 7x + 12 = 0 (x 4) (x 3) = 0 Sumados dan, 7, multiplicados dan 12 4x 2 + 2x 6 = 0 4 (x 1) (x + 3_ ) = 0 2 Sumados dan 4, _ 1 ( multiplicados dan 2 ) = 6 2 ) = 2 4 ( 3_

11 4 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen sus resultados de la tabla; en particular, vean cómo resolvieron el último renglón. 5 Factoricen cada ecuación y encuentren sus raíces (soluciones). Valoración del desempeño Factoriza ecuaciones de segundo grado y encontrar sus soluciones. x 2 3x 2 0 x 2 2x 1 = 0 Factorización: (x 2) (x 1) = 0 Factorización: (x 1) (x 1) = (x 1) 2 = 0 Raíces: x = 2, x = 1 Raíces: x = 1 x 2 x 12 = 0 4a 2 12a 9 = 0 Factorización: (x 4) (x + 3) = 0 Factorización: 4 (x _ 3 2 ) (x _ 3 2 ) = 4 (x _ 3 2 )2 = 0 Raíces: x = 4, x = 3 Raíces: x = 3_ 2 x 2 10x 200 = 0 x 2 7x 18 Factorización: (x + 20) (x 10) = 0 Factorización: (x + 9) (x 2) = 0 Raíces: x = 20, x = 10 Raíces: x = 9, x = 2 x 2 3x 108 = 0 x 2 2x 15 Factorización: (x + 12) (x 9) = 0 Factorización: (x 5) (x + 3) = 0 Raíces: x = 12, x = 9 Raíces: x = 5, x = 3 6 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen sus respuestas de la actividad anterior, discutan y corrijan lo que sea necesario. En particular, vean cómo resolvieron el inciso d. 7 Lee la siguiente información. El método de factorización para resolver ecuaciones de segundo grado consiste en lo siguiente. Primero la ecuación debe estar escrita en la forma general, es decir, los tres términos concentrados en el primer miembro y ordenados, x 2 bx c 0. Por ejemplo: x 2 13x Paso 2. Se escribe el esquema para un producto de dos factores que se iguala a cero. ( )( ) 0 El primer término de cada factor es x. (x )(x ) 0 Se buscan dos números que sumados den el valor de b (13) y multiplicados den el valor de c ( 48). (x 16 )(x 3) 0 Las raíces son los opuestos de los números encontrados en el paso anterior. x 1 16 x 2 3 Si el coeficiente de x 2 no es 1, conviene dividir todos los términos de la ecuación para que sea igual a 1. Por ejemplo, la ecuación 4x 2 2x 6 0, al dividirla entre 4, queda: x x Resuelvan las siguientes ecuaciones por el método de factorización. x = 2_ x 2 9x = 18 Solución: x = 6, x = 3 9x = 12x Solución: 3 (x 6) (x 3) = 0 9x 2 12x + 4 = 0 x 2 _ _ Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. 69 = 0 (x 2_ ) (x 2_ 3 3 ) =

12 Sugerencias didácticas Se introduce el concepto de semejanza en rectángulos. Es importante hacer notar que las proporciones en el rectángulo (lado entre lado) se conservan ante un cambio de escala. Lo que hace que dos rectángulos sean semejantes es que los lados correspondientes tengan una proporción que puede ser diferente de uno. De ser posible, llevar fotos o dibujos enmarcados en un rectángulo, y cambiar la proporción del rectángulo para ver la distorsión en los dibujos de los rectángulos que no son semejantes. Esto puede hacerse en la computadora frente a los alumnos o llevar las fotos impresas. Lección 28 Todos los rectángulos son semejantes o sólo son parecidos? En el lenguaje de las matemáticas, la palabra semejante tiene un significado más preciso que el que se le da en el lenguaje cotidiano. 1 Realicen lo siguiente: Tracen un rectángulo A en el que el largo sea el triple del ancho. 3 (3 cm) = 9 cm 3 cm Supongan que trazan un rectángulo B a escala 2 a 1 del rectángulo A, o sea que sus lados tengan el doble del tamaño. Cuál será la relación entre los lados del rectángulo B? Subraya lo que creas correcto: En el rectángulo B el largo es seis veces el ancho. En el rectángulo B el largo también es el triple del ancho. En el rectángulo B el largo es el doble del ancho. Tracen en su cuaderno el rectángulo B y verifiquen su respuesta anterior. Dos rectángulos dibujados a escala son rectángulos semejantes. Tracen en su cuaderno el rectángulo C semejante al rectángulo A con un factor de escala 4 a 1; verifiquen si conserva la misma relación que A y que B entre el largo y el ancho. 2 Comparen sus respuestas y lean y comenten la siguiente información. La relación doble que guardan las dimensiones largo y ancho del rectángulo B con respecto al rectángulo A se llama factor de escala o, también, razón de semejanza entre los rectángulos. La relación de semejanza de dos rectángulos es una relación de proporcionalidad y la razón de semejanza, en este caso, es también constante de proporcionalidad. Por otra parte, en todos los rectángulos semejantes a A, el ancho es 1 3 del largo (o el largo es 3 veces el ancho). Esta razón entre largo y ancho no tiene un nombre especial

13 3 Considera los siguientes rectángulos semejantes. Valoración del desempeño Identifica rectángulos semejantes y la razón de semejanza de éstos. b d Solucionario a idan el largo y el ancho de cada uno de los rectángulos. a = 5.2 cm c = 6.3 cm b = 1.6 cm d = 2.1 cm Cuál es la razón de semejanza del rectángulo azul con respecto al rectángulo rojo? c 1 c) 2 (9 cm) = 18 cm 2 (3 cm) = 6 cm Los rectángulos no son semejantes. Traza en tu cuaderno un rectángulo cuya razón de semejanza o factor de escala con respecto al rectángulo rojo sea 3 a 1. El rectángulo que trazaste es semejante al rojo y al azul? Al rectángulo rojo. Cómo lo sabes? Porque cada lado es 3 veces la medida de cada lado correspondiente del rectángulo rojo. 3 c) cm = 15.6 cm 4 Se tienen las siguientes fotografías A B Las siguientes son medidas de la base y la altura, respectivamente, de varios rectángulos. Anoten a cada rectángulo si es semejante a A a B o a ninguna edidas (cm) Es semejante a: A A B B A B B 5 Comenten en grupo los resultados a los que llegaron. 6 Para seguir trabajando con rectángulos semejantes, resuelve el anexo 3 de la página Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y los lados cm = 4.8 cm 79

14 Sugerencias didácticas El concepto de semejanza se aplica a otros cuadriláteros, no necesariamente rectángulos. Se recomienda remarcar que los criterios se basan en que la medida de los ángulos y su posición en el cuadrilátero, así como la proporcionalidad de los lados, son la base de la semejanza. En el ejercicio 1, después de señalar cuáles son las figuras semejantes, que los alumnos propongan sus características. De ser posible, que encuentren que la medida de los ángulos es un criterio de la semejanza. Lección 29 as estudiado a los rectángulos semejantes, qué pasa con otras figuras?, bastará, como sucede en los rectángulos, que los lados correspondientes de una figura sean proporcionales a los lados correspondientes de la otra para que las figuras sean semejantes? 1 Pinten del mismo color los rombos que parezcan, a simple vista, semejantes entre sí, es decir, que podrían ser fotografía uno del otro. Algunos se quedarán sin colorear

15 Digan si la siguiente oración es verdadera o falsa. Si consideran que es falsa, den un ejemplo que la contradiga. Si consideran que es verdadera, expliquen por qué. Los rombos, como los cuadrados, tienen sus cuatro lados iguales. Por lo tanto, cualquier rombo es semejante a otro. Falso. Los rombos que tengan lados iguales, pero ángulos diferentes, no son semejantes. Valoración del desempeño Define el concepto de semejanza en figuras geométricas. Distingue los conceptos de semejanza y congruencia. Identifica figuras congruentes y semejantes. Escriban a continuación qué condiciones deben cumplir dos rombos para que sean semejantes. Los cuatro lados de un rombo deben ser iguales y también sus ángulos. 2 Investiguen y comenten: Un cuadrado A mide 4 cm de lado y otro cuadrado A mide 8.3 cm de lado. Sí. Sus lados tienen una proporción de 2.075, y los ángulos son iguales. 3 Estos rombos tienen sus lados proporcionales, sin embargo, no son semejantes. Qué otra condición se requiere para que sean semejantes? Que los ángulos correspondientes sean iguales. 4 Investiga si todos los rombos que se construyen con un ángulo de 30 son semejantes. Anota tus conclusiones en tu cuaderno. 5 Comenten en el grupo las respuestas a estos ejercicios y lean la siguiente información. Dos figuras semejantes tienen exactamente la misma forma aunque su tamaño puede ser diferente, como si una fuera fotografía de la otra. Las figuras semejantes cumplen con dos condiciones: a) Sus lados correspondientes son proporcionales. b) Sus ángulos correspondientes son iguales Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y los lados

16 Sugerencias didácticas En esta lección se resalta la diferencia entre semejanza y congruencia. Todas las figuras congruentes son semejantes, pero esto no ocurre siempre al revés. Sólo dos figuras semejantes cuya proporcionalidad es uno son también congruentes. Le recomendamos dibujar una figura en una hoja de papel, y luego dibujar figuras semejantes y congruentes a ésta en acetatos. ostar a los alumnos la figura original, y luego uno de los acetatos. Los alumnos dirá si las figuras son semejantes o congruentes, y luego se colocará el acetato encima del papel para comprobar la respuesta. Se recomienda dibujar varias figuras, triángulos, cuadrados y otros poliedros, y ponerlas en diferentes posiciones para que los alumnos busquen los ángulos que son iguales. acer notar que todos los círculos son semejantes entre sí. Lección 30 Qué tiene en común y qué tienen de diferente dos figuras que son semejantes?; y dos que son congruentes? 1 A Paty le pidieron en su clase de matemáticas que hiciera un dibujo semejante al siguiente, pero cometió algunos errores. Encuéntralos y táchalos. 2 A Lilia le pidieron que hiciera una figura semejante a la roja e hizo la azul. Se equivocó Lilia? No. Argumenta tu respuesta. Los lados correspondientes tienen proporción 1 y los ángulos son iguales. Las figuras son semejantes y congruentes. 3 Contesta las siguientes preguntas. Si dos figuras son congruentes, también son semejantes? Sí. Argumenta tu respuesta. Porque tienen la misma forma, aunque la proporción es 1 a

17 Si dos figuras son semejantes, también son congruentes? Argumenta tu respuesta. sólo son figuras semejantes. 4 Investiga las medidas reales de una cancha de futbol o de basquetbol y traza en tu cuaderno una cancha semejante. Elige la razón de semejanza que más te convenga. Cuánto mide de largo la cancha? Cuánto mide de ancho? Qué razón de semejanza elegiste? Cuáles son las dimensiones de tu dibujo semejante? 5 Traza en tu cuaderno una figura semejante a la siguiente; la razón de semejanza debe ser 3 2. No. Sólo cuando la proporción entre los lados es 1, de otra manera, 15 m 28 m : 10 cm 10 cm x cm Valoración del desempeño Identifica figuras semejantes. Construye figuras semejantes dada una razón. Solucionario : 10 (cm) : cm cm 0.42 cm 0.64 cm 10 cm 1.28 cm diámetro 2.58 cm 6 El triángulo ABC es equilátero y mide x cm de lado. Se traza un triángulo semejante A B C cuyo lado mide 3 x cm. Contesta. 4 Cuál es la razón de semejanza que permite construir el triángulo A B C a partir del triángulo ABC? La razón de semejanza es 3_ 4 7 Compara tus respuestas con las de tus compañeros de grupo Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y los lados círculo central 3.6 cm de diámetro 1.20 m de la línea de fondo a la canasta línea de tiros libres a 5.8 m de la línea de fondo. El medio círculo tiene 1.8 m de diámetro la línea de 3 puntos se encuentra 7.25 m 5 6 cm 10.5 cm 12 cm 9 cm 83

18 Sugerencias didácticas En esta lección se estudia la semejanza de rectángulos. Se recomienda recalcar que el criterio de igualdad de ángulos no es suficiente para determinar la semejanza, ya que por definición todos los rectángulos tienen ángulos rectos. La proporción de los lados correspondientes entre dos rectángulos semejantes debe ser constante. Además, se mantiene la proporción entre los lados perpendiculares de rectángulo a rectángulo. Para contestar el ejercicio 5 se recomienda remarcar que todas las figuras en la cancha deben tener la misma proporción con respecto a las figuras originales, también en su posición. Preguntar a los alumnos si la figura de un rectángulo vista a través de una lupa es semejante al rectángulo, o si sufre deformaciones. Luego observar una pieza rectangular sumergida en un vaso de agua, y ver de nuevo si hay semejanza entre las figuras. Es importante mencionar si al reflejar el dibujo de un rectángulo en el espejo, se obtienen figuras congruentes o semejantes. Lección 31 Tendrán algo que ver la constante de proporcionalidad y las gráficas en el plano cartesiano con los rectángulos semejantes? 1 Observa cómo se trazó en el plano cartesiano el siguiente rectángulo: la base sobre el eje x la altura sobre el eje y. Tracen en el plano cartesiano otros rectángulos semejantes al que aparece, es decir, que conserven la misma razón entre la base y la altura, y que la base esté sobre el eje x y la altura sobre el eje y. Señalen con rojo, para cada rectángulo, el vértice opuesto al que quedó en el origen. Si lo hicieron bien, podrán trazar una línea recta que pase por todos los puntos rojos. Si no es así, revisen nuevamente su trabajo

19 arquen en rojo otro punto cualquiera en la recta y tracen el rectángulo correspondiente. Este rectángulo es semejante a los otros. Expliquen cómo se puede estar seguro de ello. Porque los lados tienen la misma proporcionalidad entre sí que los de los otros rectángulos por estar en la misma línea el vértice. En la siguiente tabla, anoten las medidas de la base y la altura de cada rectángulo. Observen que estas medidas corresponden a las coordenadas de los puntos rojos de la recta. Base (x) 3 Altura (y) 2 A B C D E F G Dado que los rectángulos son semejantes, la razón que guarda la base con respecto a la altura es siempre la misma, es decir, existe un número que, multiplicado por la base de cualquiera de esos rectángulos, arroja la medida de la altura. Cuál es ese número? Consideren la relación que a cada medida x de la base de un rectángulo le hace corresponder la medida y de su altura. Cuál es la expresión algebraica de esa relación? y ( 2_ 3) x 2_ 3 2 En grupo y con ayuda de su maestro, comparen sus respuestas. Enseguida lean la siguiente información. El número 2 3 que encontraron en la pregunta del inciso f tiene varios significados: Es la razón que guardan la base y la altura de todos los rectángulos semejantes. Es la constante de proporcionalidad de la relación que, a cada medida de la base, le asocia la altura correspondiente, en la familia de rectángulos. Es la pendiente de la ecuación de la recta a la que pertenecen los puntos rojos. 3 Realicen en su cuaderno lo siguiente Tracen un sistema de ejes cartesianos. Tracen un rectángulo con una base de 4 unidades sobre el eje x y una altura de 3 unidades sobre el eje y. Usen dicho plano para trazar al menos 5 rectángulos semejantes al anterior, es decir, que guarden la misma razón altura/base, y con base sobre el eje x y altura sobre el eje y. Escriban la expresión algebraica de la relación que, a cada medida de la base de un rectángulo de la familia, le asocia la medida de la altura Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y los lados Valoración del desempeño Identifica rectángulos semejantes y su razón de semejanza. Construye rectángulos semejantes con respecto a una razón de proporción. Solucionario y = 3_ 4 x

20 Sugerencias didácticas En esta lección se introducen los conceptos de condiciones necesarias y suficientes para la congruencia de dos triángulos. Ya habiendo revisado en lecciones anteriores la congruencia y semejanza de rectángulos y la congruencia de triángulos, el alumno debe identificar qué características son indispensables para que la semejanza exista, pero con cuáles basta y con cuáles no. Pueden escribirse en diferentes papeles algunas condiciones para que la semejanza entre dos triángulos exista; se pueden escribir varias condiciones en un solo papel. Estos papeles se doblarán y se echarán a una urna. Un alumno debe sacar un papel de la urna, y junto con otros dos alumnos, dibujar en el pizarrón triángulos que tengan esa condición. Los alumnos deben decir si esta condición es suficiente para que los triángulos sean semejantes o no, y revisar su respuesta con los dibujos hechos por sus compañeros; es decir, si todos los triángulos son semejantes o no. En los casos en que la condición no sea suficiente, pero que los triángulos dibujados por los alumnos sean semejantes, el maestro debe aclarar que puede existir otro triángulo que no sea semejante pero que cumpla con la condición. Solucionario Todos los triángulos son congruentes. 1 a) b) cm No. No todos los triángulos son congruentes. 8 cm 7 cm 8 cm Lección 32 Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que dos triángulos sean semejantes? 1 Lean la información y hagan lo que se indica. ay condiciones que son necesarias y suficientes para que algo suceda. Por ejemplo, una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea igual a otro es que tengan un lado igual y dos ángulos iguales. Cada uno construya un triángulo que tenga un lado de 4 cm, un ángulo de 80 y otro de 60. Comparen sus triángulos. Todos son congruentes? (Recuerda que congruentes significa: de exactamente la misma forma y las mismas medidas.) ay condiciones que son necesarias pero no suficientes para que algo suceda. Por ejemplo, tener dos lados iguales es una condición necesaria para que dos triángulos sean congruentes, pero no es suficiente. Los siguientes triángulos son congruentes. Comprueben que dos lados de uno miden lo mismo que dos lados del otro. 4 cm Ahora cada uno trace un triángulo que tenga un lado de 7 cm y otro de 8 cm. Comparen los triángulos que trazaron; son todos congruentes? Anoten un ejemplo de una condición que sea necesaria pero no suficiente para que dos rombos sean congruentes. Que dos lados adyacentes de ambos midan lo mismo Anoten un ejemplo de una condición que sea necesaria y suficiente para que dos cuadrados sean congruentes. Que los lados de ambos midan los mismo 3 cm 2 cm 2 cm 4 cm 2 Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. En cada caso comenten las condiciones necesarias y suficientes que se pidieron. 3 cm 86 7 cm 78 84

21 3 Consideren el triángulo siguiente. 5 cm 34º 45º C 7 cm B Cada uno construya un triángulo A B C semejante al triángulo ABC. En el cuadro siguiente se dan las cuatro condiciones que debe cumplir un triángulo para ser semejante a otro. Condición 1 Condición 2 Condición 3 Condición 4 A 101º Que el ángulo A sea igual al ángulo A. Que el ángulo B sea igual al ángulo B. Que el ángulo C sea igual al ángulo C. Que los lados del triángulo ABC sean proporcionales a los del triángulo A B C, es decir, que el número por el que se multiplica (o divide) la medida del lado AB para obtener la medida del lado A B, sea el mismo para los otros dos pares de lados (por ejemplo, si A B mide lo doble de AB, entonces B C debe medir lo doble de BC y A C lo doble de AC). Este número por el que se multiplica se llama razón de semejanza o, también, factor de escala. Juntos revisen los triángulos de cada uno. Vean si se cumplen las cuatro condiciones. Si detectan algún error, corríjanlo. Anoten bajo cada triángulo cuál es la razón de semejanza. 4 Una de las cuatro afirmaciones que se hacen abajo es falsa. Encuéntrenla y den un contraejemplo, es decir, dibujen dos triángulos que tengan lo que dice la afirmación y que sin embargo no sean semejantes. Para que dos triángulos sean semejantes basta con que se cumplan las condiciones 1, 2, y 3. Para que dos triángulos sean semejantes basta con que se cumplan las condiciones 2 y 3. Para que dos triángulos sean semejantes basta con que se cumpla la condición 1. Para que dos triángulos sean semejantes basta con que se cumpla la condición 4. 5 Comparen sus respuestas y redacten en su cuaderno cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que dos triángulos sean semejantes. 4 cm 2.4. Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles Valoración del desempeño Define las condiciones de semejanza entre dos triángulos. Distingue las condiciones necesarias y suficientes de los criterios de congruencia. Otros recursos En esta página de Internet, se muestra con animaciones el concepto de semejanza. El alumno puede modificar la medida de los lados de las figuras. Semejanza_aplicaciones/figuras_semejantes.htm Solucionario 3 a) _ = _ 5.2 A' 7 _ = 7_ 4 = _ = = 1.75 _ = 7_ 4 = 1.75 C' _ = 4_ 34 B' 45 5 = cm _ b) 6.5A' 9.1 = = 5_ A 7 = 0.71 se cumple la condición 1 B' = B se cumple la condición 2 C' = C se cumple la condición 3 b) A' Como A se cumple la condición 1 B' A'B' = = B (1.3) se cumple AB la condición 2 y C' B'C' = = C (1.3) se cumple BC se la cumple condición la condición 3 4 y Como C'A' = (1.3) CA A'B' (1.3) AB y B'C' = (1.3) BC se cumple la condición 4 y 4 C'A' Un contraejemplo = (1.3) CA serían 2 triángulos con un solo ángulo igual. 6.5 cm cm cm 4 Un contraejemplo 60 serían 2 triángulos con un solo ángulo igual Cumplen la 60 condición 1, pero 60 no son congruentes Cumplen la condición 1, pero no son congruentes 87

22 Sugerencias didácticas En esta lección se estudian más criterios de semejanza de triángulos, y se encuentran los valores de los ángulos o lados de los triángulos dados algunos datos, como son la proporción de semejanza, o la proporción de los lados de un triángulo comparada con otro triángulo, o alguno de sus ángulos o medidas de los lados. Un error frecuente es que los alumnos no siempre calculan la medida de los lados dada la proporción entre dos lados de manera correcta, por lo que se recomienda hacer notar que entre los lados de dos triángulos ABC y A'B'C', AB/A'B' no es la misma proporción que A'B'/AB. Los alumnos propondrán el valor de dos ángulos y un lado para construir un triángulo, pero que no necesariamente sea el lado entre los ángulos, y al construir triángulos con estos datos, ver cuáles son semejantes. acer lo mismo para dos lados y un ángulo, para tres ángulos y para tres lados. Otra sugerencia es realizar un juego de memoria, donde las tarjetas tengan triángulos dibujados, con algunos ángulos o valores de los lados, y que el alumno acierte al encontrar dos triángulos semejantes. Por ejemplo, poner en dos tarjetas dos triángulos congruentes, donde en uno de los triángulos los datos sean dos ángulos y el lado entre ellos, y en el otro, sean también los mismos ángulos, pero el lado entre ellos con una proporción de ½. Se recomienda utilizar todos los criterios de semejanza y congruencia en las tarjetas, y hacer algunos pares de tarjetas muy parecidos para que los alumnos pongan especial atención en distinguir los triángulos que son semejantes de los que no lo son. Lección 33 En segundo grado aprendiste los criterios de congruencia de triángulos; en esta lección aprenderás los criterios de semejanza de triángulos. 1 En la tabla se dan las medidas del triángulo 1 que aparece dibujado y también algunas medidas de otros triángulos. Con las medidas que se dan en cada renglón, traten de construir un triángulo que NO sea semejante al triángulo 1. En la última columna anoten Sí o No para indicar si fue posible construir el triángulo que NO sea semejante. C Triángulo 1 b Lado (cm) Ángulo Triángulo a b c A B C Fue posible construir un triángulo que no º 45º 101º fuera semejante al triángulo 1? º 45º 101º No º 45º 101º No º Sí º 55º 91º Sí º 106º Sí º 45º 101º No º 45º 101º No 2 Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Lean y comenten la siguiente información. Para tener la certeza de que dos figuras son semejantes es necesario que cumplan dos condiciones: a) lados correspondientes proporcionales y b) ángulos correspondientes iguales. Por ejemplo, no todos los rectángulos son semejantes pues todos cumplen con lo que dice el inciso b pero no necesariamente cumplen con el inciso a. No todos los rombos son semejantes porque cumplen el inciso a pero no cumplen con b. En el caso de los triángulos basta con que sepamos que cumplen algunos de los siguientes criterios: 1. Que los tres lados de uno sean proporcionales a los tres lados del otro. O bien, 2. Que dos ángulos de uno de ellos sean iguales a dos ángulos del otro. O bien, 3. Que dos lados de uno sean proporcionales a dos lados del otro y el ángulo comprendido entre estos lados sea igual. Estos tres grupos de condiciones se llaman criterios de semejanza de triángulos. c A a B

23 3 4 Compartan con otros compañeros sus respuestas y conclusiones. En grupo discutan si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas; en caso de que consideren que son falsas den un ejemplo que lo demuestre Afirmación Si dos triángulos tienen iguales sus tres ángulos, entonces los triángulos son semejantes. Si dos triángulos rectángulos tienen igual uno de los ángulos agudos, los triángulos son semejantes. Todos los triángulos rectángulos son semejantes. Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes. Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Si se traza la altura correspondiente al lado mayor de un triángulo rectángulo, los dos triángulos interiores que se forman son semejantes entre sí y también semejantes al triángulo original. Falsa o verdadera? Los siguientes triángulos son semejantes. Sin medir, calcula y anota las medidas de: BC 9 cm A C = 4 cm B = 61º A = 78º B 61º C = 41º B 6 cm 5 Comparen sus resultados y la manera como llegaron a ellos. A 78 A Verdadera Verdadera 8 cm 3 cm B 4.5 cm C Falsa. Los triángulos con ángulos (90º, 45º, 45º) y (90º, 60º, 30º) Verdadera Verdadera Verdadera 41 C 2.4. Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles Valoración del desempeño Identifica si dos triángulos son semejantes o no, o si puede saberse. Construye un triángulo semejante a otro dado, al conocer la razón de semejanza. Otros recursos Se recomienda visitar la siguiente página de Internet, para revisar el concepto de semejanza, y algunos ejemplos. IIICiclo/NivelIX/ConceptodeSemejanza/SemejanzadeTriangulos.htm Solucionario 5 Como los triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes son iguales, es decir, <A' = <A, <B' = <B y <C' = <C La proporción entre lados correspondientes es la misma, así: _ AB = AC_ = BC_ A'C' A'C' B'C' La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º 89

24 Sugerencias didácticas En esta lección se estudia la semejanza de triángulos, cuando se corta un triángulo con una o varias líneas paralelas a cualquiera de sus lados. Es necesario un repaso de las propiedades de los ángulos que se forman al cortar dos líneas paralelas con cualquier otra línea. También puede ser útil que los alumnos lleven sus escuadras y transportador, para que tracen líneas paralelas con las escuadras, y luego que midan los ángulos formados con el transportador para que comprueben las respuestas. Construir un compás de escala como en el ejercicio 5, con dos palitos de paleta y una tachuela. Copiar un dibujo sencillo a escala con ayuda de este instrumento. Un dibujo sencillo puede ser una colección de figuras geométricas como rectángulos, triángulos y cuadrados, que formen alguna figura. Cortar un triángulo con líneas paralelas, que no sean paralelas a alguno de sus lados, y analizar la figura. Decir si pueden encontrarse triángulos congruentes en la nueva figura, y si pueden conocerse los valores de sus ángulos y lados a partir del ángulo original. Lección Cuando trazas una paralela a uno de los lados de un triángulo y esta paralela corta a los otros dos lados se forma un nuevo triángulo, cómo es este triángulo con respecto al triángulo original? Considera el triángulo siguiente para hacer lo que se indica. Ubica un punto sobre el lado AB y llámalo P. Traza una paralela a BC que pase por P. La paralela que trazaste corta al lado AC en un punto, nómbralo Q. Son semejantes los triángulos APQ y ABC? Sí Argumenta tu respuesta (pista: recuerda las propiedades de los ángulos que se forman en un sistema de paralelas). Comparten el ángulo <A, por las propiedades de los ángulos entre líneas paralelas, <Q = <C y <P = <B. Como tienen 3 ángulos iguales, los triángulos son semejantes. Comparen sus argumentos del inciso d. A P B Q C 3 Calcula lo que se pide en cada figura. N es paralela a PQ. PQ 50 cm N 30 cm PR 60 cm NR 35 cm Cuánto mide R? 36 Cuánto mide QR? P Q N R AB es paralela a DE AC = 15 cm CE = 10 cm BC = 16 cm DE = 11 cm AB = 16.5 CD = A B C D E

25 4 5 6 Considera que las rectas rojas son paralelas. Explora si los triángulos que se forman son semejantes siempre, sólo a veces o nunca. Anota tus conclusiones y tus argumentos. tienen los mismos ángulos correspondientes. Lee la información y contesta. Compás de escala. Un compás de escala es un instrumento que sirve para reducir o amplificar figuras a una escala dada. Puede construirse con dos palos del mismo tamaño que terminen en punta de ambos lados; se sujetan en el punto C como muestra la figura, cuidando que se cumplan las igualdades AC BC, CA CB, y de tal manera que pueda abrirse y cerrarse. La construcción de este compás es una aplicación de la semejanza de triángulos. Cuáles son los triángulos semejantes? Por qué se sabe que son semejantes? Son triángulos isósceles, entonces sus lados tienen la misma proporción, y los ángulos opuestos (ACB y B'CA') son iguales. Se construye el compás con dos palos que midan 15 cm y sujetados de tal forma que AC BC 5 cm y CB CA 10 cm. i) Cuando este compás se abra de tal manera que AB mida un segmento de 8 cm, cuánto se abrirá el compás en la parte de A B? ii) Y si A B se abre a 20 cm, cuánto se abre AB? iii) Y si AB mide x cm, cuánto mide A B? 16 cm iv) Cuáles razones de semejanza se usan en este compás? 3 ángulos iguales (propiedades de las paralelas). Se desea construir un compás de escala que haga ampliaciones 3 a 1 o reducciones 1 a 3. Anota una posible medida para los palos y dónde deben unirse (punto C). Comenta tus respuestas con tus compañeros y lean la siguiente información: Toda paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos lados o a su prolongación, determina un segundo triángulo semejante al primero. 2x A B 10 cm Palos de 20 cm, unidos en C a 5 cm de un extremo. Siempre son semejantes, porque los triángulos ABC con A' B'C C B A 2.4. Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles Valoración del desempeño Define la escala a la que se encuentran dos figuras de la misma forma. Identifica triángulos semejantes y su proporción cuando un triángulo es cortado por líneas paralelas a uno de sus lados. Explica el funcionamiento de un compás de escala, y utilizarlo para ampliar o reducir una imagen sencilla. Otros recursos Para un repaso de las líneas paralelas cortadas por una recta, y la relación entre sus ángulos, se recomienda visitar la siguiente página. paralelas_fmh/angulos_paralelas.htm 91