ELEMENTOS ESTRUCTURALES: 1.1. CARÁTULA

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1 GUÍA DIDÁCTICA ELEMENTOS ESTRUCTURALES: 1.1. CARÁTULA 1.2. INTRODUCCIÓN CARACTERIZACION DE LA ASIGNATURA IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS 1.3. PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA 1.4. PROGRAMACIÓN DE UNIDADES 1.5. BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA 1.6. ÍNDICE DE CONTENIDOS 1.7. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL PRIMER HEMISEMESTRE 1.8. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL SEGUNDO HEMISEMESTRE

2 CARATULA Regresar UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA Eje de formación: PROFESIONAL A S I G N A T U R A INVESTIGACIÓN OPERATIVA II No. de Créditos: 4 Semestre: SEXTO CA Paralelo: Profesor: Dra. Mayra Alexandra Córdova Alarcón Ing. Víctor Marcelo Merino Castillo Semestre: Septiembre 2015 Marzo 2016

3 INTRODUCCIÓN. Regresar CARACTERIZACIÓN DE LA MATERIA. Una de las características de un Administrador y/o de un Auditor es saber tomar las decisiones más adecuadas, optimizando sus recursos, la asignatura denominada Investigación Operativa le enseñará esto, mediante la utilización de modelos matemáticos. La Investigación de Operaciones se desarrolló con fuerza al comienzo de la Segunda Guerra Mundial con el fin de lograr una administración eficiente de los recursos que poseían cada una de las potencias industriales y manufactureras. Son técnicas o métodos cuantitativos que nos ayudan a implantar modelos de procesos de la empresa para tomar la mejor decisión, este es un trabajo que regularmente se lo debe realizar por un grupo multidisciplinario que se puedan plantear los modelos más cercanos a la realidad y analizar los resultados. Es una ciencia, porque se basa en técnicas y modelos matemáticos para tomar una decisión y un arte porque nos incentiva a desarrollar modelos de manera creativa.

4 IMPORTANCIA PARA LA FORMACIÓN DEL PROFESIONAL. Regresar En la actualidad con el despunte de la nueva tecnología y de técnicas modernas, la Investigación Operativa es automatizada, es decir, la misma se ha vuelto computarizada, para poder optimizar del tiempo de resolución de los modelos matemáticos cuantitativos, para lo cual se dispone de un sinnúmero de software con este objetivo, pero que no le servirán si Ud. no tiene claros los conceptos, su aplicación y su interpretación. Toda empresa grande o mediana, aplican muchísimo y con excelentes resultados los métodos de la Investigación Operativa, puesto que ha contribuido eficazmente a optimizar una gran parte de sus objetivos. La Investigación Operativa no toma decisiones por si misma, su función es la de asesorar y apoyar a quien o quienes deciden, determinando las diversas situaciones que se presentan en la marcha de las organizaciones.

5 1.2.3 RELACIONES CON OTRAS MATERIAS DEL PLAN DE ESTUDIOS. Regresar Es una ciencia interdisciplinaria: reconoce que la mayor parte de los problemas de negocios tienen aspectos contables, biológicos, económicos, matemáticos, físicos, psicológicos, sociológicos, estadísticos y de ingeniería.

6 PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA. Regresar Nombre de la Asignatura: INVESTIGACIÓN OPERATIVA II Competencia de la Asignatura: Resolver problemas formulados como modelos matemáticos cuantitativos aplicados a diferentes situaciones empresariales ya sea de producción o de servicios y en empresas públicas y/o privadas. COMPETENCIAS Resolver modelos de Programación Lineal básicos con dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de optimizar sus recursos. Resolver modelos de Programación Lineal complejos con más de dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de optimizar sus recursos. Resolver problemas de transportes y asignación, aplicados a empresas públicas y privadas con diferentes tipos de servicios con el fin de optimizar sus recursos. Resolver modelos de Líneas de Espera complejos con más de dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de optimizar sus recursos. UNIDADES UNIDAD No. 1: MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES DE DECISIÓN UNIDAD No. 2: MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON MÁS DE DOS VARIABLES DE DECISIÓN. UNIDAD No. 3: MODELOS DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN. UNIDAD No. 4: MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA.

7 BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA Regresar BIBLIOGRAFÍA BÁSICA RODRÍGUEZ ACOSTA, Segundo. Enseñanza Aprendizaje de la Investigación Operativa Volumen 2. Primera Edición. Impresores MYL p BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA 1. RODRÍGUEZ ACOSTA, Segundo. Enseñanza Aprendizaje de la Investigación Operativa Volumen 1. Primera Edición. Impresores MYL p 2. ANDERSON, David. SWEENEY, Dennis. WILLIAMS, Thomas. Métodos Cuantitativos Para los Negocios. Novena Edición. Internacional Thomson Editores p. 3. RENDER, Barry, STAIR, Ralph M., HANNA Michael E., Métodos cuantitativos para los Negocios. Novena Edición. Pearson, Prentice Hall p. 4. HILLIER, Frederick. HILLIER, Mark. LIEBERMAN, Gerald. Métodos cuantitativos para administración. Primera Edición. McGraw-Hill Interamericana p 5. BONINI, Charles. HAUSMAN, Warren. BIERMAN, Harold. Análisis Cuantitativo Para los Negocios. Novena Edición. McGraw-Hill Interamericana p. 6. TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones, una introducción. Sexta Edición. Prentice Hall p. 7. EPPEN, GOULD, SCHMIDT, MOORE y WEATHERFORD. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Quinta Edición. Prentice - Hall Hispanoamericana S.A p. NETGRAFÍA 1. Programación Lineal 2. Líneas de espera

8 TABLA DE CONTENIDOS UNIDAD 2 PROGRAMACIÓN LINEAL 2 COMPETENCIA ESPECÍFICA 2 OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA 2 CONTENIDO 2 EXPLICACIÓN 3 Problemas Resueltos 5 UNIDAD 2 15 MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON MAS DE DOS VARIABLES 15 COMPETENCIA ESPECÍFICA 15 OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA 15 CONTENIDO 15 EXPLICACIÓN 16 EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL PRIMER HEMISEMESTRE 23 UNIDAD 3 24 MODELOS DE TRANSPORTE 24 COMPETENCIA ESPECÍFICA 24 OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA 24 CONTENIDO 24 EXPLICACIÓN 25 Problemas Resueltos 25 UNIDAD 4 30 MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA O TEORÍA DE COLAS 30 COMPETENCIA ESPECÍFICA 30 OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA 30 CONTENIDO 30 EXPLICACIÓN 31 AUTOEVALUACIÓN 32 EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL SEGUNDO HEMISEMESTRE 38

9 UNIDAD Nº 1 PROGRAMACIÓN LINEAL COMPETENCIA ESPECÍFICA El estudiante estará en capacidad de resolver modelos de Programación Lineal básicos con dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de optimizar sus recursos. OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA Resolver modelos de Programación Lineal básicos con dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de optimizar sus recursos. CONTENIDO BASES TEÓRICAS. PLANTEAMIENTO DE MODELOS CON DOS VARIABLES DE DECISIÓN. RESOLUCIÓN DE MODELOS POR EL MÉTODO GRAFICO. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. 2

10 EXPLICACIÓN Capítulo 1: Programación Lineal: páginas 11 a 127 En este Capítulo se presenta el desarrollo teórico práctico de los modelos de Programación Lineal (PL). Con conceptos Básicos se detalla la utilidad de este tema y por medio de ejemplos nos enseña a formular problemas y el beneficio que han obtenido muchas empresas al saber utilizar este tipo de modelos. Es Programación, pues se decidirán valores de las variables de un modelo para optimizar la función objetivo o de desempeño; y, es Lineal, pues todas las ecuaciones e inecuaciones que intervienen en la misma son Funciones Lineales y de primer grado; usted nunca encontrará en estos problemas variables al cuadrado, cubo, raíz cuadrada, etc. Entre las funciones objetivo que podemos optimizar tenemos: maximizar las utilidades o ganancias, los ingresos o la utilización de materia prima, etc. también se puede minimizar los costos, el desperdicio de un proceso o el impacto ambiental, etc. Para la formulación o planteamiento de los modelos matemáticos de cualquier problema de Programación Lineal, debe considerarse paso a paso las condiciones básicas antes descritas y a su vez las recomendaciones siguientes: Recomendaciones: 1.- Tabular preferiblemente en forma matricial, todos los datos que da el problema de manera que se entienda a donde se quiere llegar, identificando claramente: el objetivo de problema cuántas y cuáles son las variables de decisión, y cuántos y cuáles son los recursos y limitaciones, sus unidades. 3

11 Es recomendable (no una regla), por facilidad de planteamiento y de análisis, tabular el resumen de datos del problema en forma matricial, es decir, ubicando en las columnas las variables y en las filas los recursos y/o limitaciones, y el resto de información, como utilidades, costos, precios de venta, disponibilidad de recursos, etc., en las filas o columnas correspondientes. 2.- Definir claramente las variables de decisión: que es lo que busca el problema, que es lo que se quiere determinar, que es lo que se va a producir, etc., considerando sus unidades de medida por unidad de tiempo: Kg/mes, unidades/sem, horas/mes, artículos/día, etc. 3.- Plantear la Función Objetivo como ecuación, que en general busca uno de dos extremos o Maximizar o Minimizar. 4.- Plantear el sistema de restricciones (ecuaciones y/o inecuaciones) correspondientes a cada recurso con la identificación respectiva; una forma de comprobarse es realizando la igualdad de unidades: horas/mes = horas/mes. (debe asegurarse de plantear una función lineal por cada restricción y/o recurso) Existen varios métodos para resolver un problema de PL, pero los más utilizados en la actualidad son: Método Gráfico, Uso de diferentes Software (programas de computación) La Solución Gráfica o Método Gráfico tiene como principal limitante que no se puede resolver modelos de PL con más de DOS variables, pues en un plano cartesiano solo tiene dos ejes. 4

12 Problemas Resueltos Problema 1 La siguiente tabla resume los factores clave acerca de dos productos A y B, y los recursos Q, R y S, requeridos para producirlos. Usos de recursos por unidad producida Recurso Producto A Producto B Cantidad disponible de recurso Q R S Utilidad $3.000 $2.000 Se cumplen todas las suposiciones de programación lineal. a. Formule en forma algebraica este mismo problema. Debe quedar claro que uno de los puntos más importantes es definir las variables y la función objetivo. Para lo cual se le recomienda que lea detenidamente el enunciado las veces que sean necesarias hasta entenderlo. En este tipo de problemas, un error muy frecuente es que se defina como variable a los recursos, sin tomar en cuenta que lo que le debe interesar es cuántas unidades de cada producto (en este cado denominados X, Y) se tiene que fabricar, para obtener la máxima ganancia que es el objetivo de este problema. Por lo tanto el Modelo de Programación Lineal sería: X = Número de unidades del Producto A Y = Número de unidades del Producto B Función Objetivo : Maximizar Ganancia = 3,000 X + 2,000 Y Sujeta a: Rec. Q: 2 X + Y < 2 Rec. R: X + 2Y < 2 Rec. S: 3 X + 3Y < 4 X > 0 Y > 0 a. Use el método gráfico para resolver este modelo: para lo cual se debe realizar los cuadro de valores de cada restricción, graficar y determinar el polígono o región factible de solución: 5

13 Restrricción - 1 Restrricción - 2 Restrricción - 3 X Y X Y X Y A B C Resultados del polígono de solución: X Y GANANCIA VERTICES A 0 1 2,000 B 2/3 2/3 3, C 1 0 3,000 Punto Optimo : X = Y = GANANCIA = $3, c.- Formule un modelo de programación lineal para este problema en una hoja de cálculo y use Excel Solver para resolver este problema. Luego de seguir las indicaciones del Texto guía para utilizar esta función y las formulas respectivas, el modelo en hoja de cálculo y su solución quedaría de esta manera: Uso de recursos por unidad producida Cantidad disponible Recurso Producto A Producto B de recursos Q < 2 R < 2 S < 4 Ganancia $3.000 $ ,33 Solución 0,6667 0,6667 Problema 2 6

14 A Ralph Edmund le encanta el filete con papas. Así que decide ponerse a una dieta consistente sólo en estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos vitamínicos) en todas sus comidas. Ralph se percata de que no es la dieta más sana, de modo que quiere comer las cantidades correctas de los 2 alimentos para satisfacer algunos requerimientos nutricionales clave. Consiguió la siguiente información nutricional y de costos. Gramos por ingrediente por ración Ingrediente Filete Papas Requerimientos diarios (gramos) Carbohidratos Proteína Grasa Costo por ración $4 $2 Ralph desea determinar el número de raciones diarias (pueden ser fraccionales) de filetes y papas que cubrirán estos requerimientos a un costo mínimo. Identifique en forma verbal las decisiones a tomar, las restricciones sobre estas decisiones y la medida de desempeño global para las decisiones. Las decisiones a tomar son las raciones diarias de filete y de papas Las restricciones son los requerimientos diarios de carbohidratos, proteínas y grasa La medida de desempeño global es minimizar el costo Convierta estas descripciones verbales de las restricciones y la medida de desempeño en expresiones cuantitativas en términos de los datos y las decisiones. Minimizar Costo = 4 ($/rac. filete)*(# de raciones de filete) + 2($/rac. papas)* (# de raciones de papas) 1. Carbohidratos: 5 (gr/rac. filete)*(# de raciones de filete) + 15 (gr/rac. papas)* (# de raciones de papas) Proteínas: 20 (gr/rac. filete)*(# de raciones de filete) + 5 (gr/rac. papas)* (# de raciones de papas) 40 7

15 3. Grasas: 15 (gr/rac. filete)*(# de raciones de filete) + 2 (gr/rac. # de raciones de papas 0 a. Formule este mismo problema en forma algebraica. X 1 = Número de raciones de filete X 2 = Número de raciones de papas Minimizar Costo = 4X 1 + 2X Carbohidratos: 5 X X 2 > Proteínas: 20 X 1 + 5X 2 > Grasas: 15 X 1 + 2X 2 < 60 X 1 > 0 y X 2 > 0 b. Formule y resuelva un modelo de programación lineal para este problema en una hoja de cálculo y utilice la función Solver de Excel: Requerimientos Ingrediente Filete Papas diarios (gramos) Carbohidratos > 50 Proteína > 40 Grasa < 60 Costo por ración Solución Solución óptima : X1 = 1,27 raciones de filete X2 = 2,91 raciones de papas Costo Mínimo = 10,91 Dólares c. Use el método gráfico para resolver este problema: para lo cual se debe realizar los cuadro de valores de cada restricción, graficar y determinar el polígono o región factible de solución: Restrricción - Restrricción - Restrricción - 3 8

16 1 2 X1 X X1 X X1 X A D C B Resultados del polígono de solución: VERTICES X 1 X 2 GANANCIA A B C D Solución óptima : X1 = 1.3 raciones de filete X2 = 2.9 raciones de papas Costo Mínimo = 10,91 Dólares NOTA: Recuerde que son soluciones matemáticas, puesto que en la realidad se deberá proponer soluciones con números enteros. Problema 3 9

17 A continuación presentamos la solución del Texto Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida, de HAEUSSLER y PAUL que desde la sección 7.9 página 364 Utilidad J. Smith, quien opera desde un puesto de pago por teléfono, vende dos tipos de dispositivos electrónicos, Zeta y Gamma. Estos dispositivos son construidos para Smith por tres amigos A, B, C; cada quien debe hacer parte del trabajo en cada dispositivo. El tiempo que cada uno invierte en la fabricación de cada dispositivo se da en la tabla siguiente: Amigo A Amigo B Amigo C Zeta 2 horas 1 hora 1 hora Gamma 1 hora 1 hora 3 horas Los amigos de Smith tienen otro trabajo que hacer, pero determinan que cada mes pueden invertir hasta 70, 50 y 90 horas, respectivamente, para trabajar en los productos de Smith. Éste obtiene una utilidad de $5 en cada dispositivo Zeta y $7 en cada dispositivo Gamma. Cuántos dispositivos de cada tipo debe construir Smith cada mes para maximizar la utilidad y cuál será esta utilidad máxima? El modelo algebraico de programación lineal sería: X 1 = Número de unidades del dispositivo Zeta que se debe construir X 2 = Número de unidades del dispositivo Gamma que se debe construir F. Objetivo: Maximizar Utilidad = 5X 1 + 7X 2 Sujeto a: Amigo A: 2X 1 + X 2 70 Amigo B: X 1 + X 2 50 Amigo C: X 1 + 3X 2 90 X 1 0; X 2 0 La solución por el método gráfico será: Restrricción - 1 Restrricción - 2 Restrricción

18 X1 X X1 X X1 X Problema 4 Resultados del polígono de solución: VERTICES X 1 X 2 GANANCIA A B C La solución óptima factible (matemática) será: X 1 = unidades Zeta = 24 X 2 = unidades Gamma = 22 La utilidad máxima = $274 Petrocomercial compra 2 tipos de petróleo crudo ligero y pesado a un precio de $25 el barril de petróleo ligero y el petróleo pesado a $22 el barril, cada uno de los barriles de petróleo ligero y pesado al ser refinado produce 3 productos: GASOLINA, TURBOSINA Y KEROSENE y de acuerdo con las proporciones indicadas en la siguiente tabla (barril de producto por barril de crudo): 11

19 Gasolina Turbosina Kerosene Petróleo Ligero 0,45 0,18 0,30 Petróleo Pesado 0,35 0,36 0,20 Petrocomercial entrega mensualmente 1 260,000 barriles de gasolina, 900,000 barriles de turbosina y 300,000 barriles de kerosene. Formular el modelo necesario para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo ligero y pesado por comprar para minimizar el costo total. Como primer punto tenemos que identificar las variables de decisión, que en este caso son los dos tipos de petróleo: X 1 : X 2 : Número Barriles de petróleo Ligero Número Barriles de petróleo Pesado Identificación de la función objetivo: Mínimo Costo = 25X X 2 El tercer paso es la identificación de las restricciones: Gasolina: 0,45 * (bar. ligero) + 0,35*(bar. pesado) 1 260,000 bar. Turbosina: 0,18 * (bar. ligero) + 0,36 * (bar. pesado) 900,000 bar. Kerosene: 0,30 * (bar. ligero) + 0,20* (bar. pesado) 300,000 bar. Una vez identificadas la función objetivo, las variables de decisión y las restricciones podemos establecer el modelo matemático. Minimo Costo = 25X X Gasolina: 0,45 X 1 + 0,35 X Turbosina: 0,18 X 1 + 0,36 X Kerosene: 0,30 X 1 + 0,20 X

20 X 1 0; X 2 0 Método Gráfico: Restrricción - 1 Restrricción - 2 Restrricción - 3 X1 X2 X1 X2 X1 X2 0 3,600,0000 2,500,0000 1,500,000 2,800,000 5,000, ,000, C B A Resultados del polígono de solución: VERTICES X 1 X 2 GANANCIA A B C Podemos observar que las cantidades que se deben utilizar de cada tipo de petróleo ligero y pesado son de: 1 400,000 barriles de petróleo ligero. 13

21 1 800,000 barriles de petróleo pesado. Con un Costo Mínimo de $ ,000 14

22 UNIDAD 2 Regresar MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON MAS DE DOS VARIABLES COMPETENCIA ESPECÍFICA El estudiante estará en capacidad de modelos de Programación Lineal complejos con más de dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de optimizar sus recursos OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA Resolver modelos de Programación Lineal complejos con más de dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de optimizar sus recursos. CONTENIDO Planteamiento de modelos con MÁS DE dos variables de decisión. Diferentes Aplicaciones Prácticas Resolución de modelos: USO DE SOFTWARE Y LA FUNCIÓN SOLVER. Interpretación de resultados Análisis de Sensibilidad 15

23 EXPLICACIÓN Programación Lineal : Análisis de Sensibilidad e Interpretación de la solución. En el siguiente capítulo se desarrolla la Programación Lineal: Formulación y Aplicaciones, en el cual los modelos tendrán más de dos variables y su función objetivo será tanto de maximización como de minimización. Los problemas con mayor número de variables regularmente son más apegados a la realidad, razón por la cual en la actualidad sólo son resueltos por medio de programas de computación. Se le recomienda que resuelva los modelos de DOS VARIABLES mediante el METODO GRÁFICO, y los de TRES O MAS VARIABLES mediante la aplicación del programa SOLVER del Excel u otros software disponibles en el mercado como el TORA, LINDO, QSB, etc. También se estudia el Análisis de qué pasa si para la Programación lineal lo que implica realmente un análisis de sensibilidad de las restricciones. Es muy importante este tema puesto que las condiciones de los negocios son cambiantes y con este análisis se pueden encontrar el Precio Sombra que es la utilidad o la pérdida que tendrá la empresa si cambia una de las restricciones del modelo. Para esto es importante en primer lugar determinar si los recursos son Agotados o Abundantes con la implementación del plan óptimo de solución. El análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo, nos ayuda a reaccionar rápidamente a la variación de la función objetivo analizada, por ejemplo cambios de la utilidad unitaria o del costo unitario de una de nuestras variables, nos obligarán a revisar la decisión tomada ratificando la misma o tomando otra. Es de suma importancia que usted analice los problemas desarrollados y luego los plantee y resuelva. Existen algunos de los problemas propuestos que están resueltos al final del libro y en el CD que viene con el mismo, le recomendamos que los revise y analice detenidamente, estos nos servirán de auto evaluación, aunque cabe anotar que existe algún error de impresión en la solución de alguno de ellos. 16

24 Problema 1 De los problemas propuestos de otros autores Para satisfacer las necesidades de vitaminas, un hombre va a comprar 100 píldoras que deben contener al menos 750 unidades de B1, 600 unidades de B2 y 280 unidades de B6. Compra a $0.5 las píldoras del tipo-i que contiene 10 unidades de B1, 5 unidades de B2 y 3 de B6; compra a $0.6 las píldoras del tipo-ii que contienen 12 unidades de B1, 2 de B2 y 11 de B6 y a $0.4 las píldoras del tipo-iii que contienen 6 unidades de B1, 7 de B2 y 2 de B6. Cuántas píldoras de cada tipo debe consumir para satisfacer sus necesidades a un mínimo costo? a.- Formule el modelo algebraico y resuelva en una hoja de cálculo para este problema. b.- Use Excel Solver para obtener el intervalo de optimalidad para cada costo unitario. RESUMEN DE DATOS: NOMBRE RESTRICC PILD. TIPO-I PILD. TIPO-II PILD. TIPO-III NECESIDADES MINIMAS 1.- VITAMINA - B1 (unid.) VITAMINA - B2 (unid) VITAMINA - B6 (unid.) REQUER. PILDORAS costos unitarios ($/pild.) MODELO ALGEBRAICO: - Definición de variables: X1 = cantidad de píldoras tipo-i que debe comprarse X2 = cantidad de píldoras tipo-ii que debe comprarse X3 = cantidad de píldoras tipo-iii que debe comprarse - Función Objetivo: MIN. COSTO = 0.5X X X3 - Restricciones: 1.- Vitamina B1: 10X1 + 12X2 + 6X Vitamina B2: 5X1 + 2X2 + 7X Vitamina B6: 3X1 + 11X2 + 2X

25 4.- Req. Píldor.: X1 + X2 + X3 = 100 X1, X2, X3 0 RESOLUCIÓN EN SOLVER DE EXCEL: NOMBRE RESTRICC PILD. TIPO-I PILD. TIPO-II PILD. TIPO-III UNID. UTILIZ. UNID. DISPON 1.- VITAMINA - B1 (unid.) VITAMINA - B2 (unid) VITAMINA - B6 (unid.) REQUER. PILDORAS = = costos unitarios ($/pild.) SOLUCION OPTIMA: RESULTADOS DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD: Celdas cambiantes Disminución Valor Gradiente Coeficiente Aumento Celda Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible $B$19 SOLUCION OPTIMA: PILD. TIPO-I $C$19 SOLUCION OPTIMA: PILD. TIPO-II $D$19 SOLUCION OPTIMA: PILD. TIPO-III Restricciones Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Celda Nombre Igual precio lado derecho permisible permisible $F$14 UNID. UTILIZ $F$15 UNID. UTILIZ E+30 $F$16 UNID. UTILIZ $F$17 # NOMBRE? Problema 2 Considere un problema de asignación de recursos con la siguiente tabla de parámetros: Recursos Uso de recursos por unidad de cada actividad Cantidad de recursos 1 2 disponible

26 Ganancia unitaria ($) 1 2 El objetivo es determinar el número de unidades de cada actividad que maximiza la ganancia total. a) Método gráfico FO: Ganancia Total MAXIMIZAR Variables: x 1 = número de unidades de actividad 1 x 2 = número de unidades de actividad 2 FO: U = x x 2 x x 2 8 x 1 + x 2 4 x 1, x 2 0 MAXIMIZAR La solución óptima es realizar 2 unidades de la actividad 1 y 2 unidades de la actividad 2 para obtener una utilidad máxima de $ 6. 19

27 b) Use el análisis gráfico para determinar el precio sombra de cada recurso resolviendo de nuevo después de aumentar en 1 cada recurso disponible El precio sombra para el recurso 1 es $ 0.50, es decir que por cada unidad de recurso uno que aumente o disminuya la ganancia total aumenta o disminuye en $0.50. Precio sombra del recurso 2 20

28 El precio sombra para el recurso disponible 2 es $ 0.50, es decir que por cada unidad de recurso 2 que aumente o disminuya la ganancia total aumenta o disminuye en $0.50. c) Programación Lineal con Solver x1 x2 Disponible Recurso ,00 < 8 Recurso ,00 < 4 Ganancia 1 2 6,00 máximo Unitaria Variables 2,00 2,00 La solución óptima es realizar 2 unidades de la actividad 1 y 2 unidades de la actividad 2 para obtener una utilidad máxima de $ 6 (igual que en el método gráfico) Precio sombra del recurso 1 x1 x2 Disponible Recurso ,00 < 9 Recurso ,00 < 4 Ganancia 1 2 6,50 máximo Unitaria Variables 1,50 2,50 El precio sombra para el recurso disponible 1 es $ 0.50, es decir que por cada unidad de recurso 1 que aumente o disminuya la ganancia total aumenta o disminuye en $0.50. Precio sombra del recurso 2 x1 x2 Disponible Recurso ,00 < 8 Recurso ,00 < 5 Ganancia Unitaria 1 2 6,50 máximo Variables 3,50 1,50 El precio sombra para el recurso disponible 2 es $ 0.50, es decir que por cada unidad de recurso uno que aumente o disminuya la ganancia total aumenta o disminuye en $

29 d) Use solver para obtener el precio sombra Microsoft Excel 10.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Ejercicio 4.11.xls]Hoja1 Informe creado: 01/05/ :50:45 Celdas cambiantes Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Celda Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible $B$3 Variables x1 2,00 0, , $C$3 Variables x2 2,00 0, Restricciones Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Celda Nombre Igual precio lado derecho permisible permisible $D$6 Recurso 1 $D$7 Recurso 2 8,00 0, ,00 0, , El informe muestra que cuando tanto, el recurso uno como el 2 aumentan en una unidad, la ganancia total aumenta o disminuye en $0.50, respectivamente. e) Los precios sombra son útiles por que muestran como se ve afectada la ganancia cuando los recursos disponibles aumentan o disminuyen, lo que permite decidir que recurso aumentar para que la utilidad aumente, o que recurso disminuir para que se vea menos afectada. 22

30 EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL PRIMER HEMISEMESTRE Regresar A continuación se indicará el Capítulo, la o las páginas y los problemas a realizar. Del Capítulo 1, resuelva los problemas: 2, 14, 19, 23, 25, 31, 46, 51, 55, 60, 61, 70. NOTA LOS PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 1 SE DEBEN RESOLVER UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL. IMPORTANTE: RECUERDE QUE EN LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE NO ES OBLIGATORIO IMPRIMIR LOS ENUNCIADOS DE CADA UNO DE LOS PROBLEMAS, PERO DEBE SEÑALARSE EL NUMERO DEL PROBLEMA Y UN RESUMEN DE LOS DATOS DEL MISMO. EN LA RESOLUCION DEBE PRESENTAR EL PROCEDIMIENTO SEGUIDO, (PASO A PASO), QUE JUSTIFIQUE LOS RESULTADOS OBTENIDOS. NO SE ACEPTA ESCRIBIR SOLO LAS RESPUESTAS. CRITERIOS DE EVALUACIÓN Se evaluará el trabajo 6 puntos, su participación en el foro 2 puntos, el primer examen presencial 12 puntos. SIGA ESFORZÁNDOSE ES LA ÚNICA MANERA DE LLEGAR AL OBJETIVO. 23

31 UNIDAD 3 Regresar MODELOS DE TRANSPORTE COMPETENCIA ESPECÍFICA El estudiante estará en capacidad de resolver problemas de transporte y asignación, aplicados a empresas públicas y privadas con diferentes tipos de servicios con el fin de optimizar sus recursos. OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA Resolver problemas de transporte y asignación, aplicados a empresas públicas y privadas con diferentes tipos de servicios con el fin de optimizar sus recursos. CONTENIDO BASES TEÓRICAS Y FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE. CALCULO DE DISTRIBUCIONES INICIALES BÁSICAS EN PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. RESOLUCIÓN DE MODELOS Y OPTIMIZACIÓN DE DISTRIBUCIONES DE PRODUCTOS CON APLICACIÓN DE DIFERENTES SOFTWARE (Función Solver, Tora, Lindo, etc). CASO ESPECIAL: FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN MATEMÁTICA DE MODELOS DE ASIGNACIÓN. 24

32 EXPLICACIÓN Capítulo 2: Modelos de Transporte En este capítulo se presenta el modelo de Transporte y Asignación, como un modelo particular de programación lineal. El modelo de transporte tiene como objetivo encontrar el costo menor de transportar desde varios puntos de origen a varios puntos de destino cubriendo la oferta o recursos y la demanda. Se debe tomar en cuenta en este modelo que si la oferta es mayor que la demanda las restricciones asociadas a los orígenes debe ser del tipo y las asociadas a la oferta deben ser =, pero si la demanda es mayor que la oferta los nodos de destino deberán ser los que tienen las restricciones y los destinos = o se deberá aumentar un origen ficticio como indica en el texto guía, por último si la oferta total y la demanda total son iguales todas las restricciones podrán ser =. Aunque existen varios métodos para resolver un problema de transporte se debe empezar con una solución inicial, utilizando el método más tradicional conocido como aproximación de Vogel, y luego con el proceso recurrente de optimización del problema de transporte, pero en el texto guía no se desarrollan estos métodos por lo que se los debe resolver como se indica en el mismo, planteándolo como modelo de programación lineal y resolviéndolo mediante la función Solver. Capítulo 3: Modelos o problemas de Asignación La Asignación es una variante o caso especial del Modelo de Transporte. En este caso se quieren asignar actividades o recursos a personas, máquinas o tareas o viceversa, con el objetivo que el costo total sea el menor. La particularidad de este modelo es que la oferta y la demanda es 1 en cada nodo de origen o destino. Problemas Resueltos Problema 1: 25

33 La empresa frutería litoral desea transportar frutas a las diferentes ciudades del país, el gerente de dicha empresa desea que se envíe dicho producto que en este caso son manzanas. Los lugares de partida son de Quito con 3,000 cajas y desde Guayaquil 4,000 cajas, mientras que los lugares de destino pueden recibir: Latacunga de 1,100 cajas, Ambato 1,200 cajas, Baños 1,400 cajas, Guaranda 1,600 cajas, Riobamba 1,700 cajas. El costo del transporte es de acuerdo a la distancia. Encontrar la minimización del costo de transporte. Los Costos Unitarios ($/caja) de distribución de cada fuente a cada destino son: LATAC. AMB. BAÑOS GUAR. RIOB. QUITO GUAYAQUIL Oferta Demanda 3000 Quito Latacunga 1100 Ambato 1200 Baños 1400 Guayaquil Guaranda Definición de las variables: Riobamba 1700 X11: Número de cajas que transporta de Q L X12: Número de cajas que transporta de Q A X13: Número de cajas que transporta de Q B 26

34 X14: Número de cajas que transporta de Q G X15: Número de cajas que transporta de Q R X21: Número de cajas que transporta de G L X22: Número de cajas que transporta de G A X23: Número de cajas que transporta de G B X24: Número de cajas que transporta de G G X25: Número de cajas que transporta de G R Por consiguiente, el modelo de transporte planteado como un modelo de programación lineal, sería como sigue: FUNCION OBJETIVO Min Costo = 70X X X X X X 21 + RESTRICCIONES 120X X X X 25 Origen X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 3000 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 4000 Destino X 11 + X 21 = 1100 X 12 + X 22 = 1200 X 13 + X 23 = 1400 X 14 + X 24 = 1600 X 15 + X 25 = 1700 X11, X12, X13, X14, X15, X21, X22., X23, X24, X25 0 Planteado de acuerdo a la estructura matricial resulta como sigue: Latacunga Ambato Baños Guaranda Riobamb a Quito X11 X12 X13 X14 X15 Oferta 27

35 Guayaquil X X X X X Demanda Problema 2 Considere el problema de transporte que tiene la siguiente tabla de parámetros: Costo unitario Destino Origen Recursos Demanda a. Trace la representación de redes de este problema. Origen Destino O1 D O2 D2 3 O3 2 2 b. Formule el problema en una hoja de cálculo c. Use Excel Solver para obtener la solución óptima. D3 Origen Costo unitario Destino D1 D2 D3 Recursos TOTAL 28

36 O O O TOTAL $65 DEMANDA

37 UNIDAD 4 Regresar MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA O TEORÍA DE COLAS COMPETENCIA ESPECÍFICA El estudiante estará en capacidad de resolver modelos de Líneas de Espera complejos con más de dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de optimizar sus recursos. OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA Resolver modelos de Líneas de Espera complejos con más de dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de optimizar sus recursos. CONTENIDO BASES TEÓRICAS GENERALES FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DE MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA DE UN SERVIDOR, CON CAPACIDAD ILIMITADA Y LIMITADA FORMULACIÓN DE SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA DE VARIOS SERVIDORES, CON CAPACIDAD ILIMITADA Y LIMITADA USO DE DIAGRAMAS Y ARTIFICIOS DE RESOLUCIÓN RÁPIDA. 30

38 EXPLICACIÓN Capítulo 4: Modelado de líneas de espera y Teoría de Colas En el capítulo 4 se realiza el análisis de los Modelos de Colas o Línea de Espera o Teoría de Colas. La teoría de colas basa su estudio en encontrar un equilibrio entre el costo de tener puntos de atención a clientes de una institución versus el costo y descontento que tiene un cliente cuando está esperando mucho tiempo que lo atiendan. Para encontrar este equilibrio debemos plantear un modelo el cual está afectado por varios factores operativos entre los más importantes: tiempos de espera, tiempos de atención, número de líneas de espera, tipo de línea de espera, etc. Ejercicio Resuelto Un asistente contable recibe facturas para ingresar los datos al sistema. Suponga que puede usarse una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa media de 10 facturas por hora para describir el patrón de llegada y que los tiempos tasa media de 12 facturas por hora. a. Cuál es la probabilidad de que no haya facturas para ingresar en el sistema? P 0 = 1 λ μ P 0 = = 0,167 b. Cuál es la cantidad promedio de facturas que esperaran para ser ingresadas? λ 2 E (L) = μ(μ λ) E (L) = 10 2 = 4,17 facturas 12(12 10) c. Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de ingresar los datos de la factura al sistema? E (t) = 4,17 10 E (t) = E (L) λ = 0,417 horas = 25 minutos d. Cuál es el tiempo promedio desde que la factura llega hasta que es ingresada en el sistema en minutos (tiempo de espera más tiempo de servicio)? E (T) = E (t) + 1 μ 31

39 E (T) = 0, = 0,5 horas = 30 minutos 12 e. Cuál es la probabilidad de que una factura este siendo ingresada U = λ μ U = 10 = 0,833 ; 83,3% 12 32

40 AUTOEVALUACIÓN BASE DE LA PREGUNTA 1 CONCEPTOS Relacione la columna de la izquierda (concepto) con la columna de la derecha (definición) DEFINICIÓN 1. Fi a) Mercados hacia donde se envían los productos. 2. Mj b) Márgenes de contribución, que pueden ser costos o ganancias unitarias de enviar los productos desde cada fuente a cada mercado. 3. Cij c) Fuentes desde donde se envían los productos 4. Xij d) Variables de decisión, cantidades que cada fuente entrega a cada mercado, cuyo valor final permite determinar el plan óptimo de distribución. OPCIONES DE RESPUESTA A 1a, 2b, 3c, 4d B 1c, 2a, 3b, 4d C 1b, 2c, 3d, 4ª D 1c, 2a, 3b, 4d E 1b, 2d, 3a, 4c F 1c, 2a, 3d, 4c BASE DE LA PREGUNTA 2 CONCEPTOS Relacione la columna de la izquierda (concepto) con la columna de la derecha (definición) DEFINICIÓN 1. Po a) Tiempo esperado (promedio) que un cliente permanece en el sistema, o, el tiempo que espera por servicio más el tiempo de servicio. 2. E(n) b) Número esperado (promedio) de clientes en el sistema 3. E(T) c) Tiempo esperado (promedio) que un cliente espera en la cola antes de ser atendido o por servicio. 4. E(t) d)probabilidad de que el sistema este vacío OPCIONES DE RESPUESTA A B C D E F 1a, 2b, 3c, 4d 1c, 2a, 3b, 4d 1b, 2c, 3d, 4a 1c, 2b, 3a, 4d 1b, 2d, 3a, 4c 1d, 2b, 3a, 4c 33

41 PROBLEMA 1 Un taller elabora tres productos A, B, C, y la demanda de estos productos es de 90, 210 y 120 unidades/semana respectivamente. Los productos pueden fabricarse por uno de los tres métodos, cada uno de los cuales dispone de las siguientes capacidades semanales: 160,120 y 140 unidades respectivamente. En la tabla se indica las ganancias (dólares/unidad) asociadas con cada producto y cada método. PRODUCTOS M1 M2 M3 A B C BASE DE LA PREGUNTA 3 OPCIONES DE RESPUESTA La distribución inicial por la Regla del costo mínimo es: A El producto A debe producirse 90 unidades en el M3 El producto B debe fabricarse 90 unidades en M1, 120 en el M2 El producto C debe producirse 70 unidades en M1, 50 unidades en M3 B El producto A debe producirse 90 unidades en el M1 El producto B debe fabricarse 90 unidades en M2, 120 en el M3 El producto C debe producirse 70 unidades en M2, 50 unidades en M3 C El producto A debe producirse 90 unidades en el M2 El producto B debe fabricarse 160 unidades en M1, 30 en el M2 y 20 unidades en M3 El producto C debe producirse 120 unidades en M3 D El producto A debe producirse 90 unidades en el M2 El producto B debe fabricarse 90 unidades en M1, 120 en el M2 El producto C debe producirse 70 unidades en M1, 50 unidades en M3 E El producto A debe producirse 90 unidades en el M1 El producto B debe fabricarse 90 unidades en M1, 120 en el M2 El producto C debe producirse 70 unidades en M1, 50 unidades en M2 BASE DE LA PREGUNTA 4 La ganancia total de esta distribución inicial es: 34

42 OPCIONES DE RESPUESTA A B C D E BASE DE LA PREGUNTA 5 OPCIONES DE RESPUESTA La distribución mejorada ( o mejor alternativa de distribución) es: A El producto A debe producirse 90 unidades en el M3 El producto B debe fabricarse 160 unidades en M1, 50 en el M2 El producto C debe producirse 70 unidades en M1, 50 unidades en M3 B El producto A debe producirse 90 unidades en el M1 El producto B debe fabricarse 90 unidades en M2, 120 en el M3 El producto C debe producirse 50 unidades en M1, 20 unidades en M2, 50 unidades en M3 C El producto A debe producirse 90 unidades en el M2 El producto B debe fabricarse 160 unidades en M1, 30 en el M2 y 20 unidades en M3 El producto C debe producirse 120 unidades en M3 D El producto A debe producirse 90 unidades en el M2 El producto B debe fabricarse 90 unidades en M1, 120 en el M2 El producto C debe producirse 70 unidades en M1, 50 unidades en M3 E El producto A debe producirse 90 unidades en el M2 El producto B debe fabricarse 160 unidades en M1, 50 en el M3 El producto C debe producirse 30 unidades en M2, 90 unidades en M3 BASE DE LA PREGUNTA 6 OPCIONES DE RESPUESTA La ganancia total de esta distribución es: A $85400 B $87110 C $92500 D $84120 E $

43 PROBLEMA 2 El supervisor de un banco enfrenta al problema de determinar el número de cajeros que se debe utilizar en horas pico. El supervisor ha observado que los clientes llegan en promedio cada 4 min y el tiempo promedio para procesar una transacción es de 2 min. También ha observado que el patrón de números de llegada de clientes sigue la distribución de Poisson y que los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial negativa. BASE DE LA PREGUNTA 7 OPCIONES DE RESPUESTA La probabilidad de que un cliente que llega sea atendido inmediatamente es: A 0,75 B 0,35 C 0,25 D 0,50 E 0,45 BASE DE LA PREGUNTA 8 OPCIONES DE RESPUESTA El tiempo esperado que un cliente permanece en el sistema o el tiempo que espera por servicio más el tiempo de servicio es: A 20 min B 10 min C 5 min D 4 min E 2 min BASE DE LA PREGUNTA 9 OPCIONES DE RESPUESTA El número esperado de clientes es la línea de espera o esperando ser servidos (Longitud de la cola) es: A 5 clientes B 0,5 clientes C 0,8 clientes D 10 clientes E 8 clientes BASE DE LA PREGUNTA 10 OPCIONES DE RESPUESTA La probabilidad de que un cliente espere menos de 4 min en el sistema es: A 0,7235 B 0,1521 C 0,5432 D 0,6321 E 0,

44 FORMULARIO SISTEMAS DE CANALES MÚLTIPLES O VARIOS SERVIDORES Y UNA LÍNEA DE ESPERA k 1 P 0 = {[ 1 n n! ( μ ) n=0 U = kμ ] + [ 1 k! ( μ ) k ( kμ 1 kμ )]} k U = kμ k = μ P 0 = [ 1 n! (ku)n n=0 + kk U k+1 1 k! (1 U) ] P n = 1 n! ( μ ) n P 0 ; si n < k P n = 1 k!k n k ( μ )n P 0 ; si n k P n = kk U n P 0 ; si n k k! μ ( k μ ) E (L) = (k 1)! (kμ ) 2 P 0 μ ( k P μ ) n = (k 1)! (kμ ) P 0 E (L) = kk U k+1 k! (1 U) 2 P 0 E (n) = E (L) + μ E (t) = E (L) E (t) = μ( μ )k (k 1)!(kμ ) 2 P 0 E (T) = E (t) + 1 μ P (>t) = e μt {1 + P 0(kU) k [1 e μt(k 1 kμ) ] k! (1 U)(k 1 ku) } P (>t) = (ku)k e kμt(1 U) P k! (1 U) 0 SISTEMA DE VARIOS SERVIDORES, UNA LÍNEA DE ESPERA Y CON CAPACIDAD LIMITADA k P 0 = {[ 1 n! (ku)n n=0 U = kμ ] + [ kk U k+1 (1 U m k 1 ) ]} k! (1 U) (k U)n P n = P n! 0 ; si n < k P 0 = {[ cuando U=1 U = k = kμ μ k k n n=0 n! P n = kk U n k! ] + [ kk (m k) k! 1 ]} P 0 ; si k n m 37

45 P n = 0 Si n > m P(m=n)= kk U n k! P 0 = (1 P m ) E (n) = E (L) + μ Tasa de rechazos = = P m E (T) = E (n) E(L)= kk U k+1 k!(1 U) 2 [(1 Um k ) (1 U)(m k)u m k ]P 0 TECNICA BÁSICA EN FUNCIÓN DE LOS COSTOS Cs Ce E(n) (k 1) E(n) k 38

46 EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL SEGUNDO HEMISEMESTRE Regresar A continuación se indicará el Capítulo, la o las páginas y los problemas a realizar. Del Capítulo 2, resuelva los siguientes problemas: 20, 23, 28. Del Capítulo 3, resuelva los siguientes problemas: 2, 16, 19. Del Capítulo 4, resuelva los siguientes problemas: 19, 20, 26, 27, 37, 38. IMPORTANTE: RECUERDE QUE EN LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE NO ES OBLIGATORIO IMPRIMIR LOS ENUNCIADOS DE CADA UNO DE LOS PROBLEMAS, PERO DEBE SEÑALARSE EL NUMERO DEL PROBLEMA Y UN RESUMEN DE LOS DATOS DEL MISMO. EN LA RESOLUCION DEBE PRESENTAR EL PROCEDIMIENTO SEGUIDO, (PASO A PASO), QUE JUSTIFIQUE LOS RESULTADOS OBTENIDOS. NO SE ACEPTA ESCRIBIR SOLO LAS RESPUESTAS. CRITERIOS DE EVALUACIÓN Se evaluará el trabajo 6 puntos, su participación en el foro 2 puntos, el segundo examen presencial 12 puntos. LO LOGRÓ FELICITACIONES!!!!!. 39