COMPONENTES ELEMENTALES

Transcripción

1 Capítulo COMPONENTES ELEMENTALES.. Modelos de Componentes Una componente eléctrca se descrbe por una relacón entre sus arables termnales, la que se denomna relacón de equlbro. El oltaje y la corrente, de una componente no pueden arar de cualquer manera, deben cumplr la relacón de equlbro que los defne. Los modelos de componentes de redes son abstraccones que permten concentrarse en un solo efecto del electromagnetsmo. Desde el punto de sta de la teoría de redes puede postularse la exstenca de componentes elementales de redes. Las sguentes relacones, entre arables termnales, defnen modelos lneales dealzados de las componentes eléctrcas más empleadas. Resstenca R Fuente de tensón e() t Condensador d C dt Fuente de corrente j() t Inductor d L dt (.) Se defne un elemento llamado resstenca que modela la crculacón de correntes en medos materales, abstrayéndose de los efectos magnétcos y tambén de otros efectos debdos al campo eléctrco. Así tambén, se modela la condensacón de líneas de campo eléctrco, debda a la acumulacón de carga en conductores, medante un elemento denomnado condensador. En este elemento se consderan conductores deales, sn efectos resstos, deléctrcos o asladores perfectos y tal que las correntes que crculan no produzcan efectos magnétcos. La concentracón de líneas magnétcas, debda a la crculacón de correntes en conductores deales se modela medante nductores. Los tres elementos anterores representan la nteraccón del campo electromagnétco con medos materales, y se denomnan elementos pasos. Leopoldo Sla Bjt

2 Teoría de Redes Eléctrcas No menos mportantes son los elementos actos, que se representarán como fuentes ndependentes y controladas, y que permten modelar dspostos que transforman energías de dferentes tpos en señales eléctrcas. En la fabrcacón de componentes de redes se ntenta consegur que su comportamento sea lo más cercano posble al deal, descrto por el modelo. Se trata de que el dsposto sga la conducta dada por la relacón de equlbro dealzada que descrbe al elemento. S se defnen adecuadamente los modelos de los elementos, cada uno de ellos ncorpora un aspecto de la realdad físca. Así, entonces, una componente real podrá descrbrse, o modelarse, como una nterconexón de componentes elementales. Dependendo de la exacttud de los cálculos requerdos será la complejdad del modelo. S los resultados obtendos, con determnada representacón de las componentes reales por componentes elementales, concden con buena aproxmacón con los resultados de medcones, puede decrse que el modelo de red es adecuado. En caso contraro, debe segur refnándose el modelo, agregando otras componentes elementales. Los componentes elementales que se defnan, tambén deben poder descrbr sstemas más elaborados, como máqunas eléctrcas, amplfcadores y todos aquellos dspostos creados por el ngeno del hombre para cumplr propóstos determnados. En la defncón de los modelos se asumen condcones. Por ejemplo, uno de ellos es que los oltajes y correntes no arían en el espaco. Es decr, se consderan puntuales o concentrados. Esta condcón deja de cumplrse cuando la frecuenca de cambo de las arables a aumentando. Para estos casos se desarrolla una teoría con elementos dstrbudos, y es la que permte descrbr líneas de transmsón, guías de ondas, fbras óptcas y antenas. Tambén se desarrollan modelos que dependen del espaco para modelar las nductancas que forman los deanados de las dferentes máqunas eléctrcas. La magntud de las arables, los cambos de temperatura, el ambente electromagnétco y otros aspectos tambén pueden cambar la descrpcón de los elementos. En lo que sgue se derarán a partr de leyes físcas los modelos elementales, descrtos en (.). Para cada componente elemental se obtendrá una relacón de equlbro y se le asocará un símbolo que la representa... Resstor... Defncón Cualquer componente que pueda ser descrta por una relacón algebraca, no por una ecuacón dferencal o relacón dnámca, en el plano ersus, se denomna resstor. Leopoldo Sla Bjt

3 Capítulo. Componentes Elementales 3 La relacón de equlbro, se descrbe por la relacón: R: f (, ) 0 (.) La representacón gráfca de esta relacón en un plano (, ) se denomna característca termnal. El sguente símbolo representa a un resstor: a R Fgura.. Símbolo del resstor. b... Resstenca La relacón más smple para este tpo genérco de componentes es la sguente: R (.3) Con la sguente descrpcón gráfca, o característca termnal: R Fgura.. Resstor lneal. Y se emplea el símbolo: Leopoldo Sla Bjt

4 4 Teoría de Redes Eléctrcas a R Fgura.3. Resstenca. Esta componente elemental lneal se denomna Resstenca. S se mde en Volts, en Amperes, entonces R se mde en Ohms [ ]. Debe notarse que R es una constante, no depende de n de, n de coordenadas espacales, n de la temperatura, n de las frecuencas. Modela el efecto que tene la matera, para oponerse al momento de las cargas eléctrcas. El camno zgzagueante que se emplea en el símbolo gráfco, representa el hecho de que para un oltaje dado, a mayor Resstenca se tene menor corrente. Esta componente se resste al paso de la corrente, de allí proene su nombre. El roce mcroscópco o colsones entre las cargas móles (los electrones) y los núcleos de las estructuras que forman el materal de que está confecconada la resstenca, producen un efecto calórco. Esta componente dspará la energía eléctrca en forma de calor y/o luz...3. Ley de Joule Tenemos que la potenca que ngresa a la componente, defnda por la relacón (.39), es: Aplcando la ecuacón de equlbro (.3), en (.4), se logra: Leopoldo Sla Bjt p (.4) p R (.5) Relacón que se conoce como efecto Joule o efecto calórco de la resstenca. Mde la capacdad de dspar energía de esta componente. S R es mayor que cero, se tendrá transformacón rreersble de la energía eléctrca en calor o luz. En este caso se tendrá que p sempre será mayor que cero. La relacón de equlbro (.3), tal como ha sdo planteada, permte conocer, s se conocen R e. En forma alternata, s se desea conocer, dado, se emplea, como relacón de equlbro: b G (.6)

5 Capítulo. Componentes Elementales 5 Donde: G = conductanca [Semens] ˆ ˆ mhos. Exste la sguente relacón entre los dos parámetros: (.7) G R Para constante, a mayor conductanca se tendrá mayor corrente, esta es la razón del nombre dado al parámetro. La relacón (.6) permte calcular, s se conocen y G. Las resstencas reales dferen en aros aspectos de este modelo. La resstenca camba con la temperatura y la frecuenca. En la práctca exsten otros aspectos que no se tratan en detalle: dferentes materales; dersas formas, tamaños y tolerancas de fabrcacón; el empleo de códgos de colores para su dentfcacón; cambos de largo debdos a dlatacón, etc. Casos partculares de esta componente se obtenen con alores extremos de R...4. Modelo Físco Para un trozo dferencal de materal, con conductdad, la capacdad de conducr corrente cuando exste un campo eléctrco a traés del materal, se descrbe por la Ley de Ohm. J = E (.8) Con: J, módulo del ector densdad de corrente en [A/m ]; E es el módulo del campo eléctrco en [V/m]. S a traés del materal conductor hay un campo eléctrco E, se produce momento de cargas, debdo a la fuerza eléctrca, defnda en (.0). Por la seccón A[m ] de un conductor, crcula la corrente: = J A (.9) De la defncón de oltaje (.8), y consderando que J y E tenen dreccones guales, y que el dferencal de camno tene dreccón opuesta a E, er Fgura.4, puede transformarse la ntegral ectoral en escalar. S E es constante a lo largo del camno l, se tendrá: E l (.0) Leopoldo Sla Bjt

6 6 Teoría de Redes Eléctrcas A J l Fgura.4. Dferencal ressto. Entonces, reemplazando en (.8) la expresón de J de (.9), y la de E por la (.0), se obtene: A l (.) Arreglando y despejando, en (.), se obtene: l A (.) Reconocendo el parámetro R en (.3), se tene: R l A (.3) La resstenca R es drectamente proporconal al largo del recorrdo de las cargas. A mayor recorrdo, más colsones; es decr, mayor dfcultad de crculacón. A mayor área, hay más espaco entre los núcleos, y los portadores de cargas tenen menor oposcón a la crculacón. El tpo de materal empleado está relaconado con la conductdad. A mayor conductdad, menor resstenca. Para recordar la relacón obsérese el flamento de una ampolleta: es delgado y para hacerlo más largo se lo enrolla en espral; ya que estas dos condcones logran, además del materal, una alta resstenca. Esto mplca una potenca eleada, necesara para llear al metal haca la ncandescenca y producr luz...5. Cortocrcuto Es un elemento de redes con la sguente ecuacón de equlbro: 0 (.4) Leopoldo Sla Bjt

7 Capítulo. Componentes Elementales 7 La corrente, a traés del cortocrcuto puede ser cualquera, su alor depende del resto de la red. Modela a un conductor deal, con conductdad nfnta. La corrente que pasa por el cortocrcuto no lo calenta, ya que no dspa energía. En la mayoría de los casos es una buena aproxmacón de un trozo de un alambre conductor. Los termnales de una componente pueden consderarse cortocrcutos. Tambén puede nterpretarse como una resstenca con alor cero. a R=0 Fgura.5. Cortocrcuto. b..6 Crcuto Aberto La Fgura.6 muestra el símbolo de un resstor denomnado crcuto aberto. a R = Fgura.6. Crcuto aberto. b Ecuacón de equlbro: 0 (.5) La corrente es cero; esto lo recuerda el símbolo que lustra que no hay un camno conductor para la crculacón de cargas. El oltaje en los termnales del cortocrcuto puede ser cualquera; su alor depende del resto de la red. Puede nterpretarse como una resstenca con alor muy alto, tendendo a nfnto...7. Fusble El sguente símbolo se emplea para el elemento denomnado fusble. Leopoldo Sla Bjt

8 8 Teoría de Redes Eléctrcas a R Fgura.7. Símbolo fusble. b Dmensonado adecuadamente la geometría y el materal, puede lograrse una componente que alcance su punto de fusón para una corrente determnada...8. Interruptor (Swtch) Fgura.8. Esquema fusble. El sguente símbolo se emplea para el nterruptor. La ecuacón de equlbro depende s está aberto o cerrado. S el nterruptor está aberto es un crcuto aberto; s está cerrado es un cortocrcuto. Ecuacón de equlbro: Aberto: 0 ; Cerrado: 0 (.6) a Fgura.9. Interruptor. b Leopoldo Sla Bjt

9 Capítulo. Componentes Elementales Oport (Open and Short) a oport b Fgura.0. Oport. Ecuacón de equlbro: Smultáneamente, la corrente y el oltaje son ceros. 0, 0 (.7) Por ejemplo, s debdo al resto de la red, crcula corrente cero a traés de una resstenca, ésta será un oport. Ya que, por su ecuacón de equlbro, se tendrá que tambén el oltaje será cero...0. Fuente de tensón ndependente Se suele emplear el sguente símbolo para una fuente ndependente de tensón o generador de señal. a Ps e(t) Fgura.. Símbolo fuente de tensón. b e Fgura.. Fuente de tensón ndependente. Leopoldo Sla Bjt

10 0 Teoría de Redes Eléctrcas El oltaje entre los termnales será gual a la tensón del generador. Ecuacón de equlbro: Leopoldo Sla Bjt e (.8) La corrente, a traés de la fuente deal, puede ser cualquera, su alor depende del resto de la red. Como la tensón de la fuente no depende de la corrente que crcula por ella, se dce que es ndependente. Hemos defndo la dreccón de referenca de la corrente, salendo de la polardad posta de la fuente, de esta forma al hacer crcular cargas desde potencales bajos a superores, la fuente les está proporconando energía. Esta componente modela el proceso de conersón de energía, de algún tpo, en eléctrca. La potenca sumnstrada es: Ps e (.9) P s es la potenca entregada por la fuente de tensón ndependente, al resto de la red. Su referenca se defne en la Fgura.. Esta fuente o manantal de energía eléctrca es deal, ya que puede entregar toda la energía que se le solcte, sn cambar el oltaje entre los termnales, no mportando el alor de. Dcho de otra forma, el proceso de conersón es deal, sn pérddas, y además el manantal de energía del cual se extrae energía para transformarla en energía eléctrca es lmtado. Es edente que este modelo de red dealzado no puede lograrse en la práctca. La fuente de energía prmara puede ser químca, es el caso de las plas de los electrodoméstcos y las baterías de los automóles. Puede ser una celda solar; o un par bmetálco (se produce una tensón al calentar dos metales puestos en contacto); o un materal pezoeléctrco (que produce una tensón entre sus caras al ser sometdo a presón); o un generador electromecánco (que transforma energía mecánca en eléctrca a traés de campos magnétcos móles). Un mcrófono, transforma las ondas acústcas en aracones de oltaje; una cámara de deo transforma mágenes en oltajes. Un fotododo produce un oltaje al ser mpactado por la luz. Los elmnadores de baterías o fuentes de poder, transforman la energía eléctrca que se dstrbuye en forma de aracón snusodal en fuentes de tensón contnua. Los enchufes hembras (tomacorrentes) en los casas pueden ser consderados fuentes de tensón alterna. Elementos actos como transstores pueden ser modelados empleando fuentes

11 Capítulo. Componentes Elementales de tensón. En fn, son nnumerables las stuacones que pueden ser representadas por una fuente de tensón. En los laboratoros y smuladores suele dsponerse de generadores de señal, que tambén pueden modelarse como fuentes de tensón. Generalmente dsponen de señales peródcas: cuadradas, trangulares, snusodales. Por lo anteror, en el símbolo se muestra en forma explícta la aracón temporal de la tensón o señal generada. El sguente símbolo se emplea para fuentes contnuas: a E b... Fuente de tensón no deal Fgura.3. Fuente de tensón contnua. Plantearemos la ecuacón de equlbro y el modelo de la fuente real, medante la conexón de dos componentes elementales. Luego obtendremos la relacón de equlbro a partr del modelo. Ecuacón de equlbro: Modelo de red: e R (.0) R e Fgura.4. Fuente de tensón real. Obseramos que la conexón de dos componentes deales, en la forma en que se ndca en la Fgura.4, establece una representacón aproxmada de un generador real. Para obtener la relacón de equlbro (.0), comenzaremos planteando LVK en la red de la Fgura.5: Leopoldo Sla Bjt

12 Teoría de Redes Eléctrcas 0 (.) f r r f R e Fgura.5. Defncón de arables. Planteando LCK, en los nodos se aderte que, con las dreccones ndcadas, las correntes en los elementos son guales a la corrente en los termnales del generador real. Las ecuacones de equlbro de las componentes elementales: r f e R (.) Reemplazando éstas en la ecuacón LVK, se logra la relacón (.0), propuesta al nco: e R S se desprecan las pérddas óhmcas, es decr, R gual a cero, se obtene la ecuacón de equlbro del generador deal. Grafcando esta relacón, en el plano (, ) se obtene la característca termnal: e/r e Fgura.6. Característca de fuente de tensón real. Nótese que en la Fgura.6, al aumentar la corrente, la tensón, en los termnales del generador, tende a dsmnur. Comparar con el caso deal lustrado en la Fgura.. El modelo propuesto para el generador real no contempla el agotamento de la energía nterna de otro tpo que se está conrtendo en energía eléctrca. Leopoldo Sla Bjt

13 Capítulo. Componentes Elementales 3 La Fgura.6 es la representacón gráfca de la característca termnal de la combnacón de los dos elementos deales. Notemos que la relacón entre arables termnales, puede ser consderada una componente. Esto se lustra, con la sguente ecuacón de equlbro: R: () e R (.3) Y el sguente símbolo gráfco: a R b Fgura.7. Resstor equalente. La relacón anteror tambén se denomna característca de punto motrz (CPM), ya que asocado al par de termnales a y b, se tene un flujo de potenca p, haca el resto de la red. Lo cual se lustra en la Fgura.8. a R p b... Fuente ndependente de corrente Fgura.8. Punto de almentacón. Ecuacón de equlbro y característca termnal: j() t (.4) Leopoldo Sla Bjt

14 4 Teoría de Redes Eléctrcas a j(t) b Fgura.9. Símbolo fuente de corrente. j Fgura.0. Característca fuente de corrente. La fuente j(t) mantene la corrente en los termnales, ndependente de la tensón. El alor de la tensón, depende del resto de la red. El modelo es deal, ya que no hay pérddas de energía eléctrca por dspacón...3. Generador real de corrente Para obtener la relacón de equlbro de la fuente real de corrente, aplcamos LCK, en un nodo de la Fgura., se obtene: (.5) j R Aplcando las ecuacones de equlbro de la fuente y de la resstenca, se tenen: j R j R (.6) Reemplazando (.6) en (.5) se obtene la ecuacón de equlbro para la fuente real de corrente: j R (.7) Modelo del generador real de corrente en térmnos de componentes elementales: Leopoldo Sla Bjt

15 Capítulo. Componentes Elementales 5 j j R R Fgura.. Símbolo generador real de corrente. Grafcando la relacón (.7), se obtene la característca de la Fgura.. j..4. Equalenca entre fuentes reales Fgura.. Característca de punto motrz (CPM) Comparando las descrpcones de las fuentes reales de corrente y tensón, Fguras.5 y., llegamos a que ambos modelos son equalentes s se cumple que: e j R (.8) El resto de la red no puede darse cuenta s tene conectado un generador real de corrente o su equalente generador real de tensón. Ambos modelos son equalentes por tener característcas termnales guales...5. Análss de una red senclla Sea la sguente red: jr e p p R Fgura.3. Red smple. Leopoldo Sla Bjt

16 6 Teoría de Redes Eléctrcas Se tenen dos componentes, y se han dentfcado cuatro arables:,,,. Se requeren cuatro ecuacones para determnar los alores que deben tener las arables; éstos corresponden a la solucón del sstema de ecuacones. Por LVK, se tene: Por LCK, se tene: (.9) (.30) De las ecuacones de equlbro, se tenen: e R (.3) Resolendo el sstema, se obtene la solucón de la red. e e R (.3) R. Se consderan datos los alores que defnen las componentes; en este caso los datos son: e y Efectuando un balance de potencas, aplcando Tellegen, resulta: p p (.33) Con: p p (.34) La potenca que sale del generador fluye haca la resstenca. Reemplazando (.3) en (.34) se obtene: p p e R (.35) De las ecuacones (.3) y (.35) se concluye que: al dsmnur la resstenca, la corrente aumenta; y tambén aumenta la potenca dspada en la resstenca. Leopoldo Sla Bjt

17 Capítulo. Componentes Elementales 7 Tambén puede decrse que al aumentar la carga, el aumento de corrente al dsmnur R, se requere que la fuente entregue más corrente. Notemos que en el límte de dsmnucón de R, la corrente tende a alores eleados y tambén la potenca entregada por la fuente y la dspada en la resstenca. Debdo a esto últmo, se tendrá una eleada temperatura en la resstenca, lo que termnará fundéndola; quedando, fnalmente, como un crcuto aberto. En la práctca los generadores tenen pérddas y no pueden proeer una energía nfnta; tampoco puede lograrse una resstenca cero, aunque se emplee un buen conductor. El resultado anteror, para la red smple, se puede plantear como un teorema, que conene memorzar. Para la red, de la Fgura.4, la corrente es gual a e R. e R e R Fgura.4. Resultado del análss Ejemplo.. La nterconexón de componentes elementales, no sempre orgna una red eléctrca. La conexón de una fuente ndependente y un cortocrcuto, no es una red eléctrca pues no se cumple LVK. Esto se lustra en la Fgura.5. El cortocrcuto mplca que 0. La fuente de tensón mplca que e. Se requere, por LVK que: ; es decr que e 0, lo cual es una contradccón, salo que e sea cero. e Fgura.5. No es red eléctrca. Para que una nterconexón de componentes sea una red, deben cumplrse smultáneamente las leyes de Krchhoff y las ecuacones de equlbro de las componentes. Leopoldo Sla Bjt

18 8 Teoría de Redes Eléctrcas En caso que esto no sea posble, el modelo construdo en base a componentes elementales es ncompleto, y no representa adecuadamente al sstema real. S se coloca un alambre conductor entre los termnales de una fuente real, el modelo de redes que representa este sstema, contene una fuente deal, y dos resstencas; la de la fuente real, y la pequeña del alambre. El resultado del análss, aplcando el resultado de la Fgura.4, es una corrente eleada, la cual posblemente funda los fusbles de la fuente, o derrta el alambre conductor. Esta es una de las razones para colocarle el nombre de cortocrcuto a la componente dealzada de un conductor perfecto o de resstenca cero...6. Potencómetro Es una resstenca con tres termnales. Dos fjos en los extremos de la resstenca y uno mól. El alor de la resstenca, entre un extremo fjo y el mól, puede arar entre cero y el alor de la resstenca entre extremos. a R c b Fgura.6. Potencómetro. Usando esta componente se puede lograr una resstenca arable en el tempo...7. Dodo deal Ecuacón de equlbro: 0 para 0 0 para 0 (.36) a Fgura.7. Símbolo dodo deal. b Leopoldo Sla Bjt

19 Capítulo. Componentes Elementales 9 Fgura.8. Característca dodo deal. Se dce que está conducendo, o en estado encenddo, cuando 0, en este estado es un cortocrcuto. No conduce, o en estado apagado, s 0, en este estado es un crcuto aberto. En el orgen funcona como un oport. Es deal, o sn pérddas, ya que sempre la potenca que ngresa a la componente es cero. La flecha en el símbolo, recuerda la dreccón en que crcula la corrente, tambén se denomna ánodo. La barra es el cátodo y representa un bloqueo para la corrente. Como eremos, esta componente ncorpora no-lnealdades. Sólo permte crculacón de corrente en una dreccón. La característca de un dodo real: Fgura.9. Característca real. Como se estuda en un curso de electrónca, la característca de un dodo real es de tpo exponencal; y su manpulacón numérca resulta compleja. Debdo a esto ha sdo tradconal efectuar aproxmacones. Veremos dos de las más usadas, y que modelan la no lnealdad en base a la nterconexón de componentes de redes dealzadas; en este caso una de las componentes será el dodo deal. La característca de la Fgura.9, puede ser aproxmada por: Leopoldo Sla Bjt

20 0 Teoría de Redes Eléctrcas /R E Fgura.30. Aproxmacón. Una aproxmacón más smple, pero más nexacta es la de la Fgura.3. E Fgura.3. Aproxmacón. Como eremos, a traés del ejemplo., pueden derarse modelos de redes que tengan las característcas de las Fguras.30 y.3. a E R b Fgura.3. Modelo aproxmacón. a E b Fgura.33. Modelo aproxmacón. Leopoldo Sla Bjt

21 Capítulo. Componentes Elementales Ejemplo.. A partr del modelo de aproxmacón, obtendremos la relacón del resstor de la Fgura.3. Para esto: en la Fgura.33 defnmos las arables oltajes de las componentes; luego empleando las característcas termnales de las Fguras. y.8, pero ahora en térmnos de y. Se tenen: a E E b Fgura.34. LVK gráfca. Puede lograrse la composcón gráfca, de las característcas termnales de la fuente y el dodo deal de la Fgura.34, sumando para un alor de, los alores de y ; de esta forma se logra la característca de la Fgura.3. El procedmento podría llamarse LVK gráfca. Otra forma de razonamento es consderar al dodo en uno de sus dos estados. Cuando el dodo está aberto la corrente debe ser cero, esto mplca el segmento horzontal de la Fgura.3. Cuando el dodo conduce, puede reemplazarse por un cortocrcuto, entonces en la Fgura.34, se obsera que sólo queda la fuente, esto justfca el segmento ertcal de la Fgura.3. Esto se denomna análss por segmentos lneales. De forma smlar puede derarse la Fgura.30, a partr del modelo planteado en la Fgura.3. Ejemplo.3. Lnealzacón de característcas no lneales. Otro modelo para representar a un dodo suele emplearse cuando el oltaje aplcado al dodo es una señal constante más una señal arable en el tempo: V ps() t Y se cumple que los máxmos alores que toma por pequeña señal. S en la expresón para la sere de Taylor: ps son mucho menores que V. Se usa ps df ( x0 ) ( x x0) d f ( x0) f ( x) f ( x0) ( x x0)... dx dx (.37) Leopoldo Sla Bjt

22 Teoría de Redes Eléctrcas Se reemplazan en la (.37), f por, x por, y x 0 por V, se obtene: d( V ) ( V ) d ( V ) ( ) ( V ) ( V )... d d (.38) S además se defnen: ( ) ( V ) ps V ps d( V ) d r d (.39) Y se reemplazan en la (.38), se obtene: ps ps d V r d d ( ps ) ( )... (.40) Las defncones anterores se lustran en la Fgura.35. (V) ps /r d ps V Fgura.35. Modelo pequeña señal. S en un entorno pequeño de V, la aproxmacón por el térmno lneal de la sere de Taylor se consdera razonable, la relacón entre ps y ps puede aproxmarse por la pendente a la cura. En estas condcones, se tene: ps r ps d (.4) S se está nteresado en la corrente y oltaje a pequeña señal, puede modelarse al dodo como una resstenca. Esto se muestra en la Fgura.36. Leopoldo Sla Bjt

23 Capítulo. Componentes Elementales 3 a ps ps r d Fgura.36. Resstenca dnámca de dodo real. r d se denomna resstenca dnámca y es la pendente a la cura ealuada en =V...8. Fuentes controladas..8.. Fuente de corrente controlada por corrente La fuente de corrente depende de otra corrente, que se denomna corrente de control. Se emplea además un parámetro k, constante. b Ecuacón de equlbro: k (.4) c a k c b Fgura.37. Símbolo fuente controlada por corrente. La relacón (.4) puede representarse gráfcamente medante una famla de rectas. c = c c k c c = c Fgura.38. Fuente controlada por corrente. Leopoldo Sla Bjt

24 4 Teoría de Redes Eléctrcas Es una componente que tene más de dos termnales. La corrente c es la corrente de control, y k es una gananca de corrente. Es una componente acta, ya que puede entregar potenca al resto de la red: p e k c Nótese que depende del resto de la red, y que la potenca requerda para efectuar el control es cero. Esto se debe a que en el modelo dealzado, la corrente de control crcula en un cortocrcuto; y la potenca asocada será cero, debdo a que el oltaje es cero. Veremos que el modelo básco de un transstor, ncorpora una fuente controlada por corrente Fuente de tensón controlada por tensón Ecuacón de equlbro: k (.43) c a k c b Fgura.39. Símbolo fuente controlada por tensón. c c = c k c c = c Fgura.40. Fuente controlada por tensón. Es una componente acta. El alor de depende del resto de la red. La potenca en la puerta de control es cero. Su representacón gráfca es una famla de rectas. Leopoldo Sla Bjt

25 Capítulo. Componentes Elementales Amplfcador operaconal La fuente dependente de un oltaje, tambén suele tratarse como un amplfcador operaconal, que es una componente básca en redes lneales actas. Ecuacones de equlbro: k( ) s 0 (.44) S Fgura.4. Símbolo amplfcador operaconal. Se denomna amplfcador operaconal, o amplfcador dferencal. Un caso más real, de un amplfcador operaconal, se lustra en la Fgura.4. Se apreca que el oltaje de salda no aumenta lnealmente con el de entrada; se produce saturacón de la amplfcacón, lo cual lmta el oltaje de salda a una constante A. s A k -A Fgura.4. Característca amplfcador operaconal. La arable de salda se satura en un alor A. Pueden defnrse fuentes de corrente controladas por tensón y fuentes de tensón controladas por corrente; pero no se presentan a menudo en la práctca..3. Elementos dnámcos Quedan descrtos por una ecuacón dferencal. Leopoldo Sla Bjt

26 6 Teoría de Redes Eléctrcas.3.. Condensador Están basados en dos placas conductoras asladas entre sí por un materal aslador o deléctrco. Báscamente son dos placas cargadas, una con carga posta q; la otra con q. a +q -q C Fgura.43. Carga almacenada en condensador. La carga total encerrada es cero y, por lo tanto, se cumple LCK. Se forma un campo eléctrco ntenso entre las placas. Por esto se llama condensador, ya que condensa líneas de campo eléctrco. b Se tene: q C (.45) Donde C es la capacdad y se mde en Farados [F], s la carga se mde en Coulomb [C] y el oltaje en Volts [V]. Para constante a mayor capacdad, mayor carga almacenada. La relacón anteror se desprende de la Ley de Gauss. S se consdera que el oltaje es una medda ntegral del campo eléctrco; puede razonarse que s hay campo eléctrco es porque hay cargas. S hay cargas acumuladas en las placas del condensador, habrá un oltaje en el condensador. La ley de Gauss establece que emanan líneas de campo eléctrco de las cargas postas, de tal forma que la componente normal promedo del campo, en la superfce que encerra al olumen que contene la carga es gual a la carga partdo por la permtdad, lo anteror se puede escrbr según: E da q (.45a) La capacdad puede calcularse conocendo la geometría y los materales empleados. Leopoldo Sla Bjt

27 Capítulo. Componentes Elementales 7 Se asume un par de placas conductoras cargadas y paralelas de superfces muy grandes, entonces el campo será homogéneo entre las placas, y cero fuera de ellas, como se lustra en la Fgura.43a A E l Fgura.43a. Ley de Gauss en condensador. S se escoge un olumen que encerre un trozo de la placa con carga posta, se tendrá componente normal sólo en la superfce A entre las placas, y como el campo se asume homogéneo, la ntegral resulta: Reemplazando en (.45a) se obtene, despejando q: E da EA (.45b) q AE (.45c) Recordando la defncón de oltaje sta en (.8), para la Fgura.43a, se obtene: La que reemplazada en (.45c), permte obtener: El (.45d) q A V l (.45e) Comparando la (.45c) con (.45) se tene que, para un condensador de placas paralelas y planas, la capacdad puede defnrse: C A l (.46) Con l la dstanca entre placas y A el área de la placa. es la constante deléctrca del materal y es mayor en algunos materales formados por enlaces óncos. Un papel acetado es buen deléctrco, y se suele colocar entre dos lámnas delgadas de alumno; lo cual permte tener gran área, pequeño l y razonable permtdad. Luego este emparedado se enrolla para dsmnur el olumen. Leopoldo Sla Bjt

28 8 Teoría de Redes Eléctrcas Tambén se logran buenos condensadores con solucones electrolítcas, pero en estos casos sólo puede almacenarse carga posta en el ánodo, y la negata en el cátodo. En caso de ntentar hacerlo de otra forma, se produce una ntensa reaccón químca que suele destrur el dsposto Ecuacón de equlbro S juntamos las ecuacones de la conseracón de la carga (.9) con la proenente de la Ley de Gauss (.45), se tendrán: dq ; q C dt Elmnando la carga, resulta la relacón de equlbro: d( C) dt (.47) Y s C no depende de, n de, n de t, se logra la ecuacón dferencal de prmer orden: C d (.48) dt Relacón postulada al nco, en (.), pero ahora conocemos que esta relacón contene la ley de la conseracón de la carga y la ley de Gauss. Nótese que s es constante, la corrente es cero y el condensador se comporta como un crcuto aberto. d S aumenta en el tempo, esto mplca que 0 ; por lo tanto será mayor que cero. Y dt puede decrse que la carga del condensador aumenta; o que el condensador está cargándose. S dsmnuye en el tempo, en ese nteralo d será negato, y la corrente será negata. dt Esto se nterpreta como cargas postas que abandonan la placa superor; y negatas la nferor. Entonces se dce que el condensador está descargándose Potenca y energía en un condensador Se tene reemplazando la corrente de la relacón (.48) en la (.39) que: Leopoldo Sla Bjt

29 Capítulo. Componentes Elementales 9 p (.49) d C dt De las reglas de deracón se tene que: d(c / ) dt C d dt (.50) De la ley de la conseracón de la energía, se tene que la potenca que ngresa a un condensador, en térmnos de la energía almacenada en éste es: dw p c (.5) dt Entonces gualando las dos expresones para p, en (.49) y (.5), se obtene: d(c / ) dt dw dt c (.5) Entonces, se reconoce la energía asocada al condensador como: w () t c C q C (.53) Se ha empleado la relacón (.45), para expresar la energía en térmnos de la carga almacenada. Puede obserarse en (.53) que w c será sempre posta, a lo sumo cero. Con p 0 se carga; con p 0 se descarga. No puede salr más energía de la que le ha sdo sumnstrada. El condensador se emplea para almacenar energía en el campo eléctrco. Note que la expresón para la energía (.53), es smlar a la energía potencal del resorte y a la energía cnétca de una masa. La relacón de equlbro (.48) permte calcular s se conoce Ecuacón de equlbro nersa Para calcular, conocendo debe resolerse la ecuacón dferencal (.48), s se expresa ésta, en forma dferencal, se obtene: Leopoldo Sla Bjt

30 30 Teoría de Redes Eléctrcas d( t) ( t) dt C (.54) S se ntegra, en forma defnda, en ambos membros, desde el tempo t al tempo t, se obtene: d( t) ( t) dt C ( t) t ( t) t (.55) Pero la ntegral a la zquerda de la gualdad, es de un dferencal perfecto, y puede calcularse según: t ( ) t ( ) d() t ( t) ( t) (.56) Empleando (.56) en (.55), el oltaje en el tempo t, puede calcularse medante: t ( t) ( t) ( t) dt C t (.57) Que muestra que s se conoce () t y la funcón t () en el nteralo t a t, puede calcularse en el nstante t. S deseamos que el tempo t sea un tempo cualquera y t un tempo de referenca o de nco del estudo, conene reemplazar la arable t, de la ntegral del segundo membro, por. Esto para etar confusones, ahora t es un parámetro. Entonces la solucón general, puede expresarse según: t ( t) ( tref ) ( ) d C tref (.58) La msma metodología nos permte expresar la solucón de (.9), para la carga, en térmnos de la corrente: q( t) q( t ) ( ) d ref t tref (.59) Tambén puede obtenerse, a traés de un desarrollo smlar, una expresón para determnar la energía s se conoce la potenca; esto se logra ntegrando la relacón (.36). Se obtene: Leopoldo Sla Bjt

31 Capítulo. Componentes Elementales 3 w( t) w( t ) p( ) d ref t tref (.60) En algunos textos, para smplfcar más la solucón general, se asume que no había nada antes del nstante de la creacón, es decr en t tendendo a menos nfnto. Se tene, consderando que el nstante de referenca se encuentra en menos nfnto, que: Reemplazando en (.58), se logra: ( tref ) ( ) 0 t ( t) ( ) d C (.6) Que permte expresar el oltaje en térmnos de la corrente y el alor del condensador. Ejemplo.4. Para el sguente cambo de tensón en un condensador, se tendrá, empleando la relacón (.48), que puede determnarse la corrente: V t t t CV/(t -t ) t t t Fgura.44. Varacones en un condensador. Mentras más pequeño es el nteralo, en que se aplca el cambo de la tensón, mayor será la ampltud constante de la corrente en el nteralo. Nótese que el área bajo la cura de la corrente es constante e gual a CV. S consderamos ahora que la causa es un pulso posto de corrente, se tendrá como resultado un cambo lneal del oltaje, como se apreca en la Fgura.44. Leopoldo Sla Bjt

32 3 Teoría de Redes Eléctrcas Un pulso de corrente mplca una carga del condensador y, por lo tanto, un cambo de tensón. Un cambo nstantáneo de tensón requere una corrente nfnta aplcada en un nteralo cero. Esto no se puede producr en la realdad. Veremos más adelante como tratar matemátcamente este caso. Tambén debe notarse que, s la corrente aplcada es constante, se tendrá un oltaje que crece lnealmente en el tempo. Esta es la forma de generar oltajes proporconales al tempo, que se emplean en numerosas aplcacones en electrónca. Por ejemplo, en los crcutos que generan las bases de tempo en oscloscopos Modelos con pérddas Nótese que se ha asumdo que el aslador entre las placas del condensador es perfecto, por lo cual no hay correntes de conduccón a traés del condensador. En la práctca un condensador tendrá pérddas debdas a un deléctrco real, lo cual puede modelarse según: C C R R Fgura.45. Modelo de condensador con R muy grande. La Fgura.45, dealza que los conductores empleados son perfectos; en caso que no lo fueran, las pérddas de conduccón podrían modelarse con una resstenca R adconal: R C C R R Fgura.46. Condensador con pérddas R y R son elementos parástos en el modelo. R es muy pequeña y R muy grande. No se desea que estén presentes. El modelo de la Fgura.46 consdera que las correntes no producen campos magnétcos. Leopoldo Sla Bjt

33 Capítulo. Componentes Elementales Inductor Están basados en un conductor por el cual crcula una corrente. S el conductor se enrolla de certa forma, produce un campo magnétco ntenso en determnada regón. Lo cual permte nducr efectos magnétcos en las ecndades. Por esto se denomna nductor Flujo enlazado Sea el flujo magnétco asocado a una superfce que se apoya sobre un camno conductor, por el cual crcula una corrente. da B Fgura.47. Flujo magnétco. Se defne el flujo magnétco como: B da (.6) La referenca para medr el flujo es la dreccón del dferencal de área, smlar a la polardad que se emplea para el oltaje. El flujo es un escalar, con alor posto s la dreccón del campo magnétco concde con la dreccón del dferencal de área. Es una medda de la componente normal promedo en la superfce. S el deanado está formado por aras ueltas, se defne el enlace de flujo de los flujos ndduales. como la suma n (.63) Leopoldo Sla Bjt

34 34 Teoría de Redes Eléctrcas 3 Fgura.48 Flujo total enlazado. La Fgura.48 lustra que los flujos de cada uelta de un deanado o enrollado, dependen de las áreas ndduales. El flujo enlazado es un escalar asocado a todas las ueltas. S las N ueltas tenen gual área y orentacón: N (.64) Donde es el flujo asocado a una uelta Ley de Ampère Establece que se produce un campo magnétco, que tende a enrollarse en torno a la corrente que lo produce. En la Fgura.49, se tene que el promedo de la componente tangencal del campo magnétco, en el camno que encerra a la corrente, está relaconado con ésta, según: B dl (.65) dl B Fgura.49. Ley de Ampère. Donde es la permeabldad magnétca. S se enrollan N ueltas de un alambre conductor, muy cercanas entre sí, el campo tenderá a ntensfcarse en el centro de las ueltas. S el deanado es muy largo, puede demostrarse que B será homogéneo dentro de las ueltas y cero fuera del enrollado. Aplcando la ley de Ampère Leopoldo Sla Bjt

35 Capítulo. Componentes Elementales 35 (.65) al camno rectangular de la Fgura.50, de alto l, y consderando que el campo magnétco y el dferencal de camno tenen gual dreccón, se tendrá, que para este caso, se obtene: Bl N (.66) B Fgura.50. Cálculo de B en un solenode. Multplcando ambos membros de (.66) por el área A del deanado, y ddendo ambos membros de (.66) por l, se obtene: BA NA l (.67) Multplcando por N, ambos membros de (.67) y utlzando (.6) se obtene: Reemplazando (.64) en (.68) se obtene: N N A l N A l (.68) (.69) Defnendo el grupo de constantes que dependen de la geometría y los materales, como la nductanca L, se tene: L N A l (.70) La ley de Ampère, puede escrbrse en forma escalar, reemplazando (.70) en (.69), según: Donde L es la nductanca, se mde en Henrys [Hy]. L (.7) Leopoldo Sla Bjt

36 36 Teoría de Redes Eléctrcas La nductanca mde la capacdad de un artefacto, por el cual crcula una corrente, para producr un campo magnétco. Para gual corrente, a mayor L se tendrá mayor flujo enlazado. La relacón (.7) es una forma práctca de la Ley de Ampère. La nductanca depende de la geometría del enrollado o deanado y del materal que esté formado el núcleo. S se usa ferro la nductanca será mucho mayor que s el núcleo es de are. S exsten dos deanados: Fgura.5. Deanados acoplados magnétcamente. El flujo enlazado por el crcuto uno, dependerá de e según: L M (.7) Donde L es la autonductanca o nductanca propa, y M se denomna nductanca mutua Fuerza electromotrz Se defne la fuerza electromotrz (fem) según: E dl (.73) E dl Fgura.5. Fuerza electromotrz. Es decr, el promedo de la componente tangencal al camno. Mde s el campo eléctrco tene líneas crculares en la regón. Leopoldo Sla Bjt

37 Capítulo. Componentes Elementales 37 S exstera una fem, y s se colocara una carga q en el camno, ésta expermentará una fuerza que la moerá a lo largo del camno. Producéndose una corrente eléctrca nducda. La dreccón de referenca para medr la fem queda dada por la del sentdo del dferencal de camno. La fem tene una dreccón de referenca, la que es smlar a la empleada para las correntes Ley de Faraday La Ley de Faraday se plantea según: d dt (.74) S aría el campo magnétco en el tempo, se producrá una fem. S se coloca un camno conductor, en éste crculará una corrente, que se denomna nducda. da Fgura.53. Ley de Faraday S el flujo aumenta, la fem será negata y producrá una corrente nducda cuya dreccón será opuesta a la de la fem. Esta corrente produce un campo magnétco nducdo cuya dreccón será opuesta al campo magnétco nductor que produjo la fem Voltaje generado S se aplca un campo magnétco arable, a traés del crcuto formado por el conductor, se producrá una fem asocada al camno cerrado. La fem es un escalar asocado al camno cerrado y su dmensón se expresa en Volts. Puede ser relaconada con el oltaje entre los termnales de un nductor, abrendo el camno conductor según se muestra en la Fgura.54. De esta forma se obtenen dos termnales, a y b, que se lustran alejados de la zona donde exste aracón del campo magnétco. Puede consderarse que la separacón en el camno conductor, para derar los termnales, es nfntesmal. En la zona donde se defne el oltaje, entre los termnales a y b, no hay campos magnétcos arables. Entonces las líneas del campo eléctrco no serán crculares, y puede defnrse el oltaje según fue sto en (.8). Leopoldo Sla Bjt

38 38 Teoría de Redes Eléctrcas da b ab a Fgura.54. Voltaje generado. Se tene para la ntegral, a traés del are, entre b y a: Para el camno cerrado, puede defnrse la fem según: ab a E dl (.75) b a b E dl E dl E dl (.76) b Reemplazando la prmera ntegral de línea en (.76), que se efectúa a traés del are, por el oltaje de (.75), resulta: a ab b a E dl (.77) La ntegral de línea en (.77), desde a haca b, se realza a traés del camno conductor. En el conductor, el campo eléctrco puede expresarse en térmnos de la densdad de corrente J (.8); a su ez ésta en térmnos de la corrente (.9). Fnalmente reconocemos la relacón para la resstenca del conductor (.3), obtenendo: b a J J A l E dl E l l l R (.78) A A Reemplazando (.78) en (.77), obtenemos: ab R (.79) Leopoldo Sla Bjt

39 Capítulo. Componentes Elementales 39 Empleando la Ley de Faraday (.74), reemplazamos la fem por la aracón del flujo enlazado, en (.79), obtenendo una relacón entre el oltaje generado y el campo magnétco arable que lo produce: ab R d dt (.80) La relacón (.80), puede consderarse la defncón de un nductor con pérddas. S se asume que el conductor que forma el enrollado es perfecto, se tendrá que R tendrá alor cero en (.80), y se obtene: ab d dt (.8) Que es una forma alternata de la Ley de Faraday. La relacón (.8) tambén puede nterpretarse como la aracón magnétca que se produce al aplcar una tensón arable en el tempo entre los termnales a y b. La aracón de oltaje causa una aracón del campo magnétco, y ceersa. S consderamos la ley de Faraday (.8) y la ley de Ampère (.7): d dt L (.8) Y elmnamos, de las dos ecuacones anterores, el flujo enlazado, se llega al modelo de redes de un nductor, postulado en (.) Ecuacón de equlbro Se defne la relacón entre el oltaje producdo entre los termnales de un nductor a traés del cual crcula una corrente, medante: d( L) dt (.83) El sguente símbolo, que recuerda a un enrollado, o deanado, representa a un nductor: Leopoldo Sla Bjt

40 40 Teoría de Redes Eléctrcas a L S L no depende de, n de, n de t, se logra: b Fgura.55. Inductor. d L dt (.84) Ecuacón dferencal de prmer orden, con coefcente constante. L se mde en Henrys [Hy]. Nótese que s la corrente es constante, el oltaje será cero y el nductor se comporta como un cortocrcuto. S es mayor que cero, la corrente aumenta. Esto mplca un aumento del campo magnétco; y se dce que el nductor está magnetzándose Potenca y energía en nductores A partr de la expresón (.39), para la potenca que ngresa a una componente, se reemplaza el oltaje de la relacón (.84), obtenéndose: Se ha empleado que: p d L dt L d( ) dt (.85) L d d( ) (.86) L dt dt Donde el numerador del térmno derecho de (.86) es el dferencal exacto; la relacón puede derarse del cálculo. Leopoldo Sla Bjt

41 Capítulo. Componentes Elementales 4 De la ley de la conseracón de la energía (.36), se tene que la potenca que ngresa a un nductor, en térmnos de la energía almacenada en éste, es: dw p L (.87) dt Comparando los dferencales de los numeradores del lado derecho de (.85) y (.87) puede expresarse la energía asocada al nductor, en térmnos de la corrente, por: w L L L (.88) Donde se ha empleado la relacón (.7), para obtener una expresón de la energía en térmnos del flujo enlazado. Nótese que la energía en el nductor en (.88), debdo a que depende del cuadrado de la corrente, sempre será posta. De la (.87) obseramos que con p 0 el nductor se magnetza; y con p 0 se desmagnetza Ecuacón de equlbro en funcón del oltaje Con un desarrollo smlar al sto en.3..3 se puede obtener: t ( t) ( tref ) ( ) d L tref (.89) Y tambén la sguente relacón smplfcada: t ( t) ( ) d L (.90) Ejemplo.5. Para el sguente cambo de corrente en un nductor, se tendrá, aplcando la relacón (.84): Leopoldo Sla Bjt

42 4 Teoría de Redes Eléctrcas I t t t LI/(t -t ) t t t Fgura.56. Pulso de oltaje en nductor. Sólo hay cambos de, s camba en el tempo. Cuando la corrente es constante, en el tempo, el oltaje en el nductor es cero. Una dscontnudad fnta de mplca una tensón o oltaje que tenden a nfnto. Esto puede obserarse, consderando que el área del pulso de oltaje, en la Fgura.56, es constante. Y a medda que aumenta la pendente de la corrente, dsmnuye el nteralo de tempo, con lo cual aumenta la ampltud del pulso. Abrr un crcuto que contene una nductanca, produce una eleada tensón en ésta. Lo cual se ha empleado para producr chspas en las bujías de los automóles. Cuando la tensón es muy eleada, entre dos conductores metálcos cercanos entre sí, se produce la ruptura del are, que normalmente es aslador, en forma smlar a la que se produce al formarse un rayo en tormentas eléctrcas Inductores acoplados S tenemos dos deanados o bobnas, por las cuales crculan correntes se producrán flujos enlazados debdos a las dos correntes, er (.7), según: L M M L (.9) Un dagrama que muestra los campos magnétcos y las correntes que crculan por los deanados, se muestra en la Fgura.57. Leopoldo Sla Bjt

43 Capítulo. Componentes Elementales 43 Fgura.57. Inductores acoplados. Las referencas para las dreccones de las correntes y de los enlaces de flujo para los deanados, cumplen la defncón sta en la Fgura.5, que suele conocerse como regla de la mano derecha. S los dedos, de la mano derecha, sguen la dreccón de la corrente, el pulgar ndca la dreccón del campo magnétco. Es decr, el flujo enlazado por el nductor, en parte se debe a la corrente, y en parte a la corrente. Smlar stuacón ocurre en el deanado dos. Se asume que exste un materal ferromagnétco (un núcleo), sobre el cual están enrollados los deanados; de esta forma, gran parte de las líneas magnétcas producdas por la corrente son guadas a pasar a traés del nductor uno; tambén las líneas magnétcas producdas por la corrente uno pasan, cas en su totaldad a traés del deanado dos. Puede demostrarse que: M M M (.9) Reemplazando la (.9) en la (.9) y aplcando la Ley de Faraday (.8), se logra la relacón de equlbro para nductores acoplados magnétcamente: d d L M dt dt d d M L dt dt (.93) En redes eléctrcas no suele emplearse el dagrama físco que muestra el sentdo de los enrollados de la Fgura.57, sno que se asoca el símbolo de red, de la Fgura.58, a las ecuacones (.93). Leopoldo Sla Bjt

44 44 Teoría de Redes Eléctrcas a M c L L b d Fgura.58. Modelo de redes de nductores acoplados. Se ha dbujado un punto a cada nductor, y éstos se relaconan con M. Esta notacón refleja el sentdo de los enrollados en el núcleo. Exste otra posbldad de sentdos relatos de enrollamento entre dos deanados. Esto se lustra en la Fgura.59: Fgura.59. Otro sentdo de enrollamento. Los flujos enlazados quedan relaconados, aplcando la regla de la mano derecha, según: L M M L (.94) Aplcando la Ley de Faraday (.8), a (.94), se obtene: d d L M dt dt d d M L dt dt (.95) Para la cual se emplea el sguente modelo gráfco de redes: Leopoldo Sla Bjt

45 Capítulo. Componentes Elementales 45 a c M L L b d Fgura.60. Inductores acoplados. Stuacón a la que podría haberse llegado, reemplazando por, y por en las ecuacones (.93) para el prmer sentdo de los enrollados. S ambas correntes entran por las marcas, y los oltajes tenen la polardad posta haca el punto se tene la relacón (.93). Pueden exstr aras parejas de nductores acoplados. Se requere en estos casos, marcar cada pareja de acoplamento. La notacón que recuerdan las marcas es el sentdo relato de enrollamento entre los deanados, y se emplea del sguente modo: S una corrente entra por un punto, en un deanado, producrá una tensón nducda con polardad posta haca el punto en el otro deanado. El dsposto permte transferr energía del lado uno haca el dos, y ceersa, lo cual se emplea en transformadores. Nótese que el acoplamento sólo se produce s las correntes y oltajes arían en el tempo Modelo con pérddas En un transformador real se producen pérddas por calentamento del núcleo, debdo a que éste es conductor y al ser sometdo a un campo magnétco arable, crcularán correntes en el ferro, que mplcan calentamento. Tambén en los conductores de cobre se producen pérddas al no ser deales. Se muestran las resstencas asocadas a la dspacón por calentamento de los conductores con subíndce cu (por pérddas de cobre) y con subíndce fe las resstencas que modelan el calentamento del ferro. R cu a M c R cu R fe L L R fe b d Fgura.6. Inductores acoplados con pérddas. Leopoldo Sla Bjt

46 46 Teoría de Redes Eléctrcas.3... Transformador deal Las sguentes ecuacones defnen el modelo de redes de un transformador deal, donde n y n son las ueltas de los deanados: n n ; n n (.96) Para las cuales se emplea el sguente símbolo gráfco: a deal c b n:n d Fgura.6. Transformador deal. Se emplea un símbolo smlar al de nductores acoplados, pero no se ndcan alores de nductancas propas y mutuas; sólo la razón de ueltas entre deanados. Nótese que en esta componente, se produce acoplamento aún s las arables no arían en el tempo. Esto aleja a esta defncón de la realdad físca, ya que cómo se erá en (.00), los oltajes sólo exsten asocados a campos magnétcos arables en el tempo. Multplcando las relacones (.96) puede demostrarse que la suma de las potencas que ngresan al dsposto es cero. Se tene: (.97) De (.39) se tenen, para las potencas que entran por el lado uno y dos respectamente: p p (.98) Reemplazando (.98) en (.97), se obtene: p p 0 (.99) Que puede leerse: La potenca que entra por el lado uno es gual a la que sale por el lado dos; es decr, no hay pérddas en un transformador deal. Leopoldo Sla Bjt

47 Capítulo. Componentes Elementales 47 La dealzacón consste en asumr que en ambos deanados se produce un flujo común, no exstendo dspersón magnétca. De este modo aplcando la ley de Faraday (.8) se obtene: d n dt (.00) d n dt Efectuando el cuocente de (.00), se obtene la prmera ecuacón de (.96). La segunda dealzacón, es que el medo magnétco es perfecto, y que no exste oposcón a la produccón de flujo magnétco, esto puede derarse de la (.68) NA l (.0) Que puede escrbrse: la N (.0) Reemplazando el térmno de la derecha, que se denomna ampere-ueltas, por las correntes y las ueltas de ambos deanados, se obtene: n n l A (.03) Para permeabldad tendendo a nfnto, se obtene: Que es la segunda ecuacón de (.96). n n 0 (.04).4. De las Leyes de Maxwell a las Leyes de Krchhoff La deracón de las Leyes de Krchhoff a partr de las leyes del Electromagnetsmo muestra el alcance que éstas tenen y el ámbto en que pueden aplcarse. El modelo matemátco que fundamenta la teoría electromagnétca presenta dos relacones fundamentales conocdas como: Ecuacón de contnudad (.05) y Ley de Faraday (.06): Leopoldo Sla Bjt

48 48 Teoría de Redes Eléctrcas SV d J da dol dt V (.05) CS E dl d dt S B da (.06) La formulacón ntegral de (.05) muestra que la componente normal promedo de la densdad de corrente, que emana a traés de una superfce que defne un olumen, es gual al decremento temporal de la carga encerrada en el olumen. Se ha empleado para defnr la densdad espacal de carga en el olumen. S se defne q, como la carga encerrada en el olumen, la relacón (.05) podría escrbrse: S V J da dq dt (.07) La formulacón ntegral de (.06) muestra que la componente tangencal promedo del campo eléctrco, a traés de un camno que defne una superfce, es gual al decremento temporal de la componente normal promedo del campo magnétco que emana a traés de la superfce. S se defne, como el enlace de flujo magnétco en la superfce S, la relacón (.06) podría escrbrse: C S E dl d dt (.08) La Fgura.63, muestra una componente de redes, junto al resto de la red. Se ha dentfcado la superfce que encerra a un olumen S V, como la superfce externa de la componente, lo cual llea a dentfcar a q, como la carga asocada a la componente. Se ha dentfcado el camno cerrado que defne una superfce C S, como un camno que pasa a traés de la componente, lo cual llea a dentfcar a, como el flujo enlazado por la superfce que se apoya en el camno. Al asocar al olumen S V una cantdad escalar, se está efectuando una abstraccón que se denomna de parámetros concentrados. Parámetros como: el color, la forma espacal, los materales con que está realzada la componente quedan dentro de una caja negra. El punto de atencón son las arables defndas en la nterfaz, todo lo demás queda oculto. Los modelos de parámetros concentrados focalzan los fenómenos físcos a las arables que pueden ser obseradas y meddas en los termnales de las componentes; lo que suceda en el nteror de éstas no queda representado en el modelo. Leopoldo Sla Bjt

49 Capítulo. Componentes Elementales 49 C S a S V q b Fgura.63. Modelo de parámetros concentrados. Las componentes dscretas no dependen de arables espacales, y se las podría dbujar como la abstraccón geométrca de una línea o de un punto; sn embargo ha sdo tradconal dbujarlas como un pequeño rectángulo. Para que puedan ser defndas una arable corrente que atraesa la componente y un oltaje entre los termnales es necesaro que dentro del olumen encerrado por S V se cumpla que: dq dt 0 (.09) Y que en el área S, que está fuera de las componentes, defnda por el camno C S se cumpla que: d dt 0 (.0) La relacón (.09) se denomna prncpo de conseracón de la carga; la (.0) se reconoce como prncpo de conseracón del enlace de flujo. S se aplcan las condcones de conseracón (.09) y (.0) a la ley de contnudad (.07) y la ley de Faraday (.08), se obtenen las fórmulas ntegrales de las Leyes de Krchhoff: J da 0 (.) S V E dl 0 (.) C S Leopoldo Sla Bjt

50 50 Teoría de Redes Eléctrcas De esta forma (.) mplca que puede defnrse un oltaje asocado a cada componente; y que la suma orentada de los oltajes en un camno cerrado que pase a traés de las componentes debe ser cero; es decr La Ley de Voltajes de Krchhoff. Además (.) mplca que las componentes que produzcan flujos magnétcos deben mantenerlos confnados dentro de la componente. La ecuacón (.), permte defnr una corrente a traés de la componente. S la superfce S V, encerra a aras componentes, se obtene La Ley de Correntes de Krchhoff, como se muestra en la Fgura.64; en ésta se muestra la referenca para efectuar la ntegral de área, que es la que defne los sgnos de la relacón (.3). 3 S V q q q 3 da Fgura.64. LCK Aplcando (.) en la Fgura.64 se obtene: Aplcando (.09) a la Fgura.64, se obtene: 3 0 (.3) ( q q q3) t 0 (.4) En la Fgura.65, se muestra un camno cerrado C S, ndcando la referenca para el dferencal de camno. Para la dreccón de recorrdo ndcada, el dferencal de área para calcular el enlace de flujo debe estar salendo del papel; esto se ha marcado con un punto en la referenca para. C S dl Fgura.65. LVK Leopoldo Sla Bjt

51 Capítulo. Componentes Elementales 5 Aplcando (.) en la Fgura.65 se obtene, aplcando la defncón (.8): 0 (.5) Para que se cumpla la LVK en (.5), debe tenerse en la Fgura.65, que: d dt 0 (.6) Los conceptos de sumas orentadas que se emplean en las Leyes de Krchhoff están relaconados con las defncones de referenca para el dferencal de área en (.) y el dferencal de camno en (.). La teoría electromagnétca muestra que cuando las dmensones físcas de los elementos eléctrcos son comparables con la longtud de onda de campos arables en el tempo, deben efectuarse modelos dstrbudos y no concentrados. De esta forma los modelos matemátcos, que representan componentes, serán ecuacones dferencales parcales, en las cuales se agregan aracones espacales a las temporales. Dcho de otra forma: La teoría de redes eléctrcas con modelos de parámetros concentrados no podrá emplearse cuando no puedan defnrse correntes y oltajes. Leopoldo Sla Bjt

52 5 Teoría de Redes Eléctrcas Problemas resueltos En el Apéndce, se descrben algunos comandos Maple que pueden emplearse para analzar redes eléctrcas. Se lustran solucones Maple de problemas, mostrando el planteo y solucón de los modelos matemátcos que se deran de aplcar la Teoría de Redes. Se recomenda escrbr los programas y analzar los resultados generados por los comandos, drectamente en un computador. Problema.. Determnar I y p, para la red de la Fgura P.. A R B R C E p I R 3 E D Fgura P. Solucón. Se dentfcan arables: 3 A R B R 3 C E p I R E D Fgura P. Varables Ecuacones LCK: Ecuacones LVK: 0, I 3, 3 4 Leopoldo Sla Bjt

53 Capítulo. Componentes Elementales 53, 3 4 Ecuacones de equlbro: E, R, R I, R, E Se tenen 0 ecuacones en las sguentes 0 ncógntas:,,,,,,,,, I Análss: Debdo a que p, para determnar lo requerdo, se requere resoler para las arables:,, I. Resultan: p I RE R E R R RR3 R3R E ( R3E RE R3E ) R R R R R R 3 3 Solucón en Maple > restart: Planteamos (-) LCK ndependentes en los nodos. > lck:={+ = 0, = I5 + 3, 3 = 4}; Planteamos (e- +) ecuacones LVK en mallas. > lk:={= +, = 3 + 4}; >ecequlbro:={=e, =R*, =R3*I5, 3=R*3, 4=E}; Defnmos las ncógntas, las arables en los elementos: >oltajes:={,,3,4,}; correntes:={,,3,4,i5}; >ecuaconesdelared:=ecequlbro unon lck unon lk: ncógntas:=oltajes unon correntes: El sguente comando resuele el problema en general. Debdo a la gran cantdad de ecuacones suprmremos la salda, empleando dos puntos como termnador del comando. > sol:=sole(ecuaconesdelared,ncógntas): Luego asgnamos las solucones a las ncógntas. De este modo podemos tener acceso a cualquer arable por su nombre. > assgn(sol): > *; p = E ( R E E R3 R3 E ) R R R R3 R R3 Leopoldo Sla Bjt

54 54 Teoría de Redes Eléctrcas Problema.. Para la red de la Fgura P.3 a) Con: R =, R =, R3 = 3, R4 = 4, calcular, y p. b) Determnar relacón entre E, E y J para que p >= 0. A R B R C E p J E R 3 R 4 D E F Fgura P.3 Solucón: a) Identfcacón de arables: A R B R C E p 3 R 3 D E Fgura P.4 Identfcacón de arables J 5 4 R 4 4 F E Ecuacones de equlbro: R, R, R, R, E, J, E Ecuacones LCK, nodo D de referenca: 0,,,, Ecuacones LVK:, Análss: Para determnar lo requerdo, se requeren calcular:,, p ó 5 Leopoldo Sla Bjt

55 Capítulo. Componentes Elementales 55 p 66 Nos concentraremos en determnar:, 6, 4. Reemplazando ecuacones de equlbro en LVK: E R R R R E Empleando ecuacones LCK: J 5 4 J 3 4 Se obtene el sstema: E R ( ) R ( J J ) 6 3 R ( J ) R ( j ) E Sstema del cual se obtenen y 6. Ealuando con los datos de las resstencas: E 6J E 0 3E E J 6 5 Para calcular 4, empleamos: 4 R44 4( J ) Obtenendo: 4 E E 8J 5 Lo que nos permte determnar : 4 6 E 4E 4J 5 Fnalmente la potenca, en térmnos de los datos: J p 66 (3E E J) 5 b) En la relacón anteror, logramos la condcón con: p 0 Leopoldo Sla Bjt

56 56 Teoría de Redes Eléctrcas Se obtene: Solucón en Maple J (3E E J ) 0 > restart; >ecequlbro:={=r*, =R*, 3=R3*3, 4=R4*4, 5=E, 6=J, 7=E}; datos:={r=, R=, R3=3, R4=4}: Planteamos (-) LCK ndependentes en los nodos. >lck:={+7=0, +6=, =5, 5=4, 4=6+3}; Planteamos (e- +) ecuacones LVK en mallas. > lk:={7=-6+3, =0}; Defnmos las ncógntas, las arables en los elementos: > oltajes:={,,3,4,5,6,7}; correntes:={,,3,4,5,6,7}; >ecuaconesdelared:=ecequlbro unon lck unon lk: ncógntas:=oltajes unon correntes: El sguente comando resuele el problema en general. > sol:=sole(ecuaconesdelared, ncógntas); Luego asgnamos las solucones a las ncógntas. De este modo podemos tener acceso a cualquer arable por su nombre. > assgn(sol): Recén comenzan las entajas de emplear procesadores matemátcos para el análss de redes. Veremos algunas aplcacones como lustracones Como prmer ejemplo, eremos la expresón asocada a 7. > 7; > :=-5-; > p:=-6*6; > eal(7, datos); > eal(, datos); > pot:=smplfy(eal(p, datos)); > eal(6, datos); > eal(4,datos); Problema.3. Para la red de la Fgura P.5: a) Determnar potencas que ngresan a las resstencas. b) Determnar potencas que salen de las fuentes. Leopoldo Sla Bjt

57 Capítulo. Componentes Elementales 57 J R R E Solucón. Identfcacón de arables: Fgura P J 4 R R 3 3 E 5 6 Fgura P.6 Ecuacones de la red: R, R, E, J, 0, 0, 0, ,,, , 0, 0, Reemplazando ecuacones de equlbro en LVK: E, E, E 4 Reemplazando ecuacones de equlbro en LCK: 3 J R R Substtuyendo y, se obtene: ( R R ) E R R J 3 RR Potenca que sale de la fuente de corrente: Leopoldo Sla Bjt

58 58 Teoría de Redes Eléctrcas P EJ C 44 Potenca que sale de la fuente de tensón: E( R E RE R R J ) Pt 33 RR Potenca que sale de la resstenca R: P Potenca que sale de la resstenca R: P R R E R E R No es necesaro calcular 3 s se aplca conseracón de la energía, ya que: Solucón en Maple > restart; >ecequlbro:={4=j, 3=E, =R*, =R*, 5=0, 6=0, 7=0, 8=0}; datos:={r=, R=, J=, E=}: Planteamos (-) LCK ndependentes en los nodos. >lck:={8+4=5, 5=+, 4+=+3, 8=+7}; Planteamos (e- +) ecuacones LVK en mallas. >lk:={3-+7=0, 3++6=0, -4+5+=0, 4+8+=0}; Defnmos las ncógntas, las arables en los elementos: > oltajes:={,,3,4,5,6,7,8}; correntes:={,,3,4,5,6,7,8}; >ecuaconesdelared:=ecequlbro unon lck unon lk: ncógntas:=oltajes unon correntes: El sguente comando resuele el problema en general. > sol:=sole(ecuaconesdelared, ncógntas); Luego asgnamos las solucones a las ncógntas. De este modo podemos tener acceso a cualquer arable por su nombre. > assgn(sol): Como prmer ejemplo, eremos la expresón asocada a las potencas en las fuentes: > 4*4; > 3*3; Expresones asocadas a las potencas en las resstencas: > *; > *; Leopoldo Sla Bjt

59 Capítulo. Componentes Elementales 59 > smplfy(4*4+3*3); > smplfy(*+*); > p3:=smplfy(*+*-4*4); > smplfy(3*3); Problema.4. Para la red eléctrca de la Fgura P.7, con J = 4 y p =, determnar p y. p J J p Fgura P.7 Solucón: Se dentfcan arables: 3 J 3 p J p 4 4 Fgura P.8 Ecuacones de la red. J, J, R, R , 0, S es red eléctrca, para que se cumpla LCK, debe tenerse: J J Puede calcularse, según: Leopoldo Sla Bjt

60 60 Teoría de Redes Eléctrcas p J 4 Calculando : R3 3 R44 J J 8 4 Fnalmente, puede determnarse p: 5 p ( )( 4) 50 Solucón en Maple > restart; >ecequlbro:={=j, 3=R3*3, =-J, 4=R4*4}; datos:={j=4, R3=, R4=}: Planteamos (-) LCK ndependentes en los nodos. > lck:={=3, 3+=0, +4=0}; Planteamos (e- +) ecuacones LVK en mallas. > lk:={=3++4}; Defnmos las ncógntas, las arables en los elementos: > oltajes:={,,3,4}; correntes:={,,3,4}; >ecuaconesdelared:=ecequlbro unon lck unon lk: ncógntas:=oltajes unon correntes: El sguente comando resuele el problema en general. > sol:=sole(ecuaconesdelared,ncógntas); Luego asgnamos las solucones a las ncógntas. De este modo podemos tener acceso a cualquer arable por su nombre. > assgn(sol): Veremos la expresones asocadas a p y p: De la ecuacón, se puede resoler > ec:=sole(p=-*,); > al:=eal(ec, datos unon {p = }); > p:=*; > eal(p, datos unon {=al}); Problema.5. Para la red de la Fgura P.9, determnar (). Leopoldo Sla Bjt

61 Capítulo. Componentes Elementales 6 B R C J E R R 3 A D Fgura P.9 Solucón: Identfcacón de arables: B R C J E 5 R R 3 3 A D Ecuacones: R, R, R, J, E ,,, , Fgura P.0 Para encontrar la relacón, elmnamos las arables nternas: R R E R ( R R ) E R ( R R )( J ) E R 3 Despejando, obtenemos: E J ( R R3) R R R 3 Leopoldo Sla Bjt

62 6 Teoría de Redes Eléctrcas Solucón en Maple > restart; > ecequlbro:={4=j, 5=E, =R*, 3=R3*3, =R*}; datos:={r=, R=, R3=3, J=4, E=5}: Planteamos (-) LCK ndependentes en los nodos. > lck:={=-4, =5, 5=3, 3=+4}; Planteamos (e- +) ecuacones LVK en mallas. > lk:={4=+5+3, =4+}; Tenemos ecuacones. Defnmos las ncógntas, las arables en los elementos más la arable : De este modo podrá obtenerse expresones en funcón de. > oltajes:={,,3,4,5}; correntes:={,,3,4,5,}; >ecuaconesdelared:=ecequlbro unon lck unon lk: ncógntas:=oltajes unon correntes: El sguente comando resuele el problema en general. > sol:=sole(ecuaconesdelared, ncógntas); Luego asgnamos las solucones a las ncógntas. De este modo podemos tener acceso a cualquer arable por su nombre. > assgn(sol): La expresón buscada es (): > ; > restart; > sole( = -(-+E+J*R3+J*R)/(R+R3+R),{}); Problema.6. Para la red de la Fgura P., consderando constantes los alores de las resstencas. a) Determnar alor de J para que la fuente de tensón entregue potenca mínma. b) Relacón entre E y J para que la fuente de tensón absorba energía. R J R Fgura P. Leopoldo Sla Bjt E

63 Capítulo. Componentes Elementales 63 Solucón. a) Identfcando arables: R J R J E E Fgura P. Se requere determnar expresón para la potenca entregada por la fuente de tensón: p E Entonces es precso conocer E. Se tenen las sguentes ses ecuacones: LVK+ ec. equlbro fuente E: E LVK: J LCK+ ec. Equlbro fuente J: J E LCK: Ecuacones de equlbro resstencas: R, R E Resultan: R R Potenca entregada por la fuente de tensón: Leopoldo Sla Bjt J p E E( J ) La mínma entregada es cero; ya que s E E E E E E( E J ( R R) R R p es negata, la fuente recbe energía. Entonces para que la fuente entregue mínma potenca, se requere: E J R R b) Para que absorba energía: p E 0

64 64 Teoría de Redes Eléctrcas Lo cual se logra con: Problema.7. E J ( R R ) En la red de la Fgura P.3, se tenen: C =, (0) =, (t) = u(t-) - u(t-) - (t-3) + u(t-4) - 3u(t-5) + u(t-8) (t) C Fgura P.3 Dbujar la forma de onda de (t) Calcular (t) y expresar en térmnos de escalones untaros. Solucón. t Fgura P.4 Para calcular el oltaje, conocendo la corrente, empleamos: t ( ) ( t ) := d Puede obtenerse ntegrando gráfcamente la Fgura P.4, la forma de onda de (t). 0 Leopoldo Sla Bjt