Rentas financieras. Unidad 5

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1 Undad 5 Rentas fnanceras 5.. Concepto de renta 5.2. Clasfcacón de las rentas 5.3. Valor captal o fnancero de una renta 5.4. Renta constante, nmedata, pospagable y temporal Valor actual Valor fnal 5.5. Renta constante, nmedata, prepagable y temporal Valor actual Valor fnal 5.6. Rentas perpetuas Valor actual 5.7. Rentas dferdas en d períodos de rédto constante Valor actual 5.8. Rentas antcpadas en h períodos de rédto constante 5.9. Determnacón de n e en las rentas de rédto constante Estudo del valor actual como funcón de n Estudo del valor actual como funcón de Ejerccos propuestos

2 46 Rentas fnanceras 5.. Concepto de renta En el lenguaje corrente, renta es una sucesón de cobros o pagos peródcos, que tenen el carácter de rendmento de un captal (como la rentabldad o alquler de un nmueble, las amortzacones de un préstamo, las aportacones a un plan de pensones, etc.); en matemátca fnancera, el concepto es muy amplo y corresponde a un conjunto de prestacones (monetaras) con vencmentos dversos. A cada una de las prestacones se le llama plazo o térmno de la renta, y llamaremos período al espaco de tempo (generalmente un año) que hay entre dos prestacones consecutvas. En cuanto al orgen y duracón de la renta, tenen un sgnfcado claro cuando la renta es contínua o peródca; orgen es entonces la fecha de comenzo de las prestacones y duracón es el ntervalo entre el prncpo y el fnal de las prestacones. En relacón con el objeto de las rentas, éste está ntmamente lgado al de su valoracón, se trata pues de encontrar un valor de la renta en un momento determnado del tempo. De esta forma se puede determnar: el valor fnal en un momento cualquera no anteror al vencmento del últmo térmno, el valor actual en cualquer momento no posteror al vencmento del prmer térmno y eventualmente el valor en un momento ntermedo entre el prmer y últmo vencmento. El cálculo del valor fnal requere fjar una ley de nterés, habtualmente, al tratarse de operacones a más de un año, ésta será la del nterés compuesto; el cálculo del valor actual requere utlzar una ley de descuento, normalmente aplcaremos la del descuento raconal compuesto; por últmo el cálculo del valor en un momento ntermedo requere precsar ambas leyes y emplearemos la del nterés y el descuento raconal compuesto. Además, deberán cumplr las sguentes condcones: los térmnos de la renta han de ser guales, y s son varables la varacón ha de ser conocda; los períodos de vencmento de los térmnos, han de ser equdstantes, es decr, han de tener el msmo vencmento, anual, trmestral, mensual, Clasfcacón de las rentas Dada la gran aplcacón de las rentas a problemas económcos reales se hace precso su estudo según la clasfcacón y termnología clásca. Por ello, clasfcaremos las rentas en los sguentes grupos:. Cuando las varables que ntervenen en la defncón de la renta se suponen conocdas con certeza, se la denomna renta certa, empleando el térmno renta aleatora cuando alguna de las varables depende del resultado de un fenómeno aleatoro. 2. Otra clasfcacón es la que dstngue las rentas según la ampltud de sus períodos de maduracón. Cuando todos los períodos de renta, son de ampltud fnta la renta se denomna dscreta y se da el nombre de renta contnua a aquellas en las que todos los períodos son nfntesmales. Las rentas dscretas, tambén llamadas de período unforme, recben en partcular los nombres de anual, semestral, mensual,... en correspondenca con la medda del período.

3 5.3 Valor captal o fnancero de una renta Atendendo a la cuantía de los térmnos, las rentas dscretas se clasfcan en constantes y varables. Dentro de las constantes, se encuentran las rentas untaras, que son aquellas en las que todos los térmnos tenen de cuantía la undad. 4. Tenendo en cuenta el vencmento de los térmnos, clasfcaremos las rentas en: rentas prepagables, cuando todos los vencmentos concdan con el extremo nferor del correspondente período y rentas pospagables o rentas con vencmento de los térmnos al fnal de su correspondente período. En las rentas prepagables el orgen de la renta concde con el vencmento del prmer térmno, mentras que el fnal de la renta será posteror al últmo vencmento y por el contraro, en las rentas pospagables, el orgen es anteror al vencmento del prmer captal y, sn embargo, el fnal concde con el vencmento del últmo térmno. Un ejemplo de renta prepagable serían los alquleres, que en general se pagan por antcpado. Como ejemplo de pospagable, los sueldos, que suelen cobrarse a período vencdo. 5. Según que la duracón de la renta sea fnta o nfnta, ésta recbrá el calfcatvo de renta temporal o renta perpetua respectvamente. 6. La poscón del punto α de valoracón de la renta, respecto al orgen o fnal de la msma, proporcona otro crtero de clasfcacón. Así para α < t 0, se dce que la renta está dferda en d = t 0 α, para α > t n que está antcpada en h = α t n ; y recbe el nombre de renta nmedata cuando α concde con el orgen o fnal de la renta. 7. Fnalmente, según el tpo de sstema fnancero con el que se valores, se puede hablar de: rentas valoradas en captalzacón compuesta, rentas valoradas en captalzacón smple, Valor captal o fnancero de una renta En térmnos generales, se entende por valor captal de una renta en un determnado momento α al valor fnancero de la dstrbucón de captal que la defne. En partcular resulta nteresante la determnacón del valor captal o fnancero de las rentas en su orgen t 0 y en su fnal t n. Valores que recben los nombres específcos de valor ncal o actual y valor fnal de la renta respectvamente. Gráfcamente el valor actual de una renta puede verse en la fgura 5., C 3 0 +C 6 0 C 3 0 C 6 0 C 3 C 6 Además, verfca las propedades: t 0 t 3 Fgura 5.: Valor actual de una renta fnancera t 6

4 48 Rentas fnanceras respecto al punto de valoracón, las rentas, pueden ser valoradas en cualquer punto. propedad asocatva, por la que dos o más rentas pueden ser susttudas por una únca equvalente a las anterores. propedad dsocatva, por la que una renta puede ser desdoblada y obtener varas rentas equvalentes a la orgnal Renta constante, nmedata, pospagable y temporal Valor actual Estudaremos ncalmente las rentas constantes nmedatas que clasfcaremos según su vencmento en pospagables y prepagables y dentro de estos en temporales y perpetuas. A este fn, éstas, son las más sencllas con valores fnanceros de fácl tabulacón. Expresaremos las demás en funcón de las prmeras. Al valor actual de una renta constante temporal, nmedata, pospagable de térmno (untara), lo desgnaremos por a n, en el que n expresa su duracón en períodos y el subíndce el tpo de nterés peródco a que se evalúa. En la fgura 5.2 puede verse una representacón gráfca, 2. (n ) n a n 0 2 n n Fgura 5.2: Valor actual de una renta untara El valor actual de esta renta, lo calcularemos aplcando el prncpo general de equvalenca de captales en el orgen de la msma. Por tanto, recordando la expresón del valor actual de un captal C (véase 4.3 en la págna 35), C 0 = n a n = n + n expresón en la que el segundo térmno consttuye la suma de térmnos de una progresón geométrca cuyo prmer térmno es, el últmo n y la razón. Aplcando la expresón de la suma de los térmnos de una progresón geométrca (véase A.9 en la págna 49), S = a nq a q a n = n

5 5.4 Renta constante, nmedata, pospagable y temporal 49 multplcando numerador y denomnador por ( + ), a n = n = n a n = n (5.) expresón que nos da el valor actual de la renta untara. Generalzando, el valor actual de una renta constante, temporal, nmedata y pospagable de térmno C, duracón n períodos a nterés, y de acuerdo con (5.), será: V 0 = C a n V 0 = C n (5.2) Valor fnal El valor fnal de una renta constante, temporal, nmedata, pospagable de térmno (untara) lo desgnaremos por s n, en el que n e corresponden a la duracón y tpo de nterés respectvamente. Del msmo modo que hemos hecho para el valor actual, la obtencón gráfca del valor fnal, sería tal como se muestra en la fgura n 2 n n Fgura 5.3: Valor fnal de una renta untara Igual que para la obtencón del valor actual, el valor fnal, sería: 2 s n = n 2 + n =. n 2 n s n n s=0 s Nuevamente se trata de una suma de térmnos varables en progresón geométrca, esta vez crecente, de razón ( + ) cuya expresón (véase A.9 en la págna 49), es S = a n q a, y por tanto, resulta: q s n = n (5.3)

6 50 Rentas fnanceras Relacón entre el valor actual y el valor fnal Obsérvese que se verfca que captalzando n períodos el valor actual encontramos el valor fnal de la renta: s n = a n n (5.4) por ser n el factor de captalzacón en el ntervalo [0,n]. Cuando en lugar de una renta de cuantía untara se trate de una renta con térmnos de cuantía constante C, el valor fnal será: V n = C s n V n = C n V n = C a n n (5.5) De la msma forma, podríamos obtener el valor actual, aplcando el descuento raconal compuesto al valor fnal. Ejemplo 5. Calcular el valor ncal y fnal de una renta pospagable, de 8 años de duracón y térmno anual constante de 5 000e, s se valora a rédto anual constante del 7 %. Comprobar tambén que el valor fnal puede obtenerse captalzando el valor ncal. V 0 = (V 0 ) 8 0,07 = C a 8 0,07 = 5000 a 8 0,07 = 5000 (+0,07) 8 0,07 = ,972986= 29856,49 V 8 = (V n ) 8 0,07 = C s 8 0,07 = 5000 s 8 0,07 = 5000 (+0,07)8 0,07 = ,259803= 5299,0 Tambén se podría haber obtendo V 8 captalzando V 0. En efecto, V 8 = V 0 8 = 29856,49 (+0,07) 8 = 29856,49,7886= 5299,0 La obtencón de los valores de a 8 0,07 y de s 8 0,07 puede obtenerse drectamente utlzando tablas fnanceras (véase C.3 en la págna 60), con una calculadora resolvendo las expresones y por supuesto utlzando una calculadora fnancera con la que pueden obtenerse de forma drecta. Utlzando la calculadora fnancera, para obtener V 0, 5000 CHS PMT 8 n 7 PV obtenendo la respuesta de , Renta constante, nmedata, prepagable y temporal Valor actual De la msma forma que hcmos en el caso de una renta pospagable, analzaremos en prmer lugar la renta prepagable constante de cuantías untaras, es decr, de térmno, asocado a los períodos 0,,2,,n. Su valor ncal, o en 0, smbolzado por ä n es: ä n = (n ) = n s=0 s

7 5.5 Renta constante, nmedata, prepagable y temporal 5 y sumando los térmnos de la progresón puede tambén escrbrse: ä n = n n = (5.6) Gráfcamente podemos verlo en la fgura (n 2) (n ) ä n 0 n 2 n n Fgura 5.4: Valor actual de una renta untara prepagable Valor fnal El valor fnal o en n, representado por s n, es: s n = n = n s= s y sumando los térmnos de la progresón puede tambén escrbrse: s n = n (5.7) Relacón entre el valor actual y el valor fnal Se verfca la relacón, como ocurría en la renta pospagable: s n = ä n n Puede gualmente observarse, vendo el valor ncal y el valor fnal de esta renta con sus análogos en el caso de renta pospagable, que mantenen la sguente relacón: ä n = a n (5.8) s n = s n consecuenca de ser constante el rédto perodal, lo que mplca la equvalenca de las rentas prepagable untara, con la pospagable de cuantía constante es la que se muestra en la fgura 5.5.

8 52 Rentas fnanceras prepagable pospagable 0 n 2 n n 0 2 n n Fgura 5.5: Relacón entre una renta untara prepagable y pospagable Esta relacón entre prepagables y pospagables se verfcará sempre que el rédto de valoracón sea constante para todos los períodos, con ndependenca de las cuantías de los térmnos de la renta, ya que trasladar el vencmento de los térmnos del extremo ncal de cada período al extremo fnal equvale a multplcar las cuantías por, factor de captalzacón del período. Al ser > 0, se verfcará sempre ä n > a n y s n > s n Tambén se obtenen de forma nmedata estas nuevas relacones entre rentas untaras prepagables y pospagables: ä n = +a n s n = s n+ Estas expresones son propas de las rentas de cuantía constante, lo que permte escrbr: ä n = n n s=0 s = + s= s = +a n s n = n n s=0 s = + s= s = + s n y faclta los cálculos con el empleo de tablas, caluladora fnancera u hoja de cálculo. Ejemplo 5.2 Calcular el valor ncal y fnal de una renta de período anual, prepagable de 6 térmnos y cuantía constante 4 000e valorada en captalzacón compuesta de parámetro = 9% anual. Su valor ncal puede obtenerse con: V 0 = ( V 0 ) 6 0,09 = 4000 ä 6 0,09 = 4000 a 6 0,09 = 4000,09 4,485985= 9558,6 El valor fnal, puede obtenerse en funcón del valor ncal: V n = ( V 0 ) 6 0,09 (+0,09) 6 = 9558,6,67700= 3280,74 Utlzando la calculadora fnancera, V 0 : g BEG 6 n CHS PMT PV obtenendo 9 558, 6 El valor de V n, partendo de los datos anterores: 0 PV FV presentado el resultado de 3280,74

9 5.6 Rentas perpetuas Rentas perpetuas Valor actual En prmer lugar analzaremos el supuesto de renta perpetua pospagable y untara. El esquema se corresponde con el del valor actual de una renta pospagable untara en el que el tempo es perpetuo. Su valor actual o ncal, valorado a rédto constante, lo representamos por a y vendrá dado por la suma de una sere geométrca, que es convergente por ser < : a = s= s = lím n n s= s = lím a n n n = lím n = (5.9) Este valor a, se puede nterpretar como la cuantía, tal que sus ntereses perodales son la undad ya que: a = En el caso de que la renta perpetua untara sea prepagable, su valor actual, será: ä = s=0 s = lím n n s=0 s = n = lím n än = lím n = + (5.0) Entre ä y a se verfcan, por tanto, las msmas relacones que entre los valores actuales de las rentas temporales prepagable y pospagable, es decr: ä = a ä = a + No tene sentdo hablar de valor fnal de rentas perpetuas, pues las seres que los representan son dvergentes. Recuérdese que una renta es convergente cuando la razón de la progresón es q <. En el valor fnal, q > ya que > y por tanto, es dvergente. El valor actual de una renta perpetua de térmnos de cuantía constante C, será: En el supuesto de una renta pospagable: V 0 = (V 0 ) = C a = C y en el de prepagable: V 0 = ( V 0 ) = C ä = C + Ejemplo 5.3 Obtener el valor actual de una renta perpetua con térmnos anuales de cuantía constantec = 4500 valorada a un tpo de nterés del 6 %, tanto en el caso de que fuera pospagable como prepagable. En la opcón de térmnos pospagables, S se trata de prepagable, V 0 = (V 0 ) 0,06 = C a 0,06 = 4500 V 0 = ( V 0 ) 0,06 = C ä 0,06 = ,06 0,06 0,06 = = 79500

10 54 Rentas fnanceras 5.7. Rentas dferdas en d períodos de rédto constante Las rentas se dcen dferdas cuando el momento de valoracón α es anteror al orgen de la renta. S suponemos que el dfermento concde con un número entero d de períodos de rédto constante, para cada uno de los dversos tpos de rentas untaras tratadas anterormente, se obtenen los sguentes resultados: Valor Þactual Ð El valor actual, representado por d ß/a n es el que se calcula en el momento 0, comenzándose a recbr o entregar a partr del momento d+. En la fgura 5.6 podemos ver un esquema representatvo. d n 2 n n 0 2 n 2 n n 2. (n ) n a n d/a n Fgura 5.6: Valor actual de una renta untara dferda Y podemos expresarlo como: d/a n = n s= (d+s) = n s= d s = d a n (5.) A efectos operatvos es nteresante expresar la renta dferda como la dferenca de dos rentas nmedatas: d/a n = n+d n s= (d+s) = s= s d s= s de la que se obtene: d/a n = a n+d a d S se trata del valor actual prepagable, su valor actual, será: n n d/ä n = s=0 (d+s) = d s = d ä n (5.2) s=0)

11 5.8 Rentas antcpadas en h períodos de rédto constante 55 que tambén podemos expresar como: d/ä n = ä d+n ä d En el supuesto de que la renta sea perpetua en lugar de temporal, el valor actual, se obtendría: d/a = lím n d /a n = lím n d a n = d (5.3) que tambén podrá obtenerse como: d/a = a a d S la renta dferda es prepagable y perpetua: d/ä = lím n d /ä n = d+ y tambén, d/ä = ä ä d S las rentas no son untaras, sno de cuantía C, s es prepagable, d/(v 0 ) n = C d /a n y s es perpetua d /(V 0 ) = C d /a d/( V 0 ) n = C d /ä n y s es perpetua d /( V 0 ) = C d /ä Al valor fnal de una renta dferda en d períodos no le afecta el dfermento ya que, d/s n = n+d d/a n = n+d d a n = n a n = s n Ejemplo 5.4 Calcular el valor actual de una renta prepagable de cuantía anual constante de 2 000e dferda 3 años y de 4 de duracón, s la valoracón se hace a un tpo de nterés del 6 % o como dferenca de rentas sendo, 3/( V 0 ) 4 0,06 = , ,83969=667,86 3/ä 4 0,06 = ä 7 0,06 ä 3 0,06 = 3, Rentas antcpadas en h períodos de rédto constante En este caso, se trata de rentas valoradas en un momento α que se encuentra h períodos posteror al fnal de la renta. S se trata de una renta antcpada y pospagable, el valor de la renta en α = t n+h, representado por h /s n vene dado por la expresón: n n h/s n = s=0 h+s = h s = h s n (5.4) s=0 S se trata de una renta prepagable y antcpada, y que tene como valor en α = t n+h : h/ s n = n s= h+s = n s= h s = h s n = h+ s n (5.5)

12 56 Rentas fnanceras Ejemplo 5.5 Determnar el valor al fnal de nueve años de una renta pagadera por años vencdos, de cuantía anual constante de e de sete térmnos, sabendo que el rédto anual es del 6 % 2/(V n ) 7 0,06 = (+0,06) 2 s 7 0,06 = , Determnacón de n e en las rentas de rédto constante La utlzacón generalzada de las rentas untaras hace convenente su estudo analítco de los valores fnanceros prncpalmente ncal y fnal como funcón de sus varables báscas n e Estudo del valor actual como funcón de n La varable n se refere al número de térmnos de la renta y por tanto, pertenece a los números naturales, n N. La funcón de n, que representa a n, es: ϕ (n) = a n = n s= s = n Esta funcón es crecente cuanto mayor sea el número de térmnos. Para n = 0 toma el valor ϕ (0) = 0, y está acotada por: lím n ϕ (n) = a = S amplamos la funcón al campo real postvo hacendo n = x y x R, vendo la prmera y segunda dervada podríamos decr que la funcón es crecente y cóncava tal como se muestra en el gráfco ϕ 2 (n) ϕ (n) 0 n Fgura 5.7: Estudo de n La determnacón del valor de n, se haría a través de las tablas fnanceras, nterpolando en su caso (véase A.4 en la págna 45), por tanteos o tomando logartmos. La utlzacón de una calculadora fnancera u hoja de cálculo, facltan la labor. Ejemplo 5.6 Determnar el número de años de una renta cuyo valor actual es de e, sus térmnos pospagables de 4 000e y el tpo de nterés del 8 % = 4000 a n 0, = (+0,08) n 0,08

13 5.9 Determnacón de n e en las rentas de rédto constante 57,08 n = 0,900640=,08 n,08 n = 0, , Con la calculadora fnancera, para calcular n, n log,08 = log0,06442 n = PV 4000 CHS PMT 8 n obtenendo Estudo del valor actual como funcón de El valor actual de una renta untara pospagable, es: ϕ () = a n = n s= s = n Obtenendo la prmera y segunda dervada, ϕ () = ( s) n s= (s+) < 0 ϕ () decrecente ϕ () = n s=s(s+) (s+2) > 0 ϕ () convexa los valores de ϕ () en los extremos, son: ϕ (0) = n y lím x ϕ () = 0 Resumendo, ϕ () es decrecente y convexa, corta al eje de ordenadas y en el punto (0,n) y tene como asíntota el eje postvo de x (abcsas). S se trata de una renta prepagable, operando de la msma forma, veríamos que se trata gualmente de una funcón decrecente y convexa en la que la asíntota, sería: n lím ϕ 2() = lím s=0 s = Y su representacón gráfca tal como se muestra en la fgura 5.8. n ϕ 2 () = ä n 0 Fgura 5.8: Estudo de ϕ () = a n La obtencón del valor de, se haría utlzando un método de tanteo, o medante el empleo de las tablas fnanceras e nterpolando (véase A.4 en la págna 45) en su caso. Igualmente, el empleo de una calculadora fnancera u hoja de cálculo facltará la tarea.

14 58 Rentas fnanceras Ejemplo 5.7 Al adqurr un vehículo por e nos proponen pagar durante 6 años una renta de 5 390e anuales. A qué tpo de nterés se ha realzado la operacón? Buscando los valores en las tablas, obtenemos: = 5390 a 6 a 6 = = 4, a 6 0,09 = 4,48599 a 6 0,0 = 4,35526 e nterpolando, 4, , , ,48599 = x 0,09 0, 0,09 0, ,30658 = x 0,09 0,0 x = 0,092543=9,25% Con la calculadora, el cálculo de, 6 n PV 5390 CHS PMT obtenendo 9, 25% Ejerccos propuestos Ejercco 5. Qué cantdad depostaremos en un banco que opera al 7 % de nterés compuesto anual, para percbr al fnal de cada año y durante 0 años una renta de 0 000e. Solucón: V0 = , 82 Ejercco 5.2 Calcular la anualdad necesara para amortzar en 0 años una deuda que en el momento actual ascende a e, s la operacón ha sdo estpulada al 6 % de nterés compuesto anual, y los pagos se realzan al fnal de cada año. Solucón: C = 3586,80 Ejercco 5.3 Para adqurr un pso el señor A ofrece e al contado, el señor B e en el acto de la frma de contrato y e anuales durante 20 años y el señor C, e anuales durante 30 años verfcando el prmer pago al concertar el contrato. Supuesto un tpo de nterés del 6 %, qué oferta es la más convenente para el vendedor? Solucón: C Ejercco 5.4 Medante la entrega de e al térmno de cada año y durante 2, queremos consttur un captal que nos permta percbr durante los 20 años sguentes una renta. Calcular el térmno de la msma, s la operacón se realza al tanto de evaluacón del 7 %. Solucón: C = 8442,72 Ejercco 5.5 Se compra una casa en e destnada a alquler y a la que se concede una vda útl de 20 años. Pero sobre la fnca se grava un censo de 780e anuales. Cuál debe ser el preco del alquler anual para que el captal nvertdo en su adquscón rnda un 5 %? Solucón: C = 33,46

15 Ejerccos propuestos 59 Ejercco 5.6 Se mponen 5 000e al prncpo de cada año en una entdad bancara que abona un 7 % anual compuesto. Después de realzadas 5 mposcones y al año de la últma mposcón comenzan a retrarse 5 000e durante 5 años. Cuál será el saldo en el momento de retrar la últma anualdad? Solucón: Saldo = ,84 Ejercco 5.7 El valor actual de una renta de 0 000e anuales pospagables es de 98 8,47e. S hubese sdo prepagable, el valor actual sería de 06 08,47e. Calcular el tanto y el tempo. Solucón: = 0,08 n = 20 Ejercco 5.8 Se mponen durante n años anualdades vencdas de 5 000e al 5 %, al objeto de recbr durante los 2n años sguentes, y tambén por años vencdos, una renta anual de 0 000e. Determnar el valor de n. Solucón: n = 4 Ejercco 5.9 Una persona ha dedcado anualmente e a la amortzacón de una deuda de e que contrajo hace 0 años, sendo el tpo de nterés del 0 %. Habendo decddo hoy lqudar el resto de su deuda, cuál será la cantdad que deberá abonar ahora, además de la anualdad? Solucón: Saldo = 8556,44 Ejercco 5.0 Determnar el valor fnal de una renta de 0 000e anuales que se van ngresando en una nsttucón fnancera durante 8 años, sabendo que dcha nsttucón utlza un tanto de valoracón del 3,5 % durante los tres prmeros años y un 4 % durante los sguentes. Solucón: Vn = 9 955, 20 Ejercco 5. Un club deportvo compra terrenos adconales por un valor de e pagando e al contado y comprometéndose a pagar el resto en ses pagos anuales guales. Cuál deberá ser el mporte anual de cada pago s el tpo de nterés pactado es el 0 % anual? Solucón: C = 3444, Ejercco 5.2 Cuál es el valor de una casa por la que se pden e al contado, más vente anualdades de e cada una s se estman los ntereses al 6 %? Solucón: V0 = , 64 Ejercco 5.3 El valor actual de una renta perpetua prepagable de 6 000e es de e. Cuál es el tanto de nterés de valoracón? Solucón: = 0,06 Ejercco 5.4 Medante la entrega de e al térmno de cada año y durante se pretende consttur un captal que permta percbr durante los 20 años sguentes una renta constante. Calcular el térmno de la msma s la operacón se evalúa al tanto anual del 6 % Solucón: C = 45685,36 Ejercco 5.5 Al objeto de que su hjo, de catorce años de edad, recba al alcanzar los venttres la suma de e, el señor X desea saber la cuantía que debe entregar al fnal de cada año en una entdad bancara que computa ntereses al 3,5 % para este tpo de depóstos. Después del qunto año, el banco eleva el nterés al 4 %. Se pde:

16 60 Rentas fnanceras. Anualdad ncal que debe entregar el señor X, 2. Nueva anualdad después de la subda del tanto para obtener la msma suma de e, 3. Cuantía que podría retrar el hjo s se contnuasen depostando los msmos mportes. Solucón:. C = 9644,60 2. C = 9300,98 3. Vn = 0459,6 Ejercco 5.6 Hallar el valor actual de una renta pospagable de 0 pagos, anualdad de 0 000e y tanto de valoracón del 5 % sabendo que comenzaremos a devengarla dentro de 5 años. Solucón: V0 = 60 50, 8 Ejercco 5.7 Durante 5 años y al fnal de cada uno, se ngresan 7 000e en un banco que opera al 4 % anual. Qué captal se habrá consttudo al fnal del noveno año? Solucón: Vn = , 32 Ejercco 5.8 Compramos una maqunara por e, a pagar en 5 anualdades, realzándose el prmer pago a los 3 años. Determnar la anualdad s el tanto de valoracón es del 6 %. Solucón: C = 2452,6 Ejercco 5.9 Una entdad fnancera presta a una empresa e, y ésta se compromete a rentegrarlos junto con sus ntereses medante 2 anualdades guales que hará efectvas al fnal de cada año. S la captalzacón es compuesta y los tantos que aplca la entdad fnancera son: 6 % para los 4 prmeros años, 7 % para los 5 sguentes, y el 8 % para los tres últmos, determnar el valor de la anualdad. Solucón: C = 36727,50 Ejercco 5.20 Una persona compra un pso entregando e a la frma del contrato y 0 000e al fnal de cada uno de los próxmos 5 años. S la entdad hpotecara le aplca un tanto del 4 % durante los prmeros 7 años y un 5 % durante el resto de la operacón, se pde determnar el valor del pso. Solucón: V0 = 49 35, 65 Ejercco 5.2 Una renta de cuantía anual constante de 3 500e, dferda en cnco años se valora a rédto constante del 5 %. Se desea saber su valor actual en los supuestos de consderarla pospagable y con una duracón de 0 años o en el de que sea prepagable y perpetua. Solucón: V0 = 275,63 V0 = 57589,7 Ejercco 5.22 Determnar el valor en estos momentos, de una renta cuya cuantía anual constante es de 500e s el tpo de nterés es del 5 % anual y comenzó a devengarse hace 2 años en el supuesto de que sea pospagable y de 0 térmnos. Solucón: Vn = , 69 Ejercco 5.23 Se quere cancelar una deuda de 4 752e medante el abono de una renta al fnal de cada año de 3 000e s el tanto de valoracón es del 6 %, cuál será el número de pagos a realzar? Solucón: n = 6

17 Ejerccos propuestos 6 Ejercco 5.24 Sabendo que el valor actual de una renta pospagable de 6 térmnos de e cada uno es de 96e determnar el tpo de nterés a que ha sdo evaluada. Solucón: = 0,07 Ejercco 5.25 Recbmos de una entdad fnancera una cantdad de e a devolver juntamente con sus ntereses, medante dez entregas guales al fnal de cada año. La entdad nos exge un tpo de nterés que va en aumento y que es del 5 % para los tres prmeros años, el 6 % para los tres sguentes y el 7 % para los cuatro últmos. Cuál será el valor de la anualdad constante? Solucón: C = 6676,44 Ejercco 5.26 Calcular la cuantía anual necesara para al fnal de 8 años dsponer, en un banco que opera al 6 % de nterés anual de un captal de 5 000e Solucón: C = 55,54 Ejercco 5.27 Un pso, puede ser comprado hacendo uso de una de las tres sguentes opcones:. Pago al contado de e 2. Abono de e dentro de 5 años. 3. Un pago anual de e durante 5 años sendo el prmer pago en el momento de la frma del contrato. Para la valoracón consderamos el tpo de nterés vgente en el momento del 6 %. Solucón: 2. Ejercco 5.28 Para el pago de una compra de 4 500e nos ofrecen pagar durante 0 años 575,75e. Determnar el tpo de nterés al que se ha realzado la operacón. Solucón: = 0, 0475

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