CONFERENCIAS, SEMINARIOS Y TRABAJOS DE MATEMATICA

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2 MAT Serie A: CONFERENCIAS, SEMINARIOS Y TRABAJOS DE MATEMATICA ISSN: Propiedad de ACES DIRECTOR D. A. TARIA Departamento de Matemática CONICET, FCE-UA, Paraguay 1950, S2000FF ROSARIO, ARGENTINA. COMITE EDITORIAL Y CIENTIFICO L. A. CAFFARELLI Department of Mathematics, Univ. of Texas at Austin, RLM 8100 Austin, TEXAS 78712, USA. R. DURAN Depto. de Matemática, FCEyN, Univ. de Buenos Aires, Ciudad Universitaria, Pab. 1, 1428 BUENOS AIRES, ARGENTINA. A. FASANO Dipartimento di Matematica U. Dini, Univ. di Firenze, Viale Morgagni 67/A, FIRENE, ITALIA. M. PRIMICERIO Dipartimento di Matematica U. Dini, Univ. di Firenze, Viale Morgagni 67/A, FIRENE, ITALIA. M. C. TURNER FAMAF, Univ. Nac. de Córdoba, Ciudad Universitaria, 5000 CORDOBA, ARGENTINA. R. WEDER Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas, Univ. Nac. Autónoma de México (UNAM) Apartado Postal , MEXICO, DF N. WOLANSKI Depto. de Matemática, FCEyN, Univ. de Buenos Aires, Ciudad Universitaria, Pab. 1, 1428 BUENOS AIRES, ARGENTINA. SECRETARIA DE REDACCION G. GARGUICHEVICH Depto. de Matemática, FCE-UA, Paraguay 1950, S2000FF ROSARIO, ARGENTINA. MAT es una publicación del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Empresariales de la Universidad Austral (FCE-UA) cuyo objetivo es contribuir a la difusión de conocimientos y resultados matemáticos. Se compone de dos series: Serie A: CONFERENCIAS, SEMINARIOS Y TRABAJOS DE MATEMATICA. Serie B: CURSOS Y SEMINARIOS PARA EDUCACION MATEMATICA. La Serie A contiene trabajos originales de investigación y/o recapitulación que presenten una exposición interesante y actualizada de algunos aspectos de la Matemática, además de cursos, conferencias, seminarios y congresos realizados en el Depto. de Matemática. El Director, los miembros del Comité Editorial y Científico y/o los árbitros que ellos designen serán los encargados de dictaminar sobre los merecimientos de los artículos que se publiquen. La Serie B se compone de cursos especialmente diseñados para profesores de Matemática de cada uno de los niveles de educación: E.G.B., Polimodal, Terciaria y Universitaria. Además, se publican bajo el título MAT- PREPUBLICACIONES DE MATEMATICA, versiones preliminares de trabajos inéditos de investigación de los integrantes del Departamento y colaboradores. La serie A y las Prepublicaciones podrán ser consultadas en:

3 ISSN MAT SERIE A : CONFERENCIAS, SEMINARIOS Y TRABAJOS DE MATEMÁTICA No. 3 VI SEMINARIO SOBRE PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE Y SUS APLICACIONES Primera Parte Domingo A. Tarzia (Ed.) INDICE Ë Ma. Cristina Sanziel, Conditions to obtain a waiting time for a discrete twophase Stefan problem, 1-6. Ë Ariel L. Lombardi Domingo A. Tarzia, On similarity solutions for thawing processes, Ë Ricardo Weder, Direct and inverse scattering for the nonlinear Schrödinger equation with a potential, Ë Domingo A. Tarzia, Stefan problem for a non-classical heat equation, Ë Pedro Morin Rubén D. Spies, A quasilinearization approach for parameter identification in nonlinear abstract Cauchy problems, Rosario, Agosto 2001

4 El VI Seminario sobre Problemas de Frontera Libre y sus Aplicaciones tuvo lugar en el Departamento de Matemática de la FCE de la Universidad Austral, en Rosario, del 16 al 18 de Diciembre de Fue realizado con el apoyo del Proyecto de Investigación Plurianual del CONICET Problemas de Frontera Libre para la Ecuación del Calor-Difusión y gracias a un subsidio otorgado por el CONICET. Los problemas de frontera libre son aquellos problemas de contorno donde interviene además, una superficie incógnita (la frontera libre ) que separa dos o más regiones, sobre la cual se conocen datos que dependen del modelo analizado. Según el número de dimensiones del espacio, en lugar de una superficie de separación se podrá tener una curva o un número finito de puntos. El avance considerable que se ha obtenido en el desarrollo teórico de estos temas a nivel nacional y sus potenciales aplicaciones a la industria (electropintura, envenenamiento y regeneración de catalizadores; combustión de sólidos; solidificación de aleaciones binarias; soldadura de metales; colada contínua del acero; congelación de alimentos en la industria frigorífica; almacenamiento de energía térmica de origen solar por cambio de fase; oxidación del zirconio y fusión del dióxido de uranio en reactores nucleares, en caso de accidentes; procesos de ablación térmica; difusión-consumo de oxígeno en tejidos vivos, para el tratamiento médico de tumores mediante la aplicación de radiaciones; problemas de control óptimo ligados a procesos con cambio de fase; solidificación de suelos húmedos; derretimiento de glaciares; crecimiento de raíces de cultivo; precio en las opciones americanas; etc.) impulsaron su realización, prosiguiendo la línea de los Seminarios anteriores, con el objetivo de facilitar la interacción entre las personas y grupos de investigación que trabajan en dichos problemas y en temas conexos, y de despertar el interés y promover el acercamiento de jóvenes graduados. COMITE ORGANIADOR: Dr. L. A. Caffarelli, Austin - Texas (EEUU); Dr. E. A. García, Buenos Aires; Dr. D. A. Tarzia, Rosario (Coordinador); Ing. L. T. Villa, Salta; Dra. N. Wolanski, Buenos Aires. SECRETARÍA LOCAL: Lic. A. C. Briozzo, Lic. G. G. Garguichevich, Ariel Lombardi, Lic. P. R. Marangunic, Lic. M. F. Natale, Lic. E. A. Santillan Marcus (Coordinador), Lic. M. C. Sanziel Esta primera parte contiene cinco de las conferencias y comunicaciones presentadas. La nómina general se incluye, en orden cronológico, en la página 42. Los manuscritos fueron recibidos y aceptados en marzo de 2001.

5 MAT- Serie A, 3 (2001), 1-6. RESUMEN CONDITIONS TO OBTAIN A WAITING TIME FOR A DISCRETE TWO-PHASE STEFAN PROBLEM María Cristina Sanziel Instituto de Matemática Beppo Levi Fac. de Cs.Exactas Ing. y Agrimensura-UNR Av. Pellegrini Rosario- Argentina En este trabajo se considera un problema unidimensional de conducción de calor noestacionario, con condiciones de borde mixtas. Con un esquema en diferencias finitas implícito se obtienen condiciones suficientes para asegurar que la solución será positiva en un paso de tiempo, si es positiva en el paso de tiempo anterior. También se deduce, empleando un esquema en diferencias finitas explícito, la expresión de la temperatura en cada paso de tiempo, como un polinomio en la t variable - œ!?, con coeficientes dados como una función de los datos del problema. Se pueden? x 2 así establecer condiciones suficientes sobre los datos que aseguran la existencia de un tiempo de espera, a partir del cual comienza el cambio de fase. PALABRAS CLAVE Conducción del calor, Cambio de fase, Problema de Stefan, Análisis Numérico, Frontera Libre. ABSTRACT In this paper we consider a one-dimensional non-stationary heat conduction problem, with initial datum and with mixed boundary conditions. We obtain, with an implicit finite difference scheme, some sufficient conditions, so that the discrete solution is positive at any moment if it is positive at the previous time step. We also deduce, with an explicit finite difference scheme, the discrete expression of the temperature at each time step, as a polynomial in the variable - œ!?, with coefficients? x 2 given as function of the problem dates. So we can establish some sufficient conditions on the data in order to obtain the existence of a waiting time at wich a phase-change begins. KEYWORDS Heat Conduction, Phase-change, Stefan Problem, Numerical Analysis, Free-Boundary. t AMS subject classification: 65M06, 80A INTRODUCTION In this paper we consider a one-dimensional heat conduction problem in a finite (or semiinfinite) slab of a material that is initially in the liquid phase, at a temperature (x) greater than the ) phase change temperature, having a heat flux q(t) on the left face x = 0 and a temperature condition on the right face x = x. 1

6 2 M.C. Sanziel, Conditions to obtain a waiting time, MAT- Serie A, 3 (2001), 1-6. We can state the problem through the following equations Ð0 x Ÿ + _: 3 ` ) ` ` 2) t `x2 c k œ 0, 0 x x, t 0, (1.1) )(x,0) œ ) (x) 0, 0 Ÿ x Ÿ x, (1.2) k ` `)x (0,t) œ q(t) 0, t 0, (1.3) )(x,t) œ b(t), t 0, (1.4) The constants 3, c and k represent the mass density, the specific heat and the thermal conductivity respectively. For the case x œ + _ we change the condition (1.4) by )(+_,t) œ ) (+_) 0, for t 0. Without loss of generality we assume that the phase-change temperature of the material is 0C. In accordance with the data ), q and b, it can happen that [6]: for t (a) the heat conduction problem is defined for all time t 0. (b) there exists a waiting time t * + _ such that another phase (i.e. the solid phase) appears t * and then we have a two-phase Stefan problem. In this case, there exists a free boundary xœ s(t), which separates the liquid and solid phases, with s(t ) œ 0. * If the temperature on the right face xœ x! is a constant b(t) œ b 0, and the flux on the left face xœ 0 is q(t) œ q 0, also a constant, then the stationary solution is given by: q ) _ k (x) œ (x x) b. In this case a necessary condition to obtain a stationary two-phase Stefan problem is given by [5]: q kb x. to ) œ ) _ Taking into account that the solution of problem (1.1) (1.4) with data b 0 and q 0 tends _ (x) when t goes to infinity [2], in [6] was considered the problem of finding the relation between the heat flux q 0 on xœ 0 and a time t 1 such that another phase appears for t t. 1 The following results were obtained: Theorem 1: [1] Suppose the initial temperature verifies the conditions b ) 0 in Ò0,x Ó and ) Ðx œb. If we consider the t,q plane and we define the following set: Q œ š (t,q) / q f(t), t 0,

7 M.C. Sanziel, Conditions to obtain a waiting time, MAT- Serie A, 3 (2001), where bk # x[1 exp(!1 # t )] 4x! then we have a two-phase problem for all (t,q) Q.! k 3c f(t) œ, œ (1.5) The goal of this paper is to obtain a discrete expression for the inequation q f(t), obtained in the above theorem. In section 2 we get some conditions on the data which guarantees the positivity of the discrete solution, i.e. no phase-change occurs. In section 3, we express the discrete temperature at the face xœ 0 as a polynomial in the œ? t? x 2 variable -! (with? t the temporal step and? x the spatial step) and we obtain an inequality for the heat flux q, as a function of data coefficients ), k and!. In other words, we can determine if there exists a waiting time from which the other phase, the solid phase, appears. 2. AN APPROXIMATION WITH AN IMPLICIT FINITE DIFFERENCE METHOD We set up a mesh with step? x œ x N (N is a natural number) for the spatial variable x and j i j i j œ?? œ œ ) i i j with step? t for the temporal variable t. We note with U an approximate value of the temperature ) at the point (x, t) (i x, j t) for i 0, 1,..., N and j 1,2, 3,..., that is U (x, t). form : We use an implicit finite difference schema, so we can state problem (1.1) (1.4) in a matrix A Uj œ Uj-1 cj (2.1) where A is the following N-1-dimensional square matrix Î : : : : : 0 A œ - 0 : : : : 0 Ð : : -- Ó Ï : Ò (2.2) - œ!? t j j j j t? x2 1 2 N-1 dimensional vector is a parameter, U œ (U, U,...,U ) is a N-1-dimensional vector and c isthe N-1-?x k j j c j œ ˆ - q(t), 0,..., 0, -b(t ) (2.3) t j This regresive finite difference schema is unconditionally stable and it converges to the solution of the continuous problem with a rate of convergence O(? t? x) 2 [3].

8 4 M.C. Sanziel, Conditions to obtain a waiting time, MAT- Serie A, 3 (2001), 1-6. We are interested in the relationship between the data, so that if the discrete temperature U is positive (iœ 0,1,..., N), then the discrete temperature U in the next time step is also positive. j+1 i We will see some definitions wich will be useful in the sequel: j i Definition: i) A matrix M œ (m ) is said to be positive if all of its elements m are non-negatives (m 0 ai, j). ij ij ij In particular, a vector v œ (v) is said to be positive if v 0, ai. i ii) A square real matrix M is said to be monotone if it is inversible and its inverse is positive. i Moreover (see [1] ): n M is monotone Í ev : Mv 0 f ev : v 0 f (2.4) n Theorem 2: Taking into account the above equivalence, we can prove the following properties [4]: i) The matrix A, definided in (2.2), is monotone. ii) The inverse matrix A -1 is positive. Theorem 3: Let q, ) and b be positive constants () œ b, c œ c, aj) and U œ (U, U,...,U ) which j j j j j t 1 2 N-1 j satisfies the schema (2.1) for j œ 1, 2,.... Then, if at the time t j œ j? t, U is positive and the inequality holds, then U 3 j c U? x? t j+1 is also positive. 1 q j œ 1, 2,... (2.5) 3. SOME CONDITIONS TO OBTAIN A WAITING TIME FOR THE DISCRETE PROBLEM If we use an explicit finite difference schema we get that the discrete temperature U which i approximates (x, t) satisfies: ) i j j j-1 - j-1 j-1 j-1 i i i+1 i i-1 U œ U (U 2U U ) i œ 1,..., N-1, j œ 1,2, 3,.. (3.1) j i U œ ) (x) i œ 0, 1,..., N (3.2) j j 1 i? x k U œ U q(t) j œ 1,2, 3,... (3.3) j N j U œ b(t) j œ 1,2, 3,... (3.4) j

9 M.C. Sanziel, Conditions to obtain a waiting time, MAT- Serie A, 3 (2001), This method is not as efficient as that consider in the above section, because it is conditionally stable and it converges to the solution of problem (1.1) (1.4) with a convergence rate O(? t? x) 2 only if [3]: - Ÿ " # (3.5) Nevertheless we use here this method, because in this way it is possible to obtain an explicit expression for the discrete temperature at the left face xœ 0 for all time step j? t, as a function of the initial and the boundary dates. So we can establish sufficients conditions in order to obtain a waiting time in the discrete problem. We have [4]: Theorem 4: If the data b, qand ) are constants, bœ ) and (3.5) holds, then, when we consider the scheme (3.1) (3.4), the values Um of the discrete temperature obtained, verify the following i properties: m m i i+1 i) U Ÿ U i œ 1,..., N-1, m œ 0,1,2, 3,... (3.6) ii) U m U m+1 i œ 1,..., N, m œ 0,1,2, 3,... (3.7) i i As a consequence of the above theorem, in order to determine the moment from which the solid phase appears in the discrete problem, it suffices to find the value of j such that U 0. In the following theorem, we express the discrete temperature as a polynomial in the variable - [4]: Theorem 5: Under the hypothesis of Theorem 4 it results U 1 œ i œ 1, 2,..., N 1 (3.8) i j i )? x k j i U œ ) q P( -) i œ 1, 2,..., j 1 j œ 2, 3,... (3.9) j where with j U œ ) i œ j, j 1,..., N-1 j œ 2, 3,... (3.10) i j i j-1 P(x) œ! a (i,j) x m and a (i,j) œ ( -1) m+i b c d (3.11) m m m im jm m œ i b œ 1 b œ m œ 2, 3,.. 1 m (2m 3)!! 2 m-1 m c œ m œ i, i 1,..., j 1 (3.12) im (2i 1) (m i)! (m (i-1))! d œ m œ i, i 1,...,j 1 jm (j 1)! (j (m 1))!

10 6 M.C. Sanziel, Conditions to obtain a waiting time, MAT- Serie A, 3 (2001), 1-6. Theorem 6: Under the hypothesis of Theorem 4 it results j? x j k U œ ) q P (-) j œ 1, 2,... (3.13) where the polynomial P is given by: j j j-1 P (x) œ! a (j) x m (3.14) m m œ 0 with a(j) œ 1,a 1(j) œj 1 a (j) œ mœ 2,..., j-1 m (-1) m+12 m-1(2m 3)!! (j 1)! (m!) 2 (j (m 1))! (3.15) Corollary 7: ) k? x P (-) If q j then there exists a waiting time t œ j? t such that theproblem (3.1) (3.4) is a two-phase problem for all t t. j j Acknowledgment. This paper has been partially sponsored by CONICET - UA (Rosario, Argentina). This financial support was granted to the Project PIP No. 4798/96 "Free Boundary Problems for the Heat Equation". REFERENCES. [1] P.G. CIARLET "Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation", Masson, Paris (1990). [2] A. FRIEDMAN, "Partial differential equations of parabolic type", Prentice-Hall, Englewood Cliffs (1964). [3] E. ISAACSON H.B. KELLER "Analysis of numerical methods", J.Wiley & Sons, New York (1966). [4] M.C. SANIEL ""Existence of a waiting time in a discrete two-phse Stefan problem". Applied Mathematics and Computation, 113 (2000), ÒÓ 5 D.A. TARIA, "Sobre el caso estacionario del problema de Stefan a dos fases", Math. Notae, 28 (1980), ÒÓ 6 D.A. TARIA C.V. TURNER "A note on the existence of a waiting time por a two-phase Stefan problem", Quart. Appl. Math., 50 (1992), 1-10.

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