Guía del docente. Guía para el docente Geometría Volumen de un cuerpo por rotación y traslación

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1 Guía del docente Descripción curricular: - Nivel: 4. Medio - Subsector: Matemática - Unidad temática: - Palabras claves: traslación, rotación, generación de cuerpos, volumen, esfera, cilindro, cono, prisma, cuerpo redondo - Contenidos curriculares: Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de rectas y planos en el espacio, de volúmenes generados por rotaciones o traslaciones de figuras planas; ver y representar objetos del espacio tridimensional. Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al análisis de situaciones y a la resolución de problemas. Reconocer y analizar las propias aproximaciones a la resolución de problemas matemáticos y perseverar en la sistematización y búsqueda de formas de resolución. Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y que continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la necesidad de resolver problemas prácticos, pero también planteándose problemas propios, a menudo por el solo placer intelectual o estético. - Contenidos relacionados: - 1.º Medio: Traslaciones, simetrías y rotaciones de figuras planas. Uso de regla y compás; de escuadra y transportador; manejo de un programa computacional que permita dibujar y transformar figuras geométricas. - 2.º Medio: Semejanza de figuras planas. Criterios de semejanza. Dibujo a escala en diversos contextos. - 3.º Medio: 1

2 - 4.º Medio: Guía para el docente Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos. Análisis y pertinencia de las soluciones. Uso de calculadora científica para apoyar la resolución de problemas. Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro. - Aprendizajes esperados: Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro. Aprendizajes esperados de esta actividad: - Conocen y utilizan vectores para representar la traslación de una figura geométrica. - Conocen y utilizan la rotación de figuras planas sobre uno de sus lados en 360º. - Resuelven problemas relativos al cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. - Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante actividades de organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, mediante contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro. - Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. Recursos digitales asociados de - Ficha temática:. - Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM4. 2

3 Actividades propuestas para este tema: Guía para el docente Proponemos la actividad Volumen 3D, relativa a la relación que se produce entre las figuras 3D y el volumen que estas generan; volumen que se genera por traslación y por rotación de figuras planas. ACTIVIDAD: Volumen 3D 1. Mapa de contenidos tratados Duración: 2 horas pedagógicas Figuras planas Volumen Por rotación Por traslación Prismas Cuerpos redondos 2. Desarrollo de la actividad: Paso 1 Como actividad de motivación e introducción pida a sus alumnos que lean el texto inicial de la actividad: Cada movimiento que hacemos a diario, es decir, mover, trasladar, girar, etc., está definido en tres dimensiones. Y esto ocurre porque cada elemento que nos rodea tiene volumen, aunque hay elementos que para nosotros siguen siendo planos, por ejemplo un triángulo, un cuadrado, etc. Aunque por más que los dibujemos en una hoja de papel y parezcan planos no lo son, ya que la hoja tiene un espesor determinado, un ancho y un largo, lo que genera volumen. No 3

4 obstante, cabe destacar esto último, es decir, el hecho de que las figuras planas generan volumen. Pero, cómo es esto posible? Si hacemos girar un rectángulo en 360 sobre su lado menor, obtenemos un cilindro de radio igual al lado mayor. Esto no solo sucede con el rectángulo sino con cualquier polígono o circunferencia (o parte de esta). También generamos volumen al trasladar una figura plana mediante un vector determinado. La forma más fácil de comprobar esto es ir apilando monedas iguales. Suponiendo que cada moneda tiene forma de circunferencia, al apilarlas creamos un cilindro de altura igual al total de las monedas apiladas. Observa: Entonces: De qué manera se puede calcular el volumen de un cilindro? Pida a sus estudiantes que respondan esta pregunta expresando lo que piensan, fundamentando siempre su respuesta y dando ejemplos. Así, da oportunidad para que los estudiantes se manifiesten según sus propios conocimientos. Es recomendable ir escribiendo en la pizarra una síntesis de lo que van diciendo. Entrégueles bibliografía o direcciones en la red para que indaguen y corroboren sus respuestas. Averigua cuáles son las diferentes formas de calcular el volumen de un cuerpo redondo o de un prisma. Explique a sus alumnos que al hablar de tres dimensiones inevitablemente hablamos de volumen. Y esto es tácito, ya que cualquier elemento de tres dimensiones tiene un volumen. Luego, explíqueles que el volumen de algunas 4

5 figuras se puede producir por la traslación de ellas mediante un vector, o también por la rotación de ellas según uno de sus lados. Paso 2 Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible en el portal Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la Actividad. Las respuestas aparecen en azul. Entonces: Ejercicios de selección múltiple 1. El volumen del paralelepípedo de la figura es: a) 21 cm 3 b) 80 cm 3 c) 90 cm 3 d) 150 cm 3 e) 300 cm 3 2. Una piscina rectangular tiene 7 m de largo, 4 m de ancho y 1,8 m de profundidad. Cuántos metros cúbicos puede contener? a) 50,4 m 3 b) 504 m 3 c) 5040 m 3 d) m 3 e) m 3 De la pregunta 3 a la 6 use 3 3. Cuántos cm 3 de pintura contiene el envase de la figura? a) 144 cm 3 b) 192 cm 3 c) 384 cm 3 d) 576 cm 3 e) 1728 cm 3 5

6 4. Al rotar un triángulo rectángulo de cateto 6 cm e hipotenusa 10 cm es: a) 8 cm b) 48 cm 3 c) 72 cm 3 d) 84 cm 3 e) 120 cm 3 5. El volumen del cuerpo de la figura es: a) 36 m 3 b) 108 m 3 c) 144 m 3 d) 192 m 3 e) 576 m 3 6. Calcular el volumen del cuerpo que se genera al girar el triángulo rectángulo de la figura alrededor de su cateto mayor. a) 768 cm 3 b) 192 cm 3 c) 2304 cm 3 d) 384 cm 3 e) 2880 cm 3 7. De los tres cuerpos dibujados es(son) prisma(s): a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Todos 6

7 8. Para hacer una piscina, se debe cavar un hoyo de 4 m de largo; 2,5 m de ancho y 1,5 m de profundidad. Si se dispone de una carretilla que puede transportar 0,15 m 3 de tierra, cuántos viajes se tendrán que hacer con la carretilla para sacar todo el material? (Considere sólo los viajes con material.) a) 10 b) 100 c) 1000 d) e) Ninguna de las anteriores 9. La cúpula de la Basílica de San Pedro en el Vaticano mide 42 m de diámetro. Cuál es su volumen, si suponemos que es semiesférica? a) π m 3 b) 882 π m 3 c) 6174 π m 3 d) 3582 π m 3 e) 7056 π m Determinar el volumen, en cm 3, de una esfera de 6 cm de diámetro. a) 9 π cm 3 b) 12 π cm 3 c) 24 π cm 3 d) 36 π cm 3 e) 288 π cm Calcular el volumen, en m 3, de un depósito cilíndrico de radio 3 m y altura 4 m terminado en una semiesfera. a) 54π m 3 b) 36π m 3 c) 30π m 3 d) 18π m 3 e) Ninguna de las anteriores 7

8 12. Un albañil llena por completo, con pintura, un recipiente cilíndrico de 20 m de diámetro y 15 m de altura, por el que cobra 7500 pesos el metro cúbico. Cuánto se le debe pagar por el trabajo realizado, considerando π = 3? a) $ b) $ c) $ d) $ e) $ Calcular el volumen, en cm 3, de un cilindro de diámetro 10 cm y altura 12 cm. a) 1200 π b) 300 π c) 240 π d) 120 π e) 300 Paso 3 Para concluir la actividad, mencione la relación que existe entre el cono y el cilindro, además del uso de la constante π cuando hablamos de volúmenes de cuerpos generados por rotación. Analice los resultados aritméticos y algebraicos obtenidos y refuerce los aprendizajes que presentan más problemas. 8

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