GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

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1 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio) e otro vector que perteece a otro espacio vectorial (codomiio). Por esta razó, dicha fució es ua fució vectorial de variable vectorial, es decir, w= f v. depede de vectores, y es del tipo ( ) Ua trasformació se represeta como :, dode es el domiio y el codomiio de la trasformació. Esquemáticamete: =Domiio rasformació =Codomiio (v) Image de 2.- Homogeeidad.- La image del producto de u escalar por u vector es igual al producto del escalar por la image de dicho vector: α v =α v α K ( ) ( ) U ejemplo de ua trasformació lieal :R 3 R 2, es la defiida por: (x, y, z) = (2x, 2y) puesto que cumple co ambas propiedades. E la trasformació aterior, si u= ( xyz,, ) es u vector que perteece al domiio R 3, etoces el vector ( u) = (2 x,2 y) es u vector que perteece al codomiio R 2 y que se deomia la image de u. oda trasformació lieal : tiee la propiedad de que la image del vector cero del domiio es igual al vector cero del codomiio, es 0 = 0. decir: ( ) 2. PROPIEDDES PR QUE UN RNSFORMCIÓN SE LINEL De las distitas trasformacioes que existe, e este curso solamete se estudia las deomiadas trasformacioes lieales. Para que ua trasformació sea lieal, ésta debe satisfacer las propiedades dadas e la siguiete defiició. Si y so espacios vectoriales defiidos sobre u campo K, la trasformació : es lieal si cumple co:.- Superposició.- La image de la suma de dos vectores es igual a la suma de las imágees de dichos vectores: v+ v2 = v + v2 v, v2 ( ) ( ) ( ) 3. NÚCLEO DE UN RNSFORMCIÓN Se deomia el úcleo de ua trasformació al cojuto de vectores cuya image es el vector cero del codomiio. Es decir, si : es ua trasformació co domiio y codomiio, etoces el úcleo está dado por el siguiete cojuto: { } N ( ) = v v () = 0 El úcleo es u subcojuto del domiio. demás, cuado la trasformació es lieal, el úcleo es u subespacio vectorial del domiio. El procedimieto para obteer el úcleo ( ) N de ua trasformació : es: DIISIÓN: CIENCIS ÁSICS de 0 COORDINCIÓN: MEMÁICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Dra. Norma Patricia López costa

2 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales Propoer u vector v que perteezca al domiio. Calcular la image ( v) del vector v aterior e igualarla co el vector cero del codomiio, es decir: v= () 0. Comparar uo a uo los térmios de la igualdad aterior para determiar la forma específica del vector v propuesto iicialmete. Como puede deducirse, esta comparació o igualdad origia ua o varias ecuacioes lieales homogéeas (depediedo de los espacios vectoriales estudiados) que al ser resueltas permite determiar la forma específica del vector v buscado, que es el vector geérico que costituye el úcleo y que fialmete N ( ) = v. debe escribirse como { } 4. RECORRIDO DE UN RNSFORMCIÓN Núcleo de la trasformació Se deomia el recorrido de ua trasformació al cojuto de todos los vectores que so image de algú vector del domiio. Es decir, si : es ua trasformació dode es el domiio y es el codomiio, etoces el recorrido está dado por el siguiete cojuto: ( ) = { ( v) v } El recorrido es u subcojuto del codomiio. demás, cuado la trasformació es lieal, el recorrido es u subespacio vectorial del codomiio. Para determiar el recorrido de ua trasformació lieal, se aplica el siguiete teorema: Sea : ua trasformació lieal. Si = v, v 2,..., v es ua base del domiio, { } etoces el siguiete cojuto CG = v, v 2,..., v es u cojuto { ( ) ( ) ( ) } geerador del recorrido ( ). El procedimieto para obteer el recorrido ( ) de ua trasformació : es: Determiar ua base del domiio (por facilidad la base caóica), deomiada: {, 2,..., ca de = v v v } Obteer las imágees ( v) de los vectores de la base caóica aterior; las cuales costituirá el cojuto geerador del recorrido: { ( ) ( ) ( ) }, 2,..., CG = v v v Si se determia el espacio regló de la matriz cuyos regloes so los vectores del cojuto CG aterior, se obtiee el recorrido ( ) de la trasformació. Es decir:. rasformar a la matriz mecioada a su forma caóica escaloada, e la cual, los regloes diferetes de cero costituye los vectores de la base caóica del recorrido de = c, c2,..., c. ca ( ) { } 2. Determiar u vector geérico w, escribiédolo como combiació lieal de los vectores de la base caóica aterior: w = α c + α c α 2 2 c. 3. Dicho vector geérico, es el que idica la forma geeral del recorrido; coocido éste, sólo basta co expresarlo ( ) = w. como u cojuto { } Recorrido de la trasformació DIISIÓN: CIENCIS ÁSICS 2 de 0 COORDINCIÓN: MEMÁICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Dra. Norma Patricia López costa

3 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales 5. EOREM IMPORNE RESPECO L DIMENSIÓN DEL RECORRIDO Y DEL NÚCLEO Si es u espacio de dimesió fiita, y : es ua trasformació lieal, etoces: dim = dim ( ) + dim N( ) dimesió del domiio = dimesió del recorrido + dimesió del úcleo 6. MRIZ SOCID CON UN RNSFORMCIÓN LINEL La represetació matricial de ua trasformació lieal : es muy útil e lo que se refiere a la obteció de la image de u vector; ya que co sólo multiplicar la matriz asociada co la trasformació por u vector del domiio, se obtiee la image del mismo e el codomiio. Lo más importate, es que co este mismo procedimieto, tambié es posible determiar la regla de correspodecia de ua trasformació lieal, si de ella sólo se cooce su matriz asociada y los espacios vectoriales a los que está referida. La represetació matricial de ua trasformació lieal depede de las bases que se utilice para ello. La más secilla de dichas represetacioes es la matriz asociada que se obtiee co la base caóica del domiio, como se explica eseguida. Para determiar la matriz asociada M() co ua trasformació lieal :, el procedimieto es: Determiar la base caóica del domiio. Calcular las imágees de los vectores de la base caóica aterior. Las imágees ateriores, expresadas e la forma de columas, costituye las columas de la matriz asociada M() co la trasformació :. Como ya se mecioó ates, la matriz asociada M() co la trasformació :, permite obteer la image ( v ) de cualquier vector v del domiio co la expresió: ( v) = M ( ) ( v) 7. MRIZ SOCID CON UN RNSFORMCIÓN LINEL Y REFERID DOS SES Y CULESQUIER La teoría aterior puede geeralizarse al caso e el que el domiio y el codomiio tiee bases y cualesquiera, respectivamete. Es decir, si : es ua trasformació lieal dode y so espacios vectoriales de dimesió fiita (domiio y codomiio, respectivamete), y = { v, v 2,..., v } y = { w, w2,..., wm} so bases de y, respectivamete. Etoces existe ua y sólo ua matriz M ( ) asociada co la trasformació, tal que: ( ) ( ) ( ) v = M v v dode las columas de dicha matriz so los vectores de coordeadas: [ ( v )], [ ( v 2 )],..., [ ( v )] la omeclatura aterior sigifica: M ( ) = Matriz asociada co la trasformació y referida a las bases y. ( v ) = ector de coordeadas de v e la base, dode v domiio. [ ( v) ] = ector de coordeadas de ( v) e la base, dode ( v) codomiio y es la image de v. U ejemplo esquemático puede ser: DIISIÓN: CIENCIS ÁSICS 3 de 0 COORDINCIÓN: MEMÁICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Dra. Norma Patricia López costa

4 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales = v, v 2 = w, w, 2 w 3 Si la dimesió del domiio y, m del codomiio so diferetes, etoces la matriz M ( ) es de orde m. Cotrariamete, cuado sus dimesioes so iguales, dicha matriz es ua matriz cuadrada de orde. Procedimieto para determiar la matriz M ( ) asociada co la trasformació : : Obteer las imágees de los vectores de la base = { v, v 2,..., v }; es decir, v v,..., determiar: ( ), ( 2 ) ( v ). Expresar a cada ua de las imágees ateriores, como ua combiació lieal de los vectores de la base = w, w2,..., w m ; esto es: { } ( ) ( ) v =α w +α w + +α w m m v =β w +β w + +β w, etc m m De las combiacioes lieales ateriores, determiar los vectores de coordeadas α β α 2 ( v ) = β, 2 ( v2 ) =..., etc.... α m β m Los vectores de coordeadas ateriores, costituye las columas de la matriz buscada M ( ). Procedimieto para determiar la regla de correspodecia (image) de ua trasformació lieal CSO PRICULR: dode los datos so la matriz M y las bases y, y se desea coocer la ( ) regla de correspodecia de la trasformació : : Se propoe u vector v que represete a los vectores del domiio e estudio. Se escribe dicho vector v como ua combiació lieal de los vectores de la base, para determiar el vector de coordeadas ( v ). Se realiza la multiplicació ( v) = M ( ) ( v) para obteer el vector de coordeadas de ( v ) e la base. Coocido dicho vector de coordeadas, [ ( v) ], se escribe como combiació lieal de los vectores de la base, co la fialidad de obteer la regla de v, buscada. correspodecia o image, ( ) NO: La determiació de la regla de correspodecia de ua trasformació lieal cualquiera co el procedimieto aterior, puede aplicarse e todos los casos e los que se cuete co la represetació matricial de dicha trasformació (referida a dos bases o referida a ua sola base; e álgebra de trasformacioes lieales; e trasformacioes iversas; co valores y vectores característicos; etc.). 8. EOREM IMPORNE RESPECO L RNGO DE UN MRIZ Si : es ua trasformació lieal, y y so dos bases de y, respectivamete; etoces: R[ M ( )] = dim ( ) Rago de la matriz M ( ) = dimesió del recorrido () DIISIÓN: CIENCIS ÁSICS 4 de 0 COORDINCIÓN: MEMÁICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Dra. Norma Patricia López costa

5 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales NO: El rago de ua matriz cualquiera, es el úmero de regloes distitos de cero de dicha matriz llevada a su forma escaloada. 9. MRIZ SOCID CON UN RNS- FORMCIÓN LINEL Y REFERID UN SE Cuado se tiee ua trasformació del tipo :, coocida como operador lieal y dode el domiio es igual al codomiio, lo usual es cosiderar ua sola base para el espacio, y la matriz M ( ) se llama matriz asociada co y referida a la base. Si se multiplica ésta matriz por el vector de coordeadas ( v ) de u vector v e la base, se obtiee el vector de coordeadas v de la image de este vector ( ) ( v ) e la base, es decir, esta multiplicació es de la forma: ( ) ( ) ( ) v = M v Para la trasformació lieal :, la matriz M ( ) referida a ua base, se obtiee como sigue: Determiar las imágees de los vectores = v, v 2,..., v ; es decir, de la base { } determiar: ( v ), ( v 2 ),..., ( v ). Expresar cada ua de las imágees ateriores, como ua combiació lieal de los vectores de la base ; es decir: ( v ) = α v + α 2 v α v ( v ) = β v + β v β 2, etc. De las combiacioes lieales ateriores, determiar los vectores de coordeadas: 2 v α [ ( )] α2 v =, [ ( v )]... α β β2 2 =, etc.... β Los vectores de coordeadas ateriores, costituye las columas de la matriz M. buscada ( ) NO: Puesto que, la dimesió del domiio es igual a la dimesió del codomiio, la matriz M ( ) siempre es ua matriz cuadrada de orde. 0. ÁLGER DE LS RNSFORMCIONES LINELES Puesto que las trasformacioes lieales so fucioes vectoriales, las operacioes algebraicas que se realiza para otro tipo de fucioes (como poliómicas, expoeciales, trigoométricas, etc.), tambié puede realizarse etre trasformacioes lieales, como se idica e lo que sigue. Existe tres operacioes algebraicas elemetales que se realiza etre trasformacioes lieales, éstas so: Suma de trasformacioes. Multiplicació de u escalar por ua trasformació. Composició de trasformacioes. a) Suma etre trasformacioes y multiplicació de ua trasformació por u escalar: Si S y so dos trasformacioes lieales de e, y K es el campo sobre el cual está defiido el espacio : La suma S+ es ua trasformació (tambié lieal) de e de la forma: ( S + ) ( v) = S( v) + ( v) v DIISIÓN: CIENCIS ÁSICS 5 de 0 COORDINCIÓN: MEMÁICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Dra. Norma Patricia López costa

6 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales El producto de u escalar α K por la trasformació lieal S, es ua trasformació lieal de e de la forma: ( α S)( v) =αs( v) v ; α K directamete u vector u que perteece a u primer espacio vectorial U, e otro vector S [ ( u) ] que perteece a u tercer espacio vectorial. Esquemáticamete: U Esquemáticamete: u (u) S[(u)] S v S+ S αs (v) (S+)(v) S(v) ( α)(v) Relació etre las operacioes algebraicas ateriores y las operacioes co matrices: Para matrices asociadas co las trasformacioes lieales S: y :, respectivamete: M ( S + ) = M ( S ) + M ( ) M ( α S ) = α M ( S ) Para matrices asociadas co las trasformacioes lieales S: y : y referidas a dos bases y, que perteece al domiio y al codomiio, respectivamete: M ( S + ) = M ( S ) + M ( ) M ( α S ) = α M ( S ) b) Composició de trasformacioes: E cotraste co los coceptos estudiados ateriormete, e dode se trabajó co uo () o dos espacios vectoriales ( y ), e la composició de trasformacioes se trabaja co tres espacios vectoriales (U, y ) a la vez. La composició de dos trasformacioes lieales S y, simbolizada como S y que se lee: S composició, permite trasformar S Es decir, si :U y S: so dos trasformacioes lieales, la composició S es ua trasformació (tambié lieal) de U e, defiida por: ( S ) ( u) = S [ ( u) ] u U NO: La composició o es ua operació comutativa: veces resulta que S S. E otros casos, existe S, pero o existe S. Relació etre la composició de trasformacioes y las operacioes co matrices: Para matrices asociadas co las trasformacioes lieales :U y S: : M ( S ) = M ( S ) M ( ) o bie: M ( S ) = M ( ) M ( S ) Puesto que la composició o es ua operació comutativa, se remarca que: M ( S ) M ( S ) Para matrices asociadas co las trasformacioes lieales :U (referida a las bases y ) y S: (referida a las bases y C), se tiee: DIISIÓN: CIENCIS ÁSICS 6 de 0 COORDINCIÓN: MEMÁICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Dra. Norma Patricia López costa

7 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales M Esquemáticamete: U = u, u, 2 u 3 ( S ) M ( S ) M ( ) C = C S u (u) S[(u)] = v, v, 2 v 3 S C= w, w, 2 w 3 eorema referido a las propiedades de la composició: Si U,, y X so espacios vectoriales sobre u campo K; y F, G, H, S y so trasformacioes lieales cualesquiera etre los espacios vectoriales siguietes: Etoces: F: U G: U H: X S: :. S ( F + G) = ( S F) + ( S G) 2. ( S+ ) F = ( S F) + ( F) 3. ( ) ( ) ( ) α S F = α S F = S αf α K 4. H ( S F ) = ( H S ) F 5. ( I ) = ; ( I ) =, dode I e I so las trasformacioes idetidad e los espacios y, respectivamete.. INERS DE UN RNSFORMCIÓN LINEL diferecia de los temas estudiados co aterioridad, e los que coocido u vector se determiaba su image, e este caso, se estudia: cómo obteer u vector si de él se cooce su image; e otras palabras, determiar la regla de correspodecia iversa de ua trasformació. Si : es ua trasformació lieal cualquiera de e ; se llama la iversa de (se represeta como - ), a ua trasformació de e, tal que: [ ( v) ] = v v ( w) = w w Esquemáticamete: - (w) - = Domiio = Codomiio (v) NO: ) La iversa de ua trasformació es úica. 2) No todas las trasformacioes tiee iversa. Los diversos teoremas que permite determiar bajo qué codicioes la iversa de ua trasformació lieal existe, se preseta a cotiuació. EOREM: Si : es ua trasformació lieal, la iversa de existe si y sólo si es biyectiva. Ua traformació : es biyectiva si: Es uo a uo, es decir, que todos los vectores del domiio tiee diferetes imágees ua vez aplicada la trasformació. Es sobre, es decir, que todos los vectores del codomiio so image de algú vector del domiio ua vez aplicada la trasformació. EOREM: Si : es ua trasformació lieal, la iversa de existe si y sólo si: dim = dim (la dimesió del domiio es igual a la dimesió del codomiio). w DIISIÓN: CIENCIS ÁSICS 7 de 0 COORDINCIÓN: MEMÁICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Dra. Norma Patricia López costa

8 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales N()={ 0 }(el úcleo de la trasformació es igual al vector cero del domiio ). NO: Las dos codicioes ateriores so equivaletes a que la matriz asociada co la trasformació y referida a las bases y, sea cuadrada y o sigular (esto es, co det 0). E otras palabras: la trasformació tiee iversa, si y sólo si la matriz M ( ) tiee iversa. EOREM: Si : es ua trasformació lieal, y y so bases de y, respectivamete, se cumple:. - existe si y sólo si, ( ) (es o sigular). M tiee iversa 2. Si - existe, etoces: ( ) [ ( )] M = M Este último teorema tambié se aplica al caso e el que se tiee ua matriz asociada co ua M, es decir que, la trasformació del tipo ( ) trasformació - existe, si la matriz M ( ) tiee iversa, co lo cual, se tiee que: ( ) = M ( ) [ ] M. De los teoremas ateriores, se puede cocluir que, para determiar - de ua trasformació (ua vez que se sabe que ésta existe) sólo basta co calcular algua de sus matrices asociadas (la que sea posible depediedo del problema estudiado) y de ella determiar su matriz iversa, para fialmete, obteer la regla de correspodecia de - de acuerdo co los lieamietos estudiados e la parte de represetació matricial de trasformacioes lieales. NO: Por supuesto que cualquiera de estas matrices asociadas que se utilice, permite llegar a la misma trasformació iversa -, ya que ésta es úica. 2. LORES Y ECORES CRCERÍSICOS Los vectores y valores característicos se determia e las trasformacioes lieales coocidas como operadores lieales del tipo :, es decir, que va de u espacio vectorial al mismo espacio vectorial. lguos otros ombres utilizados para estos mismos coceptos so: eigevectores y eigevalores; vectores y valores propios; autovectores y autovalores; etc. E térmios geerales, u vector característico es aquel vector que o se modifica al aplicar la trasformació lieal o cuya modificació cosiste úicamete e quedar multiplicado por cierto escalar, al cual se le cooce como valor característico. Es decir, si para el operador lieal : (dode es u espacio vectorial sobre el campo K) existe u vector v, v 0, tal que: ( v) = λ v, se dice que λ es u valor característico de y v es u vector característico de. NO: ) U operador lieal : puede teer diversos valores característicos λ, λ2,..., λ, y por cosiguiete diversos vectores característicos v, v2,..., v correspodietes a dichos valores. Cuado esto ocurre, si λi λj i j, etoces el cojuto { v, v,..., 2 v } es liealmete idepediete. 2) odas las represetacioes matriciales de u operador lieal, tiee el mismo poliomio característico, y por cosiguiete, los mismos valores característicos. Procedimieto para determiar valores, vectores y espacios característicos:. Se obtiee la matriz asociada M() co el operador lieal : e estudio. Dicha matriz DIISIÓN: CIENCIS ÁSICS 8 de 0 COORDINCIÓN: MEMÁICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Dra. Norma Patricia López costa

9 GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales se cooce como y está referida a ua misma base (que por simplicidad es geeralmete, la base caóica). 2. Se determia la matriz λi, dode: =M()=Matriz asociada co el operador lieal I=Matriz idetidad λ=raíz del poliomio característico 3. Se obtiee el poliomio característico co: det ( λi). 4. l resolver la ecuació característica det ( λi) = 0, se determia los valores característicos del operador lieal. 5. Resolviedo el sistema homogéeo λi v=, se determia los vectores ( ) 0 característicos v, v2,..., v correspodietes a cada valor característico λ, λ2,..., λ obteido e el iciso aterior. 6. Fialmete, cada espacio característico está costituido por los vectores característicos v, v2,..., v, respectivamete, es decir: λ = { v}, E( λ 2) = { v2},..., E( λ ) = { v} E( ) NO: Los espacios característicos del operador lieal : so subespacios vectoriales de. 3. REPRESENCIÓN MRICIL DIGONL DE UN OPERDOR Y MRIZ DIGONLIZDOR diferecia de las represetacioes matriciales que se estudiaro co aterioridad y que se refería a trasformacioes del tipo :, e este tema se estudia la represetació matricial para operadores lieales del tipo :, e particular, las matrices diagoales, que se cosidera etre las matrices asociadas co u operador lieal más secillas que existe. Se dice que u operador lieal : tiee ua represetació matricial diagoal D (referida a ua misma base), cuado existe los valores característicos λ i ecesarios que permita obteer ua matriz del tipo: λ λ D = λ Ua matriz diagoalizadora P, es aquella cuyas columas so los vectores característicos v i, que costituye u cojuto liealmete idepediete que, además, es ua base del espacio vectorial al que se refiere el operador lieal :. Es decir, es ua matriz del tipo: p p2... p p2 p22... p 2 P = p p2... p dode ua base de es { v, v2,..., v} =, e la que, v, v2,..., v so los vectores característicos del operador (columas de la matriz P), defiidos como: v = ( p, p2,..., p ) v2 = ( p2, p22,..., p2) v = ( p, p,..., p ) 2 La relació que existe etre las dos matrices ateriores, D y P, se idica co el siguiete EOREM: Ua matriz de asociada co el operador lieal :, es similar a ua matriz diagoal D si y sólo si existe u cojuto liealmete idepediete (base de ) formado por vectores característicos de, los cuales costituye las columas de ua matriz o sigular P tal que: D= P P DIISIÓN: CIENCIS ÁSICS 9 de 0 COORDINCIÓN: MEMÁICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Dra. Norma Patricia López costa

10 Cuado la expresió aterior se cumple, se dice que es diagoalizable. Otras observacioes importates que se relacioa co el teorema aterior, so: GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. Dos matrices represeta al mismo operador lieal, si y sólo si so similares. 2. Si y D so matrices similares, etoces: det =det D 3. Dos matrices similares tiee el mismo poliomio característico y, por tato, los mismos valores característicos. E resume, se puede decir que, para obteer la matriz diagoal de u operador lieal :, sólo basta co determiar los valores y vectores característicos de dicho operador a partir de su matriz asociada, y establecer si co los vectores característicos ateriores es posible obteer ua base que idique la dimesió correcta del espacio vectorial al que se refiere el operador e estudio. Si es así, las matrices diagoal D y diagoalizadora P se determia como ya se idicó ates. E caso cotrario, se dice que el operador o tiee ua represetació matricial diagoal. DIISIÓN: CIENCIS ÁSICS 0 de 0 COORDINCIÓN: MEMÁICS FCULD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Dra. Norma Patricia López costa

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