LA ACÚSTICA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

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1 LA ACÚSTICA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Casado García, Mario Enrique Escuela de Ingenierías. Edificio Tecnológico Campus de Vegazana, s/n León España Tel: RESUMEN En el presente trabajo se tratará de abordar el tema del procesado e interpretación del dominio transformado de la frecuencia. Una señal acústica en tiempo se puede ver como una señal en el dominio de la frecuencia sin más que hacer su transformada de Fourier. Este cambio será más complejo en cuanto más compleja sea la señal. Una vez se tiene el espectro frecuencial de la señal se pueden evaluar y procesar todo lo que se quiera. Un ejemplo sería, en una medición acústica, la interpretación del nivel de aislamiento de un material a las distintas frecuencias, es decir, que frecuencias del espectro de la señal son mejor absorbidas, y por el contrario que frecuencias son peor aisladas. Estas frecuencias se suelen ver como agrupaciones de frecuencia, en las llamadas bandas frecuenciales, ya que no se suele analizar cada frecuencia unitariamente. En última instancia se hará un ejemplo de procesado, filtrado digital, de un archivo de audio en el programa MATLAB.

2 1.- INTRODUCCIÓN Qué es el sonido?, bien, pues esta pregunta tiene una fácil explicación. El sonido es una vibración mecánica que se transmite a través de un medio capaz de sufrir elasticidades en sus propiedades físicas, produciendo una sensación auditiva provocada por el cambio de presión que se está ejerciendo en el oído humano. Entonces se podría decir que el sonido se genera de la siguiente forma: cualquier vibración que se produzca a través del aire provocará sobre este una serie de desplazamientos de las partículas a su alrededor, sacándolas de su posición de equilibrio y haciéndolas vibrar. Estos desplazamientos provocan compresiones y rarefacciones de las partículas del aire, generando lo que se conoce como ondas acústicas. Las ondas acústicas darán lugar a una muy pequeña variación de la presión atmosférica normal. A esta desviación de la normal de la presión atmosférica se le conoce como presión acústica. Y son estas variaciones de presión las que son captadas por el oído humano. De la forma de generar el sonido se pueden extraer dos características fundamentales. Por un lado está la naturaleza energética del sonido, ya que hace falta una determinada energía para que las partículas del medio se desplacen provocando la propagación de ondas sonoras y en función de esto se esté generando un mayor o menor nivel de presión acústica. Y por otro lado la naturaleza vibratoria, o modo en el que se producen las compresiones y rarefacciones del medio a intervalos de repetición iguales. Esta última característica vibratoria se determina mediante el parámetro de la frecuencia, ya que este es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, y mide el número de veces que una partícula pasa por su posición de equilibrio natural en una unidad de tiempo después de pasar por sus máximos desplazamientos. El presente trabajo se basará en esta última característica vista y se tratará de caracterizar, en la medida de lo posible, todo lo que ello conlleva. A modo de ejemplo una partícula que vibre periódicamente a intervalos regulares estará generando un tono puro, véase la Ilustración 1: Ilustración 1: Modulación sinusoidal provocada por la vibración de un tono puro. 2

3 Este tono puro se corresponde con una onda sinusoidal, una onda periódica definida por la siguiente ecuación: f ( t) = Asen(2 π ft + θ ) (1.1) donde A es la amplitud, f es la frecuencia, t es el tiempo y θ es la fase. La amplitud de la señal se corresponde con el volumen del sonido, es decir, con el nivel de presión acústica. Este se mide en db y el rango de un oído sano suele estar entre 0 y 140dB. La frecuencia se corresponde tradicionalmente con la magnitud subjetiva de la altura o gravedad de un sonido. Es la velocidad a la que oscila, vibra una partícula, la señal. Esta es una magnitud objetiva y mensurable referida a las ondas periódicas para expresar el número de vibraciones por segundo de la partícula. Se mide en Hz y el rango audible para un oído humano sano está más o menos entre 20 y 20000Hz. 2.- ANÁLISIS ESPECTRAL DE LA SEÑAL En el dominio transformado de la frecuencia se representan los análisis de las señales acústicas respecto a su frecuencia de vibración. Mientras que en un gráfico temporal se muestra la evolución temporal de una señal con respecto del tiempo, en un gráfico frecuencial se muestran las componentes con respecto a la frecuencia en la que vibra, oscila, la partícula. Volviendo al ejemplo de la señal sinusoidal que se presentó en el apartado anterior, véase como quedaría esta señal en el dominio de la frecuencia: Ilustración 2: Representación en el dominio de la frecuencia de un tono puro. 3

4 La caracterización de esta señal periódica sinusoidal en frecuencia es el caso más simple que se puede encontrar, ya que tanto un seno como un coseno se representan en frecuencia como un tono puro, sin más componentes que la tonal. Este caso es ideal y los sonidos presentes en el mundo real son mucho más complejos y difíciles de analizar. Se procederá a continuación a ver más detalladamente que una señal periódica x(t), de periodo T, va a poderse escribir como una combinación lineal de exponenciales complejas armónicamente relacionadas mediante las series de Fourier, es decir, se va a poder descomponer esa señal compleja en otras más simples, en tonos puros. Véase ahora esquemáticamente un ejemplo sencillo de una señal compleja que ha surgido como suma de 3 componentes tonales. Ilustración 3: Representación de la descomposición de una señal compleja como suma de senos. Originando, mediante la transformada de Fourier, en el dominio de la frecuencia, el siguiente espectro de tonales: Ilustración 4: Representación en el dominio de la frecuencia de una señal compleja. Entrando más en profundidad, y atendiendo a la complejidad de las señales que se pueden encontrar, se atenderá y prestará especial atención a la naturaleza de la fuente vibrante y a la forma de captar esas vibraciones, dando origen a los siguientes tipos de señales: 4

5 Señales periódicas continúas. Señales aperiódicas continúas. Señales periódicas discretas. Señales aperiódicas discretas. Las señales periódicas, tanto continuas como discretas, se describen en el dominio de la frecuencia mediante la transformada de Fourier a partir de sus series de Fourier, mientras que las señales aperiódicas, igualmente tanto continuas como discretas, se describen con la transformada de Fourier. La diferencia entre señales continuas y discretas viene dada por el diferente análisis de Fourier para señales continuas o discretas respectivamente Las Series De Fourier Las series de Fourier se utilizan como método de análisis matemático para señales periódicas complejas a través de su descomposición en una suma de infinitas funciones sinusoidales más simples, es decir, como una combinación de senos y cosenos. Esto es lo que se conoce como el teorema de Fourier, en el que, dicho de otra manera, una señal compleja se puede construir mediante la suma de señales más simples, como ya se vio en la Ilustración 3. Las ecuaciones que rigen estas series de Fourier son: Serie de Fourier de señales continuas (FS, por sus siglas en inglés): 2π jk t T 2π 1 jk t x( t) = Cke, siendo T Ck = x( t) e dt T < T > k = (2.1) Serie de Fourier de señales discretas (DFS, por sus siglas en inglés): 2π jk n N [ ] = a e, siendo a [ ] x n k=< N > k k 2π 1 j n N = N n=< N > x n e (2.2) Se verá ahora un ejemplo práctico de la serie de Fourier para una señal cuadrada, periódica y continua g(t) definida de la siguiente manera: 1 t 0, 5 g( t) = 0 t > 0,5 (2.3) Se representará la señal original, la serie de Fourier con coeficientes C 0, C 1 y C 2, la serie de Fourier con los coeficientes hasta C 6 y la serie de Fourier hasta el coeficiente C 20. Obsérvese que a mayor suma de coeficientes la señal se parece cada vez más a la señal original. 5

6 Ilustración 5: Señal cuadrada original g(t). Ilustración 6: Serie de Fourier utilizando los coeficientes C 0, C 1 y C 2, y señal original en líneas discontinuas. Ilustración 7: Serie de Fourier utilizando los coeficientes hasta el C 6, y señal original en líneas discontinuas. 6

7 Ilustración 8: Serie de Fourier utilizando los coeficientes hasta el C 20, y señal original en líneas discontinuas Las Transformadas De Fourier La transformada de Fourier permite la representación de la información de cualquier señal en el dominio de la frecuencia. Estas transformadas de Fourier quedan definidas mediante: Transformada de Fourier de señales continuas: jωt X ( ω) = x( t) e dt 1 jωt x( t) = X ( ω) e dω 2π (2.4) donde x(t) X(ω) es la transformada de Fourier (FT por sus siglas en inglés) y X(ω) x(t) es la anti-trasformada de Fourier (IFT, por sus siglas en inglés). Transformada de Fourier de señales discretas: X ( Ω ) = n= [ ] x n e jωn 1 jωn x[ n] = X ( ) e d 2π Ω Ω < 2π > (2.5) donde x[n] X(Ω) es la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT, por sus siglas en inglés) y X(Ω) x[n] es la anti-trasformada de Fourier de tiempo discreto (IDTFT, por sus siglas en inglés). 7

8 Transformada discreta de Fourier: X ( Ω ) = n= 1 N [ ] jωn [ ] = [ ] x n k=< N > x n e X k e jωn [ ] X k X ( k) = X ( Ω) = N 1 n= 0 2π Ω= k N [ ] x n e 2π j n N (2.6) donde x[n] X(k) es la transformada discreta de Fourier (DFT, por sus siglas en inglés) y X(k) x[n] es la anti-trasformada discreta de Fourier (IDFT, por sus siglas en inglés). Se prestará especial atención a esta última transformada, la DFT. Esta requiere que la función de entrada x[n] sea una secuencia discreta y de duración determinada N. Esta secuencia ha podido generarse a partir del muestreo de una función continua, este método se verá más adelante. A diferencia de la DTFT, esta transformación evalúa únicamente las componentes frecuenciales que necesite para reconstruir el segmento que se analiza, sin producir aliasing. Esto quiere decir que la DFT está analizando un único periodo de una señal periódica que se extiende infinitamente. En caso de no poder realizar el análisis de un periodo de la señal lo que se hace es enventanarla, utilizando una de las ventanas disponibles, como por ejemplo la ventana Hanning. La DFT se utiliza en el tratamiento digital de la señal, y como no podía ser de otra manera en el procesado de las señales acústicas que han sido muestreadas y digitalizadas. Es muy útil para la multiplicación de señales en tiempo (aplicación de filtros), convolución en frecuencia, ya que la convolución de la DFT es circular y por ello muy eficaz. Otro de los aspectos de porque es muy interesante esta DFT es porque existen algoritmos de cálculo de la DFT de manera muy eficiente, como es el caso de la transformada rápida de Fourier (FFT, por sus siglas en inglés). Por último, y a modo de ejemplo, se expondrán dos ejemplos muy sencillos, en banda base y teóricos, representativos de la transformada de Fourier. Transformada de Fourier de un seno, definido por x(t) = sin(2πf c t) Siendo f c la frecuencia central igual a 200Hz. Se tiene que su respuesta en frecuencia, utilizando los pares básicos de la transformada de Fourier, es: X(ω) = (1/2j) [δ(f-f c )-δ(f+f c )] (2.7) Obsérvese en la Ilustración 9 la representación en el dominio temporal, figura izquierda, del seno, y su representación en el domino frecuencial en la derecha. Destacar que la transformada de Fourier es compleja, por ello las dos componentes espectrales. 8

9 Ilustración 9: Señal sinusoidal en el tiempo, a la izquierda, y misma señal en el dominio de la frecuencia a la derecha. Transformada de Fourier de un pulso cuadrado, definido por y(t) = (t/t 0 ) Siendo T 0 igual 0,01. Se tiene que su respuesta en frecuencia, utilizando los pares básicos de la transformada de Fourier, es: Y(ω) = T 0 sinc (ft 0 ) (2.8) Obsérvese en la Ilustración 10 la representación en el dominio temporal de un pulso cuadrado, a la izquierda, y su representación en el dominio de la frecuencia a la derecha. Como se observa a simple vista la transformada de Fourier de un pulso cuadrado es una función sinc o seno cardinal. Ilustración 10: Señal cuadrada en el tiempo, a la izquierda, y misma señal en el dominio de la frecuencia a la derecha. 9

10 3.- MUESTREO DE LA SEÑAL Las señales en tiempo discreto se pueden generar de muy diversas formas, pero la más común, y la que aquí se verá, es que aparezca como consecuencia del muestreo de una señal en tiempo continuo. Es de notar la relevante importancia que tiene el hecho de que se pueda realizar el procesado de las señales en tiempo continuo mediante un proceso de muestreo, un tratamiento de las señales muestreadas en tiempo discreto, tanto en tiempo como en frecuencia, y una reconstrucción posterior de la señal resultado la señal en tiempo continuo. La conversión de tiempo continuo a discreto viene dada por el conversor ideal de tiempo continuo a tiempo discreto (C/D). En el caso de una modulación digital de pulsos (PCM, por siglas en inglés) habrá que tener en cuenta los siguientes pasos: Muestreo: discretizar la señal en tiempo. Cuantificación: discretizar la señal en amplitud. Codificación: asignar un código a cada muestra. Parte de la digitalización. Un ejemplo práctico sería el siguiente: un cantante está emitiendo una señal continua analógica que es captada por un micrófono x(t). Esta señal que se recoge en el micrófono es tratada por un conversor analógico/digital, que hace las funciones del conversor de tiempo continuo a discreto ideal (C/D), que muestreara la señal tomando muestras cada cierto tiempo en instantes predefinidos. Una vez se tiene la señal discretizada x[n] se podrá modificar, aplicando por ejemplo algún filtrado en el dominio de la frecuencia, mediante una función H[Ω]. Posteriormente la señal modificada y[n] pasará por un conversor digital/analógico para convertir la señal discreta en una señal continua que atacará a los altavoces y(t), generando el sonido modificado. x[n] y[n] x(t) A/D h[n] D/A y(t) Análisis Del Muestreo De Una Señal En El Dominio Temporal El proceso de muestreo consiste en obtener muestras discretas de una señal continua en tiempo. Se parte de una señal de energía finita g(t), y se supone que se muestrea g(t) a una tasa uniforme cada T s segundos. Con lo que se obtiene una secuencia de números equiespaciados T s segundos. Esto es lo que se conoce como muestreo por tren de impulsos. La señal g(t) es multiplicada por un tren de deltas, δ Ts (t), equiespaciadas T s segundos, obteniendo g δ (t), como una serie de impulsos equiespaciados que siguen la señal original g(t). 10

11 De una forma mucho más gráfica y visible se puede observar a continuación el proceso de muestreo por tren de impulsos descrito anteriormente: Ilustración 11: Muestreo de una señal g(t) con tren de impulsos. A la salida de g δ (t) es cuando se aplicará el C/D que convertirá los δ continuos en δ discretos originando g[n]. Véase un resumen de todo el proceso en la Tabla 1: Tabla 1: Resumen de un proceso de muestro en tiempo. g(t) δ Ts (t) g δ (t) g[n] Una cuestión importante consiste en ver si a partir de las muestras de g[n] se va a poder recuperar la señal original g(t). Esto dependerá de la banda de frecuencia de la señal y de la tasa de muestreo, por lo que se procederá ahora a analizar la señal en el dominio de la frecuencia. 11

12 3.2.- Análisis Del Muestreo De Una Señal En El Dominio De La Frecuencia Primeramente se hallarían las transformadas de Fourier de g(t) y δ Ts (t), dando lugar a G(f) y Ts (f) respectivamente. Una vez halladas las transformadas se procedería a calcular G δ (f) que será, según la propiedad de convolución de la transformada de Fourier, una convolución en el dominio de la frecuencia. Así pues se obtendría: Ilustración 12: Muestreo de una señal G(f) con tren de impulsos. El proceso de muestreo uniforme de una señal en el dominio del tiempo da lugar a un espectro periódico en el dominio de la frecuencia, con periodo igual a la frecuencia de muestreo. Con esto en mente se puede llegar a la conclusión de que si se muestrea por debajo de dos veces la frecuencia de la señal se producirá solapamiento espectral, lo que se conoce como aliasing frecuencial. Se llega entonces al siguiente teorema del muestreo o teorema de Nyquist: Una señal limitada en banda, de energía finita, que no tiene componentes en frecuencia mayores de ω, puede ser recuperada totalmente a partir de muestras tomadas a una tasa de 2ω muestras por segundo. O dicho de otra manera, que la frecuencia de muestreo tiene que ser igual o mayor que dos veces la frecuencia máxima de la señal (ω) Tabla 2: Resumen de un proceso de muestro en frecuencia. G(f) Ts (f) G δ (f) G(Ω) 12

13 3.3.- Interpolación Sin entrar en mucho detalle, la interpolación sirve para reconstruir la señal original a partir de las muestras, usando como funciones de interpolación: Dominio de la frecuencia: filtro paso bajo de ganancia T S y frecuencia de corte la mitad de la frecuencia de muestreo. Dominio del tiempo: función h[n] = sinc(2ωt) 4-. DE LA SERIE ARMÓNICA A LAS BANDAS FRECUENCIALES La serie armónica, acústicamente hablando, es un conjunto de sonidos formados por un sonido de frecuencia fundamental, o primer armónico, más una sucesión de sonidos afines con respecto a esta frecuencia fundamental llamados armónicos. Esta afinidad se refleja en el hecho de que los armónicos están relacionados en números enteros con respecto a la frecuencia fundamental. Partiendo del hecho de la existencia de una frecuencia fundamental, un tono puro, que en la actualidad está centrado en 440Hz, o lo que es lo mismo, musicalmente hablando, la nota la fundamental, que es la nota que se reproduce en un diapasón al ser golpeado. Si se duplica la frecuencia de ese tono se obtendrá un armónico en una octava superior, y si se divide por la mitad la frecuencia fundamental se obtendría un armónico en una octava inferior. Entonces, cómo se define una octava?, una octava es un intervalo de frecuencias que separan dos sonidos en una relación de 2:1. Debido a que es muy importante conocer el espectro frecuencial de un sonido para el análisis e interpretación de una medición sonora, es de vital importancia obtener el contenido frecuencial del sonido para analizar el nivel de presión sonora en cada una de las componentes frecuenciales. Normalmente los medidores acústicos, como puede ser un sonómetro, agrupan este contenido frecuencial en lo que se denomina bandas de frecuencia, ya que normalmente no interesan las mediciones en frecuencias unitarias, debido a la alta cantidad de información que se daría. Estas bandas de frecuencia aglutinarán una serie de frecuencias, que irán de mayor a menor número de frecuencias agrupadas dependiendo de que la banda sea en octavas, tercios de octava o menores respectivamente. Cuanto menor sea la agrupación mayor resolución se obtendrá en la medición acústica, y por tanto más información se conseguirá. 13

14 Ilustración 13: Bandas frecuenciales en octavas. El valor de la amplitud asignada a cada banda del espectro frecuencial es la suma de cada una de las amplitudes de las frecuencias unitarias que la banda contiene. Las frecuencias representadas en la Ilustración 13 son las frecuencias centrales de las bandas dadas en octavas. Estas frecuencias centrales, así como los anchos de la banda de las mismas, están recogidas en la norma estándar internacional de la International Electrotechnical Commission IEC 61260:1995 y en su versión revisada IEC 61260/A1:2001, y transcritas a la normativa nacional española en UNE-EN 61260:1997 y UNE-EN 61260/A1:2002. Tabla 3: Frecuencias centrales estándar IEC de las bandas de octavas en Hz. Frecuencias centrales del estándar IEC de las bandas de octavas en Hz Cuando se necesita una mayor resolución, que la división en octavas, del espectro frecuencial se recurre en primeria instancia a las bandas de tercio de octavas, obtenidas estas de la división de las bandas de octava en tres intervalos logarítmicamente equivalentes. Véase la Tabla 4. Y si se requiere la máxima resolución se puede ir directamente a frecuencias discretas analizando una por una todas las frecuencias y viendo lo que allí está aconteciendo, aunque no es lo normal y con una resolución de 1/3 de octava, 1/16 de octava, 1/12 de octava, suele ser más que suficiente para el análisis espectral de una medición acústica. Tabla 4: Frecuencias centrales estándar IEC de las bandas de tercio de octavas en Hz. Frecuencias centrales estándar IEC de las bandas de tercio de octavas en Hz Pero, cómo se consigue todo esto? La explicación radica en hacer un filtrado a la señal en el dominio de la frecuencia. Estos filtros paso banda estarán centrados en la frecuencia central de la banda y su ancho de banda, correspondiente al ancho de banda a 3dB, se corresponderá con la banda de octava que se esté manejando. Quedarán definidos mediante la siguiente tabla: 14

15 Tabla 5: Determinación de los filtros utilizados en la creación de las bandas de octavas. Octava F central BW a 3dB F corte inferior F corte superior 1/1 f 0 0,707 x f 0 0,707 x f 0 1,414 x f 0 1/3 f 0 0,231 x f 0 0,891 x f 0 1,123 x f 0 Siendo el ancho de banda a 3dB el correspondiente al ancho de banda en el que la señal cae 3dB con respecto a su máximo, obsérvese la Ilustración 14: Ilustración 14: Interpretación del ancho de banda a 3dB. Por último recalcar que los niveles de presión sonora en una banda de octava determinada no tienen que ser los mismos que en la misma banda de tercio de octava. Es decir, para una misma frecuencia central el comportamiento del cálculo del nivel de presión sonora difiere dependiendo de si se está en dando el resultado en octavas o tercios de octava, ya que la suma de los niveles de presión acústica de la banda no son los mismos. Un ejemplo ilustrativo es el siguiente: Tabla 6: Ejemplo de diferencia de nivel de presión sonoro en comparación con la frecuencia central de la banda. 1/3 Octava(Hz) SPL (db) 1/1 Octava (Hz) SPL (db) PROCESADO DIGITAL DE SONIDO EN MATLAB: FILTRADO En este apartado se intentará demostrar mediante un ejemplo práctico hasta qué punto el procesado en el dominio de la frecuencia es importante. Este ejemplo se ha desarrollado y 15

16 programado en MATLAB 7, software de modelado, simulado y analizado de sistemas dinámicos. Los archivos que se adjuntan son los siguientes: Mario_Casado_Filtrado_Audio.m: archivo de programación M-file de MATLAB. En este archivo se agrupan la colección de comandos para ejecuciones masivas de un programa que necesita de estos comandos. Es el archivo de ejecución del ejemplo práctico de filtrado. jmj.wav: archivo de sonido. Este archivo es un extracto de 20 segundos de la canción Oxigene 2 del autor Jean Michel Jarre. Es un archivo de audio de 2 canales codificado en PCM con una frecuencia de muestreo de 48KHz. El ejemplo práctico que aquí se presenta ha sido desarrollado e implementado para la aplicación dinámica de sendos filtros en frecuencia a una señal cualquiera de audio, siempre y cuando este en formato wav, no tiene porque ser la señal adjunta jmj.wav. El filtrado consistirá en aplicarle a la señal de audio uno de los siguientes filtros, definidos por el usuario al principio de la ejecución del programa: Filtro paso bajo. Por ejemplo, para una frecuencia introducida en el filtro paso bajo de 500Hz, este actuará sobre la señal de audio dejando pasar las frecuencias bajas del espectro, mientras que las frecuencias a partir de 500Hz las atenuará mucho llegando a ser despreciables, eliminadas. Obsérvese la Ilustración 15, en la que se puede apreciar a simple vista el filtro paso bajo definido en el espectro frecuencial y cuya frecuencia de corte es de 500Hz. Este filtro, y el resto de filtros que aquí se presentan, son filtros digitales lir, es decir, tienen una respuesta al impulso infinita. Esto significa que los filtros tendrán un número infinito de términos no nulos, como se aprecia, no volviendo nunca al reposo: Ilustración 15: Filtro digital IIR Butterworth paso bajo. Filtro paso alto. El caso contrario consistirá en filtrar las frecuencias bajas del espectro dejando pasar las altas frecuencias. Por ejemplo, ahora se muestra el filtro paso alto para una introducción de 700Hz, en el que se eliminaran las componentes frecuenciales por debajo de esta cifra. 16

17 Ilustración 16: Filtro digital IIR Butterworth paso alto. Filtro paso banda. Este caso es una combinación de los otros dos filtros. Dejará pasar la señal entre dos rangos definidos al comienzo del programa. Eliminara entonces las frecuencias por debajo del rango inferior y las frecuencias por encima del rango superior. Por ejemplo, si se hubiera introducido 2KHz y 3KHz, el filtro quedaría como se muestra a continuación: Ilustración 17: Filtro digital IIR Butterworth paso banda. Estos filtros se aplicarán sobre una señal de audio, véase la Ilustración 18. En esta se puede observar la señal en el dominio temporal y frecuencial. Ilustración 18: Señal de audio original en el dominio temporal y frecuencial. 17

18 Obsérvese en el dominio del tiempo como aparecen dos colores en el grafo. Esto es debido a la presencia de los dos canales de audio. Los filtros IIR implementados son filtros de Butterworth, un tipo de filtro digital en el que se tiene respuesta plana hasta la frecuencia de corte, momento en el que empieza a disminuir, a atenuar las frecuencias. Se obtendrán los siguientes resultados, para cada uno de los filtros: Señal de audio original filtrada mediante el filtro paso bajo: Ilustración 19: Señal de audio a la que se le ha aplicado un filtro paso bajo, representada en el dominio temporal y frecuencial. En la Ilustración 19 se puede observar en el espectro en frecuencias que solo hay presencia de componentes frecuenciales en las frecuencias bajas del espectro. Han sido eliminadas las frecuencias por encima de los 500Hz. Mientras que en la Ilustración 20 las componentes frecuenciales que han sido eliminadas son las frecuencias por debajo de 700Hz, permaneciendo las altas frecuencias. Señal de audio original filtrada mediante el filtro paso alto: 18

19 Ilustración 20: Señal de audio a la que se la he aplicado un filtro paso alto, representada en el dominio temporal y frecuencial. Señal de audio original filtrada mediante el filtro paso banda: Ilustración 21: Señal de audio filtrada paso banda, representada en el dominio temporal y frecuencial. En esta última captura de pantalla, la Ilustración 21, se puede observar a simple vista que en el espectro de la señal solo hay componentes frecuenciales en el rango de 2 a 3KHz, habiendo sido eliminadas el resto de frecuencias gracias al filtrado paso banda. 19

20 Todos estos resultados de filtrado de la señal original se guardarán en sendos archivos wav, el correspondiente al filtrado paso bajo, el correspondiente al filtrado paso alto y el correspondiente archivo de filtrado paso banda, renombrando los archivos a: low.wav high.wav pass_band,wav 6.- CONCLUSIONES A continuación se expondrán las diferentes conclusiones extruidas del presente trabajo sobre la acústica en el dominio de la frecuencia: El cálculo analítico del paso de una señal compleja de audio del dominio temporal al dominio frecuencial no es algo trivial, sino, más bien es una tarea ardua y difícil del tratamiento de señales digitales, como ha podido verse con las series de Fourier y las transformadas de Fourier. Hay que distinguir entre señales continuas y señales discretas tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, ya que no se tratarán por igual. El procesado frecuencial de la señal abre un sinfín de posibilidades que en tiempo no se tienen, o son mucho más complicadas de realizar. Sobre todo este cambio ha venido propiciado por el cálculo rápido de la DFT, la trasformada rápida de Fourier, FFT. En mediciones acústicas no interesa ver la información frecuencia por frecuencia, ya que es demasiada información para procesar y no es útil. Se suelen agrupar frecuencias en lo que se conoce como bandas frecuenciales. Estas pueden ser más grandes o más pequeñas en función de la resolución que se pretenda conseguir. Facilidad en el manejo de programas como MATLAB, para el filtrado de una señal de audio digitalizada en el dominio de la frecuencia. Análisis, cálculo e interpretación mucho más fácil en el dominio de la frecuencia que en el dominio temporal. 20

21 7.- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Lebein. Parte 1ª Fundamentos del ruido y su caracterización [en línea]: [España]: Victoria, [Consulta: 5 noviembre 2011] Jornada criterios acústicos en el diseño de centros docentes <http://www.steeeilas.org/dok/arloak/lan_osasuna/udakoikas/acust/acus2.pdf> Sacco, Antonio. Apuntes sobre sonido digital [en línea]: [Argentina] Universidad Abierta Interamericana, [Consulta: 5 noviembre 2011] Apuntes de la asignatura informática aplicada <http://www.antoniosacco.com.ar/docu/apunte_sonido_digital.pdf> Manzanero, Antonio L. Teoría de la señal aplicada al estudio de los estímulos y de los sistemas sensoriales [en línea]: [España] Universidad Complutense de Madrid. [Consulta: 5 noviembre 2011] Apuntes de la asignatura psicología de la percepción <http://psicologiapercepcion.blogspot.com/p/el-estimulo.html> Blog. Conceptos fundamentales [en línea]: [Consulta: 6 noviembre 2011] <http://fbasonido1.blogspot.com/2011/05/conceptos-fundamentales.html> Llisterri, Joaquim. Nociones básicas de psicoacústica [en línea]: [España] Universidad Autónoma de Barcelona, [Consulta: 6 noviembre 2011] <http://liceu.uab.es/~joaquim/phonetics/fon_percept/psicoacustica/psicoacustic a.html#correlatos_perceptivos> Sole, Josep. Fundamentos de acústica [en línea]: [España] Ursa uralita, [Consulta: 6 noviembre 2011] <http://www.telefonica.net/web2/josepsolebonet/index_archivos/fundament OS%20DE%20ACUSTICA.pdf> Blog. La física de la música [en línea]: [Consulta: 6 noviembre 2011] <http://www.lorem-ipsum.es/blogs/hal9000/?p=27> Música y sistemas acústicos [en línea]: [Consulta: 6 noviembre 2011] <http://www.gradomultimedia.com/29-musica/index.html > Wikipedia. Transformada de Fourier discreta [en línea]: Fundación Wikimedia, Inc. [Consulta: 12 noviembre 2011] <http://es.wikipedia.org/wiki/transformada_de_fourier_discreta> Wikipedia. Discrete-time Fourier transform [en línea]: Fundación Wikimedia, Inc. [Consulta: 12 noviembre 2011] <http://en.wikipedia.org/wiki/discretetime_fourier_transform> Wikipedia. Fourier transform [en línea]: Fundación Wikimedia, Inc. [Consulta: 12 noviembre 2011] <http://en.wikipedia.org/wiki/fourier_transform> Wikipedia. Discrete Fourier transform [en línea]: Fundación Wikimedia, Inc. [Consulta: 12 noviembre 2011] <http://en.wikipedia.org/wiki/discrete_fourier_transform> 21

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