Introducción al Cálculo Integral

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1 Inroduccón l Cálculo Inegrl José Lus Alejndre Mrco An Isel Alluev Pnll José Mguel González Sános Deprmeno de Memác Aplcd Unversdd de Zrgoz versón dgl sd en el lro "Inroduccón l Cálculo Inegrl" ISBN , de los msmos uores Cálculo Inegrl pr prmeros cursos unversros. Alejndre - Alluev, hp://ocw.unzr.es

2 Índce PRÓLOGO CAPÍTULO. INTEGRAL DE RIEMANN.. Inroduccón.. Prcón.. Defncones.. Inegrl de Remnn.5. Teorem.6. Alguns propeddes de l negrl de Remn n.7. Segundo Teorem Fundmenl del Cálculo.8. Teorem del vlor medo pr negrle s.9. L funcón negrl.. Funcón prmv o ndervd CAPÍTULO. INTEGRALES: INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES... Inroduccón.. Teorem.. Propeddes.. Ejemplos.5. Inegrcón de un funcón compues Ejerccos propuesos CAPÍTULO. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN.. Inegrcón por cmo de vrle.. Inegrcón por pres... Produco de un polnomo por un eponenc l.... Produco de un polnomo por un seno o un coseno... Produco de un eponencl por un seno o un coseno... Produco de un logrmo por or funcón..5. Ls res funcones nverss rcse n, rccos, rcg..6. Alguns funcones rconles e rrconles Ejerccos propuesos CAPÍTULO. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.. Inroduccón.. Ríces comunes.. Dvsón ener de polnomos.. Descomposcón de un polnomo en produco de fcores

3 Inroduccón l cálculo negrl.5. Méodo de frccones smples.6. Méodo de Herme.7. Prolems resuelos Ejerccos propuesos CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 5.. Inroduccón 5.. Cmos de vrle 5.. Trnsformcón en sums 5.. Prolems resuelos 5.5. Inegrcón por recurrenc Ejerccos propuesos CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES 6.. Inroduccón 6.. Inegrles rrconles smples 6.. Inegrles rrconles lneles 6.. Inegrles rrconles de polnomos de grdo dos no compleos 6.5. Inegrles rrconles de polnomos de grdo dos compleos 6.6. Inegrles rrconles compuess Ejerccos propuesos CAPÍTULO 7. INTEGRAL DEFINIDA 7.. Inroduccón 7.. Teorem de negrldd 7.. El áre como un negrl defnd 7.. Propeddes 7.5. Teorem Fundmenl del Cálculo Inegr l 7.6. Cmos de vrle pr negrles defnds Ejerccos propuesos CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.. Cálculo de áres en coordends cresns 8.. Cálculo del áre en coordends prmércs 8.. Cálculo del áre en coordends polres 8.. Cálculo del vlor medo de un funcón 8... Inerprecón geomérc 8... Vlor medo de un funcón

4 Índce 8.5. Cálculo de l longud de curv en coordends cresns Dferencl de un rco de curv Comprcón del rco y de su cuerd Cálculo de l longud de curv en coordends prmércs 8.7. Cálculo de l longud de curv en coordends polre s 8.8. Cálculo del volumen de un cuerpo 8.9. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolucón Méodo de dscos Méodo de ls rndels Méodo de ls envolvenes clíndrcs (corezs) 8.. Cálculo del áre lerl de un cuerpo de revolucón 8.. Cálculo del rjo medne l negr l defnd 8.. Coordends del cenro de grvedd 8... Cenro de grvedd de un curv pln 8... Cenro de grvedd de un fgur pln 8.. Cálculo de momenos de nerc medne l negrl defnd 8... Momeno de nerc de un curv merl Momeno de nerc de un rr homogéne de longud L respeco su eremo 8... Momeno de nerc de un crcunferenc merl de rdo r respeco l cenro 8... Momeno de nerc de un círculo homogéneo de rdo r respeco l cenro Ejerccos propuesos pr el cálculo de áres Ejerccos propuesos pr el cálculo de longudes de curv Ejerccos propuesos pr el cálculo de volúmenes Ejerccos propuesos pr el cálculo de áres lerles Ejerccos propuesos pr el cálculo de cenros de grved d CAPÍTULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS 9.. Límes de negrcón nfnos 9.. Inegrles con negrndo que ende nfn o 9.. Oservcones ls negrles mprops Ejerccos propuesos TABLA DE INTEGRALES BIBLIOGRAFÍA

5 Prólogo Lo que se oye se olvd. Lo que se ve se recuerd. Lo que se hce se prende. Provero chno Ese eo h sdo elordo prr de ls eplccones y prolems de clse de los dsnos cursos mprdos en los úlmos ños por los uores en su lor docene en el seno del Deprmeno de Memác Aplcd de l Unversdd de Zrgoz. Inroduccón l cálculo negrl esá pensdo pr ser ulzdo en un curso ncl de cálculo nfnesml desndo esudnes de ngenerí, memács, cencs químcs y cencs físcs. El ojevo de ese eo docene es consegur que el lumno/ domne el cálculo negrl, herrmen ásc en ods ls rms de l cenc y l ecnologí. Sn ndonr el rgor forml en l eposcón, hemos procurdo hcer sequle cd cuesón medne ejemplos y ejerccos. Desde luego, no hcemos nngun porcón nuev, no ser un preenddo cuddo en el speco ddácco en un neno de que los esudnes rompn con su rol hul de especdores-oyenes, cumpldores de cvddes mecncss, y consgn un dnámc nuev de rjo. Pr el esudo del conendo de ese eo no se presupone nngún conocmeno prevo de cálculo negrl, con lo que es sequle odos los lumnos/s desde el prmer momeno. Es decr, un esudne con nerés puede segur ls eplccones con fcldd. Se hn ncludo ls demosrcones de quellos resuldos que consdermos formvos y que desrrolln l cpcdd de rzonmeno lógco y de nálss críco. A lo lrgo de odo el eo hy grn cndd de ejemplos que yudn enender y smlr los resuldos presendos. Cd cpíulo fnlz con un ls de ejerccos propuesos, que yudrá cmenr los conocmenos dqurdos y dee servr pr compror que relmene se h comprenddo y smldo el conendo del cpíulo. Dmos ls grcs los lumnos/s, porque con su querer ser nos hn mosrdo quells pres en ls que encuenrn myores dfculdes. Espermos que ese eo se de yud pr los fuuros esudnes del cálculo negrl. Los uores.

6 Cpíulo Inegrl de Remnn s( f,p ) m n ( ) f() d f() d

7 Cpíulo Inegrl de Remnn.. Inroduccón El cálculo negrl ene su orgen en el esudo del áre de fgurs plns; ls fórmuls pr el cálculo de ls áres de rángulos y recángulos ern y conocds en l Grec clásc, sí como l de los polígonos regulres prev descomposcón en rángulos. El prolem se plne l hor de clculr áres de fgurs lmds por línes curvs. Eucldes (.C.) sgue los rjos de Eudoo (-55.C.) pr clculr el áre del círculo por el méodo de ehucón, es decr, nscrendo en él sucesvmene polígonos con más ldos. L sum de ess áres se prom cd vez más l áre del círculo, esndo en el «líme» el vlor eco. Demosró demás que, ddos dos círculos de áres A ya y rdos r y r, se verfc que A r y que A kr, sendo k un A r consne que Arquímedes llmó π y cuyo vlor djo hllrse enre 7 > π > 7. Arquímedes (87-.C.) hlló mén el áre encerrd por un rco de práol y l cuerd correspondene, cos relmene dfícl en quel empo, y que no se dsponí del álger formlzd n de l geomerí nlíc. El méodo ulzdo er el de gomeno, eso es, se encj el áre enre dos polígonos, uno nscro en l regón y oro crcunscro l regón. Desde los gregos hs el sglo XVII poco se hzo con relcón l cálculo de áres y volúmenes de fgurs lmds por línes o superfces cerrds. Pscl, Ferm y Lenz comenzn un esudo engrzdo con el cálculo dferencl; sí pues, unque hsórcmene se esudn los prmeros elemenos del cálculo negrl nes que el dferencl, en el sglo XVII se esudn y confgurn l pr, relconándose por medo de muchos e mpornes

8 Inroduccón l cálculo negrl resuldos. Por eso l myorí de los uores empezn eponendo, en prmer lugr, l menos, ls prmers nocones de cálculo dferencl, nes de comenzr el esudo del cálculo negrl. Vemos cuál serí l meodologí empler pr el cálculo de áres de superfces como ls sguenes: Podemos consderr el ldo curvo como l gráfc de un funcón y f(). S llmmos A l áre de l fgur, se cumplrá que: ( ) n < A < ( )m Pero eso no nos por en muchs ocsones un de sufcenemene promd del vlor de A. Supongmos que el nervlo [, ] lo dvdmos en res pres: < < <

9 Inegrl de Remnn 5 Enonces, el vlor del áre que uscmos qued codo enre dos cnddes: ( ) m ( ) m ( ) m A s < ( ) m ( ) m ( ) m S A < S umenmos el número de punos en l dvsón de [, ], cd vez se rán cercndo más los vlores de s y S, de modo que nos drán un nformcón más precs sore A. És serí l de nuv, pueso que rjremos con funcones reles de vrle rel... Prcón Llmremos prcón P del nervlo [, ] un conjuno fno de punos P {,, Κ, n } l que < < < Κ n. S y f() es un funcón defnd y cod en [, ], desgnremos por m M nf sup { f ( ) } { f ( ) }

10 6 Inroduccón l cálculo negrl Noemos que esos vlores esen, pues f() es cod. Además, rvés de esos ínfmos y supremos de l funcón se defnen: n s ( f, P) m ( ) S n ( f, P) M ( como ls sums nferor y superor, respecvmene, de f() correspondenes l prcón P. Esos vlores son sempre números reles, y pr cd prcón P dsn esrán, ovmene, dsns sums nferores y superores. Nóese que sempre se ene que s(f, P) S(f,P) pr l msm prcón P, pueso que m M pr odo. Podrímos omr prcones más fns y sí demosrr que culquer sum nferor esá cod superormene por culquer sum superor. Se defne connucón ese concepo... Defncones Se dce que un prcón P de [, ] es más fn que or Q s conene los msmos punos de és y, l menos, uno más. Se deno Q P. Dd { P } n, un fml de prcones del nervlo [, ] les que P P pr odo, se ene que s S ( f,p ) s( f, P ) ( f,p ) S( f, P ) Así se genern dos sucesones, un { s ( f )} crecene y or { S ( f )},P,P decrecene. Además, como s(f,p) S(f,Q) pr culesquer dos prcones de [, ], oenemos un represencón en l rec rel de ess dos sucesones: ) s ( f ) s ( f ). s ( f ) S ( f ). S ( f ) S ( f ),P,P,P n,p n,p,p

11 Inegrl de Remnn 7 Inuvmene, se ve que, s n y ms sucesones convergen, enonces concden los dos límes, cuyo vlor será el del áre uscd... Inegrl de Remnn S sup {s(f, P)} nf {S(f, P)} pr od prcón P de [, ], dremos que y f() es un funcón negrle de Remnn en [, ], revdmene f() R([, ]), y ese vlor se le llmrá negrl (de Remnn) de f() en el nervlo [, ], denoándol por: f sup {s(f, P)} nf {S(f, P)} Osérvese que l negrl de Remnn, cso de esr, de un funcón om un vlor rel..5. Teorem y f() es un funcón negrle Remnn ε > un prcón P S(f,P) s(f,p) < ε. Demosrcón ] Se f R([, ]), y se ε > f sup {s(f, P)} P prcón de [, ] f nf {S(f, P)} P prcón de [, ] f s( f ) ε,p < f ( f ) Sumndo ms desgulddes, memro memro, se lleg : Se P P P, enonces: S con lo que enemos que: s ( f,p ) s( f, ) < ε P ( f,p ) s( f,p) S( f,p) S ( f, ) P ε S,P <

12 8 Inroduccón l cálculo negrl ( f,p) s( f,p) S( f,p ) s( f, ) < ε S (c.q.d.) P < ] Semos que nf {S(f, P)} S(f, P) pr culquer P sup{s(f, P)} s(f, P) pr culquer P Enonces, se ene nf {S(f, P)} sup{s(f, P)} S(f, P) s(f, P) < ε ε > por hpóess. Lo que nos llev que: nf {S(f, P)} sup{s(f, P)} f R([, ]) (c.q.d.).6. Alguns propeddes de l negrl de Remnn ) f R([, ]) c (, ), f() es negrle en cd uno de los nervlos [, c], [c, ]. Además se verfc que: c f f c ) S f R([, ]), enonces kf R([, ]), donde k es un consne culquer. Además se verfc que: kf k ) S f, g R([, ]), enonces f g R([, ]). Además se verfc que: ( f g ) f f f g

13 Inegrl de Remnn 9 ) S f R([, ]) y f() [, ] S f R([, ]) y f() [, ] f f 5) S f, g R([, ]) y f() g() [, ] f g 6) S f R([, ]) y se ene que f R([, ]) mén, sendo f l funcón defnd por f () f() [, ], enonces se ene que: f f (Monooní de l negrl defnd) L coneón enre el cálculo dferencl y el cálculo negrl se ene por medo del Segundo Teorem Fundmenl del Cálculo (conocdo mén como Regl de Brrow)..7. Segundo Teorem Fundmenl del Cálculo S un funcón y f() es connu en el nervlo [, ], enonces f ( ) d F( ) F( ) donde F() es culquer funcón l que F '() f() [, ]..8. Teorem del vlor medo pr negrles S y f() es un funcón connu en [, ], enonces ese un vlor nermedo c (, ) l que: f ( ) d f ( c)( )

14 Inroduccón l cálculo negrl.9. L funcón negrl L negrl es un número s l clculmos sore un nervlo [, ], donde y son números reles y fjos. Ahor en, s dejármos lerd l eremo, podrímos esudr l negrl de un funcón y f() sore el nervlo [, ], donde es vrle. Por lo no, l negrl, l depender de, serí vrle mén, dependendo su vez de, es decr, serí un funcón de. Es lo que llmremos funcón negrl, denoándol F().. Funcón prmv o ndervd El prolem de clculr ( ) d f se reduce enconrr un funcón F(), llmd prmv de f() l que F '() f(). d f ( ) d F() C o [ f ( ) d] f() d donde C es un consne rrr. S P() es un prmv de f(), se ene que P'() f(), o, dp( ) equvlenemene, ulzndo l nocón dferencl de Lenz, f(), es d decr, dp() f() d (comn l nocón dferencl con l negrl). Así, f d P() C. ( ) A pesr de l semejnz prene, el símolo ( ) concepulmene dsno del símolo de negrcón ( ) f. f d, es f d. Los dos hn sdo orgndos por procesos complemene dsnos: l dferenccón y l negrcón. Sn emrgo, esán relcondos por los eorems fundmenles del cálculo. El Prmer Teorem Fundmenl dce que se puede consrur sempre por negrcón un prmv de un funcón connu (dos prmvs dferen en un consne).

15 Inegrl de Remnn Eso ndc que culquer negrl ndefnd de y f() es mén prmv de y f(). S P() ( ) o f d con cero líme nferor, f ( ) d P() C se puede poner como f ( ) d ( ) El símolo ( ) o f d C. f d se puede consderr como represenne de un negrl ndefnd de y f() más un consne. El Segundo Teorem Fundmenl del Cálculo Inegrl epres que pr cd prmv P() de y f() y pr cd consne C se ene f ( ) d [ P ( ) C ] S se susuye P() C por ( ) f ( ) d f ( ) f d, [ d] F() F(), con F '() f() Dedo un lrg rdcón, muchos rdos de cálculo consdern el f d como represenne de un negrl ndefnd y no de un símolo ( ) funcón prmv o ndervd.

16 Cpíulo Inegrles: Inroduccón y propeddes ( f() g() ) ( ) d K f ( ) d K f f() d d f()d g() d sen d

17 Cpíulo Inegrles: Inroduccón y propeddes.. Inroduccón Un de ls cuesones esencle s que r el cálculo negrl es l sguene: «Enconrr ls funcones F() que enen como dervd un funcón dd f() que se supone connu en un nervlo cerrdo [, ]». Nuesro ojevo es, pues, clculr funcones F() conocendo su dervd f(). Ls funcones que uscmos, llmds funcones prmvs de l funcón f(), verfcrán, por no, l guldd: F '() f(). Ejemplo F(). Se puede verfcr fáclmene por dervcón que l funcón f() 5 dme como funcones prmvs dsns : F ( ) 5 ; F ( ) 5 ; F ( ) 5 C, sendo C consne. Ese ejemplo nos muesr que un funcón dd puede dmr un nfndd de prmvs. Supondremos en lo que sgue que un funcón connu dme l menos un funcón prmv... Teorem es un prmv de f(), y que ( ) S un funcón y f() dme un funcón prmv, F() dme nfns funcones prmvs. Se r de ls funcones G() F() C, donde C consne. Demosrcón G '() ( F() C )' F '() C ' f() Nocón Denoremos ods ls funcones prmvs de y f() por el símolo f ( ) d, que se denomn negrl ndefnd de f(). Ulzndo ls nocones precedenes se oene l sguene equvlenc: ( ) d F( ) C f ( ) F' ( ) f

18 Inroduccón l cálculo negrl.. Propeddes ) S ls funcones f() y g() dmen, respecvmene, por prmvs ls funcones F() y G(), l funcón f() g() dme por funcón prmv l funcón F() G(). Sen F() f ( ) d y G() g ( ) d, enonces: [F()G()]'F '()G '() f() g() [ f ( ) g( ) ] Luego: [ f ( ) g( ) ] d f ( ) d g( ) d d F()G() ) S l funcón f() dme como prmv l funcón F() y k es un consne rrr, l funcón kf() dme como prmv l funcón kf()... Ejemplos [kf()]' kf '() kf() kf ( ) d k f ( ) ) d d C C ) d d C C ) d / d / / C / C ) sen d sen d (cos) C cos C 5) d d C d d d C 5 5 d 5 C 5 6) ( ) 7) ( ) d

19 Inegrles:Inroduccón y propeddes 5 8) d d d / d / / C / / / / d / C En muchs plccones de l negrcón se nos d l sufcene nformcón como pr deermnr un solucón prculr. Pr ello sólo necesmos conocer el vlor de F() pr un cero vlor de. 9) Hllr l solucón generl de l ecucón F'() y clculr l solucón prculr que ssfce l condcón ncl F(). F() d Ahor como F() F() d C C C C F ( ) ) Un plccón relcond con l grvedd Se r hc rr un pelo con un velocdd ncl de 6 m/s, desde un lur de 8 m. Hllr l funcón poscón, s(), pr ese movmeno. (Recordr que l celercón ded l grvedd es m/s ). Solucón: Suponemos que represen el empo ncl. Por no, ls dos condcones ncles mpuess en el prolem pueden ser escrs como: s() 8 m s'() 6 m/s lur ncl velocdd ncl Ahor, del vlor de l celercón enemos que: donde s"() m/ s s'() " ( ) s d d C C s'() 6 s'() 6 Por no,

20 6 Inroduccón l cálculo negrl d s() s ' ( ) d ( 6) 6 C donde C s() 8 Fnlmene, oenemos que l funcón de poscón qued deermnd por: ) d s / d ) ( ) ( ) ( ) / C C / 5 d d C 5 ) d d d C ) ( ) d 7 / d / / d C 7 / / 7/ 7 / / C 7.5. Inegrcón de un funcón compues ( 7) C Sen f() y g() funcones que ssfcen ls condcones de dervcón de l regl de l cden pr l funcón compues y f(g()). S F() es un prmv de f(), enonces: Ejemplos d ) ( ) ( g( ) ) g' ( ) d F( g( ) ) f C ( ) ) 5 cos5 d sen5 C C

21 Inegrles:Inroduccón y propeddes 7 No Muchs funcones negrr conenen l pre esencl de g'() pero les fl lgun consne numérc mulplcndo o dvdendo. En esos csos podemos oener l consne numérc que fl sn más que mulplcr y dvdr dch funcón por es consne, pr luego plcr l propedd de lneldd de l negrcón, como se muesr en los sguenes ejemplos: ( ) d d ( ) ( ) ( ) 6 C cos 5 d 5cos5 d 5 ( ) d sen5 C 5 ( ) C Aencón L opercón de mulplcr y dvdr no se puede relzr cundo el múlplo que fl pr ener g'() conene l vrle, dedo que no se puede mover fuer de l negrl nngun pre del negrndo que coneng l vrle respeco de l cul esmos negrndo. Pr el cálculo de negrles ndefnds de funcones compuess, hy que ener muy presene l l de negrles nmeds, e nenr llevr l funcón negrr lgun de ls forms que llí se ven. Pr ello, s plcr ls propeddes vss quí de l negrl ndefnd y jusr consnes como se h comendo nerormene.

22 8 Inroduccón l cálculo negrl Ejerccos propuesos 6 ) ( ) d ( ) C ) 5 6 d ( 5 6) C 7 ) d ( 6 8) C rcg rcg ) d ( ) C 5) d ( ) 9 ( ) C 6) cos sen d sen C 7) ( 6) d ( 6) C 5 5 8) 7 d 7 C Log7 sen sen 9) cos e d e C ) 5 Log ( ) Log d ( 5 ) C 6Log5

23 Inegrles:Inroduccón y propeddes 9 ) d Log( ) C d g ) Log( sen) C 7 5 ) d Log( 7 ) C 7 5 Log7 ) d rcsen( 6 ) C 6 5) d rcg ( ) C 8 cos 6) d sen C 7) sen ( Log) 6 d cos ( Log) C 8) d ( ) C 9) d ( ) C ) ( ) d 6 5 C ( ) ) d ( ) C

24 Inroduccón l cálculo negrl 6 5 ) d 5 7 C ) 7 d C ) d 5 C 5) sen cos d ( cos) C 6) e d e C 7) d Log( cos ) C sen cos 8) d rcsen( ) C 9) d rcg C 6 ) cog( ) d Log[ sen( )] C

25 Cpíulo Procedmenos de negrcón MÉTODOS POR PARTES CAMBIO DE VARIABLE udv uv vdu f ( )

26 Cpíulo Procedmenos de negrcón.. Inegrcón por cmo de vrle Se f() un funcón y F() un de sus prmvs. S ϕ(u) F() F(ϕ(u)) G(u), y sí, plcndo l regl de l cden pr clculr l dervd, oenemos que G '(u) F '(ϕ(u)) ϕ'(u) f(ϕ(u)) ϕ'(u). Luego: f ( ϕ ( u)) ϕ'( u) du G(u) C F(ϕ(u)) C. El cmno segur serí: elegr un cmo de vrle pr relzr; resolver l nuev negrl en l nuev vrle; por úlmo, deshcer el cmo pr dr el resuldo en funcón de l vrle orgnl. ( ) ( ) ϕ u f ( ) d d ϕ u du Ejemplos ) d f ( ϕ ( u) ) ϕ' ( u) du F(ϕ(u)) C F() C u d du / du u C ( ) u u / du / u u du ) d d du u C u / C / / / ( u u ) du 5/ / u u 5 / / 5 / C / u u C 6 / 5 ( ) ( ) / 6 C

27 Procedmenos de negrcón 5 sen u u ) sen cos d cos d du u du C 9 u ) sen d d du 9 u C ( sen ) sen du C C u ( cosu) cos( ) C sec 5) d u d du sec u du gu C g C senu 6) d d cosu du sen u cosu du cosu du u senu C rcsen ( senu senu cosu ) C cos u du No Se verán más cmos de vrle l resolver dferenes pos de negrles de funcones prculres. Como es ovo, en un msm negrl se pueden plcr dversos cmos de vrle de mner sucesv, hs que se llegue un funcón de l que se conozc de form nmed un de sus prmvs. Todos los cmos de vrle que se relcen en un msm negrl deerán ser deshechos en orden conrro como se hn producdo, es decr, prmero el

28 6 Inroduccón l cálculo negrl úlmo, después el neror, y sí hs llegr l prmero, que se deshrá en úlmo lugr... Inegrcón por pres Se u()v() el produco de dos funcones de. Aplcndo ls regls de dferenccón pr el produco de funcones, oenemos: o, equvlenemene, d(uv) v du u dv u dv d(uv) v du Inegrndo memro memro es guldd, llegmos : u dv d(uv) v du pero, como l dferenccón y l negrcón son funcones nverss, se ene que: d ( uv) uv, y, por no, l epresón neror qued: u dv uv v du Es guldd enre negrles se conoce como el méodo de negrcón por pres. Así, s l negrl que queremos clculr ene l form de un produco u dv, se puede nenr plcr ese méodo pr oener un pre conocd de l prmv, uv, y un nuev negrl resolver, v du. Se esper que es nuev negrl se más fácl de clculr que l prmer. S fuer más dfícl, se prue nercmr los ppeles de u y dv (dv dee conener sempre d) y comenzr el cálculo. S l nuev negrl es ún más dfícl, ese méodo no es ueno y no se plc. A veces ese proceso hy que reperlo más de un vez sore un msm negrl pr llegr conocer l prmv uscd. Esen csos en los cules esá comprodo que el méodo de negrcón por pres funcon en, no querendo decr con eso que sen los úncos csos en los cules se puede plcr, n mpoco que no se pued plcr oro méodo de los que rremos más delne. Vemos esos csos los que nos refermos.

29 Procedmenos de negrcón 7... Produco de un polnomo por un eponencl Clculr: I e d Promos omr ls pres como: Así, l negrl quedrá: I uv e u e d du d dv v v du e e d Es negrl es más complcd que l ncl, y que hemos umendo el grdo del polnomo. Procedemos cmr los ppeles de u y de dv, omndo el polnomo como l pre dervr y l eponencl como l pre negrr: e u d dv d du e v Aplcndo es nuev eleccón en l negrl orgnl I: I e e d e e e C En ese cso sempre es más convenene elegr el polnomo pr dervr, es decr, omrlo como u (pues en l nuev negrl quedrá un polnomo de un grdo menor) y l funcón eponencl pr negrr, es decr, omrl como dv (en l nuev negrl quedrá l msm eponencl slvo consnes).... Produco de un polnomo por un seno o un coseno Clculr: I sen d C Hcemos: u sen d dv d du cos v

30 8 Inroduccón l cálculo negrl Así, I uv v du cos cos sen C cos d De nuevo es en generl más convenene dervr el polnomo, es decr, omrlo como u, e negrr l funcón rgonomérc, como dv. Además, es sne frecuene en esos csos ener que plcr dos o más veces ese proceso de negrcón por pres pr resolver l negrl orgnl. Veámoslo con un ejemplo: Clculr: I ( ) cos d Hcemos pres: u d du sen cos d dv v Con lo que I qued: sen sen d sen sen d I ( ) ( ) En l nuev negrl l que hemos llegdo el polnomo no h desprecdo, pero se h consegudo rejr su grdo en un undd. Prece, pues, que un nuev plccón del proceso de negrcón por pres es nuev negrl, con l msm eleccón de u (el polnomo) y dv (l funcón rgonomérc), nos conducrá un negrl donde el polnomo hy desprecdo, sendo, por no, nmedo clculr un de sus prmvs. Nóese que, s en es nuev negrl nercmmos los ppeles de u (l funcón rgonomérc) y dv (el polnomo), llegremos l negrl orgnl, pueso que esremos deshcendo lo relzdo en l prmer plccón del proceso de negrcón por pres. Así pues, consdermos l sguene eleccón:

31 Procedmenos de negrcón 9 u sen d dv d du cos v Así, con l plccón sucesv del méodo de negrcón por pres l negrl orgnl, és quedrá de l form: cos cos d sen cos cos d 9 9 sen cos 9 7 sen C I ( ) sen ( ) ( )... Produco de un eponencl por un seno o un coseno Clculr: I e sen d Hcemos pres: e u sen d dv e d du cos v Con es eleccón, l negrl I puede epresrse como: I e cos e cos d Enconrmos sí un negrl nálog I. Inegrmos de nuevo por pres y connumos llmndo u l eponencl y dv l funcón rgonomérc (en cso conrro, volverímos l negrl orgnl). Así pues, l nuev eleccón de ls pres será: e u cos d dv e d du sen v

32 Inroduccón l cálculo negrl Por no, I quedrá: I e cos I e e cos e sen 9 sen e sen d I 9 e I sen cos 9 C I 9 e sen cos C Es sucón, en l cul prece l negrl I que se dese clculr en medo del proceso de negrcón, fecd de oro coefcene, surge con frecuenc en el cálculo de negrles, sendo eremdmene ngenos su resolucón l como se h proceddo en el ejemplo.... Produco de un logrmo por or funcón Log Clculr: I d En esos csos, l eleccón de ls pres es sne clr. Como el Logrmo no posee un prmv nmed, lo más rzonle es elegr l or funcón como dv, y el propo Logrmo como u, y que su dervd s que es fácl de enconrr. Solo en los csos en que l or funcón eng un negrcón mucho más complcd que l de l funcón Logrmo, se elegrán ls pres de form conrr. Es sucón es generl, es decr, l eleccón de ls pres ene mucho que ver con que funcón se más sencll pr clculr un de sus prmvs, pueso que el proceso de dervcón ofrece menos dfculdes. En el ejemplo ommos ls pres como: Log u d dv d du v Log

33 Procedmenos de negrcón I Log Log d Log ( Log) I I ( Log ) C I ( Log ) C..5. Ls res funcones nverss rcsen, rccos, rcg Clculr: I rcsen d Por rzones smlres ls rgumends pr el cso neror, l eleccón pror más sencll será omr ls pres como: rcsen u d dv d v du I rcsen d rcsen d rcsen C..6. Alguns funcones rconles e rrconles ) Clculr: I ( ) d Hcemos pres: u d d du dv v ( ) ( ) I ( ) d ( ) rcg C

34 Inroduccón l cálculo negrl ) Clculr: I d Tommos pres: d dv u d du v I d d d d d d ( ) I C Log I Log C

35 Procedmenos de negrcón Ejerccos propuesos ) rcg d rcg Log( ) C ) Log ( ) d Log( ) Log( ) C ) rcg d rcg ( rcg) C ) Log( ) d Log( ) Log( ) C 5) sen d cos sen C 6) e d e e C cos C 7) ( 7) cosd ( ) sen ( 6 ) 5 d C Log ( Log) ( Log) 8) ( 5 ) sen 9) d cog Log( sen) C ) e cos d e ( sen cos) C

36 Inroduccón l cálculo negrl ) d rccos rccos Log C ) ( Log) d ( Log) Log C Log ) d Log C ) rcsen d rcsen ( ) C 5) Log ( ) d Log( ) C 6) cos d sen cos C 8 7) sen( Log) d ( sen( Log) cos( Log) ) C 8) e d e e C 9) sen Log( sen) d cos Log( sen) cos C ) e e d e e C ( ) e 8 ) e cos d ( sen cos ) C

37 Procedmenos de negrcón 5 rcsen ) d rcsen C sen e ) cos sen d C e 5 ) d g Log cos C cos 5) sen cos d cos sen C 8 6) ( rcsen ) d ( rcsen) rcsen C 7) g d g Log cos C 8) e e d C ( ) 9) Log d Log C 9 ) cos Log sen d sen Log sen sen C e 8 ) e sen cos d ( sen cos ) C cos e e 5 ) d ( sen cos ) C

38 6 Inroduccón l cálculo negrl e rcsen e ) d ( ) C rcsen ) rcsen d rcsen C Log Log 5) d ( Log) C Log 6) d ( Log Log ) C 7) d C Log Log 9 7 8) ( ) cos d ( ) sen cos sen C 6 e sen 9) e sen d e cos C ) Log( ) d Log( ) rcg C

39 Cpíulo Inegrcón de funcones rconles MÉTODOS FRACCIONES SIMPLES HERMITE

40 Cpíulo Inegrcón de funcones rconles.. Inroduccón A Un funcón rconl es el cocene de dos polnomos f(). B Supondremos que los dos polnomos A() y B() no enen nngún cero en común, es decr, que no ese nngún número, rel o complejo,, l que los B. En ese cso se dce que l funcón es nule l vez A ( ) ( ) rreducle. Pr clculr ( ).. Ríces comunes f d seguremos los sguenes psos. En ese cso, se ene un fcorzcón de los dos polnomos de l form: A( ) ( ) A( ), B( ) ( ) B( ), y sí nálogmene con ods y cd un de ls ríces comunes los dos. En ess condcones, pr /, l A( ) A ( ) funcón rconl se reduce l funcón smplfcd B( ) B ( ), hor y sn ríces comunes (rreducle). Así pues, esudremos ls negrles del po A( ) A( ), donde es un funcón rreducle. B B ( ) d ( ).. Dvsón ener de polnomos Se relzrá en el cso de que el grdo del numerdor A() se superor o gul l grdo del denomndor B(). En l cso, esen polnomos úncos Q() y R() les que: ( ) ( ) A() B() Q() R(), con grdo R() < grdo B() Así, se puede epresr l funcón rconl f() como:

41 Inegrcón de funcones rconles 9 f() A B ( ) ( ) Q() R B ( ) ( ) Al polnomo Q() se le llm pre ener de l funcón rconl y su negrcón es sencll. Así, l negrl de f() qued de l form: ( ) d Q( ) f d R B ( ) ( ) d Así, endrímos que negrr un funcón rconl rreducle en l que el grdo del numerdor es esrcmene nferor l del denomndor. Pr enconrr esos polnomos Q(), R() es sufcene con relzr l dvsón ener de polnomos en l form rdconl. Por no, prr de hor consderremos funcones rconles rreducles en ls que el grdo del numerdor se esrcmene menor que el grdo del denomndor... Descomposcón de un polnomo en produco de fcores El ojevo hor será enconrr un descomposcón de l funcón rconl de l form neror negrr, en sum de ors funcones rconles que sen más smples y fácles de negrr. Pr deducr dch descomposcón, el prmer pso necesro requere fcorzr el denomndor, o se, clculr ls ríces del msmo. Es decr, s enconrr ls ríces de B(), resolvendo pr ello l ecucón polnómc B(). Ess ríces serán, en generl, números complejos, y dependendo de l nurlez y mulplcdd de ls msms se elegrá un descomposcón u or de l funcón rconl. Pr loclzr ls ríces de B() se ulzrán los méodos conocdos (fórmul pr polnomos de segundo grdo, Ruffn pr grdo superor, o culquer oro méodo váldo pr su resolucón). Según sen ess ríces, como h queddo dcho nerormene, ulzremos dos méodos pr resolver ese po de negrles: descomposcón en frccones smples o méodo de Herme. Anes de negrr un funcón rconl rreducle, se nen descomponerl en un sum de funcones fácles de negrr. Pr ello prevmene hemos clculdo ods ls ríces de B() (reles y complejs). Sen éss,, Κ,r reles con orden de mulplcdd m,m, Κ,mr, respecvmene. S enemos un ríz complej, mén dee precer

42 5 Inroduccón l cálculo negrl necesrmene su conjugd; sí pues, sen α ± β,, α ± β Κ s s ls prejs n, Κ,ns, de ríces complejs conjugds con orden de mulplcdd respecvmene. Así, B() puede descomponerse (se demuesr en álger) en produco de fcores como: B n ns [ r ( ) (( s ) s ) ] β α β m mr ( ) λ ( ) Κ ( ) ( α ) Κ (osérvese que [ ( α β )][ ( α β )] ( α ) β k k k k k k ), donde λ es el coefcene del érmno de myor grdo de B() (coefcene drecor de B()). De es mner, de l descomposcón en fcores de B() se oene l R( ) descomposcón en frccones smples de : B ( ) R B ( ) ( ) λ A A ( ) A m... ( ) m... B... r B m r ( ) mr r M N... ( ) α β... M n N n [( α ) β ] n... P T ( ) α s β s P T s [ ] ns s βs s ( α ) n n donde A,B,M,N, P, T son consnes reles deermnr. k k k k k k.5. Méodo de frccones smples Ese méodo se plcrá cundo ls úncs ríces con mulplcdd myor esrc uno de B() sen reles. L descomposcón en sum de funcones rconles senclls negrr de l funcón rconl rreducle orgnl se relzrá según el sguene crero: Por cd ríz rel smple precerá un sumndo de l form: A

43 Inegrcón de funcones rconles 5 Por cd ríz rel con mulplcdd m myor esrc uno precerán m sumndos de l form:... B m B ( ) m B m ( ) m Cd ríz complej α β smple se une su conjugd α β, dopndo l form ( α) β. Por cd un de ess prejs precerá un sumndo en l descomposcón de l form: M N ( α) β Segudmene se procede l cálculo de ods ls consnes reles ndeermnds que precen en los numerdos de odos los sumndos en l descomposcón, A,B,... Así pues, l pregun hor serí: cómo deermnr ls consnes de los numerdores de cd un de ls frccones smples? El prmer pso pr responder es pregun consse en relzr opercones con odos los sumndos, con el ojeo de reducrlos común denomndor, que en generl concdrá con B(), pr psr consderr un guldd enre los numerdores polnómcos R() y el resulne en el memro de l derech de l descomposcón, fruo de l opercón de colocr el denomndor común. Un vez oend es guldd enre polnomos, se puede opr por l menos dos cmnos: el prmero, más generl, consse en denfcr los coefcenes de los érmnos de gul grdo en mos memros de l guldd; el segundo se relzrá dndo vlores sencllos l vrle pr mos memros de l guldd (en especl, vlores que correspondn ls ríces reles de B()). En defnv, el méodo de oencón de ls consnes puede vrr, pero odo se reduce un guldd enre polnomos. Por ello, ce decr que es descomposcón es únc, pueso que dos polnomos son gules s y sólo s odos sus coefcenes concden. En mos csos, se llegrá un ssem lnel cudrdo, cuys ncógns serán ls consnes deermnr, con solucón únc grnzd.

44 5 Inroduccón l cálculo negrl Un vez efecud es descomposcón y conocds ods ls consnes que precen en ell, ls negrles que deeremos resolver doprán lgun de ls sguenes epresones: A ) d A Log C ) B ( ) d p B ( ) p p C B p p ( ) C (s p es nurl y p ) ) M N s ( r ) ( r ) d N Mr s M M Log Log d M N Mr Mr d s M [( r ) s ] ( r) Log [( r ) s ] N Mr s [( r ) s ] N Mr s s rcg d s r s r s r M s ( r ) d Mr N d r s C Ejemplos d ) Clculr: I d ( )( ) Como l funcón rconl negrr es rreducle y el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor,, procedemos clculr ls ríces de ése úlmo. Ovmene, éss son

45 Inegrcón de funcones rconles 5,. Como ms son reles, el méodo de descomposcón ulzr será el de frccones smples. Por no, descomponemos l funcón rconl de l sguene mner: ( )( ) A B A ( ) B( ) ( )( ) Igulndo los numerdores de mos memros, un vez pueso el denomndor común, llegmos que: A( ) B( ) Pr clculr A y B, usmos el segundo procedmeno comendo, es decr, dmos los vlores de ls ríces reles del denomndor de l funcón rconl orgnl. Así pues, s B, y s A Por no, l negrl orgnl quedrá, plcndo ls propeddes de l negrcón: d I / / d d Log Log C 5 ) Clculr: I d 5 ( )( ) d De nuevo, l funcón rconl negrr es rreducle y el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor,. Ls ríces de ése son, rel y smple,, rel y dole. Como no posee ríces complejs, usremos l descomposcón dd por el méodo de frccones smples: 5 ( )( ) A B C ( )

46 5 Inroduccón l cálculo negrl Igulndo los numerdores, enemos que: ( ) A B ( )( ) C ( ) ( )( ) 5 A A A B B C C Usremos hor el prmer procedmeno sugerdo pr clculr ls consnes ndeermnds, es decr, gulremos los coefcenes del msmo grdo mos ldos de l guldd: grdo : grdo : grdo : A B A C 5 A B C Ese ssem conene res ecucones y res ncógns. Su resolucón es sencll, oenéndose el sguene resuldo: A, B, C Por no, l negrl orgnl quedrá como: / I d / d ( ) d Log Log C ) Clculr: I ( )( 5)( ) d L funcón rconl es rreducle (se puede compror fáclmene que n, n 5, n, ríces del denomndor, lo son del polnomo que prece en el numerdor), y demás el grdo del numerdor,, es

47 Inegrcón de funcones rconles 55 esrcmene menor que el del denomndor,. Por no, l descomposcón rvés del méodo de frccones smples qued: A B C 5 5 ( )( )( ) ( )( ) B( )( ) C( )( 5) ( )( 5)( ) A 5 Como ls ríces del denomndor son reles smples, dremos jusmene esos vlores l vrle en l guldd de numerdores en l descomposcón: A A C 6 8C C B 6 B B Así, l negrl I se clcul como: d I 5 d 5 5 d 5 Log C ) Clculr: I d Ls ríces del denomndor son, de mulplcdd gul res, y, smple. Como esos vlores no nuln l numerdor, l funcón rconl es rreducle. Además, el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor,. Eso nos llev relzr l descomposcón por medo del méodo de frccones smples: A B C D ( ) ( ) A B C ( ) ( ) D

48 56 Inroduccón l cálculo negrl Aplcndo l segund opcón dd pr clculr los coefcenes consnes, dremos los vlores de sus dos ríces reles dsns y oros dos vlores rrros hs consegur un ssem de curo ecucones con curo ncógns: 5 A A 5 D A B C D B C B C A B C 8D 5 B C 8 B C De ls dos úlms ecucones resul que: C B. Así, I quedrá: d I 5 d d d 5 Log Log C 5) Clculr: I d ( )( ) d El denomndor posee un ríz rel,, smple, y un prej de ríces complejs conjugds, que son los ceros del polnomo. Ess ríces no lo son del numerdor, por lo que l funcón rconl es rreducle. De nuevo, el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor,. Aunque en ese cso precen ríces complejs, éss son smples, por lo que de nuevo deemos empler el méodo de descomposcón de frccones smples: ( )( ) A B C ( ) A ( B C )( ) ( )( )

49 Inegrcón de funcones rconles 57 En ese cso, opmos por l prmer opcón pr el cálculo de ls consnes ndeermnds, gulndo los coefcenes de los érmnos del msmo grdo en mos memros: A A A B B C C : AB B A : A B C A, : A C B 7, C 7 Por no, l negrl I quedrá: I 7 d d 7 Log 7 d 7 Es nuev negrl l seprremos en dos, con el ojevo de llegr en un de ells oener un Logrmo, y en l or un rco ngene. d d d I Log d / d Log 6 Log 8 rcg C Llevndo ese resuldo l negrl orgnl, enemos que:

50 58 Inroduccón l cálculo negrl I Log Log rcg C.6. Méodo de Herme P Ese méodo se plcrá pr clculr negrles del po Q d, cundo grdo P() < grdo Q(), y Q() ene ríces complejs con mulplcdd myor esrc uno. Dcho méodo se s en que P( ) Q( ) se puede descomponer como sgue: ( ) ( ) P Q ( ) ( ) d d R D ( ) A B M N... ( ) ( ) r s Donde, s Q() ( ) m... ( ) n... ( r) [ ] s p m D() ( )... ( ) n... ( r), enonces, [ ] p s es decr, D()m.c.d.[Q(),Q'()], o, lo que es lo msmo, el polnomo que [ s ] resul de dvdr Q() por ( ) ( ) Κ ( r ) Κ. En resumen, D() es el polnomo Q() y descompueso en fcores y con cd uno de ellos rejdo en uno su orden de mulplcdd. Por or pre, R() es un polnomo de coefcenes deermnr y de grdo nferor en un undd l de D().

51 Inegrcón de funcones rconles 59 [ s ] Así, s llmmos C() l polnomo ( ) Κ ( ) Κ ( r ) Q( ), podemos escrr: D( ) decr, C(), es P Q ( ) ( ) d d R D ( ) ( ) B C ( ) ( ) Inegrndo memro memro es guldd, ( ) ( ) donde grdo B() [grdo C()] ( ) ( ) P R B d Q D C ( ) ( ) d Nóese que ese méodo de Herme y nos proporcon un pre del resuldo uscdo, y que l negrl que nos qued por clculr es un funcón rconl con numerdor B() y denomndor C(), que se puede descomponer por medo del méodo neror de frccones smples, y que ls ríces complejs de C(), en cso de esr, deen ser smples. Por no, podemos escrr: B C ( ) ( ) A B M N r s... ( ) Aunque el méodo de Herme es lrgo, no sólo porque deemos oener d R( ) los coefcenes ndeermndos sno porque hy que relzr d ( ), que, D unque sencll es muy engorros de clculr, el méodo es plcle culquer funcón rconl, y que es un generlzcón del méodo de frccones smples enendo en cuen que ñdmos el érmno d d R( ) ( ) D No Ommos l demosrcón de ese méodo por ser muy complej..

52 6 Inroduccón l cálculo negrl Ejemplos ) Clculr: I d ( ) ( ) En ese cso, el denomndor posee ríces complejs doles, por lo que, como el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el denomndor, 6, deemos plcr l descomposcón dd por el méodo de Herme: ( ) ( ) d d c ( )( ) A B C Un vez relzd l dervd del cocene y pueso denomndor común (como en el cso de frccones smples), usremos el procedmeno de gulr los coefcenes de los érmnos del msmo grdo en mos ldos de l guldd, pr oener el ssem que nos deermne el vlor de ls consnes ndeermnds: 5 : A B : A B C : A B C : c A B C : c A B C : c A C Resolvendo ese ssem, llegmos que:,, c, A, B, C 5 Por no, l negrl orgnl endrá l form: I ( )( ) d d

53 Inegrcón de funcones rconles 6 ( )( ) Log Log rcg C ) Clculr: I d ( )( ) De nuevo, el denomndor posee un prej de ríces complejs conjugds de mulplcdd dos, y el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor, 8, por lo que, plcndo el méodo de Herme, oenemos: ( )( ) d d M N c d ( ) A B Nóese que l ríz rel no prece en el denomndor del cocene dervr, dedo que su mulplcdd es uno, y l rejrl en un grdo se convere en cero. Relzd l dervcón y l pues de denomndor común, un vez más gulmos los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, oenendo el sguene ssem lnel: 7 : A B M 6 : A M N 5 : A B M N : c A M N : c d A B N : d c A : c d : d L solucón únc de ese ssem es:

54 6 Inroduccón l cálculo negrl 5 5,, c, d, A, B, M, N Por no, I qued: 5 I 5 ( ) ( ) d d 5 8 d d 5 Log Log Log rcg C 8 ) Clculr: I 7 ( 5)( ) 8 d El denomndor fcorzdo nos muesr l esenc de ríces complejs conjugds doles. Como, demás, l funcón rconl es rreducle y el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor, 5, procedemos plcr el méodo de descomposcón de Herme: 7 ( 5)( ) 8 d d M N A 5 Procedendo como en los ejemplos nerores, se lleg l sguene ssem lnel que deermn ls consnes: : 7 A M : A M N : 5 8A 8M N : 8 8A M 8N : 8 A N cuy solucón es:

55 Inegrcón de funcones rconles 6,, A, M 5, N Así, resul que: I 5 d 5 d 5 Log 5 Log 7 rcg( ) C donde l úlm negrl es de uno de los pos que hemos vso en el cso de plccón del méodo de frccones smples, cundo ls ríces del denomndor ern complejs conjugds smples..7. Prolems resuelos ) I 5 ( ) 8 d Dedo l esenc de ríces complejs conjugds en el denomndor, se segur que el méodo de descomposcón de Herme v permr resolver es negrl. En ese cso, vmos plcr un generlzcón del méodo de frccones smples, que quí v funconr, unque, en generl, crímos por recurrr l méodo de Herme necesrmene. Vmos, por no, plcr l descomposcón de frccones smples, rndo ls ríces complejs conjugds con mulplcdd myor esrc uno como lo hcemos con ls que son reles. En ese ejemplo precerán res sumndos dedos l únc prej de ríces complejs conjugds rples: 5 ( ) 8 A B C D ( ) E F ( ) S ponemos denomndor común e gulmos los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, llegmos l ssem lnel:

56 6 Inroduccón l cálculo negrl 5 : A : B : A C : B D : 8 A C E : B D F Su solucón es: A, B, C, D, E, F Por no, l negrl quedrá: I d ( ) Log rcg d ( ) C ) I d ( ) Aquí sí que plcmos el méodo de Herme, dedo l esenc de ríces complejs conjugds doles. ( ) d d M N El ssem lnel l que llegmos es: : M : N : M : N

57 Inegrcón de funcones rconles 65 cuy solucón es:,, M, N que, llevd l negrl, resul en: I ( ) d ( ) rcg C ) Proponemos un úlmo ejemplo: I d ( ) Como en csos nerores, l plcr Herme resul: ( ) d d c d ( ) M N El ssem qued: 5 : M : N : M : c N : d M : c N Su solucón es: 5,, c, d, M, N L negrl se resuelve fnlmene como:

58 66 Inroduccón l cálculo negrl I 8 5 ( ) d rcg C 8 ( )

59 Procedmenos de negrcón 67 Ejerccos propuesos ) ( ) C d Log Log ) ( ) ( ) C d Log Log 8 ) ( ) ( ) C d Log Log 5 ) d ( ) 5Log ( ) [ ] C rcg Log 5) C d rcg 7 Log 6) ( ) ( ) ( ) C d Log 5 5Log 5 7) ( )( ) ( ) Log 9 d ( ) C rcg 9 7 Log 8

60 68 Inroduccón l cálculo negrl 8) d Log 9 9 ( )( ) ( ) Log ( ) 5 rcg 7 C d ) Log( ) Log( ) C 5 5 ) d Log( ) Log( ) C ) d 6Log( ) ( ) ( ) C ) ) d Log ( ) d ( )( ) Log ( ) Log( ) C ( ) Log( ) rcg C 6 ) d Log( ) rcg C 5) 6) d rcg ( 9 ) ( ) ( ) C ( ) rcg C d Log

61 Procedmenos de negrcón 69 d 6 7) Log( ) Log( ) rcg C 8) 9) ) ) d Log rcg ( )( ) ( )( )( ) 8 d Log Log Log C d Log Log C ( ) 6 d Log Log C ( ) ( ) C ) d Log rcg C ) d ( )( ) Log Log rcg C 5 9 ) d Log Log C 5 6 d 5) Log ( ) rcg( ) C rcg

62 7 Inroduccón l cálculo negrl 6) ( ) ( ) 5 d Log ( ) C 7) 8) d Log Log C ( ) 5 8 d Log Log 8 C ( )( 8) 7 Log 5 8 9) d Log( ) Log 5 5 C ) ) d Log ( ) ( ) ( ) d 7 Log Log C 7 7 ( ) C

63 Cpíulo 5 Inegrcón de funcones rgonomércs sen cos cos sen d sen cos

64 Cpíulo 5 Inegrcón de funcones rgonomércs 5.. Inroduccón En ese cpíulo rremos el prolem de l negrcón de funcones rconles que conengn solmene funcones rgonomércs. El cso más generl en que dchs funcones son rrconles se verá en el prómo cpíulo. A pesr de ello, lgunos cmos de vrles esuddos quí pueden ser váldos mén cundo prezcn funcones rrconles. Pr l resolucón de negrles de funcones rconles que conengn funcones rgonomércs, es necesro conocer lguns de ls dsns relcones más hules que esen enre ls funcones rgonomércs, de ls que hcemos un reve relcón: ) sen cos g sec cog cosec ) cos sen cos cos ) sen sencos cos cos sen π ) sen cos 5) sen cosy [ sen( y) sen( y) ] sen seny cos [ cos( y ) ( y) ] cos cosy cos [ cos( y) ( y )]

65 Inegrcón de funcones rgonomércs Cmos de vrle Vmos resolver negrles de funcones rconles de funcones rgonomércs, ls que denoremos en generl por R(sen, cos), medne un sere de cmos de vrle que nos mosrrán que l funcón R(sen, cos) es negrle de mner sencll. Con esos cmos de vrle, psremos un funcón negrle de mner nmed o un funcón rconl de ls esudds en el cpíulo neror, quedndo el prolem resuelo de un form u or. L eleccón del cmo de vrle que resuelve un negrl del po rdo quí dependerá de cómo se l funcón R(sen, cos). Además, un vez elegdo el cmo de vrle que prezc más propdo, deeremos oener ls epresones de sen y cos en funcón de es nuev vrle (y que culquer or funcón rgonomérc se puede epresr fáclmene en érmnos de ess dos) sí como del érmno d en funcón de l dferencl de l nuev vrle. Vemos los dferenes cmos de vrle que podremos plcr: A) Cmo g. Ese cmo de vrle sempre se puede ulzr; pero, en generl, cundo se pued relzr lguno de los oros cmos que veremos más delne, resulrá en un negrl más sencll resolver. Pr el cálculo de sen y cos en érmnos de, usmos ls fórmuls del ángulo dole y l guldd fundmenl de l rgonomerí: ( / ) cos( / ) ( / ) cos ( / ) sen sen sen g g ( / ) ( / ) sen ( / ) sen ( / ) ( / ) cos ( / ) cos cos sen g g ( / ) ( / ) cos Fnlmene, pr clculr d dervmos memro memro l guldd dd por el cmo de vrle y despejmos, oenendo que:

66 76 Inroduccón l cálculo negrl d d Con ese cmo l negrl orgnl qued de l form: d R ( sen, cos) d R, que resul en un negrl de un funcón rconl del po de ls vss en el cpíulo neror. Ejemplo d I sen d d Log C Log g(/) C No Pr los sguenes cmos de vrle necesmos recordr los concepos de smerís pr funcones de dos vrles, generlzdos de mner nurl de los nálogos pr un vrle: f(, y) es mpr en s f(, y) f(, y) f(, y) es mpr en y s f(, y) f(, y) f(, y) es pr en e y s f(, y) f(, y) En nuesro cso, denfcremos l funcón de dos vrles como l funcón rconl de funcones rgonomércs, es decr, f(, y) R(sen, cos). Cd un de ess res smerís d lugr un cmo de vrle dsno. B) S R(sen, cos) es un funcón pr en sen y cos, es decr, se ene que R(sen, cos) R(sen, cos), enonces el cmo relzr es de l form: g. Ulzndo ls relcones enre sen, cos, y g, oenemos: g cos cos

67 Inegrcón de funcones rgonomércs 77 sen g cos sen d Fnlmene, dervndo memro memro, g d A pesr de ls epresones rrconles que precen en l oencón de ls epresones de sen, cos, en funcón de l nuev vrle, éss desprecen en l negrl que resul un vez relzdo el cmo de vrle, dedo l smerí pr en sen, cos, y l po de opercones (producos) que precen. Un cso prculr serí: I m n sen cos d (m,n de gul prdd) m d m n ( ) ( ) m m n ( ) d, donde Ejemplo m n es un enero. cos I d d sen d ( )( ) Es negrl es del po de ls esudds en el cpíulo neror, como cocene de polnomos en. Aprecen dos prejs de ríces complejs conjugds smples como ceros del denomndor, por lo que, plcndo el méodo de frccones smples, resul en un descomposcón del po: ( )( ) M N P Q donde, ponendo denomndor común e gulndo los numerdores que resuln, llegmos l ssem que nos proporconrá el vlor de ls consnes, sn más

68 78 Inroduccón l cálculo negrl que gulr los coefcenes de los érmnos del msmo grdo mos ldos de l guldd: : MP : NQ : MP : NQ Resolvendo: M, N, P, Q Así, l negrl qued: d I d d d ( ) rcg ( ) rcg C ( g ) rcg C C) S R(sen, cos) es mpr en cos, es decr, R(sen, cos) R(sen, cos) enonces: R ( sen, cos) cos cos d R ( sen, cos) cos d donde R (sen, cos) es pr en cos, y hcendo el cmo sen, llegmos l negrl de un funcón rconl de ls esudds en el cpíulo neror. De mner sencll, con ese cmo se oene que: cos, d d Como en el cso neror, no precerán funcones rrconles en l nuev negrl, dedo l mprdd de l funcón cos. Un cso prculr, con n mpr, serí:

69 Inegrcón de funcones rgonomércs 79 m n m I sen cos d ( ) n d m ( ) n d que es negrle de mner sencll, pueso que s n es mpr, n es pr, n y sí, es enero. Ejemplo I d cos ( ) d d ( ) Ls ríces del denomndor de ese cocene de polnomos son reles doles,,, por lo que, plcndo el méodo de descomposcón de fccones smples, llegmos que: ( ) A B ( ) C D ( ) Ponendo denomndor común: ( )( ) B( ) C( ) ( ) D( ) A Dndo vlores l vrle, los de ls ríces reles dsns, y oros dos más de mner rrr, se lleg l ssem cuy solucón son los vlores de ls consnes deermnr: : B : D : A B C D : 9 9A C Resolvendo:

70 8 Inroduccón l cálculo negrl A, B, C, D Así, l negrl qued de l form: d d d d I ( ) ( ) ( ) sen Log sen sen sen C Log ( ) ( ) ( ) C D) De form smlr l cso neror, s R(sen, cos) es mpr en sen, es decr, s R(sen, cos) R(sen, cos), el cmo de vrle relzr será de l form cos, pueso que: (, cos) R sen d R ( sen, cos) sen sen d R ( sen, cos) donde R (sen, cos) es pr en sen. Así, como en el cso neror, se oene de mner nmed que: d cos, sen, d d Un cso prculr serí, con m mpr: I sen m cos n ( ) n d cos sen n m d m sen d

71 Inegrcón de funcones rgonomércs 8 que es negrle de form sencll, pueso que, s m es mpr, m es pr, m y, por no, es enero. Ejemplo cos I sen cos d sen ( ) d d ( ) ( ) d ( )( ) d ( )( ) Ls ríces del denomndor son,, reles smples, y un prej de complejs conjugds smples. De nuevo, el méodo de frccones smples nos proporcon l sguene descomposcón: ( )( ) A A B C D ( )( ) B( )( ) ( C D)( ) ( )( ) Dndo vlores l vrle, resul el ssem: : : : : B A A B D 5A 5B 6C D cuy únc solucón es: A, B, C, D

72 8 Inroduccón l cálculo negrl Por lo que, l negrl orgnl se puede descomponer como: I d d d Log Log Log C Log C Log sen Log C cos cos C co 5.. Trnsformcón en sums Esos cmos de vrles que hemos vso no son, ovmene, l únc posldd que ese pr resolver negrles rconles de funcones rgonomércs. En generl, merece l pen esudr de mner reve l funcón que queremos negrr, por s l plccón de lgun de ls relcones rgonomércs conocds nos perme reducr dch funcón de form sencll or funcón cuy negrcón se mucho más rápd. Además, no ods ls funcones rconles de funcones rgonomércs precen en l form en l que podemos plcr lguno de los cmos de vrle comendo. Por ejemplo, s en l funcón negrr precen rzones rgonomércs de ángulos dsnos, un prmer pso necesro consse en psrls ods l msmo ángulo. En ese cso, ls ecucones que nos relconn los producos de rzones rgonomércs de ángulos dsnos con sums de rzones rgonomércs pueden resolver el prolem: ) sen ( m ) sen( n) d cos[ ( m n) ] d cos [( m n) ] d ) sen ( m ) cos( n) d sen[ ( m n) ] d d sen[ ( m n) ]

73 Inegrcón de funcones rgonomércs 8 c) cos ( m ) cos( n) d cos[ ( m n) ] d d cos[ ( m n) ] Nóese que, unque ls rzones rgonomércs que precen sumndo mén se referen ángulos dsnos, l dferenc fundmenl esr en que, menrs ls negrles de producos no se pueden seprr, ls negrles de sums sí pueden hcerlo en sums de negrles, por l lneldd de l negrl, precendo de es form los ángulos dsnos en negrles dsns, lo que, ovmene, no es nngún prolem. 5.. Prolems resuelos sen ) I d { g(/) } d sencos ( ) d d d ( ) ( ) ( ) Ls ríces del denomndor son reles smples; por lo no, el méodo ulzr será el de frccones smples. A B ( ) A( ) B A, B d d I Log Log C Log g(/) Log g(/) C d cos ) I g d { g(/) } sen cos

74 8 Inroduccón l cálculo negrl d ( )( ) d Ls ríces del denomndor son dos rrconles y ors dos complejs conjugds, ods ells smples. S plcmos el méodo de frccones smples pr descomponer es funcón, deeremos rjr con números rrconles. Anes de segur delne, proemos oro cmo de vrle dsno de ese generl. Osérvese que l funcón negrr es pr en sen, cos, por lo que podemos nenr el cmo de vrles g. d d I { g } g d ( )( ) Aunque en ese cso, mén plcremos el méodo de descomposcón de frccones smples, ls ríces del denomndor hor son un ener, y un prej de complejs conjugds, ods smples. A dferenc del cmo de vrle neror, hemos slvdo operr con números rrconles. ( )( ) A B C Ponendo denomndor común, oenemos que: A( )(B C)( ) A A B B C C Igulndo los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, oenemos el sguene ssem: cuy solucón es: : A B : B C : C

75 Inegrcón de funcones rgonomércs 85 A, L negrl orgnl quedrá como: B, C d I d Log Log rcg C Log g Log g C d d ) I { g(/) } sen cos 5 5 d d d d d rcg 5 C 5 g( / ) 5 rcg 5 C sen ) I d { g(/) } cos sen d d ( )( ) ( )( ) d

76 86 Inroduccón l cálculo negrl d ( )( ) Un vez más, ls ríces del denomndor nos permen plcr el méodo de descomposcón de frccones smples: ( )( ) A B C A A B B C C Igulndo los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, oenemos: cuy solucón es: L negrl qued como: : A B : B C : A C A, B, C d I d Log Log rcg C Log g( ) ( / ) Log g C sencos cos 5) I sencos d { g }

77 Inegrcón de funcones rgonomércs 87 ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d En ese cso, el denomndor posee un prej de ríces complejs conjugds doles, por lo que es necesro plcr el méodo de descomposcón de Herme: ( ) ( ) d d M N P Q Relzndo l dervd del cocene, ponendo denomndor común e gulndo los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, llegmos l sguene ssem lnel que nos proporconrá el vlor de ls consnes: 5 : M P M N Q : : M N P : M N Q : M N P : N Q cuy únc solucón resul ser:

78 88 Inroduccón l cálculo negrl,, M, P, Q 5 Llevmos esos vlores l negrl orgnl, con lo que: I ( ) 5 d d ( ) rcg Log d Log Clculemos es nuev negrl por seprdo: I d d 8 d rcg C 5 Por no, l negrl I quedrá de l sguene form: I rcg Log( ) ( ) Log 5 5 rcg 5 C I ( g ) Log g g g 5 g rcg C 5